2通量与散度&环量与旋度
通量与散度(中文)
前述的源称为正源，而洞称为负源。
<> =3<
已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的 通
量等真于空该介闭电合常面数包围°之的比自，由电荷的电荷量q与
即,
皿E魅=普
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭 合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的 无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
= D< < > >1
已知真空中磁通密度B沿任一闭合有向曲线l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空
磁导率8 0的乘积。即
/---、
口 B 御=m I I /
式中，电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系 。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是 环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示 源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
包围的体积。
<> =3<
口
上式表明，散度d是iv一A个= l标im量-A-，--S-它-S--可- 理解为通过包围 单位体积闭合面的通量△。v □ Ay
直角坐标系中散度可表示为
div A = □4 +里+ 吳 因此散度可用算符表示为
div A = 5 □y □z
<> =3<
〈 散度定理
@ divA dV = 0s
2.矢量场的通量与散度
矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A 通过该
中 有向曲面S的通量，以标量 表示，即
=L A -姑
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生
散度 通量
散度通量散度和通量都是物理学中涉及到矢量场的概念。
在理解散度和通量之前，需要先了解矢量场的概念。
矢量场是指在空间中各点都有一个矢量与之对应的场。
“矢量”是指具有大小和方向的物理量，比如速度、力等。
在三维空间中，矢量通常用箭头表示，箭头长度代表矢量的大小，箭头指向代表矢量的方向。
矢量场描述了在空间中每个点的矢量是什么。
散度是描述矢量场的一个物理量。
它表示在一个给定点上的矢量场流出或流入的程度。
可以理解为矢量场的源与汇。
如果在一个点上，矢量场大量流出，则散度为正；如果流入，则散度为负；如果没有流入或流出，则散度为零。
通量则是散度的一种数学描述。
通量表示的是矢量场通过一个给定平面的流量，也可以理解为矢量场与该平面垂直的分量。
通量可以用来衡量矢量场在某个平面上的流动情况。
为了更好地理解散度和通量的概念，可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个假想的空气流场，我们在其中放置了一个球体。
球体内外的空气流动方式可能会有所不同。
在球体表面上，空气可能会流出或者流入。
如果空气大量流出，那么球体内的分子数就会减少，表示散度为正。
反之，如果空气流入球体内，散度就为负。
如果球体内外的空气流动情况相同，则表示散度为零。
与散度不同，通量主要描述的是矢量场通过某个平面的情况。
假设我们取球体表面为一个平面，那么空气流动通过这个平面的通量就是描述空气流动情况的一个量。
如果通量为正，表示有空气流出；如果通量为负，表示有空气流入；如果通量为零，则表示球体内外的空气流动情况相同。
散度和通量是紧密相关的物理量，它们描述了矢量场在空间中的流动情况。
散度描述了在一个给定点上的流出或流入程度，而通量描述了通过某个平面的流动情况。
需要注意的是，散度和通量是不同的概念。
散度是一个矢量场的性质，它是矢量场的一个标量函数；而通量是矢量场与一个平面垂直分量的大小。
在数学上，散度通过向量微积分中的散度算子表示，通量则是矢量场在某个平面上的贡献。
总结起来，散度和通量都是矢量场中重要的物理概念。
高等数学 第六节 高斯公式 通量与散度
Φ Pdydz Qdzdx Rdxdy
n
Σ
当 > 0， 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉;
n
当 < 0， 说明流入 的流体质量多于流出的,
表明 内有洞 ; 当 = 0， 说明流入与流出 的流体质量相等 。
根据高斯公式, 流量也可表为
P x
Q y
R z
dxdydz
2、是否满足高斯公式的条件；
3、Σ 是取闭曲面的外侧。
第2xzdydz yzdzdx z2dxdy ，
其中 是由曲面 z x2 y2 与
z 2 x2 y2 所围立体的表面外侧。
z
Dxy
2y
x
第十一章 第六节
7
例2 计算 ( x y)dxdy ( y z)xdydz ，其中 Σ 是
cos
n
0
r
0
n
0
r
0
则
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1
3dv V
3 第十一章 第六节
23
内容小结
1 高斯公式及其应用
公式
P Q R
Ω
(
x
y
z
)dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
应用 (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 闭曲面积分为零的充要条件:
Gauss
I 2 (x y z)dv
1 1
1
对称性
2 zdv h2dS
1方 程
1
1 2
h4
通量和散度的关系
通量和散度的关系通量和散度是物理学中的重要概念，它们在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将探讨通量和散度之间的关系。
通量是指一个物理量在单位时间内通过某个曲面的大小。
通常用符号Φ表示。
在物理学中，通量可以是电场、磁场、热流等。
对于电场通量，可以通过高斯定理进行计算，高斯定理是基于电场的散度的。
在同一点周围的电荷可以产生电场，并且这个电场可能分散到周围的区域。
当电场通过一个面积向外传递时，电场通量表示电场线垂直于这个面积的数量。
即：Φ=E·A其中，E是电场的强度，A是通过它的面积。
散度是一个向量场的量。
它是在一个空间点处，该向量场的变化速率的大小和方向。
通常用符号div表示。
在物理学中，散度在热力学、电动力学和流体物理方面都有广泛应用。
在电动力学中，电场的散度定义为该点周围的电荷密度的数量。
散度也可以用来描述流体在某一点的扩散速率和方向。
它还可以用来计算温度变化率和热传导率等。
散度的大小是一个向量场在某个点处的变化量。
如果一个向量场向外分散，那么在这个点处的散度就是正的。
反之，如果一个向量场向内收敛，那么散度就是负的。
如果一个向量场在该点处不变，那么散度就为零。
当一个向量场的散度为正时，它就表示在这个点周围正向传递的物质，例如流体的决策运动或散热的传递。
当一个向量场的散度为负时，它表示在该点周围的负向传递的物质，例如在流体的吸入运动或暖气片中的热管中的吸热。
通量和散度之间的关系是由高斯定理给出的：∮ Φ · dA=∬ div F · dV其中，Φ表示通量，F表示一个向量场，dA表示一个面积元素，dV表示体积元素。
该公式表明，通过一个曲面的通量等于该曲面所包含的体积的散度。
因此，当向量场在一个点周围分散时，通量将增加，这意味着在该点的散度也将增加。
总之，通量和散度之间的关系是紧密相连的。
通量的大小取决于向量场如何分散，而向量场的分散程度可以通过散度的大小来衡量。
高斯定理描述了这种关系，它揭示了通量和散度之间的基本规律，这对于各种物理学学科的研究都是至关重要的。
通量和散度的物理意义
通量和散度的物理意义1.引言1.1 概述在物理学中，通量和散度是两个重要的概念。
通量描述的是物体或场的某种性质在单位时间内通过某个面积的量，而散度则表示该性质在某点的变化率。
通量和散度在许多物理领域中都具有广泛的应用，对于理解和描述物体或场的变化和分布具有重要意义。
通量的物理意义可以理解为，它表示了物体或场在单位时间内通过单位面积的量。
在实际应用中，通量可以描述物体或场的流动、传输、扩散等现象。
例如，在流体力学中，通量可以表示液体或气体通过一个给定面积的流量；在电磁学中，通量可以表示电场或磁场穿过一个给定面积的量。
散度的物理意义则是表示了某一性质在某点的变化率。
散度可以用来描述物体或场的局部变化情况，即单位体积内的该性质的变化量。
在物理学中，散度可以用于描述流体或气体的聚集或稀疏程度，电场或磁场的源强度等。
通过计算散度，我们可以了解物体或场在某点的变化情况，从而提供了对物理现象的深入认识和解释。
总之，通量和散度作为物理学中的重要概念，具有丰富的物理意义。
通过研究和理解通量和散度，我们能够更好地描述和分析物体或场的变化和分布，提高对物理现象的认识和理解。
在本文中，我们将从不同角度深入探讨通量和散度的物理意义，以期更好地理解这两个概念及其在物理学中的应用。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分旨在介绍整篇文章的组织结构和章节安排，使读者能够清楚地了解文章的整体框架。
本篇文章的结构分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分由概述、文章结构和目的三个小节组成。
首先，概述部分将简要介绍通量和散度的物理意义的背景和重要性。
其次，文章结构部分将详细阐述整篇文章的章节分布，为读者提供一个整体的阅读导引。
最后，目的部分将阐明本篇文章的研究目标和意义。
正文部分是本篇文章的核心内容，包括了通量的物理意义和散度的物理意义两个小节。
在通量的物理意义部分，我们将介绍通量的定义和其在物理学中的应用。
通量，散度，换流量，旋度
通量，散度，换流量，旋度转载⾃:马同学我在数学书中看到散度和旋度的时候，如果不结合物理来理解这两个数学公式的话，不过是平平⽆奇的曲线积分、曲⾯积分的⼀个应⽤⽽已。
数学书上提到这两个公式的⽬的应该也是为了加深对曲线积分、曲⾯积分的理解。
有句名⾔怎么说的来着：数学没有物理是瞎⼦，物理没有数学是跛⼦下⾯就让我们结合物理来理解下散度和旋度。
我是学数学的并⾮学物理的，我之后涉及的物理知识很可能是⾮常直觉的、不严格的，望⼤家多多包涵。
1 通量与散度要理解散度，先要理解通量。
1.1 通量通量简单来说，就是单位时间内通过的某个曲⾯的量。
1.1.1 太阳辐射与通量听起来有点抽象，我们举个例⼦：我们都知道，⼈类离不开太阳。
因为每时每刻我们都在接收太阳带给我们的能量。
那太阳每秒钟到底会向外辐射多少能量呢？⼀种⽐较直观的办法，就是计算到底有多少能量通过太阳的表⾯。
什么意思呢？这个有着耀眼光芒的就是太阳：为了⽅便观看，我们只看它在⼆维平⾯上的投影图，这并不影响我们的讨论：太阳每时每刻都在向外辐射能量。
沿着太阳表⾯，作⼀条封闭曲线（其实是封闭的曲⾯，因为太阳实际上是⼀个球体）：粗略来说，我们把曲⾯上的给加起来就是通过此曲⾯的通量。
但是这⾥有个细节问题，在曲⾯上的不同的点的⽅向是不⼀样的，我们应该怎么相加？1.1.2 的⽅向这⾥⽤太阳辐射的模型不太好说明，我们换⼀个模型来描述。
我有⼀间房⼦，请⽆视我的灵魂画法：为了⽅便数学建模，我把它表⽰为⼀个多边形：屋外下着垂直于地⾯的⾬滴：如果屋顶有⼀个天窗忘了关，地⾯就会有⼀滩⽔渍：如果是侧⾯的屋顶有同样⼤⼩的天窗忘了关，地上的⽔渍就会⼩⼀些：如果是在垂直的墙壁上的窗户忘了关，可以想见，地上是不会有⽔渍的。
可以观察到，⽔渍在⾬⽔和窗户垂直的时候取到最⼤值，相切的时候取到最⼩值。
在中间的时候⽔渍的⼤⼩是窗户在与⾬⽔垂直⽅向的投影。
所以我们只需要关注垂直于曲⾯的分量就可以了：1.1.3 ⼩结根据上⾯所述，通量就是把曲⾯上的通过积分积起来。
通量和散度
1.3.3 散度定理（高斯定理）
表达式：
SA d S V A d V
式中S为V的外表面。 物理含义：
矢量A穿过任一封闭曲面S的总通量等于矢量散度在S 所包围体积V内的体积分。
散度定理的证明：
d iv A l V im 0 1 VS A d S d i v A V l i mA d S
【解】若使A成为一个无源场，即要求 A0
Aaz2xb2xy12zcx2xy (a2)z(2c)xb1 0 解得 a2,b1,c2
A ( 2 x z x 2 ) e x ( x y 2 y ) e y ( z z 2 2 x z 2 x y z ) e z
面，则：
内容小结 掌握通量、散度的物理意义
z h 围成的封闭曲面，求矢径r穿出S的柱面部分的通量。
【解】设s1和s2为闭合曲面S的顶部和底部的圆
z
面，则：
r ds r ds r ds
s
s1
s2
s1
rdv
v
s1 (xex yey zez ) (dydzex dxdzey dxdyez )
s2 (xex yey zez ) (dydzex dxdzey dxdyez )
通量指通过该曲面的矢线量，它代表曲面S内存在的通量源。
（3）在矢量场中，若
，称之为有源场， 称为(通量)源密度；
说明流出闭合面的通量小于流入曲面的通量，即闭合面内存在负源（沟）。
矢量场的通量-------通量源
矢量场的通量
1.矢量场的通量-------通量源 （2）散度代表矢量场的通量源的分布特性。
h
3 dv zdxdy zdxdy
v
s1
s2
3πa2h hdxdy 0dxdy
高数之 高斯公式,通量与散度
证：设 cos α 、 cos β 、 cos γ 是 Σ 在点 ( x, y, z ) 处的外法线向量的方向余弦，则
∂v = vx cos α + v y cos β + vz cos γ ． ∂n
故
∫∫ u ∂ndS = ∫∫ (uv
Σ Σ
∂v
x
cos α + uv y cos β + uvz cos γ )dS
0 0
1
3
2π 0
dθ ∫ ρ d ρ ∫ zdz
0 0
1
3
1 9 9 = 0 − 2π ⋅ ⋅ = − π ． 2 2 2
2
（2） 【P228， 例 3】 I=
∫∫ ( z
Σ
2
1 2 2 + x)dydz − zdxdy ， 其中 ∑ 是旋转抛物面 z = ( x + y ) 介于平面 z = 0 2
Ω
= −∫
2π 0
π 1 1 2 dθ ∫ 2 sin ϕ dϕ ∫ r 4 dr = −2π ⋅1⋅ = − π . 0 0 5 5
例 2【P232，例 3】 设函数 u ( x, y, z ) 和 v( x, y, z ) 在空间闭区域 Ω 上具有一阶及二阶连续偏导数， 证明 Green 第一公式：
Σ1 Σ1
h 2 dxdy = h 2 ⋅ π h 2 = π h 4 ．
x 2 + y 2 ≤ h2
故，原式 =
Σ+Σ1
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy − ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy = 2 h
2 2 2 2 2 2
等值面与梯度和通量与散度
§2
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个
场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关，称量是
§2
F dS
S
S F endS
通量的物理意义 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果
0
0
0
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
有净的矢 量线进入
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场 的源的关系。
§2
§2
§2
2. 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？
F(x, y, z)
引入通量的概念。
通量的概念
d S F dS S F endS
其中： dS endS ——面积元矢量；
e ——面积元的法向单位矢量； n
d F endS ——穿过面积元 的通dS量。
en
dS
面积元矢量
如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对
l M0 l0 l x
y
z
式中： cos、cos、cos —— 的方l 向余弦。
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。
•
u——0u(M)沿 l
l 方向增加；
l • u——0u(M)沿 方向减小；
l
l • u ——0u(M)沿 方向无变化。
l
特点：方向导数既与点M0有关，也与
第8讲矢量场的通量及散度2
通量和散度之间的关系，即穿过封闭曲面
通量，等于 S 所围的区域 重积分。
S
的
上的散度在 上的三
推论2：若在封闭曲面
S
S 内处处有 divA 0 ，则
A dS 0
若封闭曲面内无源，则通量为零。
1.散度
推论3：若在矢量场
A 内的某些点（或区域上）
有 divA 0 或 divA 不存在，而在其它点上都 有 divA 0 ，则穿过包围这些点（或区域）的任
r x r y r z , , x r y r z r
x y z 1 1 div(ra ) a x a y a x (a x x a y y a x z ) (a r ) r r r r r
1.散度 例：已知 求 div(ra) 。
通量在直角坐标系中表示为，
l
A dl
n l
A n dl
l
( Pdy Qdx)
2.平面矢量场的通量和散度
格林定理（Green）：设函数 有界闭域
P( x, y) 和 Q( x, y)在
D上有一阶连续偏导数，D的边界 l
y
是
逐段光滑的，则有
Q P ( Pdy Qdx) ( )dxdy x y D l
在任一点 M ( x, y, z) 处的散度为：
P Q R divA x y z
由该定理可以得到以下几个重要的推论。 推论1：高斯定理可以写成矢量形式
A dS divAdV
S
1.散度
A dS divAdV
《矢量分析与场论》
第8讲 矢量场的通量及散度（2）
高斯公式散度
包围的区域为V ,记体积为V .若当V 收缩成点 M 时,
极限
lim
lim
A dS
存在,
V V M
V M
V
则称此极限值为 A在点 M 处的散度, 记为divA.
根据高斯公式, 流量可表为
lim VM V
17
lim VM V
积分中值定理,
P x
Q y
ndS AndS
其中是空间闭区域的边界曲面，
An是向量A在曲面的外侧法向量上的投影.
(
An
A
n
P
cos
Q cos
R cos
)
19
内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式: P d y d z Q d z d x R d x d y
量的方向余弦.
2
证明:设闭区域在面 xoy上的投影区域为 Dxy.
由1 ,2 和3 三部分组成,
z
1 : z z1( x, y)
2
2 : z z2(x, y)
3
3 : 柱面
1
下面先证:
R z
d
v
R
d
x
d
y
o
Dxy
x
y
3
根据三重积分的计算法
R dv { z2(x,y) R dz}dxdy
x
12
解： 空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy
z
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式
高数 高斯公式 通量与散度
P d y d z Q d z d x R d x d y
13
v v v , Q u , R u , 由高斯公式得 证 令P u x y z 2v 2v 2v x2 y 2 z 2 v v v x y z
9.4 高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式 1.高斯公式
Gauss 公式
Hale Waihona Puke 2.通量与散度1一、高斯公式
定理1 设空间闭区域Ω 是由分片光滑的闭曲面Σ 所 围成，函数P(x，y ，z)、Q(x，y ，z) 、R(x，y ，z) 在Ω 上具有一阶连续偏导数，则有 P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy, (1)
I (
1
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
1
2
xy
8
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz
1
1
封
6
例1 用Gauss公式计算 其中为柱面 及平面z = 0,z = 3所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
Dx y
h d xd y
z
2
利用重心公式, 注意 x y 0
4 2 z d x d ydz h
1 h h
o x
高数 高斯公式 通量与散度(正式)
R(
Dx y
x,
y,
z1
(
x,
y))
d
xdy
所以
R z
d
x
d
y
d
z
R
d
x
d
y
若不是上述区域 ,则可引进辅助面
将其分割成若干个上述区域,在辅助面
正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 .
类似可证
P x
d
x
d
y
d
z
Pd
y
d
z
Q y
d
xd
y
d
z
Qd
z
d
x
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
P x
Q y
Rdxdy,
(1)
或
(P x
Q y
R)dv z
( P
cos
Q cos
Rcos )dS, （1′）
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、
cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。
公式（1）或（1′）叫做高斯公式。
证明:
1 2 3, 1 : z z1(x, y), 2 : z z2 (x, y),
导连续。
（4）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封 闭，所围区域Ω。
(P x
Q R)dv y z
及易于计算 A dS
1
例1.用Gauss公式计算
其中为柱面
及平面z = 0,z = 3所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解:这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
I 2 (x y z) d xdydz Dxy h2 d x d y
高斯公式、通量与散度
分析流体的流动特性。
电磁学
02
在电磁学中，散度用于描述电场和磁场的变化规律，进而分析
电磁波的传播特性。
热力学
03
在热力学中，散度用于描述温度场的变化规律，进而分析热量
的传递和分布。
PART 05
高斯公式、通量与散度的 关系
REPORTING
WENKU DESIGN
高斯公式与通量的关系
高斯公式
在三维空间中，如果一个矢量场在任意封闭曲面上的通量都等于 零，则该矢量场在封闭曲面内的散度也为零。
几何解释
高斯公式可以从几何上理解为，一个封 闭曲面内的体积等于其边界曲面的面积 乘以平均高度。例如，一个球体内部的 体积等于其表面积乘以球的半径。
实例
以一个半径为 (R) 的球为例，其内部 体积 (V) 和表面积 (S) 分别为 (V = frac{4}{3}pi R^{3}) 和 (S = 4pi R^{2})，则高斯公式为
定义：高斯公式是微积分中的一个基本定理， 它描述了在一个封闭曲面内的体积分与其边界 上的面积分之间的关系。
(intintint_{V} dV = intint_{S} dS)
定理与证明
定理：如果 (f(x, y, z)) 是定义在 闭球 (B) 内的连续函数，则有
(int_{B} f(x, y, z) dV = int_{S} left( int_{z_{1}(x, y)} ^{z_{2}(x,
高斯公式的应用
高斯公式在许多领域都有广泛的应用，如流体动力学、电磁学、量子力学等。未来可以进一步探索高斯公式在这些领 域中的应用，并尝试将其应用于解决实际问题。
通量和散度的研究
通量和散度是描述物理量流动和分布的重要概念，未来可以进一步研究通量和散度的性质和计算方法，以及它们在物 理和工程领域中的应用。
通量与散度高斯公式通量与散度
P, Q, R在域Ω内 有一阶连续 偏导数, 2. 通量与散度 设向量场 A ( P , Q, R), P, Q, R在域G内 有一阶连续 偏导数,则 向量场 通过有向曲面 的通量为
P Q R G 内任意点处的散度为div A x y z
A n d S
z 3
o 1 x
y
3 2 1 d d z dz 0 0 0 1 9 9 2 ( ) 2 2 2
z d d d z
8
计算 227页1(3).
2 2 2 x y z 为锥体
的表面 为此曲面 外法线 的方向余弦
P ( x , y , z ) d y d z Q( x , y , z )d z d x R( x , y , z )dx d y
(Gauss 公式)
2
例1. 计算曲面积分
其中
x d y dz y dz dx z dx d y 的外侧
解 用高斯公式 原式
111)d x d y d z
的
外侧
解
F d S xd y dz y dz dx z dx d y
1 1 1) d x d y d z
3
7
dx d y d yd z 练习 计算 及平面 其中 为柱面 所围空间 闭域 的整个边界曲面 的外侧.
解: 利用Gauss 公式, 得 怎样计算 ( y z ) d x d yd z ( 原式 = 用柱坐标)
16
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
2.3矢量场的通量与散度
出的通量.
解法1
记
r1
r
2
,
1r表示r平面部r 分r，
表示锥面部分，
2
则通量 Ò A dS A dS A dS,
1
2
1在xoy面上的投影区域D : x2 y2 H 2 , rr
A dS xdydz ydxdz zdxdy Hdxdy H 3
1
曲面
2的外法1 向量nr
4
1 r2
rr0 nr0dS
q
4 R2
Ò dS
q
4 R2
4
R2
q.
2.散度
设
v A
v A(
x,
y,
z)
C
(1)是一个不可压缩的稳定的流速场，
对于场中任一点M，在点M的某邻域作一张包围M的光
滑封闭曲面 ，取外侧，记 所围的区域为 ，这时，
,
A dS
表示单位时间从
经
流向外侧的流量，
而
()
x,
D2
q
4 r3
y,
D3
q
4 r3
z,
D1 x
q
4
r3
x 3r2 r6
x r
q
4
r2
3x2 r5 ,L
,
r divD
D1
D2
D3
0.
x y z
r
r
r
r
r
例7 设 A 2xyz2 i (x2z2 cos y) j 2x2 yz k，求divA.
利用Hamilton的算子 ，散度及其性质可表述为
注意：∑ 与∑－是不同的曲面.
∑ n
∑－
n
通量和散度的概念
通量和散度的概念通量和散度是物理学中用来描述流过某一表面的物理量的概念。
它们在物理学的各个领域都有着广泛的应用，包括电磁学、流体力学和热力学等。
下面我将详细介绍这两个概念及其相关的理论和应用。
通量是一个贯穿某一表面的物理量的总量。
在物理学中，通量的概念经常用来描述一些物理量在一定时间内通过某一固定面积的流量。
通量可以是质量、能量、电荷等物理量的流量。
它的计算公式为：通量= 流量/ 时间。
通量的单位取决于所描述的物理量，例如，若是质量的通量，则单位为千克/秒；若是能量的通量，则单位为焦耳/秒。
散度是矢量场的一种性质，用来描述线、面、体积上物理量的变化情况。
矢量场是一个在空间中定义了每一个点上值与方向的矢量的场。
散度描述了一个矢量场的源头或汇聚情况，即在某一点上是否有物理量流入或流出这一点。
它的计算公式为：散度=（偏导数x方向上的分量+ 偏导数y方向上的分量+ 偏导数z方向上的分量）。
散度是一种标量场，它的大小和分布描述了物理量的变化情况，正负号则表示物理量流的方向。
如果散度为正，则表示物理量从该点流出；如果散度为负，则表示物理量流入该点；如果散度为零，则表示物理量在该点不变。
通量和散度之间有一个重要的关系，即散度定理。
散度定理是高斯定理的一种特殊形式，它表明通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内散度的体积分。
通俗地讲，散度定理说明了通过一个封闭的表面的物理量总量等于该表面内物理量的来源或消耗总量。
散度定理为物理学家提供了一个非常有用的工具，可以利用这个定理来简化复杂的物理问题的计算。
通量和散度在电磁学中具有重要的应用。
在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量场的形式来描述。
通量定律和散度定理是电磁场中的两个基本定律。
例如，根据电场的散度定理，通过一个封闭曲面的电场通量等于该曲面内电荷的总量除以真空介电常数。
这个定理为计算电场的分布和与电荷相互作用提供了一种简洁而有效的方法。
类似地，磁场的散度定理也可以用于计算磁场的分布以及与电流的相互作用。
13.5 Guass公式、通量和散度
x3 y3 z3 (2) ∫∫ 3 dy d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r 3 3 3 ∂ x ∂ y ∂ z = ∫∫∫ [ ( 3 ) + ( 3 ) + ( 3 ) ]dv =L Ω ∂x r ∂y r ∂z r
19
是一光滑闭曲面, 备用题 设 ∑ 是一光滑闭曲面 所围立体 Ω 的体 积为V, θ 是 ∑ 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 积为 的夹角, 的夹角 试证
12
为了揭示场内任意点M 处的特性, 为了揭示场内任意点 处的特性 设Σ 是包含点 M 且 所围域为Ω 方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω, 并令Ω 式两边同除以Ω 在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以 任意方式缩小至点 M 则有 Φ lim Ω→M V
∂P ∂Q ∂R )M =( + + ∂x ∂y ∂z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 此式反应了流速场在点 的特点 其值为正 负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 分别反映在该点有流体涌出 吸入 或没有任何变化
Φ = ∫∫ Pd y d z + Qd z d x + Rdx d y
Σ
Σ
由两类曲面积分的关系, 由两类曲面积分的关系 流量还可表示为
Φ = ∫∫
Σ
( Pcosα + Qcos β + Rcosγ ) d S
= ∫∫ v ⋅ nd S
Σ
11
为方向向外的闭曲面 则单位时间通过Σ 向向外的闭曲面, 若Σ 为方向向外的闭曲面 则单位时间通过Σ 的流量为
Ω
= ∫∫∫ (r sinθ − z)r dr dθ d z
2.3矢量场的通量及散度
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
Ax
y
Ay
ˆ A
ˆ y
ˆ z
A
ˆ 1 A
z
Az
1 A r 2 sin r
Ar
ˆ r
ˆ r
rA
r sin A
ˆ r sin
可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场 在空间的某种变化情况。
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：
在M 点处的散度为： 为 V ，则定义场矢量 A(r )