2019-2020年高三10月月考数学试题
2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期10月月考数学检测试题(含解析)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期10月月考数学检测试题合题目要求的．1. 已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（ ）A. {}2,0,1,2,4- B. {}2,0,2,4- C. {}0,2,4 D. {}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2. 设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >的充分不必要条件.故选：A3. 已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（ ）A. 1B.12C. 1或12-D. 1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4. 已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（ ）A. ()ln 10y x -+> B. ln0yx> C. ln 0y x +> D. ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=， 故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）A. 126个 B. 112个 C. 98个 D. 84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6. 若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（ ）A. 78a = B. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C. 754S = D. 24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7. 已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A13B.C.D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a+=，即2a +=，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知：|BF 1|+|BF 2|=2a2a =，.2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8. 圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A. [)1,+∞ B. [)2,+∞C. )∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B. 若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C 若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D. 若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，.对于选项B ，由相互独立事件概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10. 已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（ ）A. ()f x 的图象关于点(π,0)对称B. ()f x 的值域为[1,2]-C. 若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D. 若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61i i ax =∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，的综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得sin x =，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11. 在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（ ）A 对任意三点,,ABC ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B. 已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C. 到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D. 定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹.与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M ab {}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，则y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a=(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b=(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】―2【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13. 已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14. 数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V π3B =，所以1sin 2ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当a c ==时取等号，所以BD .16. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为y x =，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-， 则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mm m-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1)，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z =1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n ∴︒==111==1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x y z=，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨==⎪⎩，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，的则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 已知整数4n …，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列{a n }的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列{b n }的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
2020届天津市南开中学高三10月月考数学试题(解析版)
2020届天津市南开中学高三10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}124x A x -=≥，{}2230B x x x =--<，则()R AB ð等于（ ）A.{}3x x ≥B.{}3x x >C.{}13x x -<< D.{}31x x x ≥≤-或【答案】A【解析】解出集合A 、B ，再利用交集和补集的定义求出集合()R A B ð.【详解】解不等式124x -≥，即12x -≥，得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式2230x x --<，解得13x -<<，{}13B x x ∴=-<<， 则{}13R B x x x =≤-≥或ð，因此，(){}3R A B x x ⋂=≥ð，故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集与补集的混合运算，同时也考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出问题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题. 2．“成立”是“成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x ＜3，由x （x-3）＜0得0＜x ＜3，所以“|x -1|＜2成立”是“x （x-3）＜0成立”的必要不充分条件 【考点】1．解不等式；2．充分条件与必要条件3．已知()sin f x x x =-+，命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ） A ．p 是假命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭B ．p 是假命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C ．p 是真命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭D ．p 是真命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：'()1cos f x x =-+，当(0,)2x π∈，'()0f x <，因此()f x 是减函数，所以(0,)2x π∈，()(0)0f x f <=，命题p 是真命题，p ⌝是：000,,()02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭，故选D ．【考点】命题的真假，命题的否定． 4．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 【答案】D【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e e z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈， ()()2222f log a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1 B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】B【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式()()22log 22f a f x x ≤-+可化为()()22log 22f a f x x ≤-+，又()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以22log 22a x x ≤-+，而()222211x x x -+=-+的最小值为1，所以2log 1a ≤，21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤． 6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为函数在区间上单调递减，所以函数在区间上恒成立，即在恒成立，而在递减，在递增，且，即；故选C.7．设函数()144x f x ex -=+-，()1ln g x x x=-，若()()120f x g x ==，则（ ）A.()()120g x f x <<B.()()120g x f x <<C.()()210f x g x <<D.()()210f x g x <<【答案】B【解析】分析函数()y f x =和()y g x =的单调性，利用零点存在定理求出函数零点的取值范围，再由函数的单调性来得出()2f x 与()1g x 的正负. 【详解】()144x f x e x -=+-Q ，()140x f x e -'∴=+>，则函数()y f x =为增函数， ()00f <Q ，()10f >，且()10f x =，由零点存在定理知101x <<.()1ln g x x x =-Q ，则()221110x g x x x x+'=+=>，所以，函数()y g x =为增函数， 且()10g <，()12ln 202g =->，又()20g x =，由零点存在定理可知212x <<.()()210f x f ∴>>，()()110g x g <<，因此，()()120g x f x <<，故选：B.【点睛】本题考查函数值符号的判断，同时也考查了函数单调性与零点存在定理的应用，解题的关键就是利用函数的单调性与零点存在定理求出零点的取值范围，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.8．设实数,,a b c 分别满足322,a a +=2log 1b b =，5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >> D.a c b >>【答案】C【解析】令3()22f x x x =+-，则3()22f x x x =+-在R 上单调递增，且(0)(1)2110f f ⋅=-⨯=-<，即(0,1)a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.点睛：在涉及超越方程的求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题. 9．已知函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ） A.650,2252⎛⎤⎡⎫⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，B.650,2252⎛⎫⎡⎤⋃-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， C.{}56,,0,2225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞⋃- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D.56,,225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A【解析】关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，等价于()y f x =和y ax =有两个交点，如图所示：作出函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩的图象，()2,5A -，()1,2B ，65,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，625OC k =，由图可得60,25k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与21y x =+有两个交点的临界位置为两者相切时，联立两者方程21y kxy x =⎧⎨=+⎩得：210x kx -+=，由240k =-=解得2k =±，切点坐标为()1,2-和()1,2且52OA k =-，要使直线与抛物线有两个交点，直线的斜率应满足5,22k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，综上可得650,,2252k ⎛⎤⎡⎫∈⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选A.二、填空题10．设复数z 满足)3i z i ⋅=，则z =__________．【答案】1+【解析】分析：根据条件先将z 的表达式求出，再结合复数的四则运算即可.详解：3)13i i z ===+点睛：考查复数的计算，属于基础题.11．6⎛⎝展开式的常数项为 ．（用数字作答）【答案】-160【解析】试题分析：由6662166(1)(2)rrr r r r rr T C C ---+⎛==- ⎝，令620r -=得3r =，所以6⎛ ⎝展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-.【考点】二项式定理.12．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1).【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e . 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 13．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 ．【答案】【解析】试题分析：由图知，当时，,由得即所以不等式解集为【考点】利用函数性质解不等式14．已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】由题意得直线y a =和函数()y f x =的图象有两个交点，故函数()y f x =在定义域内不能是单调函数．在同一坐标系内画出函数3y x =和2y x =的图象，结合图象可得所求的结果． 【详解】∵()()g x f x a =-有两个零点， ∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或1x =．①当1m >时,函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意． ③当01m <<时,函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时,()f x 单调递增，故不符合题意． ⑤当0m <时,函数()y f x =的图象如图所示,此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或1m >．所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，运用图象进行求解．对于含有参数的问题，要注意分类讨论的方法在解题中的应用，同时还要注意数形结合在解题中的应用．15．函数()()4ln (1)f x kx x x x =+->，若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为___________。
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高三(上)10月月考数学试卷(理科)
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A.(2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, −1)D.(−∞, −1]【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x<a}，M⊆N，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论【解答】∵集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x<a}，M⊆N，∴a≥2，实数a的取值范围是[2, +∞)2. 在复平面内与复数z=5i1+2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A.1+2i B.1−2i C.−2+i D.2+i【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．【解答】复数z=5i1+2i =5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5(i+2)5=2+i所对应的点(2, 1)关于虚轴对称的点为A(−2, 1)，∴A对应的复数为−2+i．3. 条件p:|x+1|>2，条件q:13−x>1，则￢p是￢q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先求出当命题为真时x 的范围，再根据补集思想求出命题为假时的x 的范围，然后根据题意观察两个集合之间的关系由小范围推大范围是充分不必要条件，即可得到答案． 【解答】由题意得：条件p:|x +1|>2，即p:x >1或x <−3． 所以￢p:−3≤x ≤1．由题意得：条件q:13−x >1，即q:2<x <3． 所以￢q:x ≥3或x ≤2．所以￢p 是￢q 的充分不必要条件．4. 函数f(x)=√(log 2x)2−1的定义域为( )A.(0, 12)B.(2, +∞)C.(0, 12)∪(2, +∞)D.(0, 12]∪[2, +∞)【答案】 C【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则(log 2x)2−1>0(x >0)， 即log 2x >1或log 2x <−1， 解得x >2或0<x <12，即函数的定义域为(0, 12)∪(2, +∞)， 故选C.5. 设f(x)＝lg(21−x +a)是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是（ ） A.(−∞, +∞)上的减函数 B.(−∞, +∞)上的增函数 C.(−1, 1)上的减函数 D.(−1, 1)上的增函数 【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 复合函数的单调性 【解析】由f(0)＝0，求得a 的值，可得f(x)＝lg(1+x1−x )，由此求得函数f(x)的定义域．再根据f(x)＝lg(−1−2x−1)，以及t ＝−1−2x−1在(−1, 1)上是增函数，可得结论． 【解答】由于f(x)＝lg(21−x+a)是奇函数，且在x＝0处有意义，故有f(0)＝0，即lg(2+a)＝0，解得a＝−1．故f(x)＝lg(21−x −1)＝lg(1+x1−x)．令1+x1−x>0，求得−1<x<1，故函数f(x)的定义域为(−1, 1)．再根据f(x)＝lg(1+x1−x )＝lg(−1−2x−1)，函数t＝−1−2x−1在(−1, 1)上是增函数，可得函数f(x)在(−1, 1)上是增函数，6. 函数y＝cos(sin|x|)的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】作函数y＝cos(sin|x|)的图象，从而确定答案．【解答】作函数y＝cos(sin|x|)的图象如下，7. 定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得的图象对应的函数与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①f(x)＝(x−1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)＝2x−1−1，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称；③f(x)=xx+1，T：将函数f(x)的图象关于点(−1, 1)对称．④f(x)=sin(x+π3)，T：将函数f(x)的图象关于点(−1, 0)对称．其中T是f(x)的同值变换的有（）A.①②B.①③④C.①④②D.①③【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据同值变换的定义，先求出对应的函数解析式，求出相应的值域，结合值域关系进行判断即可． 【解答】①f(x)＝(x −1)2的值域为[0, +∞)，T ：将函数f(x)的图象关于y 轴对称得到f(x)＝(−x −1)2＝(x +1)2的值域为[0, +∞)，值域相同是同值变换．②f(x)＝2x−1−1>0−1＝−1，值域为(−1, +∞)，将函数f(x)的图象关于x 轴对称得到−y ＝2x−1−1，即y ＝−2x−1+1<1，两个函数的值域不相同，不是同值变换． ③f(x)=xx+1=x+1−1x+1=1−1x+1，函数关于(−1, 1)对称，函数值域为{y|y ≠1}，将函数f(x)的图象关于点(−1, 1)对称后函数是自身，满足值域相同，是同值变换 ④f(x)=sin(x +π3)的值域为[−1, 1]，则f(x)的图象关于点(−1, 0)对称后的值域仍然为[−1, 1]，则两个函数的值域相同，是同值变换． 故T 是f(x)的同值变换的有①③④，8. 如图所示的程序框图中，若f(x)＝x 2−x +1，g(x)＝x +4，且ℎ(x)≥m 恒成立，则m 的最大值是（ ）A.4B.3C.1D.0 【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：ℎ(x)={x 2−x +1x 2−x +1≥x +4x +4x 2−x +1≤x +4的值，数形结合求出ℎ(x)的最小值，可得答案． 【解答】由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：ℎ(x)={x 2−x +1x 2−x +1≥x +4x +4x 2−x +1≤x +4的值， 在同一坐标系，画出f(x)＝x 2−x +1，g(x)＝x +4的图象如下图所示：由图可知：当x ＝−1时，ℎ(x)取最小值3， 又∵ ℎ(x)≥m 恒成立， ∴ m 的最大值是3，9. 二次函数f(x)＝x 2+bx +c(b, c ∈R)，若c <0，且函数f(x)在[−1, 1]上有两个零点，求b +2c 的取值范围（ ） A.(−2, 2) B.(−2, 1) C.[−2, 1) D.(−1, 1) 【答案】 C【考点】二次函数的性质 函数零点的判定定理 二次函数的图象 【解析】由题意函数f(x)与x 轴有两个交点，则f(−1)≥0，f(1)≥0进而求解． 【解答】由题意f(x)与x 轴有2个交点，且f(x)min <0，函数f(x)在[−1, 1]上有两个零点，则{f(−1)=1−b +c ≥0f(1)=1+b +c ≥0 即{b ≤1+cb ≥−1−c ∵ c <0，∴ b +2c ≤1+c +2c ＝1+3c <1， b +2c ≥−1−c +2c ＝−1+c ，若b +2c ＝−2，则b ＝−2−2c 即{−2−2c ≤1+c −2−2c ≥−1−c 解得{c ≥−1c ≤−1 ∴ c ＝−1满足题意，10. 设函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2 ，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ） A.(16, 32) B.(18, 34) C.(17, 35) D.(6, 7) 【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】不妨设a <b <c ，利用f(a)＝f(b)＝f(c)，结合图象可得a ，b ，c 的范围，即可1求出 【解答】互不相等的实数a ，b ，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，可得a ∈(−∞, 0)，b ∈(0, 1)，c ∈(4, 5)， 则0<2a <1，0<2b <1，16<2c <32，2a+2b+2c∈(18, 34)11. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，记a＝−log23⋅f(log132)，b＝f(1)，c＝4f(0.52)，则（）A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c 【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】设g(x)=f(x)x ，∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，可得g(x)在(0, +∞)上单调递增，分别化简a，b，c，即可得出结论．【解答】设g(x)=f(x)x ，∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递增，∵a＝−log23⋅f(log132)＝g(log132)，b＝f(1)＝g(1)，c＝4f(0.52)＝g(0.52)，log132<0<0.52<1，∴c<a<b．故选：C．12. 函数f(x)＝−x3+a+1，x∈[1e, e]与g(x)＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A.[e, e3−3]B.[1, e2−4]C.[1, e3−3]D.[0, e3−4]【答案】D【考点】函数与方程的综合运用【解析】先求出函数g(x)关于x轴对称的函数，转化为f(x)与对称函数有交点，利用构造函数法，结合导数研究函数的最值即可．【解答】g(x)＝3lnx的图象关于x轴对称的函数解析式为−y＝3lnx，即y＝−3lnx，若f(x)与g(x)＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则等价为f(x)与y＝−3lnx在x∈[1e, e]上有交点，即−x3+a+1＝−3lnx，即a＝x3−3lnx−1，x∈[1e, e]有解即可，设ℎ(x)＝x3−3lnx−1，x∈[1e, e]，则ℎ′(x)＝3x2−3x =3(x3−1)x，当ℎ′(x)>0得1<x≤e，此时函数ℎ(x)为增函数，当ℎ′(x)<0得1e ≤x <1，此时函数ℎ(x)为减函数，即当x ＝1时，函数ℎ(x)取得极小值同时也是最小值ℎ(1)＝1−3ln1−1＝0， 当x =1e 时，ℎ(1e )＝(1e )3−3ln 1e −1＝(1e )3+2， 当x ＝e 时，ℎ(e)＝e 3−3lne −1＝e 3−4， 则ℎ(e)>ℎ(1e )，即ℎ(x)的取值范围是[0, e 3−4]， 则实数a 的取值范围是[0, e 3−4]， 故选：D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.已知命题p:∃x ∈R ，x 2+2ax +a ≤0，则命题p 的否定是________． 【答案】∀x ∈R ，x 2+2ax +a >0 【考点】 命题的否定 【解析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，写出命题的否定． 【解答】命题p:∃x ∈R ，x 2+2ax +a ≤0，则命题p 的否定是：∀x ∈R ，x 2+2ax +a >0，若函数f(x)＝log a (x +ax −4)的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(0, 1)∪(1, 4] 【考点】函数的值域及其求法 【解析】问题转化为x +ax −4可以取所有正数，a >0且a ≠1，由分类讨论和基本不等式可得． 【解答】∵ 函数f(x)＝log a (x +ax −4)的值域为R ， ∴ x +ax −4>0，a >0且a ≠1， 当a >0时，x +ax −4≥2√a −4，故只需2√a −4≤0即可， 解不等式可得a ≤4，综上可得a 的取值范围为：0<a ≤4且a ≠1．若直线y ＝kx +b 是曲线y ＝lnx +2的切线，也是曲线y ＝ln(x +1)的切线，则b ＝________． 【答案】 1−ln2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 【解答】设y ＝kx +b 与y ＝lnx +2和y ＝ln(x +1)的切点分别为(x 1, kx 1+b)、(x 2, kx 2+b)； 由导数的几何意义可得k =1x 1=1x2+1，得x 1＝x 2+1再由切点也在各自的曲线上，可得{kx 1+b =lnx 1+2kx 2+b =ln(x 2+1) 联立上述式子解得{k =2x 1=12x 2=−12；从而kx 1+b ＝lnx 1+2得出b ＝1−ln2．若△ABC 的内角A ，B 满足sinB sinA=2cos(A +B)，则当B 取最大值时，角C 大小为________． 【答案】2π3【考点】同角三角函数间的基本关系 基本不等式及其应用 【解析】已知等式变形后，利用同角三角函数间基本关系化简，利用基本不等式求出tanB 的最大值，进而求出B 的最大值，即可求出C 的度数． 【解答】已知等式变形得：sinB ＝2sinAcos(A +B)， ∴ sinB ＝2sinAcosAcosB −2sin 2AsinB ， ∴ tanB =2sinAcosA 1+2sin 2A=2tanA1+3tan 2A ，∵sinB sinA=2cos(A +B)=−2cosC >0，∴ C 为钝角，A 与B 为锐角，tanA >0， ∴ tanB =21tanA+3tanA ≤√33，当且仅当tanA=√33，即A =π6时取等号， ∴ (tanB)max =√33，即B 的最大值为π6，则C =2π3．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cosAcosB +ab =2c b求角B的大小；（2）若a＝1，b2＝ac，求△ABC的面积．【答案】（1）根据题意，△ABC中，有cosAcosB +ab=2cb，则有cosAsinB+cosBsinAcosBsinA=2sinCsinB，变形可得sin(A+B)cosBsinB =2sinCsinB，又由sin(A+B)＝sinC≠0，则cosB=12，又由B∈(0, π)，则B=π3；（2）根据题意，△ABC中有b2＝ac，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2−2ac⋅cosπ3=a2+c2−ac，故ac＝a2+c2−ac，变形可得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，故△ABC为正三角形，故SΛABC=√34．【考点】解三角形【解析】（1）根据题意，由正弦定理可得cosAsinB+cosBsinAcosBsinA =2sinCsinB，变形可得sin(A+B)cosBsinB=2sinCsinB，进而可得cosB的值，分析可得B的值；（2）根据题意，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2−2ac⋅cosπ3= a2+c2−ac，变形可得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，据此分析可得答案．【解答】（1）根据题意，△ABC中，有cosAcosB +ab=2cb，则有cosAsinB+cosBsinAcosBsinA=2sinCsinB，变形可得sin(A+B)cosBsinB =2sinCsinB，又由sin(A+B)＝sinC≠0，则cosB=12，又由B∈(0, π)，则B=π3；（2）根据题意，△ABC中有b2＝ac，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2−2ac⋅cosπ3=a2+c2−ac，故ac＝a2+c2−ac，变形可得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，故△ABC为正三角形，故SΛABC=√34．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2−2，S3＝a4−2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n an，求{b n}的前n项和T n．【答案】∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2−2，S3＝a4−2，∴S3−S2＝a4−2a2，即a3＝a4−2a2，∴q2−q−2＝0，解得q＝2或q＝−1（舍去）．又a1+a2＝2a2−2，∴a2＝a1+2，∴a1q＝a1+2，代入q＝2，解得a1＝2，∴a n=2×2n−1=2n．∵b n=na n =n2n，∴{b n}的前n项和：T n=12+222+323+⋯+n2n，①1 2T n=122+223+324+⋯+n2n+1，②①-②，得：1 2T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12=1−12n−n2n+1，∴T n＝2−n+22n．【考点】数列的求和【解析】（1）先求出a3＝a4−2a2，从而q2−q−2＝0，解得q＝2，再由a2＝a1+2，得a1＝2，从而求出数列{a n}的通项公式．（2）由b n=n an =n2，利用错位相减法能求出{b n}的前n项和．【解答】∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2−2，S3＝a4−2，∴S3−S2＝a4−2a2，即a3＝a4−2a2，∴q2−q−2＝0，解得q＝2或q＝−1（舍去）．又a1+a2＝2a2−2，∴a2＝a1+2，∴a1q＝a1+2，代入q＝2，解得a1＝2，∴a n=2×2n−1=2n．∵b n=na n =n2n，∴{b n}的前n项和：T n=12+222+323+⋯+n2n，①1 2T n=122+223+324+⋯+n2n+1，②①-②，得：1 2T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n )1−12=1−12n −n2n+1，∴ T n ＝2−n+22n．如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD // BC ，AD ＝3BC ＝6，PB =6√2，点M 在线段AD 上，且MD ＝4，AD ⊥AB ，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）当四棱锥P −ABCD 的体积最大时，求平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 【答案】由AD ＝6，DM ＝4，可得AM ＝2，得四边形ABCM 是矩形，∴ CM ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥CM ， 又，PM ，AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥平面PAD ， 又CM ⊂平面PCM ，∴ 平面PCM ⊥平面PAD ． 四棱锥P −ABCD 的体积为：V =13⋅12⋅(AD +BC)⋅AB ⋅PA =43⋅AB ⋅PA ，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只需AB ⋅PA 取得最大值． 由条件可得PA 2+AB 2＝PB 2＝72， ∴ 72≥2PA ⋅AB ，即PA ⋅AB ≤36，当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ⋅AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ． 则P(6, 0, 0)，C(0, 6, 2)，D(0, 0, 6)，M(0, 0, 2)， PC →=(−6,6,2)，PD →=(−6,0,6)，PM →=(−6,0,2)， 设平面PCD 的一个法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)，由n 1→⋅PC →=0，n 1→⋅PD →=0， 可得{−6x 1+6y 1+2z 1=0−6x 1+6z 1=0 ，令y 1＝2，得n 1→=(3,2,3)， 同理可得平面PCM 的一个法向量为n 2→=(1,0,3)， 设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ， 则cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=√10⋅√22=6√5555．由于平面PCM 与平面PCD 所成角为锐二面角， ∴ 平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值为6√5555．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出CM ⊥AD ，PA ⊥CM ，从而CM ⊥平面PAD ，由此能证明平面PCM ⊥平面PAD ．（2）四棱锥P −ABCD 的体积为V =13⋅12⋅(AD +BC)⋅AB ⋅PA =43⋅AB ⋅PA ，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只需AB ⋅PA 取得最大值．推导出当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ⋅AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ．利用向量法能求出平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 【解答】由AD ＝6，DM ＝4，可得AM ＝2，得四边形ABCM 是矩形，∴ CM ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥CM ， 又，PM ，AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥平面PAD ， 又CM ⊂平面PCM ，∴ 平面PCM ⊥平面PAD ． 四棱锥P −ABCD 的体积为：V =13⋅12⋅(AD +BC)⋅AB ⋅PA =43⋅AB ⋅PA ，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只需AB ⋅PA 取得最大值． 由条件可得PA 2+AB 2＝PB 2＝72， ∴ 72≥2PA ⋅AB ，即PA ⋅AB ≤36，当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ⋅AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ． 则P(6, 0, 0)，C(0, 6, 2)，D(0, 0, 6)，M(0, 0, 2)， PC →=(−6,6,2)，PD →=(−6,0,6)，PM →=(−6,0,2)， 设平面PCD 的一个法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)，由n 1→⋅PC →=0，n 1→⋅PD →=0， 可得{−6x 1+6y 1+2z 1=0−6x 1+6z 1=0 ，令y 1＝2，得n 1→=(3,2,3)， 同理可得平面PCM 的一个法向量为n 2→=(1,0,3)， 设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ， 则cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=√10⋅√22=6√5555．由于平面PCM 与平面PCD 所成角为锐二面角， ∴ 平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值为6√5555．已知函数f(x)＝x2+bsinx−2，(b∈R)，F(x)＝f(x)+2，且对于任意实数x，恒有F(x−5)＝F(5−x)．（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知函数g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0, 1)上单调，求实数a的取值范围；（3）函数ℎ(x)=ln(1+x2)−12f(x)−k有几个零点？【答案】由题设得：F(x)＝x2+bsinx，∵F(x−5)＝F(5−x)，∴F(−x)＝F(x)∴x2−bsinx＝x2+bsinx，∴bsinx＝0对于任意实数x都成立，∴b＝0∴f(x)＝x2−2．由g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx＝x2+2x+alnx，得g′(x)=2x+2+ax(x>0)g(x)在(0, 1)上恒单调，只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0, 1)上恒成立．即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0, 1)上恒成立．∴a≥−(2x2+2x)或a≤−(2x2+2x)在(0, 1)上恒成立．设u(x)＝−(2x2+2x)，x∈(0, 1)，易知：u(x)∈(−4, 0)，∴a≥0或a≤−4．令y=ln(1+x2)−12f(x)，y′=2x1+x2−x=−x(x+1)(x−1)1+x2，令y′＝0⇒x＝0或x＝1或x＝−1，列表如下：∴当k>ln2+12时，无零点；当k<1或k=ln2+12时，有两个零点；当k＝1时，有三个零点；1利用导数研究函数的极值【解析】（1）先表示出汗水F(x)的表达式，再根据F(x−5)＝F(5−x)求出b的值，进而可确定函数f(x)的解析式．（2）将（1）中求出的函数f(x)的解析式代入函数g(x)然后求导，将问题转化为g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0, 1)上恒成立．（3）对函数ℎ(x)进行求导，然后根据导函数的正负和原函数的单调性的关系判断函数的单调性，进而确定零点．【解答】由题设得：F(x)＝x2+bsinx，∵F(x−5)＝F(5−x)，∴F(−x)＝F(x)∴x2−bsinx＝x2+bsinx，∴bsinx＝0对于任意实数x都成立，∴b＝0∴f(x)＝x2−2．由g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx＝x2+2x+alnx，得g′(x)=2x+2+ax(x>0)g(x)在(0, 1)上恒单调，只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0, 1)上恒成立．即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0, 1)上恒成立．∴a≥−(2x2+2x)或a≤−(2x2+2x)在(0, 1)上恒成立．设u(x)＝−(2x2+2x)，x∈(0, 1)，易知：u(x)∈(−4, 0)，∴a≥0或a≤−4．令y=ln(1+x2)−12f(x)，y′=2x1+x2−x=−x(x+1)(x−1)1+x2，令y′＝0⇒x＝0或x＝1或x＝−1，列表如下：∴当k>ln2+12时，无零点；当k<1或k=ln2+12时，有两个零点；当k＝1时，有三个零点；当1<k<ln2+12时，有四个零点．已知函数f(x)＝(a+2)lnx+ax−x2．（1）讨论f(x)的单调性；32定义域为(0, +∞)， f ′(x)=a+2x+a −2x =−(x+1)(2x−a−2)x，当a ≤−2时，f ′(x)<0，f(x)在(0, +∞)上单调递减， 当a >−2时，由f ′(x)>0，得0<x <a+22，f(x)在(0,a+22)上单调递增，由f ′(x)<0，得x >a+22，f(x)在(a+22,+∞)上单调递减，综上，当a ≤−2时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)； 当a >−2时，f(x)的单调递减区间是(a+22,+∞)，单调递增区间是(0,a+22)．易知a >0， ①当0<a ≤2时，a+22≥a ，由（1）知，f(x)在(0, a)上单调递减，此时，f(x)在(0, a)上不存在最大值． ②当a >2时，f(x)在(0,a+22)上单调递增，在(a+22,a)上单调递减， 则f(x)max =f(a+22)=(a +2)lna+22+a(a+2)2−(a+22)2=(a +2)lna+22+a 2−44，故p(a)=(a +2)ln a+22+a 2−44(a >2)，设g(x)=(x +2)lnx+22+x 2−44(x >2)，则g ′(x)=1+lnx+22+x2，∵ x >2，∴ g ′(x)>0，∴ g(x)在(2, +∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(2)＝4ln2，即p(a)>4ln2．① ∵ 32a 2+a −4=12(3a −4)(a +2)，且a >2， ∴ 要证p(a)<32a 2+a −4，只需证ln a+22+a−24<3a−42，即证lna+22−5a−64<0，设ℎ(x)=lnx+22−5x−64(x >2)，则ℎ(x)=1x+2−54<0，则ℎ(x)在(2, +∞)上单调递减， 从而ℎ(x)<ℎ(2)＝ln2−1<0，即lna+22−5a−64<0，则p(a)<32a 2+a −4，②由①②可知，4ln2<p(a)<32a 2+a −4．【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）分类讨论，利用导数求函数的单调区间即可，注意函数的定义域为(0, +∞)；（2）从（1）中结论可知，当0<a ≤2时，f(x)在(0, a)上单调递减，不存在最大值；当a >2时，f(x)max =f(a+22)，再构造函数，结合导数，利用分析法证明即可．定义域为(0, +∞)， f ′(x)=a+2x+a −2x =−(x+1)(2x−a−2)x，当a ≤−2时，f ′(x)<0，f(x)在(0, +∞)上单调递减， 当a >−2时，由f ′(x)>0，得0<x <a+22，f(x)在(0,a+22)上单调递增，由f ′(x)<0，得x >a+22，f(x)在(a+22,+∞)上单调递减，综上，当a ≤−2时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)； 当a >−2时，f(x)的单调递减区间是(a+22,+∞)，单调递增区间是(0,a+22)．易知a >0， ①当0<a ≤2时，a+22≥a ，由（1）知，f(x)在(0, a)上单调递减，此时，f(x)在(0, a)上不存在最大值． ②当a >2时，f(x)在(0,a+22)上单调递增，在(a+22,a)上单调递减， 则f(x)max =f(a+22)=(a +2)lna+22+a(a+2)2−(a+22)2=(a +2)lna+22+a 2−44，故p(a)=(a +2)ln a+22+a 2−44(a >2)，设g(x)=(x +2)lnx+22+x 2−44(x >2)，则g ′(x)=1+lnx+22+x2，∵ x >2，∴ g ′(x)>0，∴ g(x)在(2, +∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(2)＝4ln2，即p(a)>4ln2．① ∵ 32a 2+a −4=12(3a −4)(a +2)，且a >2， ∴ 要证p(a)<32a 2+a −4，只需证ln a+22+a−24<3a−42，即证lna+22−5a−64<0，设ℎ(x)=lnx+22−5x−64(x >2)，则ℎ(x)=1x+2−54<0，则ℎ(x)在(2, +∞)上单调递减， 从而ℎ(x)<ℎ(2)＝ln2−1<0，即lna+22−5a−64<0，则p(a)<32a 2+a −4，②由①②可知，4ln2<p(a)<32a 2+a −4．请在第22、23、二题中任选一题作答，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)，直线l 的参数方程为{x =t y =−1+2√2t （t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点． (1)求圆心的极坐标；【答案】解：(1)由圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)， 化为ρ2=2√2(√22ρcosθ−√22ρsinθ)，把{x =ρcosθy =ρsinθ代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2−2x +2y =0，即(x −1)2+(y +1)2=2．∴ 圆心坐标为(1, −1)， ∴ 圆心极坐标为(√2,7π4)；(2)由直线l 的参数方程{x =ty =−1+2√2t（t 为参数），把t =x 代入y =−1+2√2t 可得直线l 的普通方程：2√2x −y −1=0， ∴ 圆心到直线l 的距离d =|2√2+1−1|3=2√23， ∴ |AB|=2√r 2−d 2=2√2−89=2√103，点P 直线AB 距离的最大值为r +d =√2+2√23=5√23，S max =12×2√103×5√23=10√59． 【考点】直线的参数方程参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 点到直线的距离公式 【解析】（1）由圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)，化为ρ2=2√2(√22ρcosθ−√22ρsinθ)，把{x =ρcosθy =ρsinθ代入即可得出． （2）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式可得|AB|=2√r 2−d 2，利用三角形的面积计算公式即可得出． 【解答】解：(1)由圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)， 化为ρ2=2√2(√22ρcosθ−√22ρsinθ)，把{x =ρcosθy =ρsinθ代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2−2x +2y =0，即(x −1)2+(y +1)2=2．∴ 圆心坐标为(1, −1)， ∴ 圆心极坐标为(√2,7π4)；x =t把t =x 代入y =−1+2√2t 可得直线l 的普通方程：2√2x −y −1=0， ∴ 圆心到直线l 的距离d =|2√2+1−1|3=2√23，∴ |AB|=2√r 2−d 2=2√2−89=2√103，点P 直线AB 距离的最大值为r +d =√2+2√23=5√23，S max =12×2√103×5√23=10√59． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝m −|x −1|−2|x +1|． （1）当m ＝5时，求不等式f(x)>2的解集；（2）若二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围． 【答案】当m ＝5时，f(x)={3x +6,x <−1−x +2,−1≤x ≤14−3x,x >1，由f(x)>2结合函数的单调性易得不等式解集为 (−43,0)； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x ＝−1处取得最小值2， 而 f(x)={3x +1+m,x <−1−x −3+m,−1≤x ≤1−3x +m −1,x >1在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，只需m −2≥2， 即m ≥4． 【考点】绝对值三角不等式 【解析】（1）将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数的单调性和不等式的特点即可确定不等式的解集；（2）首先求得二次函数的最小值和f(x)的最大值，据此得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得最终结果． 【解答】当m ＝5时，f(x)={3x +6,x <−1−x +2,−1≤x ≤14−3x,x >1，由f(x)>2结合函数的单调性易得不等式解集为 (−43,0)； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x ＝−1处取得最小值2， 而 f(x)={3x +1+m,x <−1−x −3+m,−1≤x ≤1−3x +m −1,x >1在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，只需m −2≥2，。
2020届北京市第171中学高三10月月考数学试题(解析版)
2020届北京市第171中学高三10月月考数学试题一、单选题1．如果集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A ，则=U C A （ ） A.φ B.{1,2,3,4}C.{2,4}D.{1,3}【答案】D【解析】根据补集的定义写出运算结果 【详解】集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A={1,3}U C A 则,故选D .【点睛】本题考查补集的运算,对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作C U A.2．已知平面向量a ,b 满足||3a =,||2b =,a 与b 的夹角为120︒,若()a mb a +⊥,则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】A 【解析】【详解】分析：由()a mb a +⊥，可得（a +m b ）•a =0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出．详解: ∵|a |=3，|b |=2，a 与b 的夹角为120°， ∴a b ⋅=a b cos120°=1322⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭=﹣3． ∵（a +m b ）⊥a ，∴（a +m b ）•a =2a ma b +⋅=32﹣3m=0，解得m=3． 故选：D ．点睛：本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3．在ABC △中，60A ︒=，4AC =，BC =ABC △的面积为（）A ．B ．4C ．D ．【答案】C【解析】首先利用余弦定理求出2AB =，利用三角形面积计算公式即可得出． 【详解】由余弦定理可得：2224(24cos 60AB AB =+-⨯⨯︒， 化为：2440AB AB -+=，解得2AB =，∴ABC △的面积1sin 422212S AC AB A =⋅⋅=⨯⨯⨯=， 故选C ． 【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．已知0.21.5a =，0.2log 1.5b =， 1.50.2c =，则（ ） A.a b c >> B.b c a >> C.c a b >> D.a c b >>【答案】D【解析】由题意结合指数函数的性质和对数函数的性质比较a,b,c 的大小即可. 【详解】由指数函数的性质可知：0.21.51a =>，()1.50.20,1c =∈，由对数函数的性质可知0.2log 1.50b =<， 据此可得：a c b >>. 本题选择D 选项. 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5．标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是 （lg30.477≈）A ．3710-B ．3610-C ．3510-D ．3410-【答案】B【解析】根据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.810000lg lg lg lg =-=⨯-⨯≈-，即可得36135.8523 1010000-≈，分析选项即可得答案． 【详解】据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.810000lg lg lg lg =-=⨯-⨯≈-，即可得36135.8523 1010000-≈ 分析选项：B 中3610-与其最接近， 故选B. 【点睛】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质． 6．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ）A ．12B C ．2D ．2【答案】A【解析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论。
2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)(含答案)
2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。
2019-2020学年辽宁省丹东市高三(上)10月月考数学试卷(理科)(解析版)
2019-2020学年辽宁省丹东市高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3} 2．设复数z满足（1+i）z＝2i，则z的共轭复数＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，X表示抽到的二等品件数，则EX＝（）A．1B．0.98C．0.8D．0.14．四个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（）A．18种B．12种C．8种D．6种5．设D为△ABC所在平面内一点，若＝2，则＝（）A．+B．﹣C．﹣+D．+6．函数f（x）＝3x﹣3﹣x是（）A．奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数B．奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数C．偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数D．偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数7．已知α是第三象限的角，若cosα＝﹣，则tan（+）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．28．函数f（x）＝（cos x﹣1）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．9．已设a，b都是正数，则“log a3＜log b3”是“3a＞3b＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件10．已知单位向量，，满足+＝，那么与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°11．若sin（x+）+cos（x﹣）＝，则sin（2x+）＝（）A．B．C．﹣D．﹣12．若函数f（x）＝恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．[，1）B．（1，2]C．（0，）∪[2，+∞）D．[，1）∪[2，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在（1﹣x）4的展开式中，含x3项的系数是，各项系数和是．14．已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，则f′（﹣1）＝．15．△ABC中，AB＝2，BC＝，cos A＝，则AC＝．16．已知函数f（x）＝（4﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，则a+b＝，f（x）的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设函数f（x）＝sin x﹣2cos x+3．（1）若点（α，3）是f（x）图象的一个对称中心，求tanα；（2）当x＝β时，f（x）取得最小值，求cosβ．18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin＝a sin B．（1）求A；（2）若b＝2，c＝3，∠BAC平分线AD交BC于点D，求AD的长．20．已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．（1）证明：f（4+x）＝f（x）；（2）若f（1）＝2，求式子f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）的值．21．已知函数，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ＝．（1）求C1的极坐标方程；（2）将曲线x2+y2＝13上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线C3，若C2与C1的交点为A（异于坐标原点O），C2与C3的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+a2+3|+|x﹣2a|．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）证明：f（x）≥2，并指出等号的成立条件．2019-2020学年辽宁省丹东市高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3}【解答】解：∵∁U A＝{﹣1，3}，∴（∁U A）∩B＝{﹣1，3}∩{﹣1，0，l}＝{﹣1}故选：A．2．设复数z满足（1+i）z＝2i，则z的共轭复数＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2i，∴z＝＝＝i（1﹣i）＝1+i，∴z的共轭复数为＝1﹣i．故选：D．3．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，X表示抽到的二等品件数，则EX＝（）A．1B．0.98C．0.8D．0.1【解答】解：由题意知，随机变量X服从二项分布，即X～B（50，0.02），故E（X）＝50×0.02＝1．故选：A．4．四个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（）A．18种B．12种C．8种D．6种【解答】解：相邻问题运用捆绑法，甲乙捆绑，再与其它2人，全排，故甲、乙二人相邻的不同排法共A22•A33＝12种．故选：B．5．设D为△ABC所在平面内一点，若＝2，则＝（）A．+B．﹣C．﹣+D．+【解答】解：由于，所以，所以．故选：C．6．函数f（x）＝3x﹣3﹣x是（）A．奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数B．奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数C．偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数D．偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数【解答】解：∵f（x）＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣（3x﹣3﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）＝3x﹣3﹣x为奇函数，故可排除C，D；又f′（x）＝3x ln3﹣[（3﹣x ln3）×（﹣1）]＝ln3（3x+3﹣x）＞0，∴f（x）＝3x﹣3﹣x在（﹣∞，+∞）上是增函数，A符合题意，可排除B；故选：A．7．已知α是第三象限的角，若cosα＝﹣，则tan（+）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．2【解答】解：α是第三象限的角，cosα＝﹣，∴sinα＝，∴tan＝＝＝﹣3，则tan（+）＝＝．故选：B．8．函数f（x）＝（cos x﹣1）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：，易知，函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AB选项，观察CD选项，显然D选项正确．故选：D．9．已设a，b都是正数，则“log a3＜log b3”是“3a＞3b＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由log a3＜log b3，得，＜，得0＜b＜a＜1或0＜a＜1＜b或a＞b＞1，由3a＞3b＞3，得a＞b＞1，∴“log a3＜log b3”是“3a＞3b＞3”的必要不充分条件．故选：B．10．已知单位向量，，满足+＝，那么与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：单位向量，，满足+＝，那么＝﹣，则＝3﹣2•+，化简得2•＝3，解得•＝，所以cosθ＝＝；又θ∈[0°，180°]，所以与的夹角为30°．故选：A．11．若sin（x+）+cos（x﹣）＝，则sin（2x+）＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sin（x+）+cos（x﹣），＝sin[（x）+cos（x﹣），＝2cos（x﹣）＝，∴sin（x+）＝cos（x﹣）＝，则cos（2x+）＝1﹣2＝1﹣2×＝，∵cos（2x+）＝cos[（2x+）+]，＝﹣sin（2x+）＝，故sin（2x+）＝﹣．故选：C．12．若函数f（x）＝恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．[，1）B．（1，2]C．（0，）∪[2，+∞）D．[，1）∪[2，+∞）【解答】解：设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），若在x＜1时，h（x）＝2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）＝2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在（1﹣x）4的展开式中，含x3项的系数是﹣4，各项系数和是0．【解答】解：在（1﹣x）4的展开式中，T r+1＝＝（﹣1）r x r，当r＝3时，含x3项的系数是：（﹣1）3＝﹣4，在（1﹣x）4的展开式中，各项系数和是（1﹣1）4＝0．故答案为：﹣4，0．14．已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，则f′（﹣1）＝2．【解答】解：根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝ln（﹣x）﹣3×（﹣x）＝ln（﹣x）+3x，又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝ln（﹣x）+3x，则f′（x）＝+3，则有f′（﹣1）＝+3＝2；故答案为：2．15．△ABC中，AB＝2，BC＝，cos A＝，则AC＝3．【解答】解：在△ABC中，AB＝2，BC＝，cos A＝，设AC＝x，利用余弦定理，整理得3x2﹣8x﹣3＝0，解得x＝3或﹣（负值舍去）．故答案为：316．已知函数f（x）＝（4﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，则a+b＝﹣4，f（x）的最大值为16．【解答】解：由4﹣x2＝0可得x＝2或x＝﹣2，即（2，0），（﹣2，0）是函数的零点，∵f（x）＝（4﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，故（2，0），（﹣2，0）关于x＝1对称的点（0，0），（4，0）也是函数的零点，故0，4是x2+ax+b＝0的根，故b＝0，a＝﹣4，a+b＝﹣4，又f（x）＝（4﹣x2）（x2﹣4x），∴f′（x）＝﹣4（x﹣1）（x2﹣2x﹣4），令f′（x）＝﹣4（x﹣1）（x2﹣2x﹣4）＞0可得，当x或1﹣，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当1或x时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，又当x→∞时，f（x）＜0，f（1+）＝f（1﹣）＝16．故答案为：﹣4，16．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设函数f（x）＝sin x﹣2cos x+3．（1）若点（α，3）是f（x）图象的一个对称中心，求tanα；（2）当x＝β时，f（x）取得最小值，求cosβ．【解答】解：（1）∵f（x）＝sin x﹣2cos x+3＝（x+φ）+3，∵（α，3）是f（x）图象的一个对称中心，∴sin（α+φ）＝0，∴f（α）＝3，可得sinα＝2cosα，∴tanα＝2，（2）由题意可得，f（β）＝3﹣，∴sinβ﹣2cosβ＝，①∵x＝β时，f（x）取得最小值，∴x＝β时，f（x）取得极小值，故f′（β）＝0，∵f′（x）＝cos x+2sin x，∴cosβ+2sinβ＝0，②①②联立可得，cosβ＝，18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．用B配方生产的产品平均一件的利润为×[4×（﹣2）+54×2+42×4]＝2.68（元）．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin＝a sin B．（1）求A；（2）若b＝2，c＝3，∠BAC平分线AD交BC于点D，求AD的长．【解答】解：（1）∵b sin＝a sin B，∴由正弦定理可得sin B sin＝sin A sin B，∵sin B≠0，∴sin＝sin A，∵A+B+C＝180°，∴sin＝cos，∴cos＝2sin cos，∵cos≠0，∴sin＝，∴A＝60°．（2）∵b＝2，c＝3，A＝60°，∴S△ABC＝b•c•sin A＝，S△ABD＝b•AD•sin30°＝AD，S△ACD＝b•AD•sin30°＝AD，∴由AD+AD＝，可得AD＝．20．已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．（1）证明：f（4+x）＝f（x）；（2）若f（1）＝2，求式子f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）的值．【解答】解：（1）证明：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f （x），又由f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得：f（x+4）＝f（x），即可得证明；（2）由（1）的结论，f（x+4）＝f（x），又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，则f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0+（﹣2）+0＝0，则有f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]×12+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2．21．已知函数，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f（x）的导函数为，………………所以f'（1）＝1﹣a．依题意，有，即，………………解得a＝1．………………（Ⅱ）由（Ⅰ）得．当0＜x＜1时，1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，所以f'（x）＞0，故f（x）单调递增；当x＞1时，1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，所以f'（x）＜0，故f（x）单调递减．所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．………………因为，所以f（x）最大值为f（1）＝﹣1．………………设，其中b＞1．………………则，故h（b）在区间（1，+∞）上单调递增．………………所以h（b）＞h（1）＝0，即，………………故f（x）最小值为．………………[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ＝．（1）求C1的极坐标方程；（2）将曲线x2+y2＝13上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线C3，若C2与C1的交点为A（异于坐标原点O），C2与C3的交点为B，求|AB|．【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数α，可得C1的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ；（2）由题意可得曲线C3，x2+（2y）2＝13，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，化简得C3的极坐标方程为ρ2+3ρ2sin2θ＝13．将θ＝分别代入ρ＝2cosθ与ρ2+3ρ2sin2θ＝13．得A，B两点的极径ρ1＝1，ρ2＝2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|2﹣1|＝1．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+a2+3|+|x﹣2a|．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）证明：f（x）≥2，并指出等号的成立条件．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|x+4|+|x+2|＝，∵f（x）＞3，∴或，∴或，∴不等式的解集为{x|或}；（2）f（x）＝|x+a2+3|+|x﹣2a|≥|（x+a2+3）﹣（x﹣2a）|＝|a2+2a+3|，∵a2+2a+3＝（a+1）2+2≥2，∴f（x）≥2，此时等号成立的条件是a＝﹣1，﹣4≤x≤﹣2．。
2024北京人大附中高三10月月考数学
2024北京人大附中高三10月月考数 学命题人：薛坤 陈佳杰 审题人：杨良庆 吴文庆说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =−−<==∈Z 则AB =（ ）A ．()2,4−B ．[)0,4C ．[]0,1D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（ ）A ．()1f x x=B ．()cos f x x =C ．()13f x x =− D ．()xxf x e e −=−3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（ ）A ．bB C ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin,cos 33P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（ ） A ．π6−B ．π6C ．π3− D ．π35．已知函数()9lg 1f x x x =−+，则()0f x >的解集为（ ） A ．()0,10 B ．()1,10C ．()()0,110,+∞ D ．()(),110,−∞+∞6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x −是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（ ）A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G OL L D=，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg 20.3010=） A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b>”是“2256a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=−≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫⎪⎝⎭．则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（ ）A ．12±B．2± C．2±D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx −的在()00,x 上的极大值点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数()f x =的定义域为______12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫−≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为______． 13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωω⎛⎫−=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=______． 14．已知函数()()ln 1f x x k =+−有两个零点,()a b a b <，则()21ab ++的取值范围为______．15．已知函数()12(0)f x x ax a =++−>定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论： ①()M a 的最小值为1； ②()M a 的最大值为3；③()f x 在(),1−∞−上单调递减；④a 只有唯一值使得()y f x =的图象有一条垂直于x 轴的对称轴． 其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ．（1）求{}n a 的通项公式：（2）若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ． 17．（本小题13分）已知函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωωωϕ⎛⎫=−>< ⎪⎝⎭．（1）若()02f =−，求ϕ的值； （2）已知()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2π13f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值．①5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π132f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭； ③()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 18．（本小题14分） 已知函数()32243f x x x x a =+−+ （1）若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4−的切线方程； （2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在[]1,2−上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．（本小题15分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）（1）根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 20．（本小题15分） 已知函数()()2xf x exx =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a y g x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =−． （1）求()1g x 的解析式；（2）当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由； （3）若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a−>−成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．（本小题15分）已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i X X x x x x i n Ω==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()411n Y k n →∈Ω≤≤−； 进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N “10月变换”的结果上再进1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．（1）若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到42,Y Z ∈Ω∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．（2）对于()1000,0,,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,,0,1Y =⋅⋅⋅∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．（3）证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
西江中学高三数学10月月考试题(理科)
西江中学2019届高三数学10月月考试题（理科）西江中学2019届高三数学10月月考试题（理科）参考公式：独立性检验：设随机变量(其中)是由观测样本的22列联表所得到的随机变量，则的计算值对应的概率如下表所示：P(K20.500. 400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828选择题：1.设全集，则A.{1}B.{l,2}C.{0,1,2}D.{一1,0,1,2}2.复数满足,则在复平面上复数对应的点位( )第一象限第二象限第三象限第四象限3. 下列函数中，既是奇函数又是在定义域上是减函数的为( ).A. B. C. D.4. 在中，若，则( ).A. B. C. D.5.如图右所示，该程序运行后输出的结果为()A.14B.16C.18D.646.如图1，、分别是正方体中、上的动点(不含端点)，则四边形的俯视图可能是A. B. C. D.7.现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为( )A.232种B.252种C.472种D.484种8.在区间上随机取两个数，其中满足的概率是( )A. B. C. D.二、填空题：9. 不等式的解集是.10. .11. 已知平面向量，，若，则实数.12. 若，满足约束条件，则的最大值是.13. 曲线在点处的切线方程为.选做(两题任选做一题)14. 以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点的极坐标为，曲线的参数方程为，则曲线上的点B与点A距离的最大值为.15. 如图,在中,斜边,直角边,如果以C为圆心的圆与AB相切于,则的半径长为。
解答题：(本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)16. (本小题满分12分)已知、都是锐角，，，⑴求和的值;⑵求和的值。
2020届北京市第171中学高三10月月考数学试题(解析版)-含答案
2020届北京市第171中学高三10月月考数学试题一、单选题1．如果集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A ，则=U C A （ ） A.φ B.{1,2,3,4}C.{2,4}D.{1,3}【答案】D【解析】根据补集的定义写出运算结果 【详解】集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A={1,3}U C A 则,故选D .【点睛】本题考查补集的运算,对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作C U A.2．已知平面向量a ,b 满足||3a =,||2b =,a 与b 的夹角为120︒,若()a mb a +⊥,则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】A 【解析】【详解】分析：由()a mb a +⊥，可得（a +m b ）•a =0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出．详解: ∵|a |=3，|b |=2，a 与b 的夹角为120°， ∴a b ⋅=a b cos120°=1322⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭=﹣3． ∵（a +m b ）⊥a ，∴（a +m b ）•a =2a ma b +⋅=32﹣3m=0，解得m=3． 故选：D ．点睛：本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3．在ABC △中，60A ︒=，4AC =，BC =，则ABC △的面积为（）A ．B ．4C ．D ．【答案】C【解析】首先利用余弦定理求出2AB =，利用三角形面积计算公式即可得出． 【详解】由余弦定理可得：2224(24cos 60AB AB =+-⨯⨯︒， 化为：2440AB AB -+=，解得2AB =，∴ABC △的面积1sin 42212S AC AB A =⋅⋅=⨯⨯=， 故选C ． 【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．已知0.21.5a =，0.2log 1.5b =， 1.50.2c =，则（ ） A.a b c >> B.b c a >> C.c a b >> D.a c b >>【答案】D【解析】由题意结合指数函数的性质和对数函数的性质比较a,b,c 的大小即可. 【详解】由指数函数的性质可知：0.21.51a =>，()1.50.20,1c =∈，由对数函数的性质可知0.2log 1.50b =<， 据此可得：a c b >>. 本题选择D 选项. 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5．标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是 （lg30.477≈） A ．3710- B ．3610- C ．3510- D ．3410-【答案】B【解析】根据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.810000lg lg lg lg =-=⨯-⨯≈-，即可得36135.8523 1010000-≈，分析选项即可得答案． 【详解】据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.810000lg lg lg lg =-=⨯-⨯≈-，即可得36135.8523 1010000-≈ 分析选项：B 中3610-与其最接近， 故选B. 【点睛】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质． 6．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ）A ．12BC ．2D ．2【答案】A【解析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论。
2024-2025学年北京市海淀区高三上学期10月月考数学试题及答案
数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（ ）A. 0B. 1- C. 0或1- D. 0或12. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n=- D. 2122n S n n =-3. 已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（ ）A. a b c << B. b a c <<C. a c b<< D. b c a<<4. 设()()1i 21i z -=+，则z =（ ）A.B. 1C.D. 25. 下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ）A. y =B. 21y x =C. lg y x =D. 332x xy --=6. 已知向量()3,4a = ，()1,0b = ，c a tb =+ ，若,,a c b c = 则实数t =（ ）A. 6- B. 5- C. 5D. 67. 函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ）A. 若0a b +=，则()f x 为奇函数 B. 若π2a b +=，则()f x 为偶函数C. 若π2b a -=，则()f x 偶函数 D. 若πa b -=，则()f x 为奇函数8. 已知函数()0x f x x <=≥⎪⎩，若对任意的1x ≤有()()20f x m f x ++>恒成立，则实数m 的取值为范围是（ ）A. (),1∞-- B. (],1-∞- C. (),2-∞- D. (],2-∞-9. 已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b满足2430b e b -⋅+=，则a b - 的最小值是A1-B.1+ C. 2D. 2-10.已知函数()f x k =+，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A. (1,)-+∞ B. (1,0]- C. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.12. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．13. 若命题“对任意2R,20x ax x a ∈++≥为假命题的a 的取值范围是______14. 若函数()()cos sin 0f x A x x A =->最大值为2，则A =________，()f x 的一个对称中心为_______15. 对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有___________.①()2f x x =-+②()[]()sin 0,2πf x x x =∈③()1f x x x=+，（x ∈(0,+∞)）④()()ln 1f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC V中，sin A B =，b =．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作.的为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B 的大小；（2）求ABC V 的面积．条件①：4c =；条件②：222b a c -=；条件③：cos sin a B b A =．17. 已知n S 是等差数列{a n }的前n 项和，51120S a ==，数列{b n }是公比大于1的等比数列，且236b b =，4212b b -=.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设nn nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值.18. 已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．19. 1.已知函数()21exax x f x +-=，0a ≥.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，求证：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点.20. 已知函数()e sin 2xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对R x ∈恒成立，写出a 最大整数值，并说明理由.21. 已知数列{a n }记集合()(){}*1,,,1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈N （1）对于数列{a n }：1,2,3，列出集合T 的所有元素；（2）若2n a n =是否存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件,i j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.m B b b b 若的的b m ≤0202，求m 的最大值数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（ ）A. 0B. 1- C. 0或1- D. 0或1【答案】C 【解析】【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论213-=-m 和33m -=-两种情况，求解m 并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，3M -∈ ，213m ∴-=-或33m -=-，当213-=-m 时，1m =-，此时{}3,4M =--；当33m -=-时，0m =，此时{}3,1M =--；所以1m =-或0.故选：C2. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n=- D. 2122n S n n =-【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．3. 已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（ ）A. a b c << B. b a c <<C. a c b << D. b c a<<【答案】B 【解析】【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.【详解】由条件可知，()1.50.30,1a =∈， 1.5log 0.30b =<，0.31.51>，所以b a c <<.故选：B4. 设()()1i 21i z -=+，则z =（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】利用复数除法法则计算出()21i 2i 1iz +==-，求出模长.【详解】()()22221i 21i 12i i 2i 1i 1iz ++===++=--，故2z =.故选：D5. 下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ）A. y =B. 21y x =C lg y x= D. 332x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．【详解】选项A，y =(0,)+∞上的增函数，错误；.选项B ，21y x =是偶函数，是区间(0,)+∞上的减函数，错误；选项C ，lg y x =是偶函数，是区间(0,)+∞上的增函数，正确；选项D ，332x xy --=是奇函数，是区间(0,)+∞上的增函数，错误；故选：C6. 已知向量()3,4a = ，()1,0b = ，c a tb =+ ，若,,a c b c = 则实数t =（ ）A. 6-B. 5- C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】由向量坐标的运算求出向量c的坐标，再根据,,a c b c = ，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数t 的值．【详解】由()3,4a = ，()1,0b = ，则()3,4c a tb t =+=+，又,,a c b c = ，则cos ,cos ,a c b c =，则a c b c a c b c ⋅⋅=⋅⋅ ，即a b a bc c⋅⋅=，31t+=，解得5t =，故选：C.7. 函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ）A. 若0a b +=，则()f x 为奇函数 B. 若π2a b +=，则()f x 为偶函数C. 若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D. 若πa b -=，则()f x 为奇函数【答案】B 【解析】【分析】根据选项中,a b 的关系，代入()f x 的解析式，对AD 用特值说明()f x 不是奇函数，对BC 用奇偶性的定义验证即可.【详解】()f x 的定义域为R ，对A ：若0a b +=，()()()cos sin f x x a x a =++-，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f a a =-=不恒成立，故()f x 不是奇函数；对B ：若π2a b +=，()()()()πcos sin cos cos 2f x x a x a x a x a ⎛⎫=+++-=++- ⎪⎝⎭，()()()()()cos cos cos cos ()f x x a x a x a x a f x -=-++--=-++=，故()f x 偶函数，B 正确；对C ：若π2b a -=，()()()πcos sin 2cos 2f x x a x a x a ⎛⎫=++++=+ ⎪⎝⎭，()()2cos ()f x x a f x -=-+≠，故()f x 不是偶函数，故C 错误；对D ：若πa b -=，()()()()()cos πsin cos sin f x x b x b x b x b =++++=-+++，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f b b =-+=不恒成立，故()f x 不是奇函数；故选：B8. 已知函数()0x f x x <=≥⎪⎩，若对任意的1x ≤有()()20f x m f x ++>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. (),1∞-- B. (],1-∞- C. (),2-∞- D. (],2-∞-【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数的定义证明()f x 为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得m 的取值范围.【详解】当0x <时，0x ->，()f x =()()f x f x -==-，当0x >时，0x -<，()f x =()()f x f x -==-，当0x =时，()00f =，所以对任意的R x ∈，()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，又当0x >时，()f x =为单调递减函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递减函数，所以不等式()()20f x m f x ++>可化为()()2f x m f x +>-，为所以2x m x +<-，所以x m <-，由已知对任意的1x ≤有x m <-恒成立，所以1m <-，即1m <-，故m 的取值范围是(),1∞--.故选：A.9. 已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是A.1B.1+ C. 2D. 2-【答案】A 【解析】【分析】先确定向量a、b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =11.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10.已知函数()f x k =+，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A. (1,)-+∞ B. (1,0]- C. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即得1010a kb k ⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩方程20x x k --=的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．【详解】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即可得到1010a kb k ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩，20x x k --=两个不同非负实根，所以1400k k ∆=+>⎧⎪=-≥，解得104k -<≤．故选：D ．【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由三角函数定义得到1cos 2α=，再由诱导公式求出答案.【详解】由三角函数定义得1cos 2α=，由诱导公式得1cos 2πsin 2αα⎛⎫= ⎪⎭=+⎝.故答案为：1212. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．【答案】63-【解析】【分析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和的公式求得6S 的值.【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.13. 若命题“对任意2R,20x ax x a ∈++≥为假命题的a 的取值范围是______【答案】1a <【解析】【分析】写出全称量词命题的否定，2R,20x ax x a ∃∈++<为真命题，分0a =，0a <和0a >三种情况，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得2R,20x ax x a ∃∈++<为真命题，当0a =时，不等式为20x <，有解，满足要求，当0a ≠时，若0a <，此时220ax x a ++<必有解，满足要求，若0a >，则2440a ∆=->，解得01a <<，综上，a 的取值范围为1a <.故答案为：1a <14. 若函数()()cos sin 0f x A x x A =->的最大值为2，则A =________，()f x 的一个对称中心为_______【答案】 ①. ②. π,03⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】根据辅助角公式对函数()f x 进行化简，再根据最大值求出A ，最后利用余弦型函数求出对称中心.【详解】由()cos sin f x A x x x ϕ=-=+（），其中1tan A ϕ=，又函数()f x 的最大值为22=，又0A >，则A =，tan ϕ=，不妨取π6ϕ=，故()π2cos 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的对称中心满足πππ62x k +=+，k ∈Z ，解得ππ3x k =+，k ∈Z ，即()f x 的对称中心为ππ,03k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，则()f x 的一个对称中心可为：π,03⎛⎫⎪⎝⎭，π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案不唯一）15. 对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有___________.①()2f x x =-+②()[]()sin 0,2πf x x x =∈③()1f x x x=+，（x ∈(0,+∞)）④()()ln 1f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】①. ①②④ ②. 0a ＞或a e ≤-．【解析】【分析】（1）令12x x -=，由0∆=，可判断；由sin x =1x 有解，可判断是否具有性质P ；令1+x x=1x ，此方程无解，由此可判断；由()1ln 1,x x y y =+=两图象在()1，-+∞有交点可判断；（2）问题转化为方程1ln x x a =有根，令()ln g x x x =，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单调性及最值，由此可求得实数a 的取值范围．【详解】解：（1）在0x ≠时， ()1f x x =有解，即函数具有性质P ，令12x x-= ，即2210x -+-=，∵880∆=-=，故方程有一个非0实根，故()2f x x =-+ 具有性质P ；()()sin ]02[f x x x π=∈，的图象与1y x=有交点，故sin x =1x有解，故()()sin ]02[f x x x π=∈，具有性质P ；令1+x x =1x ，此方程无解，故()1f x x x=+，（x ∈(0,+∞)）不具有性质P ；令()1ln 1x x +=，则由()1ln 1,x x y y =+=两图象在()1，-+∞有交点，所以()1ln 1x x +=有根，所以()()ln 1f x x =+具有性质P ；综上所述，具有性质P 的函数有：①②④；（2）()ln f x a x =具有性质P ，显然0a ≠，方程1ln x x a =有根，令()ln g x x x =，则()'ln +1g x x =，令()'ln +10g x x ==，解得1=x e ，当11x e -<<时，()'0g x <，所以()g x 在11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，当1>x e 时，()'>0g x ，所以()g x 在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()1111ln g x g e e e e⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，所以()ln g x x x =的值域[1e -，+∞），∴11a e ≥-，解之可得：0a ＞或a e ≤-．故答案为：①②④；0a ＞或a e ≤-．【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC V 中，sin A B =，b =．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B 的大小；（2）求ABC V 的面积．条件①：4c =；条件②：222b a c -=；条件③：cos sin a B b A =．【答案】（1）选②或③，4B π=； （2）ABC V 的面积为1.【解析】【分析】（1）选①，利用三边关系可判断ABC V 不存在；选②：利用余弦定理可求得角B 的值；选③：利用正弦定理可求得tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用余弦定理可求得c 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积．【小问1详解】解：因为sin A B =，b =，则2a ==.选①：因为4c =，则a b c +<，则ABC V 不存在；选②：因为222b a c -=，则222a c b +-=，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-==，()0,B π∈ ，则4B π=；选③：cos sin a B b A = ，则sin cos sin sin A B A B =，A 、()0,B π∈，则sin 0A >，sin cos 0B B =>，故tan 1B =，从而4B π=.【小问2详解】解：因为4B π=，2a =，b =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即220c -+=，解得c =，因此，11sin 2122ABC S ac B ==⨯=△.17. 已知n S 是等差数列{a n }的前n 项和，51120S a ==，数列{b n }是公比大于1的等比数列，且236b b =，4212b b -=.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设n n nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值.【答案】（1）22n a n =-，2n n b =（2）3或4【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项及前n 项和公式求出首项与公差，即可求出数列{a n }的通项公式，再求出数列{b n }的首项与公比，即可得{b n }的通项公式；（2）先求出{}n c 的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.【小问1详解】设等差数列{a n }的公差为d ，则511115452021020S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得10,2a d ==，所以22n a n =-，设等比数列{b n }的公比为()1q q >，则()2251131112b q b q b q b q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以2n n b =；【小问2详解】由（1）得()()2212n n n S n n -==-，则()12n n nn n n S c b -==，()()2111113222n n n n n n n n n n n c c ++++---=-=，当1,2n =时，11230,n n c c c c c +-><<，当3n =时，1340,n n c c c c +-==，当4n ≥时，1450,n n n c c c c c +->> ，所以当3n =或4时，n c 取得最大值.18. 已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）π，()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[]0,3【解析】【分析】（1）化简函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，以π26x -为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π313()6cos sin 6cos cos 6222f x x x x x x ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()231cos 231π3sin cos 3cos 2332cos 23sin 222226x f x x x x x x x x ⎫+⎛⎫=-+-⨯+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Î，则ππππ,Z 63k x k k -+££+Î，∴函数()f x 单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】令()0y f x a =-=，即π3sin 206x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，则方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，若π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin 2[0,1]6x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴013a ≤≤，得03a ≤≤故实数a 的取值范围是[]0,3．的19. 1.已知函数()21ex ax x f x +-=，0a ≥.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，求证：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点.【答案】（1）当0a =时，()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-；当0a >时，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求出导数，然后通过对a 分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性；（2）结合第一问的结果，判断出函数在()0,1上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明【小问1详解】()()()12e x ax xf x -+-'==，当0a =时，()()2e x x f x --'=，由()0f x '>得：2x <，由()0f x '<，得：2x >，故此时()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-当0a >时，令()()()120g x ax x =-+-=得：x =−1a <0或2x =由()0g x >得：12x a-<<，此时()0f x '>由()0g x <得：1x a <-或2x >，此时()0f x '<故此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上：当0a =时，()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-；当0a >时，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知，当0a >时，()f x 的单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而()1,20,1a ⎛-⊂⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,1上单调递增，又()010f =-<，()10ea f =>所以()()010f f ⋅<，由零点存在性定理可得：：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点20. 已知函数()e sin 2xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对R x ∈恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由.【答案】（1）y x =-（2）()max sin12ef x =- （3）2-，理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数在0x =处的导数，即切线斜率，求出(0)f ，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间[1,1]-上的单调性，求出最值即可；（3）将不等式等价转化为sin e x x a x <-在R x ∈上恒成立.构造函数()sin e xx x x ϕ=-，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.【小问1详解】因为()e sin 2x f x x x =-，所以()()e sin cos 2x f x x x =+-'，则(0)1f '=-，又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.【小问2详解】令()()()esin cos 2x g x f x x x +'==-，则()2e cos x g x x '=，当[1,1]x ∈-时，()0g x '>，()g x 在[1,1]-上单调递增.因为(0)10g =-<，()()1e sin1cos120g =+->，所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0g x =.所以当0(1,)x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()1esin12e 21f =-<-<，()sin1121e f -=->，所以()()max sin112ef x f =-=-.【小问3详解】满足条件的a 的最大整数值为2-.理由如下：不等式()e x f x x a +>恒成立等价于sin e xx a x <-恒成立.令()sin e x x x x ϕ=-，当0x ≤时，0e xx -≥，所以()1x ϕ>-恒成立.当0x >时，令()e x x h x =-，()0h x <，()1ex x h x '-=，()h x '与()h x 的情况如下：所以()()min 11eh x h ==-，当x 趋近正无穷大时，()0h x <，且()h x 无限趋近于0，所以()h x 的值域为1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，因为sin [1,1]x ∈-，所以()ϕx 的最小值小于1-且大于2-.所以a 的最大整数值为2-.21. 已知数列{a n }记集合()(){}*1,,,1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈N（1）对于数列{a n }：1,2,3，列出集合T 的所有元素；（2）若2n a n =是否存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.m B b b b 若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{}3,5,6T =；（2）不存在，理由见解析；（3）1001.【解析】【分析】（1）根据题目给出的集合T 的定义求解即可；（2）假设存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =，则有()()()1102422121i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，则i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进行分析即可得解；（3）由22n a n =-，根据题意给出的集合T 新定义可对()()()()22221212j i j i j i j i -+--+=+--+进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．【小问1详解】由题意可得123a a +=，1236a a a ++=，235a a +=，所以{}3,5,6T =.【小问2详解】假设存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =，则有()()()1102422121i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，又因为3,12i j j i +≥-+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =成立.小问3详解】由题意得()()()()22221212j i j i j i j i -+--+=+--+，当2j =，1i =时，12b =，除2j =，1i =外22j i +-≥，12j i -+≥，【其中2j i +-与1j i -+一奇一偶，则n b 能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数中，只有2n 无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，又T 中的元素均为偶数，故{}**2,2,k T n n n k =∈≠∈N N ，故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2020910012m ∴=-=，故m 的最大值为1001．【点睛】关键点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
2019-2020学年贵州省贵阳一中高三第二学期月考(文科)数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第二学期月考（文科）数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（）A．9B．8C．6D．52．i是虚数单位，x，y是实数，x+i＝（2+i）（y+yi），则x＝（）A．3B．1C．D．3．平面向量，满足||＝4，||＝2，（+2）＝24，则|﹣2|＝（）A．2B．4C．8D．164．命题p：∀x∈R，e x＞x，命题q：∃x0∈R，x02＜0，下列给出四个命题①p∨q；②p∧q；③p∧￢q；④￢p∨q所有真命题的编号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.56．已知，则sin2α＝（）A．﹣1B．1C．D．07．直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b等于（）A．1B．2C．3D．48．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度﹣1B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上（异于端点），则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形（截面）不可能是（）A．正方形B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形D．梯形10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1，如图是计算该数列的前n项和的程序框图，图中①②③应依次填入（）A．i＜n，a＝2a+1，S＝S+a B．i＜n，S＝S+a，a＝2a+1C．i≤n，a＝2a+1，S＝S+a D．i≤n，S＝S+a，a＝2a+111．过点A（2a，0）作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为B，与另一条渐近线交于点C，B是AC的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．x1＝1是函数f（x）＝+（b﹣3）x+2b﹣a的一个极值点，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13．函数的零点个数为．14．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为．15．在△ABC中，D是AB边上一点，AD＝2DB，DC⊥AC，DC＝，则AB ＝．16．奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），若，则a+f（a）＝．三、解答题（共70分.）17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．18．S n是等差数列{a n}的前n项和，对任意正整数n，2S n是a n a n+1与1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．19．点P是直线y＝﹣2上的动点，过点P的直线l1，l2与抛物线y＝x2相切，切点分别是A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆过点M（2，1），求点P的坐标及圆的方程．20．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，DA＝DC，CD＝3，F是BC的中点，EF⊥平面ABC，．（1）证明：A，B，E，D四点共面；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积．21．已知函数；（1）试讨论f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求b的值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中直线l经过点P，且倾斜角为60°．（1）写出曲线C的直角坐标方程以及点P的直角坐标；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知f（x）＝|x﹣m|（x+2）+|x|（x﹣m）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若x＞1时，f（x）＞0，求m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（）A．9B．8C．6D．5【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B的元素个数．解：∵集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）}，∴A∩B的元素个数为6．故选：C．2．i是虚数单位，x，y是实数，x+i＝（2+i）（y+yi），则x＝（）A．3B．1C．D．【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数相等的定义计算即可．解：（2+i）（y+yi）＝y+3yi，所以3y＝1，x＝y＝，故选：D．3．平面向量，满足||＝4，||＝2，（+2）＝24，则|﹣2|＝（）A．2B．4C．8D．16【分析】先根据数量积求出•＝4，再求模长的平方，进而求得结论．解：因为平面向量，满足||＝4，||＝2，∵（+2）＝24⇒+2•＝24⇒•＝4，则|﹣2|2＝﹣4•+4＝42﹣4×4+4×22＝16；∴|﹣2|＝4；故选：B．4．命题p：∀x∈R，e x＞x，命题q：∃x0∈R，x02＜0，下列给出四个命题①p∨q；②p∧q；③p∧￢q；④￢p∨q所有真命题的编号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】判定出p真q假⇒￢p为假，￢q为真，①③为真命题．解：令f（x）＝e x﹣x，利用导数可求得当x＝0时，f（x）＝e x﹣x＝1，1是极小值，也是最小值，从而可判断p为真命题，命题q为假命题．故①p∨q为真；②p∧q为假；③p∧￢q为真；④￢p∨q为假．所有真命题的编号是①③．故选：A．5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5【分析】由图可得服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低判断A；未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小判断B；再求出患者服药一段时间后指标x低于100的频率判断C；直接由图象判断D．解：由图可知，服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低，∴A说法正确；未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小，∴B说法不对；以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94，∴C说法正确；这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5，∴D说法正确．故选：B．6．已知，则sin2α＝（）A．﹣1B．1C．D．0【分析】由题意利用诱导公式求得2α＝2kπ﹣，可得sin2α的值．解：由诱导公式及，可得cos（+α）＝cos（+α），可得（舍去），或（+α）+（+α）＝2kπ，k∈Z，即2α＝2kπ﹣，∴sin2α＝﹣1，故选：A．7．直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，求出A的坐标，代入椭圆方程求解即可．解：直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB是等腰直角三角形，解得m＝±，不妨A取，A点在椭圆上，代入椭圆，可得，解得b＝2，故选：B．8．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度﹣1B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由函数图象可得A，利用周期公式可求ω，由f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，结合范围|φ|＜，可求φ，可求函数解析式f（x）＝sin（2x+），进而化简g（x）解析式由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换即可求解．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，＝﹣＝，即＝π求得ω＝2，∵f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，即sin（+φ）＝1，∴+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+）．由图可知，，，所以把f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象．故选：D．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上（异于端点），则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形（截面）不可能是（）A．正方形B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形D．梯形【分析】画出图形，通过特殊位置判断截面形状即可．解：当BE＝CF时，截面是矩形；当2BE＝CF时，截面是菱形；当BE＞CF时，截面是梯形，故选：A．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1，如图是计算该数列的前n项和的程序框图，图中①②③应依次填入（）A．i＜n，a＝2a+1，S＝S+a B．i＜n，S＝S+a，a＝2a+1C．i≤n，a＝2a+1，S＝S+a D．i≤n，S＝S+a，a＝2a+1【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序框图中应填的内容．解：取n＝1，有S＝a＝1，即a1＝1，不能进入循环，判断框应是i＜n进入循环；进入循环后第一次加上的应该是a2＝2a1+1，所以先算a＝2a+1．故选：A．11．过点A（2a，0）作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为B，与另一条渐近线交于点C，B是AC的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】有题意BO垂直平分AC∠AOB＝∠BOC，又∠AOB，AOC互为补角，所以∠AOB为60°，求出渐近线的斜率，即得出a，b的关系，再由a，b，c之间的关系进而求出a，c的关系，即求出离心率．解：依题意，一条渐近线是x轴与另一条渐近线的对称轴，OB垂直平分AC，∠AOB＝∠BOC，又∠AOB，AOC互为补角，所以渐近线的倾斜角是60°或120°，所以渐近线的斜率为，即＝，c2＝a2+b2，所以离心率e＝＝＝＝2，故选：C．12．x1＝1是函数f（x）＝+（b﹣3）x+2b﹣a的一个极值点，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先求导，再f'（1）＝0得2a+b﹣2＝0且△＞0，所以a≠﹣1，ab＝a（2﹣2a），（a≠﹣1）利用二次函数图象和性质求出答案．解：f'（x）＝x2+2ax+b﹣3，f'（1）＝0⇒2a+b﹣2＝0，若函数f（x）有一个极值点，则△＝4a2﹣4（b﹣3）＝4a2﹣4（2﹣2a﹣3）＝4a2+4（2a+1）＝4（a+1）2＞0所以a≠﹣1，ab＝a（2﹣2a）＝，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的零点个数为3．【分析】条件等价于函数与y＝x2的图象交点个数，数形结合即可．解：令，分别作与y＝x2的图象如图，又因为指数函数的增长速度最终会远远超过幂函数的增长速度，所以两函数图象有3个交点，即f（x）有3个零点，故答案为3．14．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为5π．【分析】根据已知条件定出球心的位置，然后求出球的半径，代入球的表面积公式可求．解：如图，由已知，在底面ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，由PA⊥底面ABCD，易得△PAC，△PBC，△PCD都是直角三角形，所以球心是PC的中点，，S＝4πR2＝5π．故答案为：5π15．在△ABC中，D是AB边上一点，AD＝2DB，DC⊥AC，DC＝，则AB ＝3．【分析】设BD＝x，由已知结合锐角三角函数定义及余弦定理分别表示cos A，建立关系x的方程，可求．解：如图，设BD＝x，则由余弦定理可得，，又由余弦定理可得，7＝BC2＝9x2，＝13x2﹣3，即7＝6+x2，解得x＝1，∴AB＝3．故答案为：116．奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），若，则a+f（a）＝2．【分析】根据题意，分析可得f（x）是以4为周期的奇函数，结合函数的解析式分析可得，解可得a＝2，分析可得f（2）的值，计算可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（x+2），又由f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是以4为周期的奇函数，又由当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），则，解可得a＝2，又由f（x）是以4为周期的奇函数，则f（2）＝f（﹣2）且f（2）+f（﹣2）＝0，则f （2）＝0，故a+f（a）＝2+f（2）＝2；故答案为：2．三、解答题（共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．【分析】（1）先利用每组的频率×该组区间的中点值再相加求出平均值的估计值，再处于总时间5小时，即可得到所求的结果；（2）由直方图，算出[25，35）和[35，45）这两组的概率，再相加即可得到样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率，以样本估算总体，进而得出每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．解：（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为30×0.1+40×0.18+50×0.3+60×0.25+70×0.12+80×0.05＝52.6，完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为；（2）由直方图，样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率为0.28，估计每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率为0.28．18．S n是等差数列{a n}的前n项和，对任意正整数n，2S n是a n a n+1与1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．【分析】（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，取n＝1，2，求出数列的通项公式即可．（2）记，利用函数图象结合函数的单调性推出当n≤4时，递增且都大于﹣1，当n≥5时，递增且都小于﹣1，得到结果即可．解：（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，取n＝1，2，得，解得或，当a1＝1，d＝2时，满足条件；当时，不满足条件，舍去，综上，数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1．（2），记，f（x）在（﹣∞，4.5）与（4.5，+∞）上都是增函数（图象如图3），对数列，当n≤4时，递增且都大于﹣1，当n≥5时，递增且都小于﹣1，数列的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为﹣11．19．点P是直线y＝﹣2上的动点，过点P的直线l1，l2与抛物线y＝x2相切，切点分别是A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆过点M（2，1），求点P的坐标及圆的方程．【分析】（1）设A，B，P的坐标，求出直线AP，BP的方程，因为两条直线的交点P，可得直线AB的方程为：，整理可得恒过（0，2）点；（2）因为AB为直径的圆过点M（2，1），所以，由（1）设直线AB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而可得直线AB的斜率，即求出P的坐标，即求出直线AB，进而求出圆心坐标．解：（1）证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（b，﹣2），过点A，P的直线方程为，同理过点B，P的直线方程为，因为点P是两切线的交点，所以，即y＝2bx+2恒过（0，2）．（2）解：设直线AB为y＝kx+2（k＝2b），与抛物线方程联立得x2﹣kx﹣2＝0，其中△＞0，x1x2＝﹣2，x1+x2＝k，因为M（2，1）在AB为直径的圆上，所以，即（x1﹣2，y1﹣1）（x2﹣2，y2﹣1）＝0⇔（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0⇔（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+1）（kx2+1）＝0，整理得（k2+1）x1x2+（k﹣2）（x1+x2）+5＝0，即k2+2k﹣3＝0，解得k＝1或k＝﹣3．当k＝1时，，圆心为，半径，圆的标准方程为；当k＝﹣3时，，圆心为，半径，圆的标准方程为．20．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，DA＝DC，CD＝3，F是BC的中点，EF⊥平面ABC，．（1）证明：A，B，E，D四点共面；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积．【分析】（1）设M是AC的中点，则DM⊥AC，且，从而DM⊥平面ABC，由EF⊥平面ABC，得DM∥EF，且，四边形DEFM是平行四边形，从而DE∥MF，推导出MF∥AB，DE∥AB，由此能证明A，B，E，D四点共面．（2）D到平面BCE的距离是A到平面BCE距离的，EF⊥平面ABC，从而EF⊥AC，AC⊥BC，进而AC⊥平面BCE，由V B﹣CDE＝V D﹣BCE．能求出三棱锥B﹣CDE的体积．解：（1）证明：如图4，设M是AC的中点，因为DA＝DC＝3，所以DM⊥AC，且，因为平面ACD⊥平面ABC，交线为AC，DM⊂平面ACD，所以DM⊥平面ABC，又EF⊥平面ABC，所以DM∥EF，且，四边形DEFM是平行四边形，从而DE∥MF，在△ABC中，M，F是AC，BC的中点，所以MF∥AB，所以DE∥AB，从而A，B，E，D四点共面．（2）解：由（1），所以D到平面BCE的距离是A到平面BCE距离的，EF⊥平面ABC⇒EF⊥AC，又AC⊥BC⇒AC⊥平面BCE，所以D到平面BCE的距离为，△BCE的面积，故三棱锥B﹣CDE的体积为．21．已知函数；（1）试讨论f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求b的值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x）的极值，函数f（x）有3个零点等价于f（a）•f（1）＜0，即（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）＞0，根据函数的单调性求出b的值即可．解：（1）f'（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣1）（x﹣a），当a＝1时，f'（x）＝（x﹣1）2≥0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＜1时，在（a，1）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（﹣∞，a）和（1，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当a＞1时，在（1，a）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（﹣∞，1）和（a，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上，当a＝1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＜1时，f（x）在（a，1）上单调递减；在（﹣∞，a）和（1，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减；在（﹣∞，1）和（a，+∞）上单调递增．（2）当a≠1时，函数有两个极值和，若函数f（x）有三个不同的零点⇔f（a）•f（1）＜0，即（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）＞0，又因为a的取值范围恰好是，所以令g（a）＝（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）恰有三个零点，若a＝3时，g（3）＝﹣6b（6b+8），b＝0或；当b＝0时，g（a）＝a2（3a﹣1）（a﹣3）＞0，解得符合题意；当时，g（a）＝（a3﹣3a2+8）（3a﹣9）＝0，则a3﹣3a2+8＝0不存在这个根，与题意不符，舍去，所以b＝0．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中直线l经过点P，且倾斜角为60°．（1）写出曲线C的直角坐标方程以及点P的直角坐标；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，求的值．【分析】（1）运用极坐标和直角坐标的关系：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，代入化简可得所求；（2）由题意可设直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，运用韦达定理和参数的几何意义，化简可得所求值．解：（1）因为，所以ρ﹣ρsinθ＝2，则，即＝y+2，两边平方整理得x2＝4y+4；由P点的极坐标，可得P点的直角坐标x＝ρcosθ＝0，y＝ρsinθ＝1，所以P（0，1）．（2）由题意设直线l的参数方程为（t为参数），与曲线C的方程x2＝4y+4联立，得，设PA，PB对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣32，所以＝＝，而，所以．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知f（x）＝|x﹣m|（x+2）+|x|（x﹣m）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若x＞1时，f（x）＞0，求m的取值范围．【分析】（1）将f（x）写成分段函数式，讨论x≤0时，0＜x＜2时，x≥2时，不等式的解，再求并集可得所求解集；（2）由题意可得f（m）＝0，且x＞m恒成立，求得m的范围，检验可得所求范围．解：（1）当m＝2时，f（x）＝|x﹣2|（x+2）+|x|（x﹣2）＝，当x≤0时，﹣2x2+2x+4＜0⇒x＜﹣1；当0＜x＜2时，﹣2x+4＜0⇒x＞2矛盾；当x≥2时，2x2﹣2x﹣4＜0⇒﹣1＜x＜2矛盾，综上，x＜﹣1，则f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1}；（2）对任意的x＞1时，因为f（m）＝0，f（x）＞0＝f（m），所以x＞m，则m≤1，当m≤1，x＞1时，x﹣m＞0，则f（x）＝（x﹣m）（x+2）+x（x﹣m）＞0恒成立，所以m的取值范围是m≤1．。
2024-2025学年四川省绵阳市高三上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.2024-2025学年四川省绵阳市高三上学期10月月考数学质量检测试题）1. 已知集合{}2340A x x x =--£，{}22B x x =-<<，则A B Ç=Rð（）A. {}12x x -<< B. {}12x x -££ C. {}24x x << D. {}24x x ££【答案】D 【解析】【分析】求出集合A ，利用补集和交集的定义可求得集合A B ÇR ð.【详解】因为{}{}234014A x x x x x =--£=-££，{}22B x x =-<<，则{2B x x =£-R ð或}2x ³，故{}24A B x x Ç=££R ð.故选：D.2. 下列函数是偶函数的是（ ）A. ())lnf x x= B. ()1ln 1x f x x x +=-C. ()tan f x x = D. ()121x f x =-【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断各选项即可.【详解】对于A ，函数定义域为R ，())ln x f x =--，所以()()))lnlnln10f x f x x x +-=++-==，则()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数；对于B ，函数定义域为()(),11,-¥-È+¥，()()111ln ln ln 111x x x f x x x x f x x x x -+-+-=-=-==--+-，所以函数()f x 为偶函数；对于C ，正切函数()tan f x x =为奇函数；对于D ，函数定义域为()(),00,-¥+¥U ，()()122112xx xf x f x --==¹--，所以()f x 不为偶函数.故选：B.3. 由一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L 得到经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，那么下列说法正确的是（）A. 若相关系数r 越小，则两组变量的相关性越弱B. 若ˆb越大，则两组变量的相关性越强C. 经验回归方程ˆˆˆy bx a =+至少经过样本数据()()()1122,,,,,,...n n x y x y x y 中的一个D. 在经验回归方程ˆˆˆy bx a =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，相应的观测值y 约增加ˆb个单位【答案】D 【解析】【分析】根据相关系数的含义可判断AB ；根据回归直线的含义可判断CD ；【详解】对于A ，若相关系数r 越小，则两组变量的相关性越弱，A 错误；对于B ，若r 越大，则两组变量的相关性越强，ˆb是回归直线的斜率，它不反应两变量的相关性强弱，B 错误；对于C ，经验回归方程ˆˆˆy bx a =+不一定经过样本数据()()()1122,,,,,,...n n x y x y x y 中的一个，C 错误；对于D ，在经验回归方程ˆˆˆy bx a =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，若ˆ0b>，相应的观测值y 约增加ˆb 个单位；若ˆ0b <，相应的观测值y 约增加ˆb -个单位；故当解释变量x 每增加1个单位时，相应的观测值y 约增加ˆb个单位，正确，故选：D4. 在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且cos cos a B b A b +=，则ABC V 一定是（ ）A. 等腰三角形 B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 直角三角形【答案】A 【解析】【分析】由题意根据正弦定理及和差公式可得sin()sin A B B +=，由πA B C ++=及诱导公式可得sin sin C B =，结合,B C 为三角形的内角可得B C =，即可得结果.【详解】cos cos a B b A b +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A B +=，则sin()sin A B B +=，又πA B C ++=，可得sin sin C B =，,B C Q 为三角形的内角，B C \=，所以ABC V 一定是等腰三角形.故选：A .5. 函数()()()cos 0,0f x A x A w j j =+>>的图象如下，则其解析式可能是（）A. ()2π2cos 23f x x æö=-ç÷èø B. ()π2cos 23f x x æö=-ç÷èøC. ()π2cos 23f x x æö=+ç÷èøD. ()2π2cos 23f x x æö=+ç÷èø【答案】A 【解析】【分析】结合图象可知()π01,26f f æö=--=-ç÷èø，由此可判断BCD 不可能，结合函数周期说明A 中图象可能正确，即可得答案.【详解】结合题意以及各选项可知A 可为2，结合图象可知()π01,26f f æö=--=-ç÷èø，则对于B ，()π02cos 13f æö=-=ç÷èø，由此可判断B 中解析式不可能；对于C ，()π02cos13f ==，由此可判断C 中解析式不可能；对于D ，c ππ632π2os 13f --æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，由此可判断D 中解析式不可能；对于 A ，由于π12ππ,,034646T w w >\´>\<<，即w 可取2；由2cos 1j =-，则2π2π,Z 3k k j =±+Î，由于0j >，可取4πj =3，此时()4π4π2π2cos 22cos 22π2cos 2333f x x x x æöæöæö=+=+-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø，A 可能，故选：A6. 研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度v （单位：m/s ）与其耗氧量Q 之间的关系式为：113log 10Q v a b =+（其中,a b 是实数），据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m /s .大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为v （单位：m/s ），耗氧量单位数为2Q ，统计发现：2v 与23log 100Q 成正比.当21m/s v =时，2900Q =.若这种鸟类与鲑鱼的速度1v 与2v 相同时，则1Q 与2Q 的关系是（ ）A. 2219Q Q = B. 2129Q Q = C. 2213Q Q = D. 2123Q Q =【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出,a b ，可得1131log 10Q v =-+，设223log 100Q v k =，由题意得12k =，2231log 2100Q v =，由12v v =得131log 10Q -+231log 2100Q =，根据对数的运算性质即可求解.【详解】由题意得3330log 01090log 110a b a b ì+=ïïíï+=ïî，解得11a b =-ìí=î，1131log 10Q v \=-+，设223log 100Q v k =，由题意得3900log 1100k =，解得12k =，2231log 2100Q v \=，又12v v =，131log 10Q \-+231log 2100Q =，则13331log log log 310Q +=，即133log log 30Q =130Q \=，即2129Q Q =.故选：B .7. 已知()()1122,,,x y x y 是函数2log y x =图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（ ）①1212222y y x x ++<；②1212222y y x x ++>；③122122log 2y y x x +<-+；④122122log 2y y x x +>-+.A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④【答案】B 【解析】【分析】求出已知两点的中点坐标及函数2log y x =的图象上纵坐标为122y y +的点，结合函数图象建立不等式，即可得解.【详解】如图所示，设()()1122,,A x y B x y ，，AB 的中点为点N 在函数2log y x =的图象上，且//MN x 轴，则121222,2y y y y N +æö+ç÷èø，由图知点N 在M 的左侧，即1212222y y x x ++>，故①错误，②正确；则121212222log log 222y y x x y y +++>=，即122122log 2y y x x +->+，即122122log 2y y xx +<-+，故③正确，④错误.故选：B.8. 设函数()()2(1)1,cos 2f x a x g x x ax =+-=+，当()1,1x Î-时，曲线()y f x =与()y g x =交点个数的情况有（ ）种.A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设()()()h x f x g x =-，由()0h x =，得到方程21cos a x ax -=+解的个数，进而转化为21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上的交点个数，结合余弦函数的图象，以及二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()()2(1)1,cos 2f x a x g x x ax =+-=+，设()()()2cos 1,(1,1)h x f x g x ax x a x =-=-+-Î-，可得()()22()cos()1cos 1h x a x x a ax x a h x -=---+-=-+-=，所以函数ℎ(x )为偶函数，图象关于y 轴对称，令()0h x =，可得2cos 10ax x a -+-=，即21cos a x ax -=+，则()0h x =解的个数，即为21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上的交点个数，如图所示：当0a =时，1y =-，此时1y =-与cos y x =的图象在(1,1)-上没有公共点；当11a ->时，即2a >时，21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上有没有公共点；当11a -=时，即2a =时，21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上有1个公共点；当21cos1a ->且11a -<时，即cos1122a +<<时，21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上有2个公共点；当21cos1a -£且0a >时，即cos1102a +<£时，21y ax a =+-与cos y x =图象在(1,1)-上有没有公共点；当0a <时，此时21y ax a =+-对应的抛物线开口向下，且11a -<-，此时21y ax a =+-与cos y x =图象在(1,1)-上有没有公共点，综上可得，曲线y =f (x )与y =g (x )交点个数的情况有3种.的的故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 下列叙述正确的是（ ）A. 若等差数列{}n a 的公差0d >，则数列{}n a 为递增数列B. 若等比数列{}n b 的公比1q >，则数列{}n b 为递增数列C. 若2b ac =，则a 、b 、c 成等比数列D. 若21n S -是等比数列{}n c 的前21n -项和，则210n S -=无解【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据等差数列的定义以及递增数列的定义分析判断；对于BC ：举反例说明即可；对于D ：分1q =和1q ¹两种情况，结合等比数列求和公式分析判断.【详解】对于A ：因为10n n a a d +-=>，可知数列{a n }为递增数列，故A 正确；对于B ：例如11,20a q =-=>，则22a =-，即21a a <，可知数列{a n }不为递增数列，故B 错误；对于C ：例如0a b c ===，满足2b ac =，但a 、b 、c 不成等比数列，故C 错误；对于D ：设等比数列{}n c 公比为q ，且10a ¹，若1q =，则()211210n S n a -=-¹；若1q ¹，则()21121101n n a q S q---=¹-；综上所述：210n S -=无解，故D正确；故选：AD.的10. 设函数，若()0f x £，则22a b +的最值情况是（ ）A. 有最大值 B. 无最大值C. 有最小值D. 无最小值【答案】BC 【解析】【分析】根据知()()10f a f b =-=，根据()0f x £可得1a b +=，再根据不等式性质可判断.【详解】根据，可知()()10f a f b =-=,根据()0f x £恒成立，则相同取值情况下(),ln y x a y x b =-+=+为异号或同时等于0，又y x a =-+在R 上递减，()ln y x b =+在(),b -+¥上递增，只需它们的零点重合，得1a b =-，即1a b +=，所以()2222211112222a b b b b æö+=-+=-+³ç÷èø，所以22a b +有最小值，没有最大值.故选：BC11. 定义在R 上的函数()f x 的导函数为()g x ，且满足下列条件:()()()()2220,222f x f x g x g x +--==--，且()11f =.则下列正确的是（ ）A. ()y g x =周期为8B. ()2y g x =图象关于()1,0对称C. ()y f x =关于()1,0-对称D.()20241i f i ==å【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，C 根据已知等式结合对称中心定义得出判断；根据已知等式求导得出()()2g x g x =--，结合已知得出函数周期判断B ；应用导函数与原函数间关系得出f (x )周期，再根据()()150f x f x +++=，计算求解判断D.【详解】对于A,B ，因为()()222g x g x =--，则()()2g x g x =--，则()()11g x g x +=--可知()g x 的图象关于(1,0)中心对称，知(2)g x 的图象关于1(,0)2中心对称，B 错误；因为()()2220f x f x +--=，则()()2f x f x =---，两边求导数可得()()2f x f x ¢¢=--，即得()()2g x g x =--，所以()()22g x g x -=---，即得()()22g x g x +=--+，所以()()4g x g x +=-，()()()84g x g x g x +=-+=，所以函数()g x 的周期为8，A 正确；对于C ，因()()2220f x f x +--=则()()2f x f x =---，所以()()11f x f x --=--+，函数()f x 关于()1,0-对称，C 正确；对于D ，因为()g x 的图象关于(1,0)中心对称，所以f (x )关于x =1对称，所以()()11f x f x -=+,又()()2f x f x =---，所以()()()131f x f x f x +=---=-，可得()()31f x f x --+=+，所以()()()()()84f x f x f x f x +=-+=--=，所以函数f (x )周期为8，因为()()130f x f x ++-+=，所以()()150f x f x +++=，所以()()()()()()()()150,260,370,480f f f f f f f f +=+=+=+=，所以()()()()()()()()()()1234202425312348f f f f f f f f f f éù+++++=+++++ëûL L ()()()()()()()()253152637480f f f f f f f f éù=+++++++=ëû，D 正确.故选：ACD ．【点睛】方法点睛：函数周期性及函数的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.）12. 若数列{}n a 的通项公式是2n a n =，且等比数列{}n b 满足2158b a b a ==，，则n b =_____.【答案】12n -【解析】【分析】设等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意结合等比数列通项公式列式求1,b q ，即可得结果.【详解】由题意可知：21582,16b a b a ====，设等比数列{}n b 的公比为q ，则21451216b b q b b q ==ìí==î，解得112b q =ìí=î，为所以11122n n n b --=´=.故答案为：12n -.13. 设函数()()sin 0f x x w w =>，已知()()121,0f x f x ==，且12x x -的最小值为π2，则w =_____.【答案】1【解析】【分析】确定()()sin 0f x xw w =>的周期为πT w =，结合题意可得1π22T=，即可求得答案.【详解】由题意知()()sin 0f x x w w =>图象可由，()sin 0y x w w >=的图象将x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到，故()()sin 0f x xw w =>的周期为πT w =，又()()121,0f x f x ==，则12x x -的最小值为函数周期的二分之一，即1π22T =,即1ππ,122w w ×=\=，故答案为：114. 在如下图的44´的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____.8273262323376362738665263966【答案】126【解析】【分析】先按列分析，可知十位数是固定的，利用列举法写出所有个位数的可能结果，即可求解.【详解】先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6，若选中方格中的4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小，每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的个位数字，则所有的可能结果为：(8,3,8,6),(8,3,9,6),(8,7,7,6),(8,7,9,3),(8,6,7,6),(8,6,8,3)，(3,7,8,6),(3,7,9,6),(3,7,2,6),(3,7,9,2),(3,6,2,6),(3,6,8,2)，(6,7,7,6),(6,7,9,3),(6,3,2,6),(6,3,9,2),(6,6,2,3),(6,6,7,2)，(5,7,7,6),(5,7,8,3),(5,3,2,6),(5,3,8,2),(5,7,2,3),(5,7,7,2)，此时最小为532616+++=，所以选中的方格中，5,23,32,66的4个数之和最小，为5233266126+++=.故答案为：126.【点睛】关键点点睛：关解决本题的关键是先确定十位数，再确定个位数，利用列举法写出所有的可能结果.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表:喜欢奥数不喜欢奥数总计已选奥数课（A 组）15050200未选奥数课（B 组）90110200总计240160400（1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A 组、B 组各抽取多少人？（2）依据小概率值α0.005=的独立性检验，能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？附:()2P c a ³0.10.050.010.0050.001a2.7063.841 6.6357.87910.828参考公式:()()()()22()n ad bc a b c d a c b d c -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）应在A 组抽取20人，应在B 组抽取12人.（2）能认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005【解析】【分析】（1）根据分层抽样列式计算即可；（2）根据表格数据求出2c 的值，然后与临界值比较即可判断.【小问1详解】应在A 组抽取3215020240´=人，应在B 组抽取329012240´=人.【小问2详解】零假设为0H ：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联，根据列联表中的数据，经计算可得22400(1501109050)37.57.879200200240160c ´´-´==>´´´，根据小概率值α0.005=的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.16. 阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程()21200R ax bx c a a b c x x ++=¹Î，，，的两根为，，则212ax bx c a x x x x ++=--（）（），展开得:()221212ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，比较系数得:()1212b a x x c ax x =-+=，，于是1212b c a x x x x a+=-=，.（1）已知一元三次方程()3200R ax bx cx d a a b c d +++=¹Î，，，，的三个根为123x x x ，，，类比于上述推导过程，求123x x x ;（2）已知()32691f x x x x =-++，若存在三个不相等的实数()()()m n t f m f n f t ==，，，使得，求mnt 的取值范围.【答案】（1）123d x x x a=- （2）()04，【解析】【分析】（1）先把式子展开再应用待定系数法即可求值；（2）根据函数求出导函数，根据导数正负得出函数单调性，再画出图像数形结合()y f x =与y s =有三个交点，即可求参数范围.【小问1详解】由题意知()()()32123ax bx cx d a x x x x x x +++=---，展开得:()()3232123122331123ax bx cx d ax a x x x x a x x x x x x x ax x x +++=-+++++-，比较系数得123,d ax x x =-即123d x x x a=-.【小问2详解】令()()()f m f n f t s ===，,,m n t 是()32691f x x x x s =-++=的三个根，即为326910x x x s -++-=的三个不等根，由上知1mnt s =-.()()()23129331f x x x x x =-+=--¢，于是()()()1,3,0,x f x f x <¢Î单调递减，()()()1,0,x f x f x ¢Î-¥>，单调递增，()()()3,,0,x f x f x ¢Î+¥>单调递增，且()()()()031,145f f f f ====，函数()f x 的大致图象如下:为使得()y f x =与y s =有三个交点，则()1,5,s Î故()104.mnt s =-Î，17. 如图所示，直线12,l l 之间的距离为2，直线23,l l 之间的距离为1，且点,,A B C 分别在123,,l l l 上运动，π3CAB Ð=，令CAF a Ð=.（1）判断ABC V 能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由;（2）求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）ABC V（2）.【解析】【分析】（1）过C 作1CD l ^，过B 作1BE l ^，利用直角三角形边角关系求出,AC AB ，则等边三角形建立方程求解即得.（2）由（1）中信息，利用三角形面积公式，结合三角恒等变换及正弦函数的性质求出最小值.【小问1详解】过C 作1CD l ^，过B 作1BE l ^，垂足分别为,D E ，如图，由CAF a Ð=，π3CAB Ð=，得2π2π0,33BAE a a <<Ð=-，在ACD V 中，3sin AC a =，在ABE V 中，22πsin()3AB a =-，由ABC V 是正三角形，则AC AB =，即322π,3sin()2sin 2πsin 3sin()3a a a a =-=-，整理得cos a a =，又22sin cos 1a a +=，解得sin a =，所以3sin AC a ==【小问2详解】由（1）知，1π1sin 2π23sin sin()3ABC S AB AC a a =×==-V ，21111π1cos sin cos2sin(2)244264a a a a a a +=-+=-+，由2π03a <<，得ππ7π2666a -<-<，则当ππ262a -=，即π3a =21cos sin 2a a a +取最大值34，所以π3a =时，ABC S V43=.18. 已知函数()2124ln .f x ax x x a =+-ÎR （）（1）若函数()y f x =在()0,¥+上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）“若函数()y f x =在()0,1上只有一个极值点，求实数a 取值的集合”，某同学给出了如下解法:由()2124412440ax x f x ax x x+-=+-==¢在()0,1上只有一个实数根，所以16960a =+=V ，得16a =-，此时()10,12x =Î.所以，实数a 取值的集合为16ìü-íýîþ.上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答;（3）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln 2.f x f x +>+【答案】（1）1,6¥æù--çúèû（2）上述解答不正确，理由见解析，解答见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分析可知()()00f x x ¢£>恒成立，参变分理结合二次函数最值分析求解；（2）分析可知()22441g x ax x =+-在(0,1)上只有一个变号零点，参变分类结合二次函数分析求解；（3）分析可知g (x )=0在(0,+∞)上有两个不等实根为12,x x ，利用韦达定理整理可得()()12111ln 324f x f x a a æö+=---ç÷èø，令11244t a =->，()18ln h t t t =+-，利用导数分析证明.【小问1详解】因为()212441244ax x f x ax x x=¢+-=+-，由题意可知()()00f x x ¢£>恒成立，则224410ax x +-³，可得221412424a x x x æöæö£-=--ç÷ç÷èøèø，因为21244x æö--³-ç÷èø，当且仅当12x =，即12x =时，等号成立，可得244a £-，解得16a £-，所以实数a 的取值范围为1,6¥æù--çúèû.【小问2详解】上述解答不正确，理由如下：由题意可知：()22441g x ax x =+-在(0,1)上只有一个变号零点，令g (x )=0，整理可得212424a x æö=--ç÷èø，令()11,t x¥=Î+，则()22424a t =--，令()()224,1h t t t =-->，作出其函数图象，由图象可知：243a ³-，解得18a ³-，所以实数a 取值的集合是1,8¥éö-+÷êëø.【小问3详解】因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，可知()224410g x ax x =+-=在(0,+∞)上有两个不等实根为12,x x ，则1212169601061024a x x a x x a =+>ìïï+=->íïï=->îV ，解得106a -<<，可得()()2212111222124ln 124ln f x f x ax x x ax x x +=+-++-()()()()()22212121212121212124ln 1224ln a x x x x x x a x x x x x x x x éù=+++-=+-++-ëû211211112ln 1ln 3612324324a a a a a a a æöæöæö=+---=---ç÷ç÷ç÷èøèøèø，令11244t a =->，则()()1218ln f x f x t t +=+-.令()118ln 4h t t t t æö=+->ç÷èø，则()18180t h t t t -=-=>¢，可知()h t 在1,4¥æö+ç÷èø内单调递增，则()132ln 24h t h æö>=+ç÷èø，所以()()1232ln 2f x f x +>+.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数ℎ(x )；（3）利用导数研究ℎ(x )的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19. 设函数()e xf x =.（1）设()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；（2）设曲线y =f (x )在点()()(),2,N n f n n n ³Î处的切线与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S n ，令2n n S c n =，求2ln i n n c å=；（3）若0x "³，()sin cos 2f ax x x ³-+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()222ln 1ln22n n n n +----. （3）[1,)+¥【解析】【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的单调性即可 ；（2）先求出切线方程得出截距，再表示面积结合求出公式定义应用对数运算化简求解；（3）先构造函数()e sin cos 2axh x x x =-+-，再求导函数分1,1a a ³<两种情况讨论计算求参.【小问1详解】()e 1x g x ax =--,则()e x g x a ¢=-.①若0a £，则()()0g x g x ¢>，在(),¥¥-+上单调递增;②若a >0，令()0g x ¢=，解得ln x a=当(),ln x a Î-¥时，()()0g x g x ¢<，单调递减，当()ln ,x a Î+¥时，()()0g x g x ¢>，单调递增.综上，当0a £时，()g x 的单调递增区间为(),¥¥-+;当a >0时，()g x 的单调递减区间为(),ln a -¥，单调递增区间为()ln ,a +¥.【小问2详解】由题意易得曲线y =f (x )在点()(),n f n 处的切线方程为()e e n n y x n -=-.设切线与x 轴、y 轴相交所得的横截距与纵截距分别为,n n a b .则令0y =，解得1n a n =-，令x =0，解得()e1n n b n =--.则所围成的三角形面积为()2111e 22nn n n S a b n ==-则()()22222221e 11e 11ln ln ln ln lne 2ln ln2222n n n n n n n n S n n c c n n n n n n----====++=+-（），，2222211ln 2ln ln22ln ln2i i i i i n n n n n n n n c n n n n ååååå=====--æö=+-=+-ç÷èø()()()()221122ln 1ln22ln 1ln222n n n n n n n n +-+-=+--=---.小问3详解】()sin cos 2f ax x x ³-+即e sin cos 2ax x x ³-+，令()e sin cos 2ax h x x x =-+-，则()e cos sin axh x a x x =-¢-，①当1a ³时，因为0x ³，所以e e ax x ³，()e cos sin xh x x x ³-¢-，令()sin u x x x =-，则()1cos 0u x x =¢-³，则函数()u x 单调递增，且()(0)0u x u ³=，即sin x x ³;由（1）可知当1a =时，()()00g x g ³=，【即()1f x x ³+，所以e 1sin 1x x x ³+³+，则()e cos sin 1cos 0x h x x x x ³-¢³--³，所以函数()h x 在[0,)+¥上单调递增，且()(0)0h x h ³=，即e sin cos 2ax x x ³-+恒成立.②当1a <时，(0)10h a ¢=-<，存在实数00x >，使得0(0,)x x "Î均有()0h x ¢<，则函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，且()(0)0h x h <=，不符合题意，所以当1a <时，不符合题意.综上，a 的取值范围为[1,)+¥.【点睛】关键点点睛：解题的关键是当1a <时，得出函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，且()(0)0h x h <=，不符合题意，得出矛盾不成立.。
2019-2020学年北京市清华附中高三(上)10月月考数学试卷试题及答案
2019-2020学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|2x x >或1}x <2．若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan()(θπ+= ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-3．已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A ．1b a >>B ．1b a >>C ．1a b >>D ．1a b >>4．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知3cos 4α=，(2πα∈-，0)，则sin 2α的值为( )A ．38B ．38-C D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏7．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A ．4B ．5C ．6D ．78．已知定义在R 上的函数2,0()(),0x a x f x ln x a x ⎧+=⎨+>⎩…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．1122a -<…B ．102a <… C ．01a <…D ．102a -<…二、填空题9．已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在 x = 处取得极值．10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 11．在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B = ． 12．去年某地的月平均气温(C)y ︒与月份x （月)近似地满足函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b为常数，0)2πϕ<<．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为 C ︒，ϕ= ．13．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF 的值为 ． 14．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 ；()0f x '=的解是 ．三、解答题15．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<< 的图象过点1(0,)2，最小正周期为23π，且最小值为1-． （1）求函数()f x 的解析式．（2）若[6x π∈，]m ，()f x 的值域是[1-，，求m 的取值范围．16．数列{}n a 的前项n 和记为n S ，若数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列． （1）求数列{}n a 通项公式n a ．（2）若||n n b a =，且数列{}n b 的前项n 和记为n T ，求415T T +的值．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，8sin()17A C +=，且角B 为锐角．（1）求cos B 的值；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求边长b ．18．已知函数1()xax f x e -=． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0，1]上的最小值．19．已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； （2）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围．20．设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，⋯，n a 为(2n n =，3，4，⋯，)阶“期待数列”：①1230n a a a a +++⋯+=； ②123||||||||1n a a a a +++⋯+=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1k S k =，2，3，⋯，)n ，试证：1||2k S …．2019-2020学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|2x x >或1}x <【解答】解：集合{|2}A x x =>， {|(1)(3)0}{|13}B x x x x x =--<=<<，则{|23}A B x x =<<．故选：B ．2．若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan()(θπ+= ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-【解答】解：角θ的终边过点(3,4)P -，则44tan()tan 33y x θπθ-+=-=-=-=， 故选：D ．3．已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A ．1b a >>B ．1b a >>C ．1a b >>D ．1a b >>【解答】解：由图象可知，01a <<，1b >， 故选：A ．4．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：函数()y f x =的定义域为R ，若函数()f x 为奇函数，则(0)0f =，反之不成立，例如2()f x x =．∴ “(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件．故选：B ． 5．已知3cos 4α=，(2πα∈-，0)，则sin 2α的值为( )A ．38B ．38-C D ．【解答】解：3cos 4α=，(2πα∈-，0)，sin α∴===，3sin 22sin cos 2(4ααα∴==⨯⨯= 故选：D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解答】解：设塔的顶层共有1a 盏灯， 则数列{}n a 公比为2的等比数列， 717(12)38112a S -∴==-，解得13a =． 故选：B ．7．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A 选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A 不成立，B 选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B 不成立， C 选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C 成立， D 选项：76>，故不为最少人数，故不成立，故选：C ．8．已知定义在R 上的函数2,0()(),0x a x f x ln x a x ⎧+=⎨+>⎩…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．1122a -<…B ．102a <… C ．01a <…D ．102a -<…【解答】解：由题意知当0x >时，()()f x ln x a =+，则0a …， 当0x …时，()1a f x a <+…，若0a …，当0x >时，()()f x ln x a lna =+…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根， 则11212a a lna ⎧<+⎪⎪⎨⎪<⎪⎩…，即1212a a a ⎧<⎪⎪⎪-⎨⎪⎪<⎪⎩…，得1122a -<…，0a …，102a ∴<…， 故选：B ．二、填空题9．已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x = 1- 处取得极值．【解答】解：函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示， 1x <-时，()0f x '<，1x >-时，()0f x '…， 所以函数只有在1x =-时取得极值． 故答案为：1-．10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是 2log 5 ． 【解答】解：由于3021-<<，12132<<，22log 5log 42>=，则三个数中最大的数为2log 5． 故答案为：2log 5． 11．在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B 3或3． 【解答】解：在ABC ∆中，13cos 14A =，sin A ∴== 73a b =，sin 7sin 3b A B a ∴===(0,)B π∈， 3B π∴=或23π． 故答案为：3π或23π． 12．去年某地的月平均气温(C)y ︒与月份x （月)近似地满足函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b为常数，0)2πϕ<<．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为 5- C ︒，ϕ= ．【解答】解：函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b 为常数），∴当51182x +==时，sin()6x πϕ+取得最大或最小值， ∴862k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，解得56k πϕπ=-，k Z ∈， 又02πϕ<<，6πϕ∴=；31a b ∴-=，且sin 13a b π+=，解得13a =，18b =-；1318sin()66y x ππ∴=-+，当2x =时，1318sin(2)5()66y C ππ=-⨯+=-︒．故答案为：5-，6π．13．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF 的值为18． 【解答】解：2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，1122BG BC ∴==，211CD =-=，120BCD ∠=︒， 23BE BC =，16DF DC =， ∴21()()()()36AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC =++=++ 12216336AB AD AB DC BC AD BC DC =+++ 122121cos6021cos011cos6011cos1206336=⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯⨯︒111291331818=++-=， 故答案为：291814．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 (2,4) ；()0f x '=的解是 ．【解答】解：由题意，2DC =，CP x =，6DP x =- CPD ∆，∴262662x xx x x x +>-⎧⎪+->⎨⎪+->⎩，解得(2,4)x ∈如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来即()f x==()f x∴'=，令()0f x'=，解得3x=，故答案为：(2,4)，3．三、解答题15．已知函数()cos()(0f x A x Aωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<的图象过点1(0,)2，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x的解析式．（2）若[6xπ∈，]m，()f x的值域是[1-，，求m的取值范围．【解答】解：（1）由函数的最小值为1-，0A>，得1A=，最小正周期为23π，2323πωπ∴==，()cos(3)f x xϕ∴=+，又函数的图象过点1(0,)2，1cos2ϕ∴=，而02πϕ<<，3πϕ∴=，()cos(3)3f x xπ∴=+，（2）由[6xπ∈，]m，可知533633x mπππ++剟，5()cos66fππ==cos1π=-，7cos6π=，由余弦定理的性质得：7336mπππ+剟，∴25918mππ剟，即2[9mπ∈，5]18π．16．数列{}n a 的前项n 和记为n S ，若数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列． （1）求数列{}n a 通项公式n a ．（2）若||n n b a =，且数列{}n b 的前项n 和记为n T ，求415T T +的值． 【解答】解：（1）数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列， ∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-，即210n S n n =-+，① 2n ∴…时，21(1)10(1)n S n n -=--+-，②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+， 又当1n =时，119a S ==，满足上式， 211n a n ∴=-+；（2）由题意，|||112|n n b a n ==-，∴当15n 剟时，212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+===-+；6n …时，2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+．41524125149T T ∴+=+=．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，8sin()17A C +=，且角B 为锐角．（1）求cos B 的值；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求边长b ． 【解答】解：（1）8sin()17A C +=， 8sin sin[()sin()17B AC A C π∴=-+=+=， 角B 为锐角， cos 0B ∴>，即15cos 17B ===．（2）ABC ∆的面积为2，118sin 22217S ac B ac ∴==⨯=， 则172ac =， 6a c +=，2222151717152cos ()2236223617154172217b ac ac B a c ac ac∴=+-=+--=-⨯-⨯⨯=--=， 则2b =．18．已知函数1()xax f x e -=． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0，1]上的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）1a =时，1()xx f x e -=，x R ∈， 2()xx f x e -+∴'=， 令()0f x '>，解得：2x <， 令()0f x '<，解得：2x >，()f x ∴在(,2)-∞递增，在(2,)+∞递减；（Ⅱ）由1()xax f x e -=得： 1()xax a f x e -++'=，[0x ∈，1]， 令()0f x '=，0a <，解得：111x a=+<， ①110a+…时，即10a -<…时，()0f x '…对[0x ∈，1]恒成立，()f x ∴在[0，1]递增，()(0)1min f x f ==-；②当1011a<+<时，即1a <-时， x ，()f x '，()f x 在[0，1]上的情况如下：111()(1)aaf x min f ae +∴=+=；综上，10a -<…时，()1min f x =-，1a <-时，11()min aa f x e+=．19．已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； （2）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）2()39f x x '=-，()6g x x '=，设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ，0)y ，则3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩，解得：015x a =-⎧⎨=⎩或0327x a =⎧⎨=-⎩，a ∴的值为5或27-；（2）令32()39h x x x x =--，则()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-，∴令()0h x '=，得：1x =-或3，列表：()h x ∴的极大值为(1)5h -=，极小值为h （3）27=-，又当x →+∞时，()h x →+∞，当x →-∞时，()h x →-∞， 如图所示：∴当5a >或27a -…时，满足题意，∴实数a 的取值范围为：(-∞，27](5,)-+∞．20．设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，⋯，n a 为(2n n =，3，4，⋯，)阶“期待数列”：①1230n a a a a +++⋯+=； ②123||||||||1n a a a a +++⋯+=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1k S k =，2，3，⋯，)n ，试证：1||2k S …． 【解答】解：（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d ， 1220130a a a ++⋯+=，∴120132013()02a a +=，120130a a ∴+=，即10070a =， 1008a d ∴=，当0d =时，与期待数列的条件①②矛盾，当0d >时，据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=， 100610051100622d d ⨯∴+=，即110061007d =⨯， *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯，2013)n …，当0d <时，同理可得100710061007n n a -+=⨯，*(n N ∈，2013)n …．（Ⅲ）当k n =时，显然1||02n S =…成立； 当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+， 即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+，12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=…，1||(12k S k ∴=…，2，⋯，)n ．。
黑龙江省齐齐哈尔市八中2020届高三数学10月月考试题文
2019—2020学年度上学期10月月考高三数学（文）试题第一部分选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）????31，，A?2?2，Nn?2nB?，xx?，则（ 1．若集合，） ??????22?2，?2? D． BA．． C．i?1等于（） 2.复数i?393139313i?i?i?i? C． D B．A．．1010101010101010????????=（，则a）?10,a??bb3.设向量a?，，满足ba6?bA．1 B．2 C．3 D．54．下列说法错误的是（）x?2x?2220?5x6x?6?0x?x??5””的逆否命题是“若A．“若，则，则x?32?5x?6?0x”的充分不必要条件”是“．“ B2x?5x?6?0R?x?R??x20?5x?6?x””的否定是“，C．“，000△ABCsinA?cosB”为真命题中，．命题：“在锐角Da0??21)a?x?ayx?2ay?5?0,l:(3:l3l//l的值为（，若），则5．已知直线212111??060或B、、 DC、、A6664，则＝a＝10，aaa，若记单调递增的等比数列6.{a}的前n项和为Sa＋4422nn31n－n＋1nn1 ＝－1 D.S2－2－S＝2 B.aA.S＝ C.S＝2nnn＋1nn)?1f)?sin2x,((tanfx）的值为 7.若则（11?2?sin1 D B．A．． C．2??xflnx?x( )的图像可能是8.函数- 1 -A B C D3ππ5 ???2)3cos(π?,x)(0?)?f(x)?cos((x ?)?，则要得的图象过点9．已知函数322?x2sin)y ?f(x 的图象，只需将函数到函数的图象（ ）π2π2 个单位长度A ．向左平移 B ．向右平移个单位长度 33ππ 个单位长度D ．向右平移个单位长度 C ．向左平移 33222rr5)??(x ?3)?(y yx ，则半径上有且只有两个点到直线4的距离等于－3110. 若圆=2 ）的范围是（6］，6） D.［4，（A.（4，6］ B.［4，6） C.4是一个正三角形，若平面的正方形，△PADP －ABCD 中，底面ABCD 是边长为411.在四棱锥 ABCD ，则该四棱锥的外接球的表面积为PAD ⊥平面????561428112 A ．． B ． C ． D3333)f'(x x )(xf e(x)?f(x)?2ef'(R 为满足上的函数，其中．定义在12为自然对数的底数）)xf(??xxf 2xe ?ef(2)?4 ，则）的解集为（的导函数，若2??????????2,,2??,1????1, C ． B ． DA ．．90第二部分 非选择题（共分） .请将正确填在答题卡的横线上.）20 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共分2??yx ??2y ?x ? . 的取值范围为，则目标函数z ＝x13．己知，y 满足约束条件x －3y ??0x ??BCCCAABCDBDAED 所成角的余弦值为中，14.已知正方体-E 的中点，则异面直线与111111.为- 2 -y 22)yP(x,0??124x ?6yx ?y ?的最大值 . 已知圆：，点为圆上任意一点，则15.x216.己知关于x 的不等式ax －(a ＋1)x<－a ＋13x 在区间[2，3]上恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)22－cb)ab ＝b ，c ，已知(a －， 17．（10分）△ABC 的内角A ，BC 的对边分别是a ，（1）求角C ；?)?bsinCccos(A ??04，a ＝1（2）若，求△ABC 的面积。
贵州省贵阳市第一中学高三数学10月月考试题 文(扫描版)
贵州省贵阳市第一中学2019届高三数学10月月考试题文（扫描版）贵阳第一中学2019届高考适应性月考卷（二）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由已知{|11}B x x =-<≤，则(01)A B =，，故选A ．2．2i 2i(1i)i 11i 2z ---===--+，所以1i z =-+，故选A ． 3．十年中，我国每年的GDP 逐年递增，A 和B 明显错误；C 显然正确；与上一年相比年增量的增加幅度最大的应该是2010年，D 错，故选C ． 4．化抛物线的方程为标准形式214x y =，所以11248p p =⇒=，由||32MpM F y =+=，得M y = 473216p -=，故选D ． 5．选项A ：是命题的否定，不是否命题；选项B ：因为sin x 最多只能取到1，所以函数sin y x =2sin x+的最小值取不到C ：利用逆否命题可判断原命题是真命题；选项D ：0a b +=是1ab=-的必要不充分条件，不是充要条件，故选C ． 6．由已知得π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故它的周期是π，图象关于直线π3x =对称，不关于点π06⎛⎫⎪⎝⎭，对称，在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减，故选B ．7．当S 累加到299就要将其输出，所以i 最多只能取到99，当其再加一个2，变成101时，判断框就要走“是”这条路，故选B ．8．若m n ∥，n α⊂，则m α∥或m α⊂，所以A 不正确；若m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m n ∥或m 与n 异面，所以B 不正确；由面面平行的性质定理知C 是正确的；若m α⊂，n β⊂，m β∥，n α∥，则αβ∥或α与β相交，所以D 不正确，故选C ．9．由已知得230m ma a -=，解得3m a =或0m a =（舍去），又12121(21)()2m m m a a S ---+==(21)m a -，即(21)3(21)57m a m -=-=，解得10m =，故选C ．10．由|3|=||a b a b ++，可得(2)0a b b +=，则2220(00)m n m n +++=>>，，即24m n+-1=，所以111123344244m n n m m n m n m n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤故选D ．11．双曲线C 的渐近线方程为a y x b =±，设ay x b=的倾斜角为θ，则tan tan(π2)MON θ∠=-=3tan 24θ-=，即3tan 24θ=-，22tan 31tan 4θθ=--∴，解得tan 3θ=或1tan 3θ=-（舍去）， 3a b =∴，e ∴，故选B ． 12．由(2)()f x f x +=-，可知(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以4是()y f x =的一个周期，由(4)()f x f x -=，可知2x =是()y f x =的一条对称轴，而且由()(4)()f x f x f x -=-=，可得()y f x =是一个偶函数，而πcos2xy =也是一个以4为周期的偶函数．将()y f x =与πcos2xy =的图象画在同一个平面直角坐标系中，如图1，在一个周期内，只有当111122x ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，时，函数()y f x =与函数πcos 2x y =的函数值同为正，其他范围均为一正一负，所以当11144414()22x k k k k k ⎛⎫⎛⎫∈-+-+++∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Z ，，时，π()cos 02x f x >，故选B ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．不等式组表示的可行域如图2中阴影部分所示，将目标函数 25z x y =+-化为25y x z =-++，作出直线图12y x =-，并平移该直线知，当直线25y x z =-++经过点(63)A --，时，z 有最小值，且min 2(6)35z =⨯--- 20.=-14．将圆222210x y x y ++++=化成标准形式得22(1)(1)1x y +++=，圆心为(11)C --，，半径为1r =，所以min 11d d r =-=-=．15．先找到正方形ABCD 的外心1O 和等边PAD △的外心2O ，然后过1O 作底面ABCD 的垂线，过2O 作侧面PAD 的垂线，两条垂线的交点即为球心O （如图3），12OO O E ==1132PE O B ==故球的半径R ==故球的表面积为24π21π.R =16．e 0e ()||e 0xx x x x f x x x x⎧>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩，，，，当0x >时，2e (1)()x xf x x -'=，令()01f x x '=⇒=，故()f x 在(01)，上递减，在(1)+∞，上递增；当0x <时，2e (1)()0x x f x x -'=->恒成立，故()f x 在(0)-∞，上递增．()f x 的大致图象如图4所示，方程()50()a f xa a ++=∈R 有3个相异的实数根等价于函数()y f x =与函数5a y a +=-的图象有3个不同的交点，所以5e a a +->，即50e 1a -<<+． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）因为0=，m n 所以22(sin sin )(sin sin sin )0B C A B C +-+=，所以22()0b c a bc +--=，即222b c a bc +-=-，………………………………………（3分）图3图4故2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-， 又(0π)A ∈，，所以2π3A =．……………………………………………………………（6分）（2）由（1）及a =223b c bc +=-， …………………………………………（9分）又222b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号），故32bc bc -≥，即1bc ≤，故112πsin 1sin 223ABC S bc A =⨯⨯△≤．……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由24︰24︰12 = 2︰2︰1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，分别设为1212a a b b c ，，，，，…………………………………………………………（1分）则从这5所学校中随机抽取3所学校的所有基本事件为121()a a b ，，，122()a a b ，，，12(a a ，，)c ，112()a b b ，，，11()a b c ，，，12()a b c ，，，212()a b b ，，，21()a b c ，，，22()a b c ，，，12()b bc ，，共10种，…………………………………………………………………………………（4分）设事件A 表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所”，则事件A 有11()a b c ，，，12()a b c ，，，21()a b c ，，，22()a b c ，，共4种，故42()105P A ==． …………………………………………………………………………………………（6分）（2）由题中表格得230.155 2.25545x y xy x ====，，，，且由参考数据：512.76i i i x y ==∑，52155ii x==∑，………………………………………………………………………………（8分）所以 2.76 2.250.0510.150.05130.0035545b a -===-⨯=--，， …………………………（10分）得到线性回归方程为0.0510.003y x =-．……………………………………………（11分）当6x =时，代入得0.05160.0030.303y =⨯-=，所以六年级学生的近视眼率大概在0.303左右． ……………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：∵底面ABCD 是矩形，∴CD AD ⊥， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD底面ABCD AD =，CD ⊂底面ABCD ，∴CD ⊥侧面PAD ，而AP ⊂侧面PAD ，∴CD AP ⊥，………………………………（3分）在PAD △中，sin sin 1AD PADAPD PD∠∠==，∴90APD ∠=︒，即.AP PD ⊥……………………………………………………………（5分）又PD CD PCD PD CD D ⊂=，平面，，∴AP PCD ⊥平面．………………………………………………………………………（6分）（2）解：根据等体积法：A PCD B PCD C PBD V V V ---=== 且由（1）可知：CD PD ⊥，AP PCD ⊥平面，则11232CD ⨯⨯⨯⨯=解得4CD =．在Rt PCD △中，PC == ………………………………………………（9分）设点B 到平面PAC 的距离为d ，则B PAC P ABC P BCD C PBD V V V V ----====则1132d ⨯⨯=，解得d =．………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由题意得2221212c a c b a b c ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，，………………………………………………………（2分）解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，，……………………………………………………………………………（5分）所以椭圆C 的方程为2212y x +=．………………………………………………………（6分）（2）由题意，设直线AB 的方程为y kx m =+， 则222221(2)220.2y x k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩， 由222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+->，得222m k -<，①………………………………（8分）设11()A x y ，，22()B x y ，，线段AB 的中点为00()M x y ，，则12222kmx x k +=-+，212222m x x k -=+，00022222km m x y kx m k k =-=+=++∴，，即22222kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，．…………………（10分）将22222km m M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，代入12x ky +=，得222k m k k +=≠，0，② 由①②，得223k >，∴k <或k >…………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）当1a =时，()e x f x x =+，则()e 1x f x '=+，(0)2k f '==，…………………………………………………………（4分）所以切线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=．……………………………………（6分）（2）解法1：由()e 0x f x a '=+=，得ln()x a =-．①当[10)a ∈-，时，()e 10(0)x f x a a x '=++≥≥≥，此时()f x 在[0)+∞，上递增， 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．………………………………………………………（8分）②当(1)a ∈-∞-，时，ln()0a ->；当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln())ln()f x f a a a a -=-+-≥，依题意，ln()0a a a -+->，又1a <-，∴e 1a -<<-，综合①②，得实数a 的取值范围是e 0a -<<．………………………………………（12分）解法2：分离参数法当0x =时，10>恒成立；当0x >时，e 0xax +>恒成立等价于e xa x >-恒成立．………………………………（7分）设e ()(0)x g x x x =->，则2e(1)()x x g x x --'=，…………………………………………（8分） 令2e (1)()001x x g x x x --'=>⇒<<，令2e (1)()01x x g x x x --'=<⇒>， ………………………………………………………………………………………（10分）所以函数()g x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减，max ()(1)e g x g ==-，………………………………………………………………………………………（11分）所以e a >-，又0a <，于是a 的取值范围是e 0a -<<．…………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）曲线1C 表示过点(02)，且倾斜角为α的一条直线，由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．………………………………………（4分）（2）将1C 的参数方程代入2C的直角坐标方程得2π404t t α⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，（※） 由2π32sin 1604α⎛⎫∆=--> ⎪⎝⎭，得πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以ππ2α<<． ………………………………………………………………………………………（6分）设方程（※）的两根为t 1和t 2，则1212π0404t t t t α⎛⎫+=--<=> ⎪⎝⎭，，所以1200t t <<，， 所以12121211π2sin 1||41||MP M t t t t Q t t α++⎛⎫=+=-=- ⎪--⎝⎭，……………………………（8分）又ππ2α<<π(14α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 即11||||MP MQ +的取值范围为(1．………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当4a =时，不等式为1|||2|2x x --≥， 当0x ≤时，不等式为11(2)222x x -+-⇒-≥≥，无解； 当02x <<时，不等式为15(2)24x x x +-⇒≥≥，所以524x <≤；当2x≥时，不等式为11(2)222x x--⇒≥≥，不等式恒成立，综上，不等式的解集为54⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．……………………………………………………（4分）（2）因为|||((|x x x x--=≤，所以当x()f x，依题意有对任意的[04]a∈，，m>maxm>，又244[(4)]8a a=+++-=当且仅当4a a-=，即2a=所以m的取值范围是)+∞．……………………………………………………（10分）。
重庆市第一中学2020届高三数学10月月考试卷 文
重庆市第一中学2020届高三数学10月月考试卷 文数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟． 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合11A x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，11,0,2B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则=B A I （ ）A. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B.12⎧⎫⎨⎬⎩⎭C. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D.φ2．函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 3.设a R ∈，则“3a >”是“函数log a y x =在定义域上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知实数0,a b m R >>∈，则下列不等式中成立的是（ ）A ．2211a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22a b --> C ．m a b m >D ．b m ba m a+>+ 5.已知sin 3sin()2πθθ=+，则tan()4πθ+的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 6．存在实数x ，使得不等式210x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(,2][2,)-∞-+∞UC ．(2,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞U7．已知数列{}n a 满足：1111,(,2),(1)n n a a a n N n n n *-==+∈≥+则20a =（ ）A.1920 B. 1942 C. 6142 D. 9208．已知,,220,a b R a b ∈-+=且则124ab +的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C.12 D. 149．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S =（ ）A. 55B. 11C. 50D. 60 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，若(1)2f =且(2)f x +为偶函数，则(8)(9)(2019)f f f ++=（ ）A ．2B ．1C ．6D ．411．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2212,21(),n n a a S n n N *+==++∈若对任意的n ∈*N ，123111120nn a n a n a n a λ++++-≥++++L 恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(,2]-∞B ．(,1]-∞C ．1(,]4-∞ D ．1(,]2-∞12．函数()x x f x e=，关于x 的方程2()(2)()20f x m f x m -++-=有4个不相等实根，则实数m 的取值 范围是( )A. 22(,2)e e e e -+B. 22(,)e e e e -+∞+C. 22221(,)e e e e -++∞+ D. 22221(,2)e e e e-++第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量(,1),(3,4),//a x b a b ==r r r r，则实数x =__________.14．曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则实数a =__________.15．点,A B 是圆22:4O x y +=上两个动点，||2,32,AB OC OA OB M ==-u u u r u u u r u u u r u u u r为线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r的值为__________.16．某小商品生产厂家计划每天生产A 型、B 型、C 型三种小商品共100个，生产一个A 型小商品需5分钟，生产一个B 型小商品需7分钟，生产一个C 型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个A 型小商品可获利润8元，生产一个B 型小商品可获利润9元，生产一个C 型小商品可获利润6元．该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是__________元.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出演算步骤或证明过程）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，已知ABC ∆的面积为33，0cos 3sin =-A A ，13=a ，且b c >.（1）求边b ；（2）如图，延长BC 至点D ，使22=DC ，连接AD ，点E 为线段AD 中点，求ACEDCE∠∠sin sin 。
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3、已知幂函数的图象过点，则
。
4、下面给出四个命题：
①直线与平面内两直线都垂直，则；
②棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形； ③圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥底面的半径；
④函数的零点有 1 个； ⑤函数的反函数是。
其中正确的命题序号是
。 ②⑤
5、有五位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方 法共有 ___________种。
A ．关于轴对称
B．关于轴对称
C．关于原点对称
D ．关于直线对称
18 、 四 面 体 的 一 条 棱 长 为 ， 其 余 棱 长 都 为 1 ， 体 积 为 ， 则 函 数 在 其 定 义 域 上
----------------------------------------------------------------------------------------------------------点间的距离为，
圆锥顶点到直线的距离为， 和圆锥的轴的距离为， 则
该圆锥的体积为 _________。
13、若不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是
___。
14、若满足： , 满足：，则 _______。 二、选择题（每题 5 分，满分 20 分）
⑴求该几何体的表面积； （精确到）
解：
14 2
32 1 2 2
3 102 32 ----------4 分
-----------------2 分
⑵如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用有关数据说明。
（杯壁的厚度
忽
略不计）
解： ------------------------------2 分
1 V圆锥
---------------------------------------- 1分 由 -------------------------3 分
----------------------------------------1 分 -----------------------------------4 分 20、（本题满分 12 分） 一个圆锥形的空杯子，上面放着一个半球形的冰淇淋，形成如图所示的几何体。
⑶四面体的体积。
V V 解： ABDC1
C1 ABD
1 3 S ABD CC1 ----------------2 分
。
9、已知有两个命题： ① 函数是减函数； ② 关于的不等式的解集为，如果这两个命题中有且
只有一个是真命题，则实数的取值范围是
。
10、一个盒子中装有张卡片，上面分别写着四个函数： ，，， ，现从盒子中任取张卡片， 将卡片上的函数相乘得到一个新函数，
所得函数为奇函数的概率是
_________。
11、已知正三棱锥的侧棱与底面边长相等，分别为的中点，则异面直线与所成角的大小是
3
32 10 30 -----------------------------2 分
----------------------------------------------1 分
∴不会溢出杯子 --------------------------------------------1 分
21、（本小题 16 分） 已知是底面边长为 1 的正四棱柱，高，求
15 、 原 命 题 ： “设 ， 若 ， 则 ”的 逆 命 题 、 否 命 题 、 逆 否 命 题 中 真 命 题 的 个 数 有
-----------------------------------------------------------------------------------------------------(
2019-2020 年高三 10 月月考 数学试题
（满分 100 分，时间 90 分钟） 成绩 ___________________ 一、填空题（每题 4 分，满分 56 分）
1、已知 A y y 2x, x R , B y y x 2 , x R ，则 _________。
2、函数的定义域是 ___________。
⑴直线与平面所成角的大小； 解： 连结，∵正四棱柱
∴，是在平面上的射影
就是与平面所成的角 --------------3 分 在中， --------------------------1 分
A B
D
C
A1
B1
D1 C1
∴直线与平面所成的角为 ------1 分 ⑵二面角的大小； 解： 过作，垂足为，连结 ------------------1 分
)B
A．
B．
C．
D．
16、下列结论正确的是 ------------------------------------------------------------------------------------(
)D
A ．当且时，
B ．当时，的最小值为 2
C．当时，无最大值
D ．当时，
17、若，为偶函数，则 G(x) F ( x) loga ( x x2 1) 的图像 --------( ) C
)D
A ．是增函数但无最大值
B．是增函数且有最大值
C．不是增函数且无最大值 三、解答题（本大题满分 74 分） 19、（本题满分 12 分）
D ．不是增函数但有最大值
已知集合，集合，求。
解： 由 --------------------1 分
则 --------------------------------------------2 分
∵，∴
∵ AB AD , BAC1 DAC 1, AE AE
∴， ∴ ∴是二面角的平面角 ----------------4 分
A B
D
C
A1
B1
D1 C1
在中，，， -----------------------------------------------1 分 ∴ ∴二面角的大小为 ------------1 分
6、如果函数是奇函数，则 ____________。
7、在北纬圈上有甲、乙两地，它们分别在东经与东经圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球 面距离是 ___________。
8、在一个水平放置的底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为的实心铁
球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升，则