经典控制理论——第三章1
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稳态误差＝输出量的期望值－输出量的实际稳态值
动态性描述 反映系统动态过程的性能称为系统的 动态性能。描述系统动态性能的指标称为 动态指标。 通常，对系统动态性能的描述约定为： 以系统对单位阶跃信号的响应为准，定义 具体的指标。由于系统的响应与初始条件 有关，为了便于比较，通常采用标准初始 条件（即零初始条件，亦在输入加入以前， 系统的输出及输出的各阶导数均为零）。 不失一般性，设系统的单位阶跃响应如 图：
根据一阶系统的响应曲线可以求T 常用的方法 ① c(t) =0.632 处，t=T ② t＝0处曲线斜率 k＝1/T
稳态性分析
r(t) c(t)
1 c1 t e T
c2 t 1 e
t T
c ss lim ct
t
ess lim r t c t
这种函数的拉氏变换是：
X r ( s ) L[lim ] A
0
A
图3-4 单位脉冲函数
性能指标的时域描述
动态过程----动态性能指标 稳态过程----稳态性能指标 分析的思路：数学描述 稳定性 动态性 稳态性
稳定性描述 线性系统稳定性的定义，常采用俄国学者 李亚普诺夫在1892年给的定义。 线性控制系统稳定性的定义： 若线性控制系统在初始扰动 t 的影响 下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰 减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定， 简称稳定。反之，若在初始扰动 t 的影 响下，系统的过渡过程随时间的推移而 发散，则称该系统为不稳定。
B
t tr tp ts
3-2 一阶系统的阶跃响应
分析的思路：一阶系统的数学描述 稳定性 动态性 稳态性
一、一阶系统的数学模型
一阶系统的微分方程为:
dxc (t ) T xc (t ) x r (t ) dt
式中，xc(t) 为输出量，xr(t) 为输入量，T 为时间 常数。 一阶系统的结构图，如图3-5所示。
图3-1 单位阶跃函数
它表示为：
xr (t ) 1(t )，或xr (t ) u(t )
单位阶跃函数的拉氏变换为：
1 X r ( s ) L[1(t )] s
2．斜坡函数 这种函数的定义是：
0，t 0 xr (t ) At，t 0
该函数的拉氏变换是：
A X r ( s ) L[ At ] 2 s
C s Gs Rs Gs
C t L1 C s L1 G s g t
上式表明：系统的传递函数与系统的脉冲 响应有单值对应的关系，由于传递函数是 系统的一种数学模型，能反映系统的静、 动态性能，故系统的脉冲响应也可以反映 系统的静、动态性能，即系统的脉冲响应 也可以作为系统的数学模型。
取Xc(s)的拉氏反变换，可得单位阶跃响应 ： 1 1 1 1 1 1 xc (t ) L L 1 Ts 1 s s s T
xc (t ) 1 e
1 t T
,
(t 0)
显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始， 按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图3-7所示。响 应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。
t 的物理概念是指加了扰动并消除（采 用脉冲函数来模拟干扰主要是取其下沿。也 可以是方波，即加一段时间后又放掉）。 如用g t 表示脉冲响应，在数学上，上述对 控制系统稳定性定义的描述可转化为这样的 数学表达式： 若 lim g t 0 系统稳定 t
若
lim g t 0
第三章 自动控制系统的时域分析
本章主要内容
介绍了控制系统时 域性能分析法的相关概 念和原理。包括各种典 型输入信号的特征、控 制系统常用性能指标、 一阶、二阶系统的暂态 响应、脉冲响应函数及 其应用、控制系统稳定 性及稳定判据、系统稳 态误差等。
本章重点
应重点掌握典型输 入信号的定义与特征、控 制系统暂态和稳态性能指 标的定义及计算方法、一 阶及二阶系统暂态响应的 分析方法、控制系统稳定 性的基本概念及稳定判据 的应用、控制系统的稳态 误差概念和误差系数的求 取等内容。
动态性能指标定义1
h(t) h(t)
A A A 100% 超调量σ%= A 100% = 超调量σ% B B
峰值时间t B 峰值时间tpp B
上 升 上 升 时间t 时间tr r
调节时间t 调节时间ts s
tt
动态性能指标定义2
h(t)
调节时间 ts 上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t) A σ%= A 100% B
t
系统不稳定
这就给出了控制系统稳定性的判断方法
事实上，对于线性定常系统
正常工作输入
干扰
在正常输入上 迭加干扰信号
系统稳定时
limc1 c 2 c1 t
t
即
lim g t 0
t
稳态性描述 在时域分析法中，控制系统的稳态性能是指： 时间t趋于无穷大时，系统输出的状态，称 为系统的稳态响应。 系统稳态响应的优劣程度，主要是看系统 实际输出状态与希望输出状态之间的差距，即 稳态误差。 稳态误差的大小是衡量系统稳态性能的重 要指标。
(3) 峰值时间tp ：响应超过稳态值，达到第一个 峰值所需要的时间。 (4) 调节时间ts ：响应达到并停留在稳态值的5％ 或2%误差范围内所需的最小时间。 (5) 超调量： 设c(tp)是在tp处的值，则
%
c t p c c
100%
(6)震荡次数 n ：响应曲线在ts时刻之前震荡的次 数，曲线与输入稳态值相交次数的一半。
（1） 延迟时间td ：阶跃响应第一次达到稳态 值50％所需的时间。 (2) 上升时间tr ： 响应从稳态值的10％上升到稳态值的 90％所需的时间。（对过阻尼系统）或响 应从稳态值的5％上升到稳态值的95％所需 的时间。（对过阻尼系统） 响应从稳态值的0％上升到稳态值的 100％所需的时间。（对欠阻尼系统）
图3-7 一阶系统的单位阶跃响应
按照定义容易求得： td＝0.69T tr =2.20T tp =不存在 ts=4T ( =2%) 3T ( =5%) %=0 n=0
响应曲线的初始斜率为1/T t d 1 T 1 c t e dt T T t 0
一阶系统的时间常数 T小，1/T大，初始陡， 上升快，ts小； T大，1/T小，初始平，上升慢，ts大。
t
r1 t t
r2 t 1t
0
0
无差 跟踪
t T
1
t T
0
无差 跟踪
有差 跟踪 不能 跟踪
r3 t t
c3 t t T Te
t T
12 t Tt T 2 2
T
Tt T 2
t 1 2 1 2 r4 t t c4 t t Tt T 2 T 2 e T 2 2
其闭环传递函数为：
K X c ( s) s 1 1 GB ( s) X r ( s) 1 K 1 s 1 Ts 1 s K
图3-5 一阶控制系统
稳定性分析：一阶系统的脉冲响应 传递函数 G s 的Laplace反变换是系统的脉 冲响应 g t 。 当 r t t 时 R s 1
’ 2
问应
h(T)=0.632h(∞) h(2T)=0.865h(∞) h(3T)=0.95h(∞) 1 、3个图各如何求T？ h(4T)=0.982h(∞) 2 、调节时间t =？
s
1 k(0)= T ’ h (0)=1/T 1 K’(0)= T2 T
? 3 、r(t)=vt时，ess=？
4、求导关系
注意： 性能指标按特征分为两类： 快速性指标：td , tr , tp , ts。 振荡性指标： n 若响应曲线无超调现象，则不定义 tp 。这时， 记 % =0(超调量为零) 最常用的的指标是： t s ， % 。 理论上， t s ， % 及 t r 指标是越小越好，但实际 中是做不到的。
线性系统的重要结论(适合：线性定常) dr2 t d 2 r3 t d 3 r4 t r1 t 2 3
dt dt dt
有
dc2 t d 2 c3 t d 3 c4 t c1 t 2 dt dt dt 3
结论：系统对输入信号导数的响应等于 系统对输入信号响应的导数 同理：系统对输入信号积分的响应等于 系统对输入信号响应的积分
( r t t )
T 0
即 T >0 时系统稳定
一阶系统的单位脉冲相应曲线
动态性分析：一阶系统的单位阶跃响应
因为单位阶跃输入的拉氏变换为： X r ( s ) 1 s 可得 ： X c (s) GB (s) X r (s)
1 1 Ts 1 s
Leabharlann Baidu
3-1
自动控制系统的时域指标
一、对控制性能的要求 （1）系统应是稳定的； （2）系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差的要求； （3）系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。
二、自动控制系统的典型输入信号
1．阶跃函数 阶跃函数的定义是：
0，t 0 xr (t ) A，t 0
幅值为1的阶跃函数称为单位阶跃函数， 如图3-1所示。
稳定性分析：一阶系统的脉冲响应
lim 由稳定性的分析有：t g t 0 时控制系统稳 定, lim g t 0 ，控制系统不稳定。本系统： t
t 1 T 1 lim g t lim L1 G s lim L1 lim T e 0 t t t t Ts 1
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统 Φ(s)=
k(t)=
1 T
k ,T 时间常数 Ts+1 (画图时取k=1,T=0.5)
- t e
T
h(t)=1-e-t/T r(t)= 1(t)
c(t)=t-T+Te-t/T r(t)= t
r(t)= δ(t) 单
1 单 k(0)= T 单 位 1 位 (0)= T K 位 斜 脉 阶 坡 跃 冲 响 响 应 应 响
单位斜坡函数如图3-2所示。
图3-2 斜坡函数
3．抛物线函数
这种函数的定义是：
0，t 0 xr (t ) 2 At ，t 0
该函数的拉氏变换是
2A X r ( s) L[ At ] 3 s
2
图3-3 单位抛物线函数
4．脉冲函数 这种函数的定义是：
A ， x r (t ) 0， 0 t ( 0) t 0，t ( 0)
动态性描述 反映系统动态过程的性能称为系统的 动态性能。描述系统动态性能的指标称为 动态指标。 通常，对系统动态性能的描述约定为： 以系统对单位阶跃信号的响应为准，定义 具体的指标。由于系统的响应与初始条件 有关，为了便于比较，通常采用标准初始 条件（即零初始条件，亦在输入加入以前， 系统的输出及输出的各阶导数均为零）。 不失一般性，设系统的单位阶跃响应如 图：
根据一阶系统的响应曲线可以求T 常用的方法 ① c(t) =0.632 处，t=T ② t＝0处曲线斜率 k＝1/T
稳态性分析
r(t) c(t)
1 c1 t e T
c2 t 1 e
t T
c ss lim ct
t
ess lim r t c t
这种函数的拉氏变换是：
X r ( s ) L[lim ] A
0
A
图3-4 单位脉冲函数
性能指标的时域描述
动态过程----动态性能指标 稳态过程----稳态性能指标 分析的思路：数学描述 稳定性 动态性 稳态性
稳定性描述 线性系统稳定性的定义，常采用俄国学者 李亚普诺夫在1892年给的定义。 线性控制系统稳定性的定义： 若线性控制系统在初始扰动 t 的影响 下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰 减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定， 简称稳定。反之，若在初始扰动 t 的影 响下，系统的过渡过程随时间的推移而 发散，则称该系统为不稳定。
B
t tr tp ts
3-2 一阶系统的阶跃响应
分析的思路：一阶系统的数学描述 稳定性 动态性 稳态性
一、一阶系统的数学模型
一阶系统的微分方程为:
dxc (t ) T xc (t ) x r (t ) dt
式中，xc(t) 为输出量，xr(t) 为输入量，T 为时间 常数。 一阶系统的结构图，如图3-5所示。
图3-1 单位阶跃函数
它表示为：
xr (t ) 1(t )，或xr (t ) u(t )
单位阶跃函数的拉氏变换为：
1 X r ( s ) L[1(t )] s
2．斜坡函数 这种函数的定义是：
0，t 0 xr (t ) At，t 0
该函数的拉氏变换是：
A X r ( s ) L[ At ] 2 s
C s Gs Rs Gs
C t L1 C s L1 G s g t
上式表明：系统的传递函数与系统的脉冲 响应有单值对应的关系，由于传递函数是 系统的一种数学模型，能反映系统的静、 动态性能，故系统的脉冲响应也可以反映 系统的静、动态性能，即系统的脉冲响应 也可以作为系统的数学模型。
取Xc(s)的拉氏反变换，可得单位阶跃响应 ： 1 1 1 1 1 1 xc (t ) L L 1 Ts 1 s s s T
xc (t ) 1 e
1 t T
,
(t 0)
显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始， 按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图3-7所示。响 应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。
t 的物理概念是指加了扰动并消除（采 用脉冲函数来模拟干扰主要是取其下沿。也 可以是方波，即加一段时间后又放掉）。 如用g t 表示脉冲响应，在数学上，上述对 控制系统稳定性定义的描述可转化为这样的 数学表达式： 若 lim g t 0 系统稳定 t
若
lim g t 0
第三章 自动控制系统的时域分析
本章主要内容
介绍了控制系统时 域性能分析法的相关概 念和原理。包括各种典 型输入信号的特征、控 制系统常用性能指标、 一阶、二阶系统的暂态 响应、脉冲响应函数及 其应用、控制系统稳定 性及稳定判据、系统稳 态误差等。
本章重点
应重点掌握典型输 入信号的定义与特征、控 制系统暂态和稳态性能指 标的定义及计算方法、一 阶及二阶系统暂态响应的 分析方法、控制系统稳定 性的基本概念及稳定判据 的应用、控制系统的稳态 误差概念和误差系数的求 取等内容。
动态性能指标定义1
h(t) h(t)
A A A 100% 超调量σ%= A 100% = 超调量σ% B B
峰值时间t B 峰值时间tpp B
上 升 上 升 时间t 时间tr r
调节时间t 调节时间ts s
tt
动态性能指标定义2
h(t)
调节时间 ts 上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t) A σ%= A 100% B
t
系统不稳定
这就给出了控制系统稳定性的判断方法
事实上，对于线性定常系统
正常工作输入
干扰
在正常输入上 迭加干扰信号
系统稳定时
limc1 c 2 c1 t
t
即
lim g t 0
t
稳态性描述 在时域分析法中，控制系统的稳态性能是指： 时间t趋于无穷大时，系统输出的状态，称 为系统的稳态响应。 系统稳态响应的优劣程度，主要是看系统 实际输出状态与希望输出状态之间的差距，即 稳态误差。 稳态误差的大小是衡量系统稳态性能的重 要指标。
(3) 峰值时间tp ：响应超过稳态值，达到第一个 峰值所需要的时间。 (4) 调节时间ts ：响应达到并停留在稳态值的5％ 或2%误差范围内所需的最小时间。 (5) 超调量： 设c(tp)是在tp处的值，则
%
c t p c c
100%
(6)震荡次数 n ：响应曲线在ts时刻之前震荡的次 数，曲线与输入稳态值相交次数的一半。
（1） 延迟时间td ：阶跃响应第一次达到稳态 值50％所需的时间。 (2) 上升时间tr ： 响应从稳态值的10％上升到稳态值的 90％所需的时间。（对过阻尼系统）或响 应从稳态值的5％上升到稳态值的95％所需 的时间。（对过阻尼系统） 响应从稳态值的0％上升到稳态值的 100％所需的时间。（对欠阻尼系统）
图3-7 一阶系统的单位阶跃响应
按照定义容易求得： td＝0.69T tr =2.20T tp =不存在 ts=4T ( =2%) 3T ( =5%) %=0 n=0
响应曲线的初始斜率为1/T t d 1 T 1 c t e dt T T t 0
一阶系统的时间常数 T小，1/T大，初始陡， 上升快，ts小； T大，1/T小，初始平，上升慢，ts大。
t
r1 t t
r2 t 1t
0
0
无差 跟踪
t T
1
t T
0
无差 跟踪
有差 跟踪 不能 跟踪
r3 t t
c3 t t T Te
t T
12 t Tt T 2 2
T
Tt T 2
t 1 2 1 2 r4 t t c4 t t Tt T 2 T 2 e T 2 2
其闭环传递函数为：
K X c ( s) s 1 1 GB ( s) X r ( s) 1 K 1 s 1 Ts 1 s K
图3-5 一阶控制系统
稳定性分析：一阶系统的脉冲响应 传递函数 G s 的Laplace反变换是系统的脉 冲响应 g t 。 当 r t t 时 R s 1
’ 2
问应
h(T)=0.632h(∞) h(2T)=0.865h(∞) h(3T)=0.95h(∞) 1 、3个图各如何求T？ h(4T)=0.982h(∞) 2 、调节时间t =？
s
1 k(0)= T ’ h (0)=1/T 1 K’(0)= T2 T
? 3 、r(t)=vt时，ess=？
4、求导关系
注意： 性能指标按特征分为两类： 快速性指标：td , tr , tp , ts。 振荡性指标： n 若响应曲线无超调现象，则不定义 tp 。这时， 记 % =0(超调量为零) 最常用的的指标是： t s ， % 。 理论上， t s ， % 及 t r 指标是越小越好，但实际 中是做不到的。
线性系统的重要结论(适合：线性定常) dr2 t d 2 r3 t d 3 r4 t r1 t 2 3
dt dt dt
有
dc2 t d 2 c3 t d 3 c4 t c1 t 2 dt dt dt 3
结论：系统对输入信号导数的响应等于 系统对输入信号响应的导数 同理：系统对输入信号积分的响应等于 系统对输入信号响应的积分
( r t t )
T 0
即 T >0 时系统稳定
一阶系统的单位脉冲相应曲线
动态性分析：一阶系统的单位阶跃响应
因为单位阶跃输入的拉氏变换为： X r ( s ) 1 s 可得 ： X c (s) GB (s) X r (s)
1 1 Ts 1 s
Leabharlann Baidu
3-1
自动控制系统的时域指标
一、对控制性能的要求 （1）系统应是稳定的； （2）系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差的要求； （3）系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。
二、自动控制系统的典型输入信号
1．阶跃函数 阶跃函数的定义是：
0，t 0 xr (t ) A，t 0
幅值为1的阶跃函数称为单位阶跃函数， 如图3-1所示。
稳定性分析：一阶系统的脉冲响应
lim 由稳定性的分析有：t g t 0 时控制系统稳 定, lim g t 0 ，控制系统不稳定。本系统： t
t 1 T 1 lim g t lim L1 G s lim L1 lim T e 0 t t t t Ts 1
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统 Φ(s)=
k(t)=
1 T
k ,T 时间常数 Ts+1 (画图时取k=1,T=0.5)
- t e
T
h(t)=1-e-t/T r(t)= 1(t)
c(t)=t-T+Te-t/T r(t)= t
r(t)= δ(t) 单
1 单 k(0)= T 单 位 1 位 (0)= T K 位 斜 脉 阶 坡 跃 冲 响 响 应 应 响
单位斜坡函数如图3-2所示。
图3-2 斜坡函数
3．抛物线函数
这种函数的定义是：
0，t 0 xr (t ) 2 At ，t 0
该函数的拉氏变换是
2A X r ( s) L[ At ] 3 s
2
图3-3 单位抛物线函数
4．脉冲函数 这种函数的定义是：
A ， x r (t ) 0， 0 t ( 0) t 0，t ( 0)