经典控制理论——第三章1
(完整word版)现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性01010（ 1） A10 1B( 2) A 0 0 1 ,B 011024311113 10 1 1（ 3） A0 10 1 0 3 0 , B00 ( 4) AB0 0 11 001211【解】：(1)11U c B AB 1 1, rankU c n 2 ，所以系统完全能控。
c 0 1 c(2)10 0 1 2U c B AB A 2B1 1 11 1 17前三列已经可使 rankU c n 3 ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算） 。
（3）A 为约旦标准型， 且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零， 所以系统不完全 能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征， 所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控 性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
1213 1223B AB A 2B A 3B2 3 U c1 1 12 13 1 11 12 31111rankU c 2 ，所以系统不完全能控。
3 1110 10 0 x0 3 0x 0 0ux0 01x 0u (1)0 0 12(2)61161101yxy10 0x1 10解】：1）311 已知 A 0 30,B0 001220 0 D CB CAB CA 2B 0 0 前两列已经使 rank D CBCAB110 1 0 00 ， C ，D1 1 0 0 031112CA B m2， 所以系统输出能控。
（2） 系统为能控标准型，所以状态完全能控。
又因输出矩阵 状态维数 n ，所以状态能控则输出必然能控。
C 满秩，且输出维数 m 小于1 0x0 01xx1 1 (1)2 43 ； (2) 1 x 0；011y1 1xyx12 12 1 0 4 0 0x0 20xx4 0x(3)；（4）0 030 1y0 1 1x y11 4x解】：1）已知 A01 00 242-3-3 判断下列系统的能观性。
第三章控制对象的动态特性习题与参考解答
第三章控制对象的动态特性习题与参考解答3-1 什么是自衡特性？具有自衡特性被控过程的系统框图有什么特点？1）在扰动作用破坏其平衡工况后，被控过程在没有外部干预的情况下自动恢复平衡的特性，称为自衡特性。
2）被控过程输出对扰动存在负反馈。
3-2 什么是单容过程和多容过程？1）单容：只有一个储蓄容量。
2）多容：有一个以上储蓄容量。
3-3 什么是控制通道和扰动通道(干扰通道)?对于不同的通道，对象的特性参数(K、T、τ)对控制有什么不同的影响?对于一个被控对象来说，输入量是扰动量和操纵变量，而输出是被控变量。
由对象的输入变量至输出变量的信号联系称为通道。
操纵变量至被控变量的信号联系称为控制通道；扰动量至被控变量的信号联系称为扰动通道。
一般来说，对于不同的通道，对象的特性参数(K、T、τ)对控制作用的影响是不同的。
对于控制通道：放大系数K大，操纵变量的变化对被控变量的影响就大，即控制作用对扰动的补偿能力强，余差也小；放大系数K小，控制作用的影响不显著，被控变量的变化缓慢。
但K太大，会使控制作用对被控变量的影响过强，使系统的稳定性下降。
在相同的控制作用下，时间常数T大，则被控变量的变化比较缓慢，此时对象比较平稳，容易进行控制，但过渡过程时间较长；若时间常数T小，则被控变量变化速度快，不易控制。
时间常数太大或太小，在控制上都将存在一定困难，因此，需根据实际情况适中考虑。
滞后时间τ的存在，使得控制作用总是落后于被控变量的变化，造成被控变量的最大偏差增大，控制质量下降。
因此，应尽量减小滞后时间τ。
对于扰动通道：放大系数K大对控制不利，因为，当扰动频繁出现且幅度较大时，被控变量的波动就会很大，使得最大偏差增大；而放大系数K小，既使扰动较大，对被控变量仍然不会产生多大影响。
时间常数T大，扰动作用比较平缓，被控变量变化较平稳，对象较易控制。
纯滞后的存在，相当于将扰动推迟τ0时间才进入系统，并不影响控制系统的品质；而容量滞后的存在，则将使阶跃扰动的影响趋于缓和，被控变量的变化相应也缓和些，因此，对系统是有利的。
3-1系统的时域性能指标
0 .0 5 y ( )
y ( )
或 0 .0 2 y ( )
y ( ) 2
tr td ts
t
稳态误差：系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值。
16:13
10
小结
典型输入作用及其之间的关系 瞬态过程和稳态过程 系统响应的性能指标
16:13
11
16:13 7
⒊ 峰值时间 t p ： y max 输出响应超过稳态值达到第 一个峰值ymax所需要的时间。y () ⒋ 最大超调量(简称超调量) % ： 瞬态过程中输出响应的最大值 超过稳态值的百分数。
%
y max y ( ) y ( ) 100 %
y
0.05 y ( ) 或 0.02 y ( )
0
t
16:13
6
三、动态和稳态过程的性能指标
如果系统在阶跃输入下的动态性能满足要求，则在其他输入下 的动态性能也能令人满意，阶跃输入曲线如图所示： （一）动态性能 ⒈ 延迟时间 t d ： 输出响应第一次达到稳态值 的50%所需的时间。
y ()
y
⒉ 上升时间：r t0t Nhomakorabeatd
tr
输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。或指由稳态值 的10%上升到稳态值的90%所需的时间。
自动控制原理
自动化教研室
第三章 线性系统的时域分析
本章主要内容
1. 2. 3. 4. 5.
系统的时域性能指标 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差计算
16:13
2
3.1 线性系统的时域性能指标
time domain performance index
现代控制理论第三章
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
第三章控制论
例子
图中控制装置的输入为给定温度600℃与测量 元件测出的实际炉温之差，当这个温度差大于 规定的精度范围时, 控制装置发出控制, 缩小炉 温与设定温度600℃之间的差值。一旦炉温达 到所要求的精度范围, 控制装置停止控制，这 样炉温就被控制在600℃左右的精度范围内。
3、传递函数
简单的说就是输入输出的关系，即输入信号从系统的输入 端到输出端的变化方式。它通常用输出与输入之比来表示，有 时也用图形和表格。
控制论主要研究系统中普遍存在的共同行为方 式和被考察系统中展开的信息调节过程。
它与信息论不同，信息论在于研究信息的运动 规律和过程，而控制论则主要讨论系统如何取得信 息、处理信息并利用信息来调节自己得行为方式实 现系统所追求得的目标。
经典控制论——现代控制论——大系统 控制理论
研究大系统的结构方案、动方向上看，输入是从环境 到系统，输出是从系统到环境。
从原因和结果方面看，输入是原因，输出是结果。
联系：
输入输出是相对的 反馈机制说明输入输出是相互作用、相互转化的
例子
某加热炉，工业生产要求炉温必须恒定保持在600℃左右，精度范围为 ±1℃。可以将加热炉作为被控对象采用控制装置来构成一个自动 控制系统，控制加热炉的温度在600℃左右的精度范围内变化。系 统框图：
为控制论的产生和发展提供强有力的工具
统计数学：概率论、随机过程理论 统计力学：经典力学
2、生命科学为控制论的产生提供了可类比对象
从系统追求目的的行为方式看，任何系统在获取信息、处理信 息和利用信息来达到自己的控制目的上都是相似的。
3、数理逻辑学和计算机科学的形成是控制论产生的前奏
系统接收外界的刺激后，只要这个刺激量达到了系统作出应答 所必须的阈值它就会作出应答，否则它就完全不应答。
现代控制理论第三章
B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
自控(第六版 胡寿松)第三章
3.1
时间响应性能指标
3.2
3.3
一阶系统的时域响应
二阶系统的时域响应
3.4
3.5
系统的稳定性分析
系统稳态性能分析
2
3.1
时间响应性能指标
工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系 统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输 入量是如何变化的（如随动系统）。
因此，为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统有一 个进行比较的统一的基础，需要选择一些典型试验信号作 为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。
11
y(t) p
1 0.5 0
稳态误差
td tr t p
ts
t
峰值时间tp：响应超过其稳态值到达第一个峰值所需时间。 调节时间ts：响应到达并保持在稳态值内所需时间。 超调量%：响应的最大偏离量h(tp)与稳态值h(∞)之差的百 分比，即 h( t p ) h() % 100% h() 稳态性能：由稳态误差ess描述。
17
3.2.2 单位斜坡响应
设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t，其拉氏变换为 R( s ) 1 / s 2 则输出的拉氏变换为
C ( s) 1 1 1 T T 2 2 Ts 1 s s s s 1
t T
T
t T
r(t)=t
C ( t ) t T Te
R( s ) L[ r ( t )] A ( t )e st dt
0
A ( t )e dt A ( t )e st dt A
st 0 0
0
单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。
现代控制理论第三章答案可修改全文
xc xc
0u 0
y cRc 1
1
1
xc xc
【习题3－12】试将下列系统按能观性进行结构分解。
1 2 1 0
(1) x 0 1
0
x
0u
1 4 3 1
y 1 1 1x
【解】判别能观性
c 1 1 1
N
cA
2
3
2
cA2 4 7 4
构造变换矩阵
Rank(N ) 2 n
将能控子空间按能观性分解
xc
0 1
8 1/ 3 6xc 1/ 6
1/ 3 1 1/ 3xc 0u
y1 1 2xc
c 1 2 Nc cA 2 4
Rank(Nc ) 1
Ro1
1 1
2
0
0 1 Ro 1/ 2 1/ 2
按能观性分解后：
0 0
即：
2 1 1
(2)
A
1 3
2
4
b
1 1
c 1
0
【解】M b
Ab
1 1
1 2
3
4
c 1 0
N cA 1
2
1 M
1
1 2 3 4
3 4 1 2
0
10
N
1
2 2 0
完全能控完全能观的条件：
3 2
4
0
1
2
0
(3)
M b
0 0 2 1
A 1
0
3
b
2
Ac 2
Tc21 ATc2
0 1
5 4
bc2
Tc21b
1 4
7 1
31 1 1
1 0
自动控制原理-胡寿松-第三章-线性系统时域分析法
课前提问
3-3 二阶系统的时域分析（非常重点、难点）
二阶系统定义：能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 本节内容
0. 预备知识 1. 二阶系统的数学模型 2. 二阶系统的单位阶跃响应 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 4. 过阻尼二阶系统的动态过程分析 5. 二阶系统的单位斜坡响应 6. 二阶系统性能的改善 7. 非零初始条件下二阶系统的响应过程
超调量 % ：
显然 h(tp) hmax
若 h(tp) h() 则响应无超调
实际中，常用的动态性能指标
tr
tp
评价系统起始段的响应速度；
ts
评价系统整个过渡过程的响应速度，是响应速度和阻尼程度的综合指标。
%
评价系统的阻尼程度；
思考：稳态误差从图中怎么看？
3-2 一阶系统的时域分析
一阶系统定义：能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
第三章 线性系统的时域分析法
系统的数序模型确定后，便可以用多种不同的方 法去分析控制系统的动态性能和稳态性能。
在经典控制理论中
时域分析的一般思路：
时域分析法 根轨迹法 频域分析法
数数数数
数数数数数数数 求解微分方程
数数数数
数数数数
优点：直接在时间域对系统进行分析，具有直观、准确的 优点，并可以提供系统时间响应的全部信息。
本章内容
▪ 3-1 系统时间响应的性能指标 ▪ 3-2 一阶系统的时域分析 ▪ 3-3 二阶系统的时域分析 ▪ 3-4 高阶系统的时域分析 ▪ 3-5 线性系统的稳定性分析 ▪ 3-6 线性系统的稳态误差计算 ▪ 3-7 控制系统时域设计
第三章李雅普诺夫稳定性分析
xe为该系统的一个平衡状态。
Page: 14
Modern Control Theory
3-3 李雅普诺夫稳定性
现 代 三、 李雅普诺夫意义下的稳定性定义 控 制 1.李雅普诺夫意义下的稳定性 理 x 定义： 0, ( , t0 ) 当x0满足： 0 xe 论 有 x (t ; x0 , t0 ) xe
2、内部稳定性：
系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。
系统的稳定性都是相对平衡状态而言的。
Modern Control Theory
Page: 13
3-3 李雅普诺夫稳定性
现 代 二、对象及其平衡状态 控 制 1、系统： x f ( x, t ) 理 论
其解：
2
半正定
2
3)
2 V x x12 x2
V x 3x1 2 x2
半负定
5)
2 V x x1 x2 x2
不定
Page: 9
Modern Control Theory
3-2 预备知识
现 代 5) 不定：能找到 -x≠0，使 V x xT Px 0 控 又能找到-x≠0，使V(x)<0, 称其为不定 制 理 论
x2
1 1 1 x1 x3 1 3 1 x2 1 1 3 x3
p1 1
Modern Control Theory
p2 4
p3 2
Page: 11
3-2 预备知识
现 代 控 制 理 论
方法二：配方法
2 2 V ( x) x12 3x2 3x3 2x1x2 2x2 x3 2x1x3
现代控制理论 3
现代控制理论基础
主讲人:荣军 E-mail:rj1219@
第三章 系统的能控性和能观性
3-1 能能控性及其判据
－、线性定常系统的能控性及其判据
线性定常系统状态方程为 x Ax Bu 其中x、u分别为 n、r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统 的一个初始状态x0和任一状态x1,如果在的有限时刻tf>0,定义 在时间区间[0，tf]的输入u（t）使状态x(0)＝x0转移到x(tf) ＝x1 ，则称系统状态完全是能控的； 如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全 能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。
第三章 系统的能控性和能观性
判断以下系统的能观测性：
x1 1 0 x1 x1 x 0 2 x , y [0 1] x 2 2 2 x1 2 1 0 x1 x 0 2 1 x , y1 0 1 2 2 y 0 2 x3 0 0 2 x3 2 x1 2 1 x 2 0 2 x 3 0 0 x 4 x 5 0 0
第三章 系统的能控性和能观性 3-2能观测性及其判据
－、线性定常系统的能观测性及其判据
1、定义 对于定常线性系统 x Ax Bu ，如果对任意给定的输 u，存在一有限观测时间 入 y Cx t0 t1 内，通过观测y(t )能够唯一确定系统的初 始状态x(t0 )，则称 系统在t0时刻是能观测的。如果 对任意的初始状态都能 观测，则称
x1 0 x2 0 x3 x1 x 2 1 0 0 x3 1 1 0 x4 x5
第三章 控制系统的时域分析—1引言及一阶系统时域分析
稳定性指标（收敛、发散）
稳定是控制系统能够工作的首要条件，只有动态过程收 敛 (响应衰减)，研究动态性能与稳态性能才有意义。
收敛是指系统从一个状态运动到另一个状态，在其动态响应过 程中，振荡逐渐减弱并稳定在某一状态。反之则称为发散。
T
量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都
不会超过其稳态值。由于该响应曲线具有非振荡
特征，故也称为非周期响应。
1 斜率 1
T 0.632
C(t) 0.95
T
3T
图中响应曲线的初始斜率（t=0时）为 1/T。如果系统保 持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达 到稳态值。实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经
过T时间后，输出量c(t)从0上升到稳态值的63.2%。经过 3T-4T时， c(t)将分别达到稳态值的95%-98%。可见，时 间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升 越快，响应过程的快速性也越好。
c(t) 1 exp( t ) T
由上式可知，只有当t趋于无穷大时，响应的瞬 态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到 稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间 （即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差 为5%或2%。
t
c(t)
c(t) 1 e T
ess
lim
t
e(t)
0
1
1 T
0.632
动态性能指标：
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
td 0.69T tr 2.20T
t
自动控制原理复习资料——卢京潮版第三章
第三章 线性系统的时域分析法●时域分析法在经典控制理论中的地位和作用时域分析法是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。
时域分析法的特点：1).直观、精确。
2).比较烦琐。
§3.1 概述 1. 典型输入 2. 性能指标∙稳→基本要求 ∙准→稳态要求↓ss e ：∙快→过渡过程要求⎪⎩⎪⎨⎧↓↓⨯∞∞-=sp t h h t h %)()()(%σ§3.2 一阶系统的时域响应及动态性能 设系统结构图如右所示开环传递函数sKs G =)(闭环传递函数)1(11111)(T Ts Ts T K s K s K s K s -=+=+=+=+=Φλ :)(1)(时t t r =Ts sTs s T s R s s C 111)1(1)()()(+-=+=Φ=1)(,0)0( 1)(1=∞=-=∴-c c et c t TTc e T t c t T 1)0( 1)(1='='-依)(t h 特点及s t 定义有：95.01)(1=-=-s t Ts et h05.095.011=-=-s t Te305.0ln 1-==-s t TT t s 3=∴一阶系统特征根T1-=λ分布与时域响应的关系：t t h s s s s R s s C ===Φ==∙)( 11.1)().()( 02时λat e t h as s a s s a s C a +-=-+-=-==∙1)( 11)()( 时λ 例1 已知系统结构图如右其中：12.010)(+=s s G加上H K K ,0环节，使s t 减小为原来的0.1倍，且总放大倍数不变，求H K K ,0解：依题意，要使闭环系统02.00.21.0*=⨯=s t ，且闭环增益=10。
1101)101(10 1012.01012.0112.010.)(1)(.(s)0000+++=++=+++=+=Φs K K K K s K s s K s G K s G K H H H H H令 101011002.01012.00⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=H H K K K K T 联立解出⎩⎨⎧==109.00K K H例2 已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为at e t h --=1)(求(1).闭环传递函数)(s Φ；(2).单位脉冲响应；(3).开环传递函数。
控制理论第三章
c(t) t T T et T t 0 (3-4)
系统对单位斜坡输入的时间响应和输 入信号表示于图3-5b中。
图3-5b 一阶系统的时间响应
第三章 控制系统的时域分析
§3-2 一阶系统的时间响应
误差信号为
e(t) r(t) c(t) t t T T et T T 1 et T
a)
b)
图3-6 二阶系统框图
第三章 控制系统的时域分析
§3-3 二阶系统的时间响应
❖ 二、二阶系统的单位阶跃响应
对单位阶跃输入r(t) 1(t) ，R(s) 1 ，从式(3-9)可以求出系统单
位阶跃响应的拉氏变换
s
C(s) G(s)R(s)
n2
1 1 s 2n
s2 2n s n2 s s s2 2n s n2
上升到100%所需的时间都叫做上升时间。 对于过阻尼和临界系统(ζ≥1)，通常采用 10%～90%的上升时间；对于欠阻尼系统 (0<ζ<1)，通常采用0～100%的上升时间。
3．峰值时间 ：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时 间叫做峰值时间。
第三章 控制系统的时域分析
§3-1时间响应及系统性能指标
4．最大超调量：最大峰值(即第一个峰值)与理想稳态值1之间的
差值叫做最大超调量值Mp。通常采用百分比表
示最大相对超调量，定义为
σp
%
c(tp ) c() c()
100%
最大超调量的数值，直接说明了系统的相
对稳定性。
5．调整时间： 响应曲线第一次达到并永远保持在这一允许误差范 围内所需要的时间，叫做调整时间。
时间响应从零值到终值呈指
数曲线上升 。曲线在t = 0的初始 斜率为
华中科技大学鲁棒控制理论基础3章
q 1 pq p(1 pq) 1 pq
一般被控对象
P Nr M
1 r
M Nl
1 l
Yr N l
X r M r Ml Nr
X l I 0 Yl 0 I
3. 参数化公式在控制系统中的应用
鲁棒控制理论基础
第三章、反馈系统的稳定性与参数化
华 中 科 技 大 学 控制科学与工程系，控制理论研究所
3.1 反馈控制系统的稳定性
1. 反馈系统良定性 a) 良定性的概念
a) 闭环系统良定的条件
闭环系统良定的充 分必要条件是该矩 阵非奇异
2. 系统的外部稳定性
3. 系统的内部稳定性
4. 系统内部稳定与外部稳定性之间的关系
5. 闭环系统的稳定性
3.2 控制器的参数化
1. 传递函数的互质分解
其中A表示全体正则、稳定的有理函数（对于离散系统则 是z传递函数）。易知A对于加法和乘法运算是封闭的。
SISO系统传递函数在A中的互质分解
MIMO系统在A中的互质分解
传递函数矩阵的右互质
传递函数矩阵的左互质
3.3 标准控制问题（广义调节器问题）
1. 线性分式变换
2. 标准控制问题
3. 标准控制问题的稳定性源自G11 G G21A G12 C1 G22 C 2
B1 D11 D21
B2 D12 D22
MIMI系统在A中的互质分解
其中 P A, B, C, D AF A BF, AH A HC
2. 控制器的参数化
开环稳定的系统
对于稳定的SISO系统 p(s)， 有
q k , q A, 1 pq 0 1 pq 1 1 H ( p, k ) 1 pk p k (1 pq) 1 1 1 p k 1
第三章-1-绪论-稳态响应-暂态响应
稳态响应
稳态响应：多项式输入
微分方程的一般形式为
Av D v c + A v − 1 D v − 1 c + + A0 D 0 c + A − 1 D − 1 c + + A− w D − w c = r
多项式输入信号具有幂级数形式：
r (t ) = R R 2t 2 + R 1t + + 2! Rktk + k!
0
c ( t ) ss = b 0
R0 = A0
24
稳态响应
稳态响应：斜坡函数输入
斜坡函数输入信号：
当w=0，q=k=1时
r ( t ) = tu − 1 ( t )
k = 1
c ( t ) ss = b 0 + b 1 t
A v D v c ss + A v − 1 D
v −1
c ss +
+ A 0 D 0 c ss = t
9
绪论
引言 • 我们还将讨论系统性能指标与s平面中系统传递 函数零级点位置之间的相关性 • 我们将推导性能指标与二阶系统的自然频率及 阻尼比之间的定量关系 • 基于主导极点概念，我们可以把有关二阶系统 的分析思想推广到高阶系统 • 我们也将介绍以状态转移矩阵形式表达的齐次 解
10
绪论
控制系统的标准输入
8
绪论
引言
• • • • • 能够调节反馈控制系统的暂态及稳态响应得益于控制系 统设计 控制系统设计过程的首要步骤之一是规定被控系统性能 指标的度量 首先，我们首先回顾如何得到线性微分方程的一般解及 其分量 然后，我们将介绍常用的时域性能指标，如：超调量、 过渡过程时间、峰值时间、上升时间、稳态跟踪误差 为了观察系统的响应，我们将选择特定的输入信号（如 阶跃信号、斜坡信号）来测试控制系统的响应
现代控制理论基础第三章
Elements of Modern Control Theory主讲：董霞现代控制理论基础西安交通大学机械工程学院控制系统状态空间数学模型的建立为其状态空间分析奠定了基础。
控制系统状态空间分析的目的是要揭示系统状态的运动规律和基本特性。
通常对系统的分析可分为定量分析和定性分析两方面。
在定量分析中，对控制系统的状态变化规律进行精确研究，以确定系统输出在初始状态和外加控制下的瞬态响应特性；在定性分析中，则着重讨论对系统动态行为和综合结构起关键作用的稳定性、可控性和可测性等。
本章重点讨论的是线性定常连续系统状态方程求解的方法。
系统的稳定性、可控性和可测性将在以后各章中讨论。
本章主要内容§3.1线性定常齐次状态方程的解§3.2 矩阵指数函数§3.3 状态转移矩阵§3.4 非齐次状态方程的解§3.5 线性时变系统的运动分析§3.1线性定常齐次状态方程的解对于线性定常系统齐次状态方程可在时域内直接求解，也可以用拉普拉斯变换求解。
=+⎧⎨=+⎩&x Ax Bu y Cx Du 0()(0)t =x x 当外加输入函数u＝0时，上述状态空间表达式为：=⎧⎨=⎩&x Axy Cx 0()(0)t =x x 此时的状态方程叫线性定常齐次状态方程，因系统状态的运动是在没有外加输入控制下由系统的初始状态引起的，因此控制系统的运动也称为自由运动。
（3-2）（3-1）1. 用矩阵指数函数直接求解先假设式（3-2）的解为时间t的幂级数形式，即：2012k ()k t t t t =+++++L L x b b b b （3-3）注意上式中为待定系数矩阵。
当t＝0时，(1,2,)i i =L b (0)=0x b 将所设的解式（3－3）代入式（3－2）表示的方程中，可得：21212301223()k k k k t t k t t t t −+++++=+++++L L L L b b b b A b b b b 由于上式对所有的时间t都要成立,因此等式两边同幂项的系数应相等，即:，由其组成的无穷矩阵级数的和类似于纯量指数，1∑A（3-5）k kt对于线性定常齐次状态方程式（3－2）也可用拉普拉斯变换求解，它的求解方法与纯量一阶微分方程求解相似。
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其闭环传递函数为：
K X c ( s) s 1 1 GB ( s) X r ( s) 1 K 1 s 1 Ts 1 s K
图3-5 一阶控制系统
稳定性分析：一阶系统的脉冲响应 传递函数 G s 的Laplace反变换是系统的脉 冲响应 g t 。 当 r t t 时 R s 1
根据一阶系统的响应曲线可以求T 常用的方法 ① c(t) =0.632 处，t=T ② t＝0处曲线斜率 k＝1/T
稳态性分析
r(t) c(t)
1 c1 t e T
c2 t 1 e
t T
c ss lim ct
t
ess lim r t c t
t 的物理概念是指加了扰动并消除（采 用脉冲函数来模拟干扰主要是取其下沿。也 可以是方波，即加一段时间后又放掉）。 如用g t 表示脉冲响应，在数学上，上述对 控制系统稳定性定义的描述可转化为这样的 数学表达式： 若 lim g t 0 系统稳定 t
若
lim g t 0
动态性能指标定义1
h(t) h(t)
A A A 100% 超调量σ%= A 100% = 超调量σ% B B
峰值时间t B 峰值时间tpp B
上 升 上 升 时间t 时间tr r
调节时间t 调节时间ts s
tt
动态性能指标定义2
h(t)
调节时间 ts 上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t) A σ%= A 100% B
（1） 延迟时间td ：阶跃响应第一次达到稳态 值50％所需的时间。 (2) 上升时间tr ： 响应从稳态值的10％上升到稳态值的 90％所需的时间。（对过阻尼系统）或响 应从稳态值的5％上升到稳态值的95％所需 的时间。（对过阻尼系统） 响应从稳态值的0％上升到稳态值的 100％所需的时间。（对欠阻尼系统）
稳定性分析：一阶系统的脉冲响应
lim 由稳定性的分析有：t g t 0 时控制系统稳 定, lim g t 0 ，控制系统不稳定。本系统： t
t 1 T 1 lim g t lim L1 G s lim L1 lim T e 0 t t t t Ts 1
稳态误差＝输出量的期望值－输出量的实际稳态值
动态性描述 反映系统动态过程的性能称为系统的 动态性能。描述系统动态性能的指标称为 动态指标。 通常，对系统动态性能的描述约定为： 以系统对单位阶跃信号的响应为准，定义 具体的指标。由于系统的响应与初始条件 有关，为了便于比较，通常采用标准初始 条件（即零初始条件，亦在输入加入以前， 系统的输出及输出的各阶导数均为零）。 不失一般性，设系统的单位阶跃响应如 图：
3-1
自动控制系统的时域指标
一、对控制性能的要求 （1）系统应是稳定的； （2）系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差的要求； （3）系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。
二、自动控制系统的典型输入信号
1．阶跃函数 阶跃函数的定义是：
0，t 0 xr (t ) A，t 0
幅值为1的阶跃函数称为单位阶跃函数， 如图3-1所示。
t
r1 t t
r2 t 1t
0
0
无差 跟踪
t T
1
t T
0
无差 跟踪
有差 跟踪 不能 跟踪
r3 t t
c3 t t T Te
t T
12 t Tt T 2 2
T
Tt T 2
t 1 2 1 2 r4 t t c4 t t Tt T 2 T 2 e T 2 2
这种函数的拉氏变换是：
X r ( s ) L[lim ] A
0
A
图3-4 单位脉冲函数
性能指标的时域描述
动态过程----动态性能指标 稳态过程----稳态性能指标 分析的思路：数学描述 稳定性 动态性 稳态性
稳定性描述 线性系统稳定性的定义，常采用俄国学者 李亚普诺夫在1892年给的定义。 线性控制系统稳定性的定义： 若线性控制系统在初始扰动 t 的影响 下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰 减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定， 简称稳定。反之，若在初始扰动 t 的影 响下，系统的过渡过程随时间的推移而 发散，则称该系统为不稳定。
B
t tr tp ts
3-2 一阶系统的阶跃响应
分析的思路：一阶系统的数学描述 稳定性 动态性 稳态性
一、一阶系统的数学模型
一阶系统的微分方程为:
dxc (t ) T xc (t ) x r (t ) dt
式中，xc(t) 为输出量，xr(t) 为输入量，T 为时间 常数。 一阶系统的结构图，如图3-5所示。
C s Gs Rs Gs
C t L1 C s L1 G s g t
上式表明：系统的传递函数与系统的脉冲 响应有单值对应的关系，由于传递函数是 系统的一种数学模型，能反映系统的静、 动态性能，故系统的脉冲响应也可以反映 系统的静、动态性能，即系统的脉冲响应 也可以作为系统的数学模型。
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统 Φ(s)=
k(t)=
1 T
k ,T 时间常数 Ts+1 (画图时取k=1,T=0.5)
- t e
T
h(t)=1-e-t/T r(t)= 1(t)
c(t)=t-T+Te-t/T r(t)= t
r(t)= δ(t) 单
1 单 k(0)= T 单 位 1 位 (0)= T K 位 斜 脉 阶 坡 跃 冲 响 响 应 应 响
t
系统不稳定
这就给出了控制系统稳定性的判断方法
事实上，对于线性定常系统
正常工作输入
干扰
在正常输入上 迭加干扰信号
系统稳定时
limc1 c 2 c1 t
t
即
lim g t 0
t
稳态性描述 在时域分析法中，控制系统的稳态性能是指： 时间t趋于无穷大时，系统输出的状态，称 为系统的稳态响应。 系统稳态响应的优劣程度，主要是看系统 实际输出状态与希望输出状态之间的差距，即 稳态误差。 稳态误差的大小是衡量系统稳态性能的重 要指标。
第三章 自动控制系统的时域分析
本章主要内容
介绍了控制系统时 域性能分析法的相关概 念和原理。包括各种典 型输入信号的特征、控 制系统常用性能指标、 一阶、二阶系统的暂态 响应、脉冲响应函数及 其应用、控制系统稳定 性及稳定判据、系统稳 态误差等。
本章重点
应重点掌握典型输 入信号的定义与特征、控 制系统暂态和稳态性能指 标的定义及计算方法、一 阶及二阶系统暂态响应的 分析方法、控制系统稳定 性的基本概念及稳定判据 的应用、控制系统的稳态 误差概念和误差系数的求 取等内容。
’ 2
问应
h(T)=0.632h(∞) h(2T)=0.865h(∞) h(3T)=0.95h(∞) 1 、3个图各如何求T？ h(4T)=0.982h(∞) 2 、调节时间t =？)=1/T 1 K’(0)= T2 T
? 3 、r(t)=vt时，ess=？
4、求导关系
图3-7 一阶系统的单位阶跃响应
按照定义容易求得： td＝0.69T tr =2.20T tp =不存在 ts=4T ( =2%) 3T ( =5%) %=0 n=0
响应曲线的初始斜率为1/T t d 1 T 1 c t e dt T T t 0
一阶系统的时间常数 T小，1/T大，初始陡， 上升快，ts小； T大，1/T小，初始平，上升慢，ts大。
(3) 峰值时间tp ：响应超过稳态值，达到第一个 峰值所需要的时间。 (4) 调节时间ts ：响应达到并停留在稳态值的5％ 或2%误差范围内所需的最小时间。 (5) 超调量： 设c(tp)是在tp处的值，则
%
c t p c c
100%
(6)震荡次数 n ：响应曲线在ts时刻之前震荡的次 数，曲线与输入稳态值相交次数的一半。
线性系统的重要结论(适合：线性定常) dr2 t d 2 r3 t d 3 r4 t r1 t 2 3
dt dt dt
有
dc2 t d 2 c3 t d 3 c4 t c1 t 2 dt dt dt 3
结论：系统对输入信号导数的响应等于 系统对输入信号响应的导数 同理：系统对输入信号积分的响应等于 系统对输入信号响应的积分
( r t t )
T 0
即 T >0 时系统稳定
一阶系统的单位脉冲相应曲线
动态性分析：一阶系统的单位阶跃响应
因为单位阶跃输入的拉氏变换为： X r ( s ) 1 s 可得 ： X c (s) GB (s) X r (s)
1 1 Ts 1 s
注意： 性能指标按特征分为两类： 快速性指标：td , tr , tp , ts。 振荡性指标： n 若响应曲线无超调现象，则不定义 tp 。这时， 记 % =0(超调量为零) 最常用的的指标是： t s ， % 。 理论上， t s ， % 及 t r 指标是越小越好，但实际 中是做不到的。
图3-1 单位阶跃函数
它表示为：
xr (t ) 1(t )，或xr (t ) u(t )
单位阶跃函数的拉氏变换为：
1 X r ( s ) L[1(t )] s
2．斜坡函数 这种函数的定义是：
0，t 0 xr (t ) At，t 0
该函数的拉氏变换是：
A X r ( s ) L[ At ] 2 s
取Xc(s)的拉氏反变换，可得单位阶跃响应 ： 1 1 1 1 1 1 xc (t ) L L 1 Ts 1 s s s T