计量经济学复习提纲(选修)

计量经济学复习提纲

一、导论

相关关系和因果关系。变量间具有相关性并不等于具有因果性。 计量经济学：计量经济学是数学、经济理论和统计学三者的结合。 计量经济学建模的步骤：（1）理论模型的建立；（3）模型参数的估计；（4）模型的检验。（5）模型的应用

模型的检验包括：经济意义检验、统计学检验、计量经济学检验（经典线性回归模型假设不满足的情况）和预测检验。

统计学检验包括：拟合优度检验、单个变量显著性检验、方程整体显著性检验 计量经济学检验包括：多重共线性检验、异方差性检验、自相关性检验。 假设检验包括两种方法：置信区间法和显著性检验法。

进行统计推断时可能发生两类错误：第一类错误（拒绝一个为真的零假设，也可称为弃真错误）和第二类错误（接受一个为假的零假设，或称取伪错误）。

二、线性回归基本思想：双变量回归模型

1、 基本概念：回归。总体回归模型和样本回归模型。

“线性”一词的含义：解释变量线性和参数线性。我们所说线性回归模型中的“线性”指的是参数线性。

随机的总体线性回归方程：n i u X Y i

i i ,,110 =++=ββ

随机的样本线性回归方程：n i u X Y i i

i ,1ˆˆˆˆ10 =++=ββ

2、 参数估计方法：普通最小二乘法（Ordinary Least Squared ，OLS ） 普通最小二乘法原理：使残差平方和

∑2

ˆi

u

（SSR ）最小

对于样本回归方程：n i u X Y i i

i ,1ˆˆˆˆ10 =++=ββ

使其残差平方和最小，(

)()

210

2

2ˆˆ

ˆˆmin

∑∑∑--=-=i

i

i

i i X Y Y Y u ββ 对上式求偏导，可得正规方程组：

∑∑+=i i

X n Y

10ˆˆββ

∑∑∑+=210ˆˆi i i

i

X X X

Y ββ

可求得，最小二乘估计量0

ˆβ，1ˆβ为： X Y 1

0ˆˆββ-=， ()()()

∑∑∑∑--=---=2

2

2

1

ˆX n X Y X n Y X X X Y Y X X i

i i i

i

i

β

3、 经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model ）假设，即最小二乘法的基

本假定

假定一：线性回归模型，回归模型是参数线性的。

假定二：在重复抽样中，X 值是固定的。假定X 是非随机的。

该假定意味着所有的回归都是条件回归，是以X 的给定值作为条件。 假定三：随机误差项i u 的均值为零。()0|=i i X u E

假定四：随机误差项i u 的方差相等。()2

|var σ=i i X u

假定五：各误差项之间无自相关。(

)0,|,cov =j

i j i X

X u u j i ≠

假定六：i u 和i X 协方差为零或()0=i i X u E ，即随机误差项和解释变量之间不相关。 假定七：观测次数n 必须大于待估计的参数个数或解释变量个数。 假定八：X 值要有变异性。

假定九：正确地设定了回归模型。

假定十：没有完全的多重共线性，即解释变量之间没有完全的线性关系(针对多元回归模型而言)。

以上十个假定为经典线性回归模型的基本假定。

假定十一：随机误差项i u 服从正态分布。(由中心极限定理推导可得。)

4、 最小二乘估计量的精度或标准差

统计学中估计量的精度由标准误差（标准误）来衡量，它是估计量方差的正的开方。

最小二乘估计量的方差和标准差：()

22

2

)

(ˆvar σβ∑∑-=X X n X

i i

， ()()

0ˆvar ˆββ=se ()

()

∑-=2

2

1

ˆvar X X

i

σβ ， ()

()

1

1

ˆvar ˆββ=se 其中，2

σ为随机误差项i u 的方差，是一个常数，无法直接获得，但在双边量模型中可

由下列公式估算：2

ˆˆ22

-=

∑n u

i

σ

，2ˆσ

为真实的2

σ的估计值，n 为样本容量，n-2为残差平方和的自由度。

若

∑2ˆi u

已知，则2ˆσ可知。(

)()

2

10

2

2ˆˆ

ˆˆ∑∑∑--=-=i

i

i

i i X Y Y Y u ββ或

()∑∑∑

∑∑∑-=-=2

222

21

22

ˆˆi

i i i

i

i i

x

y x y x y u

β。其中，X X x i i -=，Y Y y i i -=，分

别代表变量与其样本均值的离差。

5、最小二乘估计量的性质

高斯—马尔科夫定理：给定经典线性回归模型的基本假定，则在所有的线性无偏估计量中，最小二乘估计量是最优线性无偏估计量（BLUE ，the Best Linear Unbiased Estimators ）。

线性：0

ˆβ和1ˆβ为随机变量Y 的线性函数。 无偏性：最小二乘估计量的期望值等于其真实值。

最小方差性：即有效性，最小二乘估计量0

ˆβ和1ˆβ的方差在所有线性无偏估计量中方差最小。

6、判定系数2R ：拟合优度的度量，描述被解释变量Ｙ由解释变量Ｘ所解释的程度。 拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。

2R 的取值范围：102≤≤R 。

()

()

∑∑--=

=2

22ˆY Y

Y

Y SST

SSE R i

i

恒等式：SSR SSE SST +≡

SSR 为残差平方和， SSE 为回归平方和，SST 为总平方和 由恒等式可得，SST

SSR

R -

=12

样本相关系数r ：判定系数2R 的开方，两变量间线性关系的度量。

∑∑∑----±

=2

2

)

()())((Y Y X X Y Y X X r i

i

i i

， 11≤≤-r

7、假设检验：对一个样本进行考察，从而决定它能否合理地被认为与假设相符，这一过程叫做假设检验

单个变量的显著性检验，即检验斜率是否为零。其零假设（虚拟假设）为：真实值为零；备择假设为：真实值不为零。

检验方法有两种：

a 、置信区间法：在一定的置信水平α下，选双边备择假设，查出ｔ临界值，构造置信区间。

β0的(1-α)%置信区间： )ˆ(ˆ)ˆ(ˆ0

2

,20002,0βββββααse t se t n n ⋅+≤≤⋅--- β1的(1-α)%置信区间： )ˆ(ˆ)ˆ(ˆ12,21112

,21βββββαα

se t se t n n ⋅+≤≤⋅---

b 、显著性检验：如果有*110:ββ=H ，*111:ββ≠H ，则t 统计量服从自由度为（n-2）

的t 分布，即()

21*11~ˆ--=n t se t βββ

。根据备择假设与一定显著性水平查出相应临界值，若t

统计量大于临界值，则拒绝零假设。

8、预测

给定X 0，求Y 0。