连续时间傅里叶变换

2

奇偶信号的FS:

(i) 偶信号的FS:

2 a n

f (t)cosn T] T 1

Fn 弘

1tdt ；

bn 2 T1 f (t)sin n 1tdt

c

n

d

n

a

n

(ii )

jbn an 2 2

偶的周期信号的 奇信号的FS:

F n ( Fn 实, 偶对称)；n

FS 系数只有直流项和余弦项。 2

T

f(t)sinn 1tdt ； 5 dn T| 11

1

Fn

F n jbn ( Fn 纯虚，奇对称)；

a

a

n 0

；

b

n

b

n

2jFn 第二章连续时间傅里叶变换

1周期信号的频谱分析 一一傅里叶级数FS

(1)

狄义赫利条件：在同一个周期 T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝

为T i ,角频率为 ,2 f ,—。

Ti

(3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 ⑷三角形式的FS:

(i) 展开式：f(t) a 0 (ancon it bn sin n ,t) n 1

(ii) 系数计算公式：

(a) 直流分量： ao

f (t)dt

T 1 T 1

(b) n 次谐波余弦分量： a n - f (t) cosn 1tdt, n N

T1 T 1 2

(c) n 次谐波的正弦分量： bn — f (t)sinn 1tdt, n N

T1 T 1

(iii) 系数an 和bn 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。 (iv) 称f1 1/T1为信号的基波、基频； nf1为信号的n 次谐波。

(V)

合并同频率的正余弦项得：

n 和n 分别对应合并后 门次谐波的余弦项和正弦项的初相位。

(vi) 傅里叶系数之间的关系：

(5)复指数形式的FS:

(i) 展开式：f (t) Fne

jn 1t

n

(ii) 系数计算：Fn 丄 f(t)e jn 1t

dt, n Z

T] T 1

(iii) 系数之间的关系：

(iv) Fn 关于

n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。

(v)

正负n (n 非零)处的Fn 的幅度和等于Cn 或dn 的幅度。

对可积 丁 f(t)dt 。

(2)傅里叶级数：正交函数线性组合。

正交函数集可以是三角函数集

{1,cosn *,sinn 1t ：n

N}或复指数函数集

{e jn 术:n Z},函数周期

(i) 称Fn 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或 FS 谱。

(ii) 称Fn 为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称 FS 幅度谱。

(iii) 称n 为傅里叶复数相位频谱，简称 FS 相位谱。

(iv) 周期信号的FS 频谱仅在一些离散点角频率

n"或频率nf 1)上有值。 (v) FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为

i 2 /Ti 。

(vi) F S 谱、FS 幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱

线、幅度谱线和相位谱线，分别表示 FS 频谱的值、幅度和相位 (vii) 连接谱线顶点的虚曲线称为包络线， 反映了各谐波处FS 频谱、幅度谱和相位谱随分量的 变化情况。

(viii)称cn 为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。

(ix)称Fn 为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际 幅度。 (8)

周期矩形脉冲序列的 FS 谱的特点： (i)

谱线包络线为Sa 函数；

(ii ) 谱线包络线过零

点：

(其中

2 一 1 为谱线间隔)

n

k ，或 n 1

T1

2k

，k

Z,k 0

即当 n 1 2k /

时，a

n c

n F n 0。

(iii) 在频域，能量集中在第一个过零点之内。 (iv) 带宽 2 /或f 1/只与矩形脉冲的脉宽

有关，而与脉高和周期均无关。

(定义

0~2 /为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽

)

(9) 周期信号的功率：P f(t) |F n |2

n

2

(10) 帕斯瓦尔方程： 丄 f 2

(t)dt

F n T

1 Tl

n

2非周期信号的频谱分析一傅里叶变换(FT)

(1)信号f (t )的傅里叶变换：

是信号f(t)的频谱密度函数或 FT 频谱，简称为频谱(函数)。 ⑵ 频谱密度函数F()的逆傅里叶变换为：f(t) 1

F( )e

j t

d ?F 1 F()

2

⑶ 称e j t 为FT 的变换核函数，e j t 为IFT 的变换核函数。 ⑷FT 与IFT 具有唯一性。如果两个函数的

FT 或IFT 相等，则这两个函数必然相等。

⑸FT 具有可逆性。如果 F f (t) F()，则必有F 1 F( ) f(t);反之亦然。

(i) 称F()为幅度频谱密度函数， 简称幅度谱，表示信号的幅度密度

随频率变化的幅频特性;

(ii)

称()Arg F()为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化 的相频特性。

(7) FT 频谱可分解为实部和虚部：

F( ) F r ( ) jF i ()

(8) FT 存在的充分条件：时域信号

f (t)绝对可积，即

f(t)dt

注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有 FT 。

(9) FT 及IFT 在赫兹域的定义：

F(f) f (t)e j2 ft dt ； f (t) F(f )e j2 ft df

(10)

比较FS 和FT :

(6)信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成

F( ) F( )e j ()