第九章 方差分析电子教案

当FF0.05(s1,ns)时,称为显 . 著 当FF0.01(s1,ns)时,称为高度 . 显著
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实际中,ST ,SA及SE可按以下公式计算：
s nj
ST
x2 nx2 ij
j1 i1
s
SA＝ njxj nx2 j1
SESTSA
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例 1 为了考察温度对某种化工产品的得率的影响，
of squares)
效应平方和SA反映由于因素A的不同水平所引起的 系统误差，即各组样本之间的差异程度；误差平方和SE 则反映了试验过程中各种随机因素所引起的随机误差。
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1 n
s j1
nj
ij为 随 机 误 差 的 总 平 均
i1
j
1 nj
nj
ij
i 1
于是
s nj
s nj
第九章 方差分析
第一节 单因素试验的方差分析 第二节 双因素试验的方差分析 第三节 正交试验设计及其方差分析
第一节 单因素试验的方差分析
把考察事物的结果称为试验结果，也称为试验指标。 影响试验指标的条件称为因素。
因素可分为两类: 一类是人们可以控制的，称为可控因素； 另一类是人们不能控制的，称为不可控因素。
j1 k1
xi• j1 tk t1xij,k i1,2, ,r;j1,2, ,s
xi••s1tj s1k t1xijk,i1,2, ,r
x•j•r1ti r1k t1xijk ,j1,2, ,s
rst
ST
(xi jkx)2
i1 j1k1
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S T S E S A S B S A B
水平
A1 A2 … As
样本观测值
x11 x12 … x1s
xx21 n11
xx22 …
n22 …
xx2nsss
样本总和 样本均值 总体均值
T.1
T.2 … T.s
x 1
x 2 … x s
1
2 … s
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检验 s个总N体 1,2 ,N2,2 ,...N , s,2
的均值是,即 否检 相验 等 :假 设
对于给定的显 (著 0性 1)水 由 , 平 于
P{FF(s1,ns)}
得 检 验 问 题 的 F拒 F(绝 s1域 ,n为 s) 上一页 下一页 返回
若由样本观测值计算得到统计量F的值大于F ,则
在显著性水平下拒绝原假设H0，即认为因素A的
不同水平对总体有显著影响；若F的值不大于F ， 则接受H0，即认为因素A的不同水平对总体无显 著影响。
ijijij
称 为总 ,i为 平水 均 A i的 平 效 ,j为 应水 B j的 平 效 , 应 i为 j 水 A i和 平 水 B j的 平 交.互效应
r
s
i 0, j 0
i1
j1
r
ij0,(j1,2,,s)
i1
s
ij0,(i1,2,,r)
j1
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x
ijk
i
j
ij
ijk
真 F S A 时 (r 1 )~ ： F (r 1 ,r(ts 1 )) S E(r(ts 1 ))
当 H 0为 2
真 F S B 时 (s 1 )~ ： F (s 1 ,r(ts 1 )) S E(r(ts 1 ))
当 H 0为 3 真 时 ：
F A BSA S B E ((sr( (1 s t)r1 ()1 )))~F (s(1)r(1))r(,s t1))
r s t
误差平方和 SE
xijkxij• 2
i1 j1k1
因素A的效应平方和 因素B的效应平方和
r
SAst (xi•• x)2 i1
s
SB rt (x•j• x)2 j1
因素A与因素B的交互效应平方和
rs
SA Bt
(xi• jxi••x•j•x)2
i1j1
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当 H 0为 1
选了五种温度：
A1=60℃，A2=65℃，A3=70℃，A4=75℃，A5=80℃在
每种温度下各做三次试验，测得其得率（%）如下：
温度 A1 得 86
A2
A3
86 90
A4 A5 84 84
86 88 88 83 86 率 83 87 92 88 82
检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。
解: 计算各个水平下的样本均值，得 x 1 8 ,x 2 5 8 ,x 3 7 9 ,x 4 0 8 ,x 5 5 8 , 4
n j
2
x ij x j S A S B
j 1
s
j 1i 1
其中 SA nj(xj x)2
j1
表示各组样本均值 x i 对总的样本均值 x 的偏差平方和，
称为因素A的效应平方和（或组内平方和）。
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s nj
SE
(xij xj)2
j1 i1
表示各个样本xij对本组样本均值 x j 的偏差平方和的总 和，称为误差平方和（或组内平方和）(residual sum
H0:1 2 s
H1:1,2,,s不 全 相 等
采用记号 1 n
s
njj
j1
表示1,2, ,s的加权平均,称为总平均
s
其中n nj称为总平均.
j
j
j1
(j
1,2,,s)
j表示水 Aj下 平的总体平均均 值的 与差 .总异 平 上一页 下一页 返回
xijj ij
s
njj 0
(i1,2,,nj，j1,2,,s)
当给定的显著 后性 ,假水 设 H0平 1,H02,H03的拒绝域
FAF(r1,rs(t1))
FBF(s1,rs(t1))
FABF((s1)(r1),rs(t1))
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实际可用下列简便公式计算ST,SA,SB ,SA×B及SE
rst
ST
(xijkx)2
i1 j1k1
r
SAst (xi..x)2
A2
x 211
x 21 t
x 221
x 22 t
Ar
x r 11
x r1t
x r 21
x r2t
x 2 s1
x 2 st
x rs 1
x srt
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因为在水平(Ai，Bj)下的样本与总体Xij服从相同的分
布，所以有
xijk~N(ij,2)
其 i 1 , 2 , , 中 r ; j 1 , 2 , , s ; k 1 , 2 , , t .
ijk
~ N (0, 2 ),
i 1,2, , r;
j
1,2, , s, k
1,2, , t .
各
ijk
独
立
.
r
s
r
s
i
1
i
0,
j
j 1
0,
ij
i 1
0,
ij
j 1
0
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若 因A素 与B的 交 互 作 I对用 试 验 结 果 的 影 著, 响 不
则 所有 i j都 应 等 于 ,要零 检 验 的 原 假 设 是
为总偏差平方和，简称为总平方和，记作ST，即
s ni
2
ST
xijx
i1 j1 s nj
2
把ST分解如下：ST
xj x xij xj
i1 j1
sn j
x j x2 s n j (x ij x j)2 2 s n j
x i xx ij x j
i 1j 1
i 1j 1
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xij i j ij
ij
~
N(0,
2 ),i
1,2,,r;
j
1,2,, s
各ij独 立.
i
r 1
i
0,
s
j
j1
0,
要检验的原假设是
H 01 : 1 2 r 0
H 11
:
1
,
2
,
,
不全为零
r
H 02 : 1 2 s 0
H 12
:
1
,
2
,
,
不全为零
s
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1 r s
x rs i1 j1 xij
1 s
xi• s j1 xij
x• j
1 r
r i1
xij
S TSESASB
总平方和
rs
ST
(xij x)2
i1 j1
r s
误差平方和 SE
xijxi•x•j x2
i1 j1
因素A的效应平方和
r
SA (xi• x)2 i1
H 01 : 1 2 r 0
H
11
:
1
,
2
,
,
不全为零
r
H 02 : 1 2 s 0
H
12
:
1,
2
,
,
不全为零
s
H 03 : 11 ij rs 0
H
13
:
11
,
,
ij
,
,
不全为零
rs
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1 r s t
x rsti1
xijk
xijkijij， k i1,2,,r;j1,2,,s
i
j
k~N(0,2),k1,2,,t.
各ij独 k 立 .
记
1 r
rsi1
s
ij,i
j1
1 s
s
ij,i
j1
1,2,,r
j
1 r
r i1
ij,
j 1,2,,s
i
i
,i
1,2,,r，j
j
,
j
1,2,,s 上一页 下一页
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ii,i 1 ,2 , ,r， jj,j 1 ,2 , ,s ijijij
由表可知，温度对化工产品的得率有显著影响，因 为70℃时产品得率均值的估计值
ˆx3 90%最高，所以应选用70℃。
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第二节 双因素试验的方差分析
1 、双因素等重复试验的方差分析
在多因素方差分析中,通常把因素A与因素B的交互作用 设想为影响试验结果的另一因素,记作A×B,或简记作I。 由于要考虑交互作用的影响,因此对于因素A与因素B的 各个水平的每一种配合(Ai,Bj) (i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)就需 要进行不止一次重复试验。
为了考虑某个因素A对所考察的随机变量X的影响，
可以在实验时让其他因素保持不变，而仅让因素A
改变，这样的试验称为单因素试验，因素A所处的
状态称为水平。
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1
1.数学模型
设在单因素试验中,所考察的因素为A,A有s个水平
A 1,A 2,A 3, ,A s,在Ai下进行nj(nj2)次独立试验,得到结果:
因素B的效应平方和
s
SB (x•j x)2
j1
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当 H 0 为 1 F 真 A (s S 1 E ) 时 S A ~ F (r ： (1 )(r , 1 )s (1 )) 当 H 0 为 2 F 真 B (r S 1 E ) 时 S B ~ F (s ： (1 )(r , 1 )s (1 ))
i1
s
SB rt (x•j• x)2 j1
r s
S A Bt
x i• jx i• •x •j•x2S A S B
i 1j 1
S E S T S A S B S A B
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2 、双因素无重复试验的方差分析 在双因素试验中,对每一对水平组合只做一次试 验,即不重复实验,得到
对上述各种水平组合分别进行t ≥ 2次重复试验,即共进 行n=rst次试验,这种试验称为双因素等重复试验,假定所 有的实验是相互独立的。
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设得到样本观测值xijk(k=1,2,…,t)如下表:
因素 B1
B2
因素A
A1
x 111
x 121
x 11 t
x 12 t
Bs
x 1 s1 x 1 st
SE (xijxj)2 (ijj)2
j1i1
j1i1
s
s
SA nj(xjx)2 nj(jj)2
j 1
j 1
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3、假设检验问题的拒绝域
若原假设H0正确，则所有样本xij均可看作来自同一正态
总体 ,， 且相互独立。于是有
SA
2
~
2(s1)
SE
2
~ 2(ns)
FSA(s1)~F(s1,ns) SE(ns)
j1
ij~N(0,2),各ij独立 .
H0:1 2 s 0
H1
:1,2,,s不
全
为
零
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2、平方和的分解
设第i组样本的样本均值为 xi(i1,2, ,l)，即
总的样本均值
1s x
n j1
nj
xij
i1
1s
n
njxj
j1
x j
1 nj
nj i 1
xij
全体样本xij对总的样本均值 x 的偏差平方和，称
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s nj
因 为
2 s、
xjx nj
xj x2，
i1 j1
i1
s nj
s
nj
xj x xij xj xj x
xij xj
j1 i1
j1
i1
s
nj
xj x ( xij njxj)0
j1
i1
所 以 S Tsn j x j x2s
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计算 ST=106.4, SA=68.4, SE =38.0 单因素试验的方差分析表：
68.4 F 38.0 4 4.50
10
方差来源 平方和 自由度 F值 临界值
显著性
因素A 误差
总计
68.4 4 38.0 10
106.4 14
4.5 F0.05(4,10)=3.48 ※ 4.5 F0.01(4,10)=5.99
当给定的显著 后,假 性设 H水 01,H平 0的 2 拒绝域
FAF((r1),(r1)(s1)) FBF((s1),(r1)(s1))
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第三节 正交试验设计及其方差分析
正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种 方法,利用正交表来安排实验,通过少量试验,获得满 意的试验结果.