第六章 代数系统

第六章代数系统

1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。

2. 判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。

3. 判断正误，并说明原因：实数集合R上的除法运算“¸”是个封闭的运算。

4.填空题：代数系统的定义是：（）。

5. 填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征是（）。

6.填空题：*是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。

7. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？

8. 简答题：*是X上的二元运算，*具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？

9. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何判定哪个元素是元素x的逆元？

10 令N4={0,1,2,3}，N4上定义运算+4：

任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)＝1

请列出的运算表。然后判断+4运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么。

11. 判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“－”来说，0是幺元。

12. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的交运算Ç的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。

13. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的并运算È的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。

14. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的对称差运算Å的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（）。它们的逆元分别是（）。

15. 填空题：对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。

16. 填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。

17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有（），其零元是（）。

18. 设«是X上的二元运算，如果有左幺元e L∈X，也有右幺元e R∈X，则e L= e R =e ，且幺元e 是唯一的。

19. 设«是X上的二元运算，如果有左零元θL∈X，也有右零元θR∈X，则θL=θR =θ,且零元θ是唯一的。

20. 设«是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果x∈X，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等。且x的逆元是唯一的。

21. 设«是X上且可结合的二元运算，如a∈X，且a-1∈X，则a是可消去的，即任取x,y∈X，设有a«x=a«y 则x=y。

22. 对于实数集合R，给出运算如下：＋是加法、—是减法、·是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。判

N”。

23. 设R是实数集合，在R上定义二元运算* 如下：任取x,y∈R，

x*y=xy－2x－2y＋6

1．验证运算* 是否满足交换律和结合律。

2．求运算*是否有幺元和零元，如果有请求出幺元和零元。

3．对任何实数x ，是否有逆元？如果有，求它的逆元，如果没有，说明原因。

24.设«是X 上有幺元e 且可结合的二元运算，求证如果"x ∈X ，都存在左逆元，则x 的左逆元也是它的右逆元。

25. .给定下面4个运算表如下所示。分别判断这些运算的性质，并用“Y ”表示“有”，用“N ”表示“无”填下面表。如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素，要指出这些元素是什么。

26. 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构？

27. 什么叫做同态核？

28.请举同构的两个代数系统的例子，并说明它们同构的理由。

★ a b c a b c

a b c b c a c a b a)

★ a b c a b c

a b c b a c c c c

b)

★ a b c a b c

a b c a b c a b c

c)

★ a b c a b c

a b c b b c c c b

d)

29. 给出集合A＝{0,1,2,3}和A上的二元运算“*”。集合B＝{S,R,A,L}和B上的二元运算“o”。它们的运算表如下面所示。验证与同构。

30令S={|X是集合，*是X上的二元运算}，即S是所有含有一个二元运算的代数系统构成的集合。@是S中的代数系统间的同构关系。求证，@是S中的等价关系。

31. 令A={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…}，+表示加法，*表示乘法，问和是否同构？为什么？

32 已知代数系统和，其中S={a,b,c} P={1,2,3} 二元运算表如下所示：

a b c

a b c a b c

b b c

c b c

· 1 2 3

1

2

3

1 2 1

1 2 2

1 2 3

*

0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1

2

3 0

2 2

3 0 1

3 3 0 1 2

*S R A L

S S R A L

R R A L S

A A L S R

L L S R A

试证明它们同构。

33给定两个代数系统，：R+是正实数，×是R+上的乘法运算；：R是实数集合，＋是R上的加法运算。它们是否同构？对你的回答给予证明或者举反例说明之。

34. 已知代数系统与同构，即X @ Y。并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果运算«可结合，则运算o也可结合。

35. 已知代数系统与同构，即X @ Y。并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果运算«可交换，则运算o也可交换。

36. 已知代数系统与同构，即X @ Y。并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果运算«有幺元e«，则运算o也有幺元e o，且f(e« )= e o。

37. 已知代数系统与同构，即X @ Y。并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果运算«有零元θ«，则运算o也有零元θo ，且f(θ«)=θo 。

38 已知代数系统与同构，即X @ Y。并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果中每个x∈X可逆，即x-1∈X, 则中每个y∈Y也可逆，即y-1∈Y。且如果y=f(x) ，则y-1= (f(x))-1 =f(x-1)。(x映像的逆元=x逆元的映像) 39集合A上两个同余关系R、S, 证明R∩S也是同余关系.