数独论文-Taking the Mystery Out of Sudoku

Terminology(术语) and Assumptions
blocks house cell hint candidate Singles Naked Singles Hidden Singles
小九宫格 任意的行、列或小九宫格 81个网格中的其中一个 暗示（已经填过的网格）
候选数字 唯一法 显式唯一法 隐式唯一法
• 作者设计出“Oracle”的目的其实是用“Oracle”代替解 决速度问题中的高难度方法，因为我们没法去判断哪种方 法难度更高，这样的话我们就能够不需要了解所用方法的 困难程度而直接判断数独的本身难易。这样就达到了建立 数独难易程度评价模型的目的。
难易程度评价指标：
Algorithm 1 SUDOKU METRIC
• 我们的任务主要有两个：一、建立数独难易程度评价模型 二、设计数独生成程序，并使生成的数独具有唯一解和最 简的复杂度。
• 在本节中，作者为我们提供了一个解决该问题的思路:
作者首先建立数独难易程度评价模型，用“Oracle”代替 那些大量的复杂的方法，然后制定出了标准化的评价函数， 用来给数独评分，根据分数高低判断难易程度。在有了数 独难易程度评价标准之后，作者开发出能够生成不同难易 程度数独的算法，并检验其唯一性和复杂度.
Cinch
740
Confusing
273
Challenging
53
Crazy
34
Average Score 0.0558 0.3193 0.6944 0.8818
Average Oracle Visits 0.1189 0.6040 1.4792 2.3176
由表可以看出，作者开发的数独生成算法比较倾向于生成相对容易的数独， 但也会生成高难度数独。而且数独的难易程度主要与“Oracle Visits”有关。
Taking the Mystery Out of Sudoku
Probelm B: Creating Sudoku Puzzles
• 开发一个算法来创造不同难度的数独游戏，制定 指标定义一个难度级别。算法和指标应扩展到不 同的难度级别。你应该说明你算法生成的数独至 少有4个难度级别。你的算法应该保证唯一的的解 决方案，并分析算法的复杂性。你的目标应该是 尽量减少算法的复杂性，并满足上述要求。
Donald Knuth(高德纳)
• 25岁博士毕业 • 30岁斯坦福大学教授 • 36岁获得计算机界的“诺贝尔奖”：“图灵奖” • 《计算机程序设计艺术》的作者 • 计算机排版系统Tex的开发者 • 被誉为“算法的上帝”
Exact Cover(精确覆盖问题）
• 定义： 在一个全集X中若干子集的集合为S，精确覆盖（Exact
875149236 639725814 412638759 367412598 948357162 521986473 784593621 196274385 253861947
A “Cinch” Puzzle
A “Confusing” Puzzle
619743825 432586197 758129463 971354682 326978514 845612739 587231946 294865371 163497258
N = { }；O = {1, 3}；E = {2, 4}；P = {2, 3}.
其中一个子集 {O, E} 是 X的一个精确覆盖,因为 O = {1, 3} 而 E = {2, 4} 的并集恰好是 X = {1, 2, 3, 4}。同理， {N, O, E} 也是 X.的一个精确覆盖。空集并不影响结论。
பைடு நூலகம்
637418592 421569387 895327461 286195734 719234856 354876219 563741928 172983645 948652173
A “Challenging” Puzzle
A “Crazy” Puzzle
亮点：
• 本文作者把解决数独的方法分为两大类：Singles 和“Oracle”，这样避免了对高等级方法的讨论， 但又达到了对数独难易程度分级的目的，而且巧 妙的构建了Scalescore函数，从而建立了数度难易 程度评价模型，这样既简单又有说服力。
procedure SCORE(InitialGrid(初始网格), Solution)
Board = InitialGrid
while Board is unsolved do
Find all singles .
Iterative process
if stuck then
Ask ORACLE for help
• DlX算法在Sudoku中的优势：
DLX算法是目前最高效的数独求解程序，大大缩短了 数独的求解时间；
DLX是一种通用的搜索方法，不用自己去实现搜索过 程，不需要 对每道题目都设计数据结构，来设计搜索方 法。只需要去建立一个模型，其代码长度也很短，是一个 简洁高效的算法。
数独生成算法
• 在本文中作者采用了这样的方法: 随机生成3个1到9的排列，把这些数字填到空九宫格的对 角区域里，然后用DLX算法去寻找这个九宫格的解，而这 个解肯定有很多个，我们再随机选取一个作为最后的结果。 从一个完整的数独中随机的移除数字，直到不能保持唯一 解，然后在每一个步骤都使用DLX算法来检验其唯一性。
• 在建立了数度难易程度评价模型后，作者根据DLX 算法开发出数独生成程序，并对产生的数独进行 分级，从而解决了问题。
这样我们就得到了数独难易程度的分层曲线：
如图可以看出， 分数在0~0.18的数独为“Cinch”； 分数在0.18~0.6的数独为“Confusing”； 分数在0.6~0.8的数独为“Challenging”； 分数在0.8~1的数独为“Crazy”。
359627148 471895362 286134759 718359624 692481537 534762981 167548293 823976415 945213876
• 虽然一般方法产生数独所需的时间呈指数增长，但DLX算 法明显缩短了时间，大大降低了复杂度，这样作者就得到 了唯一性和复杂度都符合要求的数独生成算法。具体代码 如下（C语言）：
Algorithm 2 SUDOKU GENERATOR
procedure GENERATEBOARD
for i = 1, ..., 3 do .
end if
end while
Count singles and ORACLE visits
SCOREFUNCTION(singlesCounts, oracleCounts)
return score
Use tanh to scale
end procedure
H
评价函数：
• Unscaled Score:
cover）是指，S的子集S*，满足X中的每一个元素在S*中 恰好出现一次。
也就是说，满足以下条件的集合为一个精确覆盖： S*中任意两个集合没有交集，即X中的元素在S*中出现 最多一次； S*中集合的全集为X，即X中的元素在S*中出现最少一 次。
• 举例：
令 = {N, O, E, P} 是集合X = {1, 2, 3, 4}的一个子集， 并满足：
1
2
3
4
5
6
7
A
1
0
0
1
0
0
1
B
1
0
0
1
0
0
0
C
0
0
0
1
1
0
1
D
0
0
1
0
1
1
0
E
0
1
1
0
0
1
1
F
0
1
0
0
0
0
1
S* = {B, D, F} 便是一个精确覆盖
• 解决精确覆盖问题
Generation Algorithm
• DLX算法： DLX是Dancing Links-X的缩写，是一个优化的暴力枚举 算法，主要用在搜索问题的通用优化。Dancing Links主 要是用双向十字链表来存储稀疏矩阵，来达到搜索中的优 化。 在搜索问题中，所需要的存储矩阵往往随着递归的加深变 得越来越稀疏，这种情况用Dancing Links来存储矩阵， 往往会得到非常好的效果。
Seed DLX
PERMUTE ｛1, ..., 9｝ Fill diagonal block I
end for DLX(seed, numToGenerate)
Select random generated board
repeat
Remove random cells
Check uniqueness (DLX)
Contents
Introduction Terminology and Assumptions
Sudoku Difficulty Metric Generation Algorithm Results and Analysis
Introduction
• “数独”（Sudoku）一词来自日语，意思是“单独的数 字”或“只出现一次的数字”。概括来说，它就是一种填 数字游戏。1984年日本益智杂志Nikoli的员工金元信彦偶 然看到了美国杂志上的这一游戏，认为可以用来吸引日本 读者，于是将其加以改良，并增加了难度，还为它取了新 名字称做“数独” 。
Assumptions：
• 每一个数独只能有一个解。 • 数独中hints的位置没有限制。 • 唯一法有足够的基础，我们可以假设，普通玩家都会用到
这种方法。 • 显式唯一法比隐式唯一法简单。 • 有相当多的方法超过唯一法，我们不能够假设玩家会用到