B样条曲线与曲面
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
CG-曲线与曲面-学习笔记
CG-曲线与曲⾯-学习笔记⼀、连续性1. 参数连续性0阶参数连续性（C0）：是指曲线的⼏何位置连接，即第⼀个曲线段的终点与第⼆个曲线段的起点x,y,z值相等；1阶参数连续性（C1）：在C0的基础上，该始末点的导数相等；2阶参数连续性（C2）：在C1的基础上，该始末点的⼆阶导相等；2. ⼏何连续性（条件不太苛刻）0阶⼏何连续性（G0）：同0阶参数连续性；1阶⼏何连续性（G1）：在满⾜G0条件下，两曲线结合处有公共切⽮（⽅向相同，⼤⼩成⽐例）；2阶⼏何连续性（G2）：在满⾜G1条件下，两曲线结合处有公共曲率；⼆、Bezier曲线与曲⾯1. 曲线段拟合函数可以把曲线表⽰为许多⼩线段Φi（x）之和，其中Φi（x）称为基（混合）函数；2. Bezier曲线定义其中系数⽮量ai（i=0,1,...,n）顺序⾸尾相接；3. 贝塞尔基函数的替换->伯恩斯坦（Bernstain）基函数1972年，剑桥⼤学的博⼠⽣Forrest在《Computer Aided Design》发表了他⼀⽣中最著名的论⽂。
Forrest证明了Bezier曲线的基函数可以简化成伯恩斯坦基函数：⼀个连续函数y=f(x)，任何⼀个ξ>0，总能找到⼀个多项式和这个函数⾜够逼近。
伯恩斯坦这套逼近的理论的形式是：4. Bezier曲线的再定义针对Bezier曲线，给定空间n+1个点的位置⽮量Pi（i=0,1,2,...,n），则Bezier曲线段的参数⽅程表⽰如下：其中：⼆项式定理，⼜称⽜顿⼆项式定理。
5. Bezier曲线分类：1）⼀次Bezier曲线这恰好是连接起点P0和终点P1的直线段！2）⼆次Bezier曲线⼆次Bezier曲线曲线为抛物线，其矩阵形式为：3）三次Bezier曲线把Bezier三次曲线多项式写成矩阵形式：6. Bezier曲线性质1）端点性质：P0和Pn分别位于实际曲线段的起点和终点上；2）⼀阶导数：Bezier曲线的起点和终点处的切线⽅向和特征多边形的第⼀条边及最后⼀条边的⾛向⼀致；3）⼏何不变性：Bezier曲线的形状仅与控制多边形各定点的相对位置有关，⽽与坐标系的选择⽆关；4）变差缩减性：若Bezier曲线的特征多边形是⼀个平⾯图形，则平⾯内任意直线与p（t）的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数。
过测地线的B样条曲面优化设计
过测地线的B样条曲面优化设计1. 绪论- 研究背景- 目的和意义- 国内外研究现状分析- 论文的研究内容和结构2. 基础理论- B样条曲线和曲面的定义与性质- 测地线和它在曲面设计中的应用- 对于测地线B样条曲面的基础算法介绍3. B样条曲面的过渡条件生成- 对于样本点的选取的影响- 直接法：直接计算过渡条件- 间接法：反算过渡条件- 对于曲线量级的影响- 通过应用变量曲线量级的 B 样条曲面进行优化设计4. 测地线B样条曲面的优化设计- 优化设计的目标函数定义- 采用基于角度度量的测地线性质加入偏航向约束进行优化设计- 采用全局优化算法进行求解5. 结论与展望- 对于B样条曲面的优化设计方法的总结- 进行实例仿真验证方法的正确性- 未来进一步的研究展望一、绪论随着科技和工业领域的发展，人们对于产品的要求越来越高。
曲面设计作为工业设计领域中的一个重要分支，在设计中扮演着至关重要的角色。
B样条曲面作为一种重要的数学工具，被广泛应用于计算机辅助设计、图形学等领域中，在曲面设计中得到了越来越广泛的应用。
曲面设计中的很多问题都涉及到测地线问题，例如在飞行器的设计中需要考虑航线的最短路径；在汽车外壳的设计中需要考虑弯曲处的圆滑过渡等。
因此，通过使用测地线B样条曲面能够更好地优化和满足这些要求，得到更优秀的曲面设计。
本文旨在研究和探讨如何通过测地线B样条曲面的优化设计来更好地满足曲面设计中的各种要求。
文章将围绕B样条曲线和曲面的性质、测地线及其在曲面设计中的应用、测地线B 样条曲面的过渡条件生成、以及如何采用测地线B样条曲面进行优化设计等方面进行论述和分析。
本文的研究内容主要包括：测地线B样条曲线的过渡条件的生成方法；测地线B样条曲面的优化设计方法；以及实例仿真验证方法的正确性。
在实现这些内容的基础上，通过对本文研究内容进行总结和归纳，提出进一步研究工作和未来研究方向的展望。
通过本文的研究和展示，相信可以更加深入地理解测地线B样条曲面的基本概念、优化设计方法和应用前景，为曲面设计领域的发展和推进提供有益的参考和思路。
B样条曲线与曲面
四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：在上式中，0 ≤ u ≤ 1；i= 0, 1, 2, …, m所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：Nk,n(u) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B样条曲线1 一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点（i = 0，1，…，n）定义n段一次（k＝0,1，n=1）均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段Pi（u），其定义表达为：＝（1－u）Pi－1 ＋ u Pi＝ N0，1（u）Pi－1 ＋ N1，1（u）Pi第i段曲线端点位置矢量：，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，…，n）定义n－1段二次（k＝0,1,2， n=2）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段Pi（u）（i=1，…，n－1），其定义表达为：＝（1 － 2 u ＋ u 2）Pi－1 ＋（1 ＋ 2 u － 2u2）Pi ＋u 2 Pi＋1＝ N0，2（u）Pi－1 ＋ N1，2（u）Pi ＋ N2，2（u）Pi＋1端点位置矢量：，，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形Pi-1Pi和PiPi+1的中点。
若、、三个顶点位于同一条直线上，蜕化成直线边上的一段直线。
端点一阶导数矢量：，，，，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。
B样条曲线曲面和NURBS曲线曲面C语言算法源程序
图6.双二次（2x2）B 样条曲面6.B 样条曲线曲面和 NURBS 曲线曲面的C 语言实现算法源程序 #ifndef _mynu rbs_h#ifndef MYNURBS H学习小结：前面学习了 Bezier 曲线，B 样条基函数和 B 样条曲线的一些基础知识。
掌握关 键问题是一条B 样条曲线间的多段曲线的光滑连接。
因为现在是用多段 Bezier 曲线来描绘 一条B 样条曲线，所以问题变为两段 Bezier 曲线间光滑连接。
两段 Bezier 曲线段（3次） B1和B2光滑连接的条件： （1） .要求B1和B2有共同的连接点，即 &连续。
（2） .要求B1和B2在连接点处有成比例的一阶导数，即 G 连续。
由端点处的一阶导数 1 B1(1) 3(F 3 P 2), B 2(0) 3(Q i Q 。
)，为实现 G 连续，则有: B 2(0) B1(1) 即: Q 1 Q o R P 2 这也表明，P 2, B （Q o ）,Q 三点共线。
如下图表示了一条 3次B 样条曲线的所有控制多边形: E(P 1) P2 (P/ P 用P 0 10 P4 图5.3次B 样条曲线和所有控制多边形图5中，P0至P6为原始3次B 样条曲线控制多边形顶点， P 0至P 12是计算后最终形成样条曲线控制多边形顶点。
#include "gl\gl.h"#include "math.h"//* ************* B样条基函数计算部分************** // 确定参数u 所在的节点区间下标//n=m-p-1//m 为节点矢量U[] 的最大下标//p 为B 样条函数次数int FindSource(int n,int p,float u,float U[]){int low,high,mid;if(u==U[n+1])// 特殊情况return n;// 进行二分搜索low=p;high=n+1;mid=(int)(low+high)/2; while(u<U[mid]||u>U[mid]){if(u<U[mid]) high=mid; else low=mid;mid=(int)(low+high)/2;if(u>=U[mid]&&u<U[mid+1])// 找到u 所在的节点区间的下标break; // 退出二分搜索}return mid; // 返回区间下标}// 计算所有非零B 样条基函数并返回其值//i 为参数u 所在的节点区间下标void BasisFunction(int i,int p,float u,float U[],float N[]){int j,di,dp,k;float tul,tur,left,right;float tmpN[50][50];for(k=0;k<=p;k++){dp=0;for(di=i+p-k;di>=i-k;di--){if(u>=U[di]&&u<U[di+1])tmpN[di][0]=1;elsetmpN[di][0]=0;dp+=1;for(j=1;j<dp;j++){tul=U[di+j]-U[di];tur=U[di+j+1]-U[di+1];if(tul!=0)left=(u-U[di])/tul;elseleft=0;if(tur!=0)right=(U[di+j+1]-u)/tur;elseright=0;tmpN[di][j]=left*tmpN[di][j-1]+right*tmpN[di+1][j-1];}}N[i-k]=tmpN[i-k][p];}}// ----------------------------------------------------------------------// 计算基函数的1 阶导数并保存在NP[] 中//i 为参数u 所在的节点区间下标//p 为B 样条函数次数P>2void DerBasisFunc(int i,int p,float u,float U[],float NP[]){int j,di,dp,k;float tul,tur,left,right,saved,dl,dr;float tmpN[50][50];for(k=0;k<=p;k++){dp=0;for(di=i+p-k;di>=i-k;di--){if(u>=U[di]&&u<U[di+1])tmpN[di][0]=1;elsetmpN[di][0]=0;dp+=1;for(j=1;j<dp;j++){tul=U[di+j]-U[di]; tur=U[di+j+1]-U[di+1]; if(tul!=0) left=(u-U[di])/tul,dl=1/tul;elseleft=0,dl=0;if(tur!=0)right=(U[di+j+1]-u)/tur,dr=1/tur;else right=0,dr=0;tmpN[di][j]=(left*tmpN[di][j-1]+right*tmpN[di+1][j-1]); saved=p*(dl*tmpN[di][j-1]-dr*tmpN[di+1][j-1])/(p+p-1);}}NP[i-k]=saved;}}//*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* Bezier 曲线曲面部*****************// 计算参数u 的p 次基函数值并存在BC[] 中void BernsteinFunc(int p,double t,float BC[]){for(int i=0;i<=p;i++){if(i==0) BC[0]=(float)pow(1-t,p);if(i==p)BC[p]=(float)pow(t,p);if(i>0&&i<p) BC[i]=p*(float)pow(t,i)*(float)pow(1-t,p-i);}}// 获取p 次Bezier 曲线上的lines 个点的值void BezierPoint(int p,float px[],float py[],float pz[],int lines,float tmp[][3]){float BC[20];int i,j;for(j=0;j<=lines;j++){double t=j/(float)lines;BernsteinFunc(p,t,BC); tmp[j][0]=tmp[j][1]=tmp[j][2]=0;for(i=0;i<p+1;i++){tmp[j][0]+=BC[i]*px[i];tmp[j][1]+=BC[i]*py[i];tmp[j][2]+=BC[i]*pz[i];}}}// 获取p 次有理Bezier 曲线上的lines 个点的值void NBezierPoint(int p,float px[],float py[],float pz[],float lines,float tmp[][4])pw[],int {float x,y,z,w,BC[20];int i,j;for(j=0;j<=lines;j++){double t=j/(float)lines;BernsteinFunc(p,t,BC);x=y=z=w=0;for(i=0;i<p+1;i++){x+=BC[i]*px[i]*pw[i];y+=BC[i]*py[i]*pw[i];z+=BC[i]*pz[i]*pw[i];w+=BC[i]*pw[i];}tmp[j][0]=x/w;tmp[j][1]=y/w;tmp[j][2]=z/w;tmp[j][3]=w;}}// --------------------------------------------------------------------------- // 绘制p 次的Bezier 曲线void Bezier(int p,float px[],float py[],float pz[],int lines){float pt[100][3];int j;BezierPoint(p,px,py,pz,lines,pt); for(j=1;j<=lines;j++){glBegin(GL_LINES);glVertex3f(pt[j-1][0],pt[j-1][1],pt[j-1][2]); glVertex3f(pt[j][0],pt[j][1],pt[j][2]);glEnd();}}// ---------------------------------------------------------------------------// 绘制p 次的有理Bezier 曲线void NBezier(int p,float px[],float py[],float pz[],float w[],int lines){float pt[100][4];int j;NBezierPoint(p,px,py,pz,w,lines,pt); for(j=1;j<=lines;j++){glBegin(GL_LINES); glVertex3f(pt[j-1][0],pt[j-1][1],pt[j-1][2]); glVertex3f(pt[j][0],pt[j][1],pt[j][2]);glEnd();}}// ---------------------------------------------------------------------------//计算双p次Bezier曲面上所有的点并保存在Pt[][][] 中//u 和v 分别为曲面(u,v) 方向上的网格数void BezierFacePoint(int p,int u,int v,float px[][4],float pz[][4],float pt[161][161][3])py[][4],float {float urx[11][161],ury[11][161],urz[11][161];float tx[11],ty[11],tz[11],tmp[161][3];int i,j,k;for(j=0;j<p+1;j++){for(i=0;i<p+1;i++){tx[i]=px[i][j];ty[i]=py[i][j];tz[i]=pz[i][j];}BezierPoint(p,tx,ty,tz,v,tmp); for(k=0;k<=v;k++){urx[j][k]=tmp[k][0];ury[j][k]=tmp[k][1];urz[j][k]=tmp[k][2];}}for(i=0;i<=v;i++){for(k=0;k<p+1;k++){tx[k]=urx[k][i];ty[k]=ury[k][i];tz[k]=urz[k][i];}BezierPoint(p,tx,ty,tz,u,tmp);for(j=0;j<=u;j++){pt[i][j][0]=tmp[j][0];pt[i][j][1]=tmp[j][1];pt[i][j][2]=tmp[j][2];}}}// ---------------------------------------------------------------------------// 计算双p 次有理Bezier 曲面上所有的点并保存在Pt[][][] 中//u 和v 分别为曲面(u,v) 方向上的网格数void NuBezierFacePoint(int p,int u,int v,float px[][4],float pz[][4],float w[][4],floatpy[][4],float pt[161][161][3]){float urx[11][161],ury[11][161],urz[11][161],urw[11][161];float tx[11],ty[11],tz[11],tw[11],tmp[161][4];int i,j,k;for(j=0;j<p+1;j++){for(i=0;i<p+1;i++){tx[i]=px[i][j];ty[i]=py[i][j];tz[i]=pz[i][j];tw[i]=w[i][j];}NBezierPoint(p,tx,ty,tz,tw,v,tmp);for(k=0;k<=v;k++)urx[j][k]=tmp[k][0];ury[j][k]=tmp[k][1];urz[j][k]=tmp[k][2];urw[j][k]=tmp[k][3];}}for(i=0;i<=v;i++){for(k=0;k<p+1;k++){tx[k]=urx[k][i];ty[k]=ury[k][i];tz[k]=urz[k][i]; tw[k]=urw[k][i];}NBezierPoint(p,tx,ty,tz,tw,u,tmp);for(j=0;j<=u;j++){pt[i][j][0]=tmp[j][0];pt[i][j][1]=tmp[j][1];pt[i][j][2]=tmp[j][2];} }}// ******** ******* B 样条曲线曲面部**************// 计算样条曲线的1阶导矢( u 所对应的所有点)保存在Der[] 中//n=m-p-1//p 为曲线的次数void BSplineDer(int n,int p,float U[],float P[],float Der[]){float N[100],tmp;int i,j;for(i=p+1;i<=n;i++){DerBasisFunc(i,p,U[i],U,N);tmp=0;for(j=i;j>=i-p;j--) tmp+=N[j]*P[j];Der[i-p]=tmp;// 计算曲线上的点( u 所对应的所有点)保存在Poi[] 中//n=m-p-1//p 为曲线的次数void BSplinePoint(int n,int p,float U[],float P[],float Poi[]){float N[100],tmp;int i,j;for(i=p+1;i<=n;i++){BasisFunction(i,p,U[i],U,N);tmp=0; for(j=i;j>=i-p;j--) tmp+=N[j]*P[j];Poi[i-p]=tmp;}}// 计算3 次样条曲线上的所有控制多边形保存在CP[] 中//m 为节点矢量U[] 的最大下标void B3SplineControlPoint(int m,float U[],float P[],float CP[]){int n,k,i,cp,p;float Poi[100],Der[100],add;p=3; n=m-p-1;BSplinePoint(n,p,U,P,Poi); BSplineDer(n,p,U,P,Der);cp=(n-p)*3+p; for(i=0;i<2;i++){CP[i]=P[i]; CP[cp-i]=P[n-i];}for(i=3;i<cp-1;i+=3){k=(int)i/3; add=Der[k]/p; CP[i]=Poi[k];CP[i-1]=CP[i]-add; CP[i+1]=CP[i]+add;}}// 计算2 次样条曲线上的所有控制多边形保存在CP[] 中//m 为节点矢量U[] 的最大下标void B2SplineControlPoint(int m,float U[],float P[],float CP[]){int n,k,tm,i,cp,p;float Poi[100];p=2;n=m-p-1;BSplinePoint(n,p,U,P,Poi);cp=(n-p)*2+p;for(i=0;i<2;i++)CP[i]=P[i];CP[cp]=P[n];tm=2;for(i=2;i<cp-1;i+=2){k=(int)i/2;CP[i]=Poi[k];CP[i+1]=P[tm];tm++;}}// 绘制3 次B 样条曲线//m 为节点矢量U[] 的最大下标void BSpline3L(int m,float U[],float px[],float py[],float pz[]){float pcx[100],pcy[100],pcz[100],drx[4],dry[4],drz[4];int i,j,tmcp;B3SplineControlPoint(m,U,px,pcx);B3SplineControlPoint(m,U,py,pcy);B3SplineControlPoint(m,U,pz,pcz);/*glColor3f(0.0f,0.0f,0.0f);for(i=1;i<3*m-17;i++){glBegin(GL_LINES); glVertex3f(pcx[i-1],pcy[i-1],pcz[i-1]);glVertex3f(pcx[i],pcy[i],pcz[i]);glEnd();}glColor3f(1.0f,0.0f,0.0f);*/tmcp=m-7;for(i=0;i<=tmcp;i++)for(j=i*3;j<i*3+4;j++){drx[j-i*3]=pcx[j];dry[j-i*3]=pcy[j];drz[j-i*3]=pcz[j];}Bezier(3,drx,dry,drz,20);}}// 绘制2 次B 样条曲线//m 为节点矢量U[] 的最大下标void BSpline2L(int m,float U[],float px[],float py[],float pz[]){float pcx[100],pcy[100],pcz[100],drx[3],dry[3],drz[3];int i,j,tmcp;B2SplineControlPoint(m,U,px,pcx);B2SplineControlPoint(m,U,py,pcy);B2SplineControlPoint(m,U,pz,pcz); tmcp=m-5;for(i=0;i<=tmcp;i++){for(j=i*2;j<i*2+3;j++){drx[j-i*2]=pcx[j];dry[j-i*2]=pcy[j];drz[j-i*2]=pcz[j];}Bezier(2,drx,dry,drz,20);}}// 计算双三次( 3x3)B 样条曲面所有控制多边形顶点，并保存在pt[][][] 中//mu,mv 分别为节点矢量U[],V[] 的最大下标值void BS3FaceControlPoint(int mu,float U[],int mv,float V[],float py[],float pz[],floatpx[],float pt[100][100][3]){int i,j,k,dp;float tmx[50],tmy[50],tmz[50];float tmpx[50][100],tmpy[50][100],tmpz[50][100];float uvx[100][100],uvy[100][100],uvz[100][100];for(i=0;i<mv-3;i++){dp=i*(mu-3);for(j=dp;j<mu-3+dp;j++){tmx[j-dp]=px[j];tmy[j-dp]=py[j];tmz[j-dp]=pz[j];}B3SplineControlPoint(mu,U,tmx,tmpx[i]);B3SplineControlPoint(mu,U,tmy,tmpy[i]);B3SplineControlPoint(mu,U,tmz,tmpz[i]);}for(i=0;i<3*mu-17;i++){for(j=0;j<mv-3;j++){tmx[j]=tmpx[j][i];tmy[j]=tmpy[j][i];tmz[j]=tmpz[j][i];}B3SplineControlPoint(mv,V,tmx,uvx[i]);B3SplineControlPoint(mv,V,tmy,uvy[i]);B3SplineControlPoint(mv,V,tmz,uvz[i]); for(k=0;k<3*mv-17;k++){pt[i][k][0]=uvx[i][k];pt[i][k][1]=uvy[i][k];pt[i][k][2]=uvz[i][k];}}}// 计算双二次( 2x2)B 样条曲面所有控制多边形顶点，并保存在pt[][][] 中//mu,mv 分别为节点矢量U[],V[] 的最大下标值void BS2FaceControlPoint(int mu,float U[],int mv,float V[],float py[],float pz[],floatpx[],float pt[100][100][3]){int i,j,k,dp;float tmx[50],tmy[50],tmz[50];float tmpx[50][100],tmpy[50][100],tmpz[50][100];float uvx[100][100],uvy[100][100],uvz[100][100];for(i=0;i<mv-2;i++){dp=i*(mu-2);for(j=dp;j<mu-2+dp;j++){tmx[j-dp]=px[j];tmy[j-dp]=py[j];tmz[j-dp]=pz[j];}B2SplineControlPoint(mu,U,tmx,tmpx[i]);B2SplineControlPoint(mu,U,tmy,tmpy[i]);B2SplineControlPoint(mu,U,tmz,tmpz[i]);}for(i=0;i<2*mu-7;i++){for(j=0;j<mv-2;j++){tmx[j]=tmpx[j][i];tmy[j]=tmpy[j][i];tmz[j]=tmpz[j][i];}B2SplineControlPoint(mv,V,tmx,uvx[i]);B2SplineControlPoint(mv,V,tmy,uvy[i]);B2SplineControlPoint(mv,V,tmz,uvz[i]); for(k=0;k<2*mv-7;k++){pt[i][k][0]=uvx[i][k];pt[i][k][1]=uvy[i][k];pt[i][k][2]=uvz[i][k];}}}//---------------------------------------------------------------------------- // 设置网格数void SetGridCount(int dt,int tu,int tmk[]){int i,tm;tm=tu%dt;for(i=0;i<dt-1;i++)tmk[i]=(tu-tm)/dt;tmk[dt-1]=tmk[0]+tm;}//----------------------------------------------------------------------------//计算双三次（3x3次）或双二次（2x2次）B样条曲面上所有的点并保存在bs[][][] 中//nu,mv 分别为节点矢量U[],V[] 的最大下标//uk,vk 分别为B 样条曲面(u,v) 方向上的网格数//p 为曲面的次数void BSplineFace(int p,int nu,float U[],int uk,int mv,float V[],int vk,float px[],float py[],float pz[],float bs[161][161][3]){int udk[20],vdk[20],i,j,k,l,hu,sv,du,dv;float tp[100][100][3],td[161][161][3];float tmx[4][4],tmy[4][4],tmz[4][4];du=nu-2*p;dv=mv-2*p;SetGridCount(du,uk,udk);SetGridCount(dv,vk,vdk);if(p==3)BS3FaceControlPoint(nu,U,mv,V,px,py,pz,tp);if(p==2)BS2FaceControlPoint(nu,U,mv,V,px,py,pz,tp);for(i=0;i<dv;i++){for(k=0;k<du;k++){for(j=i*p;j<p+1+i*p;j++) for(l=k*p;l<p+1+k*p;l++) {tmx[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][0];tmy[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][1];tmz[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][2];}BezierFacePoint(p,udk[k],vdk[i],tmx,tmy,tmz,td); for(sv=i*vdk[0];sv<=vdk[i]+i*vdk[0];sv++) for(hu=k*udk[0];hu<=udk[k]+k*udk[0];hu++) {bs[sv][hu][0]=td[sv-i*vdk[0]][hu-k*udk[0]][0];bs[sv][hu][1]=td[sv-i*vdk[0]][hu-k*udk[0]][1];bs[sv][hu][2]=td[sv-i*vdk[0]][hu-k*udk[0]][2];}}}}//-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* Nurbs 样条曲线曲面部************** // 计算Nurbs 曲线上的点（u 所对应的所有点）保存在Poi[] 中//n=m-p-1//p 为曲线的次数void NurbsPoint(int n,int p,float U[],float P[],float W[],float Poi[]){float N[100],tmp,tmw;int i,j;for(i=p+1;i<=n;i++){BasisFunction(i,p,U[i],U,N); tmp=0;tmw=0;for(j=i;j>=i-p;j--){tmp+=N[j]*P[j]*W[j]; tmw+=N[j]*W[j];}Poi[i-p]=tmp/tmw;}}// 计算Nurbs 曲线的1 阶导矢( u 所对应的所有点)保存在Der[] 中//n=m-p-1 //p 为曲线的次数void NurbsDer(int n,int p,float U[],float P[],float W[],float Der[]){float N[100],CP[100],NW[100],tmp,tw;int i,j;NurbsPoint(n,p,U,P,W,CP);BSplinePoint(n,p,U,W,NW); for(i=p+1;i<=n;i++){DerBasisFunc(i,p,U[i],U,N); tmp=0;tw=0;for(j=i;j>=i-p;j--){tmp+=N[j]*P[j]*W[j]; tw+=N[j]*W[j];}Der[i-p]=(tmp-tw*CP[i-p])/NW[i-p];}}// 计算3 次Nurbs 曲线上的所有控制多边形保存在CP[] 中//m 为节点矢量U[] 的最大下标void Nurbs3ControlPoint(int m,float U[],float P[],float W[],float CP[]){int n,k,i,cp,p;float Poi[100],Der[100],add;p=3;n=m-p-1;NurbsPoint(n,p,U,P,W,Poi);{NurbsDer(n,p,U,P,W,Der); cp=(n-p)*3+p; for(i=0;i<2;i++)CP[i]=P[i];CP[cp-i]=P[n-i];}for(i=3;i<cp-1;i+=3){k=(int)i/3;add=Der[k]/p;CP[i]=Poi[k];CP[i-1]=CP[i]-add;CP[i+1]=CP[i]+add;}}// 计算2 次Nurbs 曲线上的所有控制多边形保存在CP[] 中//m 为节点矢量U[] 的最大下标void Nurbs2ControlPoint(int m,float U[],float P[],float W[],float CP[]){int n,k,tm,i,cp,p;float Poi[100];p=2;n=m-p-1;NurbsPoint(n,p,U,P,W,Poi);cp=(n-p)*2+p;for(i=0;i<2;i++)CP[i]=P[i];CP[cp]=P[n];tm=2;for(i=2;i<cp-1;i+=2){k=(int)i/2;CP[i]=Poi[k];CP[i+1]=P[tm];tm++;// 绘制3 次Nurbs 样条曲线//m 为节点矢量U[] 的最大下标void Nurbs3L(int m,float U[],float px[],float py[],float pz[],float W[]){float pcx[100],pcy[100],pcz[100],drx[4],dry[4],drz[4]; float pcw[100],drw[4];int i,j,tmcp;Nurbs3ControlPoint(m,U,px,W,pcx);Nurbs3ControlPoint(m,U,py,W,pcy);Nurbs3ControlPoint(m,U,pz,W,pcz);B3SplineControlPoint(m,U,W,pcw); tmcp=m-7;for(i=0;i<=tmcp;i++){{for(j=i*3;j<i*3+4;j++)drx[j-i*3]=pcx[j];dry[j-i*3]=pcy[j];drz[j-i*3]=pcz[j]; drw[j-i*3]=pcw[j];}NBezier(3,drx,dry,drz,drw,20);}}// 绘制2 次Nurbs 样条曲线//m 为节点矢量U[] 的最大下标void Nurbs2L(int m,float U[],float px[],float py[],float pz[],float W[]){float pcx[100],pcy[100],pcz[100],drx[3],dry[3],drz[3]; float pcw[100],drw[3];int i,j,tmcp;Nurbs2ControlPoint(m,U,px,W,pcx);Nurbs2ControlPoint(m,U,py,W,pcy);Nurbs2ControlPoint(m,U,pz,W,pcz);B2SplineControlPoint(m,U,W,pcw); tmcp=m-5;for(i=0;i<=tmcp;i++){for(j=i*2;j<i*2+3;j++){drx[j-i*2]=pcx[j];dry[j-i*2]=pcy[j];drz[j-i*2]=pcz[j];drw[j-i*2]=pcw[j];}NBezier(2,drx,dry,drz,drw,20);}}// 计算双三次( 3x3) Nurbs 样条曲面所有控制多边形顶点，并保存在pt[][][] //mu,mv 分别为节点矢量U[],V[] 的最大下标值void Nurbs3FControlPoint(int mu,float U[],int mv,float V[],float py[],float pz[],float W[],float pt[100][100][4]){int i,j,k,dp;float tmx[50],tmy[50],tmz[50],tmw[50];float tmpx[50][100],tmpy[50][100],tmpz[50][100],tmpw[50][100];float uvx[100][100],uvy[100][100],uvz[100][100],uvw[100][100];for(i=0;i<mv-3;i++){dp=i*(mu-3);for(j=dp;j<mu-3+dp;j++){tmx[j-dp]=px[j];tmy[j-dp]=py[j];tmz[j-dp]=pz[j];tmw[j-dp]=W[j];}Nurbs3ControlPoint(mu,U,tmx,tmw,tmpx[i]);Nurbs3ControlPoint(mu,U,tmy,tmw,tmpy[i]);Nurbs3ControlPoint(mu,U,tmz,tmw,tmpz[i]);B3SplineControlPoint(mu,U,tmw,tmpw[i]);}for(i=0;i<3*mu-17;i++){for(j=0;j<mv-3;j++){tmx[j]=tmpx[j][i];tmy[j]=tmpy[j][i];tmz[j]=tmpz[j][i];tmw[j]=tmpw[j][i]; 中px[],float}Nurbs3ControlPoint(mv,V,tmx,tmw,uvx[i]); Nurbs3ControlPoint(mv,V,tmy,tmw,uvy[i]); Nurbs3ControlPoint(mv,V,tmz,tmw,uvz[i]); B3SplineControlPoint(mv,V,tmw,uvw[i]);for(k=0;k<3*mv-17;k++){pt[i][k][0]=uvx[i][k];pt[i][k][1]=uvy[i][k];pt[i][k][2]=uvz[i][k];pt[i][k][3]=uvw[i][k];}}}// 计算双二次( 2x2) Nurbs 样条曲面所有控制多边形顶点，并保存在pt[][][] //mu,mv 分别为节点矢量U[],V[] 的最大下标值void Nurbs2FControlPoint(int mu,float U[],int mv,float V[],float py[],float pz[],float W[],float pt[100][100][4]){int i,j,k,dp;float tmx[50],tmy[50],tmz[50],tmw[50];float tmpx[50][100],tmpy[50][100],tmpz[50][100],tmpw[50][100];float uvx[100][100],uvy[100][100],uvz[100][100],uvw[100][100];for(i=0;i<mv-2;i++){dp=i*(mu-2);for(j=dp;j<mu-2+dp;j++){tmx[j-dp]=px[j];tmy[j-dp]=py[j];tmz[j-dp]=pz[j];tmw[j-dp]=W[j];}Nurbs2ControlPoint(mu,U,tmx,tmw,tmpx[i]);Nurbs2ControlPoint(mu,U,tmy,tmw,tmpy[i]);Nurbs2ControlPoint(mu,U,tmz,tmw,tmpz[i]);B2SplineControlPoint(mu,U,tmw,tmpw[i]);}for(i=0;i<2*mu-7;i++){for(j=0;j<mv-2;j++){tmx[j]=tmpx[j][i];tmy[j]=tmpy[j][i];tmz[j]=tmpz[j][i]; 中px[],floattmw[j]=tmpw[j][i];}Nurbs2ControlPoint(mv,V,tmx,tmw,uvx[i]);Nurbs2ControlPoint(mv,V,tmy,tmw,uvy[i]);Nurbs2ControlPoint(mv,V,tmz,tmw,uvz[i]);B2SplineControlPoint(mv,V,tmw,uvw[i]);for(k=0;k<2*mv-7;k++){pt[i][k][0]=uvx[i][k];pt[i][k][1]=uvy[i][k];pt[i][k][2]=uvz[i][k];pt[i][k][3]=uvw[i][k];}}}//----------------------------------------------------------------------------//计算双三次(3x3次)或双二次(2x2次)Nurbs样条曲面上所有的点并保存在//nu,mv 分别为节点矢量U[],V[] 的最大下标〃uk,vk 分别为B样条曲面(u,v)方向上的网格数//p 为曲面的次数void NurbsFace(int p,int nu,float U[],int uk,int mv,float V[],int vk,float px[],float py[],float pz[],float bs[161][161][3]){int udk[20],vdk[20],i,j,k,l,hu,sv,du,dv;float tp[100][100][4],td[161][161][3];float tmx[4][4],tmy[4][4],tmz[4][4],tmw[4][4];du=nu-2*p;dv=mv-2*p;SetGridCount(du,uk,udk);SetGridCount(dv,vk,vdk);if(p==3)Nurbs3FControlPoint(nu,U,mv,V,px,py,pz,w,tp);if(p==2)Nurbs2FControlPoint(nu,U,mv,V,px,py,pz,w,tp);for(i=0;i<dv;i++){for(k=0;k<du;k++){for(j=i*p;j<p+1+i*p;j++)for(l=k*p;l<p+1+k*p;l++){tmx[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][0];tmy[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][1];tmz[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][2]; bs[][][] 中w[],floattmw[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][3];}NuBezierFacePoint(p,udk[k],vdk[i],tmx,tmy,tmz,tmw,td);for(sv=i*vdk[0];sv<=vdk[i]+i*vdk[0];sv++)for(hu=k*udk[0];hu<=udk[k]+k*udk[0];hu++)bs[sv][hu][0]=td[sv-i*vdk[0]][hu-k*udk[0]][0];bs[sv][hu][1]=td[sv-i*vdk[0]][hu-k*udk[0]][1];bs[sv][hu][2]=td[sv-i*vdk[0]][hu-k*udk[0]][2];}}}} for(j=0;j<=u;j++) //* ************* 绘制曲面部*******************// 计算多边形的外法线返回值 tmN[]void getN(float x[3],float y[3],float z[3],float tmN[3]) { float p1,p2,p3,q1,q2,q3;float nx,ny,nz;p1=x[1]-x[0];p2=y[1]-y[0];p3=z[1]-z[0];q1=x[2]-x[1];q2=y[2]-y[1];q3=z[2]-z[1];nx=p2*q3-q2*p3;ny=q1*p3-p1*q3;nz=p1*q2-p2*q1;tmN[0]=nx;tmN[1]=ny;tmN[2]=nz;} //----------------------------------------------------------------------------// 显示 B 样条曲面//fill 取值为 0 或 1void ShowSurface(int u,int v,float bs[161][161][3],int fill) {int i,j;float x[3],y[3],z[3],tmn[3];for(i=0;i<=v;i++){if(fill!=0){x[0]=bs[i][j][0]; x[1]=bs[i+1][j][0]; x[2]=bs[i+1][j+1][0];y[0]=bs[i][j][1]; y[1]=bs[i+1][j][1]; y[2]=bs[i+1][j+1][1];z[0]=bs[i][j][2];z[1]=bs[i+1][j][2]; z[2]=bs[i+1][j+1][2];getN(x,y,z,tmn); glEnable(GL_NORMALIZE); glBegin(GL_QUADS);glNormal3f(tmn[0],tmn[1],tmn[2]); if(j<u){glVertex3f(bs[i][j][0],bs[i][j][1],bs[i][j][2]);glVertex3f(bs[i][j+1][0],bs[i][j+1][1],bs[i][j+1][2]);}if(i<v){glVertex3f(bs[i+1][j+1][0],bs[i+1][j+1][1],bs[i+1][j+1][2]);glVertex3f(bs[i+1][j][0],bs[i+1][j][1],bs[i+1][j][2]);}glEnd(); glDisable(GL_NORMALIZE);}else{ glBegin(GL_LINES); if(j<u) {glVertex3f(bs[i][j][0],bs[i][j][1],bs[i][j][2]);glVertex3f(bs[i][j+1][0],bs[i][j+1][1],bs[i][j+1][2]); }if(i<v){glVertex3f(bs[i][j][0],bs[i][j][1],bs[i][j][2]);glVertex3f(bs[i+1][j][0],bs[i+1][j][1],bs[i+1][j][2]);} glEnd();}#endif#endif#include 建立库文件“ myNurbs.h ”保存在include 目录下，在文件开始处写上"myNurbs.h" 即可用各函数的功能。
(整理)Catia--曲面设计.
第一章曲面设计概要1、曲面造型的数学概念：（1）、贝塞尔（Bezier）曲线与曲面：法国雷诺的Bezier在1962年提出的，是三次曲线的形成原理。
这是由四个位置矢量Q0、Q1、Q2、Q3定义的曲线。
通常将Q0，Q1，…，Qn组成的多边形折线称为Bezier控制多边形，多边形的第一条折线与最后一条折线代表曲线起点和终点的切线方向，其他折线用于定义曲线的阶次与形状。
（2）、B样条曲线与曲面：与Bezier曲线不同的是权函数不采用伯恩斯坦基函数，而采用B样条基函数。
（3）、非均匀有利B样条（NURBS）曲线与曲面：NURBS是Non-Uniform Rational B-Splines的缩写。
Non-Uniform（非统一）指一个控制顶点的影响力的范围能够改变。
当创建一个不规则曲面的时候，这一点非常有用。
同样，统一的曲线和曲面在透视投影下也不是无变化的，对于交互的3D建模来说，这是一个严重的缺陷。
Rational（有理）指每个NURBS物体都可以用数学表达式来定义。
B-Spline（B样条）指用路线来构建一条曲线，在一个或更多的点之间以内差值替换。
（4）NURBS曲面的特性及曲面连续性定义：NURBS曲面的特性：NURBS用数学方法来描述形体，采用解析几何图形，曲线或曲面上任何一点都有其对应的坐标（x,y,z），据有高度的精确性。
曲面G1与G2连续性定义：Gn表示两个几何对象间的实际连续程度。
●G0：两个对象相连或两个对象的位置是连续的。
●G1：两个对象光滑连接，一阶微分连续，或者是相切连续的。
●G2：两个对象光滑连接，二阶微分连续，或者两个对象的曲率是连续的。
●G3：两个对象光滑连接，三阶微分连续。
●Gn的连续性是独立于表示（参数化）的。
2、检查曲面光滑的方法：①、对构造的曲面进行渲染处理，可通过透视、透明度和多重光源等处理手段产生高清晰度的、逼真的彩色图像，再根据处理后的图像光亮度的分布规律来判断出曲面的光滑度。
曲面模型知识点归纳总结
曲面模型知识点归纳总结曲面模型是计算机图形学中的一个重要概念，其在计算机辅助设计、动画制作、虚拟现实等领域都有广泛的应用。
曲面模型是一种由曲面构成的三维模型，可以用来描述自然界中的曲面形状，也可以用来构建艺术、工程、医学等领域中需要的复杂的曲面模型。
学习曲面模型知识，能够帮助我们更好地理解三维模型的构建和运用，下面对曲面模型的知识点进行归纳总结。
一、曲面模型的基本概念1. 曲面模型是什么？曲面模型是由曲面定义的三维模型，通常是通过一系列曲面片或曲线来描述一个物体的形状和结构。
曲面模型可以用来描述复杂的物体，比如人体、汽车、飞机等。
2. 曲面模型的优点与多边形或其它类型的模型相比，曲面模型有许多优点。
它可以更加准确地描述复杂的曲面形状，同时对于建模的复杂度也能够有着更好的控制。
此外，曲面模型还可以更好地进行光照和纹理的处理，使得渲染效果更加真实。
3. 曲面模型的应用曲面模型广泛应用于计算机辅助设计、动画制作、虚拟现实、医学成像、工程设计等领域。
比如在游戏开发中，曲面模型可以用来制作角色、场景、道具等；在医学成像中，可以用来重建人体器官的形状；在工程设计中，可以用来进行汽车、飞机、船舶的设计。
二、曲面的表示方法1. 参数曲面参数曲面是通过参数方程来表示的曲面，通常是由两个参数u、v来描述曲面上的点。
这种表示方法可以很好地描述复杂的曲面形状，如球面、圆柱面、双曲面等。
2. B样条曲面B样条曲面是由B样条曲线推广而来的曲面表示方法，它通过一系列的控制点和权重来定义曲面的形状。
B样条曲面具有良好的局部控制性和平滑性，因此在实际应用中被广泛使用。
3. NURBS曲面NURBS曲面是一种更加通用的曲面表示方法，它是由有理B样条曲线推广而来的，可以用更少的控制点和权重来定义复杂的曲面形状。
NURBS曲面是目前最为常用的曲面表示方法之一。
4. 曲面的渲染曲面的渲染是指将曲面模型转化为图像的过程，通常包括光照、纹理、阴影等处理。
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种常用的曲面表示方法，具有较好的灵活性和平滑性，广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计和工业设计等领域。
B样条曲面构建算法设计与实现是其中的核心内容。
本文将简要介绍B样条曲线和曲面的基本原理，然后详细阐述B样条曲面构建算法的设计与实现。
1. B样条曲线与曲面的基本原理B样条曲线是一种由控制点和节点序列所确定的曲线，其特点是局部控制和局部变化。
B样条曲线的参数化表示为：C(u) = Σ Ni,n(u) Piu为参数，Ni,n(u)为B样条基函数，Pi为控制点。
B样条曲线的节点序列决定了曲线的形状，通常采用均匀节点序列或非均匀节点序列。
均匀节点序列是指节点之间的间隔相等，非均匀节点序列是指节点之间的间隔不等。
B样条曲面是由两个参数u和v确定的二维曲面，其参数化表示为：B样条曲面构建算法的设计主要包括节点序列的确定、控制点的确定和B样条基函数的计算。
（1）节点序列的确定节点序列的确定一般采用均匀节点序列或非均匀节点序列。
均匀节点序列的确定比较简单，只需根据控制点数量和阶数确定节点个数和间隔即可。
非均匀节点序列的确定需要根据曲线或曲面的需要来决定。
通常采用的方法是将控制点均匀分布在参数空间，并根据需要将节点向重心区域移动，以实现对曲线或曲面局部细节的调控。
控制点的确定需要根据实际需求来决定。
一般情况下，控制点的数量和位置会影响曲线或曲面的形状。
在进行控制点的确定时，可以根据需要先构造一条初步的曲线或曲面，然后通过调整控制点的位置和数量来达到期望的效果。
（3）B样条基函数的计算B样条基函数的计算是B样条曲线和曲面构建算法中的关键步骤。
B样条基函数的计算可以采用递归方法或矩阵方法。
递归方法是一种简单直观的计算方法，其基本思想是利用递归关系式来计算B样条基函数的值。
B样条曲面构建算法的实现主要分为离散算法和连续算法两种。
离散算法是将曲面离散化为网格，然后通过调整网格顶点的位置来实现对曲面形状的调控。
第11-12讲 非均匀有理B样条曲线与曲面
上课内容
区间非零
次数p=2
顶点数n+1=4+1 M=n+p+1=4+2+1节点数m+1=8次数p=3
顶点数n+1=6+1
M=n+p+1=6+3+1
节点数m+1=11
9/17
11/17
例题:
三、NURBS 曲线形状的修改
（1）NURBS 曲线形状是由那些因素决定的？实际应用中，若要对NURBS 曲线作局部修改，一般可采取什么办法？
（2）如题图所示，由顶点V 0、V 1、V 2、V 3、V 4、V 5构造NURBS 曲线，改变顶点V 3所对应的权因子ω3得到的三条不同形状的曲线，B ，N ，B i 分别是ωi =0，ωi =1，ωi ≠{0,1}的对应曲线上的点。
1) 请写出ω3与点B ，N ，B i 及V 3四点之间的关系。
2) 定性分析ωi 对曲线形状的影响。
12/17圆锥曲线、圆弧及圆的NURBS 表示
CSF=ω2/ωω,
优弧、半圆可以利用重节点将两段、三段劣弧拼接组成。
内部重节点的一种给法：采用二重节点（端点仍为三重）
18/17。
nurbs 样条曲线的曲面拟合
nurbs 样条曲线的曲面拟合
在计算机图形学中，NURBS（非均匀有理B样条）是一种广泛使用的曲线和曲面建模技术。
NURBS曲线和曲面的最大优点在于其高度的灵活性和可控性，这使得它们成为制造航空器、汽车和其他复杂物体的重要工具。
在NURBS曲线和曲面的创建过程中，曲线和曲面通常都是由多个控制点和节点组成的。
这些控制点和节点可以被调整，以获得逼近任何形状的曲线和曲面。
这种灵活性使得NURBS曲线和曲面不仅可以用于近似简单形状，还可以用于建模复杂的曲面，如机身和汽车车体。
NURBS曲线和曲面的曲面拟合是一种重要的NURBS应用。
它可以用于创建平滑的曲面，以逼近给定的点云数据集。
这些点通常代表实际物体的表面，例如三维扫描数据或CAD模型。
曲面拟合可以通过最小化点到曲面的距离来实现。
这种方法可以使用最小二乘法或牛顿方法来求解。
通过使用曲面拟合技术，可以创建准确的NURBS曲面，以匹配给定的数据集。
这种方法在制造和工程领域中非常有用，因为它可以帮助工程师和设计师快速创建高质量的模型。
此外，曲面拟合还可以用于计算机视觉和医学成像中，以重建复杂的三维物体。
- 1 -。
B样条曲线曲面省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
是由两P0个0 方向u （P20例如
u
P00
和
vu）旳P20 特征
多边形来双决二定次Be，zie这r曲两面和个Ｂ样方条向曲面旳特征多
边形构成特征网格。
１.Bezier 曲面
给定了(m+1)(n+1)个空间点列 bi,j (i=0, 1,2,…,n; j=0,1,2,…,m)后，能够定义m n次 Bezier 曲面如下式所示：
法国旳 Bezier 为此提出了一种新旳 参数曲线表达措施，所以称为Bezier 曲线。后来又经过 Gordon、Forrest 和 Riesenfeld等人旳拓广、发展， 提出了Ｂ样条曲线。
这两种曲线都因能很好地合用于 外形设计旳特殊要求而取得了广泛旳 应用。
一、Bezier曲线
Bezier曲线旳形状是经过一组多边折
nm
P(u, v)
Bi,n (u) B j,m (v) bi, j
i0 j0
式中：(0 ≤ u,v ≤ 1) ; Bi,n(u) 为 n 次
Bernstein 基函数；连接点列 bi,j 中相
邻两点构成特征网格。
在实际应用中，次数 m 和 n 均不宜 超出 5，不然网格对于曲面旳控制力 将会减弱，这同 Bezier曲线旳情况 是相同旳。其中最主要旳应用是 m=n =3，即双三次 Bezier曲面。 双三次 Bezier曲面旳体现式为：
33
P(u, v)
Bi,3 (u) B j,3 (v) bi, j
i0 j0
U N b N T V T
式中：
U u 3 u 2 u 1 ;V v3 v 2 v 1
1 3 3 1
N
3
6
3
0
B样条
1 Bi ,1 ( t ) = 0
ti Bi,2(t) ti+1 Bi,3(t) ti+1 ti+2 Bi+1,2(t) ti+2 Bi+1,3(t) ti+3 ti+4 ti+3 ti+4
t i <= t < t i +1 其他
1
B i（ = ， 2 t）
t − ti t −t Bi ,1 (t ) + i + 2 Bi +1,1 (t ) t i +1 − t i t i + 2 − t i +1
(ti , ti + k ) 上不为零，
所以曲线 P (t ) 在区间 (ti , ti +1 ) (k − 1 ≤ i ≤ n)
，
Pi 有关。 上的部分只与控制顶点 Pi −k +1 Pi −k + 2 反过来，如果只变动某一个控制顶点 Pi ( 0 ≤ i ≤ n) 曲线上只有局部形状发生变化，其他部分均 不发生变化。
，…，
P1 P4 P7
P2
P6
P′4 P0 P3
P5 P″4
图8-16 B样条曲线的局部支柱性
(2) 仿射不变性 B样条曲线和Bézier曲线一样，也具有仿射不 变性，即曲线 P (t ) 的形状和位置与坐标系的选择 无关。 (3) 分段参数多项式 P (t )在每一区间 [ti , ti +1 ](k-1≤i≤n)上都是次数不高 于k-1次的参数t的多项式曲线，所以 P (t ) 在 [tk −1 , tn +1 ] 上是关于参数t的分段多项式曲线。 (4)连续性 P (t ) 在L重节点 ti(k≤i≤n)处的连续阶不低于 k-1-L。整条曲线 P (t ) 的连续阶不低于 k − 1 − lmax ,其 中 lmax 表示位于区间 [tk −1 , tn+1 ]内节点的最大重数。
b样条插值算法原理
b样条插值算法原理
B样条插值算法是一种用于曲线和曲面的插值方法，其原理如下：
1. B样条基函数：B样条基函数是一组用于构造B样条曲线和
曲面的函数，其定义在一个定义域上，并且满足分片多项式函数的性质。
B样条基函数有两种形式：B样条基函数和B样条
基函数递推关系。
B样条基函数递推关系通过逐步增加控制点
的方式构造B样条基函数。
2. 控制点：B样条插值算法通过一组控制点确定一条曲线或曲面。
这组控制点可以是已知的离散点，也可以通过插值方法得到。
3. 插值过程：B样条插值算法中具体的插值过程如下：
- 确定曲线或曲面的控制点。
- 根据控制点计算B样条基函数的值。
- 根据B样条基函数的值和控制点的权重，计算插值点的值。
- 重复上述步骤，可以得到任意插值点的值。
4. 插值误差：B样条插值算法能够通过增加控制点的方式，得
到任意精度的插值结果。
在实际应用中，插值误差是指离散点和插值点之间的差距，可以通过控制点的数量和位置来控制插值误差的大小。
总之，B样条插值算法通过控制点和B样条基函数，可以得到任意精度的曲线和曲面插值结果。
这种算法具有灵活性高、插
值误差可控的特点，在计算机图形学和数值计算中得到广泛应用。
计算机形学曲线与曲面的生成与绘制算法
计算机形学曲线与曲面的生成与绘制算法计算机形学中的曲线与曲面生成与绘制算法是图形学领域中的关键技术之一。
利用算法可以生成各种各样的曲线与曲面，用于创建、编辑和渲染三维模型。
本文将介绍几种常见的曲线与曲面生成与绘制算法。
一、贝塞尔曲线与贝塞尔曲面算法贝塞尔曲线与贝塞尔曲面是计算机形学中最常用的曲线与曲面表示方法之一。
贝塞尔曲线与曲面基于一组控制点，通过调整这些控制点的位置和权重，可以生成平滑且可控制形状的曲线与曲面。
1. 贝塞尔曲线算法贝塞尔曲线算法通过使用插值多项式来定义曲线。
一阶贝塞尔曲线由两个控制点定义，而二阶贝塞尔曲线则需要三个控制点。
一般而言，n阶贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
通过调整控制点的位置和权重，可以生成不同形状的贝塞尔曲线。
2. 贝塞尔曲面算法贝塞尔曲面算法是在二维情况下的推广，可以用于生成三维曲面。
类似于贝塞尔曲线，贝塞尔曲面也是通过在空间中插值来生成的。
通过调整控制点的位置和权重，可以创造出各种形状的曲面。
贝塞尔曲面常用于建模和渲染三维物体。
二、B样条曲线与曲面算法B样条曲线与曲面是另一种重要的曲线与曲面表示方法。
与贝塞尔曲线相比，B样条曲线具有更高的灵活性和平滑性。
B样条曲线通过使用基函数的加权和来定义曲线。
不同的基函数产生不同的曲线形状。
1. B样条曲线算法B样条曲线算法中，每个控制点都有一个与之关联的基函数，通过调整控制点的位置和权重，可以改变曲线的形状。
B样条曲线可以用于在三维空间中创建平滑的曲线，被广泛应用于计算机辅助设计和动画制作等领域。
2. B样条曲面算法B样条曲面算法是在二维情况下的推广，可以用于生成三维曲面。
B样条曲面通过在两个方向上使用基函数的加权和来定义曲面。
通过调整控制点的位置和权重，可以实现曲面的形状调整。
B样条曲面广泛应用于计算机辅助设计、虚拟现实和游戏开发等领域。
三、其他曲线与曲面生成与绘制算法除了贝塞尔曲线和B样条曲线，还存在其他一些曲线和曲面生成与绘制算法，如NURBS曲线与曲面算法、Catmull-Rom曲线与曲面算法等。
第7讲-B样条曲线曲面-NURBS曲线曲面
P(u, v)
i0 j0 mn
Pij Ri, p; j,q (u, v)
ij Ni, p (u)N j,q (v) i0 j0
i0 j0
u, v [0,1]
Ri, p; j,q (u, v)
m
ij Ni, p (u)N j,q (v)
n
rs Nr, p (u)Ns,q (v)
r0 s0
19
8
NURBS曲线曲面
B样条曲线、Bezier曲线都不能精确表示出抛物 线外的二次曲线，B样条曲面、Bezier曲面都 不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能 给出近似表示。
提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要 是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方 法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次 曲面的数学方法。
n
i Pi Ni,k (t) nP(t) Fra biblioteki0 n
Pi Ri,k (t)
i Ni,k (t) i0
i0
Ri,k (t)
i Ni,k (t)
n
j N j,k (t)
j0
12
NURBS曲线---性质
Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：
局部支承性：Ri,k(t)=0，t[ti, ti+k]
P67-68
9
NURBS曲线曲面
NURBS方法的主要优点
既为标准解析形状(初等曲线曲面)，又为自由型曲线 曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。
修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分 的灵活性。
具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。 对几何变换和投影变换具有不变性。 非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。
B样条曲线、曲面的延拓
B样条曲线、曲面的延拓
陈效奕;张彝
【期刊名称】《电脑与信息技术》
【年(卷),期】2007(015)002
【摘要】根据节点向量的两个端点为k重节点的B样曲线、曲面的性质,提出了延拓的基函数,运用延拓的基函数提出了B样条曲线、曲面的延拓算法.
【总页数】3页(P60-62)
【作者】陈效奕;张彝
【作者单位】宁波大学信息科学与工程学院,浙江,宁波,315211;宁波大学图书馆,浙江,宁波,315211
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.72
【相关文献】
1.基于和参考曲线相似性的B样条曲线延拓 [J], 穆国旺;张志伟;臧婷;戴士杰
2.基于型值点拟合的非均匀有理B样条曲线曲面延拓算法 [J], 李际军;方顾
3.三次均匀B样条曲线和双三次均匀B样条曲面的边界控制 [J], 吴宏斌;石续年
4.一种新的基于参考曲线的B样条曲线延拓算法 [J], 张志伟;穆国旺;臧婷;戴士杰
5.一种新的基于参考曲线的B样条曲线延拓算法 [J], 张志伟;穆国旺;臧婷;戴士杰;;;;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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四、B 样条曲线与曲面Bezier 曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n 较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon 等用B 样条基代替Bernstein 基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：∑=+⋅=nk n k ki n i u N Pu P 0,,)()(在上式中，0 ≤ u ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：N k,n (u) 为 n 次B 样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：∑-=+--+⋅⋅-=kn j nj n j n k j k n u C n u N 01,)()1(!1)(式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B 样条曲线1一次均匀B 样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点i P （i = 0，1，…，n ）定义n 段一次（k ＝0,1，n=1）均匀B 样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段P i （u ），其定义表达为：[]10 ;,...,1 0111 1)(1≤≤=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-u n i u u P i i i P P＝（1－u ）P i －1 ＋ u P i＝ N 0，1（u ）P i －1 ＋ N 1，1（u ）P i第i 段曲线端点位置矢量：ii i i P P P P ==-)1(,)0(1，且一次均匀B 样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B 样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量i P （i=0，1，…，n ）定义n －1段二次（k ＝0,1,2， n=2）均匀B 样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i （u ）（i=1，…，n －1），其定义表达为：[]10 ;1,...,1 011022121 121)(112≤≤-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-u n i u u u P i i i i P P P＝ !21（1 － 2 u ＋ u 2）P i －1 ＋ !21（1 ＋ 2 u － 2u 2）P i ＋ !21u 2 P i ＋1＝ N 0，2（u ）P i －1 ＋ N 1，2（u ）P i ＋ N 2，2（u ）P i ＋1端点位置矢量：)(5.0)0(1i i i P P P +=-，)(5.0)1(1++=i i i P P P ，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形P i-1P i 和P i P i+1的中点。
若1-i P 、i P 、1+i P 三个顶点位于同一条直线上，)(u P i 蜕化成1-i P i P 1+i P 直线边上的一段直线。
端点一阶导数矢量：1)0(--=i i i P P P ，i i i P P P -=+1)1(，i i i P P P -='+1)0(，12)1(++-='i i i P P P ，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。
二阶导数矢量：)()1(2)0(11t P P P i i i i i i ''=''=+-=''+-P P P ，即曲线段内任何点处二阶导数相等，且相邻两曲线段在节点处二阶导数不连续。
3三次均匀B 样条曲线空间n+1个顶点的位置矢量i P （i=0，1，。
，n ）构造n －2段三次（k ＝0,1,2,3，四阶n=3）均匀B 样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段P i （u ）（i=1，。
，n －2），其定义表达为：[]10 ;2,...,1 0141030303631331 161)(21123≤≤-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=++-u n i u u u u P i i i i i P P P P＝ !31（1－u ）3 P i －1＋!31（4－6u 2＋3u 3）P i ＋!31（1＋3u ＋3u 2－3u 3）P i ＋1＋!31u 3P i ＋2＝ N 0，3（u ）P i －1 ＋ N 1，3（u ）P i ＋ N 2，3（u ）P i ＋1＋ N 3，3（u ）P i ＋2端点位置矢量：)4(61)0(11+-++=i i i i P P P P ，)4(61)1(21++++=i i i i P P P P ，即起点位于三角形∆P i-1P i P i+1中线P i M 1的1/3处，终点位于三角形∆P i P i ＋1P i+2中线P i ＋1M 2的1/3处。
可见B 样条曲线的端点并不通过控制点。
端点一阶导数矢量：2/)()0(11-+-='i i i P P P ，)0(2/)()1(12++'=-='i i i i P P P P ，即曲线起点的切矢平行于∆P i-1P i P i+1的底边P i-1P i+1，其模长为底边P i-1P i+1长的1/2，同样曲线终点的切矢平行于∆P i P i+1P i+2的底边P i P i+2，其模长也为底边P i P i+2长的1/2。
且相邻两曲线段具有一阶导数连续（因)0()1(1'='+i i P P ）。
二阶导数矢量：112)0(+-+-=''i i i i P P P P ，)0(2)1(121+++''=+-=''i i i i i P P P P P ，即曲线段在端点处的二阶导数矢量等于相邻两直线边所形成的平行四边形的对角线，且两曲线段在节点处具有二阶导数连续（因)0()1(i i P P ''=''）。
若1-i P 、i P 、1+i P 三个顶点位于同一条直线上，三次均匀B 样条曲线将产生拐点；若1-i P 、i P 、1+i P 、2+i P 四点共线，则)(u P i 变成一段直线；若1-i P 、i P 、1+i P 三点重合，则)(u P i 过iP 点。
思考：用作图法绘制下图均匀三次B 样条曲线。
B 样条曲线段与段之间具有天然的连续性，具有整体的光滑特性，而Bezier 曲线段与段之间必须光滑拼接。
因此在商用系统中B 样条方法应用更为广泛。
2．B 样条曲线的性质1局部性空间n+1个控制顶点i P （i=0，1，…，n ）构造（n －k ＋1）段k 次（k ＋1阶）B 样条曲线段，且每一曲线段i P （u ）（i = 1，…，n －k ＋1）由1-i P 、i P 、…、1-+k i P 等k ＋1个控制顶点确定，与其它控制点无关。
2整体性和连续性一般情况下（即无重节点、重顶点），n+1个控制顶点所构造的（n －k ＋1）段k 次（k ＋1阶）B 样条曲线段组成一完整的B 样条曲线，曲线段与段之间具有Ck －1阶函数连续性（或Gk －1阶几何连续性），当有K 重顶点时，将可能产生尖点（前面已介绍），虽然仍满足函数连续，但不满足几何连续。
4几何不变性改变坐标系不改变曲线形状。
5变差缩减性与Bezier 曲线性质相同。
（5）造型的灵活性由于其良好的局部特性，可以方便构造低次的复杂曲线，且编辑顶点对曲线形状的改变是局部的；由于其整体性和连续性，曲线具有整体的光滑性。
正因如此，B 样条曲线比Bezier 应用更为广泛，为商用系统普遍采用。
缺点：首末两端点不通过控制顶点，与其优点比较微不足道。
3．均匀双二次B 样条曲面已知曲面的控制点)2,1,0,(=j i ij P ，参数w u ,，且[]10,,∈w u ，2==l k ，构造步骤是：a 、沿w 向构造均匀二次B 样条曲线，即有：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=02010002010020 011022-121 1P P P WM P P P P w w w )(经转置后：[]TT B w W M P P P P 0201000=)(同上可得：[]TTB w W M P P P P 1211101=)(，[]TT B w W M P P P P 2221202=)(。
b 、再沿u 向构造均匀二次B 样条曲线，即可得到均匀二次B 样条曲面：TT B B B w w w w u W M P P P P P P P P P UM P P P UM S ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222120121110020100210)()()(),(简记为：TT B B w u W PM U M S =),(。
4．均匀双三次B 样条曲面已知曲面的控制点)3,2,1,0,(=j i j i P ，参数w u ,，且[]10,,∈w u ，3==l k ，构造双三次B 样条曲面的步骤同上述。
a 、沿w 向构造均匀三次B 样条曲线，有：[]T TB w W M P P P P P 030201000=)(，[]TTB w W M P P P P P 131211101=)(，[]T T B w W M P P P P P 232221202=)(，[]T TB w W M P P P P P 333231303=)(b 、再沿u 向构造均匀三次B 样条曲线，此时可认为顶点沿滑动，每组顶点对应相同的，当值由0到1连续变化，即形成均匀双三次B 样条曲面。
此时表达式为：T T BB B w w w w w u W PM UM P P P P UM S =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(),(3210，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=33323130232221201312111003020100P P P P P P P P P P P P P P P P P ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=014103030363133161B M上式也可表达为：S （u,w ）= [N 0,3(u) N 1,3(u) N 0,3(u) N 0,3(u) ] [ P i j ]4x4 [N 0,3(w) N 1,3(w) N 2,3(w) N 3,3(w) ]T对于由控制点),...,1,0,,...,1,0(n j m i ==j i P 组成的均匀双三次B 样条曲面其定义如下：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++++++++++++++++++++)()()()()()()()(),(3,33,23,13,03,32,31,3,33,22,21,2,23,12,11,1,13,2,1,,3,33,23,13,0,w N w N w N w N P P P P P P P P P P P P P P P P u N u N u N u N w u S j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i ji j i j i j i ji j i即任意单张均匀双三次B 样条曲面片S i,j (u ，w)是由P k,l (k = i, ... , i+3, l = j, … , j+3)等16个控制点定义而成。