函数数学高三数学第二章第二节.

同步检测训练一、选择题1. (2009武汉市4月调研)函数f(x) = . 1 — Inx 的定义域为( )A . (e ,+^ )B . [e ,+s )C . (0, e]D . ( — 3 e]答案：C解析：由1 — lnx > 0得0<x W e.故选C.2. (2009湖北省华师4月模拟)函数y = . x(x + 1)+> x + 1的定义域为( )A . {x|x >0}B . {x|x >— 1}C . {x|x > 0} U { — 1}D . {x|— 1< x w 0} 答案：Cx(x + 1) > 0解析：依题意得，由此解得x > 0或x =— 1，选C.x + 1> 0A . — 1B . 1C . 2D . 4答案：B Iog 2|x|(x<0)f(x)= v (x >0) , f( — 1) = Iog 2|— 1|= 0, f(0) = 20= 1，所以 f(f(— 1))2 (x 卩 0)的值为1,选择B. 14. (2009 郑州市一测)已知函数 f(x) = alog 2x + blog 3x + 2 且 f( ) = 4,则 f(2008)的值为 2008 ( )A . — 4B .— 2C . 0D . 2答案：C1 1 1解析：依题意得，f (2008)+ f(2008) = (alog 22008 + blog 3^^ + 2) + (alog 22008 + blog 32008 + 2) = 4,即即 4 + f(2008) = 4, 故 f(2008) = 0，选 C.5. (2008西安地区八校联考)2005年10月27日，全国人大通过了关于修改个人所得税 法的决定，工薪所得减除费用标准从 800元提高到1600元，也就是说原来收入超过 800元的 部分要纳税，2006年1月1日开始超过1600元的部分才纳税，则税法修改前后部分的税率 相同，具体见下表：如果某人2005年9月交纳个人所得税123元，那么按照新税法，他只需交税 ( )A . 23 元B . 33 元C . 43 元D . 53 元答案：C解析：设此人的税前收入是 x 元，因此由题意得 500X 5% + (x — 800 — 500) X 10% = 123,由此解得x = 2280，因此按照新税法，他只需交税500 X 5% + (2280 — 1600 — 500) X 10% =43 元，选C.3. (2009郑州市二测)已知函数f(x)= Iog 2|x|(x<0) 2x (x > 0)，则f(f( — 1))的值为(解析: 依题意,x _ 16. (2009湖北重点中学联考)函数f(x) = 9尹二4的定义域为()A . {x|_ 2<x<1}B . {x|x< _ 2 或x>1}C. {x|x>2}D . {x|_ 2<x<1 或x>2}答案：Dx —1由>0? (x_ 1)(x_ 2)(x+ 2)>0，解得：x>2 或一2<x<1，故选 D. x2_ 447. (2009西安地区八校联考)已知函数f(x) = |x^2_ 1的定义域是［a, b］(a, b€ Z)，值域是［0,1］，则满足条件的整数数对(a, b)共有()A . 2个C. 6个答案：BB. 5个D.无数个4解析：求解0W _K 1,得到凶W2,所以[0,2]、[_ 2,1]、[_ 1,2]、[_ 2,0卜[_2,2]|x汁2五个区间即可满足要求，故选 B.8. (2008成都市一模)若函数f(x)的定义域为{x|x>|}，则函数f(1)的定义域为()1A . {x|x>2}1戸B . {x|x<2且X M 0}C. {x|x>2} U {x|x<0}D . {x|0<x<2}答案：D二、填空题9. (2009重庆第一次调研理)定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x_ 1)= f(x+ 1).当x€ [2,3]时,f(x) = x,则x€ [ _ 2,0]时，f(x)= .答案：x+ 4, x€ [ _ 2,_ 1]2 _ x, x€ [ _ 1, 0]解析：•/ f(x_ 1)= f(x+ 1),••• f(x)= f(x+ 2) = f(x + 4).设x€ [ _ 2, _ 1]，则x+ 4€ [2,3].• x€ [_ 2,_ 1]时，f(x)= f(x+ 4) = x+ 4. 又f(x)= f(x+ 2)且f(x) = f( _ x),• f(_ x)= f(x+ 2)，即f(x) = f(2 _ x).设x€ [ _ 1,0]时，2 _ x€ [2,3],• x€ [_ 1,0]时，f(x)= f(2_x) = 2_x.x+ 4, x€ [ _2,_ 1]• x€ [ _ 2,0]时，f(x) =2_ x, x€ [ _ 1, 0]10. ________________________________________________________________________ 已知a, b 为常数，若f(x) = x2+ 4x+ 3, f(ax+ b) = x2+ 10x+ 24,则5a_ b = ___________________ 答案：2解析：由f(x) = x2+ 4x+ 3, f(ax+ b) = x2+ 10x+ 24,得解析:(ax + b)2+ 4(ax + b) + 3= x 2 + 10x + 24, 即 a 2x 2 + 2abx + b 2+ 4ax + 4b + 3= x 2 + 10x + 24.a 2= 1,比较系数得 2ab + 4a = 10,b 2+ 4b + 3 = 24,求得 a =— 1, b =— 7,或 a = 1, b = 3,贝V 5a — b = 2. 111.设函数 f(x)= log a x(a>0, 1)，函数 g(x) = — x 2 + bx + c 且f(2 + - 2) — f( 2+ 1) = ,g(x)的图象过点 A(4, — 5)及 B(— 2, — 5),则 a = 答案：2, (—1,3)1解析：由 f(2+ '2) — f( 2+ 1) = $ 得又g(x)的图象过点(4,— 5)及(—2, — 5),••• — 16+ 4b + c =— 5 且—4 — 2b + c =— 5, 解得 b = 2, c = 3. • f[g(x)] = log 2( — x 2+ 2x + 3). 由一x 2+ 2x + 3>0 得一1<x<3. 三、解答题lg( x 2 — 2x)12. (1)求函数f(x)= — -的定义域；⑵已知函数f(2x )的定义域是［—1,1］，求f(log 2x)的定义域. 解：(1)要使函数有意义，则只需要： x 2 — 2x>0x>2 或 x<0 ，即29 — x >0— 3< x<3解得—3<x<0 或 2<x<3.故函数的定义域是(—3,0) U (2,3). (2) •/ y = f(2x )的定义域是[—1,1],1即一K x w 1, • 2^ 2x < 2.、， 1•函数 y = f(log 2x)中 2三 log 2x < 2. 即 log 2 .'2w Iog 2x w log 24, • .'2 w x < 4. 故函数f(log 2x)的定义域为[.2, 4].13. 已知函数 f(x)对任意的实数 x , y 都有 f(x + y) = f(x) + f(y) + 2y(x + y) + 1，且 f(1) = 1. (1)若x € N ，试求f(x)的表达式；⑵若x € N 且x >2时，不等式f(x)》(a + 7)x — (a + 10)恒成立，求实数 a 的取值范围. 解：(1)令 y = 1，则 f(x + 1) = f(x) + f(1) + 2(x + 1) + 1, • f(x + 1) — f(x) = 2x + 4.•••当 x € N 时，有 f(2) — f(1)= 2X 1 + 4, f(3) — f(2) = 2X 2+ 4, f(4) — f(3) = 2X 3+ 4,…, f(x) — f(x — 1) = 2(x — 1) + 4;将上面各式相加得：f(x) = x 2 + 3x — 3(x € N ). (2) •/ 当 x € N 且 x >2 时，f(x)= x 2 + 3x — 3,；函数f ［g(x)］的定义域为 _______log a,2(.2+ 1)1 1 c2log a 2 = 2,二 a = 2.•••不等式 f(x) > (a + 7)x — (a + 10)恒成立，即为当 x € N ，且 x >2 时不等式 x 2 + 3x — 3> (a + 7)x — (a + 10)恒成立，即 x 2— 4x + 7> a(x —1)恒成立.x 2 — 4x + 7•/ x >2, • > a 恒成立.x — 1x 2 — 4x + 7 4 4 又 =(x — 1) + —— —2>2(当且仅当x — 1 = ——即x = 3时取).x — 1 x — 1 x — 1 x 2 — 4x + 7 二 的最小值是2,故a <2.x — 114. (2009重庆一测)某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份 0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份•设每天从报社买进的报纸的数 量相同，则应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？并计算该销售点 一个月最多可赚得多少元？解：设每天应从报社买进 x 份报纸，易知250< x < 400. 设每月赚得y 元，则y = 0.5 x20 + 0.5X 250X 10 + (x — 250) X 0.08X 10 — 0.35 x30 = 0.3x + 1050(250 < x w 400),易知当 x = 400 时，y max = 120 + 1050= 1170.故应该每天从报社买进 400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，该销售点一个月最 多可赚得1170元.15. (2008荆州中学)已知定义域为 R 的二次函数f(x)的最小值为0且有f(1 + x)= f(1 — x), 直线g(x)= 4(x — 1)被f(x)的图象截得的弦长为 4,17，数列｛a n ｝满足a 1= 2, (a n +1 — a n ) g(a n ) + f(a n )= 0(n € N *).(1) 求函数f(x);(2) 求数列｛a n ｝的通项公式；(3) 设b n = 3f(a n ) — g(a n +1),求数列｛b n ｝的最值及相应的 n. 解：(1)设 f(x)= a(x — 1)2(a>0),4 16则直线g(x)= 4(x — 1)与 y = f(x)图象的两个交点为(1,0), - + 1，:, a a:4 2+ T 2=417(a >0),• a = 1, f(x)= (x — 1)2.(2)f(a n ) = (a n — 1)2, g(a n )= 4(a n — 1),• (a n + 1 — a n ) 4(a n — 1) + (a n — 1)2 = 0 ,• (a n —1)(4 a n +1 — 3a n — 1) = 0.-a 1= 2, • a n M 1,4a n +1 — 3a n — 1 = 0,3数列｛a n — 1｝是首项为1,公比为:的等比数列,a 1— 1 = 1,3 n 2 3 n 2• a n- 1=4 n—2, a n= 4 n—1+ 1.⑶ b n= 3(a n—1)2—4(a n+1—1)3 3n —1 2 =3 4一 3 3n—1 =3 4令b n= y, u= y= 3 u— 2 2- 4 3n—4 42—3n—143 n—14 ，11 一3••• n € Z* u的值分别为1, 34.3 9 27 9 1…，经比较后距2最近，•••当n= 3时，b n有4 16' 64'最小值是189256'当n —1时，b n有最大值是0.0.。