专题：勾股定理折叠问题解析

三、正方形的折叠
１．将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中
点E处，点A落在F处，折痕为MN，
①求线段CN的长
②求AM ③求折痕MN的长
总结：①折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称， 两图形全等。 ②注意利用线段关系和勾股定理列方程计算
A
D
M
A´
N
BE C
2、如图，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠， 使A点与E点重合，折痕为MN，若EB：AB=13 ， DC+CE=10． （1）求△ANE的面积； （2）求sin∠ENB的值．
小题1:填充甲同学所得结果中的数据； 小题2: 写出在乙同学所得结果的求解过程； 小题3:当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时： ① 试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
② 丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的 面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？
勾股定理折叠问题中应用
一、三角形的折叠
1.如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10， D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上， 求CD的长。
A C´
CD
B
2.如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°， D为AB上一点，将⊿ABC沿 DE折叠，使点B与点A重合， ①若AC=4，BC=8，求CE的长。 ②若AC=24，BC=32，求折痕DE的长。
的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC 20cm宽，AB 16cm
的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落
在BC边上的F处，…… 请你根据①②步骤解答下列问题：
（1）找出图中∠FEC的余角；
A
D
（2）计算EC的长．
E
B
FC
３．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，现将A、
设点C的坐标为（0，m）（m>0），
则BC=OB-OC=4-m，
于是AC=BC=4-m，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，
即（4-m）2=m2+22，解得m=
，
∴点C的坐标为
；
3、已知一个直角三角形纸片OAB，其∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如 图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于 点C，与边AB交于点D。
母题 （2014成都）如图，在边长为2的菱形ABCD中，
∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动 点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN， 连接A′C，则A′C长度的最小值是______．
3、某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动. 活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处， FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P． 所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：△AEF的边AE= cm，EF= cm； 乙：△FDM的周长为16 cm； 丙：EG=BF. 你的任务：
5、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.Biblioteka Baidu
BE
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落 在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x， OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值 范围；
如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D， 则△B′CD≌△BCD， 由题设OB′=x，OC=y， 则B′C=BC=OB-OC=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理， 得B′C2=OC2+OB′2，
C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，
①求DF的长；
②求重叠部分△AEF的面积；
③求折痕EF的长。
Ｄ´
④着色部分的面积为多少？ Ａ
ＦＤ
ＢＥ
Ｃ
例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折 痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求
第二次折痕BG的长。
提示：先证明正三角形AA1B
7、如图，长方形ABCD中，O，F分别为AD，CD的中点，且点O是直角 坐标系的原点，AB=2，沿BO将△ABO折叠，点A恰好落在BF上 .
（1）求AD的长度； （2）如图，若把△BCF绕点F顺时针旋转90°，得到△B′C′F′，求B′的坐 标．
8、（2011•内江）如图．在直角坐标系中，矩形 ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为 （1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的 位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（ ）
A
D
C
E
B
3、已知一个直角三角形纸片OAB，其∠AOB=90°，OA=2， OB=4，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片， 折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。
（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
解：（Ⅰ）如图（1），折叠后点B与点A重合，连接AC，
则△ACD≌△BCD，
二、矩形的折叠
１．如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD， 再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1， 求AG。
D
C
• A´
AG
B
2.为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的
庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都
在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品
C
B
A1
E
F
D
G
A
4、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的 点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF； (2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系， 并给予证明。
A′
D B′
EA
CF
B
如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=8，将矩形折叠，使 点C与点A重合，则折痕EF长为______．