§3.5 柯西积分公式 (学生看)
第三章柯西积分公式3-5
L = 2 ∆z
ML d3
1 f (z) f ′( z ) = ∫C ( z − z ) 2 dz 2πi 0
即n = 1时，结论成立.对于任意的正整数n都是成立的.
例4.1 求下列积分的值，其中C为正向圆周： = r > 1. z
(1)∫ cosπz ( z − 1)
C
dz,. 5
( 2) ∫
且满足拉普拉斯（Laplace )方程 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y
则称ϕ ( x , y )为区域D内的调和函数 .
定理5.1 如果f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在区域D内解析，
函数u( x , y ), v ( x , y )均为区域D内的调和函数 .
?
C
δ
z0
B
f (z) f (z) dz ∫C z − z0 dz = ∫Cδ z − z0 dz = f ( z0 )∫Cδ z − z0 = 2πif ( z0 )
定理3.1 （柯西积分公式）
如果f ( z )在区域D内解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线， 它的内部全部含于D内, z 0为C任意一点，则 f (z) 1 f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz 2πi f (z) f ( z ) − f ( z 0 )dz ( z ) f 证明 ∫C z − z 0= K dz dz K z−z z−z
2 2
∂ ∂u ∂ ∂v ∂ 2u ∂ 2v [ ] = − [ ]⇒ =− 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x∂y ∂x ∂ 2u ∂ 2v ∂ ∂u ∂ ∂v [ ] = − [ ]⇒ 2 = − ∂y ∂ y ∂ y ∂x ∂x∂y ∂y
柯西积分公式
可以借助于公式（ ② 可以借助于公式 （ 3.3.3 ） 计算某些围线的复 积分. 积分. 求下列积分值（围线取正向） 例1、求下列积分值（围线取正向）
(1) cos π z ∫ z = 2 (z 1)5dz
(2)
∫z
ez
=2
(z + 1)
2
2
dz
解： (1) 函数f(z ) = cos π z在整个复平面内解析， 由式（3.3.4） 由式（3.3.4）有
1 f (z 0 ) = 2π
∫
2π
0
f(z0 + Reiθ ) θ d
(3.3.3)
即f (z )在圆心z0的值等于它在圆周上的值的
算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。 算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。
2、解析函数的无穷可微性： 解析函数的无穷可微性： 在实变函数中，一阶导数的存在， 在实变函数中，一阶导数的存在，并不能 提供高阶导数是否存在的结论， 提供高阶导数是否存在的结论，但在复变函数 中则不然，有下面的定理。 中则不然，有下面的定理。
f(z + z ) f(z ) f ′(z0 ) = lim z → 0 z
1 f (z ) f(z ) = lim [∫ dz ∫ dz ] C z z z C z z z → 0 2i πz 0 0
1 = lim z → 0 2π i
f(z ) ∫C (z z )2dz + 0
cos π z 2π i ∫ z = 2 (z 1)5dz = 4 ! cos π z i π 5 ＝ z =1 12
(2) 函数
e
2
z
2
(z + 1)
在 z = 2内的不解析点z = ±i ,
在无穷处的柯西积分公式
在无穷处的柯西积分公式摘要：一、柯西积分公式的概念二、柯西积分公式的推导过程三、柯西积分公式的意义与应用四、结论正文：在无穷处的柯西积分公式是一种数学公式，它涉及到微积分中的积分运算。
柯西积分公式在数学领域有着广泛的应用，尤其在求解某些复杂函数的积分问题时具有重要意义。
要推导柯西积分公式，首先我们需要了解一些基本的概念。
柯西核函数是一个重要的工具，它可以用来描述柯西积分公式。
柯西核函数的定义为：f(x) = 1 / (x^2 + a^2)，其中a 是一个正常数。
接下来，我们开始推导柯西积分公式。
根据积分的定义，我们可以知道：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是f(x) 的一个原函数，a 和b 是积分区间的上下限。
现在，我们用柯西核函数来表示柯西积分公式：∫(1 / (x^2 + a^2))dx = ∫(1 / (x^2 + a^2)) * (1 / √(x^2 + a^2)) * 2 * a * dx接下来，我们进行积分运算：= 2 * a * ∫(1 / (x^2 + a^2)^(3/2)) dx然后，我们用部分分式分解法进行进一步的计算：= 2 * a * ∫(1 / (x^2 + a^2)^(3/2)) * (1 / √(x^2 + a^2)) * √(x^2 + a^2) dx= 2 * a * ∫(1 / (x^2 + a^2)^(1/2)) dx= 2 * a * [arctan(x / a) - arctan(0 / a)]= 2 * a * arctan(x / a)最后，我们可以得到柯西积分公式：∫(1 / (x^2 + a^2))dx = 2 * a * arctan(x / a) + C其中，C 是常数。
柯西积分公式在数学领域具有重要的意义。
它可以用来求解一些复杂函数的积分问题，尤其是当被积函数具有无穷大的特点时。
此外，柯西积分公式还可以应用于求解微分方程、傅里叶分析等领域。
柯西围道积分公式
柯西围道积分公式柯西（KarlFriedrichGauss）是19世纪最重要的数学家之一，他拥有数个重要的发明，其中之一就是柯西围道积分公式。
这个公式的作用是帮助人们解决一些复杂的数学问题，特别是在许多应用概念处理方面，它可以帮助我们计算一个函数的可积分表达式和它的积分。
柯西积分公式，也称为柯西定理，是一种数学工具，用于计算有限下积分或极限和，它提供了一种可靠的方法来计算复杂函数的积分和导数。
它是由德国数学家卡尔弗里德里希高斯（Karl Friedrich Gauss）发明的，他是19世纪最重要的数学家之一，在几何学、物理学、统计学和数学分析等领域都有重大贡献。
柯西积分公式的基本原理是基于它的定义：一个函数的积分是由一个或多个定积分的次数来表示的，它的定积分是指一段闭合的曲线在一个轴上的积分。
这就是柯西定理的基础：某个曲线的积分是由它的围道公式来决定的，这也是柯西积分公式的基础原理。
柯西积分公式可以用来计算一个函数的可积分表达式和它的积分，它是一种用来计算复杂函数积分及其极限和结果的数学工具，也可以用来计算曲线的极限结果。
它的公式是这样的：∫f(x)dx = a +[f(a + h) + f(a - h)]dh其中a是积分的上限，h是一个微小的量。
这个公式反映了一个曲线的积分于它的围道关系，是一个非常重要的工具，用来计算一些复杂的数学问题。
柯西积分公式因其简单、实用性和准确性而被广泛应用。
它可以用来检验某些复杂函数的积分结果，也可以用来求解经常出现的微积分问题。
柯西积分公式是一种常用的数学工具，在多层次的应用概念处理中都有重要的作用，它可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，特别是在计算一个函数的可积分表达式和它的积分方面，它有很多用处。
柯西积分公式在研究和应用数学方面也发挥了重要的作用。
它的发明为科学的进步提供了重要的支持，并帮助人们解决了许多复杂的数学问题。
它是19世纪最重要的数学家之一，卡尔弗里德里希高斯（Karl Friedrich Gauss）的最重要发明之一，也是今天数学界最为重要的研究领域之一。
柯西积分公式
Q lim f ( z ) = f ( z0 )
z z0
ε > 0, δ > 0 z z 0 = R < δ
f ( z ) f ( z0 ) < ε
注： ) D可为多连通域； (1
( 2)该公式表明解析函数 f ( z )在C内部任一点的值， 可以用其在边界上的值 表示。
1 f (z) f (z0 ) = ∫C z z0 dz 2πi
z∈C
1 取 z < d , 则有 2
1 1 z z0 ≥ d , ≤ z z0 d d z z0 z ≥ z z0 z > , 2 2 < z z0 z d 1
ML ( L — C 的长度） 的长度） ∴ I < z 3 πd 显然， 显然， lim I = 0 , 从而有
z→ 0
当 δ → 0时 , f ( z ) → f ( z 0 )( z ∈ C1 )
∫
C
f (z) dz = z z0
C1
∫
C1
f ( z ) δ →0 dz → z z0
C D z0 C1
→ f ( z0 )∫
1 dz = 2π if ( z 0 ) z z0
定理(Cauchy 积分公式 积分公式) 定理
§3.5 Cauchy积分公式 积分公式
分析 设 D 单连通 , f ( z )在 D 内解析 ,
z 0 ∈ D , C 是 D 内围绕 z 0的一条闭曲线 .
∫
C
f ( z) dz = z z0
∫
C1
f (z ) (z dz z z0
C z0 C1
D
取 C 1 = { z z z 0 = δ (δ > 0可充分小 )}
柯西积分公式
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
柯西积分公式的推导
柯西积分公式的推导柯西积分公式是复变函数理论中的重要定理，它给出了沿着一个简单闭曲线的积分与其内部的解析函数有关的关系。
它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪初发现的。
设函数f(z)在一个包含闭曲线C的区域内解析，柯西积分公式给出了f(z)在C上的积分与f(z)在闭曲线内部的解析函数值的关系：∮C f(z) dz = 2πi Res(f, a)其中，∮C表示沿着曲线C的积分，dz表示路径的微元素，a是闭曲线C内部的一个孤立奇点，Res(f, a)是f(z)在点a处的留数。
柯西积分公式的推导主要基于留数定理和柯西-黎曼方程。
留数定理指出，如果f(z)在奇点a处有一个留数，那么沿着C的积分等于2πi乘以该留数。
而柯西-黎曼方程则给出了解析函数f(z)的实部和虚部之间的关系。
推导柯西积分公式的过程如下：1. 首先，设f(z)在区域D内解析，闭曲线C完全包含在D内。
2. 将f(z)展开成泰勒级数：f(z) = a0 + a1(z - z0) + a2(z - z0)^2 + ...这里，z0是D内的一点。
3. 考虑沿着C的积分∮C f(z) dz，可以将路径C分解成小段，每段的长度趋近于0。
对于每一小段，我们可以将f(z)的级数展开式代入积分中。
4. 注意到在积分中，只有一次项a1(z - z0)对积分有贡献。
因为对于高次项，积分的值在小段长度趋近于0时趋于0。
5. 将积分路径的微元素dz替换成z - z0，得到积分∮C a1(z - z0) dz。
6. 对于每一小段，z - z0可以表示为曲线参数t的函数，即z - z0 = f(t)。
7. 假设曲线参数t的范围是a到b，那么z - z0在C上的积分可以变为曲线参数t的积分∫a^b a1f(t) f'(t) dt。
8. 根据柯西-黎曼方程的实部与虚部关系，可以得到f(t)f'(t)的实部和虚部分别是a1f'(t)和-a1f'(t)。
-柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
柯西积分公式
1 2i
4
z
1
1
z
2
3
dz.
1 dz
2 dz 2i 1 2i 2
z 4 z 1
z 4 z 3
6i.
例2 计算I
3z 1 dz.
|z|2 (z 1)(z 3)
f
(z)
1
2 i
L
f
( )
z
d.
Cauchy
证 取定z D,作以z心，充分小的 0为半径的圆L，
使以L为边界的闭圆盘包含在D内(如图). 记D为D挖去以L为边界的 开圆盘所得到的闭区域.
于是f
(
)及
f
( )
z
在D
上连续,在区域D内解析.
所以由定理3.2.8有,
解 显然f (z) 3z 1 只有一个奇点z 1在 | z | 2 (z 1)(z 3)
内,且函数g(z) 3z 1在 | z | 2内解析,在 | z | 2内连续. z3
于是根据Cauchy积分公式(定理3.3.1)得,
3z 1
I
|z|
2
(
z
3z 1 1)(z
L z z0
L z z0
上式对满足0 0的任何成立，于是
f (z) dz lim f (z) dz.
L z z0
0 L z z0
下证 lim 0
L
f (z) z z0
dz＝2 if
(z0 ).
由于2 if (z0 )
dz＝2 if
(z0 ).
故
§3.5 柯西积分公式 (学生看)
1 的不解析点 z 2 , z 4
2
在 z 3 内，分别作圆周
C1 : z 2
1 1 , C2 : z 2 , 2 2
由复合闭路原理及柯西积分公式
5
1 1 1 dz dz dz 2 2 z 3 z 4 C1 z 4 C2 z 4
z dz . z 2 (9 z )( z i )
2
解
(1) 令 f ( z )
z 9 z2
则 f ( z ) 在闭圆盘 z 2 上解析，
函数
f (z) 在 z 2 上只有不解析点 z i . zi
4
由柯西积分公式与复合闭路定理知
z z 9 z 2 dz dz z 2 (9 z 2 )( z i ) z 2 z ( i ) z 9 z 2 dz 【此步可以不写】 z ( i )
2
0
f ( z0 R ei ) d ，故结论成立.
【推论 2】 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C1 、 C 2 所围成的二 连域 D 内解析， C 2 在 C1 的内部， f ( z ) 在
上连续； z0 为 D 内一点，则 D D C1 C 2
f ( z0 )
作业： P100 7(1) (8);8(1),(2)*,(3),(4),(5)* （第三章习题）
9
§3.5 独立作业:
计算下列积分 （1）
z 2
3z 2 z dz ;（2） dz ； 2 z 2 (5 z )( z i ) zi
（3）
cos z ez ； （4） dz z 1 z z 2 z i dz .
柯西积分公式 解析函数的高阶导数公式
分可化为定积分来计算； 3）对于解析函数的积分，可通过牛顿—莱布尼兹公式计
算； 4）对于沿封闭曲线的积分，往往以柯西积分定理，复合
闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式等 为工具。
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
C 内的任一点，则
fБайду номын сангаас
(z)
1
2 i
C
f
( )d
z
。
证明：z C
，令 F( )
f ( ) z
1
1） 2i
sin z
z 4 z dz ，2）
z
2
ez dz z 1
。
例 4：计算 I
zi 1 2
1 dz z(z2 1)
。
sin z
例 5：计算 I C
z
2
4 1
dz
,其中：
1） C
:
z
1
1 2
，2） C
:
z
1
1 2
，3） C :
z
2.
二、高阶导数公式
d
注 1.解析函数的导数仍是解析函数。
注 2. 析不在于通过积分求导，而是通过
求导来求积分，即
C
(
z
f
(z z0
) )
n1
如何理解柯西积分公式
如何理解柯西积分公式
柯西积分公式是复变函数中非常重要的定理之一，它描述了沿着任意简单关闭曲线上的积分值与函数在这个曲线所包围的区域内的值有关系。
具体来说，如果 f(z) 是一个在闭合曲线内部解析的函数，在此曲线内取任意一点 z_0，那么对于任意一个沿着该曲线的可导函数 \gamma(t)，有如下公式成立：
\int_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i f(z_0)
其中 \int_\gamma 表示沿着曲线 \gamma 的积分，i 是虚数单位。
这个公式的本质是解析函数的积分不依赖于路径，只与曲线围住的区域及边界上的函数值有关。
柯西积分公式不仅在实际应用中有着重要的作用，同时也为复变函数理论的发展提供了强有力的支持。
柯西积分公式及高阶导数公式
sin z 4 z 是D内的一个点, C是任意一条含 z 在内部区域
0
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数 ,
sin
z
0
1 f (z) 2 f ( z0 ) dz . C 2πi z z0
z 1
sin z 2 4 i. 2i 2 z 1
f
(n)
n! f (z) ( z0 ) dz n 1 2πi C ( z z0 )
( n 1,2,3,),
z0
高阶导数公式
C
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f ( n ) ( z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一
确定。
说明:
f (z) dz 3) 高阶导数公式的应用: 可求积分 n 1 ( z z0 ) C
柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理 设B为单连通域，则 f (z)在B内解析 Morera定理
C
C
f ( z )dz 0, C为 B内任何一条闭曲线。
则 f (z)在B内解析 。
设B为单连通域， 如f (z)在B内连续， 且对 B内任
何一条简单闭曲线C, 有
f ( z )dz 0,
典型例题
例4. 计算积分
zi
1 1 z z 2 1 dz. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
解 由 Cauchy积分公式 ,
1 f (z) 1 , C是任意一条含 1 z( z i ) z0 是D内的一个点 z0 在内部区域 2 z0 i , z ( z(或可求长 1) ) Jordan z ( z曲线 ,i则 )( z i ) zi 的分段光滑
柯西积分公式及高阶导数公式
例2：求
C
e
z
2z 1 (z2 z
)
d
z,
其中C为包含圆周|z|=1在内的任意正向简单闭曲线.
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
Ñ z0 是定D内理如的2.5一果个设点f各(,z)C是阶是单任连导意f通一(区数z条域0含)存D上z0 的在在2解内1,析部i函区C数域并,zf且(zz导)0 d数z.运算可在积分号
(2) 导数运算可否 在积分号下进行?
Ñ f
LLL
(n)(z0 )
n!
2 i
C
f (z) (z z0 )n1
dz.
高阶导数公式.
定理(高阶导数公式) 设函数f (z)在区域 D内解
析z0, 在D内，C是D内绕z0的任一正向简单闭曲线, 且C 的内部全含于D, 则f (z)在z0处存在各阶导数, 并且
z
z0
)n1
d
z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解
析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
而在于通过求导来求积分.
SUCCESS
THANK YOU
2020/3/1
Ñ 例1.
求积分
z
2
(
z z
3 1 1)4
dz
.
解 因为函数 f (z) z3 1在复平面解析,
d s 2 π R CR
f (z) f (z0 ) d z 0
CR
z z0
f (z)
C z z0 d z 2 π if (z0 )
柯西积分公式的基本内容
()()c f d i z ξξξ-⎰
内解析，在区域D 的边界()c f d i z ξξξ-⎰
柯西积分公式对于无界区域也成立：如果无界区域是有限条简单闭曲线C ，函数在内除了点外连续，同时当z 趋于∞时存在()c f d i z ξξξ--⎰ 柯西积分公式说明：如果一个函数在简单闭合曲线内部的值完全可由C 上的值而定。
1()()n c f d i z ξξξ+-⎰ 的导数仍为解析函数, 1()()n c f d i z ξξξ+-⎰
由定理可知，由函数在区域且也推出其各阶导数在D 内存在且连续。
这便是解析函数所具有的极好的性质，我们有()0c f z dz =⎰
内解析。
他刻画了解析函数的又一种定义。
函数()f z 在以C 为边界的有界区域()()c f d i z ξξξ-⎰ z 对于复变函数的研究颇具意义。
柯西积分公式
-柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
f
(z0 )
1
2i
f (z) dz
C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
( 3 ) 积分曲线C 可以是解析区域D内部的包含z0的任意曲线
特别地, 若定理中区域D 为圆周C : z z0 rei围成, 则
1
f (z0 ) 2i
f (z)
1
dz
C z z0
2i
2 0
f
(z0 re i re i
C
C1
C2
C（1 z
3z 1 1)( z
3)
dz
3z 1 dz
C2 (z 1)( z 3)
3z 1
3z 1
z 3 dz z 1 dz
C1 z 1
C2 z 3
3z 1 2i 2i 3z 1
z 3 z1
z 1 z3
2i 4i 6i
C1
C2
1
34
例 设 f ( z ) 3 2 7 1 d , C 为正向圆周x2 y2 3
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
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1 f (z) 1 f (z) dz dz ， C C 2 i 1 z z0 2 i 2 z z0
其中 z 在 C 的内部.（ C C1 C 2 . 由平均值公式可以推出解析函数 的一个重要性质，即解析函数的 最大模原理.此定理说明解析函数 的模在区域内任何一点都不能达 到最大值，除非函数恒为常数. 【定理 3.8】 （最大模原理） 设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析， 又函数 f ( z ) 不是常数，则在 D 内 f ( z ) 没有最大值. (换 言之：函数 f ( z ) 在区域 D 内解析,
C 为 D 内的任意一条正向简单
1
闭曲线， C 的内部仍在 D 内，设 z0 是 C 内任意一点，则
f ( z0 )
1 f (z) dz -------柯西积分公式 （3.10） 2 i C z z0
也可以写为
C
f (z) dz 2 if ( z0 ) z z0
说明：此公式称为解析函数的积分表示,它表明解析函数 在区域内任一点的值可以用它沿区域边界的积分值来表 示.（如图 3.15） 分析：由复合闭路原理可知
0 ， 0 ，
使得当 z z0 由此
时，有 f ( z ) f ( z0 ) .
C
f ( z ) f ( z0 ) f ( z0 ) f (z) dz dz C z z0 z z0 f ( z ) f ( z0 ) 1 dz dz ， C z z0 z z0 1 dz 2 if ( z0 ) ， z z0
7
证：圆周 z z0 R 的参数方程 为: z z0 Re ,( 0 2 ), 则由柯西积分公式及复积分的参数方程公式即
i
1 f ( z) 1 2 f ( z0 R ei ) dz R i ei d i C 0 2 i z z0 2 i Re 1 2
f (z) 在 D 内有不解析点 z0 ，则积分 I 的值不一定为零. z z0
1）当 f ( z ) 1 时， I 2 i . 2） 当 f ( z ) 为解析函数时， 由复合闭路定理知在 C 内任意 作圆 C : z z0 则
(0 0 ) .
C
f (z) f (z) dz dz . C z z z z0 0
上式对满足条件 0
0 的任何 都成立.（积分与半
径的大小无关） ，请思考积分与哪个量有关呢？ 猜想： I 的值是否与 f ( z ) 在 z0 点的值有关？ （由§3.1 知光滑曲线上的连续函数的积分存在.） 【定理 3.7】 （柯西积分公式） 设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析，
z
z
sin
z
2 i (
sin
z
4 | 4 | ) 2 i . z 1 z 1 z 1 z 1
sin
z
说明：当被积函数在围线的内部含有多个不解析点时，一 般可先用挖洞的方法，利用复合闭路原理将积分转化为其 内部只有被积函数的一个不解析点的各个小围线的积分 和，然后再用柯西积分公式. （下面内容选学） 【推论 1】 (解析函数的平均值公式 )若函数 f ( z ) 在圆域
8
若 f ( z ) 在区域 D 内 能达到最大值, 则
f ( z ) 在区域 D 内恒
为常数) . （如图 4.14） 说明：最大模原理是复变函数的重要定理，它在流体力学 上反映了平面稳定流动在无源无旋区域内流速最大值不 能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流 动. 最大模与最小模原理是解析函数论中重要定理之一. 【推论 1】在区域 D 内解析的函数 f ( z ) ，若其模在 D 的 内点达到最大值，则此函数 f ( z ) 必恒为常数. 【推论 2】若函数 f ( z ) 在有界区域 D 内解析，在 D 上连 续，则 f ( z ) 必在 D 的边界上达到最大值. 小结： 1.柯西积分公式是复积分计算的重要公式， 在运用时要弄 清积分区域,弄清谁是公式中的 f ( z ) ,被积函数的奇点是 否在积分区域内. 2.最大模原理作用可以用来研究复函数模的取值特征， 运 用时注意条件是否满足. 存在问题：利用柯西积分公式计算复积分时，没有弄清谁 是 f ( z ) ，忽略讨论被积函数奇点是否在积分区域内.
lim
0
C
f (z) dz 2 i f ( z0 ) 即可． z z0
C
f ( z ) f ( z0 ) f ( z0 ) f (z) dz dz C z z0 z z0 f ( z ) f ( z0 ) 1 dz dz C z z0 z z0
2
f ( z0 )
C
C
f ( z ) f ( z0 ) dz 2 2 . z z0
任意固定点 z0 D , 显然
证明
f (z) 在 D 内除 z z0 z z0
外是解析的. 以 z0 为心,充分小的 0 为半径作闭圆盘, 使得此闭圆盘仍含于 D ,记闭圆盘的边界为圆周 C , 从 而
(5)
C
1 dz ，其中 C 是不经过原点的封闭曲线. z2
10
z z0 R 内解析,在闭圆盘 z z0 R 上连续,
则
f ( z0 )
1 2
2 0
f ( z0 Re i )d
即 f ( z ) 在圆心 z0 的值等于它在圆周上的值的算术平均 值. （如图 3.16）上述定理为柯西积分公式的特例， 它反映了解析函数在圆心处的值与它在圆周上的取值的 关系.
zi
1 3
2 i
z . 2 z i 9 z 5 f ( ) 在给定闭曲 z
【注：使用柯西积分公式注意】只有当
线 C 围成的区域 D 内仅有一个不解析点 z ，且分母是
z 的一次式时,才可直接使用.
(2)
z 3
1 dz . z 4
2
解 因函数 f ( z )
因为
f (z) 的不解析点 z 0 在 z 2 内， z
所以
z 2
sin z dz 2 i sin z z 0 0 . z
6
（注意：积分值为零并不代表被积函数一定解析）
（4）
sin
z 2
z
4 dz . z2 1 sin
解
sin
z 2
4 4 z 1 dz z 1 dz 4 dz z 1 12 z 1 12 z2 1 z 1 z 1
2
C1
1 1 z 2 dz z 2 dz C z2 2 z2 1 1 2 i 0. z 2 z 2 z 2 z2
2 i
另解（简洁的解法） ：
1 dz z 3 z 4
2
z2
1 2
1 dz z 4
2
z2
f (z) 在复合闭路 C C 所围成的区域内解析,在所 z z0
围成的闭区域上连续. 于是由复合闭路原理得
C
f (z) f (z) dz dz . C z z0 z z0
由于 f ( z ) 在 z0 处解析，所以 f ( z ) 在 z0 连续，则对于
1 的不解析点 z 2 , z 4
2
在 z 3 内，分别作圆周
C1 : z 2
1 1 , C2 : z 2 , 2 2
由复合闭路原理及柯西积分公式
5
1 1 1 dz dz dz 2 2 z 3 z 4 C1 z 4 C2 z 4
2
0
f ( z0 R ei ) d ，故结论成立.
【推论 2】 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C1 、 C 2 所围成的二 连域 D 内解析， C 2 在 C1 的内部， f ( z ) 在
上连续； z0 为 D 内一点，则 D D C1 C 2
f ( z0 )
所以
C
f (z) f (z) dz lim dz 2 if ( z0 ) , 0 C z Байду номын сангаас z z0 0
故定理得证. 思考题: 在柯西积分公式的条件下, 若 z0 D ,则
1 f (z) dz ? C 2 i z z0
【结论】柯西积分公式说明，在简单闭曲线 C 内部解析的 函数，若在 C 上连续，则函数在 C 内部的值完全由它在 C 上积分的值所决定. 例1 计算积分 (1)
C
f (z) f (z) dz dz ， C z z0 z z0
其中 C : z z0 内，因此
， 是可任意小的正数且 C 在 C
C
f (z) f (z) dz lim dz ． 0 C z z z z0 0
即柯西积分公式成立只须证
z dz . z 2 (9 z )( z i )
2
解
(1) 令 f ( z )
z 9 z2
则 f ( z ) 在闭圆盘 z 2 上解析，
函数
f (z) 在 z 2 上只有不解析点 z i . zi
4
由柯西积分公式与复合闭路定理知
z z 9 z 2 dz dz z 2 (9 z 2 )( z i ) z 2 z ( i ) z 9 z 2 dz 【此步可以不写】 z ( i )