§3.5 柯西积分公式 (学生看)

lim
0
C
f (z) dz 2 i f ( z0 ) 即可． z z0

C
f ( z ) f ( z0 ) f ( z0 ) f (z) dz dz C z z0 z z0 f ( z ) f ( z0 ) 1 dz dz C z z0 z z0
1 f (z) 1 f (z) dz dz ， C C 2 i 1 z z0 2 i 2 z z0
其中 z 在 C 的内部.（ C C1 C 2 . 由平均值公式可以推出解析函数 的一个重要性质，即解析函数的 最大模原理.此定理说明解析函数 的模在区域内任何一点都不能达 到最大值，除非函数恒为常数. 【定理 3.8】 （最大模原理） 设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析， 又函数 f ( z ) 不是常数，则在 D 内 f ( z ) 没有最大值. (换 言之：函数 f ( z ) 在区域 D 内解析,
8
若 f ( z ) 在区域 D 内 能达到最大值, 则
f ( z ) 在区域 D 内恒
为常数) . （如图 4.14） 说明：最大模原理是复变函数的重要定理，它在流体力学 上反映了平面稳定流动在无源无旋区域内流速最大值不 能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流 动. 最大模与最小模原理是解析函数论中重要定理之一. 【推论 1】在区域 D 内解析的函数 f ( z ) ，若其模在 D 的 内点达到最大值，则此函数 f ( z ) 必恒为常数. 【推论 2】若函数 f ( z ) 在有界区域 D 内解析，在 D 上连 续，则 f ( z ) 必在 D 的边界上达到最大值. 小结： 1.柯西积分公式是复积分计算的重要公式， 在运用时要弄 清积分区域,弄清谁是公式中的 f ( z ) ,被积函数的奇点是 否在积分区域内. 2.最大模原理作用可以用来研究复函数模的取值特征， 运 用时注意条件是否满足. 存在问题：利用柯西积分公式计算复积分时，没有弄清谁 是 f ( z ) ，忽略讨论被积函数奇点是否在积分区域内.
所以

C
f (z) f (z) dz lim dz 2 if ( z0 ) , 0 C z z z z0 0
故定理得证. 思考题: 在柯西积分公式的条件下, 若 z0 D ,则
1Байду номын сангаасf (z) dz ? C 2 i z z0
【结论】柯西积分公式说明，在简单闭曲线 C 内部解析的 函数，若在 C 上连续，则函数在 C 内部的值完全由它在 C 上积分的值所决定. 例1 计算积分 (1)
1 的不解析点 z 2 , z 4
2
在 z 3 内，分别作圆周
C1 : z 2
1 1 , C2 : z 2 , 2 2
由复合闭路原理及柯西积分公式
5

1 1 1 dz dz dz 2 2 z 3 z 4 C1 z 4 C2 z 4

2
0
f ( z0 R ei ) d ，故结论成立.
【推论 2】 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C1 、 C 2 所围成的二 连域 D 内解析， C 2 在 C1 的内部， f ( z ) 在
上连续； z0 为 D 内一点，则 D D C1 C 2
f ( z0 )
2
f ( z0 )
C

C
f ( z ) f ( z0 ) dz 2 2 . z z0
任意固定点 z0 D , 显然
证明
f (z) 在 D 内除 z z0 z z0
外是解析的. 以 z0 为心,充分小的 0 为半径作闭圆盘, 使得此闭圆盘仍含于 D ,记闭圆盘的边界为圆周 C , 从 而
7
证：圆周 z z0 R 的参数方程 为: z z0 Re ,( 0 2 ), 则由柯西积分公式及复积分的参数方程公式即
i
1 f ( z) 1 2 f ( z0 R ei ) dz R i ei d i C 0 2 i z z0 2 i Re 1 2
作业： P100 7(1) (8);8(1),(2)*,(3),(4),(5)* （第三章习题）
9
§3.5 独立作业:
计算下列积分 （1）

z 2
3z 2 z dz ;（2） dz ； 2 z 2 (5 z )( z i ) zi
（3）
cos z ez ； （4） dz z 1 z z 2 z i dz .

C
f (z) f (z) dz dz ， C z z0 z z0
其中 C : z z0 内，因此
， 是可任意小的正数且 C 在 C

C
f (z) f (z) dz lim dz ． 0 C z z z z0 0
即柯西积分公式成立只须证
3
f ( z0 )
而
C
f ( z0 )
C

C
f ( z ) f ( z0 ) dz 2 2 ， z z0 f (z)
0
所以
zz
C
dz 2 if ( z0 ) 2 ，
lim
0
C
f (z) dz 2 i f ( z0 ) ， z z0

zi
1 3
2 i
z . 2 z i 9 z 5 f ( ) 在给定闭曲 z
【注：使用柯西积分公式注意】只有当
线 C 围成的区域 D 内仅有一个不解析点 z ，且分母是
z 的一次式时,才可直接使用.
(2)

z 3
1 dz . z 4
2
解 因函数 f ( z )
f (z) f (z) dz dz . C z z z z0 0
上式对满足条件 0
0 的任何 都成立.（积分与半
径的大小无关） ，请思考积分与哪个量有关呢？ 猜想： I 的值是否与 f ( z ) 在 z0 点的值有关？ （由§3.1 知光滑曲线上的连续函数的积分存在.） 【定理 3.7】 （柯西积分公式） 设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析，

z dz . z 2 (9 z )( z i )
2
解
(1) 令 f ( z )
z 9 z2
则 f ( z ) 在闭圆盘 z 2 上解析，
函数
f (z) 在 z 2 上只有不解析点 z i . zi
4
由柯西积分公式与复合闭路定理知
z z 9 z 2 dz dz z 2 (9 z 2 )( z i ) z 2 z ( i ) z 9 z 2 dz 【此步可以不写】 z ( i )
0 ， 0 ，
使得当 z z0 由此
时，有 f ( z ) f ( z0 ) .

C
f ( z ) f ( z0 ) f ( z0 ) f (z) dz dz C z z0 z z0 f ( z ) f ( z0 ) 1 dz dz ， C z z0 z z0 1 dz 2 if ( z0 ) ， z z0
z
z
sin
z
2 i (
sin
z
4 | 4 | ) 2 i . z 1 z 1 z 1 z 1
sin
z
说明：当被积函数在围线的内部含有多个不解析点时，一 般可先用挖洞的方法，利用复合闭路原理将积分转化为其 内部只有被积函数的一个不解析点的各个小围线的积分 和，然后再用柯西积分公式. （下面内容选学） 【推论 1】 (解析函数的平均值公式 )若函数 f ( z ) 在圆域
z z0 R 内解析,在闭圆盘 z z0 R 上连续,
则
f ( z0 )
1 2

2 0
f ( z0 Re i )d
即 f ( z ) 在圆心 z0 的值等于它在圆周上的值的算术平均 值. （如图 3.16）上述定理为柯西积分公式的特例， 它反映了解析函数在圆心处的值与它在圆周上的取值的 关系.
1 2
1 dz z 4
2

z2
1 2
1 z 2 dz z2

z2
1 2
1 z 2 dz z2
2 i
1 1 2 i 0. z 2 z 2 z 2 z2 sin z dz . z 2 z
（3）

解： f ( z ) sin z 在 z 2 上解析，
f (z) 在 D 内有不解析点 z0 ，则积分 I 的值不一定为零. z z0
1）当 f ( z ) 1 时， I 2 i . 2） 当 f ( z ) 为解析函数时， 由复合闭路定理知在 C 内任意 作圆 C : z z0 则
(0 0 ) .

C
f (z) 在复合闭路 C C 所围成的区域内解析,在所 z z0
围成的闭区域上连续. 于是由复合闭路原理得

C
f (z) f (z) dz dz . C z z0 z z0
由于 f ( z ) 在 z0 处解析，所以 f ( z ) 在 z0 连续，则对于
§3.5
教学过程：
柯西积分公式
【引入】设 f ( z ) 在在单连通区域 D 内解析，简单闭曲线
C : z z0 0 (0 0 ) 在 D 内.由柯西积分定理，

C
f ( z )dz = 0 .考虑积分 I
C
f (z) dz ,由于被积函数 z z0
(5)

C
1 dz ，其中 C 是不经过原点的封闭曲线. z2
10
2

C1
1 1 z 2 dz z 2 dz C z2 2 z2 1 1 2 i 0. z 2 z 2 z 2 z2
2 i
另解（简洁的解法） ：


1 dz z 3 z 4
2

z2
1 2
1 dz z 4
2

z2
因为
f (z) 的不解析点 z 0 在 z 2 内， z
所以

z 2
sin z dz 2 i sin z z 0 0 . z
6
（注意：积分值为零并不代表被积函数一定解析）
（4）

sin
z 2
z
4 dz . z2 1 sin
解

sin
z 2
4 4 z 1 dz z 1 dz 4 dz z 1 12 z 1 12 z2 1 z 1 z 1
C 为 D 内的任意一条正向简单
1
闭曲线， C 的内部仍在 D 内，设 z0 是 C 内任意一点，则
f ( z0 )
1 f (z) dz -------柯西积分公式 （3.10） 2 i C z z0
也可以写为

C
f (z) dz 2 if ( z0 ) z z0
说明：此公式称为解析函数的积分表示,它表明解析函数 在区域内任一点的值可以用它沿区域边界的积分值来表 示.（如图 3.15） 分析：由复合闭路原理可知