初中几何十大模型-无水印
初二数学30个重点几何模型
初二数学30个重点几何模型初二数学重点几何模型一、直线与角直线是几何中最基本的概念之一。
直线无法直接测量，但可以通过两个点的连线得到一条直线。
直线没有宽度和长度，只有方向。
在几何中，直线通常用字母表示。
角是由两条直线共享一个公共端点而形成的图形。
角度用度数来衡量，通常用小圆圈表示。
角度可以分为钝角、直角、锐角和平角四种类型。
钝角大于90度，直角等于90度，锐角小于90度，平角等于180度。
二、三角形三角形是由三条线段相连而形成的多边形。
三角形有很多种类，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。
等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，直角三角形则有一个角度等于90度。
三、四边形四边形是由四条线段相连而形成的多边形。
四边形有很多种类，包括正方形、矩形、平行四边形等。
正方形的四条边长度相等且四个角都是直角，矩形的四个角都是直角，平行四边形的对边平行且长度相等。
四、圆与圆周圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的图形。
圆周是圆的边界，也是圆的周长。
圆周上的任意两点与圆心相连，形成的线段称为弦。
圆周上的任意点与圆心相连，形成的线段称为半径。
圆周上的任意两点与圆心相连，形成的线段称为直径。
五、多边形多边形是由多条线段相连而形成的封闭图形。
多边形的边数可以是任意大于等于3的整数。
多边形根据边的长度或角的大小可以分为等边多边形、等角多边形和正多边形等。
等边多边形的所有边长度相等，等角多边形的所有角度相等，正多边形既是等边多边形又是等角多边形。
六、相似与全等相似是指两个图形的形状相似，但大小不同。
相似的图形具有对应角度相等和对应边成比例的特点。
全等是指两个图形的形状和大小完全相同。
全等的图形具有对应边相等和对应角度相等的特点。
七、平面镜与对称平面镜是一种可以反射光线的镜子。
平面镜的特点是光线入射角等于反射角，入射光线、反射光线和法线三者在同一平面上。
对称是指图形通过某个中心轴线或中心点对折后，两边或两部分完全重合。
七年级数学几何模型大全
七年级数学几何模型大全七年级的小伙伴们，今天咱们来唠唠七年级数学里那些超有趣的几何模型。
一、角平分线模型1. 双角平分线模型- 想象一下，有一个角，然后从这个角的顶点引出两条角平分线。
比如说∠AOB，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC。
这里面就有很多好玩的关系哦。
- 如果设∠AOB = 2α，那么∠AOC=α，∠AOD = α/2。
这里面的关键就是根据角平分线的定义，把角之间的关系找出来。
就像分蛋糕一样，角平分线就是把角这个“大蛋糕”分成相等的“小蛋糕”。
- 而且还有个重要的结论呢，如果两个角平分线所夹的角是β，那么β = 1/2∠AOB或者β = 1/2 (∠AOB - ∠COD)，这就看具体的图形情况啦。
2. 邻补角角平分线模型- 当有两个邻补角的时候，它们的角平分线可是很特别的。
比如说∠AOC和∠BOC是邻补角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC。
- 因为∠AOC+∠BOC = 180°，又因为OE和OF是角平分线，所以∠EOC+∠FOC=1/2(∠AOC + ∠BOC)=90°。
这就像两个小伙伴，把相邻的两块“角蛋糕”各自分一半，然后这两半加起来正好是个直角呢。
二、平行线模型1. “Z”字形模型（内错角模型）- 当有两条平行线被第三条直线所截的时候，就会出现像“Z”字一样的图形。
比如说直线a∥b，直线c与a、b相交。
- 这里面的内错角是相等的哦。
就好像在两条平行的铁轨（a和b）上，有一根枕木（c）横过来，形成的内错角就像在铁轨两边对称的位置，它们的大小是一样的。
- 如果∠1和∠2是内错角，那么∠1 = ∠2。
这个结论在证明角相等或者计算角的度数的时候可太有用啦。
2. “F”字形模型（同位角模型）- 还是两条平行线被第三条直线所截，不过这个时候是同位角的关系。
就像“F”字的形状。
- 同位角也是相等的呢。
比如说∠3和∠4是同位角，只要a∥b，那么∠3 = ∠4。
可以想象成在平行的道路（a和b）上，同样位置的标记（∠3和∠4），它们的角度肯定是一样的呀。
初中数学必背几何模型
一、中点模型1．倍长中线条件：AD 为△ABC 的中线辅助线：延长AD 到点E ，使得AD =DE结论：△ADC ≌△EDB ，AC ∥BE2．连中点构造中位线条件：点D 、E 为AB 、AC 的中点辅助线：连接DE 结论：12DE BC DE BC =，∥3．倍长一边构造中位线条件：点D 为AB 的中点辅助线：延长AC 到点E ，使得AC =CE ，连接BE 结论：12DC BE DC BE =，∥4．构造三线合一条件：AB =AC辅助线：取BC 的中点D ，连接AD结论：AD ⊥BC ，∠BAD =∠CADB5．构造斜边中线条件：∠ABC =90°辅助线：取AC 的中点D ，连接BD 结论：12BD AC AD CD ===二、角平分线模型6．往角两边作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F结论：△ADE ≌△ADF7．在角的两边截取等长线段条件：AD 平分∠BAC辅助线：在AB 、AC 上取点E 、F ，满足AE =AF ，连接DE 、DF 结论：△ADE ≌△ADF8．过角平分线上一点作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作EF ⊥AD ，交AB 、AC 于点E 、FD CBB CCC结论：△ADE ≌△ADF三、双角平分线模型9．内内模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 结论：1902D A ∠=︒+∠10．内外模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACE 结论：12D A ∠=∠11．外外模型条件：BD 、CD 平分∠CBE 、∠BCF 结论：1902D A ∠=︒-∠四、平行线模型12．猪蹄模型CA BCC ED条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D =∠BED13．铅笔头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D +∠BED =360°14．鸟头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠D +∠BED =∠B15．平行线+角平分线模型条件：AB ∥CD ，CE 平分∠ACD结论：AC =AE五、等积模型16．等底等高条件：AD ∥BCFAFBC结论：ABC DBC S S =，ADB ADC S S =17．等高模型条件：B 、C 、D 共线结论：::ABD ADC S S BD CD =18．等底模型条件：AE 、DE 为△ABC 、△DBC 边BC 上的高结论：::ABC DBC S S AE DE =六、对称半角模型19．对称半角模型-含45°角的三角形条件：∠BAC =45°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等腰直角三角形20．对称半角模型-含30°角的三角形B CB C DED条件：∠BAC =30°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等边三角形七、旋转半角模型21．旋转半角模型-等腰直角三角形条件：AB =AC ，∠BAC =90°，∠MAN =45°辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACM ＇ 结论：ANM ANM '≌，222BM CN MN +=22．旋转半角模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°， ∠MDN =60°辅助线：将△BDM 绕点D 顺时针旋转120°，得到△DCM ＇ 结论：NDM NDM '≌，BM CN MN +=23．旋转半角模型-正方形条件：正方形ABCD ，∠MAN =45°，FEAM'M CAB辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ＇ 结论：NAM NAM '≌，BM DN MN +=八、自旋转模型24．自旋转模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，点P 为其内任意一点辅助线：将△BAP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BCP ＇ 结论：△BPP ＇是等边三角形25．自旋转模型-等腰直角三角形条件：△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为△ABC 内任 意一点辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰直角三角形26．自旋转模型-等腰三角形条件：△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点，∠BAC =α 辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转α，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰三角形M'DNCBAB九、手拉手模型29．手拉手模型-等边三角形条件：△ABC和△CDE都是等边三角形结论：△ACE≌△BCD27．手拉手模型-等腰直角三角形条件：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形结论：△ACE≌△BCD，AE⊥BDEE28．手拉手模型-等腰三角形条件：△ABC 和△CDE 都是等腰三角形，CA =CB ， CD =CE ，且∠ACB =∠DCE结论：△ACE ≌△BCD30．手拉手模型-正方形条件：四边形ABCD 和AEFH 都是正方形结论：△ABE ≌△ADH ，BE ⊥DH十、最短路程模型31．直线同侧两线段之和最小（将军饮马）条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作点A 关于直线l 的对称点A ＇，连接A ＇B 结论：点P 为A ＇B 和l 交点时，AP +BP 最小C32．直线异侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 异侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小33．直线同侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小34．过桥模型（将军饮马）条件：A 、B 为定点，l 1∥l 2，MN 为定长线段且MN ⊥l 1 辅助线：将点A 向上平移MN 的长度得到A ＇，连接A ＇B 结论：点N 为A ＇B 与l 1交点时，AM +MN +BN 最小35．四边形周长最小（将军饮马）条件：A 、B 为定点，M 、N 为角两边上的动点辅助线：作点A 、B 关于角两边的对称点A ＇、B ＇，连接 lAlAll 1l 2A＇B＇结论：M、N为A＇B＇与角两边交点时，四边形ABMN的周长最小B'36．三角形周长最小（将军饮马）条件：A为定点，B、C为角两边上的动点辅助线：作点A关于角两边的对称点A＇、A＂，连接A＇A＂结论：B、C为A＇A＂与角两边交点时，△ABC的周长最小37．旋转类最短路程模型条件：线段OA=a，OB=b（a＞b），OB绕点O在平面内旋转结论：点B与点N重合时，AB最小；点B与点M重合时，AB最大十一、基本相似模型38．A字型条件：BC∥DE结论：△ABC∽△ADE条件：∠ABC =∠ADE结论：△ABC ∽△ADE39．8字型条件：AB ∥CD结论：△AOB ∽△DOC条件：∠BAO =∠DCO结论：△AOB ∽△COD40．母子型条件：△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB结论：△ABC ∽△ACD ∽△CBD41．一线三等角模型条件：∠B =∠D =∠ACE结论：△ABC ∽△CDECBCC A42．手拉手相似模型条件：△ABC ∽△ADE结论：△ACE ∽△ABD十二、对角互补模型43．对角互补模型-90°全等型条件：∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OEOC ，212OECD S OC 四边形CB ACE AB D CDD44．对角互补模型-120°全等型条件：∠AOB =120°，∠DCE =60°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OE =OC ，24OECD S =四边形45．对角互补模型-任意角全等型条件：∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，2cos OD OE OC α+=⋅， 2sin cos OEC OCD S S OC αα+=⋅46．邻边相等的对角互补模型条件：四边形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC +∠ADC =180°D BAN E OB辅助线：延长CD 到E ，使得DE =BC ，连接AE结论：△ABC ≌△ADE ，CA 平分∠BCD十三、隐圆模型47．动点定长模型条件：AB =AC =AP ，点P 为动点结论：点B 、C 、P 三点共圆，点A 为圆心，AB 为半径48．直角圆周角模型条件：点C 为动点，∠ACB =90°结论：点A 、B 、C 三点共圆，线段AB 的中点为圆心，线段 AB 为直径49．定弦定长模型条件：点P 为动点，固定线段AB 所对的动角∠APB 为定值 结论：点A 、B 、P 三点共圆，线段AB 和BP 的中垂线的交点 为圆心BA50．四点共圆模型①条件：点A 、C 为动点，∠BAD +∠BCD =180°结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心当∠BAD =∠BCD =90°，BD 为直径51．四点共圆模型②条件：线段AB 为固定长度，点D 为动点，∠C =∠D结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心CCA当∠C=∠D=90°，AB为直径。
初中几何十大模型 无水印
初中几何十大模型模型，可理解为数学定理（培训辅导机构总结归纳出来的定理）。
但是不是课本上出现的定理，故不能在证明题中直接使用其结论（需要证明一遍）。
模型主要作用还是简化图形，为证明或者添加辅助线提供思路。
一、 中位线模型 多个中点构造中位线【例】①在Rt △ABC 中，F 为斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，且满足∠DFE=90°，AD=3，BE=4，求线段DE 长度．②如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=°，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA二、 角平分线模型角平分线+垂线=等腰三角形角平分线+垂线=等腰三角形【例】如图所示，△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 是△ABC 的角平分线，交于F 点，求证：DF=EF三、 三垂直模型与弦图【例】在平面直角坐标系中，A （0,3），点B 的纵坐标为2，点C 的纵坐标为0，当A 、B 、C 三点围成的等腰直角三角形时，求B 、C 坐标。
四、 手拉手模型【例】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC五、 倍长中线与婆罗摩笈多模型倍长中线、倍长类中线、中点遇平行延长相交条件：1、两个等腰三角形2、顶角相等3、顶点重合结论：1、手相等2、三角形全等3、手的夹角相等4、顶点连手的交点得平分D【例】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、ACFG .AD 为ABC ∆中线．求证：AD EG ⊥．六、 弦图与婆罗摩笈多模型【例】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、ACFG ．过A 作AH BC ⊥于H，AH 与EG 交于P ．求证：①EP PG =，②2BC AP =．七、 将军饮马模型费马点“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
初中数学必学48个几何模型
初中数学必学48个几何模型
1. 直线和线段
2. 射线
3. 角
4. 直角
5. 锐角和钝角
6. 平行线
7. 等腰三角形
8. 等边三角形
9. 直角三角形
10. 直角坐标系
11. 等比例线段
12. 外接圆和内切圆
13. 弧和扇形
14. 正方形
15. 长方形
16. 平行四边形
17. 梯形
18. 圆
19. 半圆
20. 圆周角
21. 正多边形
22. 立方体
23. 长方体
24. 正方体
25. 球体
26. 圆锥
27. 圆柱
28. 右锥和右圆锥
29. 高锥和高圆锥
30. 正棱柱
31. 正棱锥
32. 正六面体
33. 正八面体
34. 正十二面体
35. 菱形
36. 菱形组合
37. 等角三角形
38. 曲线
39. 等腰梯形
40. 对称图形
41. 平行四边形法则
42. 夹角
43. 三角形中位线定理
44. 三角形中心
45. 三角形外角和
46. 面积公式
47. 三分点
48. 垂线定理。
中考几何综合压轴题十大模型
中考几何综合压轴题十大模型包括：
1. “12345”模型：适用于和为30度、60度的证明，以及倍长中点的相关证明。
2. “半角”模型：说明上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
3. “角平分线”模型：角平分线定理的应用，以及角平分线+垂线=等腰三角形，角分线+平行线=等腰三角必呈现等的应用。
4. “手拉手”模型：适用于两个等腰三角形，顶角相等，顶点重合的情况，可以证明三角形全等，手的夹角相等，顶点连手的交点得平分。
5. “将军饮马”模型：最短路径问题，适用于解决两点之间距离最短的问题。
6. “中点”模型：中点旋转的模型，可以解决旋转全等问题。
7. “垂直”模型：垂直也可以做为轴进行对称全等。
8. “旋转全等”模型：通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
9. “自旋转”模型：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角。
10. “共旋转”模型：通过“8”字模型可以证明。
以上就是中考几何综合压轴题的十大模型，希望对你有所帮助。
中考数学常见的11种几何模型
中考数学常见的11种几何模型一、三角形的不等关系模型：A字型、K字型、X字型1. 三角形两边之和大于第三边；2. 三角形两边之差小于第三边；3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半；5. 三角形三个内角之和等于180度。
二、全等、相似模型模型：A字型全等、A字型相似、8字型全等、8字型相似、蝴蝶型全等、蝴蝶型相似、平行型全等、平行型相似、等积模型等。
三、平行四边形模型模型：平行四边形ABCD中，E为AB中点，则：AC、DE互相平分；模型：平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，则：AO=CO，BO=DO；模型：平行四边形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
四、梯形模型模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BE=FE；模型：梯形ABCD中，A、B在直线EF上，则：延长DC交AB延长线于F，则：梯形ABCD面积等于三角形面积的2倍；模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
五、矩形模型模型：矩形ABCD中，E为BC中点，则：AE平分角BAD；模型：矩形ABCD中，E为AD中点，则：AF平分角ABC；模型：矩形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
六、多边形模型模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BF=FE；模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
七、燕尾模型模型：在三角形ABC中，BD平分角ABC，CE平分角ACB，则：点D、E在BC同旁，则：三角形ADE的面积等于三角形ABC面积的一半。
八、风筝模型模型：在三角形ABC中，点D、E在BC上，且AD平分角BAE，则：三角形ABC与三角形ADE的面积相等。
九、铅笔模型模型：在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，则：EF平行于AD，则：矩形ABFE与矩形EFCD相似。
中考几何综合压轴题十大模型
中考几何综合压轴题十大模型
中考几何综合压轴题十大模型可能包括以下几种类型的题目：
1. 三角形的性质和定理：如判断三角形的形状（等腰、等边、直角等），判断三角形相似与否，根据三角形的边长和角度求解未知边长和角度等。
2. 直线与平面的关系：如使用相交线测量角度和长度，判断两条直线相交的情况（平行、垂直等），解决平面上的图形间的位置问题等。
3. 圆的性质和定理：如判断两条弦、弧或切线之间的关系，根据已知条件求解圆的半径、直径和弧长等。
4. 四边形的性质和定理：如判断四边形的形状（矩形、正方形、菱形等），求解未知边长和角度，以及确定未知点的坐标等。
5. 长方体与正方体的计算：如计算长方体或正方体的表面积和体积，根据已知条件求解未知边长等。
6. 空间图形的计算：如计算正方体、长方体、圆柱体和锥体等的表面积和体积，根据已知条件求解未知边长和高度等。
7. 平移、旋转和翻转等变换：如根据平移、旋转和翻转等变换的规律解决给定图形的位置问题，计算变换后的坐标等。
8. 三角函数的应用：如根据已知角度和边长求解三角函数的值，
根据三角函数的关系求解未知边长和角度等。
9. 直角三角形的应用：如根据勾股定理求解直角三角形的边长，判断直角三角形的性质和类型等。
10. 平行线和等角定理的应用：如利用平行线和等角定理解决
线段之间的关系和角度问题，根据已知条件求解未知角度和边长等。
完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型
完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察。
掌握几何模型能够为考试节省不少时间。
下面是常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型通过翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
初中数学几何模型大全(精心整理)
三线八角同位角找F型内错角找Z型同旁内角找U型拐角模型1.锯齿形∠2=∠1+∠3 ∠1+∠2=∠3+∠42.鹰嘴型鹰嘴+小=大∠2=∠1+∠3 ∠2=∠1+∠33.铅笔头型∠1+∠2+∠3=360° ∠1+∠2+∠3+∠4=540°180×（n-1）等积变换模型S△ACD=S△BCD 八字模型∠A+∠B=∠C+∠DAD+BC>AB+CD飞镖模型∠D=∠B+∠C+∠AAB+AC>BD+CD内内角平分线模型∠A∠D=90°+12内外角平分线模型∠D=1∠A2外外角平分线模型∠D=90°-1∠A2平行平分出等腰模型HG=HM等面积模型 D是BC的中点S△ABD= S△ACD 倍长中线模型：D是BC的中点S△FBD= S△ECD角平分线构造全等模型角平分线垂直两边角平分线垂直中间角平分线构造轴对称以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，垂直也可以做为轴进行对称全等。
三垂模型拉手模型大小等边三角形虚线相等且夹角为60°大小等腰三角形顶角为a，虚线相等，且夹角为a大小等腰直角三角形虚线相等且夹角为90°大小正方形虚线相等，且夹角为90°半角模型正方形ABCD ∠EDF=45°得：EF=AE+CFCD=AD,∠ADC=90°,∠EDF=45°,∠A+∠C=180°得：EF=AE+CF∠BADAB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=12得：EF=BE+DFAB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°得：DE2=BD2+CE2△CEF为直角三角形上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
初中数学：经典几何模型大汇总(扫描版)
初中数学：经典几何模型大汇总I几何作为很多人的学习难点，一直都是很多学生的学习难点。
很多学生在初中几 何的学习过程中都会遇到两个问题， 一是定理定义记不住，在需要运用时想不起 来，二是记住了做题时又不知该用哪个， 思维跳跃、逻辑混乱是很多孩子在学习 几何的过程中遇到的问题。
F 面瑞德特刘老师分享一组初中几何模型大汇总， 临近期末考试了，有需要的家长可以作为复习资料拿给孩子看看，一定会对孩子的学习有所帮助的CτB%δα7Iλ*⅞D1 iAi(⅛A模型一：手拉手模型-旋转型全等<1> ⅜≡ft 影>盼QMgD均为等边三角形A g⅛≡ (DAOAC ・ AOBD、② LAEB-60e ,③ OE平分LAED It<2）割！用FA结论:φΛακ・打②NEO・90SA③OE平分A ⅝ft= 口恥W均为等般宜甬三角形A新h •"心均为钿三角形A 结论：① ΔOAC ■ 'OBD.② LAEBA （3） OE 平分"ED。
A模型二：手拉手撲型-直转型相似CDHRftW>⅛fr: CDHAB y将MMD腹转至右国位買A Sife：>右图中① AocDSAO4〃 8 AOK∙ ΔOfiD JA②延长M交3D于点E.必有丄BEC - LSOA> Sft≡ CDIJAB f LAOB^^将AOCD 蘇转至右图结论二右图中①AgDSMMBGgiC 建长"C交BD于点0必有厶BEC - LBoA .-——≡ -- ≡ — W tan LC)CJ)^AC OC OA；④肋丄M⑤⅛的6 BG ^AD i^BC^AB ^ CD∖ItXW（対角裁相垂首的四询形）A 模型三：对角互补模型A 条件：① 5)B - LiyCE・90。
I②OC平分SOBA 结论：QCD=CE.②()D*OΓ-√2OC j③S a(Mt - 5MXD ÷S At)Cf " ；OC2> ⅛B瘢示：垂直，如囹，证明MQM ∙ME∖∙多②过点C作CF丄OC•如上因(右)，证明AODC ■ WC；>当JKE的一边交加的延长线于点D时：以上三个结论，(DCD=G (不变)J^OE-OD■ >fiθC I ® J-S " 2°C 此结论硼方法与苗««况Sb可自f⅛试。
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初中几何十大模型
模型，可理解为数学定理（培训辅导机构总结归纳出来的定理）。
但是不是课本上出现的定理，故不能在证明题中直接使用其结论（需要证明一遍）。
模型主要作用还是简化图形，为证明或者添加辅助线提供思路。
一、 中位线模型 多个中点构造中位线
【例】
①在Rt △ABC 中，F 为斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，且满足∠DFE=90°，AD=3，BE=4，求线段DE 长度．
②如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=
∠=°，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．
E
D
F
C
B
A
二、 角平分线模型
角平分线+垂线=等腰三角形
角平分线+垂线=等腰三角形
【例】如图所示，△
ABC 中，∠
A=60°，BD 、CE 是△ABC 的角平分
线，交于F 点，求证：DF=EF
三、 三垂直模型与弦图
【例】在平面直角坐标系中，A （0,3
），点B 的纵坐标为2，点C 的
纵坐标为
0，当A 、B 、C 三点围成的等腰直角三角形时，求B 、C 坐标。
四、 手拉手模型
【例】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连
接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC
五、 倍长中线与婆罗摩笈多模型
倍长中线、倍长类中线、中点遇平行延长相交
条件：
1、两个等腰三角形
2、顶角相等
3、顶点重合
结论：
1、手相等
2、三角形全等
3、手的夹角相等
4、顶点连手的交点得平分
D
【例】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、ACFG .
AD 为ABC ∆中线．
求证：AD EG ⊥．
六、 弦图与婆罗摩笈多模型
【例】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、
ACFG ．过A 作AH BC ⊥于H
，AH 与EG 交于P ．求证：
①EP PG =，②2BC AP =．
七、 将军饮马模型
费马点
“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
G
A
B
D
E
F
H P
1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
垂足三角形
锐角三角形三条高的垂足形成的三角形。
锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形的周长最短。
【例】在△ABC 中，∠A=45°，∠B=60°，AB=10，D 、E 、F 分别是
BC 、AC 、AB 上的点，求△DEF 的周长最小值.
八、 半角模型
B
【例】在正方形ABCD 中，∠EAF=∠ECF=45°，求证：①BE 与DF
平行或共线；②阴影部分面积相等
九、 边边角模型
如图，AC=AB ，BD=CE 得EF=DF
辅助线思路：
作垂线/平行线
【例】已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在
CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
十、截长补短模型
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。
常用于证明不在同一条直线的几条线段的数量关系，形如a+b=c。
截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。
截长常用的方法：1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短常用的方法：1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
【例】
①如图，△BDE 为等边三角形，A 在BE 延长线上，C 在BD 延长线上，且AD=AC ，求证：DE+DC=AE
②已知：如图，中，是外一点且．
求证：．
ABC △AB AC =D ABC △60ABD ACD ∠=∠=°BD CD AB +=
A
B
C
D。