全同粒子体系习题解
量子力学教程第三十讲
Ex.3
一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无 相互作用。可能的单粒子态有三 1 , 2 , 3 ， 问体系可能的状态有几个？波函数怎样由单粒子 态构成？
Solve:
状态数：
（1）三个玻色子分别处于三个单态上：
Spin and identical particle
s
(1)
1!1!1! (q1, q2, q3 ) 3! 1 (q1 )2 (q2 )3 (q3 ) 1 (q2 )2 (q3 )3 (q1 ) 1 (q3 )2 (q1 )3 (q2 ) 1 (q3 )2 (q2 )3 (q1 ) 1 (q2 ) 2 (q1 )3 (q3 ) 1 (q1 ) 2 (q3 )3 (q2 )}
将两粒子体系推广到N 粒子体系
ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) H ˆ (q ) H ˆ (q ) H 0 1 0 2 0 N 0 n
n 1 N
（7.7-13）
ˆ (q ) (q ) (q ) 单粒子的本征值方程： H 0 n k n k k n
体系的薛定格方程：
* 2 * P P i 1 i 1
根据波函数的归一化条件：
ห้องสมุดไป่ตู้
由于单粒子态是正交归一的，则上式变为：
C N! 1
2
归一化常数
C 1/ N !
Spin and identical particle
n i 个粒子处于某一个态 n 时, 有 ni !种 交换，即 ni! 种排列不形成新的状态，这时求和
Spin and identical particle
（3）两粒子处在同一态，一粒子处在另一态
n2 1 n1 2 n 1 3
喀兴林高等量子力学习题EX32
练习 32.1 为什么v s r b b b ⋅⋅⋅ 的完全性关系(30.11)式(将其中积分理解为取和)与⋅⋅⋅⋅⋅⋅l n n n 21的完全性关系(32.8)式都等于1？根据(32.5)式，这两个基矢不是相差一个常数因子吗？（梁立欢）解 比照v s r b b b ⋅⋅⋅的完全性关系，ψ可展开为对称化基矢的叠加：⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=2211212211212'''1''''' ''' c n n n c n n n c n n n c c n n n c b b b c b b b l l l l v s r v s r ψ 可见⋅⋅⋅⋅⋅⋅l n n n 21的完全性关系与v s r b b b ⋅⋅⋅一致，不因相差一个常数而改变，改变的只是展开式每项前的系数。
32.2练习 32.3 从+l a 和l a 作用于基矢.......21l n n n 的公式（32.13）和（32.14）二式出发，重新证明它们的对易关系（32.15）式。
（完成人：张伟）证明：由公式（32.13）和（32.14）121...21212121...1...1.........1.........-++++=++=-=l n n n l l l l l l l l l l l n n n n n n n a n n n n n n n a εεεε其中()()12111211211121.........212121121121......)1(...212121...1...1...11...1......1.........ln ......)1(...ln ...1...1...11......1...1.........--'--'++++++++''''+''++'-'-''+++++++++'''''''+'+'+'=''++++''=++'=++++++++++==++++=++=l l l l n n n n n n n l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l n n n n n n n l l l l l l l l l l l l l l l l l l l n n n n n n n n n n n a n n n n a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n n n a a n n εεεεεεεεεεεεεεεεε其中即其中样的种情况得到的结论是一的前面，不难证明另一排在假设()0............1...1...11.........ln .........ln 212121121121=-=++++==''++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛''+'+++'+'+'+'+''''++'''-'-''l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l a a a a a a n n n n a a n n n n n n n n n n a a n n n n n n n εεεεεεεεεεεεε的对易关系和由此得到从而有可见即类似的方法和证明过程可以证明0=-'''l l l l l l a a a a a a ε的对易关系为：和 ()()()l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l n n n n n n n l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l n n n n n n n l l l l l l l l l l l l l l l l l l l a a a a a a a a n n n n n n n n n n n a n n n a a n n n n n n n n n a n n n a a n n a a a a n n n n n n a a n n n n n n n n n n a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n n n a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n n n a a n n l l l l '+'+'+'+''+++'+'+'''+'''''+'''-'-''++++++++''''+''+'-'-''+++++++++''''''''+''=-=-=+=-=+=++===-≠=-++==''++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛''=''-++''=-'=++++++++++==-++=++=≠--'--'δεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε综合之后有，时：当得：比较上两式的结果，可时当时有：从而，当从而有可见即其中即其中时有当类似的可以证明：1......1...1...............1...1...1......0............1...1...1.........ln .........ln ...1...1...1...1...............ln ......)1(...ln ...1...1...1......1...1.........212121212121212121121121.........212121121121......)1( (2121211)2111211211121至此+l a 和l a 的对易关系（32.15）式已经全部证毕。
量子力学习题及答案
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x
量子力学复习习题
量⼦⼒学复习习题⼀、选择题（每⼩题3分，共15分）1．⿊体辐射中的紫外灾难表明：CA. ⿊体在紫外线部分辐射⽆限⼤的能量；B. ⿊体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适⽤于⿊体辐射公式；D.⿊体辐射在紫外线部分才适⽤于经典电磁场理论。
2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA. Ψ代表微观粒⼦的⼏率密度；B. Ψ归⼀化后，ψψ*代表微观粒⼦出现的⼏率密度；C. Ψ⼀定是实数；D. Ψ⼀定不连续。
3．对于⼀维的薛定谔⽅程，如果Ψ是该⽅程的⼀个解，则：A A. *ψ⼀定也是该⽅程的⼀个解；B. *ψ⼀定不是该⽅程的解；C. Ψ与*ψ⼀定等价；D.⽆任何结论。
4．与空间平移对称性相对应的是：BA. 能量守恒；B.动量守恒；C.⾓动量守恒；D.宇称守恒。
5．如果算符∧A、∧B对易，且∧Aψ=Aψ，则：BA. ψ⼀定不是∧B的本征态；B. ψ⼀定是∧B的本征态；C. *ψ⼀定是∧B的本征态；D. ∣Ψ∣⼀定是∧B的本征态。
1、量⼦⼒学只适应于CA．宏观物体B．微观物体C．宏观物体和微观物体D．⾼速物体2、算符F的表象是指CA．算符F是厄密算符B．算符F的本征态构成正交归⼀的完备集C．算符F是⼳正算符D．算符F的本征值是实数3、中⼼⼒场中体系守恒量有BA．只有能量B．能量和⾓动量C．只有⾓动量D．动量和⾓动量4、Pauli算符的x分量的平⽅2σ的本征值为（B）A 0B 1C iD 2i5、证明电⼦具有⾃旋的实验是AA．史特恩—盖拉赫实验B．电⼦的双缝实验C．⿊体辐射实验D．光电效应实验1、量⼦⼒学只适应于CA．宏观物体B．微观物体C．宏观物体和微观物体D．⾼速物体2、在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即()H t H H=+，，其中H和H，应满⾜的条件是（B）AH与时间⽆关， H，与时间⽆关B 0H与时间⽆关， H，与时间有关CH与时间有关， H，与时间有关D 0H与时间有关， H，与时间⽆关3、⾃旋量⼦数S的值为（D ）A 1/4B 3/4C /2D 1/25、证明电⼦具有⾃旋的实验是AA．史特恩—盖拉赫实验B．电⼦的双缝实验C．⿊体辐射实验D．光电效应实验⼆、简答（每⼩题5分，共15分）1. 什么叫光电效应？光的照射下，⾦属中的电⼦吸收光能⽽逸出⾦属表⾯的现象。
量子力学周世勋习题解答第三章
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμωμωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x x ααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr ar a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
(10) (11) (12) (13)
ek1a B sin k 2aC cosk 2aD 0 0
k1ek1a B k 2 cosk 2aC k 2 sin k 2a D 0 0
0 sin k 2aC cosk 2aD ek1a F 0
(x) c (x)
⑤
④乘 ⑤，得 (x) (x) c2 (x) (x) ， 可见，c 2 1 ，所以 c 1
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有偶宇称，
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有奇宇称，
18
当势场满足 U (x) U (x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
3
第一章 绪论
1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： mT b, b 2.9 10 3 m0C 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：
d
8h c33Βιβλιοθήκη 1hd ，
ekT 1
及 c 、 d c d 得
2
8hc 5
1，
hc
ekT 1
令 x hc ，再由 d 0 ，得 .所满足的超越方程为
kT
d
2
(x)
E
2
(x)
②
12
Ⅲ： x a
2 2m
d2 dx2
3
(x)
U
(x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ，要等式成立，必须
1(x) 0 2 (x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
d
2 2 ( dx2
第七章量子力学的矩阵形式与表象变换习题
一． 选择题99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'exp(21)('x p ix P πψ=,它在动量表象中的表示是D A.δ(')p p -. B.δ(')p p +. C.δ()p . D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是AA.δ(')x x -.B.δ(')x x +.C.δ()x .D.δ(')x .101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是C A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001. B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a . B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a . C.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 0b a .D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在(, L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 AA. .B. - .C. 2 .D. 0.105.算符Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符(,)F x i x ∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是BA.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂. B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂.C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()* ∂∂. D.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是AA. 以本征值为对角元素的对角方阵. B 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是A A.-i p x∂∂. B.i p x ∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是BA.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212p p ∂∂μωμ -.D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A A. ±1. B. 0. C. ±i . D. 1±i .110. 在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110, F 的归一化本征态分别为A A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. C. 12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵的定义式为AA.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-. 112.幺正变换BA.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/axip=+μωμω212,则对易关系式[ , ]a a +等于B A. [ , ]aa +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=.二． 填空题1. Q 表象是以Q 的本征函数系(){}x u n 为基底的表象，在这个表象中，有()()x u Q x u Q n n n =()()x u t a n n ∑=ψ()()()())(,,)(,)(,***t a t a t a t a t a t a n n 21+21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψψ2. 算符F 对应一个矩阵（方阵），矩阵元是dxFu u F m n nm ⎰=*3. 选定表象后，算符和量子态都用 表示。
量子力学习题选解
一．选择题1.一个空腔可以看作黑体。
实验得出，当空腔与内部的辐射处于平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线形状和位置[ ]A.只与绝对温度有关B.与绝对温度及组成物质有关C.与空腔的形状及组成物质有关D.与绝对温度无关，只与组成物质有关2.光电效应中，光电子的能量[ ]A.只与光强有关，与光的频率无关B.只与光的频率有关，与光强无关C.与光强和光的频率都有关D.与光强和光的频率都无关，和金属材料有关3.实验表明，高频率的X 射线被轻元素中的电子散射后，波长[ ] A.随散射角的增加而增大 B.不变C.随散射角的增加而减小D.变化情况视元素种类而定4.根据德布罗意关系，与自由粒子相联系的波是[ ] A.定域的波包 B.疏密波 C.球面波 D.平面波5.普朗克常数的单位是[ ]A.s J ⋅B.s N ⋅C.K s J /⋅D.K s N /⋅6.一自由电子具有能量150电子伏，则其德布罗意波长为A.1A B.15A C.10A D.150A7.下列表述正确的是A.波函数归一化后是完全确定的B.自由粒子的波函数为r p i p Ae t r⋅=),(ψD.所有的波函数都可以归一化8. 在球坐标中，ϕθψππd drd z y x 220),,(⎰⎰表示A.在),(ϕθ方向的立体角中找到粒子的几率B.在球壳),(dr r r +中找到粒子的几率C.在),,(ϕθr 点找到粒子的几率D.在),,(ϕθr 点附近，ϕθd drd 体积元中找到粒子的几率9.波函数的标准条件为A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒10.下列波函数中，定态波函数是 A. tE i ix tE i ix ex v ex u t x ---+=ψ)()(),(1 B. tE i ix tE i ix ex v e x u t x+--+=ψ)()(),(2C. )()()(),(21321E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ--D. )()()(),(21421E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ+-11.一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔 A.和势阱宽度成正比 B.和势阱宽度成反比 C.和粒子质量成正比 D.随量子数n 增大而增大12.若量子数不变，一维无限深势阱的宽度增加一倍，其中粒子的能量 A.增大为原来的四倍 B.增大为原来的两倍 C.减小为原来的四分之一 D.减小为原来的二分之一13. 对于一维谐振子，势能为2221)(x x V μω=，若令xμωξ=，则波函数形如)()(22ξξψξH e -=，其中)(ξH 满足0)1(222=-+-H d dHd H d λξξξ为使±∞→ξ时，)(ξψ有限，则λ值为A.整数B.奇数C.偶数D.零14.设体系处于的状态102111Y c Y c +=ψ，式中1c 、2c 是常数，则在此状态下，测量力学量2L 和z L ，下列结论中正确的是A. 测量2L 有确定值，测量z L 也有确定值 B. 测量2L 有确定值，测量z L 没有确定值 C. 测量2L 和z L 都没有确定值D. 测量2L 没有确定值，测量z L 有确定值15. 若Aˆ、B ˆ是厄密算符，则下列结论中正确的是 A. B A+仍然是厄密算符 B. B A ˆˆ仍然是厄密算符 C. B Aˆˆ是对易的 D. A ˆ、B ˆ的本征函数是实函数16.一质量为m 的粒子禁闭在边长为a 的立方体内，粒子的能量)(2222222z y x n n n n n n maE zy x ++=π ， x n 、y n 、z n =1，2，3，…则第一激发态能量A.不简并B.二重简并C.三重简并D.四重简并17.一维谐振子处于10ϕϕψB A +=，其中A 、B 为实常数，n ϕ为谐振子的第n 个归一化本征函数，则A.122=+B AB.1)(2=+B A C.1=+B A D.B A =18. 球谐函数ϕθϕθim m l lm m lm e P N Y )(cos )1(),(-=，其中)(cos θml P 是A.贝塞尔函数B. 缔合勒盖尔函数C.缔合勒让德函数D.拉格朗日函数19.关于球谐函数20Y 和21Y 的奇偶性，下列说法正确的是A. 20Y 、21Y 都是奇函数B. 20Y 、21Y 都是偶函数C. 20Y 是奇函数，21Y 是偶函数D. 21Y 是奇函数，20Y 是偶函数20.粒子在库仑场中运动，薛定谔方程径向部分是0)1()(222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++u r l l r Ze E dr u d s μ其中A.0>E 构成连续谱，0<E 构成分立谱B.0<E 构成连续谱，0>E 构成分立谱C.0>l 构成连续谱，0<l 构成分立谱D.0<l 构成连续谱，0>l 构成分立谱21.氢原子的径向波函数)2()2()(01200r na Z L r na Z eN r R l l n l r na Z nl nl ++-=中的)2(012r na Z L l l n ++是 A.拉格朗日函数 B.拉普拉斯函数 C.缔合勒盖尔函数 D. 缔合勒让得函数22.不考虑电子自旋，库仑场中粒子束缚态能级的简并度为A.2n B.22n C.n D.n 223.氢原子核外电子的角分布Ωd W lm ),(ϕθ（即径向),(ϕθ附近立体角内找到粒子的几率）A.与r 有关C.与ϕ有关，与θ无关D.与θ、ϕ皆有关24.表示厄密算符的矩阵称为厄密矩阵。
量子力学习题集及答案
量子力学习题集及答案09光信息量子力研究题集一、填空题1.__________2.设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为6.125A。
XXX的量子化条件为∫pdq=nh，应用这量子化条件求得一维谐振子的能级En=(nωℏ)。
3.XXX假说的正确性，在1927年为XXX和革末所做的电子衍射实验所证实，德布罗意关系为E=ωℏ和p=ℏk。
4.ψ(r)=(三维空间自由粒子的归一化波函数为e^(ip·r/ℏ))，其中p为动量算符的归一化本征态。
5.∫ψ*(r)ψ(r)dτ=(δ(p'-p))，其中δ为狄拉克函数。
6.t=0时体系的状态为ψ(x,0)=ψ_n(x)+2ψ_2(x)，其中ψ_n(x)为一维线性谐振子的定态波函数，则ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+2ψ_2(x)e^(-5iωt/2))。
7.按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=(|Ψ|^2)，几率流密度j=(iℏ/2μ)(Ψ*∇Ψ-Ψ∇Ψ*)。
其中Ψ(r)描写粒子的状态，Ψ(r)是粒子的几率密度，在Ψ(r)中F(x)的平均值为F=(∫Ψ*F(x)Ψdx)/(∫Ψ*Ψdx)。
8.波函数Ψ和cΨ是描写同一状态，Ψe^(iδ)中的e^(iδ)称为相因子，e^(iδ)不影响波函数Ψ的归一化，因为e^(iδ)=1.9.定态是指能量具有确定值的状态，束缚态是指无穷远处波函数为零的状态。
10.E1=E2时，Ψ(x,t)=Ψ_1(x)exp(-iE1t)+Ψ_2(x)exp(-iE2t)是定态的条件。
11.这时几率密度和几率流密度都与时间无关。
12.粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
13.无穷远处波函数为零的状态称为束缚态，其能量一般为分立谱。
14.ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+ψ_3(x)e^(-7iωt/2))。
2.15.在一维无限深势阱中，粒子处于位置区间x a，第一激发态的能量为1/13（22222/2ma2），第一激发态的波函数为sin（n x/a）（n=2）/a。
量子力学总结习题考卷及答案
量⼦⼒学总结习题考卷及答案第⼀章⒈玻尔的量⼦化条件，索末菲的量⼦化条件。
⒉⿊体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对⿊体，简称⿊体。
⒎普朗克量⼦假说：表述1：对于⼀定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。
表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量⼦的⽅式进⾏，每个量⼦的能量为：ε=h ν。
表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。
⒏光电效应：光照射到⾦属上，有电⼦从⾦属上逸出的现象。
这种电⼦称之为光电⼦。
⒐光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0：只有当光的频率⼤于⼀定值v0 时，才有光电⼦发射出来。
若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有光电⼦产⽣。
②光电⼦的能量只与光的频率有关，与光的强度⽆关。
光的强度只决定光电⼦数⽬的多少。
⒑爱因斯坦光量⼦假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，⽽且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒⼦叫做光量⼦，或光⼦。
爱因斯坦⽅程⒒光电效应机理：当光射到⾦属表⾯上时，能量为E= hν的光⼦⽴刻被电⼦所吸收，电⼦把这能量的⼀部分⽤来克服⾦属表⾯对它的吸引，另⼀部分就是电⼦离开⾦属表⾯后的动能。
⒓解释光电效应的两个典型特点：①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电⼦不能脱出⾦属表⾯，从⽽没有光电⼦产⽣。
②光电⼦动能只决定于光⼦的频率：上式表明光电⼦的能量只与光的频率ν有关，⽽与光的强度⽆关。
⒔康普顿效应：⾼频率的X射线被轻元素如⽩蜡、⽯墨中的电⼦散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律：①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了⼀个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ；②波长增量Δλ=λ-λ随散射⾓增⼤⽽增⼤。
⒖量⼦现象凡是普朗克常数h在其中起重要作⽤的现象⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒⼆象性⒘与运动粒⼦相联系的波称为德布罗意波或物质波。
量子力学习题选讲精选全文
可编辑修改精选全文完整版一、在以下两种情况下计算粒子在一维阶跃势()⎩⎨⎧><=0000x V x x v （00>V ）上的反射率R 与折射率T ：00)2,)1V E V E <>解：（1）ψψμE H U H=+∇-=ˆ,2ˆ22 0V E >：令()022V E Ek -==μαμ， 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ ()()00222>=+x x dxx d ，ψαψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ()0,2>=x Ae x x i αψ 由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得 ααα+-=+=k k B k k A ,2 反射率()()222αα+-==k k B R透射率()241αα+=-=k k R T（2）0V E <，()E V -=02μβ 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ()()00222>=-x x dxx d ，ψβψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ ()0,2>=-x Ae x x βψ由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得()()()k i k i B k i A βββ+-=+=1112，反射率12==B R ，透射率01=-=R T二、质量为μ的粒子被约束在半径为r 的圆周上运动。
（1）设立路障 ，进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动πϕϕϕϕϕ2,0,0{)(00<≤∞<≤=V求解粒子能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于情况（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率。
解 1、在路障内，定态Schroedinger 方程为)()(2222ϕψϕϕψE d d I =- （1） 其中2r I μ=，方程（1）的解为00)(ϕϕϕψϕϕ<<+=-ik ik Be Ae （2）其中22IEk =，由,0)0(=ψ得A B -=，代入（2）得 00sin )()(ϕϕϕϕψϕϕ<<=-=-k c e e A ik ik由,0)(0=ϕψ得0ϕπn k =， .,2,1,20222 ==n I n E ϕπ由归一化条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤==⇒=⎰πϕϕϕϕϕπϕϕϕψϕϕϕψϕ200sin 2)(21)(00002n c d2、设t =0时撤去路障，撤去路障后的定态波函数与定态能量为.,2,1,0,2,21)(22 ±±===m Im E e m im m ϕπϕψ 任意时刻的波函数为ϕπϕψim t E imm e eC t n 21),(-∑=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤==∑πϕϕϕϕϕπϕϕπϕψϕ200sin 22)0,(0000mim m e C其中系数⎰⎰===-0000002sin1sin 1ϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕd C d e C im m粒子仍处于基态的几率为324πϕ=C 。
周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章 自旋与全同粒子——第8章
（2）无耦合表象
力学量组
(
J12
,
J1z
,
J
2 2
,
J
2
z
)
也相互对易，相应的表象称为无耦合表象。无耦合表象的基
矢为：| j1m1 j2m2 。
五、光谱的精细结构
在无外场的情形下，电子自旋对原子能级和谱线有影响。在哈密顿量中体现在电子的自
旋和轨道运动之间的相互作用引起了附加项。体系的哈密顿量可表示为：
2
三、简单塞曼效应 1．简单塞曼效应概念 在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条，这即是简单塞曼效应。
2．简单塞曼效应的物理机制
考虑氢原子或类氢原子在均匀外磁场中的情形。在较强的外磁场作用下，须考虑电子的
轨道磁矩和自旋磁矩与磁场 B 的相互作用。由于外磁场较强，可略去电子的自旋和轨道运
动之间的相互作用能量。此时，哈密顿量可表示为：
H
2
2me
2
U (r)
eB 2mec
(2Sz
Lz )
力学量组 (H , L2 , J 2 , J z ) 相互对易，其共同本征函数是定态薛定谔方程的解：
nlmms (r, ,, sz ) Rnl (r)Ylm ( ,)ms (sz )
则 Enlmms
Enl
eB 2mec
(m
2ms
)
EEnlnl22ememBBecec((mm11)), ,
。
(r , 2 ,t)
2 / 31
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在
z
表象中，s
z
的本征值为：
2
，相应的本征态为：
1 2
量子力学习题
1 hc 2 m v m h A A 2 6.63 10 34 3 108 2.30 1.84[eV] 9 19 300 10 1.6 10
例1. 设有一个电子在宽为0.20nm一维无限深的方势阱
中， （1）计算电子在最低能级的能量；
（2）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出 现的概率最小，其值为多少？
16
5. (1) 用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个 量子数各称做什么，它们取值范围怎样？ (2) 4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态， 当 n = 2 时，包括几个量子态？ (3) 写出磷 (P) 的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。
答：(1) 4 个量子数包括： 主量子数 n， n = 1, 2, 3,… 角量子数 l， l = 0, 1, 2,…, n-1 轨道磁量子数 ml， ml = 0, 1, …, l 自旋磁量子数 ms， ms = 1/2
一.量子力学基本原理之一——波函数
微观粒子的运动状态可以用波函数 完全描述。
2 r , t r , t r , t
表示 t 时刻, 微观粒子在空间
点出现的相对概率密度。 r
1) 空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值 2) 要求 r , t 单值
2
3) 波函数的连续性 4) 粒子在空间各点的概率的总和为 1
--之二——薛定谔方程
2 2 i ( r , t ) [ U ( r , t )] ( r , t ) t 2m
（1）它的解满足态的叠加原理
若 1 ( r , t ) 和 2 (r , t ) 是薛定谔方程的解， 则 c11 (r , t ) c2 2 (r , t ) 也是薛定谔方程的解。
高中物理“基本”粒子课后习题答案及解析
高中物理“基本”粒子课后习题答案及解
析
练习与应用
1．请设计和绘制一个合理的表格，在表格中填入相关的内容，全面概括你对粒子分类的了解。
解析：
2．查找华人科学家在粒子物理领域的成果和事迹，写一篇文章，并与同学交流。
解析：
我们可以参照下面几个人物的事迹来进行描写：
（1）何泽慧，发现了铀核裂变的新方式--三分裂和四分裂现象(她首先捕捉到世界上第一例四分裂径迹)，在国际科学界引起很大反响。
因为铀核"三分裂"现象是何泽慧首先发现，所以其被西方媒体称为"中国的居里夫人"。
（2）美籍华裔物理学家李政道、杨振宁荣获本年度的诺贝尔物
理学奖。
1956年两人共同提出弱相互作用中宇称不守恒原理，而获得诺贝尔物理学奖。
曾量子力学练习题答案
曾量子力学练习题答案【篇一：量子力学曾谨言第八章第九章习题详解】表象中，求??x的本征态 [1]在?（解）设泡利算符?，?x，的共同本征函数组是： x1?sz? 和x2?122?sz? （1）?x的本征函数，但它们构成一个完整或者简单地记作?和?，因为这两个波函数并不是??x的本征函数可表系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），?示：??c1??c2?(2)?x的本征值?，则??x的本征方程式是： c1,c2待定常数，又设? ?x???? (3)?将（2）代入（3）：?x?c1??c2?????c1??c2?? (4)??z表象基矢的运算法则是： ?x对?根据本章问题6（p．264），? ?x??? ?x??????x的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）此外又假设?： c1??c1???c1???c2?比较?,?的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ?c1??c2????????????(6a)?????????????(6b)?c2??c1?c2?c2?1????????????(6c)2?12前二式得??1，即??1，或???1当时??1，代入（6a）得c1?c2,再代入(6c)，得：c1?12ei? c2?12ei?? 是任意的相位因子。
当时???1，代入（6a）得c1??c2代入(6c)，得：c1?12ei?c2??12ei??x的本征函数：最后得?x1?ei?2ei?2(???)对应本征值1x2?(???)对应本征值-1?x??2共同表象中，采用sz作自变量时，既是坐标表以上是利用寻常的波函数表示法，但在?象，同时又是角动量表象。
可用矩阵表示算符和本征矢。
?c1??1??0??? ???? ???? ?c?（7）01?2??????x的矩阵已证明是 ??01??x?? ??10???x的矩阵式本征方程式是：因此???c1??01??c1?（8） ???????cc?01??2??2??x本征矢的矩阵形式是：其余步骤与坐标表象的方法相同，?ei??1?ei??1?x1??1? x2???1?2??2?????[2]在?z表象中，求??n的本征态，n(sin?cos?,sin?sin?,cos?)是(?,?)方向的单位矢。
量子力学习题集及答案
(1) 能量有两种可能值,, ,相应几率分别为; 有两种可能值,, ,相应几率分别为; 有两种可能值,, ,相应几率分别为; (2) =
3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做 的（ 电 ）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式） 为（ ）和（ ）。
4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为=（ ）， （ ）。 5． 动量算符的归一化本征态（ ），（ ）。 6． t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函
数，则（ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度=（ ），几率
流密度=（ ）。 8． 设描写粒子的状态，是（ 粒子的几率密度 ），在中的
平均值为=（ ）。 9． 波函数和是描写（ 同一 ）状态，中的称为（ 相因子
），不影响波函数的归一化，因为（ ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指
（无穷远处波函数为零）的状态。 11． 是定态的条件是（ ），这时几率密度和（ 几率密度 ）
二、计算、证明题
1．粒子在一维势场中运动，试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能 级和归一化波函数.
解：当 当 令得
，
2．一粒子在一维势场中运动，试求粒子的能级和归一化定态波函数 （准确解）。 解： 令则
3．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
试从薛定谔方程出发求粒子在态中的能级和定态波函数（不必归一 化）。 { 提示：在态中 } 解： 当 当 令得
立。
23． 力学量算符的本征值必为（ 实数 ），力学量算符的属
于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。
量子力学曾谨言习题解答第三章
第三章： 一维定态问题[1]对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明2a x =）（）（22226112πn ax x -=- 并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数： ()ax n ax n πsin2=ψ （1）先计算坐标平均值：xdx axn axdx ax n axdx x aaa）（⎰⎰⎰-==ψ=222cos11sin2ππ 利用公式：2sin cos sin ppx p pxx pxdx x +-=⎰（2）得2c o s s i n c o s ppx ppxx pxdx x +-=⎰（3）22cos 22sin 221022a a x n n a a x n x n a xa x a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ计算均方根值用()x x x x x ，）（222-=-以知，可计算2xdx axn x adx axn x adx x xaa）（⎰⎰⎰-==ψ=2222222cos11sin2ππ 利用公式px ppx x ppx x ppxdx x sin 1cos 2sin 1cos 3222-+=⎰（5）aa x n x n a a x n n a x n a x a x222222cos 222sin 22311πππππ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=222223πn aa-=()22222222223⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-a n aaxx x x π）（ 2222212πn aa-=（6）在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度a1=ω。
210a xdx axdx x aa===⎰⎰ω31222adx x axa==⎰()22222222223⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-a n aaxx x x π）（ 故当∞→n 时二者相一致。
#[2]试求在不对称势力阱中粒子的能级。
热力学知识点总结及习题
1.热力学第零定理：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，他们彼此也必然处于热平衡2.热力学第一定律：能量可以从一种形式转变为另一种形式，但在转化过程中能量的总量保持不变3.热力学第二定理：实质：自然界中一切与热现象有关的实际过程都是不可逆过程，他们有一定的自发进行的方向开式：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化 克式：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化热力学第三（绝对零度定理）：不可能通过有限步骤是一个物体冷却到热力学温度的零度4.孤立系统：与外界无物质、无能量交换 dQ=0 dW=05.封闭系统：与外界无物质交换、有能量交换 dQ ≠0 dW=06.准静态过程：是一个进行得无限缓慢以致系统连续不断的经历着一些列平衡态的过程。
只有系统内部各部分之间及系统与外界之间始终同时满足力学、热学、化学平衡条件的过程才是准静态过程（准静态过程是一个理想过程）7.熵增加原理：系统经可逆绝热过程熵不变，经不可逆绝热过程熵增加，在绝热条件下，熵减少过程是不可能实现的。
8.广延量：与系统大小成正比的热力学量（如质量M 、体积V 、内能U 等） 强度量：不随系统大小变化的热力学量（如系统的P 、T 、ρ等）9.获得低温的方法：节流过程、节流过程与绝热膨胀相结合、绝热去磁制冷、激光制冷、核绝热去磁10.特性函数的定义：在适当选择独立变量条件下，只要知道系统的一个热力学函数，就可以用只求偏导数的方法求出系统的其他基本热力学函数，从而完全确定均匀系统的平衡性质，这个热力学函数就称为特性函数。
11.一级相变：在相变点两点的化学势连续，但化学势的一阶偏导数存在突变12.二级相变：在相变点两点的化学势及一阶导数连续，但二阶导数存在突变13.单元复相系平衡条件：一个单元两个系统（ɑ相和β相）组成一孤立系统，其总内能总体积和总物质的量恒定。
14.中肯半径：在一定的蒸气压下，于正其达到平衡的液滴半径称为中肯半径15.能量均分定理：对于外在温度为T 的平衡状态的经典系统，例子的能量中每一个平方项的平均值等于（1/2）KT16.微观粒子全同性原理：微观粒子全同性原理指出，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。
量子力学曾谨言习题解答第七章
第七章：粒子在电磁场中的运动[1]证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：[]zy x cq i v v B ˆ,2μ= （1） []xz y cq i v v B ˆ,2μ= （2） []y xz cq i v v B ˆ,2μ= （3） [证明]根据正则方程组：x x p H x v ∂∂== ˆ ，Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q A c qp H 221ˆ μ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x A c q p vˆˆ1ˆμ 同理 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y y A c q p v ˆˆ1ˆμ ()z y x p p p pˆ,ˆ,ˆˆ 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y x xyxA c q p A c q p v v ˆˆ,ˆˆ1,2μ =[][][][]y x y x y x y x A A cq p A c q A p c qp pˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ122222μμμμ+-- （4） 正则动量与梯度算符相对应，即∇=ipˆ ，因此 []0ˆ,ˆ=y x p p又A ˆ仅与点的座标有关[]0ˆ,ˆ=yxA A[]z x y x y yxB c iq y A x A i c q x i A c q A x i c q v v 2222,,,μμμμ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-= （因A B ⨯∇=ˆˆ）其余二式依轮换对称写出。
[2]利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z 轴方向） （解）设磁场沿Z 轴方向，B B B B z y x ===00矢势A ˆ 的一种可能情形是022=-=-=z y x A x B A y BA在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）{})2(2)1(2221ˆ222222z y x z y x v v v p x c qB p y c qB p H ++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=μμ速度算符间的对易式是：()()())5(0,)4(0,)3(,2===x z zyyxv v v v B ci q v v μ 根据（54⨯），z v 分别和x v ，y v 对易，因此z v 与22yx v v +对易，而： ()2212ˆyx v v H +=μ 与22ˆ2ˆx v H μ=有共同的本征函数，H ˆ的本征值是21ˆ,ˆH H 本征值之和。
量子化学习题及答案
量子化学习题及答案1.1998及2013年度诺贝尔化学奖分别授予了量子化学以及分子模拟领域的杰出贡献者，谈谈你的了解及认识。
答：1998年诺贝尔化学奖得主：瓦尔特·科恩和约翰·波普尔。
1964-1965年瓦尔特·科恩提出：一个量子力学体系的能量仅由其电子密度所决定，这个量比薛定谔方程中复杂的波函数更容易处理得多。
他同时还提供一种方法来建立方程，从其解可以得到体系的电子密度和能量，这种方法称为密度泛函理论，已经在化学中得到广泛应用，因为方法简单，可以应用于较大的分子。
沃尔特·库恩的密度泛函理论对化学作出了巨大的贡献。
约翰·波普尔发展了化学中的计算方法，这些方法是基于对薛定谔方程中的波函数作不同的描述。
他创建了一个理论模型化学，其中用一系列越来越精确的近似值，系统地促进量子化学方程的正确解析，从而可以控制计算的精度，这些技术是通过高斯计算机程序向研究人员提供的。
今天这个程序在所有化学领域中都用来作量子化学的计算。
2013年诺贝尔化学奖得主：马丁·卡普拉斯、迈克尔·莱维特、阿里耶·瓦谢勒。
他们为复杂化学系统创立了多尺度模型。
为研发了解和预测化学过程的强有力的计算机程序奠定了基础。
对于今天的化学家来说，计算机就像试管一样重要。
模拟过程是如此的真实以至于传统实验的结果也能被计算机预测出来。
多尺度复杂化学系统模型的出现无疑翻开了化学史的“新篇章”。
化学反应发生的速度堪比光速。
刹那间，电子就从一个原子核跳到另一个原子核，以前，对化学反应的每个步骤进行追踪几乎是不可能完成的任务。
而在由这三位科学家研发出的多尺度模型的辅助下，化学家们让计算机做“做帮手”来揭示化学过程。
20世纪70年代，这三位科学家设计出这种多尺度模型，让传统的化学实验走上了信息化的快车道。
2.谈谈你对量子化学中两种流派（VBT,MOT）的认识。
答：1926年，奥地利物理学家薛定谔（Schrodinger)建立了描述电子运动规律的波动方程。
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第六章 全同粒子体系习题解1.求在自旋态)(21z S χ中,xS ˆ与y S ˆ的不确定关系:?)()(22=y x S S ∆∆ 解:在z S ˆ表象中)(21z S χ、xS ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(21z S χ 01ˆ102x S ⎛⎫= ⎪⎝⎭h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y η ∴ 在)(21z S χ态中00101102)0 1(2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛==+ηχχx x S S 4010*********)0 1(ˆ2222121ηηη=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχx xS S 4)(2222η=-=∆xxx S S S 001002)0 1(ˆ2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(ˆ2222121ηηη=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i i i S S yyχχ 4)(2222η=-=∆yyy S S S 16)()(422η=∆∆y x S S讨论:由xS ˆ、y S ˆ的对易关系 [x S ˆ,y S ˆ]zS i ˆη= 要求4)()(2222z y x S S S η≥∆∆ 16)()(422η=∆∆y x S S ①在)(21z S χ态中,2η=z S ∴ 16)()(422η≥y x S S ∆∆可见①式符合上式的要求。
2.求⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y xηη及的本征值与所属的本征函数。
解:xS ˆ的久期方程为022=--λληη20)2(22ηη±=⇒=-λλ∴ xS ˆ的本征值为2η±。
设对应于本征值2η的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/1b a χ 由本征方程 2/12/12ˆχχη=x S ,得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件 12/12/1=+χχ,得 1),(11*1*1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a a 即 1221=a ∴ 21 2111==b a对应于本征值2η的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11212/1χ 设对应于本征值2η-的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-222/1b a χ 由本征方程 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--222/12/12ˆb a S x χχη222222 a b b a a b -=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件,得 1),(22*2*2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a a a a 即 1222=a ∴ 21 2122-==b a对应于本征值2η-的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11212/1χ同理可求得yS ˆ的本征值为2η±。
其相应的本征函数分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i 12121χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-i 12121χ 3.求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆz y x n S S S S ++= 本征值与所属的本征函数。
在这些本征态中,测量z S ˆ有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？z S ˆ的平均值就是多少？ 解:在z S ˆ 表象,nS ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηηi i S n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n η 其相应的久期方程为0cos 2)cos (cos 2)cos (cos 2cos 2=--+--λγβαβαλγηηηηi i即0)cos (cos 4cos 4222222=+--βαγληη0422=-ηλ )1cos cos cos (222=++γβα利用⇒ 2η±=λ所以nS ˆ的本征值为2η±。
设对应于2η=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a S n )(21χ,则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2ηηγβαβαγb b i a =-+⇒γβαcos )cos (cos γβαcos 1cos cos ++=i b由归一化条件,得22**),(12121b a b a b a +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχ 1cos 1cos cos 222=+++a i a γβα1cos 122=+a γ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=)cos 1(2cos cos 1cos 1)(21γβαγχi S n ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=)cos 1(2cos cos 1cos 1)(21γβαγχi S n 2121)cos 1(2cos cos 2cos 110)cos 1(2cos cos 012cos 1)(21-++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=χγβαχγγβαγχi i S n2121)cos 1(2cos cos 2cos 110)cos 1(2cos cos 012cos 1)(21-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=χγβαχγγβαγχi i S n可见, zS ˆ的可能值为 22ηη- 相应的几率为 2cos 1γ+ 2cos 1)cos 1(2cos cos 22γγβα-=++γγγcos 22cos 122cos 12ηηη=--+=z S同理可求得 对应于2η-=n S 的本征函数为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=-)cos 1(2cos cos 2cos 1)(21γβαγχi S n 在此态中,zS ˆ的可能值为 2 2ηη- 相应的几率为 2cos 1γ- 2cos 1γ+γcos 2η-=z S讨论:算符zS ˆ的本征值为2η±,而z 方向为空间的任意方向。
现在把z 方向特别选为沿n ρ方向(这相当于作一个坐标旋转),则n S ˆρ的本征值也应为2η±。
另外我们知道,本征值与表象的先取无关。
这样选择n z ρρ//并不影响结果的普遍性。
同理yx S S ˆˆ和的本征值也都就是2η±。
我们也可以在nS ˆ为对角矩阵的表象中(n S 表象)求本征矢。
显然这时nS ˆρ的知阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2002ηη所以本征矢为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001及注意到本征矢就是随着表象选取的不同而改变的。
现在就是在n S ˆρ表象,而上面算出的z S 是在2ηψ表象,算出的结果应用所不同,这就是合理的。
4.在z σ表象中,求n ρρ⋅σ的本征态,)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn ρ就是),(ϕθ方向的单位矢。
(解) 方法类似前题,设n ρρ⋅σ算符的本征矢就是:βα21c c x += (1)它的本征值就是λ。
又将题给的算符展开:z y x n σθσϕθσϕθσˆcos ˆsin sin ˆcos sin ++=⋅ρρ (2) 写出本征方程式:()()()βαλβασθσϕθσϕθ2121ˆcos ˆsin sin ˆcos sin c c c c z y x+=+++ (3)根据问题(6)的结论,x σˆ,y σˆ对2ˆˆσσz 的共同本征矢α,β,运算法则就是 βασ=x ˆ , αβσ=x ˆ , βασi y =ˆ , αβσi y =ˆ , αασ=z ˆ , ββσ-=z ˆ (4) 将这些代入(3),集项后,对此两边α,β的系数:⎩⎨⎧=-+=++2211cos )sin sin cos (sin )sin sin cos (sin cos c c i c i c λθϕθϕθλϕθϕθθ (5)或 ⎩⎨⎧=+-⋅=⋅+--0)(cos sin 0sin )(cos 2121c c e c e c i i λθθθλθϕϕ (6) (6)具有非平凡解(平凡解01=c ,02=c )条件就是久期方程式为零,即0cos sin sin cos =----λθθθλθϕϕi i e e 它的解12=λ (7) 1=λ 时,代入(6)得:122c e tgc i ⋅=ϕθ(8)（1） 的归一化条件就是: 12221=+c c将(8)代入(9),得: 2cos )(1θϕδ-=i ec 2sin 2θδi e c =归一化本征函数就是: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--βθαθχϕδ2sin 2cos 1i i e e(10) 1-=λ时,21,c c 的关系就是:122c e ctgc i ⋅-=-ϕθ归一化本征函数就是:⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-βθαθχϕδ2cos 2sin 2i i e e (11)δ就是任意的相位因子。
本题用矩阵方程式求解:运用矩阵算符:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00ˆii y σ ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001ˆz σ (12)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅-θθθθσϕϕcos sin sin cos i i ee n ρρ (13)本征方程式就是:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2222cos sin sin cos c c c c ee i i λθθθθϕϕ (14) n ρρ⋅σ的本征矢就是:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-δϕδθθi i e e 2sin 2cos 1)( , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-δϕδθθi i e e 2cos 2sin 2)( (15) 补白:本征矢包含一个不定的 相位因式δi e ,由于δ可以取任意值,因此21,χχ的形式就是多式多样的,但(15)这种表示法就是有普遍意义的。
5、若ˆˆˆ,,x y z σσσ为泡利矩阵,证明:i z y x =σσσˆˆˆ,并求: (1)在z σ表象中z y x σσσ,,的归一化本征函数; (2)在x σ表象中,y z σσ的归一化本征函数;证:由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 及 反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ, 得 z y x i σσσˆˆˆ= 上式两边乘z σˆ,得 2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ (1)在z σ表象中,z σ的矩阵就是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1001z σ因此z σ的本征值就是±1,而本征矢为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01,10都已归一化。
在z σ表象中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110x σ;设其本征值为λ,本征矢为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121210110,a a a a a a λ则 容易求得1±=λ相应的归一化本征函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11211121和 同理,在z σ表象中,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00i i y σ,设其本征值为μ,本征矢为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b ,则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212100b b b b i i μ 可求得:1±=μ相应归一化本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i i 121121和(2)求在x σ表象中。