全同粒子体系习题解

第六章 全同粒子体系习题解

1.求在自旋态)(2

1z S χ中,x

S ˆ与y S ˆ的不确定关系:?)()(2

2

=y x S S ∆∆ 解:在z S ˆ表象中)(2

1z S χ、x

S ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(2

1z S χ 01ˆ102x S ⎛⎫= ⎪⎝⎭h ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y η ∴ 在)(2

1z S χ态中

00101102)0 1(2

12

1

=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛==

+ηχχx x S S 4

010*********)0 1(ˆ2222

121ηηη=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+

χχx x

S S 4

)(22

22

η=-=∆x

x

x S S S 001002)0 1(ˆ2

121=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+

i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(ˆ2222

121ηηη=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+

i i i i S S y

y

χχ 4

)(22

22

η=-=∆y

y

y S S S 16

)()(4

2

2

η=∆∆y x S S

讨论:由x

S ˆ、y S ˆ的对易关系 [x S ˆ,y S ˆ]z

S i ˆη= 要求4

)()(2

2

2

2z y x S S S η≥∆∆ 16)()(422η=∆∆y x S S ①

在)(2

1z S χ态中,2

η

=

z S ∴ 16

)()(4

2

2

η≥y x S S ∆∆

可见①式符合上式的要求。

2.求⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y x

ηη及的本征值与所属的本征函数。 解:x

S ˆ的久期方程为

02

2=--λ

λ

ηη

20)2(22ηη±=⇒=-λλ

∴ x

S ˆ的本征值为2

η±。 设对应于本征值

2η

的本征函数为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=112/1b a χ 由本征方程 2/12

/12

ˆχχη

=x S ,得 ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =⇒⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件 12/12/1=+χχ,得 1),(11*

1*1=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛a a a a 即 122

1

=a ∴ 2

1 2

111=

=

b a

对应于本征值

2η的本征函数为 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=11212/1χ 设对应于本征值2η

-

的本征函数为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-222/1b a χ 由本征方程 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-

=--222/12/12ˆb a S x χχη

222222 a b b a a b -=⇒⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件,得 1),(22*

2*

2=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--a a a a 即 122

2=a ∴ 2

1 2

122-

==

b a

对应于本征值2η-

的本征函数为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-11212/1χ

同理可求得y

S ˆ的本征值为2

η

±。其相应的本征函数分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

i 1212

1χ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-i 12121χ 3.求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影

γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆz y x n S S S S ++= 本征值与所属的本征函数。

在这些本征态中,测量z S ˆ有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？z S ˆ的平均值就是多少？ 解:在z S ˆ 表象,n

S ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηηi i S n ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-+-=γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n η 其相应的久期方程为

0cos 2

)cos (cos 2

)cos (cos 2cos 2

=--+--λγβαβαλγη

η

η

η

i i

即0)cos (cos 4

cos 42222

22

=+--βαγληη

04

2

2

=-ηλ )1cos cos cos (222=++γβα利用

⇒ 2

η

±=λ

所以n

S ˆ的本征值为2

η±。 设对应于2η

=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a S n )(21χ,则 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2ηηγβ

αβαγ