小学数学人教2011课标版二年级进位加法的秘密

进位加法的秘密
——关于一道思考题的巧妙讲解
一、案例背景
人教版小学数学三年级上册“万以内的加减法二”这一单元中，在学习了万以内的连续进位后，教材第28页中出现了这样一道思考题：
细读教参后发现，教参对此题只字未提，而此题除了数字1可以确定位置外，其它数字都无法确定，没有解题的突破口和方法。

学生对此题的处理基本上是盲目的尝试，有的从个位试起，有的从百位试起，有的学生甚至到擦破书都试不出来。

经过一段时间的思考，有少部分学生试出了答案，但都不能说出缘由。

经询问后发现，教师基本上是让学生自己尝试并校对一下是否正确就不了了之。

这样的处理学生的参与面不广，如果教师敷衍思考，那将会导致这道思考题内在价值的流失，进而导致学生错失一个开发思维，积累数学活动经验的良好时机。

笔者查阅教学辅导资料后发现，张天孝老师主编的二年级下册《学数学长智慧》一书中有这样一道题：
根据它的提示，笔者深入分析后发现，进位加法有着独立的秘密，那就是加数里各数字的和减得数里各数字的和会等于9的倍数，而且是9的几倍就是有几次进位。

因为一个数位满十后到较高一位会当1来算，所以有一次进位，加数上会比得数上多9，也就是9的1倍。

有两次进位，差会是18，也就是9的2倍。

以此类推。

用这样的秘密讲解此题，便使得讲解有了突破口。

此题0~9各数字的总和是45，也就是9的5倍。

它可以是1次、2次和3次进位。

由于几次进位加数里各数字的和减得数里各数字和就是9的几倍，从而推出加数里各数字的和与得数里各数字的和，进而确定方框的填法。

基于以上因素，笔者设计了一堂课并把教学目标和重难点定位如下：
【教学目标】
1.通过探索性的学习，使学生基本理解加数里各数字的和减得数里各数字的和是9的几倍就是几
次进位。

2.能运用进位加法的秘密，根据进位的次数推理出得数之和，并确定得数。

3.进一步提高学生的分析能力和推理能力。

【教学重点】通过探索是学生理解加数里各数字的和减得数里各数字的和是9的几倍就是几次进位的原因。

【教学难点】1.理解加数里各数字的和减得数里各数字的和是9的几倍就是几次进位的原因。

2.会根据进位次数推出得数之和并确定得数。

二、教学设计与说明
教学片段一：游戏引入，发现规律
1.魔术设疑
师：今天老师要给大家表演个魔术，这个魔术需要你们配合我做三件事情：
①求出你所写算式里加数中每个数字的和；
②求出得数里每个数字的和；
③求出这两个和的差，并记住差是多少！
师：现在我们就要开始玩魔术了，谁来告诉我你的差是多少？
（指一生问差是多少，师说有几次进位，请4位同学回答，板书差是多少）
2.发现奥秘
师：觉得很惊讶是吗？其实奥秘就在这些差里？请仔细观察这些差，你有什么发现？
预设：都是9的倍数
出示不进位加法算式，让学生求出它加数里和数字的和与得数里各数字的和以及这两个和的差。

师：为什么这两个和的差会是0呢，请你们一位一位的观察，你有什么发现？
出示1次进位的加法算式，有一次进位加数里各数之和就比得数里各数字之和多9
师：现在的差怎么是9了呢，请你们也想刚才那样一位一位的观察，你有什么发现？
（验证：现在请你们验证一下自己的差，符合这个奥秘吗？）
揭题：这节课我们就一起来运用这个奥秘解决进位加法中的问题。

【设计说明】以魔术形式引入，让学生感知进位加法的隐含条件，不但吸引了学生的注意力，也增加了课堂的趣味性，而且让学生充满好奇，激发了学生探究规律的内在动力。

对于规律的理解，我遵循由简到难的原则，先讲解不进位的算式，通过对每个数位的对应分析，先让学生明白差是0就是0次进位，为进位加法的讲解做铺垫。

而进位加法的讲解，我结合竖式和对应数位讲解一次进位的情况，让学生感受奥秘的由来。

【教学片段二】运用奥秘，尝试解题
1出示练习，寻求方法
师：用0~9这十个数字组成下面的加法竖式（每个数字只能用一次），你会填吗？
（出示三位数加三位数等于四位数的方框，引导计算0~9这十个数字的总和，为探究得数做铺垫） 师：谁来说一说你会先填哪个数字？为什么？
预设：先填1，因为1只能在得数的千位上。

师：想一想，这道算式至少有几次进位？那最多几次？
预设：最少有1次，最多可以有三次进位。

2、探究三次进位
师：根据进位加法的奥秘，如果这道算式有3次进位，那加数里各数字的和减得数里各数字的和
会是9的…？
预设：9的3倍
师：刚才我们计算了0~9的总和是9的5倍，怎么分可以使得它们的差是9的3倍呢？ 预设：加数里各数字的和是9的4倍，和里各数字的和是9的1倍，也就是9.
师：剩下的三个方框应该填什么呢？
预设：和里各数字的和是9，所以其他三个方框会是0、3、5或者0、2、6
师：我们先来研究3和5这一组，知道有三次进位后，你觉得十位上两个数相加会等于几？那百
位呢？
师：现在你能把2、4、6、7、8、9填入方框中吗？
（投影反馈学生的结果，反馈从个位入手和从百位或者十位入手两种不同填法，进行方法的比较
和优化）
师小结：看来确定了得数后加数就变得好填了。

师：我们刚才说得数里各数字和是9的除了1、0、3、5这一组外，得数由1、0、2、6组成的你
们会填了吗？课后自己试一试。

【设计说明】此题只能确定数字“1”的位置，所以难以从数字填写入手。

于是我引导学生思考此题可能有几次进位，从进位次数入手探究加数里各数字的和与得数里各数字的和。

这与发现的奥秘相结合。

把0～9这十个数字的总和说成是9的5倍，询问如何分才使得加数里各数字的和减得数里各数字的和是9的3倍。

这一微小的变动寓意颇深，因为三年级的学生还没有接触和差关系，但倍数关系是已学内容。

而数的分成也是学生熟悉的方法。

这样处理使教学建立在学生已有认知经验的基础上。

解决了学生思考的难点。

＋
【教学片段三】灵活运用、巩固方法
1、探究2次进位
师：如果这道算式有2次进位，那加数里各数字的和减得数里各数字的和会是9的几倍？
预设：9的2倍，可是总和是9的5倍，无论怎么分差都不会是9的2倍。

2、探究1次进位
师：如果这道算式有1次进位，那加数里各数字的和减得数里各数字的和会是9的几倍？
预设：9的1倍，也就是加数里各数字和是9的3倍，得数里各数字之和是9的2倍
师：9的2倍也就是…？生：18
师：
探究0的位置，0不能放在个位和十位，0也不能放在加数的百位，所有0只能在得数的百位上。

师：得数剩下的两个方框可以填几？
预设：8和9
出示得数为1089，学生比赛填加数，最快填出的学生分享方法
【设计说明】此环节在起初的试教中我更多的是带着学生练习。

但考虑到这一环节是方法的运用和巩固，多给时间让学生自己思考后填写，学生对于方法的理解会更深入。

于是我大胆的放手让学生自己得出2次进位是行不通的。

1次进位的情况，我采取引导探究得数之和后也放手让学生自己尝试填方框，学生经历：遇困——探索——解困后，得出0的特殊位置，从而确定得数，并成功填写加数。

巩固根据得数填加数的方法。

三、案例反思
一次次的试教，一遍遍地磨课，对于内容的设计都是很有帮助的：通过趣味的引入环节，使学生在高度注意的情况下感受奥秘；通过精心设计的教学环节，既理解了奥秘的由来，又让不同层次的学生都有自己的收获，有的学生知道了进位加法里有着独立的奥秘，有的学生可以理解奥秘的由来，有的可以运用奥秘解决数学问题。

让不同的学生得到相应的收获！通过放手让学生自主探究，不拘泥于常规的解题方法，使得原本的教学难点由繁到简，化难为易。

本节课也有不足之处，如“教学片段一”中为什么一次进位加数里各数字和减得数里各数字和会等于9，本节课我通过对每个数位上的数字进行分析得到结果，其实这里可以尝试从不同数位中数字代表的意思入手，各位满十后向十位进一，本是个位的10个一到了十位就变成1个十进行计算了，综合两个数位看，就相当于有一次进位就会多9。

这样的讲解建立在有意义的记忆基础上，或许学生会更好的理解。

本节课思维含量比较高，对学生的理解来说是一个挑战，对于奥秘的理解，部分学生已经存在问题，而对于奥秘的运用，自然也是知其然而不知其所以然，有的学生基本上无法运用奥秘解题，如何处理可以使得更多的学生能参与到课堂中来是一个需要思考的问题。

看来，在平时的教
学中，教师也要不断探索研究，不断学习创新，不应仅仅局限于老的教法，只有教师本身与时俱进，学生才会有更广阔的天地！。