泛函分析重要内容

们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。

Chp.1 距离线性空间

SS1. 选择公理，良序定理，佐恩引理

有序集的定义：

（1）若a在b之先，则b便不在a之先。

（2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。

这种先后关系记作

良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。

良序集的超限归纳法：

（1）为真，这里是A中最先的元素。

2）对一切,为真，则亦真

那么对一切皆真。

选择公理

设N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切N都有

部分有序

称元素族X是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系，它据有性质：

例如X中包换关系

在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序

其中完全有序的C：。

例如在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的。

佐恩引理

设X非空的部分有序集，如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中，则X必含有极大元。

从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋范线性空间。

SS2. 线性空间，哈迈尔（Hamel）基

线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。

线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。

线性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中m∈M, n∈N。

线性流形的直和：如果M∩N={θ},则以代替M+N

如果,则称M与N是代数互补的线性流形。

于是有下述定理：

定理2.1 设M,N是线性空间X的线性流形，则当且仅当对每个x∈X都有唯一的表达式

x=m+n, m∈M,n∈N.

定理2.2 若，则dimX=dimM+dimN

Hamel基的定义：

设X是具有非零元的线性空间，X的子集H称为X的Hamel基，如果

（1）H是线性无关的。

（2）H张成的线性流形是整个空间。

则有Hamel基和线性无关子集的关系：

定理2.3 设X是线性空间，S是X中任意的线性无关子集，则存在X的一个Hamel基使得

推论任何非零线性空间必有Hamel基

由定理2.3，可有

定理2.4 设M是线性空间X的线性流形，则必有线性流形使得，即N是M的代数补。SS3 距离空间（度量空间），距离线性空间

定义了距离（满足正定性、对称性和三角不等式的映射）d(x,y)的空间即为距离空间，记为

按距离收敛：

设距离空间中的点列使得

,则称按d(·，·)收敛到x，简记为

距离线性空间：

设赋有距离d(·,·)的线性空间X满足

（1）

（2）

距离线性空间的例子

例1 有界序列空间（m）

设X代表所有有界数列的集合，设

定义加法和数乘：

以及距离：

则它是一个线性距离空间

例2 收敛序列空间（c）

元素、加法、数乘和距离定义同上，序列有极限。

例3 本质有界可测函数空间

定义加法和数乘：(x+y)(t)=x(t)+y(t), (ax)(t)=ax(t)

以及距离：d(x,y)=essup|x(t)-y(t)|

例4 所有序列空间（s）

元素、加法和数乘定义同例1，

距离

例5 空间

设X代表满足条件的所有数列的集合，加法和数乘同例1，

距离为

SS4 距离空间中的拓扑，可分空间

中，球、开集、邻域、闭集、内点、内部的概念同拓扑。

其中，极限点的概念相当于拓扑学中的聚点，连续函数的定义和拓扑也是一致的。稠密：设是距离空间，S包含于X称为稠密的，如果任给

.

空间X称为可分的，如果X内有一个可数的稠密集。

例5、所有序列空间（s）是可分的；有界序列空间（m），例3是可分的。

SS5 完备距离空间

完备性：称是完备的，若对任意的柯西序列都收敛。

例C[0,1]:所有复值连续函数的集合，是完备的。

定义与例3相同的加法和数乘，定义距离d(x,y)=max|x(t)-y(t)|，则它是线性距离空间，称为连续函数空间

完备化：对距离空间，若有完备的距离空间,使X等距于，

即有,且T(x)是中的稠密子集，则

为X的完备化。

进一步，有定理

定理5.1任何距离空间都存在完备化

SS6 列紧性

列紧：中集合M是列紧的，如果M中任何序列都有收敛子列。

闭的列紧集称为自列紧集。

ε-网：对中的M,N，ε为给定正数，若对M中的任一点x，必存在N中的一点x'使得d(x,x')<ε，则N是M的ε-网。

完全有界：距离空间X中的集合M是完全有界的，若对人给的ε>0，总存在由有限元组成的M的ε-网。

定理6.1：在距离空间中，列紧性蕴含完全有界性；若更设X完备，则列紧性与完全有界性等价。

定理6.2：在距离空间中，任何完全有界集是可分的。

定理6.3：在距离空间中，紧（紧致）性和自列紧性等价。

等同连续：设F是一族从到的函数，若任给都有

ρ

定理6.4：（阿尔采拉-阿斯科利）是列紧的必须且只需F是一致有界且等同连续的。

定理6.5：（蒙泰尔）设是区域Ω上一致有界的解析函数列，则与任何完全位于Ω内的有界区域D（D 的闭包在Ω内），恒有f的子序列在D上一致收敛。

SS7 赋范线性空间

满足范数三公理的从X到R的映射‖·‖称为范数，这样的赋范线性空间记为。

赋范线性空间X中，‖x‖是x的连续函数。

线性算子

设T是从到的函数（映射），若对一切x,y∈X和数a,b都有

T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，则称T是X到Y的线性算子。

如果还存在常数C>0，使对一切x∈X都有,则T是有界的

如上的C的下确界称为T的范数，记为‖T‖

定理7.1设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的线性算子，则下述等价：

（1）T在X某点连续；

（2）T在X中所有点连续；

（3）T是有界的。

线性算子的值域、满射的线性算子、单射的线性算子，逆算子这些定义是显然的。其中有界线性算子的逆算子一般未必有界，若有界则称为有界可逆的。

定义在从线性空间X到复数域C的线性算子函数，称为线性泛函。

命题7.2 有限维赋范线性空间中点收敛等价于坐标收敛

命题7.3 有限维赋范线性空间与同维度实数域线性同构且同胚。

Riesz引理：设M是赋范线性空间X的真子空间，则对任给的正数

且

根据这个引理，我们知道任何赋范线性空间X，若球B(x,r)是列紧的，则X必是有限维的。