高等数学讲义高等教育出版社第六版第九章D9习题课ok
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3. 在微分方程变形等中的应用
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练习题：
1. 在曲面
上求一点 , 使该点处的法线垂直于
平面
并写出该法线方程 .
提示: 设所求点为
则法线方程为
y0
x0
1
利用
y0 x0 1 131 z0x0y0
法线垂直于平面 点在曲面上
得 x 0 3 ,y 0 1 ,z 0 3
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例2. 设
其中 f 与F分别具
有一阶导数或偏导数, 求 (1999 考研)
解法1 方程两边对 x 求导, 得
xfdydzf xf dx dx
F2ddxyF3ddxzF1
dz dx
xf f xf
F2 x f
F2
F1 1 F3
x F 1 f x F 2 f fF 2 x f F3F2
求
( 2001考研 ）
答案: d du xf1x yf2 1sexi(x xn zz())f3
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三、多元函数微分法的应用
1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量)
2. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题
f(x， 0)x,求出 f (x,y)的表达式.
解法1 令
v Fra Baidu bibliotek y,则
f(u,v) 1 4 ( u v )2 1 4 ( u v )2 ( u )
即
f(x ,0 ) x , (x)x
f(x ,y ) x(y 1 )
解法2 f ( x y , x y ) ( x y ) x y ) ( ( x y )
y x
2 2
)
2 xy2f2xy(1xy2 2)f
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(3) zf(x, y2): x
2z xy
2x2yf2
2y( x
y2 x2
f 22 )
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2. 设
有连续的一阶偏导数 , 又函数
及
分别由下两式确定
exyxy2 , ex xz sint dt 0t
以下与解法1 相同.
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二、多元函数微分法
显示结构 1. 分析复合结构 隐式结构 (画变量关系图)
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数
自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则
“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性
f1 f3 (
1
xyz
)
x y
xt
2u xy
f12 f13(
1 )
x y
xy
f32 f33
(2xsint x2cost) xy
f
3
2xcost 1 x2 x y
(xy)co t1 s
( xy)2
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练习题
1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数
THANK YOU
精品
高等数学高等教育出版社第六版第九章D9习 题课ok
一、 基本概念
1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质
2. 几个基本概念的关系
连续性
偏导数存在
方向导数存在
可微性
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例1. 已知 f( x y ,x y ) x 2 y 2 ( x y ) ,且
(x fF 3 F 2 0 )
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z x f( x y ) ,F ( x ,y ,z ) 0
＊解法2 方程两边求微分, 得
化简 xfdy F2 dy
消去 d y 即可得
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例3.设
有二阶连续偏导数, 且
求 u , 2u .
u
x xy
解:
u x
(1) z x f ( y 2 ) x
(2) z f (x y2 ) x
(3) z f (x , y2 ) x
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解答提示: 第 1 题
(1) z xf (y2): x
2yf
2yf (
y2 x2
)
2xy23
f
(2)zf(xy2): x
2 x
y
2
f
2y x
f (1
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练习题：
1. 在曲面
上求一点 , 使该点处的法线垂直于
平面
并写出该法线方程 .
提示: 设所求点为
则法线方程为
y0
x0
1
利用
y0 x0 1 131 z0x0y0
法线垂直于平面 点在曲面上
得 x 0 3 ,y 0 1 ,z 0 3
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例2. 设
其中 f 与F分别具
有一阶导数或偏导数, 求 (1999 考研)
解法1 方程两边对 x 求导, 得
xfdydzf xf dx dx
F2ddxyF3ddxzF1
dz dx
xf f xf
F2 x f
F2
F1 1 F3
x F 1 f x F 2 f fF 2 x f F3F2
求
( 2001考研 ）
答案: d du xf1x yf2 1sexi(x xn zz())f3
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三、多元函数微分法的应用
1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量)
2. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题
f(x， 0)x,求出 f (x,y)的表达式.
解法1 令
v Fra Baidu bibliotek y,则
f(u,v) 1 4 ( u v )2 1 4 ( u v )2 ( u )
即
f(x ,0 ) x , (x)x
f(x ,y ) x(y 1 )
解法2 f ( x y , x y ) ( x y ) x y ) ( ( x y )
y x
2 2
)
2 xy2f2xy(1xy2 2)f
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(3) zf(x, y2): x
2z xy
2x2yf2
2y( x
y2 x2
f 22 )
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2. 设
有连续的一阶偏导数 , 又函数
及
分别由下两式确定
exyxy2 , ex xz sint dt 0t
以下与解法1 相同.
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二、多元函数微分法
显示结构 1. 分析复合结构 隐式结构 (画变量关系图)
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数
自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则
“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性
f1 f3 (
1
xyz
)
x y
xt
2u xy
f12 f13(
1 )
x y
xy
f32 f33
(2xsint x2cost) xy
f
3
2xcost 1 x2 x y
(xy)co t1 s
( xy)2
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练习题
1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数
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高等数学高等教育出版社第六版第九章D9习 题课ok
一、 基本概念
1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质
2. 几个基本概念的关系
连续性
偏导数存在
方向导数存在
可微性
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例1. 已知 f( x y ,x y ) x 2 y 2 ( x y ) ,且
(x fF 3 F 2 0 )
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z x f( x y ) ,F ( x ,y ,z ) 0
＊解法2 方程两边求微分, 得
化简 xfdy F2 dy
消去 d y 即可得
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例3.设
有二阶连续偏导数, 且
求 u , 2u .
u
x xy
解:
u x
(1) z x f ( y 2 ) x
(2) z f (x y2 ) x
(3) z f (x , y2 ) x
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解答提示: 第 1 题
(1) z xf (y2): x
2yf
2yf (
y2 x2
)
2xy23
f
(2)zf(xy2): x
2 x
y
2
f
2y x
f (1