高数题型总结
考研数学高数：常考十大题型全解析
考研数学高数：常考十大题型全解析2023年考研数学高数：常考十大题型全解析2023年考研数学高数备考已经开始，掌握常考的十大题型是非常重要的。
这些题型涵盖了整个高数课程，并突出了重要的概念、公式和技巧。
下面是我们整理的常考十大题型解析，希望能帮助大家顺利备考。
1. 极限计算型题目极限计算型题目是高数考试的基本题型，不仅在高数课堂上经常出现，而且在高数考试中的分值通常较高。
这种题型一般需要理解极限的定义、性质和计算方法，同时需要掌握重要的变换和技巧，如代数运算、分式分解、换元等。
2. 连续定义型题目连续定义型题目常出于微积分的章节中，主要考查学生是否掌握连续函数的定义和性质，以及相关的推论和定理。
需要特别注意的是，有许多连续定义型题目需要结合导数的概念来解决。
3. 导数计算型题目导数计算型题目需要掌握导函数、导数的四则运算法则、高阶导数、隐函数公式、参数方程求导等基本知识，同时需要注意不同类型的函数的特殊性质和特殊的导数计算方法。
4. 函数图像分析型题目函数图像分析型题目经常出现在很多高数课程的章节中，需要掌握函数的基本性质、图像特征、渐进线和极限，以及掌握函数变换的方法和图像的作法。
同时，还需要了解如何应用导数分析函数图像的特征。
5. 平面解析几何型题目平面解析几何型题目主要考查平面向量、点线面的基本概念和性质，以及各种向量的计算、几何关系的判断和使用解析几何方法去解决实际问题。
6. 空间解析几何型题目空间解析几何型题目常出现在立体几何、空间向量以及曲面理论等章节中。
需要熟悉三维坐标系、点、向量、直线和平面的表示方法和相互关系，以及空间几何的基本概念和性质。
7. 微分方程型题目微分方程型题目主要考查一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的求解方法和特殊类型的微分方程，如齐次方程、变量分离方程、一阶非齐次方程等。
8. 重积分型题目重积分型题目主要考查重积分的定义、性质、计算方法和应用，需要掌握极坐标、球坐标和柱坐标下的重积分计算。
考研数学：高数讲义重点题型解答(二)
由 2m ≤ f ′′′(ξ1 ) + f ′′′(ξ2 ) ≤ 2M 得 m ≤ 3 ≤ M ，由介值定理，存在ξ ∈[ξ1,ξ2 ] ⊂ (−1,1) ，
使得 f ′′(ξ ) = 3 。
【例题 3】设 a1 < a2 < " < an 为 n 个不同的实数，函数 f (x) 在[a1, an ] 上有 n 阶导数，并
【例题 3】设 f (x) ∈ C[0,1] ，在 (0,1) 内可导，且 f (0) = 0, f (1) = 1 ，证明：对任意的正数 a, b ，
存在ξ ,η ∈ (0,1) ，使得
a+ f ′(ξ )
b f ′(η)
=
a+b。
【解答】因为 f (0) < a < f (1) ，所以存在 c ∈ (0,1) ，使得 f (c) = a 。
【 例 题 2 】 设 f (x) 二 阶 连 续 可 导 ， 且 f ′′(x) ≠ 0 ， 又 f (x + h) = f (x) + f ′(x + θh)h
（ 0 < θ < 1 ）。
证明： limθ = 1 。
h→0
2
【解答】由泰勒公式得
f (x + h) =
f (x) +
f ′(x)h +
两边取极限再由二阶连续可导得
lim
h→0
θ
=
1 2
。
题型二：证明 f (n) (ξ ) = 0
常见思路：（1）罗尔定理； （2）极值法； （3）泰勒公式
【例题 1】设 f (x) ∈ C[0,3] ，在 (0,3) 内可导，且 f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) = 1 ，证明：
高数第一章 知识点总结
式中有多个参数，需进一步从所给极限中挖掘信息，获得额外关系式。特别地，
① 分段函数在分段点的极限： lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A = lim f (x) ；
x → x0
x → x0−
x → x0+
② 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大； g(x)
②
f
(
x)
在点
x0
有定义，但
lim
x→ x0
f
(x) 不存在；
③
f
(
x)
在点
x0
有定义，
lim
x→ x0
f (x) 存在，但 lim x → x0
f (x) ≠
f (x0 ) ；
4. 间断点的类型：
① 第一类间断点，左右极限都存在(包括：可去和跳跃间断点)；
② 第二类间断点，左右极限至少一个不存在(包括：无穷、震荡和其他间断点)；
aϕ(x) −1 ~ ϕ(x) ln a ， (1+ ϕ(x))α −1 ~ αϕ(x)
此外
ϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ，
6
3
2
arcsinϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ，ϕ(x) − arctanϕ(x) ~ ϕ3(x)
往年考题: (12-13) 已知 lim a cos x + bx = 5 ，试确定待定常数 a 和 b 的值。
x→π sin x
6. 函数的连续性（间断点）
高数下册(同济六版)复习资料
高等数学下册习题常见类型题型1 求向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积 题型2 由已知条件求平面与直线方程 题型3 计算一阶偏导数及高阶偏导数 题型4 求多元复合函数的偏导数 题型5 求方程所确定的隐函数的偏导数题型6 求方向导数、梯度、曲线的切线、曲面的切平面 题型7 求极值、利用拉格郎日乘数法求最值 题型8 利用直角坐标计算二重积分 题型9 利用极坐标计算二重积分 题型10 计算带绝对值的二重积分 题型11 利用二重积分证明恒等式 题型12 利用对称性质计算二重积分 题型13 只有一种积分次序可计算的积分 例1、求24212xdx dx +⎰⎰解：（将二次积分交换顺序）12212242122211sin sin sin sin (1)sin cos1sin1xD D y y D D y y dx dx dxdy dxdyy y yy dxdy dy dx y ydy y y πππππ+=+===-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰题型14 利用投影法计算三重积分 题型15 利用柱坐标计算三重积分 题型16 利用球坐标计算三重积分 题型17 利用切片法计算三重积分 题型18 利用三重积分计算立体的体积 题型19 计算对弧长的曲线积分 题型20 计算对面积的曲面积分 题型21 计算对坐标的曲线积分题型22 利用格林公式计算对坐标的曲线积分 题型23 曲线积分与路径无关及全微分求积 题型24 计算对坐标的曲面积分题型25 利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 题型26 可分离变量的微分方程、齐次方程 题型27一阶线性微分方程 题型29 可降阶方程题型30二阶常系数非齐次线性方程第八章向量与解析几何=－c a b第十章 重积分2()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤ （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）0(,)f x y x ⎧对于是奇函数，第十一章曲线积分与曲面积分所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
江苏省专转本高等数学试题题型分类整理
江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学专转本高数试卷结构知识分类与历年真题●函数、极限和连续●一元函数微分学●一元函数积分学●向量代数与空间解析几何●多元函数微积分●无穷级数●常微分方程时间排序与参考答案◆2004年高等数学真题参考答案◆2005年高等数学真题参考答案◆2006年高等数学真题参考答案◆2007年高等数学真题参考答案◆2008年高等数学真题参考答案◆2009年高等数学真题参考答案◆2010年高等数学真题参考答案◆2011年高等数学真题参考答案◆2012年高等数学真题参考答案◆2013年高等数学真题参考答案江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试卷结构全卷满分150分一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）知识分类与历年真题一、函数、极限和连续（一）函数（0401）[](]333,0()0,2x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩是（ ） A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数 （0801）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是（ ）A.()y f x =-B.)(43x f x y = C.()y f x =-- D.)()(x f x f y -+= （二）极限（0402）当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（ ）A.高阶无穷小B.同阶无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小（0407）设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(，则=∞→)(lim x f x ．（0601）若012lim 2x x f x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则0lim 3x xx f →=⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ） A.21 B.2C.3D.31 （0607）已知0→x 时，(1cos )a x ⋅-与x x sin 是等价无穷小，则=a ．（0613)计算x →． （0701）若0(2)lim2x f x x→=，则1lim 2x xf x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A.41B.21 C.2D.4（0702）已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x nsin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （ ） A.1B.2C.3D.4（0813）求极限：32lim xx x x →∞-⎛⎫⎪⎝⎭． （0901）已知22lim32x x ax bx →++=-，则常数b a ,的取值分别为（ ） A.2,1-=-=b a B.0,2=-=b aC.0,1=-=b aD.1,2-=-=b a（0907）已知lim 2xx x x C →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数=C ． （1001）设当0x →时，()sin f x x x =-与()ng x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值为 ( ) A.1,36a n == B.1,33a n == C.1,412a n == D.1,46a n == （1007） 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭． （1101）当0→x 时，函数1)(--=x e x f x是函数2)(x x g =的( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1107）已知22lim kxx x e x →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则=k _________． （1201）极限1sin 3lim 2sinx x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.0 B.2 C.3D.5（1301）当0x →时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2()g x x =的（ ） A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1310）设10lim xx a x e a x →+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则常数a = ． （三）连续（0413）求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型． （0501）0=x 是xx x f 1sin )(=的（ ） A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点（0513）设()2sin 0()0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续，并满足0)0(=f ，(0)6f '=，求a ． （0602）函数21sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（ ） A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续也不可导D.可导但不连续（0608）若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续．（0707）设函数1(1)0()20x kx x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩，在点0=x 处连续，则常数=k ．（0807）设函数21()(1)x f x x x -=-，则其第一类间断点为 ．（0808）设函数0()tan 30a x x f x x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪⎩在点0=x 处连续，则a ＝ ．（0902）已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的（ ）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点（1123）设210arctan ()1010sin 2ax axe x ax x x xf x x e x x ⎧---<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩，问常数为何值时：（1）0=x 是函数)(x f 的连续点？ （2）0=x 是函数)(x f 的可去间断点？ （3）0=x 是函数)(x f 的跳跃间断点？ （1202）设()2(2)sin ()4x xf x x x -⋅=⋅-，则函数)(x f 的第一类间断点的个数为（ ） A.0 B.1C.2D.3（1207）要使函数()1()12xf x x =-在点0=x 处连续，则需补充定义(0)f =_________．（1303）设sin 20()0xx x f x x ⎧<⎪⎪=⎨>，这点0x =是函数()f x 的（ ）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点（1307）设1sin0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则常数a = ． 二、一元函数微分学（一） 导数与微分（0403）直线L 与x 轴平行且与曲线xe x y -=相切，则切点的坐标是（ ） A.()1,1B.()1,1-C.()0,1-D.()0,1（0409）设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，N n ∈，则=)0('f ．（0415）设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22d d x yx=的值．（0502）若2=x 是函数1ln 2y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的可导极值点，则常数=a （ ） A.1-B.21C.21- D.1 （0514）设函数)(x y y =由方程cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0614）若函数)(x y y =是由参数方程2ln (1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0708）若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m ．（0714）设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求d d x yx=、22d d x y x =．（0802）设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是（ ） A.0(0)()lim(0)x f f x f x →-'=- B.000(2)()lim ()x f x x f x f x x→+-'=C.0000()()lim ()x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆D.0000()()lim 2()x f x x f x x f x x∆→-∆-+∆'=∆ （0814）设函数)(x y y =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩（2t n π≠，n Z ∈）所决定，求d d y x 、22d d y x ．（0903）设函数00()1sin 0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（ ） A.10<<αB.10≤<αC.1>αD.1≥α（0914）设函数)(x y y =由参数方程2ln (1)23x t y t t =+⎧⎨=+-⎩所确定，d d y x 、22d d yx ． （0923）已知函数0()10x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导．（1008）.若(0)1f '=，则0()()limx f x f x x→--= ．（1014）设函数()y y x =由方程2x yy ex ++=所确定，求d d y x 、22d d yx ．（1022）设()0()1x x f x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数，且(0)0ϕ=，(0)1ϕ'=，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导．（1102）设函数)(x f 在点0x 处可导，且4)()(lim 000=+--→hh x f h x f h ，则=')(0x f ( )A.4-B.2-C.2D.4（1110）设函数x y arctan=，则1d x y==_____________．（1114）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=22ty e tt x y 所确定，求d d y x ．（1208）设函数()22221x y x x x e =⋅+++，则=)0()7(y________．（1209）设xy x =（0x >），则函数y 的微分=dy ___________．（1214）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定，求d d y x 、22d d y x ． （1304）设1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶导数，则22d d y x =（ ）A.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1306）已知函数()f x 在点1x =处连续，且21()1lim 12x f x x →=-，则曲线()f x 在点()1,()f x 处切线方程为（ ） A.1y x =-B.22y x =-C.33y x =-D.44y x =-（1309）设函数由参数方程2211x t y t ⎧=+⎨=-⎩所确定，则221d d t yx == ．（二）中值定理及导数的应用（0423）甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元．问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？（0507）02limsin x x x e e xx x-→--=- ． （0508）函数x x f ln )(=在区间[]1,e 上满足拉格郎日中值定理的=ξ ． （0521）证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根．（0603）下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A.xe y =B.1y x =+C.21x y -=D.xy 11-= （0621）证明：当2x ≤时，332x x -≤．（0703）设函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则方程()0f x '=的实根个数为（ ） A.1B.2C.3D.4（0713）求极限01lim tan x x e x x x→--．（0722）设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质：（1）在点1-=x 的左侧临近单调减少； （2）在点1-=x 的右侧临近单调增加； （3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变． 试确定a ，b ，c 的值．（0724）求证：当0>x 时，22(1)ln (1)x x x -⋅≥-．（0809）已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为 ． （0821）求曲线1y x=（0x >）的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值． （0823）设函数)(x f 在闭区间[]0,2a （0a >）上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间(0,)a 上至少存在一点ξ，使得()()f f a ξξ=+． （0824）对任意实数x ，证明不等式：(1)1xx e -⋅≤． （0904）曲线221(1)x y x +=-的渐近线的条数为（ ）A.1B.2C.3D.4（0913）求极限30lim sin x x x x→-．（0921）已知函数13)(3+-=x x x f ，试求： （1）函数)(x f 的单调区间与极值； （2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间[2,3]-上的最大值与最小值．（0924）证明：当12x <<时，24ln 23x x x x >+-．（1002）曲线223456x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条 （1006）设3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内 ( ) A.函数()f x 单调增加且其图形是凹的 B.函数()f x 单调增加且其图形是凸的 C.函数()f x 单调减少且其图形是凹的 D.函数()f x 单调减少且其图形是凸的（1013）求极限2|011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭．（1021）证明：当1x >时，121122x e x ->+． （1103）若点(1,2)-是曲线23bx ax y -=的拐点，则（ ） A.3,1==b aB.1,3-=-=b aC.3,1-=-=b aD.6,4==b a（1113）求极限()()22limln 1xx x eex -→-+．（1121）证明：方程()2ln 12x x ⋅+=有且仅有一个小于2的正实根． （1122）证明：当0>x 时，x x201120102011≥+．（1203）设232152)(x x x f -=，则函数)(x f ( ) A.只有一个最大值 B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值（1213）求极限()2302cos 2lim ln 1x x x x x →+-+． （1223）证明：当10<<x 时，361arcsin x x x +>． （1302）曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条（1313）求极限01lim ln (1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．（1323）证明：当1x >时，2(1ln )21x x +<-．三、一元函数积分学（一）不定积分（0410）求不定积分3x = ．（0416）设)(x f 的一个原函数为xe x，计算(2)d x f x x '⎰．（0503）若()d ()f x x F x C =+⎰，则sin (cos )d x f x x =⎰（ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C F +(cos)D.C x F +-)(cos（0515）计算3tan sec d x x x ⎰．（0522）设函数)(x f y =的图形上有一拐点(2,4)P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数6y x a ''=+，求)(x f ．（0604）已知2()d x f x x e C =+⎰，则()d f x x '-=⎰（ ）A.C ex+-22B.C e x +-221 C.C e x +--22 D.C e x +--221（0615）计算x ． （0622）已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程． （0704）设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则(2)d f x x '=⎰（ ）A.C x +4cosB.C x +4cos 21C.C x +4cos 2D.C x +4sin（0715）求不定积分2d x x e x -⎰．（0810）设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分()d f x x =⎰ ． （0815）求不定积分3d 1x x x +⎰． （0905）设()ln (31)F x x =+是函数)(x f 的一个原函数，则(21)d f x x '+=⎰（ ）A.C x ++461B.C x ++463C.C x ++8121D.C x ++8123（0915）求不定积分x ⎰．（1015）求不定积分arctan d x x x ⎰．（1115）设)(x f 的一个原函数为x x sin 2，求不定积分()d f x x x⎰． （1215）求不定积分sin 2d x x x ⎰． （1315）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（二）定积分（0404）2228R y x =+设所围的面积为S ，则0x ⎰的值为（ ）A.SB.4S C.2S D.S 2（0421）证明：0(sin )d (sin )d 2x f x x f x x πππ=⎰⎰，并利用此式求20sin d 1cos xxx xπ+⎰．（0509）1211d 1x x x π-+=+⎰．（0516）计算10arctan d x x ⎰．（0609）设)(x f 在[]0,1上有连续的导数且(1)2f =，10()d 3f x x =⎰，则1()d x f x x '=⎰ ．（0616）计算22cos d x x x π⎰．（0709）定积分)231cos d x x x -+⎰的值为 ．（0716）计算定积分x ． （0811）定积分1212sin d 1xx x -++⎰的值为 ．（0816）求定积分10d x ⎰．（0916）求定积分：210⎰．（1009）定积分31211d 1x x x -++⎰的值为 ． （1016）计算定积分40x ⎰． （1111）定积分()32221sin d xx x ππ-+⋅⎰的值为____________．（1116）计算定积分3⎰ ． （1216）计算定积分21⎰．（1316）计算定积分20⎰（1324）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：[]2()d ()()d a b b aaf x x f x f a b x x +=++-⎰⎰．（三）变限积分与广义积分（0417）计算广义积分2+∞⎰（0422）设函数)(x f 可导，且满足方程20()d 1()x t f t t x f x =++⎰，求)(x f ．（0705）设221()sin d x f x t t =⎰，则()f x '=（ ）A.4sin x B.2sin 2x xC.2cos 2x xD.4sin 2x x（0803）设函数)(x f 122sin d xt t t =⎰，则()f x '等于（ ）A.x x 2sin 42B.x x 2sin 82C.x x 2sin 42-D.x x 2sin 82-（0908）设函数20()d x t x te t ϕ=⎰，则()x ϕ'＝ ．（1003）设函数22()cos d t xx e t t Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于 ( )A.222cos x xe x B.222cos x xe x - C.2cos xxe x - D.22cos x e x - （1108）设函数2()ln (1)d x x t t Φ=+⎰ ，则=Φ'')1(____________．（1211）设反常积分1d 2x ae x +∞-=⎰，则常数=a ______． （1222）已知定义在(),-∞+∞上的可导函数)(x f 满足方程31()4()d 3xx f x f t t x -=-⎰，试求：（1）函数()f x 的表达式； （2）函数)(x f 的单调区间与极值； （3）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点．（1224）设0()d 0()(0)0x g t t x f x g x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中函数)(x g 在(,)-∞+∞上连续，且3cos 1)(lim 0=-→xx g x ．证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且1(0)2f '=． （1322）已知251320()95d x F x t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰是()f x 的一个原函数，求曲线()y f x =的凹凸区间、拐点． （四）定积分的几何应用（0523）已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）曲边三角形绕x 轴旋转一周的旋转体体积．（0623）已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成．（1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积．（0721）设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0822）设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积；（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0922）设1D 是由抛物线22x y =和直线x a =，0y =所围成的平面封闭区域，2D 是由抛物线22x y =和直线x a =，2x =及0=y 所围成的平面封闭区域，其中20<<a ．试求：（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V ； （2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等．（1023）设由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值．（1024）设函数()f x 满足方程()()2xf x f x e '+=，且(0)2f =，记由曲线'()()f x y f x =与直线1y =，x t =（0t >）及y 轴所围平面图形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞．（1124）设函数)(x f 满足微分方程()2()(1)x f x f x a x '-=-+（其中a 为正常数），且1)1(=f ，由曲线()y f x =（1x ≤）与直线1x =，0y =所围成的平面图形记为D ．已知D 的面积为32． （1）求函数)(x f 的表达式；（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积x V ； （3）求平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积y V ．（1221）在抛物线2y x =（0x >）上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．（1321）设平面图形D 是由曲线x =y =1y =所围成，试求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（0510）设向量{}3,4,2=-a 、{}2,1,k =b ；a 、b 互相垂直，则=k ． （0610）设1=a ，⊥a b ，则()⋅+=a a b ． （0710）已知a 、b 均为单位向量，且12⋅=a b ，则以a 、b 为邻边的平行四边形面积为 ． （0804）设向量(1,2,3)=a ，(3,2,4)=b ，则⨯a b 等于（ ）A.(2,5,4)B.(2,5,4)--C.(2,5,4)-D.(2,5,4)--（0909）已知向量{}1,0,1=-a ，{}1,2,1=-b ，则+a b 与a 的夹角为 ． （1010）设{}1,2,3=a ，{}2,5,k=b ，若a 与b 垂直，则常数k = ．（1109）若1=a ，4=b ，2⋅=a b ，则⨯=a b ____________．（1210）设向量a 、b 互相垂直，且3=a ，2=b ，则2+=a b ________．（1308）已知空间三点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(3,4,5)C ，则ABC ∆的面积为 ．（二）平面与直线（0518）求过点(3,1,2)A -且通过直线L ：43521x y z-+==的平面方程． （0619）求过点(3,1,2)M -且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程．（0719）求过点(1,2,3)且垂直于直线20210x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的平面方程．（0817）设平面∏经过点(2,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,5)C ，求经过点(1,2,1)P 且与平面∏垂直的直线方程． （0917）求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程． （1017）求通过点(1,1,1)，且与直线23253x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩垂直，又与平面250x z --=平行的直线的方程．（1117）求通过x 轴与直线132zy x ==的平面方程． （1217）已知平面∏通过(1,2,3)M 与x 轴，求通过(1,1,1)N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．（1318）已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩在平面∏上，又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行，求平面∏的方程．五、多元函数微积分（一）多元函数微分学（0418）设(,)z f x y xy =-，且具有二阶连续的偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0505）设yxy x u arctan),(=，(,)v x y =，则下列等式成立的是（ ）A.yv x u ∂∂=∂∂ B.xvx u ∂∂=∂∂ C.x v y u ∂∂=∂∂ D.y v y u ∂∂=∂∂ （0517）已知函数2(sin ,)z f x y =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0611）设x e u xysin =，=∂∂xu． （0620）设2(,)z x f x xy =⋅其中(,)f u v 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、xy z∂∂∂2．（0711）设yxz =，则全微分d z = ． （0717）设(23,)z f x y xy =+其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（0805）函数xyz ln =在点(2,2)处的全微分d z 为（ ）A.11d d 22x y -+B.11d d 22x y +C.11d d 22x y -D.11d d 22x y --（0818）设函数,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（0910）设函数(,)z z x y =由方程12=+yz xz 所确定，则xz∂∂＝ ． （0919）设函数(sin ,)z f x xy =，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（1011）设函数z =，则10d x y z=== ．（1018）设()2,xz y f xy e =⋅，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂．（1104）设),(y x f z =为由方程8333=+-x yz z 所确定的函数，则=∂∂==00y x yz （ ）A.21-B.21C.2-D.2（1118）设)(y xyxf z ，=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（1204）设3ln 2z x y=+在点()1,1处的全微分为 ( )A.d 3d x y -B.d 3d x y +C.1d 3d 2x y +D.1d 3d 2x y -（1218）设函数22(,)()z f x xy x y ϕ=++，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()x ϕ具有二阶连续导数，求yx z∂∂∂2．（1314）设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定，求d z 及22zx∂∂．（1317）设()223,x yz fx e+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zy x∂∂∂．（二）二重积分（0411）交换二次积分的次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰．（0419）计算二重积分sin d d Dyx y y ⎰⎰，其中D 由曲线x y =及x y =2所围成． （0504）设区域D 是xoy 平面上以点(1,1)A 、(1,1)B -、(1,1)C --为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +=⎰⎰（ ）A.⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB.⎰⎰12D xydxdyC.⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD. 0（0511）交换二次积分的次序11d (,)d x x f x y y -+=⎰；（0524）设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，1()d ()d uuyF u y f x x =⎰⎰（1u >）． （1）交换)(u F 的积分次序； （2）求(2)F '．（0606）设对一切x 有(,)(,)f x y f x y -=-，22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥，=1D 22{(,)|1,0,0}x y x y x y +≤≥≥，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰（ ）A. 0B.1(,)d d D f x y x y ⎰⎰C.21(,)d d D f x y x y ⎰⎰D.41(,)d d D f x y x y ⎰⎰（0612）D 为以点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,2)B 为顶点的三角形区域，d d Dx y =⎰⎰ ．（0624）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续．（1）求a 的值使得)(t g连续；（2）求)('t g ．（0720）计算二重积分d Dx y ，其中{}22(,)|2,0D x y x y x y =+≤≥．（0723）设0>>a b ，证明：()232d ()d ()d b b b x y xx a ayay f x e x ee f x x ++⋅=-⎰⎰⎰．（0819）计算二重积分2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线xy 1=，直线y x =，2x =及0=y 所围成的平面区域． （0918）计算二重积分d Dy σ⎰⎰，其中22{(,)02,2,2}D x y x x y x y =≤≤≤≤+≥． （1005）二次积分111d (,)d y y f x y x +⎰⎰交换积分次序后得 ( )A.1101d (,)d x x f x y y +⎰⎰B.2110d (,)d x x f x y y -⎰⎰C.2111d (,)d x x f x y y -⎰⎰D.2111(,)d x dx f x y y -⎰⎰（1019）计算d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线x =y x =及x 轴所围成的闭区域．（1105）若(,)d d Df x y x y ⎰⎰可转化为二次积分1201d (,)d y y f x y x +⎰⎰ ，则积分域D 可表示为（ ） A.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ B.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤C.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤D.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤-（1119）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =直线x y -=及y 轴所围成的平面闭区域． （1205）二次积分dx y x f dy y),(11⎰⎰ 在极坐标系下可化为（ ）A.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρ⎰⎰ B.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰C.sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρ⎰⎰D .sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρρ⎰⎰ （1220）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =2xy =及x 轴所围成的平面闭区域．（1320）计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =0x >）与三条直线y x =，3x =，0y =所围成的平面闭区域．六、无穷级数（一）数项级数（0506）正项级数（1）∑∞=1n n u 、（2）∑∞=13n n u ，则下列说法正确的是（ ） A.若（1）发散、则（2）必发散 B.若（2）收敛、则（1）必收敛C.若（1）发散、则（2）不确定D.（1）、（2）敛散性相同（0605）设∑∞=1n nu为正项级数，如下说法正确的是（ ）A.若0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n nu必收敛 B.若l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛C.若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=12n nu必定收敛D.若∑∞=-1)1(n n nu 收敛，则∑∞=1n n u 必定收敛（0706）下列级数收敛的是（ ）A.∑∞=122n nnB.∑∞=+11n n n C.∑∞=-+1)1(1n nnD.∑∞=-1)1(n nn（0906）设α为非零常数，则数项级数∑∞=+12n n n α（ ）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与α有关（1004）下列级数收敛的是（ ）A.11n nn ∞=+∑B.2121n n n n ∞=++∑C.nn ∞= D.212n n n ∞=∑（1206）下列级数中条件收敛的是（ ）A.1(1)21nn nn ∞=-+∑B.13(1)2nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C.21(1)nn n ∞=-∑D.1nn ∞=（1305）下列级数中收敛的是（ ）A.211n n n∞=+∑ B.11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑C.1!2n n n ∞=∑D.1n ∞= （二）幂级数（0412）幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为 ．（0420）把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间． （0512）幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛区间为 ．（0519）把函数222)(x x x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间．（0618）将函数()ln (1)f x x x =+展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）．（0812）幂函数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域为 ． （0911）若幂函数21n nn a x n∞=∑（0a >）的收敛半径为21，则常数=a ．（1012）幂级数0(1)n nn x n ∞=-∑的收敛域为 ．（1106）若x x f +=21)(的幂级数展开式为0()nn n f x a x ∞==∑（22x -<<），则系数=n a ( )A.n 21B.121+n C.(1)2nn -D.1(1)2nn +-（1112）幂级数0nn ∞=的收敛域为_ _ _________． （1212）幂级数1(1)(3)3nn nn x n ∞=--⋅∑的收敛域为____________． （1312）幂级数1n nn ∞=的收敛域为 ． 七、常微分方程（一）一阶微分方程（0520）求微分方程0'=-+xe y xy 满足1x ye ==的特解．（0617）求微分方程22x y xy y '=-的通解． （0718）求微分方程22007xy y x '-=满足初始条件12008x y==的特解．（0820）求微分方程22xy y x '=+的通解．（0912）微分方程2(1)d (2)d 0x y x y x y +--=的通解为 ． （1311）微分方程d d y x y x x+=的通解为 ． （二）二阶线性微分方程（0406）微分方程232xy y y xe '''-+=的特解*y 的形式应为（ ）A.xAxe 2B.xe B Ax 2)(+C.xeAx 22D.xeB Ax x 2)(+（0712）设x xe C eC y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为 ．（0806）微分方程321y y y '''++=的通解为（ ）A.1221++=--x xe c e c yB.21221++=--x xe c ec yC.1221++=-xxec e c yD.21221++=-xxec e c y （0920）求微分方程y y x ''-=的通解． （1020）已知函数xy e =和2xy e-=是二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的两个解，试确定常数p 、q 的值，并求微分方程xy py qy e '''++=的通解．（1120）已知函数(1)xy x e =+⋅是一阶线性微分方程2()y y f x '+=的解，求二阶常系数线性微分方程)(23x f y y y =+'+''的通解．（1219）已知函数)(x f 的一个原函数为xxe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解． （1319）已知函数()y f x =是一阶微分方程d d yy x=满足初始条件(0)1y =的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解．时间排序与参考答案2004年高等数学真题参考答案1、A ．2、B ．3、C ．4、B ．5、A ．6、D ．7、1-e ． 8、32241-+==-z y x ． 9、!n ． 10、C x +4arcsin 41． 11、12201d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x -+⎰⎰⎰．12、()3,1-．13、解：间断点为πk x =（Z k ∈），当0=x 时，1sin lim)(lim 00==→→xxx f x x ，为可去间断点；当πk x =（0≠k ，Z k ∈）时，∞=→xxx sin lim0，为第二类间断点．14、解：原式0430(tan sin )d tan sin limlim312xx x t t tx xx x →→--==⎰233001tan (1cos )12lim lim 121224x x x x x x x x →→⋅-===． 15、解：0=x 代入原方程得1)0(=y ，对原方程求导得0''=--y xe e y yy，对上式求导并将0=x 、1=y 代入，解得：22''e y =．16、解：因为)(x f 的一个原函数为x e x，所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 原式11(2)d(2)d (2)22xf x x x f x '==⎰⎰11(2)(2)d 22x f x f x x =-⎰ 222211(21)1(2)(2)d(2)24884x x xx x e e x x f x f x x C e C x x x--=-=-+=+⎰． 17211122d d 22arctan (1)12t tt tt t t π+∞∞+∞+===++⎰．18、解：12zf f y x∂''=+⋅∂； []21112221221112222(1)(1)()zf f x f y f f x f x y f xy f f x y∂''''''''''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅=-+-⋅+⋅+∂∂．19、解：原式21100sin sin d d d d (1)sin d y y Dyy x y y x y y y y y ===-⎰⎰⎰⎰⎰ 1100(1)cos cos d 1sin1y y y y =--=-⎰．20、解：01111(2)()(1)24244414n n nn x f x x x ∞=-==⋅=--+-+∑)62(<<-x ． 21、证：00(sin )d ()[sin ()]d ()(sin )d t xx f x xt f t t t f t I t πππππππ=-=---=-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d f x x x f x x f x x I πππππ=-=-⎰⎰⎰解得： 0(sin )d (sin )d 2f x x f x x I x πππ==⎰⎰， 原命题证毕．222000sin sin d d arctan (cos )1cos 21cos 24x x x x x x x x ππππππ⋅==-=++⎰⎰． 22、解：等式两边求导得()2()x f x x f x '=+，即()()2f x x f x x '-=-，且(0)1f =-，x p -=，x q 2-=，而2()d 2x x xe e --⎰=，由公式求得通解：222222()2d 2x x x f x e xq x C C e -⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰， 将初始条件(0)1f =-代入通解，解得：3-=C ，故22()23x f x e =-．23、解：设污水厂建在河岸离甲城x 公里处，则()500M x x =+500≤≤x ），由150070002M '=+⨯=解得：650050-=x （公里），唯一驻点，即为所求．2005年高等数学真题参考答案1、A ．2、C ．3、D ．4、A ．5、A ．6、C ．7、2． 8、1-e ． 9、2π． 10、5． 11、11d (,)d y y f x y x -⎰⎰．12、(1,1)-．13、解：因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，'00()2sin ()(0)lim ()limlim 2(0)28x x x f x x f x f F x f x x→→→+-==+=+=， 解得：a F =)0(，故8=a ．14、解：d d cos cos sin d d d sin d yy t t t t t t x x t t-+===--，22d ()csc d (cos )y t t x t '-=='．15、解：原式22tan tan sec d (sec1)d(sec )x x x xx x =⋅-⎰⎰积进去231sec d(sec )d(sec )sec sec 3x x x x x C =-=-+⎰⎰．16、解：原式211120002d 1d(1)arctan 1421x x x x x x x π+=--++⎰⎰积进去 ()12011ln 1ln 24242x ππ⎡⎤=-+=-⎣⎦．17、解：1cos zx f x∂'=⋅∂，()21212cos 22cos z x f y y x f x y ∂''''=⋅⋅=⋅∂∂． 18、解：直线L 的方向向量{}5,2,1=s ，过点()4,3,0B -，{}1,4,2AB =-；所求平面的法向量{}5218,9,22142AB =⨯==---ij kn s ，点法式为8(3)9(1)22(2)0x y z ----+=，即592298=--z y x ．19、解：2222101111(1)()13216313212n nn n x x x x f x x x x x x ∞+=⎡⎤-⎛⎫=+=⋅+⋅=+⋅ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎣⎦+∑， 收敛域为：11<<-x ．20、解：1x e y y x x '+⋅=，即1p x=，x e q x =，而1d 1x x e x -⎰=；故通解为1d xx e e C y x x C x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰．把初始条件1x y e ==解得：0=C ；故所求特解为：xe y x=．21、证：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1x ∈-，且(1)30f -=>，(1)10f =-<，(1)(1)0f f -⋅<；由连续函数零点定理知：)(x f 在(1,1)-内至少有一实根；对于()1,1x ∈-恒有()22()33310f x x x '=-=-<，即)(x f 在(1,1)-内单调递减， 故方程0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根； 原命题获证．22、解：设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，(2)3f '=-，(2)0f ''=；由()6f x x a ''=+和(2)0f ''=解得：12-=a ，即()612f x x ''=-，故21()312f x x x C '=-+，由(2)3f '=-解得：91=C ，故22396C x x x y ++-=，由(2)4f =解得：22=C ； 所求函数为：29623++-=x x x y ．23、解：（1）112300111d 266S y y y ===⎰；（如图1所示） （2）()()112222012d 4x V x x x xπππ=-=-=⎰．24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤；（1）111()()d d ()d (1)()d u xuDF u f x x f x y x f x x σ===-⎰⎰⎰⎰⎰；（2）()(1)()F u u f u '=-，(2)(21)(2)(2)1F f f '=-==．2006年高等数学真题参考答案1、C ．2、B ．3、C ．4、C ．5、C ．6、A ．7、2． 8、)(0x f ． 9、1-． 10、1． 11、(sin cos )xye y x x +． 12、1．13、解：原式322131lim 21341==--→x xx ．图114、解：2211d 12d 21t t y y t t t x x t-'+==='+，2222d 1d d 122d 41ty x y t t x x t t '⎛⎫ ⎪+⎝⎭==='+． 15、解：原式322ln )(1ln )3x x C =+=++．16、解：原式()2222220d(sin )sin 2sin d x x x xx x πππ=-⎰⎰积进去222220sin 2sin d 2d(cos )4x xx x xx x ππππ-+⎰⎰积进去导出来2222002cos 2cos d 244x x x x ππππ=+-=-⎰．17、解：方程变形为2y y y x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，即得到了形如d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭齐次方程； 令y u x =，则d d d d y u u x x x =+，代入得：2d d u x u x =-，分离变量得：211d d u x u x-=； 两边积分，得：211d d u x u x -=⎰⎰，1ln x C u=+，故ln x y x C =+． 18、解：令()ln (1)g x x =+，则(0)0g =；由于01()(1)1n n n g x x x ∞='==-+∑（(]1,1x ∈-）， 所以01(1)((1))d x n n n g x n x g t t ∞+='=+=-∑⎰（(]1,1x ∈-），故20(1)()1n n n f x x n ∞+=-=+∑，收敛域为：11x -<≤．19、解：由题意知：{}11,1,1=-n ，{}24,3,1=-n ；{}12311232,3,1431=⨯=-=++=-i j ks n n i j k ，故所求直线方程的对称式方程为：123123+=-=-z y x ．20、解：22z x f x∂'=∂，2'2'''''3''2''22122221222(2)22z x f x f x f y x f x f x y f y x ∂=+⋅+⋅=++∂∂． 21、证：令33)(x x x f -=，[]2,2x ∈-，由2()330f x x '=-=解得驻点：1±=x ，比较以下函数值的大小：(1)2f -=-，(1)2f =，(2)2f =-，(2)2f -=； 所以2min -=f ，2m ax =f ，故2)(2≤≤-x f ，即332x x -≤，原命题获证．22、解：0)0(=y ，2y x y '=+，通解为：xCe x y +--=)22(；将0)0(=y 代入通解解得：2=C ，故所求特解为：xe x y 222+--=．23、解：（1）()2222648d 3S x x x -=--=⎰； （2）224804d d 16y V y y πππ=+=⎰⎰．24、解：()d d d ()d ()d tt tt D f x x y x f x y t f x x ==⎰⎰⎰⎰⎰，0()d 0()0t f x x t g t a t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰；（1）00lim ()lim()d 0t t t g t f x x →→==⎰，由)(t g 的连续性可知：0)(lim )0(0===→t g g a t ；（2）当0≠t 时，()()g t f t '=，当0=t 时，0000()d ()(0)(0)limlim lim ()(0)hh h h f x x g h g g f h f h h→→→-'====⎰； 综上，()()g t f t '=．2007年高等数学真题参考答案1、B ．2、C ．3、C ．4、A ．5、D ．6、D ．7、2ln ． 8、1． 9、π2． 10、23． 11、21d d xx y y y-． 12、06'5''=+-y y y ． 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e ． 14、解：当0=x 时，0=y ；。
高数典型题型
高数典型题型高等数学作为大学数学的重要组成部分，涵盖了众多的题型和知识点。
在学习过程中，熟悉和掌握典型题型对于提高数学水平和应对考试至关重要。
本文将介绍一些高等数学中的典型题型，并提供相应的解题方法和技巧。
一、极限与连续性1. 极限的计算极限是高等数学中的重要概念，常见的极限计算题型包括直接计算、夹逼定理、洛必达法则等。
例如，计算以下极限：Lim(x→0) (sinx/x) = 12. 连续性与间断点连续性是数学中的基本概念，对于函数的连续性可以通过函数图像来进行判断。
常见题型包括判断函数在某点是否连续、寻找间断点等。
例如，判断以下函数在x=0处是否连续：f(x) = {(x^2 - 1)/(x - 1), x ≠ 1; 2, x = 1}二、导数与微分1. 导数的计算导数是函数在某一点的变化率，求导是解决许多问题的基础。
常见题型包括基本函数求导、复合函数求导、隐函数求导等。
例如，计算以下函数的导数：f(x) = sin(x^2)2. 高阶导数与泰勒展开高阶导数可以帮助我们研究函数的性质和变化趋势，泰勒展开则可以用来近似计算复杂函数的值。
常见题型包括计算高阶导数、利用泰勒展开求函数的近似值等。
例如，计算以下函数的泰勒展开式：f(x) = ln(1+x)三、定积分与不定积分1. 定积分的计算定积分是求曲线下某一部分的面积，通过选取适当的积分方法可以解决各种问题。
常见题型包括利用定积分计算面积、计算物理量等。
例如，计算以下定积分：∫[0, π/2] sinx dx2. 不定积分的计算不定积分是定积分的逆运算，可以求得函数的原函数。
常见题型包括基本函数的不定积分、换元法、分部积分等。
例如，计算以下函数的不定积分：∫x^2e^x dx四、微分方程微分方程是研究变量之间关系的方程，解微分方程可以得到函数的具体表达式。
常见题型包括一阶微分方程、二阶微分方程的求解等。
例如，求解以下一阶线性微分方程：dy/dx + y = e^x五、级数与数列1. 数列的性质数列是按照一定规律排列的数的集合，对于数列可以研究其收敛性、极限等性质。
学科数学考研高数真题题型
学科数学考研高数真题题型学科数学考研高数真题题型作为考研生，高等数学是我们必须要掌握的一门学科。
高数的考试题型多样，涵盖了数学的各个方面，要想在考试中取得好成绩，我们需要对不同的题型进行充分的了解和准备。
一、选择题选择题是高数考试中常见的题型之一。
在选择题中，考生需要在给出的几个选项中选择一个正确的答案。
这种题型对考生的记忆和理解能力有一定的要求。
在解答选择题时，我们应该先仔细阅读题目，理解题目的意思，然后根据自己的知识来选择正确的答案。
有时候，我们还需要进行一些计算或推理，才能找到正确的答案。
二、填空题填空题是高数考试中另一种常见的题型。
在填空题中，考生需要根据题目给出的条件，填写正确的答案。
填空题对考生的记忆和计算能力有一定的要求。
在解答填空题时，我们应该先仔细阅读题目，理解题目的意思，然后根据给出的条件进行计算，最后填写正确的答案。
有时候，我们还需要根据已知的条件进行推理，才能找到正确的答案。
三、证明题证明题是高数考试中相对较难的题型之一。
在证明题中，考生需要根据给出的条件，通过一系列的推理和演绎，得出结论。
证明题对考生的逻辑思维和推理能力有很高的要求。
在解答证明题时，我们应该先仔细阅读题目，理解题目的意思，然后根据给出的条件进行推理，最后得出结论。
在证明过程中，我们需要运用到一些数学定理和方法，所以我们在平时的学习中要多加强对数学定理和方法的理解和掌握。
四、应用题应用题是高数考试中相对较难的题型之一。
在应用题中，考生需要根据给出的实际问题，应用数学知识进行计算和分析。
应用题对考生的综合能力和应用能力有很高的要求。
在解答应用题时，我们应该先仔细阅读题目，理解题目的意思，然后根据给出的实际问题进行分析和计算，最后得出正确的答案。
在应用题中，我们需要综合运用到多个数学概念和方法，所以我们在平时的学习中要注重对数学知识的整合和应用能力的培养。
总结起来，高数考试题型多样，每一种题型都对考生的不同能力有一定的要求。
考研数学一高数重点及题型
考研数学一高数重点及题型考研数学一高数重点及题型考研数学一高等数学重要考点及题型章节知识点题型第一章函数、极限、连续等价无穷小代换、洛必达法那么、泰勒展开式求函数的极限函数连续的概念、函数连续点的类型判断函数连续性与连续点的类型第二章一元函数微分学导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系函数的单调性、函数的.极值讨论函数的单调性、极值闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用第三章一元函数积分学积分上限的函数及其导数变限积分求导问题有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分第五章多元函数微分学隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们之间的因果关系函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分第六章多元函数积分学格林公式、平面曲线积分与途径无关的条件平面第二型曲线积分的计算，平面曲线积分与途径无关条件的应用高斯公式计算第二型曲面积分二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用第七章无穷级数级数的根本性质及收敛的必要条件，正项级数的比拟判别法、比值判别法和根式判别法，交织级数的莱布尼茨判别法数项级数敛散性的判别傅里叶级数、正弦级数和余弦级数，狄利克雷定理将函数展开为傅里叶级数、正弦级数和余弦级数，写出傅里叶级数的和函数的表达式第八章常微分方程一阶线性微分方程、齐次方程，微分方程的简单应用用微分方程解决一些应用问题。
考研数学强化复习：高数典型题型归纳
凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研数学强化复习：高数典型题型归纳在考研强化复习阶段，考研数学学科的复习相信大家对于基本的概念、知识点都已经掌握了，接下来进入到进行题目的练习。
但是做题并不意味着题海战术，决不能陷进题海战术。
建议大家在复习的时候，边做题、边总结、边思考。
下面，凯程考研小编就给大家整理分享一下高等数学的各章节的常见题型：函数、极限与连续求分段函数的复合函数;求极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数的连续性，判断间断点的类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。
一元函数微分学求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;利用洛比达法则求不定式极限;讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足....。
”，此类问题证明经常需要构造辅助函数;几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
一元函数积分学计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;关于变上限积分的题：如求导、求极限等;有关积分中值定理和积分性质的证明题;定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;综合性试题。
向量代数和空间解析几何计算题：求向量的数量积，向量积及混合积;求直线方程，平面方程;判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;建立旋转面的方程;与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。
多元函数的微分学判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续;求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;求二元、三元函数的方向导数和梯度;求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习;多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。
数三高数考查重点和题型总结
考研数学三高等数学考察重点及题型总结
章节知识点题型
重要度等
级
第一章函数、极限、
连续等价无穷小代换、洛必达法则、
泰勒展开式
求函数的极限★★★★★函数连续的概念、函数间断点的
类型
判断函数连续性与间断点的类型★★★
第二章一元函数微分学导数的定义、可导与连续之间的
关系
按定义求一点处的导数，可导与连
续的关系
★★★★函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★闭区间上连续函数的性质、罗尔
定理、拉格朗日中值定理、柯西
中值定理和泰勒定理
微分中值定理及其应用★★★★★
第三章一元函数积分学积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★定积分的应用用定积分计算几何量★★★★
第四章多元函数微积分学隐函数、偏导数、全微分的存在
性以及它们之间的因果关系
函数在一点处极限的存在性，连续
性，偏导数的存在性，全微分存在
性与偏导数的连续性的讨论与它
们之间的因果关系
★★★二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用★★★★★
第五章无穷级数级数的基本性质及收敛的必要
条件，正项级数的比较判别法、
比值判别法和根式判别法，交错
级数的莱布尼茨判别法
数项级数敛散性的判别★★★★★
第六章常微分方程一阶线性微分方程、齐次方程，
微分方程的简单应用
用微分方程解决一些应用问题★★★★。
考研数学高数必考题型总结
考研数学高数必考题型总结考研数学高数必考6类题型总结第一：求极限。
无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。
区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。
比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、重要极限等中的几种方法，有时考生需要选择其中简单易行的组合完成题目。
另外，分段函数个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起注意!第二：利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式。
证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。
等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。
这里泰勒中值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。
第三：一元函数求导数，多元函数求偏导数。
求导数问题主要考查基本公式及运算能力，当然也包括对函数关系的处理能力。
一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基本上每年都会考查，给出的函数可能是较为复杂的显函数，也可能是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。
另外，二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密，是一个考查重点。
极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。
第四：级数问题。
常数项级数(特别是正项级数、交错级数)敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛的本质含义均是考查的重点，但常常以小题形式出现。
函数项级数(幂级数，对数一来说还有傅里叶级数，但考查的频率不高)的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数等及函数在一点的幂级数展开在考试中常占有较高的分值。
第五：积分的计算。
积分的计算包括不定积分、定积分、反常积分的计算，以及二重积分的计算，对数学考生来说常主要是三重积分、曲线积分、曲面积分的计算。
西南大学高数考试题型及答案
西南大学高数考试题型及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：D2. 微积分基本定理指出，定积分的计算可以转化为什么？A. 求导B. 求和C. 求积D. 求极限答案：A3. 以下哪个选项是二阶导数的基本形式？A. y'' = f(x)B. y' = f(x)C. ∫y = f(x)D. ∑y = f(x)答案：A4. 在复数域中，方程 x^2 + 1 = 0 的解是什么？A. x = ±1B. x = ±iC. x = 1 ± iD. x = 0答案：B5. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(1/n^2)B. ∑(1/n)C. ∑((-1)^n / n)D. ∑(n)答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x 在 x = 1 处的值为_________。
答案：17. 定积分∫[0,1] x^2 dx 的值为_________。
答案：1/38. 若函数 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = _________。
答案：1/x9. 利用洛必达法则计算极限 lim (x->0) [sin(x)/x] 的结果为_________。
答案：110. 二次方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与判别式Δ = b^2- 4ac 的关系是：当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0 时，方程没有实数根。
答案：√三、解答题（共75分）11. （15分）求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 在区间 [1, 4] 上的最大值和最小值。
答案：首先求导 f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
2023年考研数学高数知识点终极梳理
2023年考研数学高数知识点终极梳理2023年考研数学高数知识点终极梳理作为考生来说，复习肯定要扎扎实实的，押题的话，我们正好改成重点，尤其是到了冲刺阶段，有所侧重的做题型复习也是有必要的，我们经常说要“抓重点”，抓住重点就可以进步复习的效率，要是侧重掌握某些题型、加深印象，这与全面复习掌握根底是不矛盾的。
我们认为押题和有所侧重是在打好根底的情况下侧重，这样才不会走偏，假如一个考生就想押题，让教师告诉你几道题就得高分，这样是不正确的，往往不会成功。
第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义〔数列、函数〕3、极限的性质〔有界性、保号性〕4、极限的计算〔重点〕〔四那么运算、等价无穷小交换、洛必达法那么、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理〕5、函数的连续性6、连续点的类型7、渐近线的'计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义〔函数可导性、用定义求导数〕2、导数的计算〔“三个法那么一个表”：四那么运算、复合函数、反函数，根本初等函数导数表：“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程；高阶导数〕3、导数的应用〔切线与法线、单调性〔重点〕与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率〔数一、二〕〕第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质〔最值定理、介值定理、零点存在定理〕2、三大微分中值定理〔重点〕〔罗尔、拉格朗日、柯西〕3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算〔变量代换、分部积分〕3、定积分的定义〔几何意义、微元法思想〔数一、二〕〕4、定积分性质〔奇偶函数与周期函数的积分性质、比拟定理〕5、定积分的计算6、定积分的应用〔几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积〔数一、二〕，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力〕7、变限积分〔求导〕8、广义积分〔收敛性的判断、计算〕第五章空间解析几何〔数一〕1、向量的运算〔加减、数乘、数量积、向量积〕2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程〔旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面〕的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算〔重点〕4、方向导数与梯度5、多元函数的极值〔无条件极值和条件极值〕6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学〔除二重积分外，数一〕1、二重积分的计算〔对称性〔奇偶、轮换〕、极坐标、积分次序的选择〕2、三重积分的计算〔“先一后二”、“先二后一”、球坐标〕3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性〔主要关注不带方向的积分〕4、格林公式〔重点〕〔直接用〔不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”〕，积分与途径无关，二元函数的全微分〕5、高斯公式〔重点〕〔不满足条件时的处理〔类似格林公式〕〕6、斯托克斯公式〔要求低；何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线〕7、场论初步〔散度、旋度〕第八章微分方程1、各类微分方程〔可别离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程〔数一、二〕、全微分方程〔数一〕、可降阶的高阶微分方程〔数一、二〕、高阶线性微分方程、欧拉方程〔数一〕、差分方程〔数三〕〕的求解2、线性微分方程解的性质〔叠加原理、解的构造〕3、应用〔由几何及物理背景列方程〕第九章级数〔数一、数三〕1、收敛级数的性质〔必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”〕2、正项级数的判别法〔比拟、比值、根值，p级数与推广的p级数〕3、交织级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数〔函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理〕。
高数考研真题数学二题型
高数考研真题数学二题型高数考研真题数学二题型高等数学是考研数学科目中的一大难点，而数学二则是其中的重要组成部分。
在高数考研真题中，数学二题型占据了相当大的比重，对于考生来说是一大挑战。
本文将从不同角度来分析和讨论高数考研真题数学二题型。
一、解析几何解析几何是高等数学中的一个重要分支，也是考研数学二中的一大题型。
解析几何主要涉及平面几何和空间几何两个方面。
在考研数学二中，解析几何题目通常会涉及到直线、平面、曲线等几何图形的性质和方程的求解。
对于解析几何题型，考生需要掌握直线的方程、距离公式、点到直线的距离、点到平面的距离等基本概念和公式。
此外，还需要熟练掌握平面的方程、曲线的方程、曲线的性质等内容。
解析几何题目通常要求考生能够灵活运用这些概念和公式，解决实际问题。
二、微分方程微分方程是高等数学中的一门重要课程，也是考研数学二中的一大题型。
微分方程是描述自然界中各种变化规律的数学工具，广泛应用于物理、化学、生物等领域。
在考研数学二中，微分方程题目通常会涉及到一阶和二阶微分方程的求解，包括常微分方程和偏微分方程。
考生需要掌握微分方程的基本概念和解法，包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法、常系数齐次线性微分方程法等。
解微分方程题目通常要求考生能够灵活运用这些方法，求解实际问题。
同时，考生还需要注意理解问题背景，正确建立微分方程模型，并对解的合理性进行验证。
三、级数级数是高等数学中的一个重要概念，也是考研数学二中的一大题型。
级数是由一列数按照一定规律相加而得到的无穷和。
在考研数学二中，级数题目通常会涉及到数列的性质、级数的收敛性和发散性、级数的求和等内容。
考生需要掌握级数的基本概念和判别法，包括比较判别法、积分判别法、比值判别法等。
解级数题目通常要求考生能够灵活运用这些判别法，判断级数的收敛性和发散性，并求出级数的和。
同时，考生还需要注意理解问题背景，正确建立数列和级数的关系，以及对解的合理性进行验证。
(完整版)2020考研数学：高数常考题型
对于2020考研数学的备考学生来说，高数部分一直是一个重难点，有些题型需要你把握。
为此，中公考研小编整理了“2020考研数学：高数常考题型”的文章，希望对大家有所帮助。
1、求极限无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。
区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。
比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因式、重要极限等几种方法，有时需要选择多种方法综合完成题目。
另外，分段函数在个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起注意!2、利用中值定理证明等式或不等式利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。
等式的证明包括使用4个常见的微分中值定理(即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理)，1个定积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。
这里泰勒中值定理的使用时的一个难点，但考查的概率不大。
3、求导一元函数求导数，多元函数求偏导数求导数问题主要考查基本公式及运算能力，当然也包括对函数关系的处理能力。
一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基本上每年都会考查，给出的函数可能是较为复杂的显函数，也可能是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。
另外，二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密，是一个考查重点。
极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。
4、级数级数问题常数项级数(特别是正项级数、交错级数)敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛的本质含义均是考查的重点，但常常以小题形式出现。
函数项级数(幂级数，对数一的考生来说还有傅里叶级数，但考查的频率不高)的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数等及函数在一点的幂级数展开在考试中常占有较高的分值。
高数期末考试题型及答案
高数期末考试题型及答案题型一：选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 5在x = 1处的导数是：A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B2. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x - 1在x = 2处的切线斜率是：A. 5B. 3C. 1D. -1答案：A3. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/6D. 1/12答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数F(x)是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. cos(x) - sin(x) + CC. sin(x) + cos(x) + CD. -sin(x) - cos(x) + C答案：C5. 级数∑(1/n^2)从n=1到无穷的和是：A. π^2/6B. eC. 1D. 2答案：A题型二：填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是________。
答案：2，37. 根据泰勒公式，函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式为________。
答案：1 + x + x^2/2! + x^3/6! + ...8. 函数y = ln(x)的不定积分是________。
答案：xln(x) - x + C9. 曲线y^2 = 4x的渐近线方程是________。
答案：y = ±2x10. 若∫f(x)dx = 3x^2 + C，则f(x) =________。
答案：6x题型三：简答题（每题5分，共10分）11. 证明：对于任意实数x，有e^x ≥ x + 1。
答案：证明略。
12. 解释什么是拉格朗日中值定理，并给出一个应用场景。
答案：拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它指出如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
高数试题分析、详解和评注
=
(1, 2 , 3 )
3 . 3 �
【分析】 函数 u(x,y,z)沿单位向量 n = {cos α , cos β , cos γ }的方向导数为：
∂u ∂u ∂u ∂u = cos α + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
因此，本题直接用上述公式即可. 【详解】 因为
∂u x ∂u y ∂u z = ， = ， = ，于是所求方向导数为 ∂x 3 ∂y 6 ∂z 9
∂u ∂n
(1, 2 , 3 )
=
1 1 1 1 1 1 3 ⋅ + ⋅ + ⋅ = . 3 3 3 3 3 3 3 �
【评注】 本题若 n = {m, n, l} 非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为：
cos α =
m m + n +l
2 2 2
, cos β =
n m + n +l
′( x + y ) + ϕ ′′( x − y ) + ψ ′( x + y) −ψ ′( x − y ) ， ∂x 2 ∂2 u = ϕ ′′( x + y) − ϕ ′′( x − y ) +ψ ′( x + y ) + ψ ′( x − y) ， ∂x∂y ∂2 u = ϕ ′′( x + y ) + ϕ ′′( x − y ) + ψ ′( x + y) −ψ ′( x − y ) ， ∂y 2
y′ +
于是通解为
−
2 y = ln x ， x
2 2 dx dx 1 ∫ ∫ x y =e [ ∫ ln x ⋅ e x dx + C ] = 2 ⋅ [ ∫ x 2 ln xdx + C] x
考研数学高数知识点：排列组合核心
考研数学高数知识点：排列组合核心一、协议关键信息1、排列组合的定义与基本概念排列的定义：＿___________________________组合的定义：＿___________________________排列数公式：＿___________________________组合数公式：＿___________________________2、排列组合的基本性质排列的性质：＿___________________________组合的性质：＿___________________________3、常见的排列组合题型无限制条件的排列组合问题：＿___________________________有限制条件的排列组合问题：＿___________________________分组分配问题：＿___________________________可重复排列组合问题：＿___________________________4、解题方法与技巧分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用：＿___________________________捆绑法：＿___________________________插空法：＿___________________________隔板法：＿___________________________排除法：＿___________________________二、协议内容11 排列组合的定义111 排列排列是指从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
用符号 A(n,m) 表示。
112 组合组合是指从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
用符号 C(n,m) 表示。
12 排列数公式A(n,m) ＝ n! ／（n m)！13 组合数公式C(n,m) ＝ n! ／ m! （n m)！21 排列组合的基本性质211 排列的性质A(n,n) ＝ n!A(n,m) ＝ A(n,n m)212 组合的性质C(n,m) ＝ C(n,n m)C(n,m) ＋ C(n,m 1) ＝ C(n ＋ 1,m)31 常见的排列组合题型311 无限制条件的排列组合问题这类问题通常直接使用排列数或组合数公式进行计算。
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高等数学
第一部分函数·极限·连续性
题型一：考查函数的各种特性问题
函数复合问题
题型二：考查极限概念及性质问题关于
题型三：求极限问题
1.未定式极限问题（型，型，型，型，型）
2.非未定式极限问题（递归数列极限，n项和式极限，n项
积的极限，含参变量的极限，）
3.关于无穷小阶的问题
4.连加或者连乘求极限问题
5.极限存在性问题
6.含参数的极限问题
7.中值定理求极限问题
8.含变限积分的函数极限问题
9.左右极限问题
题型四：判断函数在某点的连续与间断问题，间断点分类问题
题型五：利用闭区间上连续函数性质的证明问题
题型六：分析极限，求参数问题
第二部分导数与微分
题型一：考查导数·微分概念的问题
题型二：导数与微分的计算问题
题型三：求高阶导数的问题（简单初等函数的n阶导数，参数方程确定的函数的二阶导数，隐式方程F（x,y）=0确定的隐函数y=y(x)的二阶导数）
题型四：利用导数求平面曲线的切线方程·法线方程的问题
题型五：基本求导类型，显函数·隐函数·参数方程·分段函数·复合函数
题型六：导数的几何应用
题型七：分段函数可导性的判断：分段函数·含绝对值的函数·带极限的函数
第三部分中值定理及一元函数微分学的应用
题型一：利用罗尔中值定理证明中值问题
题型二: 利用拉格朗日中值定理证明中值问题
题型三：利用柯西中值定理证明中值问题
题型四: 利用泰勒公式证明中值问题
题型五：函数的单调性，单调区间及极值问题
题型六：函数曲线的凹凸区间，拐点及渐近线问题
题型六：方程实根（函数零点，两个曲线交点）问题
题型七：不等式的证明问题
题型八：证明（）=0（）的问题
题型九：特征结论中只有一个中值，不含其它字母
题型十：结论中含，含a，b（a，b与可分离；a，b与不可分离）
题型十一：结论中含两个或两个以上中指的问题
情形一：结论中只含(),()；
情形二：结论中含两个中值，但是关于两个中值的项复杂程度不同
情形三：结论中含中值（不仅仅含(),()），两者对应的项完全对等
题型十二：中值定理中关于的问题
题型十三：拉格朗日中值定理的两种惯性思维题型十四：泰勒公式的常规证明问题
题型十五：二阶导数保号性问题
题型十六：不等式证明
题型十七：函数的零点或方程根的个数问题题型十八：函数的单调性与极值，渐近线
题型十九：利用导数证明相关的等式
第四部分一元函数积分学
题型一:关于原函数与不定积分的基本概念问题
题型二：不定积分的运算
题型三：关于定积分概念及性质的问题
题型四：关于变限积分的问题
题型五：利用基本积分公式及积分方法计算定积分
有理函数积分，无理函数积分，
题型六：几种重要类型被积函数的积分
情形一：分段函数及隐函数的积分
情形二：被积函数为变限函数积分函数的积分
情形三：被积函数含有抽象函数或者抽象函数导数的
积分
题型七：定积分的证明
情形一：连续
情形二：设且单调增加或单调减少
情形三：周期函数
情形四：设在上一阶可导
情形五：高阶可导
题型八：反常积分（广义积分）问题
题型九:求平面图形的面积
题型十：求旋转体的体积及侧(表)面积问题
题型十一：求平面弧长问题
题型十二：物理应用问题
题型十三：换元积分方法（两类），分部积分方法
题型十四：两类特殊函数的不定积分（有理函数积分和三角有
理函数的不定积分）（数一数二）
题型十五：综合型不定积分
题型十六：定积分的概念和性质
题型十七：变积分限的函数问题
题型十八：定积分的运算
情形一：变积分限函数的定积分计算
情形二：分段函数求定积分
情形三：变换保持区间计算定积分
情形四：常规定积分计算
情形五：对称型定积分的运算
情形六：抽象函数的定积分运算
题型十九：被积函数具有高阶可导性
题型二十：含定积分的零点问题
第五部分向量代数与空间解析几何（数一）题型一：向量及其运算问题
题型二：求平面与直线方程问题
题型三：平面与直线的位置关系问题
题型四：距离与夹角
题型五：旋转曲面
第六部分多元函数微分学
题型一：关于多元函数极限、连续性、可导性及可微性的问题
题型二：求多元复合函数的偏导数或全微分的问题
题型三：求方程确定的隐函数（组）的偏导数、全微分的问题
题型四：求多元函数无条件极值问题
题型五: 求多元函数条件极值的问题
题型六：求多元函数在闭区域上的最值问题
题型七：求方向导数和梯度问题
题型八：求空间曲面的切平面与法线方程、空间曲线切线与法平面方程
题型九：变换下关于偏导方程的变形
题型十：求偏导的反问题
题型十一：偏导数的代数应用
题型十二：多元函数微分学在几何上的应用（数一）
题型十三：场论的概念（数一）
题型十四：偏导数和微分方程的混合问题
题型十五：二元函数的无条件极值，多元函数的条件极值
题型十六：多元函数微分学的物理应用-方向导数和梯度（数一）
第七部分二重积分三重积分
题型一：交换积分次序的问题
题型二：二重积分直角坐标和极坐标之间的转换问题
题型三：利用基本方法求二重积分
情形一：普通二重积分的运算
情形二：利用对称性和奇偶性计算二重积分
情形三：被积函数是分段函数或者隐含分段函数的二重
积分
情形四：无限区域的二重积分
题型四：二重积分的证明问题
题型五：二重积分的综合问题及应用问题
题型六:三重积分的计算问题
第八部分曲线积分曲面积分（数一）题型一：对弧长的曲线积分
题型二:二维空间对坐标的曲线积分
题型三：三维空间对坐标的曲线积分
题型四：对坐标曲线积分的应用
题型五：对面积的曲面积分
题型六：对坐标的曲面积分
题型七：场论初步（流量，通量，旋度，散度）
第九部分微分方程
题型一：微分方程的基本概念和性质
题型二：一阶微分方程的求解
题型三：非特定类型微分方程或变换下微分方程的求解题型四：可降解的高阶微分方程求解（数一，数二）题型五：高阶线性微分方程求解
题型六：微分方程的物理应用
题型七：欧拉方程求解（数一）
第十部分级数（数一，数三）题型一：判定数项级数基本性质和收敛性问题
题型二：数项级数求和问题
题型三：特殊常数项级数求和问题
题型四：求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域问题题型五：求函数的幂级数展开式问题
题型六：求幂级数的和函数
题型七：考查狄利克雷收敛定理问题（数一）
题型八：求函数的傅里叶级数展开问题（数一）。