聊城市中考数学专题复习讲义动手操作
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 折叠
一、选择题1．用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是(▲) ． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】B 二、填空题1．做如下操作：在等腰三角形ABC 中,AB= AC,AD 平分∠BAC, 交BC 于点D.将△ABD 作关于直线AD 的轴对称变换,所得的 像与△ACD 重合.对于下列结论:①在同一个三角形中,等角对等边;②在同一个三角形中,等边对等角;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和高互相重合.由上述操作可得出的是 (将正确结论的序号都填上).【答案】②③2．将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD ，则BAD 的大小是_______度.【答案】72三、解答题 1．（本小题满分10分）小沈准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x 、y 表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍． （1）求x+y 的值；（2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率．BC AD①②第16题图C第15题图【答案】（1）因为1393705803620x y x y n ++++++++++=++=（n 为正整数）双因为0909,x y ≤≤，≤≤所以0,x y +≤≤18所以3636,x y ++≤≤54即3620,n ≤≤54所以，2n =，所以4x y += （2）因为4x y +=，且0909,x y ≤≤，≤≤所以有0,4;1,3;2,2;3,1;4,0x y x y x y x y x y ==========①②③④⑤，这5种情况，因此，一次拨对小陈手机号的概率为0.2 2．问题再现 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究. 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O 周围围绕着4个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个 正六边形的内角． 问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程： ()82180903608x y -⨯+=，整理得：238x y +=，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为12x y =⎧⎨=⎩ ．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：结论2： ． 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．O问题拓广请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3： . 验证3：结论3： .【答案】解：3个； 1分验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形和b 个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：60120360a b +=．整理得：26a b +=，可以找到两组适合方程的正整数解为22a b =⎧⎨=⎩和41a b =⎧⎨=⎩． 3分结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时 用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 5分猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 6分验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程： 6090120360m n c ++=，整理得：23412m n c ++=，可以找到惟一一组适合方程的正整数解为121m n c =⎧⎪=⎨⎪=⎩. 8分结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正 六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边 形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.（说明：本题答案不惟一，符合要求即可.） 10分 3． 如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．A 1 C A﹙1﹚将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B 重合，点B1在AC 边的延长线上，连接CC1交BB1于点E ．求证：∠B1C1C＝∠B1BC．﹙2﹚若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B 重合，点A1在AC 边的延长线上，连接CC1交A1B 于点F ．试判断∠A1C1C 与∠A1BC 是否相等，并说明理由．﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC 相似的三角形 ．【答案】（1）证明：由题意，知△ABC ≌△A1B1C1， ∴ AB= A1B1，BC1=AC ，∠2=∠7，∠A=∠1．∴ ∠3=∠A=∠1． ……………………………………………………………………1分 ∴ BC1∥AC ．∴ 四边形ABC1C 是平行四边形． ………………2分∴ AB ∥CC1．∴ ∠4=∠7=∠2． …………………………………3分 ∵ ∠5=∠6，∴ ∠B1C1C ＝∠B1BC ．……………………………4分 ﹙2﹚∠A1C1C =∠A1BC ． …………………………5分 理由如下：由题意，知△ABC ≌△A1B1C1， ∴ AB= A1B1，BC1=BC ，∠1=∠8，∠A=∠2．∴ ∠3=∠A ，∠4=∠7． ………………………6分AB (A 1) CB 1C 1图 ②E 1 43 2 5 67 A 1C 1 CAB (B 1)图 ③ F 364 5 1 2 7 8AB (A 1)C B 1 C 1 图 ②E A 1C 1CB (B 1)图 ③F∵ ∠1＋∠FBC=∠8＋∠FBC ，∴ ∠C1BC ＝∠A1BA ． …………………………7分∵ ∠4=21(180°－∠C1BC)，∠A=21(180°－∠A1BA)．∴ ∠4=∠A ． …………………………………8分 ∴ ∠4=∠2． ∵ ∠5=∠6，∴ ∠A1C1C=∠A1BC ．……………………………………………………………………9分 ﹙3﹚△C1FB ，…………10分； △A1C1B ，△ACB ．…………11分﹙写对一个不得分﹚ 4．（1）探究新知：①如图，已知AD∥BC，AD ＝BC ，点M ，N 是直线CD 上任意两点． 求证：△ABM 与△ABN 的面积相等．②如图，已知AD∥BE，AD ＝BE ，AB∥CD∥EF，点M 是直线CD 上任一点，点G 是直线EF 上任一点．试判断△ABM 与△ABG 的面积是否相等，并说明理由．（2）结论应用：如图③，抛物线c bx ax y ++=2的顶点为C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点D ．试探究在抛物线c bx ax y ++=2上是否存在除点C 以外的点E ，使得△ADE 与△ACD 的面积相等？ 若存在，请求出此时点E 的坐标，若不存在，请说明理由．﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚图 ③A BD C M N 图 ① C 图 ② A B D M FE G【答案】﹙1﹚①证明：分别过点M ，N 作 ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为点E ，F ．∵ AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴ 四边形ABCD 为平行四边形． ∴ AB ∥CD ． ∴ ME= NF ．∵S △ABM ＝ME AB ⋅21，S △ABN ＝NF AB ⋅21，∴ S △ABM ＝ S △ABN ． ……………………………………………………………………1分②相等．理由如下：分别过点D ，E 作DH ⊥AB ，EK ⊥AB ，垂足分别为H ，K ．则∠DHA=∠EKB=90°．∵ AD ∥BE ，∴ ∠DAH=∠EBK ． ∵ AD ＝BE ，∴ △DAH ≌△EBK ．∴ DH=EK ． ……………………………2分 ∵ CD ∥AB ∥EF ，∴S △ABM ＝DH AB ⋅21，S △ABG ＝EK AB ⋅21，∴ S △ABM ＝ S △ABG. (3)分﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为4)1(2+-=x a y .ABDCMN图 ①EF HC图 ②ABDMFEGK备用图又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得()41302+-=a ，解得1-=a .∴ 该抛物线的表达式为4)1(2+--=x y ，即322++-=x x y ． ………………………5分 ∴ D 点坐标为（0，3）．设直线AD 的表达式为3+=kx y ，代入点A 的坐标，得330+=k ，解得1-=k . ∴ 直线AD 的表达式为3+-=x y ．过C 点作CG ⊥x 轴，垂足为G ，交AD 于点H ．则H 点的纵坐标为231=+-． ∴ CH ＝CG －HG ＝4－2＝2． …………………………………………………………6分设点E 的横坐标为m ，则点E 的纵坐标为322++-m m ．过E 点作EF ⊥x 轴，垂足为F ，交AD 于点P ，则点P 的纵坐标为m -3，EF ∥CG ．由﹙1﹚可知：若EP ＝CH ，则△ADE 与△ADC 的面积相等．①若E 点在直线AD 的上方﹙如图③-1﹚，则PF=m -3，EF ＝322++-m m ．∴ EP ＝EF －PF ＝)3(322m m m --++-=m m 32+-． ∴ 232=+-m m ．解得21=m ，12=m ． ……………………………7分当2=m 时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3．∴ E 点坐标为（2，3）．同理 当m=1时，E 点坐标为（1，4），与C 点重合． ………………………………8分 ②若E 点在直线AD 的下方﹙如图③－2,③－3﹚，则m m m m m PE 3)32()3(22-=++---=． ……………………………………………9分∴232=-m m ．解得21733+=m ，21734-=m ． ………………………………10分当2173+=m时，E点的纵坐标为2171221733+-=-+-；当2173-=m时，E点的纵坐标为2171221733+-=---．∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；)21712173(2+-+，E；)21712173(3+--，E．……………………12分﹙其他解法可酌情处理﹚5．如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC=8， BD=6.(1)请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形.并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.(注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)【答案】解：(1)A图③－3CDB O xyHGFPEA图③－2CDB O xyHGFPE(第21题)(图2) (图3) (图4)周长为▲周长为▲(图1)1分周长为26 2分3分周长为22 4分 (2)6分注:画法不唯一.6． (1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E,F 分别在边BC, CD 上,AE,BF 交于点O,∠AOF ＝90°. 求证：BE ＝CF.(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E,H,F,G 分别在边AB, BC,CD,DA 上,EF,GH 交于点O,∠FOH ＝90°, EF ＝4.求GH 的长.(3) 已知点E,H,F,G 分别在矩形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 上，EF,GH 交于点O,第23题图1第23题图2∠FOH ＝90°,EF ＝4. 直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数式表示).【答案】(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∴ ∠EAB+∠AEB=90°. ∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EA B =∠FBC， ∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF ． (2) 解：如图2,过点A 作AM//GH 交BC 于M ，过点B 作BN//EF 交CD 于N,AM 与BN 交于点O/， 则四边形AMHG 和四边形BNFE 均为平行四边形， ∴ EF=BN,GH=AM ，∵ ∠FOH ＝90°, AM//GH ，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,故由(1)得, △AB M ≌△BC N ， ∴ AM=BN ，∴ GH=EF=4．(3) ① 8．② 4n ．7．如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转， DE ，DF 分别交线段AC 于点M ，K ． （1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM+CK_______MK ，证明你所得到的结论．（3）如果222AM CK MK =+，请直接写出∠CDF的度数和AM MK的值．【答案】 （1）① = ② ＞ 分第23题图3 第23题图4 第23题图1第23题图2O ′ N M图1图2图3EKF M EKCF MEK C F 图4LM C A(F ,K )（2）＞证明：作点C 关于FD 的对称点G ， 连接GK ，GM ，GD ，则CD=GD ，GK = CK ，∠GDK=∠CDK ， ∵D 是AB 的中点，∴AD=CD=GD ． ∵=∠A 30°，∴∠CDA=120°， ∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°， ∠ADM+∠CDK =60°． ∴∠ADM=∠GDM ， ∵DM=DM ，∴△ADM ≌△GDM ，∴GM=AM ． ∵GM+GK ＞MK ，∴AM+CK ＞MK ．（3）∠CDF=15°，23=AMMK ． 8．如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD （如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满． （1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD ；（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．【答案】（1）由图2的包贴方法知：AB 的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30图1图3∵纸带宽为15，∴sin ∠DAB=sin ∠ABM=151302AMAB==，∴∠DAB=30°．（2）在图3中，将三棱柱沿过点A 的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，将图甲种的△ABE 向左平移30cm ，△CDF 向右平移30cm ，拼成如图乙中的□ABCD ，此平行四边形即为图2中的□ABCD由题意得，知：BC=BE+CE=2CE=2×cos 30CD=︒∴所需矩形纸带的长为MB+BC=30·cos30°+=cm ．9． 观察思考某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以 左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆PQ 也随之运动，并且 PQ 带动连杆OP 绕固定点O 摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P 在以OP 为半径的⊙O 上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O 作OH ⊥l 于点H ，并测得 OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米． 解决问题（1）点Q 与点O 间的最小距离是 分米； 点Q 与点O 间的最大距离是 分米；点Q 在l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米．（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q 滑动到点H 的位 置时，PQ 与⊙O 是相切的．”你认为他的判断对吗？ 为什么？（3）①小丽同学发现：“当点P 运动到OH 上时，点P 到l 的距离最小．”事实上，还存在着点P 到l 距离最大 的位置，此时，点P 到l 的距离是 分米； ②当OP 绕点O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形， 求这个扇形面积最大时圆心角的度数．C 图甲ll图14-2图14-1【答案】解：（1）4 5 6； （2）不对．∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ2≠PQ2 + OP2， ∴OP 与PQ 不垂直．∴P Q 与⊙O 不相切． （3）① 3；②由①知，在⊙O 上存在点P ，P '到l 的距离为3，此时，OP 将不能再向下转动，如图3．OP 在绕点O 左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P 'OP ． 连结P 'P ，交OH 于点D ．∵PQ ，P 'Q '均与l 垂直，且PQ =P '3Q '=，∴四边形PQ Q 'P '是矩形．∴OH⊥P P '，PD =P 'D ． 由OP = 2，OD =OH -HD = 1，得∠DOP = 60°． ∴∠PO P ' = 120°．∴ 所求最大圆心角的度数为120°．10． ●探究 (1) 在图1中，已知线段AB ，CD ，其中点分别为E ，F ． ①若A (-1，0)， B (3，0)，则E 点坐标为__________；②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F 点坐标为__________ (2)在图2中，已知线段AB 的端点坐标为A(a ，b) ，B(c ，d)，求出图中AB 中点D 的坐标（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示），并给出求解过程． ●归纳 无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a ，b)，B(c ，d)， AB 中点为D(x ，y) 时， x=_________，y=___________．（不必证明） ●运用 在图2中，一次函数2-=x y 与反比例函数x y 3=的图象交点为A ，B ．①求出交点A ，B 的坐标；②若以A ，O ，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形， 请利用上面的结论求出顶点P 的坐标．【答案】解： 探究 (1)①(1，0)；②(-2，21)；(2)过点A ，D ，B 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为A '，D '，B ' ，则A A '∥B B '∥C C '．∵D 为AB 中点，由平行线分线段成比例定理得A 'D '=D 'B '．D lO 图3 P P ' xy y =xy =x -2AB O第22题图3Oxy D B第22题图2 A 第22题图1 O x yDB AC A ′D ′ B ′ O xyDBA∴O D '=22ca a c a +=-+．即D 点的横坐标是2ca +同理可得D 点的纵坐标是2db +． ∴AB 中点D 的坐标为(2c a +，2db +)． 归纳：2c a +，2d b +．运用 ①由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 32.， 解得⎩⎨⎧==13y x .，或⎩⎨⎧-=-=31y x .，． ∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) ． ②以AB 为对角线时，由上面的结论知AB 中点M 的坐标为(1，-1) ． ∵平行四边形对角线互相平分， ∴OM=OP，即M 为OP 的中点． ∴P 点坐标为(2，-2) ．同理可得分别以OA ，OB 为对角线时， 点P 坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．∴满足条件的点P 有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．11．课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。
山东省聊城市中考数学专题复习讲义综合型问题
综合型试题是将所学的知识在一泄的背景下进行优化组合，找到解决问题的方案，在解决问 题的时候所用到的知识不再是单一的知识点，而是相关的知识，可能同时用到方程、函数， 也有可能是三角形与多边形，也有可能是相关学科的知识，这类题目对学生综合能力的要求 较髙，同时这类题目有相对新颖的背静环境，数学综合题是初中数学中覆盖而最广、综合性 最强的题型.解数学综合题必须要有科学的分析问题的方法，要善于总结解数学综合题中所隐含的重要的 转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等，要结合实际问题加以领会与掌 握，这是学习解综合题的关键. 类型之一代数类型的综合题代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题.主要包括方 程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及 代人法、待定系数法等.解代数综合题要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技 巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破.1. 刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A 镇：二分队因 疲劳可在营地休息a （0WaW3）小时再往A 镇参加救灾。
一分队出发后得知，唯一通往A 镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路， 已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4+a ）千米/时。
⑴若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A 镇？⑵若二分队和一分队同时赶到A 镇，二分队应在营地休息几小时？⑶下列图象中，①②分別描述一分队和二分队离A 镇的距离y （千米）和时间x （小时）的函数 关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。
2. 一辆经营长途运输的货车在髙速公路的A 处加满油后，以每小时80千米的速度匀速行驶, 前往与A 处相距636千米的B 地，下表记录的是货车一次加满汕后油箱内余油量y （升）与 行驶时间x （时）之间的关系：（1）请你认真分析上表中所给的数据，用你学过 的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表 示y 与久之间的变化规律，说明选择这种函数的理 由，并求岀它的函数表达式；（不要求写岀自变量的取值范囤）（2） 按照（1）中的变化规律，货车从A 处出发行驶4. 2小时到达C 处，求此时汕箱内余汕 多少升？（3） 在（2）的前提下，C 处前方18千米的D 处有一加油站，根据实际经验此货车在行驶行驶时间工〔时）0 1 22.5 余油童卩〔升） 100 80 6050中油箱内至少保证有10升汕，如果货车的速度和每小时的耗油量不变，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B地.（货车在D处加油过程中的时间和路程忽略不计）类型之二几何类型的综合题几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力. 解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及汁算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，00交x轴于A、B两点，直线FA丄x轴于点A,点D 在FA上，且D0平行00的弦MB,连DM并延长交x轴于点C.（1）判断直线DC与O0的位置关系，井给岀证明：（2）设点D的坐标为（-2, 4）,试求MC的长及直线DC的解析式.4.AABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE 落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.I.证明：△BDG9ACEF；II.探究：怎样在铁片上准确地画岀正方形.小聪和小明各给岀了一种想法，请你在Ila和lib的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答.如果两题都解，只以l【a的解答记分.Ila.小聪想：要画出正方形DEFG,只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.设AABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化）•lib.小明想：不求正方形的边长也能画出正方形.具体作法是：①在AB边上任取一点G',如图作正方形G' D' E' F':②连结BF'并延长交AC于F；③作FE〃F' E'交BC 于E, FG〃F‘ G'交AB 于G, GD〃G‘ D'交BC于D,则四边形DEFG即为所求. 你认为小明的作法正确吗？说明理由. 类型之三几何与代数相结合的综合题几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型•它可以包含初中阶段所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题:它既突出考査了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等. 它不但考査学生数学基础知识和灵活运用知识的能力还可以考查学生对数学知识迁移整合能力：既考査学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层而综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力，还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力.5.如图1,在同一平而内，将两个全等的等腰宜角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，ZBAC二ZAGF二90° ,它们的斜边长为2,若辭。
2020年中考数学专题复习教学案--动手操作题(附答案)
同步测试4
（2020最新模拟·南宁）已知 在平面直角坐标系中的位置如图16所示．画出 绕点 按顺时针方向旋转 ．
【答案】旋转后的图形如图17．
动手操作题
近年来中考数学试题加强了对学生动手操作能力的考查，出现了一类新题型--动手操作题．这类试题能够有效地考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力．解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．
5．将任意三角形剪切可以拼成一个与此三角形面积相等的矩形．
方法如下（如图23—1）：
请你类似上面图示的方பைடு நூலகம்，解答下列的问题：
（1）对任意三角形（如图23—2），设计一种与上例不同的方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形．
（2）对任意四边形（如图23—3），设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．
【答案】1．
类型二：图形拼接型动手操作题
图形拼接问题，就是将已知的若干个图形重新拼合成符合条件的新图形．
例2（2020最新模拟·安徽）如图5，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）．请画出拼成的矩形的简图．
【分析与解答】我们观察图5中的4块图形各边之间的对应关系，找出能拼接在一起的边，如图6就是一种拼接方法．
中考数学试题中动手操作题可分为图形折叠型动手操作题、图形拼接型动手操作题、图形分割型动手操作题和作图型动手操作题等四种类型．
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 不等式与不等式组
复习精品讲义第九章不等式与不等式组本章小结小结1 本章概述本章知识是在学习了一元一次方程(组)的基础上研究简单的不等关系的.教材首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集及解不等式的概念，然后具体研究了一元一次不等式的解、解集、一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用等.通过具体实例渗透一元一次不等式与一元一次方程的内在联系.最后研究一元一次不等式组的解、解集、一元一次不等式组的解法以及一元一次不等式组的简单应用等．小结2 本章学习重难点【本章重点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质.会解简单的一元一次不等式,能在数轴上表示出不等式的解集,会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.能够根据具体问题中的不等关系,列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的问题.【本章难点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集,会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并用数轴确定解集.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题．小结3 中考透视本章内容在中考中所占比重较大,直接考查不等式的基本性质.一元一次不等式(组)的解法,在数轴上表示不等式(组)的解集;间接考查将不等式(组)应用于二次根式、绝对值的化简与求值讨论、一元二次方程根的情况及求函数自变量的取值范围.以填空、选择形式为主,计算题形式也不少,其中应用不等式知识进行方案设计及比赛分析题目难度较大,不易得分．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 不等式（组）的实际应用【专题解读】利用不等式（组）解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤类似，所不同的是，前者需寻求的不等关系往往不止一个，而后者只需找出一个不等关系即可. 在列不等式(组)时,审题是基础,根据不等关系列出不等式组是关键.解出不等式组的解集后,要养成检验不等式的解集是否合理,是否符合实际情况的习惯.即审题→设一个未知数→找出题中所有的数量关系,列出不等式组→解不等式组→检验.例1 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张,B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,在购票费不超过5000元的情况下,购买A,B两种船票共15张,要求A种船票的数量不少于B 种船票数量的一半.若设购买A种船票x张,请你解答下列问题.(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程.(2)根据计算判断哪种购票方案更省钱.解: (1)由题意知购买B种船票(15-x)张.根据题意,得15,2600120(15)5000.xxx x-⎧≥⎪⎨⎪+-≤⎩解得20 5.3x≤≤因为x为正整数,所以满足条件的x为5或6.所以共有两种购票方案.方案一:购买A种票5张,B种票10张.方案二:购买A种票6张,B种票9张.(2)方案一的购票费用为600×5+120×10=4200(元);方案二的购票费用为600×6+120×9=4680(元).因为4500元<4680元,所以方案一更省钱.【解题策略】运用不等式知识解决实际问题,关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言.二、规律方法专题专题2 求一元一次不等式（组）的特殊值【专题解读】在此类问题中，一般给出一个一元一次不等式（组），然后在解集的范围内限制取值，解决的方法通常是先求出不等式（组）的解集，再由题意求出符合条件的数值.例2 求不等式12123x x+-≥的非负整数解.分析先解不等式,求出x的取值范围,在x的取值范围内找出非负整数解,求非负整数解时注意不要漏解.解:解不等式12123x x+-≥,得x≤5.所以不等式的非负整数解是5,4,3,2,1,0.【解题策略】此题不能忽略0的答案.专题3 一元一次不等式(组)中求参数的技巧【专题解读】由已知不等式(组)的解集或整数解来确定选定系数的值或待定系数的取值范围,常用的方法是先用解不等式(组)的方法解出含待定系数的不等式(组)的解集,再代入已给出的条件中,即可求出待定系数的值.例3 已知关于x的不等式组0,245x bx-≤⎧⎨-≥⎩的整数解共有3个,则b的取值范围是______.分析化简不等式组,得,4.5.x bx≤⎧⎨≥⎩如图9-59所示,将其表示在数轴上,其整数解有3个,即为x=5,6,7.由图可知7≤b<8.故填7≤b<8.例4 已知关于x的不等式(2-a)x>3的解集为32xa-<-,则a的取值范围是( )A.a>0B.a>2C.a<0D.a<2分析分析题中不等式解集的特点,结合不等式的性质3,可知2-a<0,即a>2.故选B.三、思想方法专题专题4 数形结合思想【专题解读】在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给出解答.解决此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有形思数，顺利解决问题.例5 关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图9-60所示，则a的取值是（）A．0B．-3C．-2D．-1分析由图9-60可以看出，不等式的解集为x≤-1，而由不等式2x-a≤-1，解得x≤12a-,所以12a-=-1，解这个方程，得a=-1.故选D.专题5 分类讨论思想【专题解读】在利用不等式(组)解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨.例6某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助学校选出最省钱的一种租车方案.分析本题考查利用不等式组设计方案并做出决策的问题.根据题中的不等关系可列出不等式组,解不等式组求出x的取值,从而解答本题.解:(1)设租用甲种汽车x辆,则租用乙种汽车(8-x)辆.根据题意得4030(8)290,1020(8)100,x xx x+-≥⎧⎨+-≥⎩解得5≤x≤6.因为x为整数,所以x=5或x=6.故有两种租车方案,方案一:租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.方案二、租用甲种汽车6辆、乙种汽车2辆.（2）方案一的费用：5×2000+3×1800=15400（元）.方案二的费用:6×2000+2×1800=15600(元).因为15400元<15600元,所以方案一最省钱.答:第一种租车方案更节省费用,即租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.【解题策略】解答设计方案的问题时,要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求,不能把数学问题与实际问题相混淆.2011中考真题精选一、选择题1. （2011江苏无锡，2，3分）若a＞b，则（）A．a＞﹣b B．a＜﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．﹣2a＜﹣2b考点：不等式的性质。
数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--知识讲解(提高)
中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（提高）【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的剪拼问题1．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下(如图所示)：请你用上面图示的方法，解答下列问题：(1)对下图中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；(2)对下图中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．【思路点拨】对于三角形的分割重组，要想拼成一个矩形，则分割时必须构造出直角来，示例中通过作中位线的垂线段而分割出①③两个直角三角形．对于四边形的分割重组，可以先把四边形转化为三角形的问题，再利用三角形的分割重组方法进行．【答案与解析】解：(1)如图所示：(2)如图所示：【总结升华】按照三角形的剪拼方法，探索规律，将任意四边形先分割成三角形，再进行剪拼，使学生经历由简单到复杂的探索过程．举一反三：【变式】（2016•绥化）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（）A． B． C． D．【答案】A .当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边．再结合C点位置可得答案为C．故选C ．类型二、实践操作2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 （1）要证∠APB=∠BPH ，由内错角∠APB=∠PBC ，即证∠PBC=∠BPH ，折叠后∠EBP=∠EPB=90°，再由性质等角的余角相等即可得证．（2）△PHD 的周长为PD+DH+PH ．过B 作BQ ⊥PH 构造直角三角形，再利用三角形全等：△ABP ≌△QBP 和△BCH ≌△BQH ．证明AP=QP ， CH=QH ，可得其周长为定值．（3）1()2S BE CF BC =+，关键是用x 来表示BE 、CF ．过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，先由边角关系得△EFM ≌△BPA ，得EM AP ==x ．在Rt △APE 中可由勾股定理表示出BE ，再由228x CF BE EM x =-=+-，很容易用x 表示出S ，再配方求最值．【答案与解析】解：（1）∵PE=BE ，∴∠EBP=∠EPB ．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP ．即∠PBC=∠BPH ．又∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠PBC ．∴∠APB=∠BPH ．（2）△PHD 的周长不变，为定值 8．证明：过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ，∴△ABP ≌△QBP ．∴AP=QP , AB=BQ ．又∵ AB=BC ，∴BC = BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.（3）过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM BC AB ==.又EF 为折痕，∴EF ⊥BP .∴90EFM MEF ABP BEF ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFM ABP ∠=∠．又∵∠A=∠EMF=90°，∴△EFM ≌△BPA ．∴EM AP ==x ．∴在Rt △APE 中，222(4)BE x BE -+=． 解得，228x BE =+． ∴228x CF BE EM x =-=+-． 又四边形PEFG 与四边形BEFC 全等， ∴211()(4)4224x S BE CF BC x =+=+-⨯． 即：21282S x x =-+． 配方得，21(2)62S x =-+， ∴当x =2时，S 有最小值6．【总结升华】本题将函数和几何知识较好的综合起来，对能力的要求较高．本题考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识．难度较大，是一道很好的压轴题，通过此题能够反映出学生的思维能力及数学知识的掌握程度，解答本题要学会将题目中的已知量与待求量联系起来．此题的关键是证明几组三角形的全等，以及用x 来表示S ．3．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B ＝90°，∠C ＝60°，∠A ＝30°，BC ＝6 cm ；图②中，∠D ＝90°，∠E ＝45°，DE ＝4 cm ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．(1)在△DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐________．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?问题②：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD ＝15°？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．【思路点拨】本题以动三角形为背景，考查特殊角的三角函数值、勾股定理．【答案与解析】解：(1)变小．(2)问题①：∵∠B ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝6，∴AC ＝12．∵∠FDE ＝90°，∠DEF ＝45°，DE ＝4，∴DF ＝4．连结FC ，设FC ∥AB ，∴∠FCD ＝∠A ＝30° ∴在Rt △FDC 中，DC ＝43．∴AD ＝AC －DC ＝1243-即AD ＝(1243)-cm 时，FC ∥AB ．问题②：设AD ＝x ，在Rt △FDC 中，FC 2＝DC 2+FD 2＝(12-x)2+16．(i)当FC 为斜边时，由AD 2+BC 2＝FC 2得2226(12)16x x +=-+，316x =．(ii)当AD 为斜边时，由222FC BC AD +=得22(12)16x x -+=，4986x =>(不符合题意，舍去)． (iii)当BC 为斜边时，由222AD FC BC +=得222(12)166x x +-+=，212620x x -+=， △＝144－248＜0，∴方程无解．另解：BC 不能为斜边．∵FC ＞CD ．∴FC+AD ＞12．∴FC 、AD 中至少有一条线段的长度大于6．∴BC 不能为斜边．∴由(i)、(ii)、(iii)得，当316x =cm 时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形．问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．理由如下：假设∠FCD ＝15°．由∠FED ＝45°，得∠EFC ＝30°．作∠EFC 的平分线，交AC 于点P ，则∠EFP ＝∠CFP ＝∠FCP ＝15°，∴PF ＝PC ．∠DFP ＝∠DFE+∠EFP ＝60°．∴PD ＝43，PC ＝PF ＝2FD ＝8．∴PC+PD ＝8+4312>．∴不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．假设∠FCD ＝15°，设AD ＝x ．由∠FED ＝45°，得∠EFC ＝30°．作EH ⊥FC ，垂足为H ．∴HE ＝12EF ＝22，CE ＝AC －AD －DE ＝8-x ， 且22(12)16FC x =-+．∵∠FDC ＝∠EHC ＝90°，∠DCF 为公共角，∴△CHE ∽△CDF ．∴EC HE FC DF =． 又2222142HE DF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴212EC FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 整理后，得到方程22(8)1(12)162x x -=-+． ∴14430x =-<(不符合题意，舍去)，24438x =+>(不符合题意，舍去)．∴不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．【总结升华】本题的突破点是将图形静止于所要求的特殊位置，根据题中条件得出相应的结论．本题涉及分类讨论思想、方程思想，有一定的难度．举一反三：【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题 例3 】【变式】如图，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB ，OB=6,CD=BC=4，BC ⊥OB 于B,以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处.为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在求出直线的解析式,若不存在，请说明理由.【答案】解：如图③，存在符合条件的直线，过点D作DA⊥OB于点A，则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心∴过点P的直线只要平分的面积即可.易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将面积平分，从而，直线PH平分梯形OBCD的面积.即直线PH为所求直线设直线PH的表达式为且过点∵直线OD的表达式为解之，得∴点H的坐标为∴PH与线段AD的交点F的坐标为∴ 解之，得∴直线l 的表达式为类型三、平移旋转型操作题4．两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A ＝60°，AC ＝1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1)如图所示，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积．(2)如图所示，当D 点移动到．AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．(3)如图所示，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时，点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sin α的值．【思路点拨】平移时，CF AD ，AD ＝BE ，根据等底等高的特征，将求梯形面积转化为求ABC S △，旋转时需知道∠ABE ＝90°，BE ＝CB ，运用相似等知识解答．【答案与解析】【解析】(1)过C 点作CG ⊥AB 于G ，如图．在Rt △AGC 中，∵sin 60CG AC=°， ∴32CG =． ∵AB ＝2， ∴1332222ABC CDBF S S ==⨯⨯=△梯形． (2)菱形．∵CD ∥BF ，FC ∥BD ，∴四边形CDBF 是平行四边形∵DF ∥AC ，∠ACB ＝90°，∴CB ⊥DF ，∴四边形CDBF 是菱形．(3)解法一：过D 点作DH ⊥AE 于H ，如图，则11313222ADE S AD EB ==⨯⨯=△， 又1322ADE S AE DH ==△， 332177DH AE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭或．∴在Rt△DHE中，321 sin1427DHDEα⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭或．解法二：∵△ADH∽△AEB，∴DH ADBE DE=，即137DH=，∴37 DH=，∴321 sin1427DHDEα⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭或．【总结升华】本题是平移和旋转类型的操作题，需知道平移和旋转的性质，这两种变换都是全等变换.类型四、动态数学问题5．（2015•石峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）当t为何值时，S△BCD=？【思路点拨】（1）由于∠CAB=90°，易证得Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值．（2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上．【答案与解析】解：（1）∵∠CAO+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠CAO=∠ABE．∴Rt △CAO ∽Rt △ABE ． ∴． ∴．∴t=8．（2）由Rt △CAO ∽Rt △ABE 可知：BE=t ，AE=2．当0＜t ＜8时，S △BCD =CD •BD=（2+t ）（4﹣）=． ∴t 1=t 2=3．当t ＞8时，S △BCD =CD •BD=（2+t ）（﹣4）=． ∴，（为负数，舍去）． 当t=3或3+5时，． 【总结升华】考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，解决本题的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．举一反三：【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题 例4 】【变式】如图，平行四边形ABCD 中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P 从点A 出发沿折线AB-BC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当P 与C 重合时停止运动，过点P 作AB 的垂线PQ 交AD 或DC 于Q ．设P 运动时间为t 秒，直线PQ 扫过平行四边形ABCD 的面积为S ．求S 关于t 的函数解析式．【答案】解：（1）213S=3(03)22t t t t ∙∙=≤≤； （2）193S=-33333-(310)22t t t t +∙=（）＜≤；（3）116-t 3(16)S=1033-222t -⨯∙∙ 3=1033-16-8t ⨯2（） 23-4323(1016)8t t t =+-＜≤. 综上，S 关于t 的函数解析式为：223(03)29333-(310)23-4323(1016)8t t S t t t t t ⎧⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+-⎪⎪⎩≤≤＜≤＜≤。
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 函数型
中考数学专题：函数型问题(含答案)我们目前所学的函数主要有一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，在解决函数问题的时候要注意每种函数的时候要注意各自的特点形式：“靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考函数应用题编题原则，因此在广泛的社会生活、经济生活中，抽取靠近课本的数学模型是近年来中考的热点问题，解决次类问题经常使用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相融合.类型之一分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
1.年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．请结合图象回答以下问题：（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？（3）①求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平．类型之二与二次函数有关的最优化问题二次函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型．二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用，求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．2.枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树。
每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：y（间）关于x（元）的函数关系式．（1）房间每天的入住量（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？类型之四 存在探索性函数问题 存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注．4.在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 一次函数
专题复习精品讲义第十四章一次函数本章小结小结1 本章概述本章的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示方法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质以及应用举例，用函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组，课题学习“选择方案”．函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际，又服务于客观实际，而一次函数又是函数中最简单、最基本的函数，它是学习其他函数的基础，所以理解和掌握一次函数的概念、图象和性质至关重要，应认真掌握．小结2 本章学习重难点【本章重点】理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质，会利用待定系数法求一次函数的解析式．利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系及函数与不等式的关系，从而建立良好的知识联系．【本章难点】1．根据题设的条件寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的表达式，会利用函数图象解决实际问题．2．理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组的关系．小结3 学法指导1．注意从运动变化和联系对应的角度认识函数．2．借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，通过函数应用举例，体会数学建模思想．3．注重数形结合思想在函数学习中的应用．4．加强前后知识的联系，体会函数观点的统领作用．5．结合课题学习，提高实践意识和综合应用数学知识的能力．知识网络结构图一、知识性专题 专题1 函数自变量的取值范围【专题解读】 一般地，求自变量的取值范围时应先建立自变量满足的所有不等式，通过解不等式组下结论．例1 函数21+=x y 中，自变量x 的取值范围是 ( )A ．x ≠0B ．x ≠1C ．x ≠2D ．x ≠－2分析 由x ＋2≠0，得x ≠－2．故选D ．例2 函数x x y -+=21中，自变量x 的取值范围是 ( )A ．x ≥－1B ．－1＜x ＜2C ．－1≤x ＜2D ．x ＜2分析 由⎩⎨⎧≥+-,01,0＞2x x 得⎩⎨⎧-≥,1,2＜x x 即－1≤x ＜2．故选C ． 专题2 一次函数的定义【专题解读】 一次函数一般形如y ＝kx ＋b ，其中自变量的次数为1，系数不为0，两者缺一不可．例3 在一次函数y ＝(m －3)xm －1＋x ＋3中，符x ≠0，则m 的值为 ．分析 由于x ≠0，所以当m －1＝0，即m ＝1时，函数关系式为y ＝x ＋1．当m －3＝0，即m ＝3时，函数关系式为y ＝x ＋3；当m －1＝1，即m ＝2时，函数关系式为y ＝(m －2)x ＋3，当m ＝2时，m －2＝0，此时函数不是一次函数．所以m ＝1或m ＝3．故填1或3． 专题3 一次函数的图象及性质【专题解读】 一次函数y ＝kx ＋b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,k b ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置． 例4 已知一次函数的图象经过(2，5)和(－1，－1)两点．(1)画出这个函数的图象；(2)求这个一次函数的解析式．分析 已知两点可确定一条直线，运用待定系数法即可求出对应的函数关系式．解：(1)图象如图14－104所示．(2)设函数解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧-=+-=+,1,52b k b k 解得⎩⎨⎧==,1,2b k 所以函数解析式为y ＝2x ＋1．二、规律方法专题专题4 一次函数与方程(或方程组或不等式)的关系【专题解读】 可根据一次函数的图象求出一元一次方程或二元一次方程(组)的解或一元一次不等式的解集，反之，由方程(组)的解也可确定一次函数表达武．例5 如图14－105所示，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是 ．分析 由图象知当x ＞－2时，y ＝3x ＋b 对应的y 值大于y ＝ax －3对应的y 值，或者y ＝3x ＋b 的图象在x ＞－2时位于y ＝ax －3的图象上方．故填x ＞－2．专题5 一次函数的应用【专题解读】在应用一次函数解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题． 例6 假定拖拉机耕地时，每小时的耗油量是个常最，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升．(1)写出油箱中余油量Q(升)与工作时间t(小时)之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时?分析 由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象(在自变量取值范围内)． 解：(1)设函数关系式为Q ＝kt ＋b(k ≠0)．由题意可知⎩⎨⎧+=+=,322,228b k b k ∴⎩⎨⎧=-=.40,6b k ∴余没量Q 与时间t 之间的函数关系式是Q ＝－6t ＋40．∵40－6t ≥0，∴t ≤320．∴自变量t 的取值范围是0≤t ≤320．(2)当t ＝0时，Q ＝40；当t ＝320时，Q ＝0．得到点(0，40)，(320，0)．连接两点，得出函数Q ＝－6t ＋40(0≤t ≤320)的图象，如图14－106所示．(3)当Q ＝0时，t ＝320，那么320－3＝323(小时)．∴拖拉机还能耕地323小时，即3小时40分． 规律．方法 运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题，如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题，我们应善于总结规律，达到灵活运用的目的．三、思想方法专题专题6 函数思想【专题解读】 函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题．例7 利用图象解二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=-②.5①,22y x y x分析 方程组中的两个方程均为关于x ，y 的二元一次方程，可以转化为y 关于x 的函数．由①得y ＝2x －2，由②得y ＝－x －5，实质上是两个y 关于x 的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解．解：由①得y ＝2x －2，由②得y ＝－x －5．在平面直角坐标系中画出一次函数y ＝2x －2，y ＝－x －5的图象，如图14－107所示． 观察图象可知，直线y ＝2x －2与直线y ＝－x －5的交点坐标是(－1，－4)．∴原方程组的解是⎩⎨⎧-=-=.4,1y x 规律·方法 解方程组通常用消元法，但如果把方程组中的两个方程看做是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解．例8 我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0．05 mL ．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x 小时后，水龙头滴了y mL 水．(1)试写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当滴了1620 mL 水时，小明离开水龙头几小时?分析 已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时＝3600秒，∴1小时滴水(3600×2)滴，又∵每滴水约0．05 mL ，每小时约滴水3600×2×0．05＝360(mL)．解：(1)y 与x 之间的函数关系式为y ＝360x(x ≥0)．(2)当y ＝1620时，有360x ＝1620，∴x ＝4．5．∴当滴了1620 mL 水时，小明离开水龙头4．5小时．专题7 数形结合思想【专题解读】 数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法．数形结合思想在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．例9 如图14－108所示，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解析式．分析 通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B 点的坐标即可，因为OB ＝OA ＝2，所以点B 的坐标为(0，－2)，再结合A 点坐标，即可求出一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k ≠0)．∵OA ＝OB ，点A 的坐标为(2，0)，∴点B 的坐标为(0，－2)．∵点A ，B 的坐标满足一次函数的关系式y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧-=+=+,20,02b b k ∴⎩⎨⎧-==.2,1b k ∴一次函数的解析式为y ＝x －2．【解题策略】 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用．专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论思想是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法．分类讨论思想既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学方法．分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象．分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结．例10 在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图14－109所示，能否用函数关系式表示这段记录?分析 根据所给图象及函数图象的增减性，本题要分三种情况进行讨论．电脑记录提供了赛车时间t(s)与赛车速度v(m ／s)之间的关系，在10 s 内，赛车的速度从0增加到7．5 m ／s ，又减至0，因此要注意时间对速度的影响．解：观察图象可知．当t 在0～1 s 内时，速度v 与时间t 是正比例函数关系，v ＝7．5t(0≤t ≤1)． 当t 在1～8 s 内时，速度v 保持不变，v ＝7．5(1＜t ≤8)；当t 在8～10 s 内时，速度v 与时间t 是一次函数关系，设一次函数为v ＝kt ＋b(k ≠0)，又一次函数图象过(8，7．5)和(10，0)，则⎩⎨⎧+=+=,100,85.7b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.5.37,75.3b k ∴v ＝－3．75t ＋37．5(8＜t ≤10)．即7.5(01),7.5(18),3.7537.5(810).t t v t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩专题9 方程思想【专题解读】 方程思想是指对通过列方程(组)使所求数学问题得解的方法．在函数及其图象中，方程思想的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式．例11 已知一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过点A(－3，－2)及点B(1，6)，求此函数关系式，并作出函数图象．分析 可将由已知条件给出的坐标分别代入y ＝kx ＋b 中，通过解方程组求出k ，b 的值，从而确定函数关系式．解：由题意可知⎩⎨⎧=+-=+-,6,23b k b k ∴⎩⎨⎧==.4,2b k ∴函数关系式为y ＝2x ＋4．图象如图14－110所示．2011中考真题精选一、选择题1. （2011新疆乌鲁木齐，5，4）将直线y＝2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（）A、y＝2x－1B、y＝2x－2C、y＝2x＋1D、y＝2x＋2考点：一次函数图象与几何变换。
聊城市中考数学专题复习讲义平面直角坐标系
复习精品讲义第六章平面直角坐标系本章小结 小结1本章概述直角坐标系是由两个互相垂直的数轴构成的，它是联系有序数对和平面内点的对应关系的桥 梁，它更是整个数学领域的重要工具•它是在数轴上的点的坐标的基础上研究数与形的对应 关系的.教材通过实例用有序数对来表示点的位置.运用有序数对建立了数学模型，将有序数 对转化为平面直角坐标系中的点，验证了平而直角坐标系在实际生活中的广泛应用. 小结2本章学习重难点【本章重点】掌握平而内点的坐标的表示方法及求法；能建立适当的坐标系来描述某些点所 处的位置.【本章难点】用坐标表示平而内点的位垃及判断坐标平而上点的坐标. 【学习本章应注意的问题】在本章的学习过程中，要正确理解有序数对的含义，熟悉平面直角坐标系的组成.在学习中, 注意随时复习有关队列、方阵、班级座位以及在小学了解的长方形的性质，还要复习垂线和 垂直的含义.在本章的学习中充分体现了数形结合思想，体会用有序数对表示物体位巻的必要性. 小结3中考透视从近几年的考试题看，平面直角坐标系这一章主要考査已知点的坐标，确左点的位置及求其 对称点的坐标，这类问题多以填空、选择形式岀现，虽然难度不是很大，但有些问题的知识 集合性还是较强的•可能会由于相关的其他章肖的知识不扎实，而导致对点的位置的判断失 误,还有就是考查通过建立适当的平而直角坐标系描述物体的位置的能力，该问题难度不大, 一般情况下，都是建立常规的平面直角坐标系(如向东为x 轴正向，向北为y 轴正向)同时 给出单位长(有网格)•基本上占4分. 知识网络结构图专题总结及应用 一、知识性专题专题1平面直角坐标系中的点与坐标的对应关系【专题解读】平而直角坐标系中，坐标与点的对应关系，那平面内一点M 有唯一的有序数对(x,y)和它对应；对于任意一有序数对(x,y),在坐标平而内都有唯一的一点H 和它对应.平确定平面内点的位置用坐标表示地理位置用坐标表示平移点的坐标建立平面直角坐标系有序数对而内点的坐标由横坐标和纵坐标确立，横、纵坐标的符号决泄点所在的象阴，横坐标为0或 纵坐标为0,说明点在y 轴上或X 轴上.例 1 如图 6-38 所示,标出下列各点:A (5, 3), B (-1.5,3. 5), C (-4, -1), D (2, -3), E (3, 0), F (0, -2),并写出图中下列各点的坐标：G ( ), H ( ), I ( ), J( ),K ( ).解：各点位置如图6-38所示.G (-3, 1), H (2, 2), I (-2, -4), J (3, -2), K (0, 2).B 4r*3! 2 十T ・ 1 1I 1 - A -J H ! .if.!.十4扫. c ! -2 :一 3广T o\ 2 ；3 4 5 6 X F J '----丿 ----- D•图 6-38【解题策略】要掌握确左平而内点的坐标的方法，注意不要把横纵坐标弄混. 二、 规律方法专题 专题2利用方程解题【专题解读】抓住平而直角坐标系的特征和点的坐标的意义是解决此类问题的关键. 例2若点(9-a,a-3)在第一、三象限的角平分线上，求a 的值. 解：因为点(9-a,a-3)在第一、三象限的角平分线上， 所以9-a 二a-3,所以a 二6.【解题策略】把点的位程关系转化为数量关系，利用数疑关系列方程求解. 三、 思想方法专题 专题3数形结合思想【专题解读】运用数形结合思想归纳总结特殊点的坐标特点.(1) 四个象限内的点的坐标特征：如图6-39所示.若点在第一象限，则a>0,b>0; 若点人広/)在第二象限，则a<0,b>0; 若点A ("“)在第三象限，则a<0,b<0; 若点A(a 'b)在第四象限，则a>0,b<0;(2) 两坐标轴上的点的坐标特征：若点A ("")在％轴上,则a 为任意实数,b=0; 若点人広/)在y 轴上，则a 二0,b 为任意实数； 若点A{a 'b)在原点， 则 a=b=0.(3) 两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征：若点A(Chb)在第一、三象限的角平分线上，则沪b 或a-b=0;•(一 •+) V (+, + > O(一•一〉( + ,-)图6・39若点A（""）在第二、四象限的角平分线上，则a-b或a+b二0.（4）点到两坐标轴的距离：点P （x, y）到x轴的距离为y|：点P （x,y）到y轴的距离为|x|；（5）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同：平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同.（6）关于坐标轴及坐标原点对称的点的坐标特征.点P（x, y）关于X轴对称的点的坐标为（x, -y）;点P（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y）;点P （x,y）关于原点对称的点的坐标为（-X, -y）.例3已知点B （3a+5, -6a-2）在第二、四象限的角平分线上.求（严7分析由已知求岀a的值，代入茁 -"中再求代数式的值，所以3a+5二-（-6a-2）,所以a二1,故~a = 1""' 一1 = ° .【解题策略】在第二、四象限的角平分线上的点的坐标特征是横坐标与纵坐标互为相反数. 2011中考真题平而直角坐标系精选一、选择题1.（2011山西，2, 2分）点（一2, 1）所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三彖限D.第四象限考点：点的坐标专题：直角坐标系分析：点（一2,1）的横坐标在尤轴的负半轴上，纵坐标在『轴的正半轴上，所以点（一2,1）在第二象限，故选B.解答：B点评：根据点的横坐标、纵坐标的位豊来确定.只要理解点的坐标的意义，掌握务象限及坐标轴上的点的坐标特征，就可以轻松地解答.2.在平而直角坐标系中，点P （-3, 2）所在象限为（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限考点：点的坐标.分析：根据点在第二象限的坐标特点即可解答.解答：解：•••点的横坐标-3V0,纵坐标2>0,・•・这个点在第二象限.故选B.点评：解决本题的关键是记住平而直角坐标系中各个象限内点的符号：第一象限（+, +）：第二象限（-，+）；第三象限（-，-）：第四象限（+,-）.3.（2011湖南长沙，4, 3分）如图，在平面直角坐标系中，点P （—1, 2）向右平移3个单位长度后的坐标是（）A. （2, 2）B. （一4, 2）C. （一1, 5）D. （一1, -1）1 1::C< *4<• 一亠 -3^2…+ ■ ■< r1 1•I' 1< .11 f1■ ■厂一f »<I •考点：平移，直角坐标系专题：平移，直角坐标系分析：本题有两种方法解答：从一直接操作法，即在图中将点P （—1, 2）向右平移3个单位长度后，画出对应点，即可从图中得到对应点的坐标：二是根据点的平移规律：在平而直角坐标系中，将点向左右平移，点的横坐标发生变化，其纵坐标不变，且横坐标是左减右加, 从而平移后对应点的坐标是（一1 + 3, 2）即（2, 2）.解答：A点评：设点P（m, n）,有：在平而直角坐标系中，图形向右（左）平移m个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）m个单位（m>0）；图形向上（下）平移n个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n个单位（n>0）.4（2011年广西桂林，10, 3分）若点PW, °—2）在第四象限，则°的取值范围是（）.A. -2<a<0B. Q<a<2C. a>2D. ° VO考点：根据第四象限点的坐标符号，得出a>0, a-2V0,即可得出0<a<2,选岀答案即可. 分析：根据第四象限点的坐标符号，得出a>0, a-2V0,即可得出0<a<2,选岀答案即可. 答案：解：•・•点P （a, a-2）在第四象限，a > 0, a-2 V 0 ♦0<a<2.故选B.点评：此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及不等式的解法，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+, +）;第二象限（-, +）：第三象限（-，-）；第四象限（+,-）.5.（2011福建莆田，3, 4分）已知点P（a,a-1）在平而直角坐标系的第一象限，则a的取值范用在数轴上可表示为（）考点：在数轴上表示不等式的解集：点的坐标.专题：计算题.分析：由点P （a, a-1）在平而直角坐标系的第一象限内，可得，分别解出其解集，然后, 取其公共部分，找到正确选项：解答：解：•••点P （a, a-1）在平而直角坐标系的第一象限内，a. > 0 <• a — 1 > 0 I e解得，a>l ： 故选A.点评：本题考査了点的坐标及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表 示出来（>,鼻向右画：V, W 向左画），在表示解集时"2”，”要用实心圆点表示: 要用空心圆点表示.6. （2011台湾，17, 4分）如图，坐标平而上有两直线L. 其方程式分別为y=9. y= -6.若L 上有一点P, M 上有一点Q, PQ 与y 轴平行，且PQ 上有一点R, PR ： PQ=1： 2, 则R 点与x 轴的距离为何（ ）考点：坐标与图形性质。
聊城市中考数学专题复习讲义 平面直角坐标系
复习精品讲义第六章平面直角坐标系本章小结小结1 本章概述直角坐标系是由两个互相垂直的数轴构成的，它是联系有序数对和平面内点的对应关系的桥梁，它更是整个数学领域的重要工具.它是在数轴上的点的坐标的基础上研究数与形的对应关系的.教材通过实例用有序数对来表示点的位置.运用有序数对建立了数学模型，将有序数对转化为平面直角坐标系中的点，验证了平面直角坐标系在实际生活中的广泛应用．小结2 本章学习重难点【本章重点】掌握平面内点的坐标的表示方法及求法；能建立适当的坐标系来描述某些点所处的位置.【本章难点】用坐标表示平面内点的位置及判断坐标平面上点的坐标.【学习本章应注意的问题】在本章的学习过程中，要正确理解有序数对的含义，熟悉平面直角坐标系的组成.在学习中，注意随时复习有关队列、方阵、班级座位以及在小学了解的长方形的性质，还要复习垂线和垂直的含义.在本章的学习中充分体现了数形结合思想，体会用有序数对表示物体位置的必要性．小结3 中考透视从近几年的考试题看，平面直角坐标系这一章主要考查已知点的坐标，确定点的位置及求其对称点的坐标，这类问题多以填空、选择形式出现，虽然难度不是很大，但有些问题的知识集合性还是较强的.可能会由于相关的其他章节的知识不扎实，而导致对点的位置的判断失误，还有就是考查通过建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置的能力，该问题难度不大，一般情况下，都是建立常规的平面直角坐标系（如向东为x轴正向，向北为y轴正向）同时给出单位长（有网格）.基本上占4分．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 平面直角坐标系中的点与坐标的对应关系【专题解读】平面直角坐标系中，坐标与点的对应关系，那平面内一点M有唯一的有序数对(x,y)和它对应；对于任意一有序数对(x,y)，在坐标平面内都有唯一的一点M和它对应.平面内点的坐标由横坐标和纵坐标确定,横、纵坐标的符号决定点所在的象阴，横坐标为0或纵坐标为0，说明点在y轴上或x轴上.例1 如图6-38所示，标出下列各点：A（5，3），B（-1.5,3.5），C（-4，-1），D（2，-3），E（3，0），F（0，-2），并写出图中下列各点的坐标：G（），H（），I（），J （），K（）.解：各点位置如图6-38所示.G（-3，1），H（2，2），I（-2，-4），J（3，-2），K（0，2）.【解题策略】要掌握确定平面内点的坐标的方法，注意不要把横纵坐标弄混.二、规律方法专题专题2 利用方程解题【专题解读】抓住平面直角坐标系的特征和点的坐标的意义是解决此类问题的关键.例2 若点（9-a,a-3）在第一、三象限的角平分线上，求a的值.解：因为点（9-a,a-3）在第一、三象限的角平分线上，所以9-a=a-3,所以a=6.【解题策略】把点的位置关系转化为数量关系，利用数量关系列方程求解.三、思想方法专题专题3 数形结合思想【专题解读】运用数形结合思想归纳总结特殊点的坐标特点.（1）四个象限内的点的坐标特征：如图6-39所示.若点(,)A a b在第一象限，则a＞0,b＞0;若点(,)A a b在第二象限，则a＜0,b＞0;若点(,)A a b在第三象限，则a＜0,b＜0;若点(,)A a b在第四象限，则a＞0,b＜0;（2）两坐标轴上的点的坐标特征：若点(,)A a b在x轴上，则a为任意实数，b=0;若点(,)A a b在y轴上，则a=0,b为任意实数；若点(,)A a b在原点，则a=b=0.（3）两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征：若点(,)A a b在第一、三象限的角平分线上，则a=b或a-b=0;若点(,)A a b 在第二、四象限的角平分线上，则a=-b 或a+b=0.（4）点到两坐标轴的距离：点P （x,y ）到x 轴的距离为|y|；点P （x,y ）到y 轴的距离为|x|；（5）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上的所有点的横坐标相同.（6）关于坐标轴及坐标原点对称的点的坐标特征.点P(x,y)关于x 轴对称的点的坐标为(x,-y);点P(x,y)关于y 轴对称的点的坐标为(-x,y);点P （x,y ）关于原点对称的点的坐标为(-x,-y).例3 已知点B （3a+5,-6a-2）在第二、四象限的角平分线上.求2005aa -. 分析 由已知求出a 的值，代入2005a a -中再求代数式的值，所以3a+5=-(-6a-2),所以a=1，故20052005110a a -=-=.【解题策略】在第二、四象限的角平分线上的点的坐标特征是横坐标与纵坐标互为相反数.2011中考真题平面直角坐标系精选一、选择题1. （2011山西，2，2分）点（－2，1）所在的象限是（ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限考点：点的坐标专题：直角坐标系分析：点（－2，1）的横坐标在x 轴的负半轴上，纵坐标在y 轴的正半轴上，所以点（－2，1）在第二象限，故选B ．解答：B点评：根据点的横坐标、纵坐标的位置来确定．只要理解点的坐标的意义，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，就可以轻松地解答．2.在平面直角坐标系中，点P （-3，2）所在象限为（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限考点：点的坐标．分析：根据点在第二象限的坐标特点即可解答．解答：解：∵点的横坐标-3＜0，纵坐标2＞0，∴这个点在第二象限．故选B ．点评：解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．3. （2011湖南长沙，4，3分）如图，在平面直角坐标系中，点P （－1，2）向右平移3个单位长度后的坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（－4，2）C ．（－1，5）D ．（－1，－1）考点：平移，直角坐标系专题：平移，直角坐标系分析：本题有两种方法解答：从一直接操作法，即在图中将点P（－1，2）向右平移3个单位长度后，画出对应点，即可从图中得到对应点的坐标；二是根据点的平移规律：在平面直角坐标系中，将点向左右平移，点的横坐标发生变化，其纵坐标不变，且横坐标是左减右加，从而平移后对应点的坐标是（－1＋3，2）即（2，2）．解答：A点评：设点P(m，n)，有：在平面直角坐标系中，图形向右（左）平移m个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）m个单位（m＞0）；图形向上（下）平移n个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n个单位（n＞0）．4（2011年广西桂林，10，3分）若点 P（a，a－2）在第四象限，则a的取值范围是（）． A．－2＜a＜0 B．0＜a＜2 C．a＞2 D．a＜0考点：根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a-2＜0，即可得出0＜a＜2，选出答案即可．分析：根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a-2＜0，即可得出0＜a＜2，选出答案即可．答案：解：∵点P（a，a-2）在第四象限，∴a＞0，a-2＜0，0＜a＜2．故选B．点评：此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及不等式的解法，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．5. （2011福建莆田，3，4分）已知点P（a,a-1）在平面直角坐标系的第一象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（）考点：在数轴上表示不等式的解集；点的坐标．专题：计算题．分析：由点P（a，a-1）在平面直角坐标系的第一象限内，可得，分别解出其解集，然后，取其公共部分，找到正确选项；解答：解：∵点P（a，a-1）在平面直角坐标系的第一象限内，∴.010 aa>⎧⎨->⎩，解得，a＞1；故选A．点评：本题考查了点的坐标及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．6. （2011台湾，17，4分）如图，坐标平面上有两直线L．M，其方程式分别为y＝9．y＝－6．若L上有一点P，M上有一点Q，PQ与y轴平行，且PQ上有一点R，PR：PQ＝1：2，则R点与x轴的距离为何（）A．1 B．4 C．5 D．10考点：坐标与图形性质。
山东省聊城市2022年中考数学专题复习讲义 二次函数
中考复习《二次函数》二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是近几年河北中考热点之一。
学习二次函数，对于学生数形结合、函数方程等重要数学思想方法的培养，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有十分重要意义。
二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。
其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。
利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质的纯数学问题，如2022年河北中考11题，2022河北中考22题，2022河北中考22题；一类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目，如2022年河北中考26题，2022河北中考25题，2022河北中考24题。
考点1：二次函数的有关概念一般的，形如=abc（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。
例m取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数考点2：二次函数的图象性质（1）抛物线的形状二次函数=abc（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
a和b共同决定对称轴。
C决定与轴交点。
（5）抛物线顶点坐标、对称轴、最大（小）值顶点式：=a-h2顶点坐标（h，），对称轴=h, 最大（小）值。
一般式：=abc顶点坐标，对称轴，最大（小）值为。
例1如图4，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂直．若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（）（m）与开始刹车时的速度（m/）之间满足二次函数（＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（）A．40 m/ B．20 m/C．10 m/ D．5 m/例3如图5，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为A．（2，3） B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）例4（2022河北中考8题）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式h=-5t-126,则小球距离地面的最大高度是（）A 1米B 5米C .6米D .7米（t，0），且t ≠0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，请通过观察图象，指出此时的最小值，并写出t的值；（2）若，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．例6如图15，在平面直角坐标系中，点40m）与飞行时间t（单位：）之间具有关系h＝20t-5t2。
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 勾股定理
复习精品讲义 第十八章 勾股定理本章小结小结1 本章概述本章主要学习勾股定理、勾股定理的逆定理及它们的应用.通过从特殊到一般的探索过程过程验证了直角三角形三边之间的数量关系——勾股定理，又由生活实例及三角形全等方法验证由三边关系得到直角三角形——勾股定理的逆定理.学习时应注意区分并把它们运用到实际问题中，同时了解定理、互逆命题、互逆定理的相关内容． 小结2 本章学习重难点 【本章重点】会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题；掌握勾股定理的逆定理的内容及其证明过程，并会应用其解决一些实际问题.【本章难点】掌握勾股定理探索过程，并掌握其适用范围；理解勾股定理及其逆定量． 【学习本章注意的问题】在学习本章内容的过程中，主要注意勾股定理及其逆定理的应用.在解决实际问题的过程中常用下列方法：（1）直接法；（2）转化法；（3）构造图形法（即构造直角三角形以达到解题的目的）；（4）图形结合法；（5）数形结合法；（6）方程的思想方法. 小结3 中考透视本节知识在中考中以考查已知直角三角形的两边求第三边，运用勾股定理解决实际问题为主.其中定理在实际生活中的应用是热点，一般以选择题、填空题或解答题的形式出现，有时也与其他知识一起综合命题． 知识网络结构图专题总结及应用 知识性专题专题1 勾股定理及其逆定理的应用【专题解读】要证明以三条线段（或线段所在的直线）为边的三角形是直角三角形，应设法求出三边的长或关系式，利用勾股定理的逆定理证明.例1 如图18-69所示，在等腰直角三角形ABC 的斜边上取两点M ，N ，使∠MCN=45°，设AM=a,MN=x,BN=b,判断以x,a,b 为边长的三角形的形状. 分析 要判断三角形的形状，就应设法将x,a,b 放到一个三角形中，由于∠MCN=45°，因此可过点C 作CD ⊥MC ，截取CD=CM ，这样就可以得到全等的三角形，并把x,a,b 放到一个三角形中，进而利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.直角三角形勾股定理拼图法验证 应用勾股定理的逆定理判断直角三角形 勾股数 应用解：作CD ⊥CM，且CD=CM，连接ND，BD，∵AC⊥BC，CD⊥CM，∴∠ACB=∠MCD=90°.∴∠ACM=∠BCD.又∵AC=BC，CM=CD，∴△CAM≌△CBD.∴∠CBD=∠A=45°,AM=BD=a.∴CM=CD,∠MCN=∠DCN=45°,CN=CN,∴△MCN≌△DCN. ∴ND=MN=x.∴∠CBA=∠CBD=45°, ∴∠NBD=∠CBA+∠CBD=90°.∴NB2+BD2=ND2,即b2+a2=x2,∴△NBD为直角三角形,即以x,a,b为边长的三角形是直角三角形.【解题策略】巧用已知条件构造全等三角形,将线段x,a,b放到一个三角形中,为应用勾股定理的逆定理创造了条件.例2 李老师让同学们讨论这样一个问题:如图18-70所示,有一个长方体盒子,底面正方形的边长为2 cm,高为3 cm.在长方体盒子下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面的F点处的食物,则怎样爬行路程最短?最短路程是多少?过了一会儿,李老师问同学们答案,甲生说:先由A点到B点,再走对角线BF.乙生说:我认为应由A先走对角线AC,再由C点到F点.丙生说:将长方形ABCD与长方形BEFC展开成方长形ABFG,利用勾股定理求AF的长.哪位同学的说法正确?还有其他方法吗?若有,请叙述出来,并说明理由.(参考数据:29≈5.392)分析要使蚂蚁爬行的路程最短,可直接连接AF,再求出AF,但AF在盒子里面,不符合题目要求,甲生和乙生的方法类似,只是顺序不同;丙生和丁生的方法类似,只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了.解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，如图18-71所示，则AE=AB+BE=4 cm,EF=3 cm,连接AF，在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=42+32=25，∵AF=5 cm.连接BF,∵AF＜AB+BF,∴丙的方法比甲的好.按丁生的办法:将长方形ABCD与正方法CFGD展开成长方形ABFG,如图18-72所示,则BF=BC+CF=3+2=5(cm),AB=2 cm,连接AF.在Rt△ABF中,AF2=BF2+AB2=52+22=29≈5.392,∴AF≈5.39(cm).连接AC,∵AF＜AC+CF,∴丁的方法比乙的好.比较丙生与丁生的计算结果,丙生的说法正确.规律方法专题专题2 利用勾股定理解决折叠问题【专题解读】折叠问题与轴对称和图形全等是密不可分的.做题时一定要抓住这一点,以免有无从下手之感.例3 如图18-73所示,将长方形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点C′处,BC′交AC于E,AD=8,AB=4,求△BED的面积.分析由于12ABCS DE ABVg,所以只要求出DE的长即可,而DE=BE,AE=AD-DE=8-BE,在Rt △ABE 中,利用勾股定理列方程求解. 解:∵AD ∥BC,∴∠2=∠3.∵△BC ′D 与△BCD 关于直线BD 对称, ∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴EB=ED. 设EB=x,则ED=x,AE=AD-ED=8-x. 在Rt △ABE 中,AB2+AE2=BE2. ∴42+(8-x) 2=x2,∴x=5,∴DE=5.∴11541022ABC S DE AB ==⨯⨯=V g .专题3 利用面积关系解决问题【专题解读】利用勾股定理求出直角三角形的边长,进而求出面积,再利用面积的关系列出方程,从而解决问题.例4 如图18-74所示,在三角形ABC 中, ∠C=90°,两直角边AC=6,BC=8,在三角形内有一点P,它到各边的距离相等,则这个距离是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.无法确定分析 要想直接计算,需找出表示这个相等距离的线段,由角平分线的性质可知,点P 应是△ABC 各角平分线的交点,再由面积关系列方程求解. 设P 点到三边的距离为x,连接PA,PB,PC. 在Rt △ABC 中,AC=6,BC=8,所以AB2=AC2+BC2=62+82=36+64=100. 所以AB=10. 又因为ABC PAB PAC PBC S S S S =++V V V V ,所以11116810682222x x x⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.即48=10x+6x+8x.所以x=2,故选B.【解题策略】这是一道方程与几何图形相结合的数学题,在几何图形问题中经常涉及解方程、求面积等相关计算.本题考查了勾股定理的实际应用. 三、思想方法专题 专题4 建模思想【专题解读】能运用勾股定理解决简单的实际问题，将其转化为数学问题，建立直角三角形的模型，体现了学数学、用数学的思想，通过建模解决问题. 例5 一船在灯塔C 的正东方向8海里的A 处，以20海里/时的速度沿北偏西30°方向行驶. 多长时间后,船距灯塔最近?多长时间后,船到灯塔的正北方向?此时船距灯塔有多远?(其中:162-82≈13.92)分析 最近距离就是点C 到船航线AB 的垂线段的长度,所以构造出直角三角形,再运用勾股定理及逆定理即可.解: (1)如图18-75所示,由题意可知,当船航行到D 点时,距灯塔最近, 此时,CD ⊥AB.因为∠BAC=90°-30°=60°,所以∠ACD=30°.所以AD=11822AC=⨯=4(海里).又因为4÷20=0.2(小时)=12(分),所以12分后,船距灯塔最近.(2)当船到达灯塔的正北方向的B点时, BC⊥AC.此时∠B=30°,所以AB=2AC=2×8=16(海里).所以16÷20=0.8(小时)=48(分).所以BC2=AB2-AC2=162-82≈13. 92.所以BC≈13.9(海里).所以48分钟后,船到达灯塔的正北方向,此时船距灯塔约13.9海里.【解题策略】在运用勾股定理及其逆定理时,一定要区别它们各自的适用条件,不要混淆. 例6 如图18-76所示,如果电梯的长、宽、高分别是1.2 m,1.2 m,2.1 m,那么能放到电梯内的竹竿的最大长度是多少？分析所放竹竿的最大长度应是图中线段AB的长度，利用勾股定理即可求解.解：连接AB，BC，在Rt△ABC中，BC2=1.22+1.22=2.88,AC2=2.12=4.41,∴AB2=BC2+AC2=2.88+4.41=7.29.∴AB=2.7 m.∴能放入电梯内的竹竿的最大长度是2.7 m.例7 有一圆柱形油罐，如图18-77(1)所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点正上方B点，则梯子最短需多少米？（已知油罐口的周长是12 m，高AB是5 m）分析把圆住体沿AB剪开，平铺在平面上，就会得到矩形ABB′A′，对角线AB′就是梯子的长度，如图18-77（2）所示.解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平，则ABB′A′为长方形AB=A′B′=5 m,AA′=BB′=12 m,∠BAA′=∠A′=∠A′B′B=90°,因此沿AB′建梯子,材料最省,梯子最短.在Rt△AA′B′中,AB′=2222125AA A B'+''=+=13(m).答:梯子最短需13 m.2011中考真题精选1. （2011内蒙古呼和浩特，9，3）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A. 14B. 15C. 23 D. 32考点：勾股定理．专题：计算题．分析：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD 的长．解答：解：以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF ． 可证∠FDB=90°，∠F=∠CBF ，∴DF=CB=1，BF=2+2=4，∴BD=2215BF DF -=．故选B ．点评：本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A 为圆心，AB 长为半径的圆，构建直角三角形，从而求解．2. （2011四川达州，6，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB=10，CD=8，那么线段OE 的长为（ ）A 、5B 、4C 、3D 、2考点：垂径定理；勾股定理。
中考数学专题复习(五)动手操作
五、动手操作问题第1课一、例题导引例1 将一张长为70㎝的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图所示的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60㎝，则原纸片的宽AB 是 ㎝.例2 用三种不同方法将正三角形ABC 分割成四个等腰三角形。
例3 直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如图1所示，请你用这种方法解决下列问题：（1）对任意三角形（如图2）设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形。
（2）对任意四边形（如图3），设计一种方案，将它们分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形。
例4 蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长120㎝，宽30㎝的长条形桌面，现只有长80㎝，宽45㎝的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼起来的桌面符合要求。
（只要求画出裁剪、拼接图形，并标上尺寸）二、练习升华1、小亮拿着一张如图①所示的矩形纸，沿虚线对折一次得图②，再将对角两顶点重合折叠得图③，按图④沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，〔 〕A 、都是等腰三角形B 、都是等边三角形C 、两个直角三角形，一个等腰三角形D 、两个直角三角形，一个等腰梯形2、将一张菱形纸片，按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是〔 〕3、如图，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到一个小三角形的周长是. 4、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使 折痕的左侧部分比右侧部分短1㎝；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1 A B C D E F F E A B CD 例1图 例2图 ② ③ 中点 中点 ① ① ③ ② 图1 图2 图3 80㎝ 45㎝ 图①上折图② 图③ 图④ ③ ④A 左 右左 右 第一次折叠 图1图25、请将四个全等的直角梯形（如图所示）拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等不认为是不同的拼法）.6、某地砖厂要制作一批正六边形的地砖，为适应市场多样化需求，要求在地砖上设计的图案结构把正六边形6等分，请设计等分图案。
中考数学专题复习——动手操作题
初三数学 共2页 第1页中考数学专题复习——动手操作题实验观察1.如图小强拿一张正方形的纸如图①，沿虚线对折一次得图②再对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线去一个角再打开后的形状是（ ）2.将一张矩形对折再对折如图所示，然后沿图中虚线剪下得到①、②两部分，将①展示后得到的平面图形是（ ）A 、矩形B 、三角形C 、梯形D 、菱形 3.将一长方形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后 AB,BE 在一条线上.则∠CBD 的度数为（ ）A 、60°B 、75°C 、90°D 、95° 小试牛刀：1.将一正方形纸片按图5中（1）、（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（ ）③②①ABCD①②D EB初三数学 共2页 第2页2.如图，平面直角坐标系中，△ABC 为等边三角形，其中点A 、B 、C 的坐标分别为（－3，－1）、（－3，－3）、（－1，－2）． 现以y 轴为对称轴作△ABC 的对称图形，得△A 1B 1C 1，再以x 轴为对称轴作△A 1B 1C 1的对称图形，得△A 2B 2C 2 ． ⑴求点C 1、C 2的坐标；⑵能否通过一次旋转将△ABC 旋转到△A 2B 2C 2的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；设计思考：1.如图所示两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同的花草，下面左边两个图案是设计示例，请你再设计两个不同的图案。
2.某地板厂要制作一批正六边形的地板砖，为适应市场多样化的需要，要求在地板砖上设计图案能够把正六边形6等分，请你帮助他们设计等分方案（至少设计两种）。
初三数学 共2页 第3页3.现有一块形如母子正方形的板材ABCDEF ，木工师傅想先把它分割成几块，然后适当拼接成某种特殊形状的板面（要求板材不能有剩余，拼接时不重叠无空隙），请按下面要求帮助木工师傅分别设计一种方案。
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中考数学专题：动手操作题（含答案）操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、 合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯， 符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科 研”活动，培养学生乐于动手、 勤于实践的意识和习惯， 切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想. 类型之一折叠剪切问题折叠中所蕴含着丰富的数学知识，解决该类问题的基本方法就是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”，求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴.折叠问题不但能使有利于培养我 们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力.1. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形. 将纸片展开，得到的图形是3. 如下左图：矩形纸片 ABCD AB=2,点E 在BC 上，且AE=EC 若将纸片沿 AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是.4. 如上右图，在正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC BD 交于点0,折叠正方形纸片 ABCD 使AD落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后，折痕 DE 分别交AB AC 于点E 、G.连接GF.下列结论：①/ AGD=112.5 :②tan△ 0GD ④四边形 AEFG 是菱形；⑤BE=20G 其中正确结论的序号是类型之二 分割图形问题分割问题通常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规则）你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分。
解决这类问题的时 候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割。
5.如图所示的方角铁皮， 要求用一条直线将其分成面积相等的两部分，请你设计两种不同的分割方案（用铅笔画图，不写画法，保留作图痕迹或简要的文 字说明）.6. 如图1 , △ ABC 中，/ C =90 ,请用直尺和圆规作一条直线， 把厶ABC 分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）A C D匚口-0-H2.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为-----------AB 再以AB 的中点0为顶点把平角/ AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠 A ----------------后的图形剪出一个以 0为顶点的等腰三角 后得到的平面图形- -定是 A.正三角形 B .正方形 C .正五边形 D .正六边形/ AED=2(2)已知内角度数的两个三角形如图 2、图3所示•请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.示，在6X 6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点， 以格点为顶点的图形称为格点图 形，如图①中的三角形是格点三角形.(1) 请你在图①中画一条直线将格点三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同图① 图② 图③类型之二 拼合图形问题拼图是几个图形按一定的规则拼接在一起的一种智 力游戏，此类试题不仅可以考查学生的观察能力、空间想象能力、判断能力和综合分析能力,通过拼图也能加强同学们对图形的直观认识，能更好地判定所求图形的具体特征7.如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形， 这个新的图形可以是下列图形中的()A.三角形 B .平行四边形 C.矩形D .正方形8.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图形.对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边 长度之间关系的一个正确结论：9. 从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为.(只填写拼图板的代码)10. 如图，方格纸中有一透明等腰三角形纸片，按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部分.请你将这三部分小纸片重新分别拼接成； (1) 一个非矩形的平行四边形；(2 )一个等腰梯形；(3) 一个正方形.请 在图中画出拼接后的三个图形，要求每张三角形纸片的顶点与小方 格顶点重合.11.如的格点四边形，并将这两个格点四边形分别画在图②，图③中; (2 )直接写出这两个格点四边形的周长.图I 图2 E3(2)所示的一个菱非矩形的平行四边形等緩梯形正方形」一- 一 T Mln类型之四探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系•此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念.12•小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中/ ACB=z，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△ EFD纸片的直角顶点D 落在△ ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上.（1 ）若ED与BC相交于点G 取AG的中点M连接MB MD当厶EFD纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量MB MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，求出/ BMD的大小（用含a的式子表示），并说明当a =45°时，△ BMD是什么三角形？（3）在图3的基础上，将△ EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°）,此时△ CGD变成A CHD同样取AH的中点M,连接MB MD（如图4）,请继续探究MB与MD 的数量关系和/ BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明a为何值时，△ BMD为等边三角形•【答案】①④⑤.5.【解析】通过计算可以得知整个图形的面积为 可以把图形面积一分为二。
【答案】参考答案如下图12,我们只需截出一个面积为 6的图形就6.【解析】当一个三角形是直角三角形的时候，只要 对于非直角三角形，则需要把此三角形的一个角 作出斜边的中线即可得到两个等腰三角形， 作为分割出来的三角形的一个角进行讨论 【答案】解：(1)如图，直线CM 即为所求 (2)图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是 132°和84°，图3不能分割成两个等腰三角形.7. 【解析】本题一方面考查学生的空间想象能力，另一方面还考查学 生的动手操作能力。
当学生的空间想象受到影响时， 【答案】B8. 【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角， 平角，上底和腰相等。
【答案】答案不唯一.可供参考的有：①它内角的度数为 60°、60°、120°、120°;② 它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半.可借助动手实践,去拼一拼。
答案为Bo由图可以看出三个下底上的角拼成一个参考答案1. 【解析】本题是折叠、裁减问题，折叠会体现对称，可以动手操作验证。
【答案】C2. 【解析】本题一方面考查学生的空间想象能力，另一方面还考查学生的动手操作能力。
当学生的空间想象受到影响时，可借助动手实践，直接折纸、剪纸，得到答案。
答案为 D 。
【答案】D3. 【解析】由折叠可知/ BAE K CAE 因为AE=EC 所以/ CAE M ACE 所以/ BAE=/ CAE M ACE 三角的和为90°,所以/ ACE=30，所以 AC=2AB=4 【答案】44. 【解析】 由折叠知：M ADG M GDO 根据外角定理/ AGD M GDO M GOD 而/GOD=9°0 , M GDO1=2 M ADO=22.5 得/ AGD=112.5 所以①正确。
由折叠知△ AGD^A FGD 得 S A AGD=S FGD所以③错误。
/ AED=90 -22.5 ° =67.5 ° ,M AGE=45 +22.5 ° =67.5 ° 故M AED M AGE 可得AE=AG 易证 AG=FG AE=EF 从而得 AG=FG=AE=EF 所以④正确。
BE='2 EF , EF=FG=" 2O G故 BE=2OG 所以⑤正确。
AE= FG=J 2OG AD= AB=AE+ BE=（』2+2） OG 在 Rt △ AED 中AD 22tan M AED=AE =2，所以②错误。
A B9.【解析】本题是一道动手操作题。
可以动手把几个图板进行拼接找出能够拼成矩形的四块。
本题考查学生的动手能力和观察能力。
根据每块图板的特征进行合理拼接，完成本题。
【答案】①②③④10.【解析】解决本题的关键是熟悉特殊四边形的判定【答案】解：如图所示.三角形的三条中位线中任意一条所在的直线等.图①~图④，图⑤~图⑦，图⑧~图⑨，画出其中一组 图中的两个图形.（2）对应（1）中所给图①~图④的周长分别为4J 5 , 8,4 2 5,4 2 5;图⑤~图⑦的周长分别为10,8 2 5,8 2 5;图⑧~图⑨的周长分别为 2 4 5, 4 4 5 .12.【解析】通过动手操作，我们可以测量得到 MB=MD 然后加以证明即可；当a =45°时,△ BMC 为一个特殊的三角形，通过观察，此三角形是等腰直角三角形，这就需要证明这个三角形中有90°和45°的角；对于（3）,我们可以先假设这个三角形是厶BMD 为等边三角形， 然后求出a 的大小，然后根据 a 的大小得到△ BMD 为等边三角形• 【答案】解：（1） MB=MD1MB = —AG证明：••• AG 的中点为M •••在Rt ABG 中，2MD =1 AG在 Rt ADG 中， 2 MB =MD（2）•.• BMG - BAM ABM =2 BAM同理 DMG = DAM ADM =2 DAMBMD =2 BAM 2 DAM =2 BAC而 BAC =90° --. BMD =180°-2:11.【答案】（1）答案不唯一，如分割线为图①图② 图③图④1 S 1 T J - * -T r.…L—1itl+iA — — ! hr —■r\■图⑤图⑥图⑦非矩形的平行四边瑙拼接的图形不唯一，例如下面给出的三种情况:.•.当--45°时，.BMD =90°，此时△ BMD为等腰直角三角形.(3)当厶CGD绕点C逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB=M, . BMD =180° -2：-故当〉=60°时，△ BMD为等边三角形.。