中国古代数学

算盘的最早记载是公元190年。 明清两代，算盘成为当时工商业 贸易中不可缺少的工具。算盘携 带方便，运算准确迅速，即便是 现在，仍发挥着巨大作用。
三国时期，刘徽运用割圆术求圆 周率π=3.1416。南北朝时期的 数学家祖冲之又将圆周率进一步 精确到3.1415926～3.1415927 之间。
唐代僧一行创立了不等间距二次 内插法，王孝通得到求解三次方 程的方法；宋元时期得到关于高 次方程组的求解法一次同余式解 法。这些成果都处于当时的领先 地位。
1303
(
1299
355/173(≈3.1415926 22/7(≈3.14) π
近 分 数
冲围 结 算 主 位 机 一 时 是 之， 果 出 要 天 械 位 代 现 祖 确是 的 的 成 文 制 数 的 今 冲 定当 重 圆 就 学 造 学 一 河 之 了时 要 周 是 家 、 家 位 北 （ ， 两世 意 率 关 。 音 ， 杰 省 公 这 个界 义 为 于 祖 乐 同 出 涞 元 圆冲等时科源 两 形最 在 周之领还学县 ～ 个 式杰 于 率在域通家， 数 ） 的出 指 的数，晓。他 都密 的出 是 率 值成 误 ， 计 学 并 天 他 是 年 ，就 差 这 算方且文不南 ） 的 约。 的 一 ，面是历仅北 祖 渐 率祖 范 他的一法是朝 籍 、 429 500 π
3.1415926<π<3.1415927
学越 以 的 序 学 方 贾 已 （细 数 家性 在 方 均 数 法 宪 失 二草 学 贾 霍， 开 法 与 学 即 三 传 卷》 家 宪 纳这 高 整 此 中 求 角 。 ）（ 。 ， 的个 次 齐 相 的 高 和 他 （九 曾 中 结方 方 简 仿 混 次 增 的 斆卷 撰 国 论法 时 捷 ， 合 幂 乘 主 ） 写 古 早的 ， 、 增 除 的 开 要 和 的 代 七提 尤 又 乘 法 正 方 贡 ，《 《 北 百出 其 更 开 ， 根 法 献 意算 黄 宋 多要 显 程 方 其 法 ， 是 ：法 帝 时 年比 出 序 法 原 。 增 创 数斆 九 期 。欧 它 化 比 理 目 乘 造 导古 章 杰 洲 的 ， 传 和 前 开 了 ）集 算 出 均》 法 的 数优所统程中 " xiào "
中国的数学家
刘徽 李冶 秦九韶 朱世杰
贾宪
杨辉
祖冲之
赵爽
遗算 杰 上 伟 南 刘 产经 作 ， 大 北 徽 ．》 《 也 的 朝 （ ，九占数时生 是章有学期于 我算杰家数公 国术出，学元 最注的在史 宝》地世上 贵和位界一年 的《．数个左 数海他学非右 学岛的史常） ，
250
有宋Байду номын сангаас术（ 重 凡《 子在 朱 不 左 徽古 秦 突代 一 要 数 受杭 世 久 右 ，， 九 出算 高次 的 卷书 数州 杰 死 被 江四 韶 的经 次同 数 ，九 学“ 并 于 贬 苏川 （ 地在 方余 学 章 ”访 称 任 至 ，安 约 位中 程组 成 题》 ，习 宋 所 梅 浙岳 。世 数解 就 ，。 于 元 。 州 江人 纪 值法 分《 太 数 他 ， 等。 世 解） 为数 年史 学 与 （ 地先 界 法与 大 九书 写， 四 李 今 做后 数 ）“ 衍 大九 成又 大 冶 广 官在 ，正 总 章 尝 家 ， 东 ，湖 ） 学 使负 数 类》 著从 。 杨 梅 北 ， 史 这开 术 。全 名隐 早 辉 县 ， 字 上 部方 ” 其书 的君 年 ， ） 安 道 占 年 最 ，
任何问题→数学问题→代数问题→方程求解而笛卡儿的《几何学》，正 是他上述方案的一个具体实施和示范，解析几何在整个方案中扮演着重 要的工具作用，它将一切几何问题化为代数问题，这些代数问题则可以 用一种简单的、几乎自动的或者毋宁说是机械的方法去解决。这与上面 介绍的古代中国数学家解决问题的路线可以说是一脉相承。 因此我们完全有理由说，在从文艺复兴到17世纪近代数学兴起的大潮中， 回响着东方数学特别是中国数学的韵律。整个17—18世纪应该看成是寻 求无穷小算法的英雄年代，尽管这一时期的无穷小算法与中世纪算法相 比有质的飞跃。而从19世纪特别是70年代直到20世纪中，演绎倾向又重 新在比希腊几何高得多的水准上占据了优势。因此，数学的发展呈现出 算法创造与演绎证明两大主流交替繁荣、螺旋式上升过程： 演绎传统——定理证明活动 算法传统——算法创造活动 中国古代数学家对算法传统的形成与发展做出了毋容置疑的巨大贡献。 我们强调中国古代数学的算法传统，并不意味中国古代数学中没有演绎 倾向。事实上，在魏晋南北朝时期一些数学家的工作中，已出现具有相 当深度的论证思想。如赵爽勾股定理证明、刘徽“阳马”一种长方锥体 体积证明、祖冲之父子对球体积公式的推导等等，均可与古希腊数学家 相应的工作媲美。赵爽勾股定理证明示意图“弦图”原型，已被采用作 2002年国际数学家大会会标。令人迷惑的是，这种论证倾向随着南北朝 的结束，可以说是戛然而止。囿于篇幅和本文重点，对这方面的内容这 里不能详述。
中国古代数学
—了解先人的智慧
研究组成员
指导教师：胡向斌
组长：张志远
组员：孙涛 赵怀斌 王怡霖 柳叶 周怀芳
周 髀 九 章 算 法 妙
演 天 算 地 机 关 巧
人 杰 地 灵 举 世 闻
中 华 青 史 五 千 载
中国古代数学对世界数学发展的贡献
数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算 法。定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向 的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形 成了数学发展中强烈的算法倾向。统观数学的历史将会发 现，数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌头。在数学史上， 算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位。古代巴比 伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替， 而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度 等东方国度繁荣起来；东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉 伯传播到欧洲，对近代数学兴起产生了深刻影响。事实上， 作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分，从思想方法 的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物。
" "
13
" "
1261 1262 1274 1275
高的何根导赵 的他及最结图注髀曾 、证图公出爽 换的其早了（》算注赵 远明形式二还 算证和给东已全经《爽 的。面在次在 关明、出汉失文注周， 方（积《方《 系主差并时传五》髀三 法汉关日程勾 。要关证期）百中算国 称代系高 股 是系明勾，余有经时 为天，图其圆 依的了股这字一》期 重文给注中方 据二有算篇，篇，东 差学出》 图 几十关术注并《他吴 术家了中 注 何多勾的文附勾所的 ）测重利 》 图个股重简有股作数 。量差用 中 形命弦要练云圆的学 太术几的推 面题三成地幅方《家 求 阳 积，边果总插图周。 ，
(1192----1279) 1259 1248 1232
x
差术次的学展海蒙《代《““号朱 术”方数高。外》四表四踵以松世 ”（程学峰《，是元作元门数庭杰 （高列创的四影一玉有玉而学，（ 高阶式造又元响部鉴《鉴学名寓 次等与有一玉了通》算》者家居 内差消“个鉴朝俗（学后云周燕 插数元四标》鲜数 启序集游山前 法列解元志则、学 蒙）”湖（后 ）求法术，是日名）》。莫海今） ．和）”其中本著。（朱若二北， ）、（中国数，《 世、十京字 与“多最宋学曾算 杰祖余附汉 “垛元杰元的流术）数颐年近卿 招积高出数发传启和学：”）， ，， 1300
方率深算的沈的中（年《《《九数于和 程、的术研括构介 ）田乘日章学苏数杨 、互顺》究隙造绍 、亩除用算书杭学辉 勾换序 。积方了年《比通算法共一教， 股、， 杨术法各）续类变法》五带育中 等二重个辉 ，种。古乘本》十种，家国 九衰新题在后同形他摘除末二二二其。南 类分分目纂，时式在奇算》卷卷十著在宋 、为按类关垛的《算法三（（一作 时 卷甚世期 叠乘解 于积纵续法》卷 。多纪杰 积除题中高术横古》二（ 、、方，阶 图摘二卷 年年著。中出 盈分法将等是 奇卷（ ））有他叶的 不率由《差杨及算 《著活数 年、、 浅九级辉有 足、 详名动学 ） 入章数继关法 、合 解的 家 》 、 1275 " " 246 " "
从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法 的结果。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切 线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等。从16世纪中开始的100多年间， 许多大数学家都致力于获得解决这些问题的特殊算法。牛顿与莱布尼兹的功绩是 在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它 们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严 格的，都没有完整的演绎推导。牛顿的流数术在逻辑上的瑕疵更是众所周知。对 当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明。这种倾向 一直延续到18世纪。18世纪的数学家也往往不管微积分基础的困难而大胆前进。 如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是在很 长时期内缺乏严格的证明。正如冯· 诺伊曼指出的那样：没有一个数学家会把这 一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认为第一流的。并 且反过来，如果当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认新算法的 合理性，那就不会有今天的微积分和整个分析大厦了。 现在再来看一看更早的解析几何的诞生。通常认为，笛卡儿发明解析几何的基本 思想，是用代数方法来解几何问题。这同欧氏演绎方法已经大相径庭了。而事实 上如果我们去阅读笛卡儿的原著，就会发现贯穿于其中的彻底的算法精神。《几 何学》开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语，以便使 自己变得更加聪明”。众所周知，笛卡儿的《几何学》是他的哲学著作《方法论》 的附录。笛卡儿在他另一部生前未正式发表的哲学著作《指导思维的法则》(简 称《法则》)中曾强烈批判了传统的主要是希腊的研究方法，认为古希腊人的演 绎推理只能用来证明已经知道的事物，“却不能帮助我们发现未知的事情”。因 此他提出“需要一种发现真理的方法”，并称之为“通用数学”(mathesis universakis)。笛卡儿在《法则》中描述了这种通用数学的蓝图，他提出的大胆 计划，概而言之就是要将一切科学问题转化为求解代数方程的数学问题：
"( 18 81 1202--1261 1247
----“
1261
元 《尝 “ 现 元 圆 年元 州 州号 李 为立 代 术 海 ，世 被 （敬 术 益试 某天 代 列 镜 便祖 蒙 今斋 冶 的 古。 某元 数 方 》 辞忽 古 河， 。 演李 “一 中 程 ， 官必 军 南金 段冶 ，为 的 的 其 回烈 所 禹代 》还 可某 列 方 主 乡聘 破 县真 （有 以某 方 法 要 。为 ， ）定 另 说” 程 。 目 翰 遂 知栾 一 是， 法 “ 的 林 隐 事城 ， ）步 符 也数 号相 相 天 是 年学 居 ，人 原 是学 代当 类 元 说 撰士 治 ， 名 讲著 数于 似 术 明 成， 学 曾 李 解作 的“ ， ” 用 《仅 ， 年任 治 设 与 天 测一 被 钧钧 ， 天
数学在中国历史久矣。在殷墟出 土的甲骨文中有一些是记录数字的 文字，包括从一至十，以及百、千、 万，最大的数字为三万；司马迁的 史记提到大禹治水使用了规、矩、 准、绳等作图和测量工具，而且知 道“勾三股四弦五”；据说《易经》 还包含组合数学与二进制思想。 2002年在湖南发掘的秦代古墓中， 考古人员发现了距今大约2200多年 的九九乘法表，与现代小学生使用 的乘法口诀“小九九”十分相似。 算筹是中国古代的计算工具，它 在春秋时期已经很普遍；使用算筹 进行计算称为筹算。中国古代数学 的最大特点是建立在筹算基础之上， 这与西方及阿拉伯数学是明显不同 的。
( a>0,A>0)
" "
中国古代数学成就
• 中国是世界上最早采用了 • 在计算工具方面，殷商时 十进位制的国家，距今 就发明了“算筹”，算筹 4000年左右的陕西、山东、 是圆形小竹棍，以后有了 上海的出土文物中除表示 骨制、铁制的。以算筹表 个位的数字外，已经有10、 示数目，有纵、横两种形 20、30这样的记号，比古 式，如“2”可表示为“=” 埃及早1000多年。 或“Ⅱ”。 • 殷商时已经有了四则运算， • 勾股定理相传是在商代由 春秋战国时正整数乘法口 商高发现，比毕达哥拉斯 早500多年。 诀“九九歌”已形成，从 此“九九歌”成为普及数 • 公元前1世纪的《周髀算 学知识的基础之一，一直 经》和东汉时期的《九章 延续至今。 算术》是最著名的中国古 代数学著作。