2014潍坊市高三一模理科数学试题
潍坊实验中学2014届高三12月考数学(理)试题(含答案)
高三第二次过关考试理 科 数 学第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}{}====Q P ，Q P ，b a Q a og P 则若0,,1,32 A. {}0,3B. {}103，，C. {}203，，D. {}2103，，，2. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为 A.13B.12C.16D.13.“=2πθ”是“曲线()sin y x θ=+关于y 轴对称”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.在等差数列{}()()135792354n a a a a a a ++++=中，，则此数列前10项的和10S = A.45B.60C.75D.905. 设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=，若a b ⊥，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 A.13-B.13C.3-D.36. 知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且等于则角B b a A ,1,3,3===πA.2π B.6π C.65πD. 6π或65π7. 直线022=+-y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点和一个顶点，则椭圆的离心率为A.55B.21 C.552 D.32 8.若实数11.ea dx x =⎰则函数()sin cos f x a x x =+的图象的一条对称轴方程为A.0x =B.34x π=-C.4π-D.54x π=-9. 函数sin xy x=，(,0)(0,)x ππ∈-的图象可能是下列图象中的10. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，则11++=x y s 的取值范围是A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21C. []2,1D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2111. 已知函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A ．32- B ．62- C ．3 D ．3-12已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1),1,(),,(N n n n b a a c n n n n ∈+==+。
2014年山东省潍坊一中高考数学模拟试卷(23)
2014年山东省潍坊一中高考数学模拟试卷（23）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若全集为实数集R，集合A={x|（2x-1）＞0}，则∁R A=（）A.，B.（1，+ ）C.，，D. ，，【答案】D【解析】解：由集合A中的对数不等式＞，解得：＜x＜1，∴集合A=（，1），又全集为R，则C R A= ，，．故选D．求出集合A中对数不等式的解集，确定出集合A，根据全集为R，找出不属于集合A的部分，即可得到集合A的补集．此题属于以对数不等式的解法为平台，考查了补集的运算，是高考中常考的基本题型．同时在求补集时注意全集的范围．2.设随机变量X～N（3，1），若P（X＞4）=p，则P（2＜X＜4）=（）A. B.l-p C.l-2p D.【答案】C【解析】解：∵随机变量X～N（3，1），观察图得，P（2＜X＜4）=1-2P（X＞4）=1-2p．故选C．根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由P（X＞4）=p的概率可求出P（2＜X＜4）．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．3.在△ABC中，A=，BC=，则“AC=”是“B=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解；由正弦定理可得=若B=，则，即AC=，若AC=，则，即sin B=，则B=或，∴“AC=”是“B=”必要不充分条件，故选：B根据正弦定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，比较基础．4.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的边长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．5.设函数＞，＜＜的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A.f（x）的图象过点（0，）B.f（x）在[，]上是减函数C.f（x）的一个对称中心是（，0）D.将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象【答案】C【解析】解：因为函数的周期为π，所以ω=2，又函数图象关于直线x=对称，所以由＞，＜＜，可知2×+φ=kπ+，φ=kπ，＜＜，所以k=1时φ=．函数的解析式为：．当x=0时f（0）=，所以A不正确．当＜＜，，，函数不是单调减函数，B不正确；当x=时f（x）=0．函数的一个对称中心是（，0）正确；f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin（ωx+φ-ωφ）的图象，不是函数y=3sinωx的图象，D不正确；故选C．由题意通过周期与对称轴，分别求出ω，与φ，推出函数的解析式，然后逐个验证选项，判断正误即可．本题考查三角函数的解析式的求法，函数的基本性质的应用，考查计算能力．6.双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，则的最小值为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】解：∵双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，∴∴∴b2=3a2∴==∵a≥1∴在[1，+ ）上单调增∴≥故选A．根据双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，可得a，b的关系，代入化简，利用单调性，即可求得的最小值．本题考查双曲线的几何性质，考查函数的单调性，正确运用双曲线的几何性质是关键．7.在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形但不是等边三角形【答案】A【解析】解：∵=-，=-，∴c+a+b=c-a+b（-）=即c+b-（a+b）=，∵P是BC边中点，∴=（+），∴c+b-（a+b）（+）=，∴c-（a+b）=0且b-（a+b）=0，∴a=b=c．将c+a+b=转化为以与为基底的关系，即可得到答案．本题考查三角形的形状判断，突出考查向量的运算，考查化归思想与分析能力，属于中档题．8.已知圆（x-a）2+（y-b）2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点，且与直线3x+4y+2=0相切，则该圆的方程为（）A. B.C.（x-1）2+y2=1D.x2+（y-1）2=1【答案】C【解析】解：由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），即为圆心坐标∵圆与直线3x+4y+2=0相切，∴∴圆的方程为（x-1）2+y2=1故选：C．抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），即为圆心坐标，利用圆与直线3x+4y+2=0相切，可求半径，即可得到圆的方程．本题考查圆与抛物线的综合，考查直线与圆相切，解题的关键是确定圆的圆心与半径．9.已知函数f（x）=．下列命题：①函数f（x）的图象关于原点对称；②函数f（x）是周期函数；③当x=时，函数f（x）取最大值；④函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点．其中正确命题的序号是（）A.①③B.②③C.①④D.②④【答案】C【解析】解：函数定义域为R，且f（-x）=-f（x），即函数为奇函数，故①正确；y=sinx是周期函数，而y=x2+1不是周期函数，故f（x）不是周期函数，即②错误；，，故不是最值，即③错误；因为，当x＞0时，＜，＞，故＜，f（x）＜0；当x＜0时，＞，＜，故＞，f（x）＞0．即函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点，④正确．故选：C．研究函数相应性质，逐一判断．本题考查了函数的奇偶性、周期性、最值与图象问题，属中档题，须逐一研究之．10.设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A.（-，-2]B.[-1，0]C.（- ，-2]D.（-，+ ）【答案】A【解析】解：∵f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）-g（x）=x2-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，故有＜，即＜，解得-＜m≤-2，故选A．由题意可得h（x）=f（x）-g（x）=x2-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，故有＜，由此求得m的取值范围．本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为______ ．【答案】16【解析】解：∵函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，∴f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，即[1-（-3）2][（-3）2+a•（-3）+b]=0且[1-（-5）2][（-5）2+a•（-5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1-x2）（x2+8x+15）=-x4-8x3-14x2+8x+15，求导数，得f （x）=-4x3-24x2-28x+8，令f （x）=0，得x1=-2-，x2=-2，x3=-2+，当x∈（- ，-2-）时，f （x）＞0；当x∈（-2-，-2）时，f （x）＜0；当x∈（-2，-2+）时，f （x）＞0；当x∈（-2+，+ ）时，f （x）＜0∴f（x）在区间（- ，-2-）、（-2，-2+）上是增函数，在区间（-2-，-2）、（-2+，+ ）上是减函数．又∵f（-2-）=f（-2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．由题意得f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=-x4-8x3-14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（- ，结合f（-2-）=f（-2+）=16，即可得到f（x）的最大值．本题给出多项式函数的图象关于x=-2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．12.设直线y=x+m与圆x2+y2=16交于不同的两点M，N，且||≥|+|，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是______ ．【答案】-2≤m≤2【解析】解：设MN的中点为A，则OA⊥MN，并且2，∵||≥|+|，∴||≥2||，即为2≥2||，解得||≤2，∴O到直线MN的距离≤2，解得-2≤m≤2．故答案为：-2≤m≤2．设MN的中点为A，则2，利用||≥|+|，可得||≥2||，从而可得||≤2，利用点到直线的距离公式，可得，即可求出实数m的取值范围．本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离问题，关键是通过训练的运算得到m的不等式解之．13.若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+2cos2α= ______ ．【答案】-2【解析】解：∵P（cosα，sinα）在y=-2x上，∴sinα=-2cosα，即tanα=-2．∴sin2α+2cos2α=+2•===-2．故答案为：-2把点P代入直线方程求得tanα的值，进而利用万能公式对sin2α+2cos2α化简整理后，把tanα的值代入即可．本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，万能公式的应用．要熟练记忆同角三角函数中的平方关系，倒数关系及商数关系等．14.记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是______ ．【答案】【解析】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（-1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15.在实数集R中定义一种运算“△”，且对任意a，b∈R，具有性质：①a△b=b△a；②a△0=a；③（a△b）△c=c△（a•b）+（a△c）+（b△c）+c，则函数的最小值为______ ．【答案】3【解析】解：由性质知：a△b=（a△b）△0=0△（ab）+（a△0）+（b△0）+c×0=ab+a+b依照上面的计算求得f（x）=（|x|△）△0=0△（|x|•）+（|x|△0）+（△0）+1×0=1+|x|+≥3，故答案为：3．准确理解运算“△”的性质：①满足交换律，②a△0=a；③，（a△b）△c=c△（ab）+（a△c）+（b△c）+c，故有：a△b=（a△b）△0=0△（ab）+（a△0）+（b△0）+1×0；代入可得答案．由3个条件可得：a△b=（a△b）△0=0△（ab）+（a△0）+（b△0）+c×0=ab+a+b 是解题的关键，是解题的突破口，同时考查了运算能力．三、解答题(本大题共4小题，共48.0分)16.已知函数f（x）=sin（x-）+cos（x-），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【答案】解：（1）∵f（x）=sinx-cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=．又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1-cosα=．（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1-cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．【解析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1-cosα的值．（2）由不等式可得sin（x+）≥，解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x的取值集合．本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，解三角不等式，正弦函数的图象及性质，属于中档题．17.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．【答案】解：（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：=（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）=36，众数为33．（2分）（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则当a=34时，X=136元，当a＞35时，X=35×4+（a-35）×7元，∴X的可能取值为136，147，154，189，203，（4分）P（X=136）=，P（X=147）=，P（X=154）=，P（X=189）=，P（X=203）=，X的分布列为：（9分）=元．（11分）（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：甲公司被抽取员工该月收入=36×4.5×30=4860元，乙公司被抽取员工该月收入=165.5×30=4965元．（13分）【解析】（Ⅰ）由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数．（Ⅱ）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．18.如图1，在R t△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所高中数学试卷第11页，共13页示．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A-DC-B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得EM ∥平面ADC ？若存在，请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ， 又在△ABD 中，AE ⊥BD 于E ，AE ⊂平面ABD ∴AE ⊥平面BCD ．（3分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥EF ． 由题意知EF ⊥BD ，又AE ⊥BD ．如图，以E 为坐标原点，分别以EF ，ED ，EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E-xyz ，（4分） 不妨设AB=BD=DC=AD=2，则BE=ED=1． 由图1条件计算得， ， ，EF=，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ．∵AE ⊥平面BCD ，∴平面DCB 的法向量为=（0，0， ）．（6分） 设平面ADC 的法向量为 =（x ，y ，z ）， 则，即令z =1，得 =（-1， ，1）．（8分） ∴cos ＜ ，＞= =，∴二面角A-DC-B 的余弦值为．（9分）（Ⅲ）解：设 ，其中λ∈[0，1]． ∵， ， ， ∴， ， ，其中λ∈[0，1]，（10分）∴，，，（11分）由，即，（12分）解得，，（13分）∴在线段AF上存在点M，使平面，且．（14分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出AE⊥BD于E，由此能证明AE⊥平面BCD．（Ⅱ）以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．（Ⅲ）设，由已知条件推导出，由此能求出在线段AF 上存在点M，使平面，且．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.设函数f n（x）=-1+x+++…+（x∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[，1]，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n-x n+p＜．【答案】（1）对每个n∈N+，当x＞0时，由函数f n（x）=-1+x+，），证明：可得f （x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+ ）上是增函数．由于f1（x1）=0，当n≥2时，f n（1）=++…+＞0，即f n（1）＞0．又f n（）=-1++[+++…+]≤-+•=-+×=-•＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x n，，满足f n（x n）=0．（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}，当x＞0时，∵f n+1（x）=f n（x）+＞f n（x），高中数学试卷第12页，共13页∴f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0．由f n+1（x）在（0，+ ）上单调递增，可得x n+1＜x n，即x n-x n+1＞0，故数列{x n}为减数列，即对任意的n、p∈N+，x n-x n+p＞0．由于f n（x n）=-1+x n+++…+=0①，f n+p（x n+p）=-1+x n+p+++…++[++…+]②，用①减去②并移项，利用0＜x n+p≤1，可得x n-x n+p=+≤≤＜=＜．综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n-x n+p＜．【解析】（1）由题意可得f （x）＞0，函数f（x）在（0，+ ）上是增函数．求得f n（1）＞0，f n（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．（2）由题意可得f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0，由f n+1（x）在（0，+ ）上单调递增，可得x n+1＜x n，故x n-x n+p＞0．用f n（x）的解析式减去f n+p（x n+p）的解析式，变形可得x n-x n+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立．本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．高中数学试卷第13页，共13页。
山东省潍坊市2014届高三考点回扣即高考模拟训练(四)数学(理)试卷
第I 卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题．每小题5分。
共50分．把正确答案涂在答题卡上.1.已知集合{}{}(){}*2,4124,,,,log x A B C x y x A y B y N ===∈∈∈，，，且，则C 元素个数是A.2B.3C.4D.5 2.已知()():230p x a x x p q -<4;-->⌝⌝，若是的充分不必要条件，则实数a 的取值范围A. 16a a <->或B. 16a a <-≥或C. 16a -≤≤D. 16a -<<3.已知向量()()cos ,2,sin ,1//tan 4a b a b πααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，且，则等于A.3B. 3-C. 13D. 13- 4.执行右图的程序框图，任意输入一次()()0101x x y y ≤≤≤≤与，则能输出数对(),x y 的概率为 A. 14B.13 C. 23 D. 345.下列说法正确的个数是①“在ABC ∆中，若sin sin A B >>，则A B ”的逆命题是真命题；②“1m =-”是“直线()2110mx m y +-+=和直线320x my ++=垂直”的充要条件；③“三个数,,a b c 成等比数列”是“b =④命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“33000,10x R x x ∃∈-+>”A.1B.2C.3D.46.已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量()()*1,,,1,n n n n c a a b n n n N +==+∈，则下列命题中是真命题的是A.若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B.若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列C.若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D.若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列7.已知非零向量AB AC与满足102AB AC AB AC BC AB AC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅=⋅= ⎪⎝⎭，且，则ABC ∆为 A.等腰非等边三角形 B.等边三角形C.三边均不相等的三角形D.直角三角形 8.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为(),,0,1c a b c ∈⎡⎤⎣⎦，，已知他投篮一次得分的期望是2，则213a b+的最小值为 A. 323 B. 283 C. 143 D. 1639.设不等式组4,010x y x x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为 D.若圆()()()222:110C x y r r +++=>经过区域D 上的点，则r的取值范围是A. ⎡⎣B.⎡⎣ C. (0, D. ( 10.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∈，都有()()[]22,2,0f x f x x -=+∈-且当时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x xa -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是A. ()1,2B. ()2,+∞C. (D. )2 第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡相应的位置上.11.复数2a i i+-在复平面内所对应的点在实轴上，那么实数a =___________.12.若()5224100125321x a a x a x a x a +=+++⋅⋅⋅+，则的值为____________.13.函数()tan 0y x y a ωω=>=与直线相交于A ，B 两点，且AB 最小值为π，则函数()cos f x x x ωω=-的单调增区间是___________.14.如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点.若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是_________.15.关于函数()()21lg 0x f x x x+=≠，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当()0x f x >时，是增函数；当()0x f x <时，是减函数；③()f x 的最小值是lg 2；④()f x 在区间()()1,02,-+∞、上是增函数；⑤()f x 无最大值，也无最小值.其中所有正确结论的序号是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 的对边分别为2226cos ,sin 2sin sin a b c a b ab C C A B +==、、，且.（I ）求角C 的值；（II ）设函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，且()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围.17.（本小题满分12分）李先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有12L L 、两条路线（如图），1L 路线上有123A A A 、、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；2L 路线上有12B B 、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为3345，.（I ）若走1L 路线，求最多遇到1次红灯的概率；（II ）若走2L 路线，求遇到红灯次数的X 的数学期望；（III ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.18.（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD PA -⊥中，面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点.（I ）求证：BD FG ⊥；（II ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由；（III ）当二面角B PC D --的大小为23π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为111,44a q ==公比的等比数列，设()*1423log n n b a n N +=∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（I ）求数列{}n c 的前n 项和n S ；（II ）若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围. 20.（本小题满分12分）以椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的中心O 为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C 的左顶点为P ，左焦点为F ，上顶点为Q ，且满足2,OFQ PQ S OPQ S ∆∆==. （I ）求椭圆C 及其“准圆”的方程；（II ）若椭圆C 的“准圆”的一个弦ED （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，试证明：当0OM ON ⋅=时，试问弦ED 的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()()()211,ln .f x a x x g x x =-+-=（I ）若()()()()1,0a F x g x f x ==-+∞求在，上的最大值； （II ）证明：对任意的正整数n ，不等式()23412ln 149n n n ++++⋅⋅⋅+>+都成立； （III ）是否存在实数()0a a >，使得方程()()()21141,g x f x a e x e ⎛⎫'=+-- ⎪⎝⎭在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.。
山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试理科数学Word版含答案
山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试理科数学Word版含答案高三数学试题（理科）注意事项：1．本试卷分4页，本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上．3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．4．第Ⅱ卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题．5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题。
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一个符合题目要求的选项．）1．设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：x∈Z ，2x∈A,则pA．x∈Z ，2x A C．x∈Z ，2x∈AB．x Z ，2x∈A D．x∈Z ，2x A2．设集合A={1,2,3}，B={4,5}，C={x|x=b a,a A,b B}，则C 中元素的个数是A．3B．4C．5D．63．已知幂函数y f(x)的图像过点（A．21，），则log2f(2)的值为22D．112B．－1C．－1 24．在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若A．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形|x|cosAb，则△ABC为cosBaB．直角三角形D．等腰直角三角形5．若当x∈R时，函数f(x) a(a 0且a 1）满足f(x)≤1，则函数y loga(x 1)的图像大致为6．已知110，给出下列四个结论：①a b ②a b ab ③|a| |b| ab④ab b2 其中正确结论的序号是A．①②B．②④C．②③D．③④7．等差数列{an}的前20项和为300，则a4+a6+a8+a13+a15+a17等于A．60B．80 C．90 D．1202x a,x 08．已知函数f(x) （a R），若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值2x 1,x 0范围是A．( , 1)B．( ,1]C．[ 1,0)*D．(0,1]9．已知数列{an}的前n项和为sn，且sn+an=2n（n∈N），则下列数列中一定是等比数列的是A．{an}B．{an－1}C．{an－2}D．{an+2}10．已知函数f(x) sin( x3)（0）的最小正周期为，将函数y f(x)的图像向5 5D．126右平移m（m0）个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则m的最小值为A．62B．3C．11．设函数f(x) x xsinx，对任意x1,x2 ( , )，若f(x1) f(x2)，则下列式子成立的是A．x1 x222B．x1 x2 C．x1 |x2|22D．|x1| |x2|12．不等式2x axy y≤0对于任意x [1,2]及y [1,3]恒成立，则实数a的取值范围是A．a≤22B．a≥22C．a≥113D．a≥9 2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．213t2dt 1，则sin cos .421x15．已知一元二次不等式f(x) 0的解集为{x| x 2}，则f(2) 0的解集为。
山东省潍坊市2014届高三数学考点回扣即模拟训练试题 理(四)
山东省潍坊市2014届高三数学考点回扣即模拟训练试题 理〔四〕第I 卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题．每一小题5分。
共50分．把正确答案涂在答题卡上. 1.集合{}{}(){}*2,4124,,,,logxA B C x y x A y B y N ===∈∈∈，，，且，如此C 元素个数是A.2B.3C.4D.52.()():230p x a x x p q -<4;-->⌝⌝，若是的充分不必要条件，如此实数a 的取值范围 A.16a a <->或 B.16a a <-≥或 C.16a -≤≤ D.16a -<<3.向量()()cos ,2,sin ,1//tan 4a b a b πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，且，则等于 A.3B.3-C.13D.13- 4.执行右图的程序框图，任意输入一次()()0101x x y y ≤≤≤≤与，如此能输出数对(),x y 的概率为A.14B.13 C.23D.345.如下说法正确的个数是①“在ABC ∆中，假设sin sin A B >>，则A B 〞的逆命题是真命题；②“1m =-〞是“直线()2110mx m y +-+=和直线320x my ++=垂直〞的充要条件； ③“三个数,,a b c 成等比数列〞是“b ac =〞的既不充分也不必要条件；④命题“32,10x R x x ∀∈-+≤〞的否认是“33000,10x R x x ∃∈-+>〞A.1B.2C.3D.46.各项均不为零的数列{}n a ，定义向量()()*1,,,1,n n n n c a a b n n n N +==+∈，如此如下命题中是真命题的是A.假设对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，如此数列{}n a 是等差数列 B.假设对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，如此数列{}n a 是等差数列C.假设对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，如此数列{}n a 是等差数列 D.假设对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，如此数列{}n a 是等比数列7.非零向量AB AC 与满足102AB AC AB AC BC AB AC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅=⋅= ⎪⎝⎭，且，如此ABC ∆为A.等腰非等边三角形B.等边三角形C.三边均不相等的三角形D.直角三角形8.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为(),,0,1c a b c ∈⎡⎤⎣⎦，，他投篮一次得分的期望是2，如此213a b+的最小值为 A.323 B.283 C.143D.1639.设不等式组4,010x y x x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D.假设圆()()()222:110C xy r r +++=>经过区域D 上的点，如此r 的取值范围是A.⎡⎣B.⎡⎣C.(0, D. (10.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∈，都有()()[]22,2,0f x f x x -=+∈-且当时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a-+=>恰有3个不同的实数根，如此a 的取值范围是 A.()1,2 B.()2,+∞ C.( D.)2第II 卷〔非选择题，共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每一小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡相应的位置上. 11.复数2a ii+-在复平面内所对应的点在实轴上，那么实数a =___________. 12.假设()5224100125321x a a x a x a x a +=+++⋅⋅⋅+，则的值为____________.13.函数()tan 0y x y a ωω=>=与直线相交于A ，B 两点，且AB 最小值为π，如此函数()3sin cos f x x x ωω=-的单调增区间是___________.14.如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点.假设四边形12AF BF 为矩形，如此2C 的离心率是_________.15.关于函数()()21lg 0x f x x x+=≠，有如下命题：①其图象关于y 轴对称；②当()0x f x >时，是增函数；当()0x f x <时，是减函数； ③()f x 的最小值是lg 2；④()f x 在区间()()1,02,-+∞、上是增函数； ⑤()f x 无最大值，也无最小值.其中所有正确结论的序号是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.〔本小题总分为12分〕锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 的对边分别为2226cos ,sin 2sin sin a b c a b ab C C A B +==、、，且. 〔I 〕求角C 的值；〔II 〕设函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，且()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围.17.〔本小题总分为12分〕李先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有12L L 、两条路线〔如图〕，1L 路线上有123A A A 、、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；2L 路线上有12B B 、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为3345，.〔I 〕假设走1L 路线，求最多遇到1次红灯的概率； 〔II 〕假设走2L 路线，求遇到红灯次数的X 的数学期望；〔III 〕按照“平均遇到红灯次数最少〞的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.18.〔本小题总分为12分〕如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD PA -⊥中，面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点.〔I 〕求证：BD FG ⊥；〔II 〕确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由； 〔III 〕当二面角B PC D --的大小为23π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值. 19.〔本小题总分为12分〕 数列{}n a 是首项为111,44a q ==公比的等比数列，设()*1423log n n b a n N +=∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.〔I 〕求数列{}n c 的前n 项和n S ； 〔II 〕假设2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围. 20.〔本小题总分为12分〕以椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的中心O .设椭圆C 的左顶点为P ，左焦点为F ，上顶点为Q ，且满足2,OFQ PQ S OPQ ∆∆==. 〔I 〕求椭圆C 与其“准圆〞的方程；〔II 〕假设椭圆C 的“准圆〞的一个弦ED 〔不与坐标轴垂直〕与椭圆C 交于M 、N 两点，试证明：当0OM ON ⋅=时，试问弦ED 的长是否为定值，假设是，求出该定值；假设不是，请说明理由.21.〔本小题总分为12分〕函数()()()211,ln .f x a x x g x x =-+-=〔I 〕假设()()()()1,0a F x g x f x ==-+∞求在，上的最大值； 〔II 〕证明：对任意的正整数n ，不等式()23412ln 149n n n++++⋅⋅⋅+>+都成立； 〔III 〕是否存在实数()0a a >，使得方程()()()21141,g x f x a e x e ⎛⎫'=+-- ⎪⎝⎭在区间内有且只有两个不相等的实数根？假设存在，请求出a 的取值范围；假设不存在，请说明理由.。
2014年山东省潍坊一中高考数学模拟试卷(3)
2014年山东省潍坊一中高考数学模拟试卷（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合A=，，，，，A∩B=B，则m=（）A.0或1B.0或3C.1或3D.0或1或3【答案】B【解析】解：∵A={1，3，}，B={1，m}，且A∩B=B，∴m=3或m=，解得：m=0或m=1，当m=1时，A={1，3，1}，不合题意，舍去；当m=0时，A={0，1，3}，B={1，0}，满足A∩B=B，综上，m=0或3．故选：B．根据A，B，以及两集合的交集为B，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.下列命题中，真命题是（）A.命题“若p，则q．”的否命题是“若p，则￢q．”B.命题p：∃x∈R，使得x2+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+1≥0C.已知命题p、q，若“p∨q”为假命题，则命题p与q一真一假D.a+b=0的充要条件是=-1【答案】B【解析】解：对于A：“若p，则q．”的否命题是“若￢p，则￢q．”故A假；对于B：因为量词的改变，结论的否定都符合题意，故B正确；对于C：或命题为假时，需两个命题都为假才行，故C假；对于D：当a=b=0时，推不出，故D假．故选B对于A：否命题是双否，否条件且否结论；对于B：特称命题的否定，一是量词的改变，二是否结论；对于C：或命题为假，当且仅当p假，q假；对于D：只有互相推出，才能是充要条件．本题以命题的真假判断为载体，考查了特称命题的否定、否命题的写法、以及充要条件的判断方法，要在准确理解概念的基础解答本题．3.某校200名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．则成绩在[90，100]内的人数为（）A.20B.15C.10D.5【答案】C【解析】解：根据频率分布直方图，得；成绩在[90，100]内的频率是（1-0.02×10-0.03×10-0.04×10）=0.05；∴成绩在[90，100]内的人数为200×0.05=10．故选：C．根据题意，求出成绩在[90，100]内的频率，再求出对应的人数．进行解答，是基础本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率=频数样本容量题．4.函数f（x）=|log2（x+1）|的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：当x≥0时，f（x）=log2（x+1）图象为y=log2x的图象向左平移一个单位，当-＜x＜0，f（x）=-log2（x+1）图象为y=log2x图象向左平移一个单位，再沿x轴翻折，故只有A符合，故选：A．先去绝对值，需要分类讨论，在根据y=log2x的图象的平移和反转得到函数f（x）的图象．本题主要考查含有绝对值的对数函数的图象，利用了图象的平移和反转，属于基础题．5.一个几何体的三视图如图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A.12+B.36+C.18+D.6+【答案】A【解析】解：由三视图可知，该几何体是一全以俯视图为底面的锥体，∵几何体的左视图是一个等边三角形，故锥体的底面是一个边长为2的正方形和一个直径为2的半圆，故锥体的底面面积S=（2）2+π=12+，锥体的高h=3，故锥体的体积V==12+，故选：A由三视图可知，该几何体是一全以俯视图为底面的锥体，求出底面面积和高，代入锥体体积公式，进而可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．6.已知=（k，1），=（2，4），若k为满足||≤4的随机整数，则⊥的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵||≤4，∴≤4，∴k=±3，±2，±1，0；∵⊥，∴（k，1）•（2-k，3）=0，∴K2-2K-3=0，解得，K=3或K=-1；∴概率为．故选：B．由题意，可化出≤4，K2-2K-3=0，从而求概率即可．本题考查了概率的求法，同时考查了向量的应用，属于基础题．7.已知x，y满足，则z=x-2y的最大值是（）A.-5B.-2C.-1D.1【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为，由图可知，当直线过A（1，1）时，直线在y轴上的截距最小，z最大．最大值为z=1-2×1=-1．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8.已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cos B=，b=2，sin C=2sin A，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵sin C=2sin A，∴由正弦定理可得c=2a，又cos B=，b=2，由余弦定理可得22=a2+（2a）2-2a•2a×，解得a=1，∴c=2，又cos B=，∴sin B==，∴△ABC的面积S=acsin B=×=故选：B由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sin B，代入三角形的面积公式计算可得．本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题．9.已知函数f（x）=x3-12x+a，其中a≥16，则下列说法正确的是（）A.f（x）有且只有一个零点B.f（x）至少有两个零点C.f（x）最多有两个零点D.f（x）一定有三个零点【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=x3-12x+a，其中a≥16，∴f′（x）=3x2-12．在（-∞，-2）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；在（-2，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，故当x=-2时，函数取得极大值为f（-2）=16+a＞0，当x=2时，函数取得极小值为f（2）=a-16≥0，故f（x）最多有两个零点，如图所示：故选C．利用导数求得函数的单调区间，从而求得函数的极值，再根据极大值为正实数、且极小值大于或等于零，结合三次函数的图象特征，判断函数的零点个数．本题主要考查函数的零点的个数判断，利用导数研究函数的极值，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P1、P2、P3是抛物线C上的不同三点，且|FP1|、|FP2|、|FP3|成等差数列，公差d≠0，若点P2的横坐标为3，则线段P1P3的垂直平分线与x轴交点的横坐标是（）A.3B.5C.6D.不确定，与d的值有关【答案】B【解析】解：因为抛物线方程为y2=4x，所以F（1，0）是它的焦点坐标，点P2的横坐标为3，即|FP2|=4设P1（x1，y1），P3（x3，y3），则|FP1|=x1+1，|FP3|=x3+1，|FP1|+|FP3|=2|FP2|，所以x1+x3=2x2=6，直线P1P3的斜率k==，则线段P1P3的垂直平分线l的斜率k l=-则线段P1P3的垂直平分线l的方程为y-=-（x-3）直线l与x轴的交点为定点（5，0），故选：B．利用P1、P2、P3都在抛物线y2=4x上，抛物线的定义，求出线段P1P3的斜率，求出直线方程，通过y=0，推出直线与x轴的交点为一定点，即可求该定点的坐标．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a= ______ ．【答案】【解析】解：复数==，复数是纯虚数，∴．故答案为：．通过复数的乘除运算法则，化简复数为a+bi的形式，利用实部为0，虚部不为0，即可求出a的值．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．12.过点（2，3）且以y=±x为渐近线的双曲线方程是______ ．【答案】x2-=1【解析】解：∵双曲线的一条渐近线方程为y=±x，∴可设双曲线方程为3x2-y2=k，（k≠0）∵点（2，3）在双曲线上，代入双曲线方程，得12-9=k∴k=3．∴双曲线标准方程为3x2-y2=3．故答案为：x2-=1．双曲线的一条渐近线方程为y=±x，利用共渐近线的双曲线方程的表示形式可设双曲线方程为3x2-y2=k，（k≠0），再把点（2，3）代入求k即可．本题主要考查共渐近线的双曲线方程的表示形式，以及待定系数法求双曲线方程，属于双曲线性质的应用．13.设f（x）为定义在（-3，3）上的奇函数，当-3＜x＜0时，f（x）=log2（3+x），f（1）= ______ ．【答案】-1【解析】解：∵当-3＜x＜0时，f（x）=log2（3+x），∴f（-1）=log2（3-1）=1．∵f（x）为定义在（-3，3）上的奇函数，∴f（1）=-f（-1）=-1．故答案为：-1．利用奇函数的性质即可得出．本题考查了奇函数的性质，属于基础题．14.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为______ ．【答案】【解析】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：S n是否继续循环循环前01/第一圈sin2是第二圈sin+sin（2×）3是第三圈sin+sin（2×）+sin（3×）4是第四圈sin+sin（2×）+sin（3×）+sin（4×）5是…依次循环，S的值呈周期性变化：0，，，，，0，…周期为6，故第2013圈2014否故最后输出的S值为．故答案为：．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．15.如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且AB、CD均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看点D的仰角为α，看点C的俯角为β，已知α+β=45°，则BC的长度是______ m．【答案】18【解析】解：如图所示，作AN⊥CD于N，∵AB∥CD，AB=9，CD=15，∴DN=6，NC=9；设AN=x，则∠DAN=α，∠CAN=β，且∠CAD=α+β=45°；在R t△ANC和R t△AND中，∵tanα=，tanβ=，∴tan（α+β）==tan45°，即=1，∴+-1=0，整理，得x2-15x-54=0，解得x1=18，x2=-3（舍去）；∴BC的长度是18m．故答案为：18．画出图形，结合图形，作AN⊥CD于N，利用直角三角形，结合两角和的正切值，求出BC的长度．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了数学建模思想，方程思想以及两角和的正切公式的应用问题，是综合题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间．（2）若，为第二象限角，求的值．【答案】解：（1）化简函数式可得f（x）===+cos2x+1=2sin（2x+）+1，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）（2）由（1）可得=2sinα+1=，∴sinα=，∵α为第二象限角，∴cosα=-=，∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=cos2α-sin2α=，∴=cos2α-sin2α==【解析】（1）化简函数式可得f（x）=2sin（2x+）+1，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，解x的范围可得单调区间；（2）由（1）可得=2sinα+1=，可得sinα和cosα的值，由二倍角公式可得sin2α和cos2α，而=cos2α-sin2α，代入化简可得．本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及诱导公式和二倍角公式，属中档题．17.如图，在几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE∥BD，△ABC为边长等于2的正三角形，CD=2，BD=4，AE=2，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：平面ECD⊥平面ABC；（Ⅱ）证明：EM∥平面ABC．【答案】证明：（Ⅰ）在△BCD中，BC=2，CD=2，BD=4，∴BC2+CD2=BD2，∴BC⊥CD，∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴DC⊥平面ABC，∵DC⊂平面ECD，∴平面ECD⊥平面ABC；（Ⅱ）取BC中点F，连接FM．在△BCD中，CF=FB=MD，∴FM∥BD，FM=BD，∵AE=2，BD=4，AE∥BD，∴FM∥AE．FM=AE，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊂平面ABC，EM⊄平面ABC，∴EM∥平面ABC．【解析】（Ⅰ）证明BC⊥CD，利用平面ABC⊥平面BCD，可得DC⊥平面ABC，即可证明平面ECD⊥平面ABC；（Ⅱ）取BC中点F，连接FM，证明四边形AEMF为平行四边形，可得AF∥EM，即可证明：EM∥平面ABC．本题考查平面与平面垂直的判定，考查直线与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18.已知数列{a n}是一个公差大于零的等差数列，且a3a6=55，a2+a7=16，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=2b n-2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求{c n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d＞0），由a3a6=55，a2+a7=16，得，解得．∴a n=2n-1．由S n=2b n-2，当n=1时，b1=S1=2b1-2，b1=2．当n≥2时，b n=S n-S n-1=（2b n-2）-（2b n-1-2）=2b n-2b n-1，∴b n=2b n-1．∴{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴；（Ⅱ），①②①-②得，==．∴．【解析】（Ⅰ）设出等差数列的公差，由题意列方程组求解首项和公差，则等差数列的通项公式可求．直接由b n=S n-S n-1（n≥2）求等比数列的通项公式；（Ⅱ）把数列{a n}，{b n}的通项公式代入c n=，然后由错位相减法求其和．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．19.某质检机构检测某产品的质量是否合格，在甲乙两厂的匀速运行的自动包装传送带上每隔10分钟抽一包产品，称其质量（单位：克），分别记录抽查数据，获得质量数据茎叶图（如图）．（Ⅰ）该质检机构用哪种抽样方法抽取产品？根据样本数据，计算甲乙两工厂产品质量的均值与方差，并说明哪个工厂的质量相对稳定；（Ⅱ）若从甲厂6件样品中随机抽取两件，记它们的质量分别是a克，b克，求|a-b|≤3的概率．【答案】解：（Ⅰ）该质检机构采用系统抽样；==113，乙==113，甲=[（122-113）2+（114-113）2+（113-113）2+（111-113）2+（111-113）2+（107-113）甲2]=21，=（1+9+1+4+25+16）=乙∵甲＜乙，∴甲厂的质量相对稳定；（Ⅱ）从甲车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法，设A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过3克”，则A的基本事件有6种：（111，111），（111，113），（111，114），（111，113），（111，114），（113，114），故所求概率为P（A）==．【解析】（Ⅰ）根据茎叶图所给的两组数据，分别做出这两组数据的平均数，再作出这两组数据的方差，得到甲车间的产品的重量相对较稳定．（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型的概率，试验发生包含的事件数，共有15种结果，而满足条件的事件数通过列举得到，两个做比值得到概率．本题考查茎叶图，考查两组数据的平均数与方差，考查判定两组数据的稳定性，考查古典概型概率公式，考查利用列举法得到事件数，本题是一个综合题目．20.定义：若在[k，+∞）上为增函数，则称h（x）为“k次比增函数”，其中k∈N*，已知f（x）=x3+2ax2+ax，g（x）=e x-ax．（Ⅰ）若f（x）是“1次比增函数”，又是“2次比增函数”，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求函数g（x）在[m-1，m]（m＞0）上的最小值．【答案】解：（1）∵f（x）是“1次比增函数”，∴=x2+2ax+a在[1，+∞）上为增函数，∴-a≤1，∴a≥-1，∵f（x）是“2次比增函数”，则=x++2a在[2，+∞）为增函数，则（x++2a）′=1-≥0在[2，+∞）恒成立，∴a≤x2在[2，+∞）恒成立，∴a≤4，综上a的取值范围为[-1，4]．（2）当a=1时，函数g（x）=e x-xg′（x）=e x-1，由g′（x）＞0，得x＞0；由g′（x）＜0，得x＜0，∴g（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，①当m-1＜0＜m，即0＜m＜1时，g（x）在[m-1，0]上单调递减，在[0，m]上单调递增，∴g（x）min=g（0）=1，②当m-1≥0，即m≥0时，g（x）在[m-1，m]上单调递增，∴g（x）min=g（m-1）=e m-1-m+1．综上，当m-1＜0＜m，g（x）min=1，当m≥0时，∴g（x）min=g（m-1）=e m-1-m+1．【解析】（1）应用条件f（x）是“1次比增函数”，又是“2次比增函数”，得出函数的单调性，再用导数推理，（2）先探讨函数g（x）的单调性，再对m进行分类讨论．本题主要考查函数与导数的关系，且此题也是一个创新题，读懂题目中的概念是解题的关键．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆中心到直线x+y-b=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45°的直线l和椭圆C交于A，B两点，对于椭圆C上任一点M，若=λ+μ，求λμ的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵e==，∴c2=，∴b2=a2-c2=，∵椭圆中心到直线x+y-b=0的距离为．∴d==，∴b=5，b2=25，a2=4b2=100，∴椭圆的方程为+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（5，0），由题意可知AB方程为y=x-5，①椭圆的方程可化为x2+4y2=100，②将①代入②消去y得5x2-40x+200=0，③设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=8，x1x2=40，设M（x，y），由=λ+μ得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2）=（λx1+μx2，λy1+μy2）∴，又点M在椭圆上，∴x2+4y2=+4=λ2++2λμx1x2+4（++2λμy1y2）=λ2（+4）+μ2（+4）+2λμ（x1x2+4y1y2）=100，④又A，B在椭圆上，故有=100，=100，⑤而x1x2+4y1y2=x1x2+4（x1-5）（）=5x1x2-20（x1+x2）+300=5×40-20×8+300=20，⑥将⑤，⑥代入④可得λ2+μ2+=1，∵1=≥2λμ+=，∴λμ≤，当且仅当λ=μ时取“=”，则λμ的最大值为．【解析】（Ⅰ）利用椭圆的性质，求得a，b即可得出椭圆的方程；（Ⅱ）根据椭圆与直线的关系，联立方程组，结合方程根与系数的关系求解即可．本题主要考查椭圆的方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系及考查学生的运算求解能力，综合性强，属于难题．。
2014年山东省高考数学试卷真题及答案(理科)
2014年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i2．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）4．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y36．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．47．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．188．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，+∞）9．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．210．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为．12．（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE 的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．14．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为．15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．17．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．18．（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．21．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．2014年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2014•山东）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但==，故＞不成立．B．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立．C．当x=π，y=0时，满足x＞y，此时sinx=sinπ=0，siny=sin0=0，有sinx＞siny，但sinx＞siny不成立．D．∵函数y=x3为增函数，故当x＞y时，x3＞y3，恒成立，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．6．（5分）（2014•山东）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．4【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）（2014•山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，+∞）【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by （a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．10．（5分）（2014•山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2014•山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n 的值为3．【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3．故答案为：3．【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．12．（5分）（2014•山东）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=，再根据△ABC 的面积为AB•AC•sinA，计算求得结果．【解答】解：△ABC中，∵•=AB•AC•cosA=tanA，∴当A=时，有AB•AC•=，解得AB•AC=，△ABC的面积为AB•AC•sinA=××=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题．13．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．14．（5分）（2014•山东）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．【解答】解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，==，所以T r+1令12﹣3r=3，∴r=3，，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．a2+b2的最小值为：2．故答案为：2．【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．15．（5分）（2014•山东）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2014•山东）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x 的范围，可得g（x）的增区间．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得．解得m=，n=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ，故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．17．（12分）（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，又M为AB的中点，∴AM=1．∴CD∥AM，CD=AM，∴AM C1D1，∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，∴C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴面D1C1M与ABC1D1共面，作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，∴CN=，在Rt△D1CN中，CD1=，CN=，∴D1N=∴cos∠D1CN===解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系则C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），∴=（1，0，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），则，∴=（0，2，1）．显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），cos＜，＞|===，显然二面角为锐角，∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为．【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．18．（12分）（2014•山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．【分析】（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=，回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1﹣）+（1﹣）×=+=．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6其中P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）=；P（ξ=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=2）=×=；P（ξ=3）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=4）=×+×=；P（ξ=6）=×=；故ξ的分布列为：ξ012346P故ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×+6×=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．19．（12分）（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，∴S n==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时，T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时，T n=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题．20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣k（﹣）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴e x﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=e x﹣kx，x∈（0，+∞）．∵g′（x）=e x﹣k=e x﹣e lnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）=e x﹣k＞0，y=g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．21．（14分）（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ）利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，A（3，），F（，0），，∴．∵△ADF为正三角形，∴．又∵，∴，∴p=2．∴C的方程为y2=4x．当D在焦点F的左侧时，．又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，∵△ADF为正三角形，∴3+=p﹣6，解得p=18，∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．∴C的方程为y2=4x．（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，∴D（x1+2，0），∴k AD=﹣．由直线l1∥l可设直线l1方程为，联立方程，消去x得①由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）．点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），即，∴，∴，∴，∴直线AE过定点（1，0）；（ⅱ）直线AB的方程为，即．联立方程，消去x得，∴，∴=，由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：=，∴△ABE的面积=，当且仅当y1=±2时等号成立，∴△ABE的面积最小值为16．【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题．。
2014年山东高考理科数学试卷(带详解)
2014年高考山东卷理科数学真题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1. 已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则( )A. B. C. D.【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数，结合共轭复数的特点，求出关于复数的代数运算.【难易程度】容易【参考答案】D【试题分析】因为与互为共轭复数，所以，所以，故选D.2.设集合则( )【测量目标】集合的基本运算（交集）.【考查方式】考查了集合的表示法（描述法），求集合的交集.【难易程度】容易【参考答案】C【试题分析】根据已知得，集合，，所以，故选C.3. 函数的定义域为( )【测量目标】函数的定义域.【考查方式】由函数表达式，直接求出函数定义域.【难易程度】容易【参考答案】C【试题分析】根据题意得，解得，故选C.4. 用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是( )A.方程没有实根B.方程至多有一个实根C.方程至多有两个实根D.方程恰好有两个实根【测量目标】命题的否定.【考查方式】给出一个命题，求出其否定命题.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】“方程至少有一个实根”等价于“方程有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程没有实根”．故选A.5. 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是( )A. B. C. D.【测量目标】函数值的大小的比较.【考查方式】给出不同类型的函数进行大小比较.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】因为，所以x＞y，所以sin x＞sin y，，都不一定正确，故选D.6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. B. C.2 D.4【测量目标】定积分.【考查方式】通过直线与曲线的交点，求利用积分求封闭图形的面积.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限的交点坐标是(2，8)，所以两者围成的封闭图形的面积为，故选D.7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16), [16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )第7题图A. B. C. D.【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】考查了根据频率分布直方图求解实际问题.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】因为第一组与第二组一共有20人，并且根据图像知第一组与第二组的人数比是，所以第一组有.又因为第一组与第三组的人数比是，所以第三组一共有.因为第三组中没有疗效的有6人，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12，故选C.8.已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )【测量目标】函数的图象与性质.【考查方式】画出函数图象，判断满足条件的未知系数的范围.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】作出函数f(x)的图像，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数，则函数f(x)，g(x)有两个交点，则，且，故选B.第8题图9.已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为( )A. B. C. D.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】已知不等式组和目标函数的最小值，结合图形及二次函数的图象与性质求目标函数中未知参数关系式的最值.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】画出约束条件表示的可行域(如图所示)，显然，当目标函数过点A(2，1)时，z取得最小值，即，所以，所以，构造函数，利用二次函数求最值，显然函数的最小值是，即a2＋b2的最小值为4，故选B.第9题图与的离心率之积为，则的渐10.已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，近线方程为( )A. B. C. D.【测量目标】椭圆与双曲线的简单几何性质.【考查方式】利用椭圆与双曲线的性质，将椭圆双曲线结合考查.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】椭圆的离心率，双曲线的离心率.由，解得，所以，所以双曲线的渐近线方程是，故选A.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上.11. 执行如图的程序框图，若输入的值为1，则输出的的值为.第11题图【测量目标】循环结构程序框图.【考查方式】程序框图与一元二次不等式相结合进行考察.【难易程度】容易【参考答案】3【试题分析】x＝1满足不等式，执行循环后，x＝2，n＝1；x＝2满足不等式，执行循环后，x＝3，n＝2；x＝3满足不等式，执行循环后，x＝4，n＝3；x＝4不满足不等式，结束循环，输出的n的值为3.12. 在中，已知，当时，的面积为.【测量目标】三角函数求三角形面积.【考查方式】已知一角和边与三角函数关系式求三角形面积.【难易程度】容易【参考答案】【试题分析】因为，且，所以，所以的面积.13. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则.【测量目标】三棱锥的体积.【考查方式】由三棱锥的边的关系得出体积之比.【难易程度】中等【参考答案】【试题分析】如图所示，由于D，E分别是边PB与PC的中点，所以.又因为三棱锥与三棱锥的高长度相等，所以.第13题图14. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为.【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式某项的系数，利用二项式展开式的求含有未知参数的关系式最值.【难易程度】中等【参考答案】2【试题分析】，令，得，所以，即，所以，所以，当且仅当，且时，等号成立．故的最小值是215已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是.【测量目标】函数概念的新定义.【考查方式】给出对称函数的定义，利用圆与直线的相切，求未知数的范围.【难易程度】中等【参考答案】【试题分析】g(x)的图象表示圆的一部分，即．当直线与半圆相切时，满足，根据圆心(0，0)到直线的距离是圆的半径求得，解得或(舍去)，要使恒成立，则，即实数b的取值范围是.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2014山东高考数学(理)真题及详细答案
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D 解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。