高中数学教案——等比数列 第二课时

课题：3.4 等比数列（二）
教学目的：
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.深刻理解等比中项概念.
3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学重点：等比中项的理解与应用
教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同
一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1
-n n
a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式:
)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n
3．｛n a ｝成等比数列⇔
n
n a a 1+=q （+
∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
二、讲解新课：
1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则
ab G ab G G
b
a G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2
=ab ,则
G
b
a G =，即a ,G ,
b 成等比数列∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2
=ab （a ·b ≠0）
2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？
由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 1
1 --⋅==k p p q a a q a a
221-+=⋅n m n m q a a a ，22
1-+=⋅k p k p q a a a
则k p n m a a a a =
3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
4．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数
列;当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列;
三、例题讲解
例1 已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，
求证：
3
,3
,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列 证明：由题设：b 2=ac 得：
2
2333)3
(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴
3
,3
,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列 例2 已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别为：
n n n
n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(21111211121111
2
11
1
1与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅
.)()(211
2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n
n n n n ==⋅⋅-++
它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列.
例3 (1) 已知{n a }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ,
求3a a +
(2) a ≠c,三数a, 1, c 成等差数列，2
2,1,c a 成等比数列，求
2
2c
a c
a ++ 解：(1) ∵{n a }是等比数列，
∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25, 又n a >0, ∴3a ＋5a ＝5;
(2) ∵a, 1, c 成等差数列, ∴ a ＋c ＝2,
又a 2, 1, c 2成等比数列, ∴a 2 c 2＝1, 有ac ＝1或ac ＝－1, 当ac ＝1时, 由a ＋c ＝2得a ＝1, c ＝1,与a ≠c 矛盾，
∴ ac ＝－1, 62)(2
2
2
=-+=+ac c a c a ∴
31
2
2=++c
a c a . 例4 已知无穷数列 ,10,10,10,105
15
25
15
-n ，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的
10
1
， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中
证：（1）51
5
2
5
11
101010
==---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2）
10110101015
45
15===-+-+n n n n a a ，即：10
1
+=n n a a （3）5
25
15
110
10
10
-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴≥+q p
∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1，
∴⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈--+51
n 5
21010
q p ，（第1-+q p 项） 例5 设d c b a ,,,均为非零实数，()
()022
2
2
2
2
=+++-+c b d c a b d b a ，
求证：c b a ,,成等比数列且公比为d
证一：关于d 的二次方程()
()022
2
2
2
2
=+++-+c b d c a b d b a 有实根，
∴()()0442
22
2≥+-+=∆b a c a b ，∴()
02
2≥--ac
b
则必有：02=-ac b ，即ac b =2
，∴c b a ,,成等比数列 设公比为q ，则aq b =，2
aq c =代入
(
)
(
)
024
2222
2
2
22=+++-+q a q a d aq a aq d q a a ∵(
)
012
2
≠+a q ，即022
2=+-q qd d ，即≠=q d 证二：∵()
()022
2
2
2
2
=+++-+c b d c a b d b a
∴(
)()
02222
22
22=+-++-c bcd d
b b
abd d a
∴()()02
2
=-+-c bd b ad ，∴b ad =，且c bd = ∵d c b a ,,,非零，∴d b
c
a b == 四、练习： 1．求
2
323-+与
2
323＋－的等差中项；
解：
21(2323-+＋2
323＋－)＝5; 2．求a 4
＋a 2
b 2
与b 4
＋a 2
b 2
的等比中项 解：±))((224224b a b b a a ++＝±ab(a 2＋b 2
). 五、小结 本节课学习了以下内容：
1．若a ，G ，b 成等比数列，则G ab G ,2
=叫做a 与b 的等经中项. 2．若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅
3．判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
六、课后作业：
1、在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a
解：∵109181a a a a =，∴205
100
110918===
∴a a a a 2、在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前七项之积 解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b =
∵5362712
4b b b b b b b === ，
∴前七项之积()21873
337
3
2
==⨯
3、在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，求8a ，
解：14582
54
542553
58-=-⨯=⋅
==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴)2(5482
-⨯=a
∴14588-=a 七、板书设计（略） 八、课后记：。