平面应力公式的进一步推导及应力状态分析

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平面问题中一点的应力状态

⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
x y 2 2 xy
2
σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。 2 ④最大剪应力所在平面与主 x y 1 2 平面相交45°，其值为 2
m ax
2
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
yx
A
y
x
x l l m p l m l l xy m xy x x x x y x l xy p xyl m m l y ym y xy m xy m l px m y xy l y
问题
§2－ 5
平面问题中一点的应力状态
空间问题有 6 个独立的应力分量，平面问题有 3 个不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即，可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
,xy 已知任一点P处坐标面上应力 σx, σy，
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p ( p ,p ), p ( σ , ). x y n n 求解：取出一个三角形微分体（包含 x 面，
小结：（1）斜面上的应力
p l m yx x x p m l y y x y
（2-3）（2-4）
2 2 l m 2 l m N x y x y （2-5） 2 2 l m ( ) ( l m ) （2-6） N y x x y

(仅供参考)平面应力状态分析-主应力主平面详细推导

平面应力状态分析--主应力主平面详细推导老和尚小方丈（storylee_dut@）大连理工大学+哈尔滨电机厂有限责任公司平面应力状态有一个主应力为0，全部应力分量假设位于一个平面，鉴于市场上材料力学教材关于平面应力状态分析公式推导不尽详细，在此进行详细推导，为广大力学人士提供参考，敬请批评指正。

任意斜截面上的应力公式为：ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx y x --++=（1）ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（2）式中，α为斜截面外法线n 与x 轴正向的夹角。

对于主平面方位的确定，根据主平面定义可知，主平面上的切应力为0，由（2）式得：02cos 2sin 2000=+-=ατασσταxy yx （3）即yx xyσστα--=22tan 0（4）方程（4）有两个解，主平面方位角0α与 900+α，说明两个主平面互为垂直关系。

将公式（3）的解回代公式（1），可得另外两个主应力，代数值较大的记为max σ，较小的记为min σ，则22max 22xy y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=（5）22min22xyy x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=（6）关于公式（3）的解诸多材力教材没有此部分推导，本文列如下：对于方程yx xyσστα--=22tan 0更改等效形式002cos 22sin ασσταyx xy--=（7）添加方程12cos 2sin 0202=+αα（8）联立（7）、（8）求得：2220222cos xy y x y x τσσσσα+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±=（9）222022sin xy y x xyτσστα+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（10）注意（9）、（10）公式正负号的对应，再将（9）、（10）代入公式（3）推得主应力计算公式（5）、（6），至此，详细推导完成！。

2平面问题的基本理论(平面应力与应变,受力状态,圣维兰原理)

当面积 AB 无限减小而趋于 P 点时，平面 AB 上的应力就是上述斜面上的应力。现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分量（ px ， py ），或沿法向和切向的分量（ σn ， τn），如图 2-4b所示。
用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：
cosn, x l， cosn, y m
c
0
，则有
F 0， F Mc 0
x
y
0
yx dy dy dx dx xy dy 1 ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 2 2 y 2 2
力矩方程化简后得到：
xy
1 xy 1 yx dx yx dy 2 x 2 y
x yx fx 0 y x xy y f 0 y x y
4.平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。 5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。 6.由于τxy =τyx，以后只作为一个独立未知函数处理。因此，2个独立的平衡微分方程（2-2）中含有 3个应力未知函数。

由式（2-4）及（2-5）就可以求得经过P点的任意斜面上的正应力 n 及切应力 n 。
3.然后，再求出主应力和应力主向
设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力，而该斜面称为在P点的一个应力主平面，该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主向。
（2）只在侧边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力和体力，且不沿厚度变化，体力 f x , f y , o 和面力 f x , f y , o ，只是x，y的函数，并构成平衡力系；

工程力学-应力状态与应力状态分析

8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。

（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位yx xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1xzyy Eσσμσε+-=)]([1yxzz Eσσμσε+-=Gzxzxτγ=Gyzyzτγ=，Gxyxyτγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。

”8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。

图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。

再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。

截取出的单元体如图8.1(d)所示。

(2)分析单元体各面上的应力:A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：zMyIσ=bIQSzz*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。

在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。

材料力学：第八章-应力应变状态分析

斜截面: // z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t －使微体沿顺时针旋转为正方位角 a －以 x 轴为始边、逆时针旋转为正
斜截面应力公式推导设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态

工程力学第13章应力状态分析

解：⑴ 求C 点所在截面的剪力、弯矩 F
FS 2 50kN MFl 25kNm
8 ⑵ 求C 点在横截面上的正应力、切应力
M y 2 5 1 0 3 6 0 0 1 0 3/4
CIz 2 0 0 6 0 0 3 1 0 1 2/1 21 .0 4 M P a
C 3 2 F b h S(14 h y 2 2)2 2 3 0 0 5 0 6 0 0 1 0 3 1 0 6(14 6 0 1 0 5 2 0 2 1 0 1 0 6 6)
63.7sin240o( 76.4)cos240o 2
10.7MPa
x 63.7MPa y 0 x76.4MPa
⑶ 求D 点的主应力和主方向及最大切应力
m m a in x x 2y (x 2y)2x 2
63.7 2
(63.7)2(76.4)2 2
114.6M P a
50.9M
Pa
1 1 1 4 . 6 M P a2 03 5 0 . 9 M P a
D63.7MPa D76.4MPa
⑵ 作出D点的应力状态图
x 63.7MPa y 0 x76.4MPa
120o
x 2 y x 2 yc o s2 xsin 2
6 3 .7 6 3 .7 c o s2 4 0 o ( 7 6 .4 ) sin 2 4 0 o 22
50.3M Pa
x 2ysin2xcos2
同理：平行于主应力σ2和σ3方向的任意斜面 II 和 III 上的正应力和切应力分别与σ2和σ3无关，可分别由应力圆 II 和 III 表
示。
三向应力状态中空间任意方向面上的正应力和切应力对应于应力圆I、II、 III所围阴影区域内某一点的坐标值。

(推荐)平面应力问题

l
yx
m yx l y
yx P xy
x
y A
fx px

x
为 l2、m2，则
y
B fy py
n
tan 2

cos(90 2 ) cos 2

m2 l2
2 x xy
(或 xy ) 2 y
22
应力主向的计算公式：
tan
1

x
(x

dx,
y)

x
(
x,
y)

x (x, x
y)
dx

1 2!

2 x (x,
x2
y)
(dx)2

1 n!

n x (
x
x,
n
y
)
(dx)n
10
略去二阶及二阶以上的微量后便得

x
(
x,
y)

x (x, x
y)
dx
同样 y 、 xy 、 yx 都一样处理，得到图示应力状
l x m yx l
m y l xy m
19
求解得：
m l
x yx
o
m yx
l y
y

2

(
x

y )

(
x
y

2 xy
)

0
yx y
x
P
A
xy
x B
px
n
n
py p
n
p x l x m yx

材料力学-7-应力状态分析

7.1 应力状态的基本概念
y
y
1 1 4
z
4
Mz
x
x
l
S FP
2
3
Mx
z
3
a
第7章应力状态分析
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
一、方向角与应力分量的正负号约定
x
正应力
x
x
拉为正
压为负
x
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
？
第7章应力状态分析 7.1 应力状态的基本概念
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法 7.4 应力圆及其应用——图解法
7.5 三向应力状态的特例分析
7.6 广义胡克定律
7.7 应变能密度
第7章应力状态分析
tan 2q p＝－ 2 τ
xy
x y
主平面（principal plane）：切应力q＝0的方向面，用 qp表示。主应力（principal stress）：主平面上的正应力。主方向（principal directions）：主平面法线方向，用方向角qp表示。
7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法
第7章应力状态分析
第7章应力状态分析
1
3
2
max
max
拉压、弯曲正应力扭转、弯曲切应力
这些强度问题的共同特点是：
1、危险截面上的危险点只承受正应力或切应力； 2、都是通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此为依据建立强度设计准则。复杂受力：危险截面上危险点同时承受正应力和切应力，或者危险点的其他面上同时承受正应力或切应力。 → 强度条件

应力与应力状态分析

应力与应力状态分析拉伸模量拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下：拉伸模量（㎏/c ㎡)=△f/△h(㎏/c ㎡)其中，△f 表示单位面积两点之间的力变化，△h 表示以上两点之间的应变化。

更具体地说，△h ＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L 表示拉伸长后的长度。

§4-1 几组基本术语与概念一、变形固体的基本假设1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。

根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。

2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。

3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。

根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。

二、应力的概念1、正应力的概念分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。

由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。

沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。

应力的常用单位有牛/米2 （2/m N ，12/m N 称为1帕，代号a P ）、千米/米2（2/m KN ，12/m KN 称为1千帕，代号Ka P ），此外还有更大的单位兆帕（M a P ）、吉帕（G a P ）。

几种单位的换算关系为：1 K a P =310a P 1 M a P =310K a P 1 G a P =310M a P =610K a P =910a P2、切应力与全应力的概念与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。

K 点处某截面上的全应力K p 等于该点处同一截面上的正应力K σ与切应力K τ的矢量和。

弹性力学平面应力问题和平面应变问题

跨学科融合
弹性力学与材料科学、计算科学、生物学等学科的交叉融合，为解决复杂工程问题提供了新的思路和方法。
数值模拟与计算
随着计算机技术的进步，数值模拟和计算在弹性力学领域的应用越来越广泛，能够更精确地模拟和预测材料的力学行为。
多尺度分析
从微观到宏观的多尺度分析方法，能够更好地理解材料的微观结构和宏观性能之间的关系。
它们简化了问题的复杂性，使得弹性力学成为一种实用的工程工具。
02
基本假设的局限性
03
限制条件的考虑
在某些情况下，这些假设可能不成立，例如在处理非均匀、非各项同性或大变形问题时。
在应用弹性力学时，必须考虑这些限制条件，以确保结果的准确性和可靠性。
06 弹性力学的发展趋势和未来研究方向
弹性力学的发展趋势
非线性力学
随着工程结构的复杂性和非线性特征的增加，非线性力学的研究越来越受到重视，为解决复杂工程问题提供了新的理论和方法。
未来研究方向
新材料和新结构的力学行为
智能材料的力学行为
研究新型材料和复杂结构的力学行为，探索其性能优化和设计方法。
研究智能材料的响应机制和调控方法，探索其在传感器、驱动器和自适应结构等领域的应用。
生物医学中的弹性力学问题
研究生物组织的力学行为和生理功能，探索其在生物医学工程和再生医学等领域的应用。
环境与可持续发展的弹性力学问题
研究环境因素对材料和结构的影响，探索其在环保和可持续发展等领域的应用。
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材料力学性能的测试
材料弹性模量的测定
通过实验测定材料的弹性模量，可以了解材料的力学性能，为工程设计和材料选择提供依据。

材料力学08应力状态理论

1.公式推导：
Fin 0 ,
sa dA s xdA cos2 a t xydA cosa sina
s ydAsin2 a t yxdAsina cosa 0
sa
同理， Fit 0, ta
2.任意a斜截面上的应力公式
sa

sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a

1 2
s11
等于所示阴影部分面积
切应力的极值作用面与正应力
的极值作用面互成 45o的夹角
t max
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 xy
s max
s min
2
min
极值切应力作用面上的正应力：
s0
s0900
sx
sy
2
5.平面应力状态分析的特征 1）斜截面应力、主应力及最大切应力均是指 xy 平面内的应力，即其作用面均垂宜于 xy 平面。 2)任意两相互垂直截面上的正应力之和为常量
sa0 及sa0900的方向是相互垂直的。其中，a0由sin2a0和cos2a0的
正负号唯一地确定。
3.正应力极值——主应力
sa0
a0 900
s max
min
sx
sy
2

sx

s
2
y
2

t
2 xy
又，ta0 0 极值正应力就是主应力！
a0 900
smax的指向是介于仅由单
2.纯剪切平面应力状态
V

1
2
E
(s
1

应力状态分析

应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀. 内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。

应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。

由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。

因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。

确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。

⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。

应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。

本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。

本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。

⼆. 重点1.应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2.平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3.⾯⼒边界条件；4.应⼒分量的转轴公式；5.应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；§2.5 ⾯⼒边界条件学习思路:在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量必须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以维持弹性体表⾯的平衡。

⾯⼒边界条件的推导时，参考了应⼒⽮量与应⼒分量关系表达式。

只要注意到物体边界任意⼀点的微分四⾯体单元表⾯作⽤应⼒分量和⾯⼒之间的关系就可以得到。

⾯⼒边界条件描述弹性体表⾯的平衡，⽽平衡微分⽅程描述物体内部的平衡。

当然，对于弹性体，这仅是静⼒学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。

⾯⼒边界条件确定的是弹性体表⾯外⼒与弹性体内部趋近于边界的应⼒分量的关系。

学习要点：1. ⾯⼒边界条件。

物体在外⼒作⽤下处于平衡状态，不仅整体，⽽且任意部分都是平衡的。

在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以满⾜弹性体表⾯的平衡。

平面应力公式的进一步推导及应力状态分析

剪应力截面的对应点。
作 ∠GCP = 45D ，交圆于 P，作 ∠A1CI = 45D ，交圆于 I。
∠A1CP = ∠A1CG + ∠GCP = −ϕ + 45D = α
射线 CP 为最大剪应力截面的外法线方向。
OC 为最大剪应力截面上的正应力。
-3-

τ xy
= sin 2ϕ
a2
+τ
2 xy
则： tg 2ϕ = τ xy = 2τ xy a σx −σy
ϕ = 1 arctg 2τ xy
2
σx −σy
代入式（1.1）得：
σα
=
σx
+σ y 2
+
a2
+
τ
2 xy
(cos
2α
cos
2ϕ
− sin 2α sin 2ϕ)
= σx +σy + 2
σ (
x
−σ 2
Chi Huanxi
Shandong Century Electric Power Development Co.Ltd，Longkou，Shandong (265700) Abstract
In this paper, formulae of new form is derived from classical ones for more easily and clearly anglicizing and calculating of the normal and shearing stress in plane stress-state, and thus the maximum and minimum values of the stress can be obtained without operation of differentiation. Keywords：stress formulae，deduction，stress circle

弹性力学3-应力状态、几何方程

s x ,s y ,t xy t yx
应力张量： tsyxx
t xy sy
t t
xz yz
t zx t zy s z
s x t xy
t yx
s
y
第二章平面问题的基本理论 2.3 平面问题中一点的应力状态
一点的应力状态可以用以下三种方法表示：
用包围该点的微元体（微正六面体）表征过该点的任意斜截面上的应力用一点的主应力与主方向表征
2.1 平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程 2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化
第二章平面问题的基本理论 2.4几何方程
几何方程：应变分量与位移分量之间的关系。
fx
dxdy 2
1 0
上式分别将dx、dy用ds 表达：
pxds
s xlds
t yxmds
fx
ldsmds 2
0
ds趋于零时
O
x
t yx s y
P
A
t t xy
Px
n
px ls x mt xy
(2-3a)
sx
微元体竖直静力平衡条件： Fy 0 可得：
Py s n n
B
y pyds 1 s ydx 1 t xydy 1
过P点的微小三角形，两个边分别 O
平行于坐标轴，当面积SAPB无限减小，趋近于P点时，平面AB上的应力即成
x
t yx s y
P
A
为过P点斜面上的应力。
P点应力分量（直角坐标面上的应
力）已知：s x ,s y ,t xy t yx

平面应力状态公式推导

平面应力状态公式推导一、平面应力状态的概念。

在物体内一点处的应力状态，如果所有应力作用面都平行于某一平面（设为xy平面），则称该点处于平面应力状态。

此时，在该点处垂直于xy平面方向（设为z方向）上的正应力σ_z和剪应力τ_zx、τ_zy都为零。

（一）单元体表示。

在平面应力状态下，通常取一个微小的正六面体（单元体）来研究该点的应力情况。

单元体的六个面中，有一对面垂直于z轴，由于σ_z = 0，τ_zx=τ_zy = 0，我们主要关注平行于xy平面的四个面上的应力。

设单元体上作用有σ_x、σ_y和τ_xy（τ_yx与τ_xy大小相等），其中σ_x是x面上（外法线沿x轴方向的面）的正应力，σ_y是y面上（外法线沿y轴方向的面）的正应力，τ_xy是x面上沿y方向的剪应力。

二、斜截面应力公式推导。

设斜截面外法线n与x轴正向夹角为α（逆时针方向为正）。

（一）利用平衡条件推导。

1. 建立坐标系和力的分解。

- 取斜截面面积为dA，则x面的面积为dAcosα，y面的面积为dAsinα。

- 根据应力的定义，作用在x面上的力为σ_xdAcosα和τ_xydAcosα（沿x、y 方向分解）；作用在y面上的力为σ_ydAsinα和τ_yxdAsinα（沿x、y方向分解）。

2. 沿斜截面外法线n方向的力平衡。

- 斜截面上的正应力σ_α，根据力的平衡条件∑ F_n=0，有：- σ_αdA=σ_xdAcos^2α+σ_ydAsin^2α + 2τ_xydAsinαcosα- 两边同时除以dA，得到σ_α=σ_xcos^2α+σ_ysin^2α+ 2τ_xysinαcosα- 利用三角函数的二倍角公式cos^2α=(1 +cos2α)/(2)，sin^2α=(1-co s2α)/(2)以及sin2α = 2sinαcosα，可将上式化为：- σ_α=frac{σ_x+σ_y}{2}+frac{σ_x-σ_y}{2}cos2α+τ_xysin2α3. 沿斜截面切线方向的力平衡。

平面主应力计算公式

平面主应力计算公式平面主应力计算公式是工程力学中的重要内容，用于计算材料在平面内受到的主应力。

主应力是指材料内部的最大应力，它对于材料的强度和稳定性具有重要影响。

通过计算平面主应力，可以评估材料在不同载荷情况下的承载能力和变形特性，为工程设计和结构分析提供重要依据。

平面主应力计算公式的推导基于弹性力学理论，根据Hooke定律和平面应力假设，可以得到如下公式：σ1 = (σx + σy)/2 + [(σx - σy)/2]^2 + τxy^2)^0.5σ2 = (σx + σy)/2 - [(σx - σy)/2]^2 + τxy^2)^0.5其中，σ1和σ2分别表示平面内的主应力，σx和σy分别表示平面内的正应力，τxy表示平面内的剪应力。

这两个公式是根据平面内正应力和剪应力的大小关系推导出来的。

根据Hooke定律，正应力和剪应力之间存在一定的线性关系，而平面主应力则是在平面内正应力和剪应力的作用下产生的最大应力。

通过求解这两个公式，我们可以得到平面内的主应力大小和方向。

在工程实践中，平面主应力计算公式常常用于材料的强度分析和结构的稳定性评估。

通过对材料在不同载荷条件下进行平面主应力计算，可以判断材料的破坏状态和变形情况，从而确定合理的工作载荷和设计参数。

此外，平面主应力计算公式还可以用于优化工程结构和材料选择，以提高工程的可靠性和经济性。

需要注意的是，平面主应力计算公式只适用于线性弹性材料和平面应力条件。

在实际工程中，材料的力学行为常常是复杂的非线性情况，而平面应力条件也不是所有情况都能满足。

因此，在使用平面主应力计算公式时需要考虑材料的特性和实际工况，以保证计算结果的准确性和可靠性。

平面主应力计算公式是工程力学中的重要工具，用于评估材料的强度和稳定性。

通过这些公式，我们可以计算材料在平面内受到的主应力，为工程设计和结构分析提供重要参考。

然而，在使用平面主应力计算公式时需要注意材料和载荷的实际情况，以确保计算结果的准确性和可靠性。