浙江省杭州外国语学校2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 PDF版含答案
浙江省杭州之江高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷含解析 (1)
2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，5，6，7}，则A∩B＝（）A．{0，2}B．{2}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}2．已知命题p：“∃x＞0，使得x2﹣x﹣2＞0”，则命题p的否定是（）A．∀x≤0，总有x2﹣x﹣2＞0B．∀x＞0，总有x2﹣x﹣2≤0C．∃x＞0，使得x2﹣x﹣2≤0D．∃x≤0，使得x2﹣x﹣2＞03．“三角形为等边三角形”是“三角形为等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中表示同一函数的是（）A．y＝与B．f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1C．y＝与D．y＝与y＝x﹣35．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则（）A．ac2≤bc2B．C．ac＜bc＜0D．0＜a2＜b26．函数中，有（）A．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增B．f（x）在（1，+∞）上单调递减C．f（x）在（1，+∞）上单调递增D．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减7．若正数x，y满足＝1，则x+2y的最小值为（）A．B．C．25D．278．定义在R上的偶函数f（x）满足：在x∈[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（1，+∞）∪（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）D．（0，1）9．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+a＝0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，1]∪{0}D．[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]∪{0}10．函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）＝f（x+12），y＝f（x﹣1）的图形关于（1，0）对称，且f（8）＝1，则f（2020）＝（）A．1B．﹣1C．0D．2二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。
浙江省杭州外国语学校2020-2021学年高一上学期期中数学试题(解析版)
2020学年杭外高一上期中一､选择题：每小题3分，共30分1. 已知集合{}1,2,3A =，集合{}2,4B =，定义A 、B 间的运算{|A B x x A ⊗=∈且}x B ∉，则A B ⊗=（ ） A. {}2,4 B. {}1,3C. {}1,2,4D. {}2【答案】B 【解析】 【分析】根据集合新定义可得结果.【详解】因为集合{}1,2,3A =，集合{}2,4B =， 所以A B ⊗={1,3}. 故选：B【点睛】本题考查了集合新定义，属于基础题. 2. 以下各角中，是第二象限角的为（ ） A. 83π-B. 76π-C.76π D.53π 【答案】B 【解析】 【分析】将各选项中的角表示为()202,k k Z απαπ+≤<∈，利用象限角的定义可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，84433πππ-=-，43π为第三象限角，则83π-为第三象限角；对于B 选项，75266πππ-=-，56π为第二象限角，则76π-为第二象限角；对于C 选项，76π为第三象限角；对于D 选项，53π为第四象限角. 故选：B.3. 函数()()ln 2f x x x=+-的定义域是（ ） A. [)1,2- B. ()0,2C. [)()1,00,2-⋃D. ()()1,00,2-⋃【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果. 【详解】因为()()ln 2f x x x=+-， 所以10020x x x +≥⎧⎪≠⎨⎪->⎩，解得10x -≤<或02x <<.即函数()()ln 2f x x =+-的定义域是[)()1,00,2-⋃. 故选：C.4. 已知()f x 是R 上的偶函数，12,x x R ∈，则“120x x +=”是“()()12f x f x =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 是R 上的偶函数，若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=成立，即充分性成立； 若()()12f x f x =，则12x x =-或12x x =，即必要性不一定成立， 所以“120x x +=”是“()()12f x f x =”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．5. 函数()112xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点的大致区间为（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式，结合选项，计算函数值，再由零点存在定理，即可得出结果.【详解】因为()112xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，显然单调递增，所以()01001202f ⎛⎫=--=-<⎪⎝⎭，12111121022222f ⎛⎫⎛⎫=--=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11111022f =--=-<，32331121022224f ⎛⎫⎛⎫=--=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()112xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点的大致区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.6. (0xy a a -=>且1a ≠）是增函数，那么函数1()log 1af x x =+的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数(0xy a a -=>且1a ≠）的单调性判断底数a 的范围，得到函数()log a f x x =的图象，再利用图象平移得到函数1()log 1af x x =+的图象． 【详解】解；∵x y a -=可变形为1()xy a =，若它是增函数，则11a>，01a ∴<<，∴()log a f x x =为过点（1，0）的减函数，∴()log a f x x =-为过点（1，0）的增函数，∵1()log 1af x x =+图象为()log a f x x =-图象向左平移1个单位长度， ∴1()log 1a f x x =+图象为过（0，0）点的增函数，故选D ．【点睛】本题考查了指对数函数的单调性，以及图象的平移变化，做题时要认真观察． 7. 某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系ekx by +=（ 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，k 、b 为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时 A. 22 B. 23C. 24D. 33【答案】C 【解析】由题意可得：22b19248bk e e +⎧=⎨=⎩，解得：1119212b k e e ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴()333b111192248k kb eee +=⨯=⨯=∴该食品在33℃的保鲜时间是24小时 故选C8. 已知函数()()3,<1log ,1aa x a x f x x x ⎧--=⎨≥⎩的值域．．是R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. 31,2⎛⎤⎥⎝⎦B. ()1,+∞C. ()()0,11,3D. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，,从而可得答案.【详解】由题意，()f x 的值域为R ， 当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，， 所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312a <≤， 故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 9.已知0,1a b >>=，则下列不等式一定成立．．．．的是（ ） A. b a a b ≥ B. b a a b ≤C. 12aba b +>D. 1a b a b +<【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得01a <<，01b <<，结合指数函数的图象与性质可判断A 、B ；由指数函数的图象与性质结合基本不等式可判断C ；举出反例可判断D. 【详解】由题意01a <<，01b <<， 所以函数,x x y a y b ==均为单调递减函数.而函数,a b y x y x ==在()0+∞，上均为增函数. 对于A ，当a b <时，b a a a a b <<，故A 错误； 对于B ，当a b >时，b a a a a b >>，故B 错误；对于C ，由a a a >，bb b >，222a b ⎛+≤ ⎝⎭， 所以12a b +≥，12a ba b a b +>+≥，故C 正确；对于D ，取14a b ==，可得1a b a b +=>，故D 错误.故选：C .【点睛】关键点睛：本题主要考查利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，解答本题的关键是由指数函数和幂函数的单调性可得，当a b <时，b a a a a b <<，当a b >时，b a a a a b >>，从而可得出答案，属于中档题.10. 设函数()()212131log 1313x xe e xf x x --=++++，则做得()()31f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】先判断()f x 是偶函数且在0,上递减，原不等式转化为31x x ≥-，再解绝对值不等式即可.【详解】()()()211221133111log 13log 131313x x xxe e e exxf x x x ---⎛⎫=+++=+++ ⎪++⎝⎭，()121311log 1,,313x xe e xy x y y -⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭在0,上都递减所以()f x 在0,上递减，又因()()()()121311log 1313x xe e xf x x f x ----⎛⎫-=+-++= ⎪+⎝⎭，且()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数， 所以()()()()313131f x f x f x f x x x ≤-⇔≤-⇔≥-，可得113142x x x x -≤-≤⇒≤≤，x 的取值范围是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：D.【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.二､填空题：共7小题，每题4分，共28分11. 若{}221,a∈，则实数a =__________．【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件，由元素与集合之间的关系，得到22a =求解，即可得出结果. 【详解】因为{}221,a∈，所以22a =，解得a =故答案为：.12. 若幂函数()f x 的图象经过点()2,8，则()3=f -__________． 【答案】27- 【解析】 【分析】设幂函数的解析式为()f x x α=，根据函数过点()2,8，求出α，进而可求出结果.【详解】由题意，设()f x x α=，因为幂函数()f x 的图像经过点()2,8，所以28α=，解得3α=，因此()3f x x =，所以()327f -=-故答案为：27-.13. 已知函数()22,<1,1x x f x x ax x -+⎧=⎨+≥⎩，若()()03f f a =，则实数a =__________． 【答案】4 【解析】 【分析】先由解析式求出()02f =，再计算()242f a =+，结合题中条件，即可得出结果.【详解】因为()22,<1,1x x f x x ax x -+⎧=⎨+≥⎩，所以()02f =，因此()()()0242f f f a ==+，又()()03ff a =，所以342a a =+，解得4a =.故答案为：4.14. 已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ． 【答案】32π 【解析】 【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果. 【详解】因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π， 所以其所在圆的半径为33r ππ==，因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=. 故答案：32π. 15. 函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________．【答案】(),2-∞ 【解析】 【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间.【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >. 所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增， 外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞.故答案为：(),2-∞.【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数． 16. ()f x 为定义在R 上的奇函数，若对任意的两个不相等的实数12,x x ，都有不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立，则()f x 为“H ”函数，下面的四个函数①()f x x =；②()f x x x =；③()33f x x x =+；④()1,00,01,0x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩中是“H ”函数的是__________（填序号）．【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先判断函数都是奇函数，再由题意知“H ”函数为增函数，依次判断各函数的单调性即可得解. 【详解】由奇函数定义()()f x f x =--，可知①②③④均为奇函数，因为对于任意给定的不等式实数12,x x ，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+ 恒成立，所以不等式1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数， ①函数()f x x =为增函数，满足条件；②函数()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩在定义域上为增函数，满足条件；③函数()33f x x x =+，因为3,3y x y x ==都为增函数，所以()33f x x x =+，函数单调递增，满足条件；④函数()1,00,01,0x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，当0x >时，函数单调递增，且()1f x >当0x <时，函数单调递增，且()1f x <-，满足条件.故答案为：①②③④.17. 123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________． 【答案】3+【解析】 【分析】根据对数的运算性质，可得1212lg 2020log 2020lg lg x x x x =-，23232lg 20202log 2020lg lg x x x x =-，1313lg 2020log 2020lg lg x x k k x x =-，设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，原不等式可化为12ka b a b+≥+，由0,0a b >>，可得()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，令k 小于等于()12a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值即可.【详解】由题意，121122lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，2322332lg 20202lg 20202log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，131133lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x k k k x x x x ==-， 设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，则13lg lg x x a b -=+， 又lg 20200>，所以原不等式可化为12k a b a b+≥+， 由1230x x x >>>，可得0,0a b >>，则原不等式可化为()12k a b a b ⎛⎫≤++⎪⎝⎭，又()1221233b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=+⎪⎝⎭2b a a b =时，等号成立，所以3k ≤+k的最大值为3+故答案为：3+【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，可将原不等式化为12k a b a b +≥+，进而结合,a b 的范围可得到()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.三､解答题：4小题，共42分18. 已知集合{}13A x x =<<，{}21B x m x m =<<-，（1）当1m =-时，求：①A B ；②()R A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（3）若A B =∅时，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}23A B x x ⋃=-<<，(){}23R A B x x ⋂=≤<；（2）2m ≤-；（3）0m ≥. 【解析】【分析】 （1）由1m =-得{}22B x x =-<<，由并集，交集以及补集的概念，即可得出结果；（2）由A B ⊆，根据题中条件，列出不等式组求解，即可得出结果； （3）分别讨论B =∅与B ≠∅的情况，根据题中条件，即可求出结果；【详解】（1）当1m =-时，{}{}2122B x m x m x x =<<-=-<<，所以{2R B x x =≤-或}2x ≥，又{}13A x x =<<，所以{}23A B x x ⋃=-<<，(){}23R A B x x ⋂=≤<； （2）因为A B ⊆，所以211213m m m m <-⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得2m ≤-；即实数m 的取值范围是2m ≤-；（3）因为A B =∅，当B =∅，则21m m ，即13m ≥； 当B ≠∅，则2123m m m <-⎧⎨≥⎩或2111m m m <-⎧⎨-≤⎩，解得103m ≤<； 综上，实数m 的取值范围是0m ≥.【点睛】本题考查集合的并集、交集、以及补集运算，考查已知集合的包含关系求参数，考查由集合的交集结果求参数，属于基础题型.19. 已知函数()()()2log log 20,1a a f x x x a a =-->≠（1）当2a =时，求()4f ；（2）解不等式()4f x ≥．【答案】（1）0（2）见解析.【解析】【分析】（1）代入2a =，4x =计算即可；（2）令2log t x =，整体换元解224t t --≥，在根据t 的范围求解x 即可.【详解】解：（1）2a =时，()()222log log 2f x x x =-- ∴()()2224log 4log 42=422=0f =----；（2）令log a t x =，则原式22t t =--，即求()4g t ≥即224t t --≥，解得：3t ≥或2t ≤-；等价于log 3a x ≥或log 2a x ≤-当1a >时，解得：3x a ≥或210x a <≤； 当01a <<时，解得：30x a <≤或21x a ≥. 【点睛】本题主要考查含对数函数的不等式的解法，涉及一元二次不等式的解法，属于中档题方法点睛：（1）整体换元，令log a t x =；（2）将t 代入不等式求解；（3）利用t 的范围解x 的解集即可.20. 定义在D 上的函数()f x ，如果满足；x D ∀∈，存在常数0M >，使得()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界，函数()11124x x f x a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若0a =，()()3g x f x =-，判断函数()g x 在[]1,0-上是否为有界函数，说明理由；（2）若函数()f x 年[)0,+∞上是以7为一个上界的有界函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）是有界函数，理由见解析；（2）[]9,5-.【解析】【分析】 （1）求出()124xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用指数函数的性质求得()2g x ≤，结合有界函数的定义可得答案； （2）问题转化为()7f x ≤对任意[)0,x ∈+∞恒成立，11826222x x x x a ⎛⎫⎛⎫-⋅-≤≤⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对[)0,x ∈+∞恒成立，换元后利用函数的单调性求出不等式两边函数的最值即可得答案. 【详解】（1）若()110,4x a f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=，()()1324xg x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， [][]11,0,1,44x x ⎛⎫∈-∴∈ ⎪⎝⎭， ()[]1,2g x ∴∈-，即()02g x ≤≤，∴存在常数20M =>，使得()2g x ≤恒成立，∴函数()g x 在[]1,0-上为有界函数；（2）由题意，()7f x ≤对任意[)0,x ∈+∞恒成立， ()77f x ∴-≤≤，即1171724x xa ⎛⎫⎛⎫-≤++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对[)0,x ∈+∞恒成立， 11186424x x x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--≤≤- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对[)0,x ∈+∞恒成立， 11826222x x x x a ⎛⎫⎛⎫-⋅-≤≤⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对[)0,x ∈+∞恒成立，令[)2,1,x t t =∈+∞，1186t a t t t∴--≤≤-，对[)1,t ∈+∞恒成立， ①16a t t ≤-对[)1,t ∈+∞恒成立，只需求16y t t=-在[)1,+∞上的最小值， 又16y t t=-在[)1,+∞上为增函数，min 6115y ∴=⨯-=，5a ∴≤； ②18a t t≥--时，[)1,t ∈+∞恒成立， 只需求18y t t =--在[)1,+∞上的 最大值，在[)1,+∞任取12,t t ，且12t t <， 1212121188y y t t t t ∴-=--++ ()1221128t t t t t t -=-+ ()121218t t t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1212,0t t t t <∴-<，[)12,1,t t ∈+∞，121211,01t t t t ∴≥<≤， 12180t t ∴-+<， 120y y ∴->，即12y y >，∴函数18y t t=--在[)1,+∞上为减函数， max 8119y ∴=-⨯-=-，9a ∴≥-.综上可得95a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]9,5-,【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.21. 已知函数()f x x a =-，()()22g x x xf x =+，其中R a ∈，（1）判断函数()f x 的奇偶性：（2）若1a =，求函数()g x 的单调区间；（3）若不等式()46g x ≤≤在[]1,2x ∈时恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a =时，()f x 为偶函数；当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数；（2）()g x 在(),-∞+∞上单调递增；（3）[1-，15][22-⋃，5]. 【解析】【分析】（1）讨论a 是否为0，结合奇偶性的定义，即可得到结论；（2）将()g x 写出分段函数的形式，结合二次函数的单调性，可得所求结论；（3）由题意可得28||22x x x a x x ---对[1x ∈，2]恒成立，运用绝对值的解法和函数恒成立思想，结合函数的单调性求得最值，可得所求范围．【详解】（1）x ∈R ，()||||f x x a x a =--=+，当0a =时，()()f x f x -=，()f x 为偶函数，当0a ≠时，()()f x f x -≠，()()f x f x -≠-， ()f x 为非奇非偶函数；（2）若1a =，222232,1()2()212,1x x x g x x xf x x x x x x x ⎧-=+=+-=⎨-+<⎩，则()f x 在[1，)+∞递增，在(,1)-∞递增，可得()g x 在(,)-∞+∞上单调递增；（3）在[1x ∈，2]时，2284()1642||16||22x x g x x x x a x a x x ⇒+-⇒---恒成立． 由8||2x x a x --对[1x ∈，2]恒成立，可得38822x x a x x -+对[1x ∈，2]恒成立， 由382x y x =-在[1x ∈，2]递增，可得382x y x =-的最大值为341-=-，则1a -， 又82x y x =+在[1x ∈，2]递减，可得82x y x =+的最小值为145+=，则5a ， 可得15a -；① 由2||2x x a x --对[1x ∈，2]恒成立， 可得22x a x +对[1x ∈，2]恒成立，或322x a x-对[1x ∈，2]恒成立，由22x y x =+在[1x ∈，2]递减，可得22x y x =+的最大值为52，可得52a ； 由322x y x =-在[1x ∈，2]递增，可得322x y x =-的最小值为12-，可得12-a ， 则52a 或12-a ，② 由①②可得a 的取值范围是[1-，15][22-⋃，5]． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高三（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合A={x|y=lg （x+1）}.B={x||x|＜2}.则A∩B=（ ）A.（-2.0）B.（0.2）C.（-1.2）D.（-2.-1）2.（单选题.4分）已知a.b∈R .则“a ＞|b|”是“|a|＞|b|”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题.4分）已知实数x.y 满足 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4.则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A. 12 B. 32C.2D.34.（单选题.4分）设函数f （x ）=xln 1+x 1−x .则函数f （x ）的图象可能为（ ） A.B.C.D.5.（单选题.4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）的部分图象如图所示.则（）A. f(x)=√3sin(x2+π3)B. f(x)=√3sin(x2+2π3)C. f(x)=32sin(x+π3)D. f(x)=32sin(x+2π3)6.（单选题.4分）如图为一个几何体的三视图.则该几何体中任意两个顶点间的最大值为（）A. √17B. √15C. √13D.47.（单选题.4分）设函数f（x）的定义域为D.如果对任意的x∈D.存在y∈D.使得f（x）=-f（y）成立.则称函数f（x）为“H函数”.下列为“H函数”的是（）A.y=sinxcosx+cos2xB.y=lnx+e xC.y=2xD.y=x2-2x8.（单选题.4分）从.1.2.3….20中选取四元数组（a1.a2.a3.a4）.且满足a2-a1≥3.a3-a2≥4.a4-a3≥5.则这样的四元数组（a1.a2.a3.a4）的个数是（）A. C84B. C114C. C144D. C1649.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x2+ax-2|-6.若存在a∈R.使得f（x）在[2.b]上恰有两个零点.则实数b的最小值为（）A.2 √5B. √3C.2+2 √3D.2+2 √510.（单选题.4分）在正方体ABCD-A'B'C'D'中.点E.F分别是棱CD.BC上的动点.且BF=2CE．当三棱锥C-C′EF的体积取得最大值时.记二面角C-EF-C′.C′-EF-A′.A′-EF-A的平面角分别为α.β.γ.则（）A.α＞β＞γB.α＞γ＞βC.β＞α＞γD.β＞γ＞α11.（填空题.6分）已知复数z 满足z （3-i ）=10.则复数z 的虚部等于___ .复数z 的模等于___ ．12.（填空题.6分）在二项式 (x 2−1x )5 的展开式中.二项式系数之和是___ .含x 4的项的系数是___ ．13.（填空题.6分）已知随机变量X 服从二项分布B （n.p ）.若E （X ）= 53 .D （X ）= 109 .则p=___ ；P （X=1）=___ ．14.（填空题.6分）已知数列{a n }满足n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.则a 1=___ ；设数列{a n }的前n 项和为S n .对任意的n∈N*.当n≠5时.都有S n ＜S 5.则S 5的取值范围为___ ．15.（填空题.4分）设b ＞0.a-b 2=1.则 4a + a 22b 的最小值为___ ．16.（填空题.4分）如图.在四边形ABCD 中.AB=CD=1.点M.N 分别是边AD.BC 的中点.延长BA和CD 交NM 的延长线于不同的两点P.Q.则 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的值为___ ． 17.（填空题.4分）设a.b 是正实数.函数f （x ）=xlnx.g （x ）=- b 3 +xlna.若存在x 0∈[ a 3.b].使f （x 0）≤g （x 0）成立.则 b a 的取值范围为___ ．18.（问答题.14分）在△ABC 中.内角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.且满足acosC+ccosA-2bsinB=0．（1）求角B ；（2）若角B 为锐角.sin A 2 = √6−√24 .BC 边上中线长AD= √7 .求△ABC 的面积．19.（问答题.15分）已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′中.底面ABCD 为菱形.AB=2.AA′=4.∠BAD=60°.E 为BC 中点.C′在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点．（1）求证：BD⊥A′H ；（2）求直线BD 与平面BCC′B′所成角的正弦值．20.（问答题.15分）已知各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n.且满足a1=4.a n+1=3S n+4（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；．（2）设数列{b n}满足a n b n=log2a n.数列{b n}的前n项和为T n.求证：T n＜8921.（问答题.15分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F.直线l过点F且与C相交于A、时.|AB|=8．B两点.当直线l的倾斜角为π4（1）求C的方程；（2）若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点.且A、M、B、N四点在同一圆上.求l的方程．.g（x）=ax+b．22.（问答题.15分）函数f(x)=lnx−1x（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）在（0.+∞）上单调递增.求实数a的取值范围；图象的切线.求a+b的最小值；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f(x)=lnx−1x（3）当b=0时.若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1.y1）.B（x2.y2）.试比较x1x2与2e2的大小．（取e为2.8.取ln2为0.7.取√2为1.4）2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合A={x|y=lg（x+1）}.B={x||x|＜2}.则A∩B=（）A.（-2.0）B.（0.2）C.（-1.2）D.（-2.-1）【正确答案】：C【解析】：求解对数型函数的定义域化简集合A.然后直接利用交集运算求解．【解答】：解：由x+1＞0.得x＞-1∴A=（-1.+∞）.B={x||x|＜2}=（-2.2）∴A∩B=（-1.2）．故选：C．【点评】：本题考查了交集及其运算.考查了对数函数的定义域.是基础题．2.（单选题.4分）已知a.b∈R.则“a＞|b|”是“|a|＞|b|”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：|a|＞|b|⇔a＞|b|或-a＞|b|.再利用充分必要条件的定义分析即可．【解答】：解：|a|＞|b|⇔a＞|b|或-a＞|b|.∴由a＞|b|可推出|a|＞|b|.由|a|＞|b|推不出a＞|b|.故“a＞|b|”是“|a|＞|b|”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】：本题考查了充分必要条件的定义及绝对值的含义.属于基础题．3.（单选题.4分）已知实数x.y 满足 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4.则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A. 12 B. 32C.2D.3【正确答案】：B【解析】：利用约束条件画出可行域.通过可行域求解顶点坐标.然后求解可行域的面积．【解答】：解：根据题中所给的约束条件.画出其对应的区域如下图所示.其为阴影部分的三角区.解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为（1.0）.（2.1）.（4.0）.根据三角形的面积公式可以求得S= 12×(4−1)×1 = 32 ．故选：B ．【点评】：本题主要考查线性规划的应用.通过数形结合是解决本题的关键.是中档题．4.（单选题.4分）设函数f （x ）=xln 1+x 1−x .则函数f （x ）的图象可能为（ ）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数.再求出f（12）.则答案可求．【解答】：解：函数f（x）=xln 1+x1−x的定义域为（-1.1）.由f（-x）=-xln 1−x1+x =xln 1+x1−x=f（x）.得f（x）为偶函数.排除A.C；又f（12）= 12ln1+121−12=12ln3＞0.排除D．故选：B．【点评】：本题考查函数的图象与图象变换.考查函数奇偶性的应用.是中档题．5.（单选题.4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）的部分图象如图所示.则（）A. f (x )=√3sin (x 2+π3) B. f (x )=√3sin (x 2+2π3) C. f (x )=32sin (x +π3)D. f (x )=32sin (x +2π3) 【正确答案】：B【解析】：由函数f （x ）的部分图象求出A 、φ和ω的值.即可求出f （x ）的解析式．【解答】：解：由函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的部分图象知.A= √3 ；又f （0）= √3 sinφ= 32 .解得sinφ= √32 ；又0＜φ＜π.所以φ= π3 .或 2π3 ；当φ= π3 时.f （ 5π3 ）= √3 sin （ 5π3 ω+ π3 ）=- √3 .即sin （ 5π3 ω+ π3 ）=-1.解得 5π3 ω+ π3 = 3π2 +2kπ.k∈Z ；即ω= 710 + 65 k.k∈Z ；k=0时.ω= 710 .没有选项满足题意；当φ= 2π3 时.f （ 5π3 ）= √3 sin （ 5π3 ω+ 2π3 ）=- √3 .即sin （ 5π3 ω+ 2π3 ）=-1.解得 5π3 ω+ 2π3 = 3π2 +2kπ.k∈Z ；即ω= 12 + 65 k.k∈Z ；k=0时.ω= 12 .f （x ）= √3 sin （ x 2 + 2π3 ）.选项B 满足题意．故选：B ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了数形结合思想.是基础题．6.（单选题.4分）如图为一个几何体的三视图.则该几何体中任意两个顶点间的最大值为（）A. √17B. √15C. √13D.4【正确答案】：A【解析】：画出几何体的直观图.判断两点间的最大值的位置.求解即可．【解答】：解：由题意可知几何体是直观图如图.是长方体的一部分.该几何体中任意两个顶点间的最大值应该是EB.AF.BD中的一个.EB= √ED2+AD2+AB2 = √4+4+9 = √17．AF= √AD2+DE2+EF2 = √4+4+4 = √12 .BD= √22+32 = √13．故选：A．【点评】：本题考查三视图的直观图的应用.判断棱长以及计算求解是解题的关键．7.（单选题.4分）设函数f（x）的定义域为D.如果对任意的x∈D.存在y∈D.使得f（x）=-f（y）成立.则称函数f（x）为“H函数”.下列为“H函数”的是（）A.y=sinxcosx+cos2xB.y=lnx+e xC.y=2xD.y=x 2-2x 【正确答案】：B【解析】：运用二倍角公式和辅助角公式化简函数y.取x= π8 .可判断A ；由函数的单调性和值域.可判断B ；由指数函数的值域即可判断C ；运用配方法.可取x=3可判断D ．【解答】：解：由y=sinxcosx+cos 2x= 12 sin2x+ 1+cos2x2= 12+ √22sin （2x+ π4）.由f （x ）+f （y ）=1+ √22sin （2x+ π4）+ √22sin （2y+ π4）=0. 取x= π8 .可得sin （2y+ π4 ）=-1- √2 ＜-1.y 不存在.故A 不为“H 函数”； 由y=lnx+e x .且f （x ）+f （y ）=lnx+e x +lny+e y =0. 由于y=lnx+e x 递增.且x→0.y→-∞；x→+∞.y→+∞.即有任一个x （x ＞0）.可得唯一的y.使得f （x ）=-f （y ）.故B 为“H 函数”； 由y=2x 可得2x ＞0.2x +2y =0不成立.故C 不为“H 函数”；由y=x 2-2x.若f （x ）+f （y ）=x 2-2x+y 2-2y=（x-1）2+（y-1）2-2=0. 可取x=3.可得y 无解.故D 不为“H 函数”． 故选：B ．【点评】：本题主要考查函数与方程之间的关系.将条件转化为f （x ）+f （y ）=0是解决本题的关键．8.（单选题.4分）从.1.2.3….20中选取四元数组（a 1.a 2.a 3.a 4）.且满足a 2-a 1≥3.a 3-a 2≥4.a 4-a 3≥5.则这样的四元数组（a 1.a 2.a 3.a 4）的个数是（ ）A. C 84B. C 114C. C 144D. C 164【正确答案】：B【解析】：将a 1连同其右边的2个空位捆绑.a 2连同其右边的3个空位捆绑.a 3连同其右边的4个空位捆绑分别看作一个元素.四元数组（a 1.a 2.a 3.a 4）的个数相当于从11个元素中选取4个.【解答】：解：将a1连同其右边的2个空位捆绑.a2连同其右边的3个空位捆绑.a3连同其右边的4个空位捆绑分别看作一个元素.四元数组（a1.a2.a3.a4）的个数相当于从11个元素中选取4个.故这样的四元数组（a1.a2.a3.a4）的个数是C114．故选：B．【点评】：本题考查了计数原理.组合数的原理.考查了捆绑法的使用．属于中档题．9.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x2+ax-2|-6.若存在a∈R.使得f（x）在[2.b]上恰有两个零点.则实数b的最小值为（）A.2 √5B. √3C.2+2 √3D.2+2 √5【正确答案】：C【解析】：由函数在[2.b]上恰好有2个零点可得.可得零点必在区间的端点.讨论零点为2和b 时.解得a的值.将a的值代入使得函数值f（b）=0求出b的值即可．【解答】：解：因为函数f（x））=|x2+ax-2|-6在[2.b]上恰有两个零点.所以必在x=2与x=b 时恰好取到零点的最小值和最大值.若x=2.f（x）的零点满足f（2）=|22+2a-2|-6=0.解得a=2.或a=-4.当a=2.f（x）=|x2+2x-2|-6.满足f（x）在[2.b]上恰好有2个零点.则f（b）=|b2+2b-2|-6=0.且b＞2.解得b=2（舍）或b=-4（舍）.当a=-4时.f（x）=|x2-4x-2|-6且b＞2.满足f（x）在[2.b]上恰好有2个零点.则f（b）=|b2-4b-2|-6=0.b＞2.所以|b2-4b-2|=6.即b2-4b-2=-6整理b2-4b+4=0.解得b=2（舍）.或b2-4b-8=0解得：b=2-2 √3（舍）或b=2+2 √3 .综上所述.当b=2+2 √3时满足f（x）在[2.b]上恰好有2个零点．故答案为：2+2 √3．故选：C．【点评】：本题考查函数的零点和方程根的关系.属于中档题．10.（单选题.4分）在正方体ABCD-A'B'C'D'中.点E.F分别是棱CD.BC上的动点.且BF=2CE．当三棱锥C-C′EF的体积取得最大值时.记二面角C-EF-C′.C′-EF-A′.A′-EF-A的平面角分别为α.β.γ.则（）A.α＞β＞γB.α＞γ＞βC.β＞α＞γD.β＞γ＞α 【正确答案】：A【解析】：以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD′为z 轴.建立空间直角坐标系.设正方体ABCD-A'B'C'D'中棱长为2.CE=a.则CF=2-2a.三棱锥C-C′EF 的体积取得最大值时.△CEF 的面积最大.由 S △CEF =12×a ×(2−2a ) =a-a 2=-（a- 12 ）2+ 14 .得a= 12 时.△CEF 的面积最大.利用向量法能求出结果．【解答】：解：以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD′为z 轴.建立空间直角坐标系. 设正方体ABCD-A'B'C'D'中棱长为2.CE=a.则CF=2-2a. 三棱锥C-C′EF 的体积取得最大值时. △CEF 的面积最大.S △CEF =12×a ×(2−2a ) =a-a 2=-（a- 12 ）2+ 14 . ∴a= 12 时.△CEF 的面积最大.此时.A （2.0.0）.C （0.2.0）.E （0.1.0）.F （1.2.0）.A′（2.0.2）.C′（0.2.2）. EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.1.0）. EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.-1.0）. EA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.-1.2）. EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.0）. EC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.2）. 平面EFC 的法向量和平面EFA 的法向量都是 m ⃗⃗ =（0.0.1）. 设平面EFC′的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •EF⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ •EC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0 .取z=1.得 n ⃗ =（2.-2.1）.∴cosα= |n ⃗ •m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |•|m ⃗⃗⃗ |= 13 ≈0.333. 设平面EFA′的法向量 p =（x.y.z ）.则 {p •EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0p •EA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −y +2z =0 .取x=2.得 p =（2.-2.-3）.∴cosβ= |n ⃗ •p ||n ⃗ |•|p |= 3√17. cosγ= |m ⃗⃗⃗ •p ||m ⃗⃗⃗ |•|p | = √17. ∴α＞β＞γ． 故选：A ．【点评】：本题考查二面角的大小的判断.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识.考查运算求解能力.是中档题．11.（填空题.6分）已知复数z满足z（3-i）=10.则复数z的虚部等于___ .复数z的模等于___ ．【正确答案】：[1]1; [2] √10【解析】：根据复数的基本运算法则求出复数z.从而得到复数z的虚部和模长．【解答】：解：∵z（3-i）=10.∴ z=103−i=3+i.∴|z|= √32+12=√10 .∴复数z的虚部等于1.复数z的模等于√10 .故答案为：1. √10．【点评】：本题主要考查复数的概念.考查了复数模长的计算.比较基础．12.（填空题.6分）在二项式(x2−1x )5的展开式中.二项式系数之和是___ .含x4的项的系数是___ ．【正确答案】：[1]32; [2]10【解析】：在二项展开式的通项公式中.令x的幂指数等于4.求出r的值.即可求得含x4的项的系数．【解答】：解：在二项式(x2−1x )5的展开式中.二项式系数之和是 25=32.通项公式为 T r+1= C5r•（-1）r•x10-3r.令10-3r=4.求得r=2.可得含x4的项的系数是C52 =10.故答案为：32；10．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.二项展开式的通项公式.二项式系数的性质.属于基础题．13.（填空题.6分）已知随机变量X 服从二项分布B （n.p ）.若E （X ）= 53 .D （X ）= 109.则p=___ ；P （X=1）=___ ． 【正确答案】：[1] 13 ; [2] 80243【解析】：利用二项分布的期望与方差.求出n.p.然后求解P （X=1）即可．【解答】：解：随机变量X 服从二项分布B （n.p ）. E （X ）= 53.D （X ）= 109 . 则np= 53 .np （1-p ）= 109 . 解得p= 13 .n=5.P （X=1）=C 51（ 13 ）•（ 23 ）4= 80243 ． 故答案为： 13 . 80243．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的期望与方差的求法.二项分布的应用.考查计算能力．14.（填空题.6分）已知数列{a n }满足n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.则a 1=___ ；设数列{a n }的前n 项和为S n .对任意的n∈N*.当n≠5时.都有S n ＜S 5.则S 5的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1]2; [2]（5.6）【解析】：先由n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.当n=1.得a 2.再由 {na n −(n −1)a n+1=2(n +1)a n+1−na n+2=2可得：a n +a n+2=2a n+1.即可得数列{a n }为等差数列.结合当n≠5时.都有S n ＜S 5.即可求得S 5的取值范围．【解答】：解：∵n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）. ∴当n=1时.得a 1=2.又由n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.可得：（n+1）a n+1-na n+2=2. 两式相减整理得：a n +a n+2=2a n+1. ∴数列{a n }为等差数列. 又∵a 1=2＞0.S 5最大. ∴公差d ＜0.a 5＞0.a 6＜0. 即 {2+4d ＞02+5d ＜0⇒- 12 ＜d ＜- 25 .又S 5=5a 3=5（2+2d ）=10（d+1）.∴S 5∈（5.6）.故答案为：2；（5.6）．【点评】：本题主要考查等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式及数列的单调性的应用.属于基础题．15.（填空题.4分）设b ＞0.a-b 2=1.则 4a + a 22b 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：首先对关系式进行变换.进一步利用不等式的应用和均值不等式的应用求出结果．【解答】：解：设b ＞0.a-b 2=1.则a=1+b 2.所以a 2=（1+b 2）2 所以 1a = 11+b 2 .则： 4a + a 22b = 41+b 2 + (1+b 2)22b≥2 √41+b 2×(1+b 2)22b=2 √2(1+b 2)b. 由于b ＞0. 所以2(1+b 2)b=2（ 1b +b ）≥2×2 √1b×b =4.（当且仅当b=1时.等号成立）当b=1时. 41+b 2 = (1+b 2)22b =2.故 √2(1+b 2)b≥2. 所以 4a + a 22b 的最小值为2×2=4． 故答案为：4．【点评】：本题考查的知识要点：函数的关系式的变换.基本不等式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题．16.（填空题.4分）如图.在四边形ABCD 中.AB=CD=1.点M.N 分别是边AD.BC 的中点.延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同的两点P.Q.则 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的值为___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：建立坐标系.设∠ABC=α.BC=a.∠BCD=β.求出 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.即可得出结论．【解答】：解：设∠ABC=α.BC=a.∠BCD=β.则A （cosα.sinα）. B （0.0）.C （a.0）.D （a-cosβ.sinβ）. ∴M （a+cosα−cosβ2 . sinα+sinβ2 ）.N （ a2.0）. ∴ NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ cosα−cosβ2. sinα+sinβ2）. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-cosα.-sinα）. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（cosβ.-sinβ）. ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-cosα-cosβ.-sinα+sinβ）.∴ NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =- 12 （cos 2α-cos 2β）+ 12 （sin 2β-sin 2α）=- 12 （cos 2α+sin 2α）+ 12 （cos 2β+sin 2β）=0. 又 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ || NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ PQ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =0. 故答案为：0．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算.建立坐标系可使运算较简单．17.（填空题.4分）设a.b 是正实数.函数f （x ）=xlnx.g （x ）=- b3 +xlna.若存在x 0∈[ a3 .b].使f （x 0）≤g （x 0）成立.则 ba 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1]（ 13 . 3e ]【解析】：设h （x ）=f （x ）-g （x ）.由f （x 0）≤g （x 0）.结合函数的单调性.分类讨论.最后综合讨论结果.可得 ba 的取值范围．【解答】：解：设h （x ）=f （x ）-g （x ）=xlnx+ b3 -xlna.存在x 0∈[ a3 .b].使f （x 0）≤g （x 0）成立.∴ a3 ＜b.a ＞0.即 ba ＞13 . ∵h′（x ）=lnx+1-lna=ln xa +1. ∵x 0∈[ a3 .b]. ∴x 0≥ a 3 . x0a ≥ 13 .令ln xa +1＞0.即当x＞ae时.h（x）单调递增.当a3＜x＜ae时.h′（x）＜0.h（x）单调递减.若b≤ ae .即ba∈（13. 1e]时.h（x）在[ a3.b）上单调递减.∴h（x）min=h（b）=bln ba + b3≤0.对ba∈（13. 1e]恒成立.若当a3＜ae＜b.即ba∈（1e.+∞）时.h（x）在[ a3.b]上先减后增.∴h（x）min=h（ae ）= aeln ae- aelna+ b3≤0.∴- ae + b3≤0. ba≤ 3e.即1e ＜ba≤ 3e.综上所述. ba 的取值范围为（13. 3e].故答案为：（13 . 3e ]．【点评】：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性.函数恒成立问题.熟练掌握导数法求函数的单调性和最值的方法和步骤是解答的关键.属于难题．18.（问答题.14分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.且满足acosC+ccosA-2bsinB=0．（1）求角B；（2）若角B为锐角.sin A2 = √6−√24.BC边上中线长AD= √7 .求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理.两角和的正弦公式化简已知等式可得sinB（1-2sinB）=0.结合sinB≠0.可求sinB= 12.结合B为三角形内角.可求B的值．（2）由已知及（1）可得B= π6 .利用二倍角公式可求cosA= √32.结合范围A ∈(0，5π6) .可求A= π6 .C= 2π3.设AC=BC=2x.在△ADC中.由余弦定理解得x的值.可得AC=BC=2.利用三角形的面积公式即可求解．【解答】：解：（1）因为acosC+ccosA-2bsinB=0.所以由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA-2sinBsinB=0.所以sin（A+C）-2sinBsinB=0.可得sinB（1-2sinB）=0. 又因为sinB≠0.所以sinB= 12.因为B为三角形内角.所以B= π6 .或5π6．（2）若角B为锐角.由（1）可得B= π6.因为cosA=1-2sin2A2 =1-2（√6−√24）2= √32.因为A ∈(0，5π6) .所以A= π6.所以△ABC为等腰三角形.且C= 2π3.在△ABC中.设AC=BC=2x.在△ADC中.由余弦定理可得AD2=AC2+DC2-2AC•DC•cos 2π3=7x2=7.解得x=1.所以AC=BC=2.所以S△ABC= 12AC•BC•sinC= √3 .所以三角形的面积为√3．【点评】：本题主要考查了正弦定理.两角和的正弦公式.二倍角公式.余弦定理.三角形的面积公式在解三角形中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于中档题．19.（问答题.15分）已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′中.底面ABCD为菱形.AB=2.AA′=4.∠BAD=60°.E为BC中点.C′在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点．（1）求证：BD⊥A′H；（2）求直线BD与平面BCC′B′所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）证明BD⊥平面A′C′H 即可得出BD⊥A′H ；（2）计算C′H .建立空间直角坐标系.求出平面BCC′B′的法向量 n ⃗ .计算 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 n ⃗ 的夹角得出线面角大小．【解答】：（1）证明：连接A′C′. ∵AA′ || CC′.AA′=CC′.∴四边形ACC′A′是平行四边形.∴AC || A′C′. ∵四边形ABCD 是菱形.∴BD⊥AC . ∴BD⊥A′C′.∵C′H⊥平面ABCD.∴C′H⊥BD . 又C′H∩A′C′=C′.∴BD⊥平面A′C′H .又A′H⊂平面A′C′H . ∴BD⊥A′H ．（2）解：∵E 是BC 的中点.∴BE=CE . ∵AB || CH .∴∠CHE=∠BAE .又∠CEB=∠BEA . ∴△ABE≌△BCE .∴BC=AB=2. 又CC′=4.C′H⊥CH .∴C′H= √CC′2−CH 2 =2 √3 .以H 为原点.以HD 为x 轴.以HC′为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示. 则D （4.0.0）.C （2.0.0）.B （3. √3 .0）.C′（0.0.2 √3 ）. ∴ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.- √3 .0）. BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.- √3 .0）. CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2.0.2 √3 ）.设平面BCC′B′的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）则 {n ⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .即 {−x −√3y =0−2x +2√3z =0 . 令x= √3 可得 n ⃗ =（ √3 .-1.1）. ∴cos ＜ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . n ⃗ ＞= BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= 2√32×√5 = √155. ∴直线BD 与平面BCC′B′所成角的正弦值为 √155．【点评】：本题考查了线面垂直的判定.考查空间向量与线面角的计算.属于中档题． 20.（问答题.15分）已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n .且满足a 1=4.a n+1=3S n +4（n∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足a n b n =log 2a n .数列{b n }的前n 项和为T n .求证：T n ＜ 89 ．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用数列的通项公式.求出新数列的通项公式.进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】：解：（1）各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n . 且满足a 1=4.a n+1=3S n +4（n∈N *） ① ． 则：a n =3S n-1+4 ② . ① - ② 得：a n+1=4a n .即：a n+1a n=4 .当n=1时.解得：a1=4.所以：a n=4•4n−1=4n．证明：（2）数列{b n}满足a n b n=log2a n.所以：b n=2n4n.T n=241+442+…+ 2n4n① .则：14T n=242+443+…+ 2n4n+1② .① - ② 得：34T n=2(14+142+⋯+14n)−2n4n+1.= 2(14(1−14n)1−14)−2n4n+1.解得：T n=89−6n+89•4n＜89．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.乘公比错位相减法在数列求和中的应用．21.（问答题.15分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F.直线l过点F且与C相交于A、B两点.当直线l的倾斜角为π4时.|AB|=8．（1）求C的方程；（2）若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点.且A、M、B、N四点在同一圆上.求l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）设直线l的方程为y=x- p2.代入抛物线的方程.运用韦达定理和弦长公式.可得p.进而得到抛物线的方程；（2）可设直线l的方程为x=my+1（m≠0）.代入抛物线的方程.运用韦达定理和中点坐标公式和弦长公式.求得|AB|.D的坐标；直线l'的方程为x=- 1my+2m2+3.代入抛物线的方程.运用韦达定理和中点坐标公式和弦长公式.可得E和|MN|.A.M.B.N四点在同一个圆上等价于|AE|=|BE|= 12|MN|.运用直角三角形的勾股定理.解方程可得所求直线方程．【解答】：解：（1）设直线l的方程为y=x- p2代入y2=2px.可得x2-3px+ p24=0.于是|AB|=x1+x2+p=4p=8.可得p=2.所以抛物线的方程为y2=4x；（2）由题意可得l与坐标轴不垂直.所以可设直线l的方程为x=my+1（m≠0）. 代入y2=4x.可得y2-4my-4=0.设A（x1.y1）.B（x2.y2）.则y1+y2=4m.y1y2=-4.所以AB的中点为D（2m2+1.2m）.|AB|=4m2+4.又直线l'的斜率为-m.所以直线l'的方程为x=- 1my+2m2+3．将上式代入y2=4x.整理可得y2+ 4my-4（2m2+3）=0.设M（x3.y3）.N（x4.y4）.则y3+y4=- 4m.y3y4=-4（2m2+3）.则MN的中点E的纵坐标为- 2m.所以MN的中点E（2m2+ 2m2 +3.- 2m）.|MN|= √1+1m2 |y3-y4|= √1+1m2• √(−4m)2+16(2m2+3) = 4(m2+1)√2m2+1m2.由于MN垂直平分AB.所以A.M.B.N四点在同一个圆上等价于|AE|=|BE|= 12|MN|.从而14 |AB|2+|DE|2= 14|MN|2.即4（m2+1）2+（2m+ 2m）2+（2m2+2）2= 4(m2+1)2(2m2+1)m4.化简可得m2-1=0.解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．【点评】：本题考查抛物线的方程和性质.以及直线和抛物线的位置关系.注意联立直线方程和抛物线的方程.考查方程思想和运算能力.属于中档题．22.（问答题.15分）函数f(x)=lnx−1x.g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）在（0.+∞）上单调递增.求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f(x)=lnx−1x图象的切线.求a+b的最小值；（3）当b=0时.若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1.y1）.B（x2.y2）.试比较x1x2与2e2的大小．（取e为2.8.取ln2为0.7.取√2为1.4）【正确答案】：【解析】：（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）-g（x）.求其导函数.结合h（x）在（0.+∞）上单调递增.可得对∀x＞0.都有h′（x）≥0.得到a≤ 1x + 1x2.即可得到a的取值范围；（2）设切点（x0.lnx0- 1x0）.可得a+b=φ（t）=-lnt+t2-t-1.利用导数求其最小值；（3）先判断lnx1x2-2× x1+x2x1x2 = x1+x2x2−x1ln x2x1＞2.令令G（x）=lnx- 2x.再由导数确定G（x）在（0.+∞）上单调递增.然后结合又ln √2 e-√2e = 12ln2+1- √2e≈0.85＜1.即x1x2＞2e2．【解答】：解：（1）：h（x）=f（x）-g（x）=lnx- 1x-ax-b.则h′（x）= 1x + 1x2-a.∵h（x）=f（x）-g（x）在（0.+∞）上单调递增.∴对∀x＞0.都有h′（x）= 1x + 1x2-a≥0.即对∀x＞0.都有a≤ 1x + 1x2.∵ 1 x + 1x2＞0.∴a≤0.故实数a的取值范围是（-∞.0]；（2）：设切点（x0.lnx0- 1x0）.则切线方程为y-（lnx0- 1x0）=（1x0+ 1x02）（x-x0）.即y=（1x0+1 x02）x-（1x0+ 1x02）x0+（lnx0- 1x0）.亦即y=（1x0 + 1x02）x+（lnx0- 2x0-1）.令1x0=t.由题意得a=t+t2.b=-lnt-2t-1.令a+b=φ（t）=-lnt+t2-t-1.则φ′（x）=- 1t +2t-1= (2t+1)(t−1)t.当t∈（0.1）时.φ'（t）＜0.φ（t）在（0.1）上单调递减；当t∈（1.+∞）时.φ'（t）＞0.φ（t）在（1.+∞）上单调递增. ∴a+b=φ（t）≥φ（1）=-1.故a+b的最小值为-1；（Ⅲ）：由题意知lnx1- 1x1 =ax1.lnx2- 1x2=ax2.两式相加得lnx1x2- x1+x2x1x2=a（x1+x2）.两式相减得ln x2x1 - x1−x2x1x2=a（x2-x1）.即ln x2x1x2−x1+ 1x1x2=a.∴lnx 1x 2- x 1+x 2x 1x 2 =（ ln x2x1x 2−x 1 + 1x 1x 2）（x 1+x 2）.即lnx 1x 2-2× x 1+x 2x 1x 2= x 1+x2x 2−x 1ln x2x1. 不妨令0＜x 1＜x 2.记t= x2x 1＞1.令F （t ）=lnt- 2(t−1)t+1（t ＞1）.则F′（t ）= (t−1)2t (t+1) ＞0.∴F （t ）=lnt-2(t−1)t+1在（1.+∞）上单调递增. 则F （t ）＞F （1）=0. ∴lnt ＞2(t−1)t+1.则ln x 2x 1 ＞2(x 2−x 1)x 1+x 2. ∴lnx 1x 2-2×x 1+x 2x 1x 2 = x 1+x 2x 2−x 1 ln x2x 1 ＞2. ∴lnx 1x 2-2× x 1+x2x 1x2＜lnx 1x 2- 4√x 1x2x 1x 2=√x x =2ln √x 1x 2 - √x x . ∴2ln √x 1x 2 - √x x 2.即ln √x 1x 2 - √x x ＞1令G （x ）=lnx- 2x .则x ＞0时.G′（x ）= 1x + 2x 2 ＞0. ∴G （x ）在（0.+∞）上单调递增. 又ln √2 e-√2e= 12 ln2+1- √2e ≈0.85＜1. ∴G （ √x 1x 2 ）=ln √x 1x 2 - √x x 1＞ln √2 e- √2e . 则 √x 1x 2 ＞e. 即x 1x 2＞2e 2．【点评】：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.考查了利用导数求函数的最值.体现了数学转化思想方法和函数构造法.本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力.难度较大．。
浙江省杭州外国语中学2020-2021学年七年级下学期期中考试数学试卷 解析版
2020-2021学年浙江省杭州外国语中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．（2分）有一种细胞，它的平均直径是0.0000088米用科学记数法表示为（）A．88×10﹣6米B．8.8×10﹣6米C．0.88×10﹣6米D．8.8×10﹣7米2．（2分）下列计算中正确的是（）A．（﹣3cd）3＝﹣9c3d3B．﹣2x（x2﹣x+1）＝﹣2x3﹣2x2+2xC．（a+3）2＝a2+3a+9D．（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣a2﹣2ab﹣b23．（2分）下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．m2﹣mn+n2＝（2m﹣n）2C．x n+1﹣x n﹣1＝x n（x﹣x﹣1）（n为正整数）D．x4﹣x2﹣12＝（x2+3）（x2﹣4）4．（2分）若关于x的多项式4x2﹣（3k﹣6）x+9是完全平方式，则k的值为（）A．0或4B．﹣2C．0或6D．6或﹣25．（2分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（）A．6，2，7B．2，6，7C．6，7，2D．7，2，66．（2分）关于x，y的二元一次方程（m﹣2）x+（m+1）y＝2m﹣7，当m取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个相同解，则这个相同解是（）A．B．C．D．7．（2分）已知M、N表示两个代数式，M＝（x+1）（x﹣1）﹣2（y2﹣y+1），N＝（2x+y）（2x﹣y），则M与N的大小是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定8．（2分）已知实数x、y满足9x2+y2+24x﹣6y+25＝0和axy﹣3x＝y，则a的值是（）A．B．C．D．9．（2分）如图，已知a＞b＞0，第一个图中阴影部分的面积为S，第二个图中阴影部分的面积为T，设k＝S÷T，则有（）A．k＞2B．＜k＜1C．1＜k＜2D．0＜k＜10．（2分）多项式x2+ax+12分解因式为（x+m）（x+n），其中a，m，n为整数，则a的取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）计算（﹣π）0+（﹣）﹣3﹣（﹣2）2＝．12．（3分）如果代数式3x﹣2的值为﹣，那么9x2﹣12x﹣4的值是．13．（3分）实数x，y，z满足2x+y﹣3z＝5，x+2y+z＝﹣4，请用x的代数式表示z，即．14．（3分）已知关于x的多式2x2﹣5x+k的一个因式是x+3，则k的值是．15．（3分）已知a2+3ab+b2＝13，a﹣b＝，则（a+b）2＝．16．（3分）已知多项式x4+mx+n能分解为（x2+px+q）（x2+2x﹣3），则p＝，q＝．17．（3分）已知是关于x，y的二元一次方程2mx+ny+4＝0的一个解，则代数式m3+6mn ﹣n3的值是．18．（3分）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②当k＝时，x，y的值互为相反数；③若2x•8y＝2z，则z＝1；④若方程组的解也是方程x+y＝2﹣k的解，则k＝1．其中正确的是（填写正确结论的序号）．三、解答题（本大题共计56分，解答应写出推演步骤、说理过程或文字说明）19．（4分）利用乘法公式简便计算：（1）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12；（2）1252﹣50×125+252．20．（6分）已知关于x，y 的方程组和的解相同，求（3a+b）﹣2021的值．21．（8分）先化简，再求值：（1）（m﹣2n）2﹣4n（3n﹣m）+（2n﹣3m）（3m+2n），其中2m2+n2＝6．（2）[（27a4﹣6a5）÷3a2+（﹣3a3）2÷（﹣a﹣1）﹣4]÷（﹣2a）2，其中a＝﹣6．22．（12分）在有理数范围内因式分解：（1）a2（x﹣y）+9（y﹣x）；（2）2x4﹣4x2y2+2y4；（3）（x2+x）（x2+x﹣8）+12；（4）x3﹣9x+8．23．（9分）小林在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：购买商品A的数量（个）购买商品B的数量（个）购买总费用（元）第一次购物651140第二次购物371110第三次购物981062（1）小林以折扣价购买商品A、B是第次购物；（2）求出商品A、B的标价；（3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？24．（9分）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．（1）已知大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，求长方形B的面积；（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝．（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？请你直接写出答案．范例：拼法一：拼出一个长方形，长为，宽为；拼法二：拼出一个正方形，边长为；（注：以上范例中的拼法次数仅供参考，请写出全部答案）25．（8分）阅读下列范例，按要求解答问题．例：已知实数a，b，c满足：，求a，b，c的值．解：∵a+b+2c＝1，∴a+b＝1﹣2c，设①∵②将①代入②得：整理得：t2+（c2+2c+1）＝0，即t2+（c+1）2＝0，∴t＝0，c＝﹣1将t，c的值同时代入①得：．∴．以上解法是采用“均值换元”解决问题．一般地，若实数x，y满足x+y＝m，则可设，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题．现请你根据上述方法试解决下面问题：已知实数a，b，c满足：a+b+c＝6，a2+b2+c2＝12，求a，b，c的值．2020-2021学年浙江省杭州外国语中学七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．（2分）有一种细胞，它的平均直径是0.0000088米用科学记数法表示为（）A．88×10﹣6米B．8.8×10﹣6米C．0.88×10﹣6米D．8.8×10﹣7米【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000088米＝8.8×10﹣6米．故选：B．2．（2分）下列计算中正确的是（）A．（﹣3cd）3＝﹣9c3d3B．﹣2x（x2﹣x+1）＝﹣2x3﹣2x2+2xC．（a+3）2＝a2+3a+9D．（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2【分析】根据幂的乘方与积的乘方的性质，单项式乘多项式法则，完全平方公式及平方差公式分别计算可逐项判定求解．【解答】解：A．（﹣3cd）3＝﹣27c3d3，故错误；B．﹣2x（x2﹣x+1）＝﹣2x3+2x2﹣2x，故错误；C．（a+3）2＝a2+6a+9，故错误；D．（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故正确．故选：D．3．（2分）下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．m2﹣mn+n2＝（2m﹣n）2C．x n+1﹣x n﹣1＝x n（x﹣x﹣1）（n为正整数）D．x4﹣x2﹣12＝（x2+3）（x2﹣4）【分析】利用平方差公式及因式分解的方法求解判断即可．【解答】解：A，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，这是整式乘法，故此选项不符合题意；B，m2﹣mn+n2＝（4m2﹣4mn+n2）＝（2m﹣n）2，故此选项符合题意；C，x n+1﹣x n﹣1在整式范围内不能因式分解，故此选项不符合题意；D，x4﹣x2﹣12＝（x2+3）（x2﹣4）＝（x2+3）（x+2）（x﹣2），故此选项不符合题意；故选：B．4．（2分）若关于x的多项式4x2﹣（3k﹣6）x+9是完全平方式，则k的值为（）A．0或4B．﹣2C．0或6D．6或﹣2【分析】结合完全平方公式可求得3k﹣6＝±12，进而可求解k值．【解答】解：由题意得4x2﹣（3k﹣6）x+9＝（2x±3）2＝4x2±126x+9，∴3k﹣6＝±12，解得k＝6或﹣2故选：D．5．（2分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（）A．6，2，7B．2，6，7C．6，7，2D．7，2，6【分析】根据“加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：依题意得：，解得：．故选：C．6．（2分）关于x，y的二元一次方程（m﹣2）x+（m+1）y＝2m﹣7，当m取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个相同解，则这个相同解是（）A．B．C．D．【分析】根据直线过定点，可得方程组，根据解方程组，可得答案．【解答】解：（m﹣2）x+（m+1）y＝2m﹣7，整理，得m（x+y﹣2）+（y﹣2x+7）＝0，由方程的解与m无关，得x+y﹣2＝0，且y﹣2x+7＝0，解得，故选：A．7．（2分）已知M、N表示两个代数式，M＝（x+1）（x﹣1）﹣2（y2﹣y+1），N＝（2x+y）（2x﹣y），则M与N的大小是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定【分析】把M与N代入M﹣N中，判断差的正负确定出各自的大小即可．【解答】解：∵M＝（x+1）（x﹣1）﹣2（y2﹣y+1），N＝（2x+y）（2x﹣y），∴M﹣N＝（x+1）（x﹣1）﹣2（y2﹣y+1）﹣（2x+y）（2x﹣y）＝x2﹣1﹣2y2+2y﹣2﹣4x2+y2＝﹣3x2+2y﹣y2﹣3＝﹣3x2﹣（y﹣1）2﹣2＜0，则M＜N．故选：B．8．（2分）已知实数x、y满足9x2+y2+24x﹣6y+25＝0和axy﹣3x＝y，则a的值是（）A．B．C．D．【分析】根据9x2+y2+24x﹣6y+25＝0，可求出x，y的值，代入axy﹣3x＝y，即可解出a．【解答】解：∵9x2+y2+24x﹣6y+25＝0，∴（3x+4）2+（y﹣3）2＝0，∴3x+4＝0，y﹣3＝0，解得：x＝﹣，y＝3，代入axy﹣3x＝y，a×3×（﹣）﹣3×（﹣＝3，故a＝．故选：A．9．（2分）如图，已知a＞b＞0，第一个图中阴影部分的面积为S，第二个图中阴影部分的面积为T，设k＝S÷T，则有（）A．k＞2B．＜k＜1C．1＜k＜2D．0＜k＜【分析】直接分别表示出阴影部分面积，进而利用整式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：由题意可得：S＝a2﹣b2，T＝a2﹣ab，故k＝S÷T＝（a2﹣b2）÷（a2﹣ab）＝（a+b）÷a＝1+，∵a＞b＞0，∴0＜＜1，∴1＜1+＜2，即1＜k＜2．故选：C．10．（2分）多项式x2+ax+12分解因式为（x+m）（x+n），其中a，m，n为整数，则a的取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】把12分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和．【解答】解：12＝1×12时，a＝1+12＝13；12＝﹣1×（﹣12）时，﹣1+（﹣12）＝﹣13；12＝2×6时，a＝2+6＝8；12＝﹣2×（﹣6）时，﹣2+（﹣6）＝﹣8；12＝3×4时，a＝3+4＝7；12＝﹣3×（﹣4）时，﹣3+（﹣4）＝﹣7；∴a的取值有6个．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）计算（﹣π）0+（﹣）﹣3﹣（﹣2）2＝﹣11．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣8﹣4＝﹣11．故答案为：﹣11．12．（3分）如果代数式3x﹣2的值为﹣，那么9x2﹣12x﹣4的值是﹣2．【分析】将9x2﹣12x﹣4变形为：（3x﹣2）2﹣8，即可求值．【解答】解：∵9x2﹣12x﹣4＝（3x﹣2）2﹣8．当3x﹣2＝﹣时．原式＝（3x﹣2）2﹣8＝6﹣8＝﹣2．故答案为：﹣2．13．（3分）实数x，y，z满足2x+y﹣3z＝5，x+2y+z＝﹣4，请用x的代数式表示z，即z ＝．【分析】根据已知方程消去y，表示出z即可．【解答】解：2x+y﹣3z＝5①，x+2y+z＝﹣4②，①×2﹣②得：3x﹣7z＝14，整理得：z＝．故答案为：z＝．14．（3分）已知关于x的多式2x2﹣5x+k的一个因式是x+3，则k的值是9．【分析】设另一个因式为（2x﹣n），根据多项式乘以多项式法则展开得出2x2﹣5x+k＝2x2+（6﹣n）x﹣3n，得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：设另一个因式为（2x﹣n），则（2x﹣n）（x+3）＝2x2+（6﹣n）x﹣3n，即2x2+3x﹣k＝2x2+（6﹣n）x﹣3n，∴，解得，故答案为：9．15．（3分）已知a2+3ab+b2＝13，a﹣b＝，则（a+b）2＝11．【分析】由a﹣b＝可得（a﹣b）2＝3，结合a2+3ab+b2＝13可求解ab＝2，进而可求解．【解答】解：∵a﹣b＝，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝3，∵a2+3ab+b2＝13，∴5ab＝10，解得ab＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝3+4×2＝11．故答案为11．16．（3分）已知多项式x4+mx+n能分解为（x2+px+q）（x2+2x﹣3），则p＝﹣2，q＝7．【分析】把（x2+px+q）（x2+2x﹣3）展开，找到所有x3和x2的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．【解答】解：∵（x2+px+q）（x2+2x﹣3）＝x4+px3+qx2+2x3+2px2+2qx﹣3x2﹣3px﹣3q ＝x4+（p+2）x3+（q+2p﹣3）x2+（2q﹣3p）x﹣3q＝x4+mx+n．∴展开式乘积中不含x3、x2项，∴，解得：．故答案为：﹣2，7．17．（3分）已知是关于x，y的二元一次方程2mx+ny+4＝0的一个解，则代数式m3+6mn ﹣n3的值是﹣8．【分析】把代入方程，可得m﹣n＝﹣2，再代入代数式m3+6mn﹣n3即可求出答案．【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程2mx+ny+4＝0的一个解，∴2m﹣2n+4＝0，∴m﹣n＝﹣2，∴m3+6mn﹣n3＝（m﹣n）（m2+mn+n2）+6mn＝﹣2（m2+mn+n2）+6mn＝﹣2（m﹣n）2＝﹣2×（﹣2）2＝﹣8．故答案为：﹣8．18．（3分）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②当k＝时，x，y的值互为相反数；③若2x•8y＝2z，则z＝1；④若方程组的解也是方程x+y＝2﹣k的解，则k＝1．其中正确的是①②③④（填写正确结论的序号）．【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．【解答】解：①把代入得：，解两方程得：k＝2，故①结论正确；②当k＝时，，解得：，故x，y的值互为相反数，故②结论正确；③2x•8y＝2z，则x+3y＝z，即3k﹣2+3（﹣k+1）＝z，解得：z＝1，故此③结论正确；④若方程组的解也是方程x+y＝2﹣k的解，解方程组，得，故3k﹣2﹣k+1＝2﹣k，解得：k＝1，故④结论正确，综上所述，正确的是①②③④．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共计56分，解答应写出推演步骤、说理过程或文字说明）19．（4分）利用乘法公式简便计算：（1）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12；（2）1252﹣50×125+252．【分析】（1）利用平方差公式计算即可；（2）利用完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12＝（100+99）×（100﹣1）+（98+97）×（98﹣97）+...+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+...+3＝202×25＝5050；（2）1252﹣50×125+252＝1252﹣2×25×125+252＝（125﹣25）2＝1002＝10000．20．（6分）已知关于x，y的方程组和的解相同，求（3a+b）﹣2021的值．【分析】根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，到关于a、b的二元一次方程组求出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：因为已知的两个方程组的解相同，所以这两个方程组的解也是方程组的解．解得，代入方程组，得，解得，故（3a+b）﹣2021＝（﹣6+5）﹣2021＝（﹣1）﹣2021＝﹣1．21．（8分）先化简，再求值：（1）（m﹣2n）2﹣4n（3n﹣m）+（2n﹣3m）（3m+2n），其中2m2+n2＝6．（2）[（27a4﹣6a5）÷3a2+（﹣3a3）2÷（﹣a﹣1）﹣4]÷（﹣2a）2，其中a＝﹣6．【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后根据2m2+n2＝6，即可求得所求式子的值；（2）根据多项式除以单项式、积的乘方和同底数幂的乘除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1）（m﹣2n）2﹣4n（3n﹣m）+（2n﹣3m）（3m+2n）＝m2﹣4mn+4n2﹣12n2+4mn+4n2﹣9m2＝﹣8m2﹣4n2，∵2m2+n2＝6，∴8m2+4n2＝24，当8m2+4n2＝24时，原式＝﹣（8m2+4n2）＝﹣24；（2）[（27a4﹣6a5）÷3a2+（﹣3a3）2÷（﹣a﹣1）﹣4]÷（﹣2a）2＝[9a2﹣2a3+9a6÷（a4）]÷（4a2）＝（9a2﹣2a3+9a2）÷（4a2）＝（18a2﹣2a3）÷（4a2）＝﹣a，当a＝﹣6时，原式＝×（﹣6）＝+3＝．22．（12分）在有理数范围内因式分解：（1）a2（x﹣y）+9（y﹣x）；（2）2x4﹣4x2y2+2y4；（3）（x2+x）（x2+x﹣8）+12；（4）x3﹣9x+8．【分析】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；（3）原式整理后，利用十字相乘法分解即可；（4）原式第二项拆项后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝a2（x﹣y）﹣9（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣9）＝（x﹣y）（a+3）（a﹣3）；（2）原式＝2（x4﹣2x2y2+y4）＝2（x2﹣y2）2＝2（x+y）2（x﹣y）2；（3）原式＝（x2+x）2﹣8（x2+x）+12＝（x2+x﹣2）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+2）（x﹣2）（x+3）；（4）原式＝x3﹣x﹣8x+8＝x（x2﹣1）﹣8（x﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）﹣8（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣8）．23．（9分）小林在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：购买商品A的数量（个）购买商品B的数量（个）购买总费用（元）第一次购物651140第二次购物371110第三次购物981062（1）小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物；（2）求出商品A、B的标价；（3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？【分析】（1）根据图表可得小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物；（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值；（3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元，列出方程求解即可．【解答】解：（1）根据表格中，第三购买A，B商品的数量都比前两次多，购买总费用反而少，则小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物．故答案为：三；（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得，解得：．答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元；（3）设商店是打a折出售这两种商品，由题意得，（9×90+8×120）×＝1062，解得：a＝6．答：商店是打6折出售这两种商品的．24．（9分）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．（1）已知大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，求长方形B的面积；（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝9．（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？请你直接写出答案．范例：拼法一：拼出一个长方形，长为3a+5b，宽为2b；拼法二：拼出一个正方形，边长为a+3b；（注：以上范例中的拼法次数仅供参考，请写出全部答案）【分析】（1）用代数式表示图形面积，再分解即可．（2）先表示所拼的长方形面积，再对照三种卡片面积求出x，y，z的值即可．（3）通过因式分解找到正方形或长方形的边长．【解答】解：（1）∵大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34．∴a2+b2＝169，a+b＝＝17．∴（a+b）2＝289．∴a2+b2+2ab＝289．∴ab＝＝60．∴长方形B的面积是60．（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．A的面积是a2，B的面积ab，C的面积b2．∴x＝2，y＝5，z＝2．∴x+y+z＝9．故答案为9．（3）当拿掉2张C，则：∵a2+6ab+9b2＝（a+3b）2．∴拼成的正方形边长为a+3b．当拿掉1张A，1张B，则5ab+11b2＝b（5a+11b）．∴拼成的长方形的长为5a+11b，宽为b．当拿掉1张A，1张C，则6ab+10b2＝2b（3a+5b）．∴拼成的长方形的长为（3a+5b），宽为：2b．故答案为：长方形，3a+5b，2b．正方形，a+3b．25．（8分）阅读下列范例，按要求解答问题．例：已知实数a，b，c满足：，求a，b，c的值．解：∵a+b+2c＝1，∴a+b＝1﹣2c，设①∵②将①代入②得：整理得：t2+（c2+2c+1）＝0，即t2+（c+1）2＝0，∴t＝0，c＝﹣1将t，c的值同时代入①得：．∴．以上解法是采用“均值换元”解决问题．一般地，若实数x，y满足x+y＝m，则可设，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题．现请你根据上述方法试解决下面问题：已知实数a，b，c满足：a+b+c＝6，a2+b2+c2＝12，求a，b，c的值．【分析】从题中我们可以看出本题的关键是利用方程a+b+c＝6得a+b＝6﹣c，设①将①代入方程②a2+b2+c2＝12，这就把三元的方程转化成二元的方程．求出未知数，就能正确的解出方程．【解答】解：∵a+b+c＝6∴a+b＝6﹣c，设①∵a2+b2+c2＝12②∴整理得：3c2﹣12c+4t2+12＝0配方得：3（c﹣2）2+4t2＝0，∴c＝2，t＝0把c＝2，t＝0代入①得：a＝2，b＝2所以，a＝b＝c＝2．。
杭州市高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试卷
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣124．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣15．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行6．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥C1﹣A1BD的体积为（）A．B．C．D．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB＝BC＝2，AB，BC分别与y'轴、x'轴平行，则△ABC在原图中对应三角形的面积为（）A．B．1C．2D．48．若函数f（x）＝x2+e x﹣（x＜0）与g（x）＝x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为，此时||＝．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H（t）＝A sin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H（t）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．20．已知函数f（x）＝g（x）h（x），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f（x）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝﹣3+2i，∴，∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C．2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣12解：，，与的夹角θ为45°，则＝＝12．故选：B．4．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣1解：根据题意，函数，则f（﹣1）＝e0＝1，则f（f（﹣1））＝f（1）＝1﹣2＝﹣1；故选：D．5．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行解：∵a⊂α，α∥β，∴a与α内直线的位置关系有两种：平行或相交，故A错误；a与β内直线的位置关系有两种：平行或异面，平行的有无数条，相交的也有无数条，故B正确CD错误．故选：B ．6．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为（）A ．B ．C ．D ．解：∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴正方体的体积为1×1×1＝1，又＝，∴三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为1﹣，故选：A ．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB ＝BC ＝2，AB ，BC 分别与y '轴、x '轴平行，则△ABC 在原图中对应三角形的面积为（）A ．B ．1C ．2D ．4解：把直观图转化为原平面图形，如图所示：则原平面图形为直角三角形，计算该直角三角形的面积为S ＝×4×2＝4．故选：D ．8．若函数f （x ）＝x 2+e x ﹣（x ＜0）与g （x ）＝x 2+ln （x +a ）图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A ．（﹣）B ．（）C ．（）D ．（）解：因为f （x ），g （x ）图象上存在关于y 轴对称的点，设P （x ，y ）（x ＜0）在函数f （x ）上，则P 关于y 轴的对称点Q 为（﹣x ，y ），则存在x ∈（﹣∞，0），满足x 2+e x ﹣＝（﹣x ）2+ln （﹣x +a ），即方程e x ﹣＝ln （﹣x +a ）在（﹣∞，0）上有解，即函数F（x）＝与函数h（x）＝ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有交点，在直角坐标系中画出函数F（x）和h（x）的图象，如图所示，当h（x）过点时，a＝，由图象可知，当a＜时，函数F（x）与h（x）在x＜0时有交点，所以a的取值范围为（﹣∞，）．故选：A．9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形解：在A中，面最少的多面体是三棱锥，故最多面体至少有四个面，故A正确；在B中，平行六面体的六个面均为平行四边形，故B正确；在C中，长方体、正方体都是四棱柱，但长方体不是正四棱柱，故C错误；在D中，棱台的所有侧面都是梯形，故D正确．故选：ABD．10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则解：对于A，当x＜0时，x+≤﹣2，故错；对于B，当a＜b＜0时，，则，故正确；对于C，若x（x﹣2）＜0，则0＜x＜2，则log2x∈（﹣∞，1），故错；对于D，若a＞0，b＞0，a+b≤1，则有ab，即，故正确．故选：BD．11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个解：建立直角坐标系，如图所示：设正方形的边长为1，设动点P（x，y），则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（﹣1，1），所以＝（1，0），＝（﹣1，1），所以＝+μ，整理得，所以λ+μ＝x+2y，下面对点P的位置逐一进行讨论，①当点P在AB上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，1]，②当动点P在BC上时，，故λ+μ＝x+2y∈[1，3]，③当动点P在CD上时，，故λ+μ＝x+2y∈[2，3]，④当动点P在DA上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，2]，由此可得：λ+μ＝2，得到动点P为BC的中点或点D的位置，故A错误，当λ+μ＝1时，得到动点P为点B的位置或AD的中点，故B正确，当λ+μ＝时，点P为CD的中点或P（1，），故D正确，当λ+μ＝3时，点P为C（1，1）的位置，故C正确．故选：BCD．12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是解：当x＝时，，所以，故选项A正确；当时，图象面积增加，即f（x）单调递增，故选项B错误；取BC的中点G，连接OG，设射线OP与正方形的边的交点为E，作点E关于直线OG的对称点F，则∠FOD＝x，所以∠AOF＝π﹣x，将射线OF绕点O按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S＝f（x），因为S+f（π﹣x）＝4，所以f（x）+f（π﹣x）＝4，故选项C正确；因为f（x）+f（π﹣x）＝4，则，所以，则f（x）的图象不关于对称，故选项D错误．故选：AC．二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．解：复数||＝＝＝＝，故答案为：．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝1．解：在△ABC中，∵AB＝，BC＝3，∠C＝120°，∴由余弦定理可得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos C，即：（）2＝AC2+32﹣2×3×AC×cos120°．∴整理可得：AC2+3AC﹣4＝0，解得：AC＝1或﹣4（舍去）．故答案为：1．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝﹣7．解：设大正方形的边长为a＝5，小正方形的边长为1，故设直角三角形的边长为x和x+1，故x2+（x+1）2＝25，解得x＝3，故tan．故＝﹣7．故答案为：﹣7．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为﹣16，此时||＝6．解：∵A（﹣5，0）和B（5，0）在中点为原点O（0，0），不妨以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，H为AB上一点，，故，所以，P到直线AB的距离为3，则P点在直线L：y＝3上，可得：A（﹣5，0），B（5，0），P（x，3），则＝（﹣5﹣x，﹣3）⋅（5﹣x，﹣3）＝x2﹣25+9＝x2﹣16，当且仅当x＝0时，取最小值﹣16，此时P（0，3），．故答案为：﹣16；6．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．【解答】（1）解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点，则EC＝CD＝1，∠ACB＝60°，所以，故三棱锥C1﹣CDE的体积为＝＝；（2）证明：因为D、E分别为BC、AC的中点，则DE∥AB，又AB∥A1B1，所以DE∥A1B1，又A1B1⊄平面DEC1，DE⊂平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．解：（1），所以．（2），因为与共线，所以，解得m＝4．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H （t ）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．解：（1）H 关于t 的函数关系式为H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B ，由，解得A ＝62，B ＝83，…1分又函数周期为30，所以ω＝＝，可得H （t ）＝62sin （t +φ）+83，…2分又H （0）＝62sin （×0+φ）+83＝21，所以sin φ＝﹣1，φ＝﹣，…3分所以摩天轮转动一周的解析式为：H （t ）＝62sin （t ﹣）+83，0≤t ≤30，…4分（2）H （t ）＝62sin （t ﹣）+83＝﹣62cos t +83，所以﹣62cos t +83＝52，cos t ＝，…6分所以t ＝5…8分（3）由题意知，经过t 分钟后游客甲距离地面高度解析式为H 甲＝﹣62cos t +83，乙与甲间隔的时间为＝5分钟，所以乙距离地面高度解析式为H 乙＝﹣62cos （t ﹣5）+83，5≤t ≤30，…10分所以两人离地面的高度差h ＝|H 甲﹣H 乙|＝|﹣62cos t +62cos （t ﹣5）|＝62|sin （t ﹣）|，5≤t ≤30，当t ﹣＝，或时，即t ＝10或25分钟时，h 取最大值为62米…12分20．已知函数f （x ）＝g （x ）h （x ），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f （x ）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．解：若选条件①，f（x）＝＝2sin x（cos x﹣sin x）＝2sin x cos x﹣2sin2x＝sin2x+cos2x﹣1＝．（1）函数的周期为T＝π；（2）∵x∈，∴2x+∈[，]，当2x+＝，即x＝﹣时，函数取得最小值﹣2，当2x+＝，即x＝时，函数取得最大值；若选条件②，f（x）＝＝＝．（1）函数的周期为T＝2π；（2）由x∈，得sin x∈[，]，当sin x＝，即x＝时，函数取得最大值，当sin x＝﹣，即x＝﹣时，函数取得最大值﹣1﹣．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？【解答】（1）y1＝（10﹣m）x﹣20，其中{x|0≤x≤200，x∈N}，，其中{x|0≤x≤120，x∈N}．（2）∵6≤m≤8，∴10﹣m＞0，∴y1在定义域上是增函数，∴当x＝200时，（y1）max＝（10﹣m）200﹣20＝1980﹣200m，又，∴当x＝100时，（y2）max＝460，（y1）max﹣（y2）max＝1980﹣200m﹣460＝1520﹣200m，当1520﹣200m＞0时，即6≤m＜7.6时，投资A产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＝0时，即m＝7.6时，投资A或B产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＜0时，即7.6＜m≤8时，投资B产品可获得最大年利润．22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）g(x)＝|log2x|＝,因为关于x的方程g(x)＝n有两个不等的实数根α,β,(α＜β)所以﹣log2α＝n,log2β＝n,所以α＝2﹣n,β＝2n,所以αβ＝2﹣n•2n＝20＝1．（2）f(m)＝＝m+﹣3在m∈[1,2]上单调递减，则f(2)≤f(m)≤f(1),所以1≤f(m)≤2,令p＝f(m),则p∈[1,2],因为g(x)＝|log2x|在[,1]上单调递减，在[1,4]上电脑端递增，又g()＝3,g(1)＝0,g(4)＝2,令t＝g(x),则当t∈(0,2]时，方程t＝g(x)有两个不等实数根，由(1)知，两个根之积为1，当t∈(2,3]∪{0}时，方程t＝g(x)有且仅有一个根且此根在区间[,)内或为1，令h(t)＝4t2﹣4at+3a﹣1,所以原题目等价于，对任意p∈[1,2]，关于t的方程h(t)＝p在区间[0,3]上总有2个不等根t1,t2(t1＜t2),且t1＝g(x)有两个不等根，t2＝g(x)只有一个根，则必有0＜t1≤2＜t2≤3,则有,解得＜a≤,此时t2＝g(x)∈(2,3),则其根x∈[,),所以x1x2x3∈[,),所以存在实数a,使得对任意m∈[1,2],关于x的方程4g2(x)﹣4ag(x)+3a﹣1﹣f(m)＝0在区间[,4]上总有3个不等根，x1,x2,x3,实数a的取值范围为(，],x1x2x3的范围为[,)．。
2013-2014学年高一数学上学期期中试题及答案(新人教A版 第148套)
浙江省杭州外国语学校2013-2014学年（第一学期）高一期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷．．相应空格中） 1．已知集合|0,1x M x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭，{}2|31,N y y x x R ==+∈，则M N ⋂等于( )A ．φB ．{}|1x x ≥C ．{}|1x x >D ．{}|10x x x ≥<或 2．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在圆的半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同； ⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确．．命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．若()f x =，则()f x 的定义域为 ( )A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦ C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,+∞ 4．下列函数()y f x =中满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞，当12x x <时，都有()12()f x f x <”的是 ( ) A ．1()f x x= B ．()2()1f x x =- C ．2()f x e = D ．()ln(1)f x x =+ 5．454sincos tan 363πππ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭的值是( )A．4-B．4 C．4- D．46．定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-．当[]1,1x ∈-时，3()f x x =，则(2013)f 的值是 ( )A ．1B ．2C ．0D ．1-7．若cos2sinαα+=tanα等于 ( ) A．12B．2 C．12-D．2-8．函数x xx xe eye e--+=-的图象大致为 ( ) 9．已知()y f x=为R上的减函数，则满足1(1)f fx⎛⎫<⎪⎝⎭的实数x的取值范围是 ( ) A．()1,1- B．()0,1 C．()()1,00,1-⋃ D．()(),11,-∞-⋃+∞10．已知函数lg,010()13,105x xf xx x⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c互不相等，且()()()f a f b f c==，则abc 的取值范围是 ( ) A．()1,10B．()5,10 C．()10,15D．()15,30二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答卷中相应横线上）11．化简1603[(2)](1)---的值为____▲____.12．函数()f x=的单调增区间为____▲____.13．函数()2()log31xf x=+的值域为____▲____.14．已知cos63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则5cos6πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值为____ ▲____.15．已知函数()ln2f x x x=-+有一个零点所在的区间为(),1k k+ (*k N∈)，则k的值为____▲____.16．已知函数())f x x=，若实数,a b满足(1)()0f a f b-+=，则a b+等于▲ .17．已知不等式2log 0a x x -<，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时恒成立，则实数a 的取值范围是▲ .三、解答题（本大题共4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．(本小题满分10分）已知集合2{310}M x x x =-≤，{121}N x a x a =+≤≤+．(Ⅰ)若2a =，求M (R N ð)；(Ⅱ)若MN M =，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分10分）已知()()sin cos 2ππαπααπ⎛⎫--+=<< ⎪⎝⎭，求下列各式的值： (Ⅰ)sin cos αα-； (Ⅱ) 33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．(本小题满分10分）设a 为实数，函数()2()2f x x x a x a =+--.(Ⅰ)若(0)4f ≥，求a 的取值范围； (Ⅱ)求函数()f x 的最小值.21．(本小题满分12分）已知定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >， 使得|()|f x M ≤成立， 则称()f x 是D 上的有界函数， 其中M 称为函数()f x 的上界.下面我们来考虑两个函数：()421xxf x p --=+⋅+， 12()12xxq g x q -⋅=+⋅.（Ⅰ）当1p =时， 求函数()f x 在(),0-∞上的值域， 并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数， 请说明理由；（Ⅱ）若1,22q ⎛∈⎝⎦， 函数()g x 在[]0,1上的上界是()H q ， 求()H q 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数， 求实数p 的取值范围．杭州外国语学校2013-1高一年级期中考试数学答题卷一、选择题：(本大题有10小题，每小题3分，共30分)二、填空题：(本大题有7小题，每小题4分，共28分)11. 3 12.[)2,+∞ 13. ()0,+∞14.1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：(本大题有4小题，共42分，请写出必要的解答过程) 18. (1) 因为a ＝2，所以N ＝{x |3≤x ≤5}，∁R N ＝{x |x ＜3或x ＞5}． 又M ＝{x |－2≤x ≤5}， 所以M ∩ (∁R N )＝{x |x ＜3或x ＞5}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜3}．(2)若M ≠φ，由M N M =，得N ⊆M ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－22a ＋1≤52a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2； 当N ＝φ，即2a ＋1＜a ＋1时，a ＜0，此时有N ⊆M ，所以a ＜0为所求．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．____________________________________________________________________________________19.（1）sin cos 3αα+=，所以平方可得：212sin cos 9αα+=，即：7sin cos 18αα=-所以4sin cos 3αα-===（2）原式=3322cossin (sin cos )(sin sin cos cos )αααααααα+=+-+7(1)18=+=_______________________ 姓名_____________ 试场号______________ 考号_______________…………密○………………………………………封○………………………………………○线………………………○20. （1）(0)4f ≥，即：4a a -≥，所以0a <，得到：24a ≤，所以2a ≤-（2）()()22222,()2,x x a x a f x x x a x a⎧+-≥⎪=⎨--<⎪⎩令222212()323,33g x x ax a x a a x a ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭；()2222()22,h x x ax a x a a x a =+-=+-<当0a ≥时，2min ()2g g a a ==，2min ()2h h a a =-=-，所以2min 2f a =- 当0a <时，2min 1233g g a a ⎛⎫==⎪⎝⎭，2min ()2h h a a ==，所以2min 23f a =综上：2min22,02,03a a f a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩ ____________________________________________________________________________________21. （1）当p=1时，()421xx f x --=++因为)(x f 在(),0-∞上递减，所以()(0)3f x f >=，即)(x f 在(),1-∞的值域为()3,+∞故不存在常数0M >，使|()|f x M ≤成立, 所以函数()f x 在(),1-∞上不是有界函数（2）2()112xg x q =-+⋅，∵ q>0 ，[]1,0∈x ∴ ()g x 在[]0,1上递减，∴)0()()1(g x g g ≤≤ 即121()121q qg x q q--≤≤++∵1(2q ∈，∴112112q q q q --≥-++，∴1()1q g x q -≤+， ∴1()1q H q q-≥+ ，即 1[,)1qq -+∞+ （3）由题意知，3)(≤x f 在[)1,+∞上恒成立.3)(3≤≤-x f ， ∴1142()22()22x x x x p -⋅-≤≤⋅- 在[)0,+∞上恒成立∴ max min 11[42()][22()]22xx x x p -⋅-≤≤⋅-设t x=2，t t t h 14)(--=，tt t p 12)(-=， 由x ∈[)0,+∞得 t ≥1，设121t t ≤<，()()2112121241()()0t t t t h t h t t t ---=>, 所以)(t h 在[)1,+∞上递减，)(t h 在[)1,+∞上的最大值为(1)5h =-， 又()()012)()(21212121<+-=-t t t t t t t p t p ，所以)(t p 在[)1,+∞上递增， )(t p 在[)1,+∞上的最小值为(1)1p =所以实数p 的取值范围为[]5,1-。
2020-2021学年浙江省9 1高中联盟高一上学期期中考试数学试题 PDF版
2020学年第一学期9+1高中联盟期中考试高一年级数学学科 试题1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4．参加联批学校的学生可登陆 查询个人分析报告。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}12M x x =<<，{}=3N x x <，则集合M 和集合N 的关系是（ ▲ ）A ．N M ∈B ．M N∈C ．M N⊆D ．N M⊆2．函数()()02f x x =+的定义域为（ ▲ ）A ．()(),22,-∞+∞ B ．()(),22,2-∞-- C ．(),2-∞-D ．()2-∞，3．已知幂函数()()22322m m f x m m x+-=--⋅在()0,+∞上单调递减，则=m （ ▲ ）A ．3B ．1-C ．1-或3D ．1或3-4．命题“x R ∀∈,210x x ++≤”的否定为（ ▲ ） A ． x R ∃∈，210x x ++> B ．x R ∀∈，210x x ++≥C ． x R ∃∉，210x x ++> D ．x R ∀∉，210x x ++≤5．设R x ∈，则“02x <<”是“38x <”的（ ▲ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ▲ ）A B C D7．对于给定的正数k ，定义函数(),()(),()k f x f x k f x k f x k ⎧=⎨>⎩，若对于函数()f x =的定义域内的任意实数x ，恒有()()k f x f x =，则（ ▲ ） A ．k 的最大值为2B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为4D ．k 的最小值为48．已知定义在[]1,2a a -上的偶函数()f x ，且当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（ ▲ ）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦ D ．25,36⎛⎤⎥⎝⎦二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{a，b}，B＝{a+1，3}（a，b∈R），若A∩B＝{2}，则A∪B＝（）A．{2}B．{3}C．{1，2，3}D．{0，1，2}2．与函数f（x）＝表示同一函数提（）A．g（x）＝B．g（x）＝（）2C．g（x）＝x D．g（x）＝|x|3．已知幂函数f（x）＝x a的图象过点（9，3），若f（t）＝2，则实数t的值为（）A．B．C．±4D．44．己知函数y＝f（x），x∈R，且f（0）＝3，，，，…，，n∈N*，则函数y＝f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝3×2x B．f（x）＝3×4x C．f（x）＝3×8x D．f（x）＝4x5．设函数，则f（f（a））＝2，则a＝（）A．0B．C．D．16．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．y2＞x2B．C．lg（y﹣x）＞0D．7．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 8．若对任意使得关于x的方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有实数解的a，b，c均有（a﹣b）2+（b﹣a）2+（c﹣a）2≥rc2，则实数r的最大值是（）A．1B．C．D．29．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥8B．a≥9C．a≥10D．a≥1110．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A．（a＞0，b＞0）B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）C．（a＞0，b＞0）D．（a≥0，b＞0）11．华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中c1＝a1b11+a2b21，c2＝a1b12+a2b22．已知定义在R上不恒为0的函数f（x），对任意a，b∈R有：且满足f（ab）＝y1+y2，则（）A．f（0）＝0B．f（﹣1）＝1C．f（x）是偶函数D．f（x）是奇函数12．定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象如图所示，则下列说法正确的有（）A．方程f（f（x））＝0可能存在五个解B．方程g（g（x））＝0有且仅有一个解C．方程f（f（x））＝0有两负数解和一正数解D．方程g（g（x））＝0最多只有三个解二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.13．函数f（x）＝的值域是．14．函数f（x）＝ln（x2﹣2x）的单调递增区间是．15．若函数f（x）＝（x2﹣1）（x2+ax+b）对于任意x∈R都满足f（x）＝f（x﹣4），则f（x）的最小值是．16．已知a、b、c为正实数，则代数式的最小值是．三、解答题：5小题，共74分.17．计算：（1）；（2）lg5•（lg8+lg1000）+3lg22+lg+lg0.06．18．设常数a∈R，集合，B＝{x|x≤a﹣1}．（1）若a＝2，求A∩B，A∩（∁R B）；（2）若A∪B＝R，求a的取值范围．19．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝log a（t﹣5）+83（a＞0，且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．（1）试求p＝f（t）的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．20．已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若a＞1，不等式f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围；（2）若且在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．21．已知函数为奇函数．（1）求实数k的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）若存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在区间[α，β]上的值域为，求实数m的取值范围．22．设函数f（x）＝ax2+|x﹣a|+b，a，b∈R．（1）若函数f（x）在[0，2]上单调递增，在（2，+∞）单调递减，求实数a的值；（2）若对任意的实数b∈[0，1]及任意的x∈[﹣3，3]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分.1．已知集合A＝{a，b}，B＝{a+1，3}（a，b∈R），若A∩B＝{2}，则A∪B＝（）A．{2}B．{3}C．{1，2，3}D．{0，1，2}解：∵A∩B＝{2}，∴2∈B，2∈A，∴，解a＝1，b＝2，∴A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3}．故选：C．2．与函数f（x）＝表示同一函数提（）A．g（x）＝B．g（x）＝（）2C．g（x）＝x D．g（x）＝|x|解：对于A，g（x）＝＝x的定义域是{x|x≠0}，f（x）＝＝|x|的定义域是R，定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于B，g（x）＝＝x的定义域是{x|x≥0}，f（x）＝＝|x|的定义域是R，定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于C，g（x）＝x的定义域是R，f（x）＝＝|x|的定义域是R，对应关系不同，不是同一函数；对于D，g（x）＝|x|的定义域是R，f（x）＝＝|x|的定义域是R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．3．已知幂函数f（x）＝x a的图象过点（9，3），若f（t）＝2，则实数t的值为（）A．B．C．±4D．4解：幂函数f（x）＝x a的图象过点（9，3），所以9a＝3，解得a＝，所以f（x）＝；当f（t）＝2时，即＝2，解得t＝4．故选：D．4．己知函数y＝f（x），x∈R，且f（0）＝3，，，，…，，n∈N*，则函数y＝f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝3×2x B．f（x）＝3×4x C．f（x）＝3×8x D．f（x）＝4x解：由题可知，＝4n，因为f（0）＝3，所以f（2n）＝3×4n，令x＝2n，则n＝，所以f（x）＝3×＝3×2x，故选：A．5．设函数，则f（f（a））＝2，则a＝（）A．0B．C．D．1解：∵函数，f（f（a））＝2，∴当a＜1时，f（a）＝3a﹣1，当f（a）＝3a﹣1＜1时，f（f（a））＝3（3a﹣1）﹣1＝2，解得a＝；当f（a）＝3a﹣1≥1时，f（f（a））＝23a﹣1＝2，则3a﹣1＝1，解得a＝；当a≥1时，f（a）＝2a，当f（a）＝2a＜1时，f（f（a））＝3×2a﹣1＝2，解得a＝0，不合题意；当f（a）＝2a≥1时，f（f（a））＝＝2，解a＝0，不合题意．综上，a＝．故选：C．6．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．y2＞x2B．C．lg（y﹣x）＞0D．解：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，设f（t）＝2t﹣3﹣t，则f（t）在R上是单调增函数；所以x＜y．对于A，由x＜y，不能得出y2＞x2，所以A错误；对于B，由x＜y，也不能得出，所以B错误；对于C，由x＜y，得出y﹣x＞0，不能得出lg（y﹣x）＞0，所以C错误；对于D，x＜y时，＞，即，选项D正确．故选：D．7．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 解：∵a＝log0.20.3＝，b＝log20.3＝，∴＝，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．8．若对任意使得关于x的方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有实数解的a，b，c均有（a﹣b）2+（b﹣a）2+（c﹣a）2≥rc2，则实数r的最大值是（）A．1B．C．D．2解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有实数解，△＝b2﹣4ac≥0，即，令，，故x2﹣4y≥0，即，∵（a﹣b）2+（b﹣a）2+（c﹣a）2≥rc2，∴，而＝2x2﹣2x+2+2y2﹣2y﹣2xy＝2y2﹣2（x+1）y+2x2﹣2x+2，当，即，当时，函数f（y）＝2y2﹣2（x+1）y+2x2﹣2x+2有最小值，，，，∴在其定义域上是增函数，又∵，∴当时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0，∴g（x）在上是减函数，在上是增函数，∴，当，即或时，当时，函数f（y）＝2y2﹣2（x+1）y+2x2﹣2x+2有最小值，，∵或，∴，综上，的最小值为，故实数实数r的最大值是．故选：B．9．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥8B．a≥9C．a≥10D．a≥11解：命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a．a≥10；a≥11是命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选：CD．10．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A．（a＞0，b＞0）B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）C．（a＞0，b＞0）D．（a≥0，b＞0）解：根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE•OD，由于：OD≥CD，所以：（a＞0，b＞0）．由于CD2＝AC•CB＝ab，所以所以由于CD≥DE，整理得：（a＞0，b＞0）．故选：AC．11．华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中c1＝a1b11+a2b21，c2＝a1b12+a2b22．已知定义在R上不恒为0的函数f（x），对任意a，b∈R有：且满足f（ab）＝y1+y2，则（）A．f（0）＝0B．f（﹣1）＝1C．f（x）是偶函数D．f（x）是奇函数解：根据定义可得：y1＝f（a）（﹣1）+f（b）（a﹣1）；且y2＝f（a）（b+1）+f（b）×1；∴f（ab）＝y1+y2＝﹣f（a）+f（b）（a﹣1）+f（a）（b+1）+f（b）；令a＝b＝0可得：f（0）＝﹣f（0）+f（0）（0﹣1）+f（0）（0+1）+f（0）⇒f（0）＝0，A成立；令a＝b＝1可得：f（1）＝﹣f（1）+f（1）（1﹣1）+f（1）（1+1）+f（1）⇒f（1）＝0，令a＝b＝﹣1可得：f（1）＝﹣f（﹣1）+f（﹣1）（﹣1﹣1）+f（﹣1）（﹣1+1）+f（﹣1）⇒f（﹣1）＝0，B不成立，令a＝﹣1可得：f（﹣b）＝﹣f（﹣1）+f（b）（﹣1﹣1）+f（﹣1）（b+1）+f（b）⇒f （﹣b）＝﹣f（b），C不成立，D成立，故选：AD．12．定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象如图所示，则下列说法正确的有（）A．方程f（f（x））＝0可能存在五个解B．方程g（g（x））＝0有且仅有一个解C．方程f（f（x））＝0有两负数解和一正数解D．方程g（g（x））＝0最多只有三个解解：对于A选项，设f（x）＝0的三个解分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜0＜x3，设y＝f（x）的极大值为m，极小值为n，当x1＜n时，f（x）＝x1有一个解；当n＜x2＜m时，f（x）＝x2有三个解；当x3＞m时，f（x）＝x3有一个解，所以方程f（f（x））＝0可能存在五个解，即A正确；对于C选项，当x1＜n时，f（x）＝x1有一个负数解；当x2＝n时，f（x）＝x2有一个负数解；当x3＞m时，f（x）＝x3有一个正数解，即C正确；对于B选项，设g（x）＝0的解为x4，且0＜x4＜a，由于g（x）在[﹣a，a]上单调递减，所以g（x）＝x4有唯一解，所以方程g（g（x））＝0有且仅有一个解，即B正确，D错误．故选：ABC．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.13．函数f（x）＝的值域是（0，1]．解：对于y＝1+x2≥1，故f（x）≤1，当x→∞时，y＝1+x2→+∞，故f（x）→0，故f（x）的值域是（0，1]，故答案为：（0，1]．14．函数f（x）＝ln（x2﹣2x）的单调递增区间是（2，+∞）．解：∵f（x）的定义域为：（2，+∞）∪（﹣∞，0）令z＝x2﹣2x，则原函数可以写为y＝lnz，∵y＝lnz为增函数∴原函数的增区间即是函数z＝x2﹣2x的单调增区间即（2，+∞）．∴x∈（2，+∞）故答案为：（2，+∞）．15．若函数f（x）＝（x2﹣1）（x2+ax+b）对于任意x∈R都满足f（x）＝f（x﹣4），则f（x）的最小值是﹣16．解：由题意可知，f（1）＝f（﹣1）＝0，又f（x）＝f（x﹣4），所以f（3）＝f（5）＝0，即，解得a＝﹣8，b＝15所以f（x）＝（x2﹣1）（x2﹣8x+15）＝（x2﹣1）（x﹣3）（x﹣5）＝（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5），令t＝x2﹣4x+4，t≥0，则函数f（x）可转化为g（t）＝（t﹣1）（t﹣9）＝（t﹣5）2﹣16，所以f（x）的最小值是﹣16．16．已知a、b、c为正实数，则代数式的最小值是．解：令b+3c＝x，8c+4a＝y，3a+2b＝z，则a＝，b＝，c＝，所以代数式＝．当且仅当x：y：z＝1：2：3，即a：b：c＝10：21：1时，等号成立．故答案为：．三、解答题：5小题，共74分.17．计算：（1）；（2）lg5•（lg8+lg1000）+3lg22+lg+lg0.06．解：（1）＝＝（2）＝＝3（lg5+lg2）•lg2+3lg5﹣2＝1．18．设常数a∈R，集合，B＝{x|x≤a﹣1}．（1）若a＝2，求A∩B，A∩（∁R B）；（2）若A∪B＝R，求a的取值范围．解：（1）∵A＝{x|x＜﹣1或x≥1}，a＝2时，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|x＜﹣1或x＝1}，∁R B＝{x|x＞1}，A∩（∁R B）＝{x|x＞1}；（2）∵A∪B＝R∴a﹣1≥1，解得a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）．19．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝log a（t﹣5）+83（a＞0，且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．（1）试求p＝f（t）的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．解：（1）当t∈（0，14]时，设p＝f（t）＝c（t﹣12）2+82（c＜0），将点（14，81）代入得c＝﹣，∴当t∈（0，14]时，p＝f（t）＝﹣（t﹣12）2+82；当t∈（14，40]时，将点（14，81）代入y＝log a（t﹣5）+83，得a＝，所以p＝f（t）＝；（2）当t∈（0，14]时，﹣（t﹣12）2+82≥80，解得12﹣2≤t≤12+2，所以t∈[12﹣2，14]，当t∈（14，40]时，log（t﹣5）+83≥80，解得5＜t≤32，所以t∈（14，32]，综上t∈[12﹣2，32]时学生听课效果最佳，此时，所以，教师能够合理安排时间讲完题目．20．已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若a＞1，不等式f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围；（2）若且在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．解：（1）∀x∈R，f（﹣x）＝a﹣x﹣＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），即f（x）是R上的奇函数．且a＞l时，g（x）＝a x单调递增，（x＞0）也单调递增，由复合函数单调性可知f（x）＝h[g（x）]在R上单调递增．原不等式f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0⇔f（x2+bx）＞﹣f（4﹣x）＝f（x﹣4）⇔x2+bx＞x﹣4，因此x2+（b﹣1）x+4＞0对x∈R恒成立，故△＝（b﹣1）2﹣16＝（b﹣5）（b+3）＜0，即﹣3＜b＜5．（2）∵，且a＞0，∴a＝2（a＝﹣＜0舍去）．因此，，当x∈[1，+∞）时，，令，其中x∈[1，+∞），并令φ（t）＝h（x）＝t2﹣2mt+2，其中，二次函数对称轴，①若，则，解得，矛盾，故无解；②若，则，解得m＝2（m＝﹣2＜舍去），满足题意．综上所述，m＝2．21．已知函数为奇函数．（1）求实数k的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）若存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在区间[α，β]上的值域为，求实数m的取值范围．解：（1）因为函数为奇函数，所以f（x）+f（﹣x）＝0，即对定义域内任意x恒成立，所以k2＝1，即k＝±1，显然k≠﹣1，又当k＝1时，的定义域关于原点对称．所以k＝1为满足题意的值．（2）结论：f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）上均为增函数．证明：由（1）知，其定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则，因为7（x1﹣1）（x2+1）﹣（x1+1）（x2﹣1）＝2（x1﹣x2）＜0，所以，所以，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上为增函数．同理，f（x）在（﹣∞，1）上为增函数．（3）由（2）知f（x）在（1，+∞）上为增函数，又因为函数f（x）在[α，β]上的值域为，所以m＞0，且，所以，即α，β是方程的两实根，问题等价于方程在（1，+∞）上有两个不等实根，令，对称轴则，即，解得．故m的范围（0，）．22．设函数f（x）＝ax2+|x﹣a|+b，a，b∈R．（1）若函数f（x）在[0，2]上单调递增，在（2，+∞）单调递减，求实数a的值；（2）若对任意的实数b∈[0，1]及任意的x∈[﹣3，3]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）f（x）＝，显然a＜0，则，解得，经检验，符合题意，∴a的值为﹣；（2）不等式|f（x）|≤2恒成立，即﹣2≤f（x）≤2，令g（x）＝ax2+|x﹣a|，则﹣2﹣b≤g（x）≤2﹣b恒成立，由任意的实数b∈[0，1]恒成立，则﹣2≤g（x）≤1恒成立．则由，解得，﹣2≤g（x）≤1可化为﹣ax2﹣2≤|x﹣a|≤﹣ax2+1恒成立，先考虑|x﹣a|≤﹣ax2+1恒成立，即ax2﹣1≤|x﹣a|≤﹣ax2+1，由x﹣a≤﹣ax2+1恒成立知，（x﹣1）（ax+a+1）≤0恒成立，则a+a+1＝0，即．只需证明：，因为，当时，，当时，，证毕．故实数a的取值范围为{﹣}．。
专题01 集合 高一数学上学期期中考试好题汇编(人教A版2019)
专题01 集合知识点一：相等集合一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作A ＝B.显然若两个集合相等，则它们的元素完全相同1.（安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高一上学期期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{4,5}M =，{5,4}N =C ．{}(,)1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=D ．{1,2}M =，{(1,2)}N =【答案】B 【分析】根据集合的元素是否相同判断即可． 【详解】解：A 两个集合的元素不相同，点的坐标不同， B 两个集合的元素相同，C 中M 的元素为点，N 的元素为数，D 中M 的元素为点，N 的元素为数， 故A ，C ，D 都不对． 故选：B ． 2.（多选题）（广东省佛山市南海区第一中学2020-2021学年高一上学期）下列各组中的两个集合相等的有__________.A 、{}2,P x x n n Z ==∈，(){}21,Q x x n n Z ==-∈；B 、{}21,P x x n n N *==-∈，{}21,Q x x n n N *==+∈；C 、{}20P x x x =-=，()11,2nQ x x n Z ⎧⎫+-⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【答案】AC 【分析】判断出A 选项中两个集合均为偶数集，可得出结论；分析出B 选项中的集合P 为正奇数集，集合Q 是从3开始的正奇数构成的集合，可得出结论；求出C 选项中的两个集合，可得出结论.【详解】对于A ，集合{}2,P x x n n Z ==∈为偶数集，集合(){}21,Q x x n n Z ==-∈也为偶数集，则P Q =；对于B ，集合{}21,P x x n n N *==-∈为正奇数集，集合{}21,Q x x n n N *==+∈是从3开始的正奇数构成的集合，则P Q ≠；对于C ，{}{}200,1P x x x =-==，对于()()112nx n Z +-=∈，若n 为奇数，则0x =；若n 为偶数，则1x =，即{}0,1Q =.P Q ∴=.故答案为：AC.3.（福建省龙岩市高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试）已知集合{}20,1,A a =，{1,0,23}=+B a ，若A B =，则a 等于 A ．1-或3 B ．0或1- C ．3 D ．1- 【答案】C 【分析】根据两个集合相等的知识列方程，结合集合元素的互异性求得a 的值. 【详解】 由于A B =，故223a a =+，解得1a =-或3a =.当1a =-时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =-不正确.经检验可知3a =符合. 故选：C4.．(多选题)（广东省广州市（广附、广外、铁一）三校2020年高一上学期期中）下列各组中M ，P 表示不同集合的是（ ） A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} B ．M ＝{(3，1)}，P ＝{(1，3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R} 【答案】ABD 【分析】选项A 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合； 选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ； 选项C 中，解出集合M 和P .选项D 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合. 【详解】选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合； 选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}=[)1,+∞，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}=[)1,+∞，故M =P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合． 故选ABD ．5.（山西省太原市2018-2019学年高一上学期期中）已知集合{,,2}A a b =，2{2,,2}B b a =，若A B =，求实数a ，b 的值.【答案】01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【分析】利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a ，b 的值． 【详解】解：由已知A B =，得22a ab b =⎧⎨=⎩（1）或22a b b a ⎧=⎨=⎩.（2） 解（1）得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩，解（2）得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又由集合中元素的互异性 得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.知识点二：元素与集合关系1、集合中元素的三个特性 (1)确定性；(2)互异性；(3)无序性2、(1)“属于”：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A.(2)“不属于”：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A.1、（福建省莆田第一中学2020-2021学年高一上学期期中）设集合{}22,,A x x =，若1A ∈,则x 的值为 A ．1- B ．±1 C ．1 D ．0 【答案】A 【详解】2111A x orx ∈∴== ，若211x x =⇒= ，不满足集合元素的互异性， 故21x =， 1.x =- 故结果选A .2.（内蒙古集宁一中2018-2019学年高一上学期期中）已知集合 {}1,2,3,4,5A =，{}1,2,3B =，{}|,C z z xy x A y B ==∈∈且，则集合C 中的元素个数为A ．15B ．13C ．11D ．12 【答案】C 【分析】根据题意，确定,x y 的可能取值；再确定z xy =能取的所有值，即可得出结果. 【详解】因为{}1,2,3,4,5A =，{}1,2,3B =，{}|,C z z xy x A y B ==∈∈且， 所以x 能取的值为1,2,3,4,5；y 能取的值为1,2,3，因此z xy =能取的值为1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15，共11个， 所以集合C 中的元素个数为11. 故选C3.（河南省开封市2020-2021学年高一上学期五县联考期中）已知集合{}230A x x ax a =-+≤，若1A -∉，则实数a 的取值范围为______.【答案】14a >-【分析】利用元素与集合的关系知1x =-满足不等式230x ax a -+>，代入计算即得结果. 【详解】若1A -∉，则1x =-不满足不等式230x ax a -+≤，即1x =-满足不等式230x ax a -+>，故代入1x =-，有130++>a a ，得14a >-．故答案为：14a >-．4.（湖北省武汉市问津联盟2020-2021学年高一上学期期中联考）设集合2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=.（1）若15a =，试判定集合A 与B 的关系；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值集合.【答案】（1）B 是A 的真子集；（2）11{0,,}35.【分析】（1）算出A 、B 后可判断B 是A 真子集. （2）就B φ=、B φ≠分类讨论即可.（1）{}{}3,5,5A B ==，∴B 是A 真子集 （2）当B φ=时，满足B A ⊆，此时0a =；当B φ≠时，集合1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，得13a =或5，解得13a =或15综上，实数a 的取值集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭.知识点三：空集的特殊应用(1)空集：只有一个子集，即它本身； (2)空集是任何非空集合的真子集． ∅{0}∅{∅}或 ∅∈{∅}1.（ ）A ．{}0B ．{8xx >∣，且}5x < C ．{}210x x ∈-=N∣ D ．{}4x x >【答案】B【分析】根据空集的定义判断． 【详解】A 中有元素0，B 中集合没有任何元素，为空集，C 中有元素1，D 中集合，大于4的实数都是其中的元素． 故选：B ．2.（河北省张家口市崇礼区第一中学2020-2021学年高一上学期期中）下列五个写法：①{0}{1,2,3}∈；②{0}∅⊆；③{0,1,2}{1,2,0}⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅，其中错误写法的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【分析】利用元素与集合的关系以及集合与集合之间的关系，便可得出答案. 【详解】对①：{0}是集合，{1,2,3}也是集合，所以不能用∈这个符号，故①错误. 对②：∅是空集，{0}也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确.对③：{0,1,2}是集合，{1,2,0}也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.对④：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以0∉∅，故④错误.对⑤：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.3.（青海省西宁市大通县第一中学2019-2020学年高一上学期期中）关于以下集合关系表示不正确的是（ ） A ．∅∈{∅} B ．∅∈{∅} C ．∅∈N* D ．∅∈N* 【答案】C 【分析】空集是任何集合的子集.根据元素与集合的关系、集合与集合的关系对选项逐一进行判断，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，集合中含有一个元素空集，故空集是这个集合的元素，故A 选项正确. 空集是任何集合的子集，故B,D 两个选项正确.对于C 选项，空集不是正整数集合的元素，C 选项错误.故选C.4.（青海省西宁市海湖中学2020-2021学年高一上学期）下列关系正确的是 A ．{0}∅⊆ B ．{0}∅∈ C ．0∈∅ D ．{0}⊆∅ 【答案】A 【分析】根据空集是任何集合的子集即可判断出选项A 正确． 【详解】空集是任何集合的子集； {}0∴∅⊆正确 本题正确选项：A知识点四：子集的应用子集有下列两个性质：①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A ⊆A ；②传递性：对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C.1.（吉林省长春市十一高中2020-2021学年高一上学期）已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．C ．{1,1}-D ．{【答案】C 【分析】根据子集关系列式可求得结果. 【详解】因为B A ⊆，所以21m =，得1m =±， 所以实数m 的取值集合为{1,1}-. 故选：C2.（江苏省淮安市淮安区2020-2021学年高一上学期期中）满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆的集合A 的个数为（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．16 【答案】A 【分析】根据已知条件可知集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，写出集合A 的所有情况即可求解. 【详解】因为集合A 满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，所以集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，满足条件的集合A 有：{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共有8个，故选：A.3.（湖北省孝感市汉川市第二中学2020-2021学年高一上学期期中）若集合M N ⊆，则下列结论正确的是 A ．M N M ⋂= B ．M N N ⋃=C ．M M N ⊆⋂（）D ．()M N N ⋃⊆【答案】ABCD 【分析】根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】由于M N ⊆，即M 是N 的子集，故M N M ⋂=，M N N ⋃=，从而M M N ⊆⋂（），()M N N ⋃⊆. 故选ABCD.4.（湖南省怀化市洪江市黔阳二中2020-2021学年高一上学期期中）已知集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M ∈P ∈N ，则下列结论正确的是 （ ）A ．U N ∈U PB ．N P ∈N MC ．(U P )∩M =∈D ．(U M )∩N =∈ 【答案】ABC 【分析】由已知条件画出Venn 图，如图所示，然后根据图形逐个分析判断即可 【详解】因为集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M ∈P ∈N ，所以作出Venn 图，如图所示，由Venn 图，得U N ∈U P ，故A 正确； N P ∈N M ，故B 正确； (U P )∩M =∈，故C 正确； (U M )∩N ≠∈，故D 错误. 故选：ABC知识点五：交集、并集、补集的运算（1）交集的运算性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩B ⊆A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . （2）并集的运算性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ⊆A ∪B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .（3）全集与补集的性质∁U A ⊆U ，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U ，A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (∁U A )＝A .1.（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高一上学期期中）设集合{}{}{}1,0,3,3,21,3A B a a A B =-=++=，则实数a 的值为________. 【答案】0或1 【分析】由于{}3A B ⋂=，所以可得33a +=或213a +=，从而可出a 的值【详解】解：因为{}{}{}1,0,3,3,21,3A B a a A B =-=++=所以33a +=或213a +=，所以0a =或经检验，0a =或1a =都满足题目要求，所以0a =或1a =，故答案为：0或1， 2.（浙江省杭州市高级中学2020-2021学年高一上学期期中）已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x << 【答案】C 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．3.（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高一上学期期中）已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=（ ） A ．{−2，3} B ．{−2，2，3} C ．{−2，−1，0，3} D ．{−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =-. 故选：A.4.（江西省南昌大学附中2020-2021年高一上学期期中）设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ） A ．()U C A B U = B ．()()U U U C A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅ D ．()()U U C A C B U = 【答案】D 【分析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆， ()U C A B U =，选项A 正确，()()U U U C A C B C B =，选项B 正确， ()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠，所以选项D 错误.故选:D.5.（黑龙江省齐齐哈尔市克东一中、克山一中等五校2019-2020学年高一上学期期中联考）已知集合{}|3A x a x a =≤≤+,24{|}120B x x x =--＞ （1）若A B =∅，求实数a 的取值范围； （2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]2,3-；（2）{5|a a -＜或6}a ＞．（1）求出集合{}32|{|A x a x a B x x =≤≤+=<-，或6}x >，由A B =∅，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．（2）由A B B ⋃=，得到A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】 解：（1）∈集合{}|3A x a x a =≤≤+，24120{|}2{|B x x x x x =-->=<-或6}x >，A B =∅，∈236a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得23a -≤≤∈实数a 的取值范围是[]2,3-（2）A B B A B =∴⊆，32a ∴+-＜或6a ＞，解得5a -＜或6a ＞． ∈实数a 的取值范围是{5|a a <-或6}a >6.（广东省华南师范大学附属中学南海实验高级中学2020-2021学年高一上学期期中）已知集合{}{}121215{}A xx B x x C x x m =-≤≤=≤-≤=>∣，∣，∣ （1）求(),R A B A B ⋃⋂；（2）若()A B C ⋃⋂≠∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤，(){}11R A B x x ⋂=-≤<，（2）(,3)-∞ 【分析】（1）先求出集合B ，再求B R ，然后求(),R A B A B ⋃⋂， （2）由()A B C ⋃⋂≠∅，可得答案 【详解】 解：（1）由1215x ≤-≤，得13x ≤≤，所以{}13B x x =≤≤， 所以{1R B x x =<或}3x >，因为{}12A x x =-≤≤，所以{}13A B x x ⋃=-≤≤，(){}11R A B x x ⋂=-≤< （2）因为()A B C ⋃⋂≠∅，{}C x x m =>，{}13A B x x ⋃=-≤≤， 所以3m <，所以实数m 的取值范围为(,3)-∞，1.（江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年高二下学期期中）设集合M ＝{x |x ＝4n ＋1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ≠⊂N B ．N ≠⊂M C ．M ∈N D ．N ∈M 【答案】A 【分析】根据集合,M N 元素的特征确定正确选项. 【详解】对于集合N ，当n ＝2k 时，x ＝4k ＋1（k ∈Z ）；当n ＝2k －1时，x ＝4k －1（k ∈Z ）.所以N ＝{x |x＝4k ＋1或x ＝4k －1，k ∈Z }，所以M ≠⊂N . 故选：A2、（重庆市涪陵高级中学2019-2020学年高一上学期）已知集合{}260A x x x =+-≤，{}212B x m x m =-≤≤+，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．(][),10,-∞-+∞B ．[]()1,03,-+∞ C ．()3,+∞D ．[)1,3-【答案】B 【分析】求出集合A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，结合条件B A ⊆得出关于实数m 的不等式组，解出即可. 【详解】{}{}26032A x x x x x =+-≤=-≤≤.当B =∅时，则212m m ->+，得3m >，此时B A ⊆成立；当B ≠∅时，则212m m -≤+，得3m ≤，由B A ⊆，得21322m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得10m -≤≤，此时10m -≤≤.综上所述，实数m 的取值范围是[]()1,03,-+∞.故选：B.3.（广东省佛山市第三中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题）已知集合{}21,A x y x y Z==+∈，{}21,B y y x x Z ==+∈，则A 、B 的关系是（ ）A ．AB = B ．A BC ．BAD ．A B =∅【答案】C 【分析】由题意得出Z A ⊆，而集合B Z ，由此可得出A 、B 的包含关系.【详解】由题意知，对任意的x ∈Z ，21y x Z =+∈，Z A ∴⊆.{}21,B y y x x Z ==+∈，∴集合B 是正奇数集，则BZ ，因此，BA .故选：C.4.（四川省成都市双流区棠湖中学2019-2020学年高一上学期期中）已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是 A ．(,2]-∞- B ．[2,)-+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)+∞ 【答案】D 【分析】先根据A B B ⋃=得到A B 、之间的关系，然后利用不等式确定a 的范围. 【详解】因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，又因为{}{|20}|2A x x x x =-<=<，{|}B x x a =<，所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞，故选：D.5.（上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017年高一上学期）已知集合{}2263A x k x k =-+<<-，{}B x k x k =-<<，若AB ，则实数k 的取值范围为________.【答案】10,2⎛+ ⎝⎦【分析】由题意知B ≠∅，可得出0k >，分A =∅和A ≠∅，结合条件A B ，列出关于实数k 的不等式组，解出即可. 【详解】AB ，B ∴≠∅，则k k -<，解得0k >.当A =∅时，2326k k -≤-+，即2290k k +-≤，解得11k -≤≤-+，此时01k <≤；当A ≠∅时，2326k k ->-+，即2290k k +->，解得1k <-或1k >-此时1k >.AB ，则2263k k k k -+≥-⎧⎨-≤⎩，即2630k k k ≤⎧⎨--≤⎩，解得1122k +≤≤，1k <≤经检验，当12k +=时，A B ≠.综上所述，实数k 的取值范围是10,2⎛ ⎝⎦.故答案为：⎛ ⎝⎦.6.（重庆市第八中学2018-2019学年度高一上学期期中考试）已知集合A={x|x 2-（a -1）x -a＜0，a∈R}，集合B={x|2x 12x+-＜0}．（1）当a=3时，求A∩B ；（2）若A∈B=R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A ∩B ={x |-1＜x 12-＜或2＜x ＜3}；（2）()2,+∞.【分析】（1）结合不等式的解法，求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．（2）结合A∈B=R ，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】 解：（1）当a =3时，A ={x |x 2-2x -3＜0}={x |-1＜x ＜3}， B ={x |212x x+-＜0}={x |x ＞2或x ＜-12}． 则A ∩B ={x |-1＜x 12-＜或2＜x ＜3}．（2）A ={x |x 2-（a -1）x -a ＜0}={x |（x +1）（x -a ）＜0}，B ={x |x ＞2或x ＜-12}． 若A ∈B =R ，则2a >，即实数a 的取值范围是()2,+∞．7.（北京市第十三中学2019-2020学年高一上学期期中）已知函数()f x 的定义城为A ,集合{}11B x a x a =-<<+(1)求集合A ;(2)若全集{}5U x x =≤,2a =,求u A B ;(3)若x B ∈是x A ∈的充分条件,求a 的取值范围． 【答案】(1)|34x xA;(2){}|3134UAB x x x =-<≤-≤≤或;(3)|3a a .11 【分析】(1)分母不能为0,偶次方根式的被开方数不能负值.(2)一个集合的补集是在全集而不在这个集合中的元素组成的集合,两个集合的交集是两个集合的公共元素组成的集合;(3)依题意得B 是A 的子集,即集合B 的元素都在集合A 中,由此确定a 的范围.【详解】解: (1)要使函数()f x 有意义,则4030x x -≥⎧⎨+>⎩,即34x 所以函数的定义域为|34x x .所以集合|34x x A(2)因为全集{}5U x x =≤,2a =, ,{}{}1113B x a x a x x ∴=-<<+=-<<{}|135U B x x x ∴=≤-≤≤或,{}|3134U A B x x x =-<≤-≤≤或;(3)由(1)得|34x x A ,若x B ∈是x A ∈的充分条件,即B A ⊆,①当B =∅时, B A ⊆,即11,a a -≥+0a ∴≤②当B ≠∅时, B A ⊆,11013403143a a a a a a a a -<+>⎧⎧⎪⎪-≥-⇒≤⇒<≤⎨⎨⎪⎪+≤≤⎩⎩, 综上所述: a 的取值范围为{}|3a a ≤.8.（安徽省合肥市第六中学2019-2020学年高一上学期期中）已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）方程ax 2﹣3x +2＝0无解，则0a ≠，根据判别式即可求解；（2）分a ＝0和a ≠0讨论即可；（3）综合（1）（2）即可得出结论.【详解】（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时0,a ≠ ∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98= ∈a ＝0或a 98= 当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.。
2023届浙江省杭州外国语学校数学高一上期末考试模拟试题含解析
故 等价于
即 ，解得
故答案为：
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1） 在定义域R内单调递增；证明见解析
（2）答案见解析
【解析】（1）根据题意，利用待定系数法求出 的值，即可得函数的解析式，利用作差法分析可得结论；
【详解】 在 上严格增，所以 ，不妨设 ，
因为对任意能构成三角形三边长的实数 ，均有 ， ，
也能构成三角形三边长，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为对任意 都成立，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以m的最大值为
故答案为： .
14、 或
【解析】先求两直线 和 的交点，再分类讨论，先分析所求直线斜率不存在时是否符合题意，再分析直线斜率存在时，设斜率为 ，再由原点到该直线的距离为 ，求出 ，得到答案.
解可得：n=3 ；
故选B
【点睛】本题考查直线的一般式方程以及截距的计算，关键是掌握直线一般方程的形式，属于基础题
10、C
【解析】先求出集合M和集合P，根据交集的定义，即得 。
【详解】由题得 ， ，则 .
故选：C
【点睛】求两个集合的交集并不难，要注意集合P是整数集。
11、B
【解析】根据 ，得 为函数的最大值，建立方程求出 的值，利用函数的单调性进行判断即可
所以当 时，恒有函数值 .
所以函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒过的定点 .
故选：D
【点睛】本题考查指数函数的图像性质，函数图像过定点，还可以由图像间的平移关系得到答案，属于基础题.
3、D
【解析】利用同角三角函数基本关系式可得 ，结合正切值存在可得角 终边所在象限
【高一】浙江省杭州外国语学校2021-2021学年(第一学期)高一期中考试历
【高一】浙江省杭州外国语学校2021-2021学年（第一学期）高一期中考试历试卷说明：浙江省杭州外国语学校期中考试试卷考试时间90分钟，本试卷满分100分。
请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答题。
在答题卷相应处写上班级、姓名、考号。
所有答案均做在答卷的相应位置上，做在试题卷上无效。
试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页。
答题卷共2页。
第Ⅰ卷（选择题共分）选择题(本大题小题，每小题分，共分。
每小题只有1个选项符合题意，不选、多选、错选均不给分。
)A.建立军事屏障，防止外族入侵 B.削弱贵族和功臣的权力C.排斥异性诸侯，团结同姓诸侯 D.巩固奴隶制的国家政权2．观察下表，按照早期宗法制的规定，有资格继承王位的是妻妾一般称谓妻（正配）三哥（20岁）、四哥（17岁）妾一（侧室）大哥（25岁）妾二（侧室）二哥（22岁）A. 大哥 B. 二哥 C. 三哥 D. 四哥3．“元元黎民，得免于战国。
”（《汉书》）这句话表明班固认为秦统一的意义是A．使人民脱离了诸侯的统治 B．为我国长期统一奠定了基础C．建立了第一个统一的多民族国家 D．使人民有了从事生产的安定环境4．“皇帝制度”创立于秦朝，关于这项制度说法错误的是A.国家的法律、政策，都决定于皇帝一个人的意志B. “主独制于天下而无所制也”成为中国古代的政治定律C. 历代官僚体制虽有变化，但都以维护王权、服务于皇帝为基本准则D.司马迁说秦朝“法令出一”，意思是说皇帝的决策往往要得到群臣的一致意见5．西汉王朝大体继承沿用了秦王朝的基本制度，史称“汉承秦制”。
下列哪项制度不是对秦制的沿用A.皇帝制度 B.三公九卿制度 C.郡县制度 D.刺史制度6．按唐制，中男（男丁16岁以上至21岁为中男）不服兵役，成男（男丁22岁以上为成男）才服兵役。
某次，封德彝提出中男服役的建议，得到太宗许可。
但是，魏征不肯签署文件，并指出这是竭泽而渔的做法。
最终此提议没有通过。
据此，你认为魏征供职于A．尚书省 B．中书省 C．门下省 D．兵部7．分割削弱宰相的权力，是古代中国皇帝实现个人专制的一贯做法。
浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高三上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）已知集合M＝{x|y＝ln（3+2x﹣x2）}，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）2．（4分）复数（a2﹣2a﹣3）+（a2﹣a﹣6）i为纯虚数的一个必要不充分条件是（）A．a＝﹣1B．a＝3C．a＝﹣2或a＝3D．a＝﹣1或a＝﹣2 3．（4分）已知等差数列{a n}的公差d为正数，a1＝1，2（a n a n+1+1）＝tn（1+a n），t为常数，则a n＝（）A．2n﹣1B．4n﹣3C．5n﹣4D．n4．（4分）下列不可能是函数f（x）＝x a（e x﹣e﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．5．（4分）已知x，y，z∈R+，且，则（x+y）（y+z）的最小值为（）A．4B．3C．2D．16．（4分）已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4]B．[4，6]C．[5，8]D．[6，7]7．（4分）已知函数f（x）＝sin x+a cos x，x∈[0，]的最小值为a，则实数a的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，2]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，3] 8．（4分）将3个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（ξ＝3表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则E（ξ），E（2ξ+1）分别等于（）A．B．C．，3D．，49．（4分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，点E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA与EF成30°的角，则线段PE长的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）10．（4分）记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M＝{，a i∈T，i＝1，2，3，4}，将M中的元素按从大到小排列，则第2021个数是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）在（2x﹣y）5的展开式中，所有项系数的绝对值的和为，x2y3的系数是．12．（6分）已知函数f（x）＝2|sin x|﹣|cos x|，则f（x）的最小正周期，f（x）的值域．13．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．14．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（﹣1，2），且＝，动点P 与M，N连线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为，△PMN面积的取值范围是．15．（4分）如图，给三棱柱ABC﹣DEF的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有．16．（4分）已知△ABC的外心为O，＝3+4，则cos B的取值范围是．17．（4分）定义a⊗b＝，若x，y＞0，则⊗的最小值．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
浙江省浙东北联盟(ZDB)2020-2021学年高一上学期期中数学试题
浙江省浙东北联盟（ZDB ）2020-2021学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}0,3M =，{}1,2,3N =，则M N =（ ）A ．{}3B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,22．函数()()ln 21f x x =-的定义域为（ ） A ．(),0-∞B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．1y x =-与y =B ．y =y =C ．4lg y x =与22lg y x =D ．lg 2y x =-与lg100x y = 4．已知2log 0.8a =，3log b π=，22c -=，则（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>5．函数()()2log 1f x x =-的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若函数()31y f x =+的定义域为[]2,4-，则()y f x =的定义域是（ ） A ．[]1,1- B ．[]5,13- C ．[]5,1- D ．[]1,13-7．函数15x xy +=的值域为（ ）A ．()0,5B ．()0,∞+C ．()()0,55,+∞ D ．()5,+∞8．设函数()2221x y f x ==-+，若()013f x =，则()0f x -=（ ） A ．13-B ．23C ．53D ．839．已知,,a b c ∈R ，函数()2f x ax bx c =++，若()()4f x f x =-，则下列不等式不可能成立的是（ ）A ．()()()2223f f a f a <-<-B ．()()()2223f f a f a <-<+C ．()()()2222f a f a f -<-<D ．()()()2222f a f a f +<-<10．已知函数()2log f x x =，()0,0112,1x g x x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x -=的实根个数为（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个二、双空题11．用符号“∈”或“⊆”填空：若{}2,4,6A =，则4______A ，{}2,6______A ． 12．已知幂函数()y f x =的图像过点(，则这个函数的解析式为___________，若()2f a =，则a 的值为___________．13．已知全集{}1,2,3,4U AB ==，{}1,2,4A =，{}1A B ⋂=，则集合UC B 为___________，集合B 共有___________个子集． 14．设函数()()(]32log ,0,2,,0x x f x x x ⎧∈+∞⎪=⎨+∈-∞⎪⎩，则()()1f f -=___________，不等式()3f x ≤的解集是______．三、填空题 15．已知()()3,1,1xa x a x f x a a x ⎧--<=⎨-≥⎩是定义在R 上的增函数，那么a 的取值范围是___________．16．函数12x y -=在区间()1,1k k -+内不单调，则k 的取值范围是___________．17．若已知函数()214f x x ax =++，()ln g x x =-，用{}min ,m n ，表示m ，n 中的最小值，设函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>，若()0h x =有两个不同实根，则实数a 的值为___________．四、解答题18．已知集合{}|48x x A =≤<，{}|210x x B =<<，{}C |x x a =<． （1）求A⋃B ，()RA ⋂B ；（2）若C A⋂≠∅，求a 的取值范围． 19．化简或求值：（Ⅰ）)11320a a a ->⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）3321432116864281---⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （Ⅲ）0.5231lg8lg125log log 3log 24+-+⋅.20．已知函数()21221f x x x =+-．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）试判断()f x 在区间()2,+∞上的单调性，并用单调性定义证明； （3）求函数()f x 在区间[]3,1--上的最值．21．已知函数()()212log 31f x ax x a =+++． （1）当0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）对于[]1,2x ∈，不等式()1302f x x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知函数()226f x x mx =+-在区间[]1,2-上是单调函数． （1）求实数m 的所有取值组成的集合A ；（2）试写出()f x 在区间[]1,2-上的最大值()g m ；（3）设()211222h x x x =-++，令()()(),,R g m m AF m h m m C A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，若对任意127,,2m m a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总有()()123F m F m a -≤+，求a 的取值范围．参考答案1．A 【解析】 【分析】根据集合交集的定义，即可求出答案. 【详解】因为{}0,3M =，{}1,2,3N = 所以{}3M N ⋂= 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.本题需注意集合交集的定义：{|M N x x M ⋂=∈且}x N ∈.需注意区分交集符号： ；并集符号： .2．D 【分析】根据对数函数的真数大于0,即可解出其定义域. 【详解】12102x x ->⇒>故选:D. 【点睛】本题考查函数的定义域,属于基础题.函数的定义域一般考查：①偶次根式大于等于0；②分式的分母不为0；③0的0 次幂无意义；④对数的底数大于0且不等于1、真数大于0. 3．D 【分析】根据初等函数的性质，分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同，对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，函数1y x ==-，所以两个函数的对应法则不相同，故A 错误；对于B ，函数y ={|1}x x ≥，y =的定义域为{|1}x x >，两个函数的定义域不相同，故B 错误；对于C ，函数4lg y x =的定义域为{|0}x x >，22lg y x =的定义域为{|0}x x ≠，两个函数的定义域不相同，故C 错误；对于D ，函数lg 2y x =-的定义域为{|0}x x >，lg100xy =的定义域为{|0}x x >，lglg lg100lg 2100xy x x ==-=-，两个函数的定义域和对应法则相同，故选D ． 【点睛】本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系，相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．要使数()f x 与()g x 的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可，注意分析各个选项中的2个函数的定义域和对应法则是否相同，通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域. 4．B 【分析】根据对数函数的单调性，可知道0a <、1b >，有指数函数的单调性知道01c <<，即可选出答案. 【详解】因为2log y x =为增函数，所以22log 0.8log 10a =<=. 因为3log y x =为增函数，所以33log log 31b π=>=. 因为2xy =为增函数，所以200221c -<=<=. 所以b c a >>. 故选B. 【点睛】本题考查利用指数函数与对数函数的单调性比较大小，属于基础题.解此类题型一般都只需将所给数与0或1比较大小，即可得出结论. 5．A 【分析】根据函数的定义域为(),1-∞可排除B 、D.再由单调性即可选出答案. 【详解】当0x =时，()()20log 10=0f =-，故排除B 、D. 当1x =-时，()()21log 1110f -=+=>，故A 正确. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的图像，属于基础题.解决本类题型的两种思路：①将初等函数的图像通过平移、伸缩、对称变换选出答案，对学生能力要求较高;②根据选项代入具体的x 值，判断y 的正负号. 6．B 【分析】根据函数()31y f x =+中[]2,4x ∈-，即可得出[]315,13x +∈-，即可选出答案. 【详解】因为函数()31y f x =+的定义域为[]2,4-，即24x -≤≤ 所以53+113x -≤≤所以()y f x =的定义域是[]5,13- 故选:B. 【点睛】本题考查隐函数的定义域，属于基础题.解本题的关键在于正确理解函数的定义域是x 的取值范围与同一个函数其括号里面的取值范围一样. 7．C 【分析】 先求出()()1,11,+x x+∈-∞∞，即可根据指数函数的性质求出15x xy +=的值域.【详解】 令1x t x +=，则5ty =. 11=1+x t x x +=，因为()()1,00,+x∈-∞∞所以()(),11,+t ∈-∞∞，5t y = 所以()()0,55,+y ∈∞故选:C. 【点睛】本题考查简单复合函数的值域，属于基础题.解决本类问题的思路是先找到内层函数的取值范围，再由外层函数的单调性求出该函数的值域. 8．C 【分析】 根据()013f x =，即可化简出02=5x -，再代入()002221x f x --=-+,即可得出答案. 【详解】由题意知：()00002112=2=2=52135x x x f x -=-⇒⇒+. 所以()002252=2=21513x f x --=--++. 故选:C. 【点睛】本题考查函数对称点的函数值，属于基础题,解本类题只需将已知函数值代入，化简为所求函数值的形式，即可解出答案. 9．C 【分析】由()()4f x f x =-知函数()f x 为二次函数()0a ≠，且对称轴为2x =,分别讨论()f x 开口方向，即可选出答案. 【详解】因为()()4f x f x =-.所以函数()2f x ax bx c =++关于2x =对称.即0a ≠.选项中不等式不可能成立的，则只需找到0a >与0a <，都不能成立的选项.①若0a >，则函数()2f x ax bx c =++在(,2]-∞上单调递减，在()2+∞，上单调递增. 又2223a a >->-，故()()()2223f f a f a <-<-,A 正确.因为()()4f x f x =-，所以()()22a a f f =+-，又2223a a <+<+ 即()()()()()()22+232223f f a f a f f a f a <<+⇔<-<+，B 正确.2222a a <+<+,即()()()()()()222+22222f a f a f f a f a f +>>⇔+>->，D错误.因为2222a a >->-，故()()()2222f f a f a <-<-,C 错误.②若0a <，则函数()2f x ax bx c =++在(,2]-∞上单调递增，在()2+∞，上单调递减. 又2223a a <-<-，故()()()2223f f a f a >->-,A 错误.因为()()4f x f x =-，所以()()22a a f f =+-，又2223a a >+>+ 即()()()()()()22+232223f f a f a f f a f a >>+⇔>->+，B 错误.又2222a a +<+<,即()()()()()()222+22222f a f a f f a f a f +<<⇔+<-<，D 正确.因为2222a a ->->，故()()()2222f a f a f -<-<,C 错误. 综上所述：不管0a >还是0a <，C 都不可能成立. 故选：C. 【点睛】本题考查根据二次函数的对称性与单调性比较大小,属于中档题.解本题的关键在于找到二次函数的对称轴与开口方向. 10．C 【分析】解()()1f x g x -=,即解()()1f x g x =±.再分()()1f x g x =+与()()1f x g x =-，分别找到函数()f x 与()1g x +在区间(0,1]、()1,2、[2,)+∞上的单调性，则可找到方程的实数根的个数. 【详解】()()1f x g x -=()()1f x g x ⇔=±1）()()1f x g x =+，()22log ,01log 1x x f x x x -<≤⎧=⎨<⎩,()1? ,01113,1211,2x g x x x x x x x ⎧⎪<≤⎪⎪+=--<<⎨⎪⎪--≤⎪⎩. ①当01x <≤时，21log =12x x -⇒=.即()()1f x g x =+在(0,1]上有1个零点.②当12x <<时，213log =x x x --，记2()l 13og h x x x x++-=， 因为 2log x 在()1,2 上单调递增，1+x x在()1,2单调递增，所以2()l 13og h x x x x ++-=在()1,2单调递增,又2(1)log 1113=101h -=-+<+，2(2)log 2213=0221h -=+>+，由零点存在定理知道2()l 13og h x x x x++-=在()1,2上有唯一零点.③当2x ≤时，21og 1l =x x x --，记()211log m x x x x+-+=,()22211ln 21ln 2ln 2ln 2x x x x m x x -+-'-==-,记()2ln 2ln 2M x x x =-+-，开口向下，且()()2=14ln 2ln 4ln 04e e ⎛⎫∆-=< ⎪⎝⎭，即()2ln 2ln 20M x x x =-+-<恒成立,即()0m x '<，即()211log m x x x x+-+=在[2,)+∞上单调递减,又()22log 21=221021m ++->=，即21og 1l =x x x--在[2,)+∞上存在且有唯一零点.2）()()1f x g x =-，()22log ,01log 1x x f x x x -<≤⎧=⎨<⎩,()1? ,01111,1213,2x g x x x x x x x ⎧⎪-<≤⎪⎪-=--<<⎨⎪⎪--≤⎪⎩. ①当01x <≤时，2log =1x --无解.即()()1f x g x =-在(0,1]上无零点.②当12x <<时，2log =11x x x --，记2()l 11og k x x x x++-=， 因为 2log x 在()1,2 上单调递增，1+x x在()1,2单调递增，所以2()l 11og k x x x x ++-=在()1,2单调递增,又2(1)log 111=1101>k =+-+，2(2)log 2211=0225k -=+>+，由零点存在定理知道2()l 11og k x x x x++-=在()1,2上无零点.③当2x ≤时，21og 3l =x x x --，记()213log n x x x x+-+=,()22211ln 21ln 2ln 2ln 2x x x x n x x -+-'-==-,记()2ln 2ln 2N x x x =-+-，开口向下，且()()2=14ln 2ln 4ln 04e e ⎛⎫∆-=< ⎪⎝⎭，即()2ln 2ln 20N x x x =-+-<恒成立,即()0n x '<，即()213log n x x x x +-+=在[2,)+∞上单调递减, 又()22log 23=221025n ++->=，即21og 3l =x x x--在[2,)+∞上存在且有唯一零点.综上所述：方程()()1f x g x -=的实根个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的零点个数,属于难题,解本题的关键在于将绝对值等式解开后，根据分段函数的性质，在各段上求出其零点个数，再加起来即为答案. 11．∈ ⊆ 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，即可写出答案. 【详解】因为{}2,4,6A =，所以4A ∈ ，{}2,6A ⊆ 故答案为(1). ∈ (2). ⊆ 【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合的关系，属于基础题.注意区分元素与集合：属于()∈ 、不属于()∉ ；集合与集合的关系：包含关系()⊆ .12．y = 4【分析】设出幂函数()=mf x x ，代入即可求出12m =,即可求出解析式，再由()2f a =，即可求出a 的值. 【详解】设函数()=mf x x ，则()13=32mf m =⇒=. 所以()12=f x x .()24f a a =⇒=故答案为(1). y =(2). 4.【点睛】本题考查幂函数，属于基础题.幂函数的考查方式相对于其他函数较为单一,只需掌握幂函数简单性质即可. 13．{}2,4 4 【分析】根据集合的交集、补集定义，即可求出{}1,3B =,则可求出其子集个数与U C B . 【详解】 因为{}1,2,3,4AB =，{}1,2,4A =，{}1A B ⋂=所以{}1,3B =所以{2,4}U C B =,集合B 的子集个数为224=个 故答案为(1). {}2,4 (2). 4.【点睛】本题考查根据集合的交集与补集写出集合，集合子集的个数.属于基础题.若集合中有n 个元素，则其共有2n 个子集，有21n -个真子集，有21n -个非空子集，有22n -个非空真子集. 14．1 []1,27- 【分析】先求出()1=3f -，即()()()13ff f -=，即可得出答案. 要解不等式()3f x ≤，只需按()0,∞+与(],0-∞分段解出后再求并集即可.【详解】因为()()(]32log ,0,2,,0x x f x x x ⎧∈+∞⎪=⎨+∈-∞⎪⎩，所以()()21=1+2=3f --,即()()()313log31ff f -===.①当()0,x ∈+∞时：()33log 3027f x x x ≤⇔≤⇒<≤.②当(],0x ∈-∞时：()22231310x x f x x +≤⇒≤⇒-≤⇔≤≤.综上所述：()3f x ≤的解集为[]1,27x ∈-. 故答案为(1).1(2).[]1,27-. 【点睛】本题考查分段函数的函数值,解分段函数的不等式,属于基础题.多重函数的求值，只需由内向外依次求出即可,涉及分段函数的等式或者不等式，只需分段解决即可. 15．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据分段函数在R 上单调递增，其在各段上单调递增，且界点左边的函数值小于等于右边的函数值，即可列出等式，解出即为答案. 【详解】因为()()3,1,1x a x a x f x a a x ⎧--<=⎨-≥⎩是定义在R 上的增函数.所以()1303311323132a a a a a a a a a a⎧⎪⎧->>⎪⎪>⇒>⇒≤<⎨⎨⎪⎪-⨯-≤-⎩⎪≤⎩ 故答案为：3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查由分段函数在R 上单调递增，求出参数的取值范围,属于基础题.本类题型有两种考法：①分段函数在R 上单调递增：其在各段上单调递增，且界点左边的函数值小于等于右边的函数值.②分段函数在R 上单调递减：其在各段上单调递减，且界点左边的函数值大于等于右边的函数值. 16．()0,2 【分析】 根据函数12x y -=在区间()1,1k k -+内不单调，可知道1t x =-在区间()1,1k k -+内不单调，再由1t x =-得单调性，即可列出不等式，解出即可. 【详解】令1t x =-，则2ty =，因为12x y -=在区间()1,1k k -+内不单调，即1t x =-在区间()1,1k k -+内不单调，又因为1t x =-在(),1-∞单调递减,在[1,)+∞上单调递增. 所以111k k -<<+解得02k << 故答案为：()0,2. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，绝对值函数的单调区间,属于基础题.解本类题型需正确理解题意，不单调即为既有单增区间也有单减区间. 17．54-或-1 【分析】讨论函数()214f x x ax =++的对称轴位置，而后再讨论其在(0,)+∞的零点的个数，结合()ln g x x =-的图像，即可得出结论.【详解】函数()214f x x ax =++的对称轴为2a x =-，()104f =. 1）若02a -≤，即0a ≥时： ()214f x x ax =++在()0,∞+上单调递增，即()104f x >>,()ln g x x =-在()0,∞+上单调递减，()()(){}min ,=0h x f x g x =,只有一个根1x = .如图所示:2）若02a->，即0a <时：21a ∆=- . ①当10a -<<时，210a ∆=-<，()2104f x x ax =++>，()()(){}min ,=0h x f x g x =,只有一个根1x = .如图所示:②当1a =-时，21=0a ∆=-，()2211042f x x x x ⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭12x ⇒= ，()()(){}min ,=0h x f x g x =,有两个根12x =、1x =.如图所示:③当1a <-时，要使()()(){}min ,=0h x f x g x =有两个一个根，则必使()2111=04f a =++，解得5=4a -.综上所述：5=4a -或1a =-. 故答案为：54-或-1. 【点睛】本题考查根据函数的零点的个数，求参数的取值.属于难题.讨论过程比较抽象，可画出图像帮助我们分析.解本题还需正确理解取小函数的意义.18．（1）{}|210x x <<，{}|24810x x x <<≤<或（2）{}|4a a > 【解析】试题分析：（1）集合的并集为两集合所有元素构成的集合，交集为两集合相同的元素构成的集合，A 的补集为全集中除去集合A 中的元素，剩余的元素构成的集合；（2）由C A⋂≠∅可知两集合有相同的元素，从而得到集合边界值的大小关系，即关于a 的不等式，求解其范围试题解析：（1）{}|210x x A⋃B =<<(){}R|24810x x x A ⋂B =<<≤<或（2）因为{}|48x x A =≤<，{}C |x x a =<，且C A⋂≠∅ 所以a 的取值范围是{}|4a a > 考点：集合的交并补运算 19．（Ⅰ）1 （Ⅱ）312（Ⅲ）2 【分析】（Ⅰ）将根式化为指数形式,再利用指数的运算性质，化简得出答案. （Ⅱ）利用指数的运算性质化简，再求和即可得出答案. （Ⅲ）利用对数的运算性质化简，再求和即可得出答案. 【详解】（Ⅰ1013211112233321aa aaa a ⨯---==⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）原式1274888=+++ 312=. （Ⅲ）原式3lg 23lg521=+-+3lg1012=-=.【点睛】本题考查根式化指数式，指数、对数的运算，属于基础题.解本题需熟练掌握根式与指数式的互化，指数与对数的运算性质.20．（1）非奇非偶函数.（2）增函数；证明见解析 （3）见解析. 【分析】（1）根据解析式，即可求出()f x 的定义域，其不关于原点对称,即可说明()f x 为非奇非偶函数.（2）利用单调性的定义：取值-作差-变形-判断正负号-得出结论.（3）由（2）知函数()f x 在区间[]3,1--上单调递减，即()()max 3f x f =-，()()min 1f x f =-，解出即可.【详解】解：（1）()f x 的定义域为{}|1x x ≠,不关于原点对称 所以函数()f x 为非奇非偶函数.（2）任取()12,2,x x ∈+∞，且12x x <，则()()2212121212122121f x f x x x x x -=+---- ()()()()12121212211x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥--⎣⎦，因为120x x -<，124x x +>，()()12111x x -->，所以()()()1212120211x x x x +->--，所以()()12f x f x <， 即函数()f x 在区间()1,+∞上是增函数. （3）函数()f x 在区间[]3,1--上单调递减， 所以()()max 34f x f =-=，()()min 112f x f =-=-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用函数单调性的定义证明单调性,函数在定区间上的值域.属于基础题.其中函数奇偶性的判断：①定义域关于原点对称;②()()f x f x -=为偶函数，()()f x f x -=-为奇函数.证明函数的单调性步骤为：取值-作差-变形-判断正负号-得出结论.21．（1）单调减区间1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，无单调增区间；（2）1725a -≥>-【分析】（1）先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性，即可的出()f x 的单调减区间为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，无单调增区间. （2）问题等价于当[]1,2x ∈时，2310ax x a +++>恒成立且()1302f x x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，先解()1302f x x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立，利用参变分离化简即可求出12a ≤-.根据102a ≤-<，函数2()31m x ax x a =+++开口向下,在[]1,2x ∈上要恒大于0,只需(1)0(2)0m m >⎧⎨>⎩，解出再与12a ≤-取交集即可. 【详解】解：（1）因为0a =，所以()()12log 31f x x =+，定义域为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭,记31t x =+，在1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, ()12log f x t =在()0+∞，上单调递减. 所以()()12log 31f x x =+在1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的单调减区间为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，无单调增区间.（2）原问题等价于当[]1,2x ∈时，2310ax x a +++>恒成立且()1302f x x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，()213031302f x x ax x a x ⎛⎫-≤⇔+++-≤ ⎪⎝⎭210ax a ⇔++≤211a x -⇒≤+恒成立 即2min1112a a x -⎛⎫≤⇒≤- ⎪+⎝⎭，因为102a ≤-<，23103104610a a ax x a a a +++>⎧+++>⇔⎨+++>⎩717525a a ⇒>-⇒-≥>-.【点睛】本题考查复合函数的单调区间与不等式恒成立问题,属于中档题.解本题需要注意的是：对于[]1,2x ∈，不等式()1302f x x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立的等价命题是当[]1,2x ∈时，2310ax x a +++>恒成立且()1302f x x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立.其中2310ax x a +++>的这个条件是非常容易忽略的.在研究函数的性质时需牢记一点：定义域优先. 22．（1）(][),21,A =-∞-+∞ （2）()42,125,2m m g m m m -≥⎧=⎨--≤-⎩ （3）403a ≤≤ 【分析】（1）因为()226f x x mx =+-为开口向上的二次函数，故其在对称轴左边单调递减，对称轴右边单调递增. 函数在区间[]1,2-上是单调函数，等价于区间[]1,2-在对称轴的左边或者右边.列出不等式解出即可.（2）讨论()226f x x mx =+-在[]1,2-上的单调性，分别求出其最大值,再写成分段函数的形式即可.（3）根据题意写出()242,1112,212225,2m m F m m m m m m -≥⎧⎪⎪=-++-<<⎨⎪--≤-⎪⎩,对任意127,,2m m a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总有()()123F m F m a -≤+等价于3a ≥-且()()max min 3F m F m a -≤+，则分别讨论a 与1332,0232-，，的大小关系，找到其对应的()max F m 与()min F m ，代入()()max min 3F m F m a -≤+即可解出答案.【详解】解：（1）对称轴x m =-.所以2m -≥或(][)1,21,m A -≤-⇒=-∞-+∞.（2）①当1m -≤- ，即m 1≥时. 函数()226f x x mx =+-在[]1,2-上单调递增. 所以()()2224642g m f m m ==+-=-. ②当2m -≥，即2m ≤-时.函数()226f x x mx =+-在[]1,2-上单调递减. 所以()()()2112625g m f m m =-=---=--. 综上所述：()42,125,2m m g m m m -≥⎧=⎨--≤-⎩. （3）()242,1112,212225,2m m F m m m m m m -≥⎧⎪⎪=-++-<<⎨⎪--≤-⎪⎩. 由题意得3a ≥-，()()max min 3F m F m a -≤+， 画出函数()F m 的图像：①当722a -<≤-时，()F m 在7(]2a -，单调递减. 所以()max 7=22F m F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()min 25F m F a a ==--. 代入()()max min 3F m F m a -≤+，解得4a ≤-，舍.②当20a -<≤时，()F m 在7(2]2--，单调递减，在(2,]a -上单调递增. ()max 7=22F m F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()min 21F m F =-=-. 代入()()max min 3F m F m a -≤+，解得0a ≥，所以0a =， ③当102a <≤时，()F m 在7(2]2--，单调递减，在(2,]a -上单调递增. ()()2max 11222F m F a a a ==-++， ()()min 21F m F =-=-. 代入()()max min 3F m F m a -≤+，化简得20a a +≥,解得0a ≥或1a ≤-， 所以102a <≤. ④当133232a <≤时，()F m 在7(2]2--，单调递减，在1(2,]2-上单调递增，在1(,1]2上单调递减，在(1,]a 上单调递增.()max 117=28F m F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()min 21F m F =-=-. 代入()()max min 3F m F m a -≤+，解得18a ≥，所以133232a <≤， ⑤当3332a <时，()F m 在7(2]2--，单调递减，在1(2,]2-上单调递增，在1(,1]2上单调递减，在(1,]a 上单调递增.()()max 42F m F a a ==-，()()min 21F m F =-=-. 代入()()max min 3F m F m a -≤+，解得334323a <≤， 综上所述：403a ≤≤.即4[0,]3a ∈ . 【点睛】本题考查含参二次函数的单调性、在定区间上的最值，含绝对值的不等式恒成立问题.属于F m的图像，根据图像确定参数a的讨论标准. 难题.解本题的关键在于能够正确画出函数()。
2020-2021学年杭州市外国语学校高三语文期中考试试卷及参考答案
2020-2021学年杭州市外国语学校高三语文期中考试试卷及参考答案一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成下面小题。
随着智能媒介技术的快速发展，人工智能已开始介入到诗歌、散文等文艺创作之中，甚至生成的某些产品具有特定的风格，有“类人”的趋势。
这虽然有可能改变文学艺术的生产方式，甚至改变艺术作品的范式，但人工智能所生成的只是产品，并非真正的艺术作品。
人类所独有的文学艺术创作层面的典型特质即语言、感性和创造力，人工智能目前只能做到一定程度的模拟。
在语言层面、人类日常使用的语言是人类自然语言，区别于如程序设计的语言，也就是人工语言。
多数的人工智能应用程序使用“自然语言处理"”(NLP)，关涉的是计算机对呈现给它的语言的“理解”，而不是计算机自己创造语言。
对“自然语言处理”而言，创造比接收更因难，包括主题内容和语法形式。
在语法上，人工智能生成的诗歌通常很不恰当，有时甚至是不正确的。
人工智能的诗歌产品，虽然形式上有先锋派的痕迹、后现代的味道，或许能给予读者一种“震惊”的短暂体验，但由于没有历史深度和时间刻度，显然属于一次性的“仿后现代”。
基于情绪和情感依赖于人类大脑中散布的神经调节这一事实，“感性”也是人工智能难以企及的能力。
虽然日本软银公司开发出“云端情感引擎”机器人“派博”( Pepper) ，试图模拟神经调节，但效果并不理想。
无论是理论层面，还是应用层面，大部分研究仍很浅表。
而感性是艺术创作过程中最不可或缺的品格。
在创造力层面，文学艺术创作如“羚羊挂角，无迹可寻”，这一主体性的特质也是人工智能所不具备的。
至于人工智能何时拥有主体性的创造力，未来并不可期。
英国认知科学家玛格丽特·博登将创造力分为组合型、探索型、变革型。
然而。
即使是探索型人工智能也在很大程度上依赖人类的判断，因为只有人类才能识别并清楚地说明风格化的法则。
倘若人工智能能够自己分析文学艺术的风格，那么，这种创造性探索才能被称为创作。