北师大版高中数学必修必修4课后习题答案

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高中数学必修4(北师版)第一章1.8(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

求函数 y = tan(3x − 关于原点对称，所以，函数为非奇非偶函数．当 kπ −
π ) 的最小正周期，单调性，对称轴，对称中心． 3
π π π kπ π kπ 5π 时，解得 < 3x − < kπ + − <x< + (k ∈ Z) ．所以，函数在区间 2 3 2 3 18 3 18 kπ π kπ 5π π kπ π kπ ，即 x = 时，函数的对称中 ( − , + )(k ∈ Z) 上单调递增．当 3x − = + 3 18 3 18 3 2 9 6 π kπ 心是 ( + , 0 )(k ∈ Z)． 9 6
象．（2）将 y = 的图象．
1 sin x 图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍（横坐标不变），从而得到 y = sin x 2 1 ，从而得到 y = sin 2x 的图 2
（3）将 y = sin x 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的象．函数 y = 2 sin(
1 π x + ) 的图象是由函数 y = sin x 的图象怎样变换得到的？ 3 4 π π π 解：变换一：将 y = sin x 的图象向左平移个单位，得到 y = sin(x + )，再将 y = sin(x + ) 4 4 4 1
π π , ) 内的图象．根据正切函数的周期 2 2 π π 性，我们可以把函数图象向左、向右连续平移，得出 y = tan x，x ∈ (− + kπ, + kπ) ， k ∈ Z 2 2
的图象，即正切曲线．
正弦型函数图象的“五点法”作图作正弦型函数的简图，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点，然后在描点作图时要注意到，被这五个点分隔的区间上的变化情况，在 x = 0, π, 2π 附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在

(北师大版)高中数学必修四：3.3逆用倍角公式降幂(含答案)

逆用倍角公式降幂在化简、求值或证明三角问题时，逆用二倍角的正弦、余弦公式，可以达到降幂、化简等目的.一、含x x cos sin ⋅项时，用x x x 2sin 21cos sin =降幂例1 化简：x x x 2cos cos sin .解 x x x x x x x x 4sin 41)2cos 2sin 2(412cos )2sin 21(2cos cos sin ===. 点评：通过连续几次逆用二倍角的正弦公式进行降幂化简.二、含x x 22sin cos -项时，用x x x 2cos sin cos 22=-降幂例2 求值：8sin 8cos 22ππ-.解 224cos )82cos(8sin 8cos 22==⨯=-ππππ. 点评：通过逆用二倍角的余弦公式转化为求特殊角的余弦值问题.三、含x 2sin 或x 2cos 项时，用x x 2cos 1sin 22-=或x x 2cos 1cos 22+=降幂例3 已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，求)(x f 的最小正周期和最大值.解 x x x x x x x x x f 2sin )2cos 1(cos sin 2sin 2)cos (sin sin 2)(2+-=+=+= 1)42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 2+-=+-=πππx x x . ∴)(x f 的最小正周期ππ==22T ，最大值12+. 点评：通过降幂转化为一个角的一个三角函数的形式后，即可解决与三角函数性质有关的任何问题.四、含x x 44cos sin +项时，用配方法和x x x 2sin 21cos sin =等降幂例4 已知532cos =θ，求θθ44cos sin +的值. 解 θθθθθθθ2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+ 2517])53(1[211)2cos 1(21122=--=--=θ. 点评：先用配方法转化为积的四次幂，再逆用二倍角的正弦公式降为二次型.五、含x x 44cos sin -项时，用因式分解法和x x x 2cos sin cos 22=-降幂例5 已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=.(1)求)(x f 的最小正周期；(2)当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值以及取得最小值时x 的集合.解 x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=x x x x x 2sin )sin )(cos sin (cos 2222--+=)42cos(22sin 2cos π+=-=x x x . (1))(x f 的最小正周期是ππ==22T ； (2)当]2,0[π∈x 时，]22,1[)42cos(-∈+πx ，则]1,2[)(-∈x f ，故)(x f 的最小值为2-，这时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧83π. 点评：先用因式分解法转化为二次幂，再逆用二倍角的余弦公式降为一次型.六、含x 4sin 或x 4cos 项时，用x x 2cos 1sin 22-=或x x 2cos 1cos 22+=降幂例6 求证：ααα4sin 82cos 44cos 3=-+.证明 ααααα2cos 22cos 42)2cos 1(2)sin 2(2sin 822224+-=-== αααα2cos 44cos 3)4cos 1(2cos 42-+=++-=.∴原等式成立.点评：通过变用二倍角公式将四次幂降为一次型，即可从右边证到左边.。

数学必修四答案及解析北师大版

数学必修四答案及解析北师大版实用文档附解析）套新北师大版高一必修一期末测试卷（共2) 一综合测试题( 分钟．分．考试时间120(非选择题)两部分．满分150本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷)分共60第Ⅰ卷(选择题在每小题给出的四个选项中，分，分，共60本大题共12个小题，每小题5选择题一、()只有一项是符合题目要求的BxABAxxxx －30}4，则＋30}，＝{(*****．·全国卷Ⅰ理，1)设集合＝＝{|2|∩－)(33)3，B．(－A．(－3，－)*****)(，D．，C．(1)22xx65＋－xfx|＋lg 的定义域( ) ＝4－|·湖北高考2．(2015)函数) ( x3－A．(2,3) B．(2,4]D．(－(3,4]C．(2,3)∪1,3)∪(3,6]fxgx)有相同图像的一组是与3．下列各组函数，在同一直角坐标中，(()( )11 xxxxgf)＝，(( ()＝()A．)22x－9fxgxx－3＝，)(B．(＝) x3＋1 gxxxfx ＝((2log)＝()，)C．2xxgfx ＝((＝)lg10，)D．xyx) 6的零点，必定位于如下哪一个区间＝ln＋2( 4．函数－(2,3) ．．(1,2) BA(4,5)．C．(3,4)Dfxfxfxx的取值范)(2上的单调增函数，若)是定义域在(0，＋∞)－(，则5．已知()围是( )xx1 B1 ．A．xx2．2 D0C．111x1＋xx (的值为，则＝．已知6＋5)22 x实用文档A．5 B．23D．27C．25yxcacaa≠1)0)(，，7．(2014·山东高考)已知函数的图像如＝log(为常数，其中＋图，则下列结论成立的是( )caac1 ．1，1,01 BA．caac101，1,01DC．0．xfxg) ，则－3与( (的定义域均为)＝8．若函数3(R)＝3＋3xgfx 均为偶函数)与)A．((xgfx 为奇函数)为偶函数，)B．((xgfx 均为奇函数)与C．)((xgfx 为偶函数)为奇函数，D．)((***** )( ()．( 9))，(的大小关系为，333 ***-********-***** ()(A．)())() B)(．(***** ()())．C(())D ．(()***** ***-*****xxfxf))|＝．已知函数( )＝log|，则方程(的实根个数是)(( 101 2 22 ．1 BA．2006．3DC．xf 1]上是增函数，则下列关系式中，成立的是)在11．若偶函数((－∞，－( )3fff(2)1))(－A．(－23fff(2)B．(－1)(－) 23fff)－C．(2)(1)(－2实用文档3fff1)(－D．)(2)－( 2那么称这个点如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，12．1GQMNP“好点”的个中，(2(2,1)，，为“好点”，在下面的五个点(2,2)(1,1)，，(1,2)，) 2)数为（1 ．．0 BA3．C．2D)分共90第Ⅱ卷(非选择题) 分，把答案填在题中横线上5分，共20二、填空题(本大题共4个小题，每小题AA，则满足上述条件2,0,1,2}{－∪{－2,0,2}13．若已知∩{－1,0,1}＝{0,1}，且＝A 个．共有的集合________ xxx，＋2，0＋2≤aafxff＝，则)＝())若＝(14．(2014·浙江高考)设函数2(?xx0.，－________.xx内，则的一个近似解时，已经将一根锁定在区间615．用二分法求方程(0,1)＋4＝下一步可断定该根所在的区间为________．xxy________)＝log (－3的单调递减区间是16．函数1 3证明过程或演算步70分，解答应写出文字说明，6个小题，满分三、解答题(本大题共) 骤qxxAUxxpxBx，－5＋＝＋12＝0}，{＝本小题满分17．(10分)设全集，为R＋＝{||0}BAABAB. ∪＝＝{2}，{4}∩(?，求)若(?)∩)分．(本小题满分1218 9.8)＋＋lg25＋lg4＋7(－(1)不用计算器计算：27log11xxxff ＋(．，求＋((－)＝1))如果(2) xxmxxxf1. ＋＋2本小题满分12分)已知函数－()＝－3(19．m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(1)当m 的值．(2)若函数恰有一个零点在原点处，求xxf)，＋∞∈)是定义在R上的奇函数，并且当)(20．本小题满分12分已知函数(0(xf. 2)＝时，(1f 的值；求(1))(log 3xf 求(2)()的解析式．实用文档1fxaxa为常数，其中＝)(2015·上海高考)已知函数(＋)21．(本小题满分12分xafx)的奇偶性，并说明理由；的不同取值，判断函数(1)根据(afx)在[1,2]((2)若上的单调性，并说明理由．∈(1,3)，判断函数afxfxx1.－)≥0时，(本小题满分12分)已知＝(()是定义在R上的奇函数，当22．aa1.0且其中≠ff 的值；((1)求－(2)＋2)23．xf (的解析式；(2)求)xfx ，结果用集合或区间表示．解关于－的不等式－11)4((3)一．选择题D] 1.[答案3xxxxxxxxxBA ．＝{3}，＝{[解析] |＝{|2|}－4＝＋30}{－|130} 23xxABD.．故选＝{3}故|∩ 2C答案]2.[xffxy：条件域应数满(足)的由函数定＝义(可)的表达式知，函析[解] x，|0|≥4－? ?xx≤－4≤fx)的定义域为(2,3)∪.即函数(3,4](，故应选C.，解得xx?6＋－5xx3≠2且0 x?3－3.[答案] Dfxgxfx)中，([0，＋∞)(；选项)的定义域为R，(B)中，[解析] 选项A的定义域为1 xxxxfg，＝(中，)(＝)(的定义域为－∞，－3)∪(－3，＋∞，)(；选项)的定义域为RC2xgxxxgx)D中，(∈(0，＋∞，∈[0，＋∞))(，定义域和对应关系都不同；选项)＝2log，xxD.＝＝＝lg10，故选lg10B答案]4.[xxffxx ，)2＝－6，设0令[解析] (()＝ln＋ff ln30＝＝－40，，(3)∵(1)fff ，(3)0－(2)＝ln220，(2)·又x ．∴∈(2,3)D答案5.[]实用文档xx00?xx22－0，[解析] 由已知得?xxx1－2xD. ，故选∈(1,2)∴B答案6.[]x＋11xxx ＝] ＝＋＋[解析xx11 xx)(－2＋＝2223. 2－＝＝5B. 故选D] 7.[答案本题考查对数函数的图像以及图像的平移．[解析]caD. 11个单位长度．故0由单调性知0，∴选1.又图像向左平移，没有超过B] 8.[答案xfxfxfffxx)(，∴)＝(3＋3，∴－[解析] (()＝3＋3且定义域为R，则(－))＝为偶函数．xgxxggB. ())，∴(－)＝－为奇函数．故选同理得(D答案] 9.[221y ，解析] ∵(＝)为减函数，[ ***-***** . )(∴()33 ***** xy ，，＋∞又∵)＝上为增函数，且在(03 ***** ，(∴())33 .故选()∴()()D. 333 *****.[答案] B1yyx|的图像如图所示，及|log＝)在同一平面直角坐标系中作出函数][解析＝(1 2 2易得B.实用文档D] 11.[答案fffx ∵．(()为偶函数，∴－(2)＝2)[解析]3xf －∞，－1)－－1，且上是增函数，()在(又∵－2 23fff ∴－(2)1)(－)．( 2C 答案] 12.[xy ]解析∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与没有交点，＝[PMN可、一定不是好点．、对数函数不过点(1,2)，∴点点，∴指数函数不过(1,1)，(2,1)1GyQyx在指数函＝)log和对数函数(2验证：点(2,2)是指数函数的交点，点＝，(2) 222xyyC. (log上．故选)上，且在对数函数数＝＝2 二．填空题4答案] 13.[A ＝{0,1}∵，∩{－1,0,1}][解析AA.?∴0,1∈且－1A 2,0,1,2}，{－2,0,2}＝{又∵－∪AA. 1∈∈且至多－2,0,2∴AA.0,1∈∈且至多－2,2故A 个．{0,1，－2,2}，共有4只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，∴满足条件的2]14.[答案此题考查分段函数、复合函数，已知函数值求自变量．[解析]tffat2. 令((＝)＝)，则ttt0. ，∴∵0时，－≤0≠2ttt2.＝2，∴或－＝即0＋2＋2atfaaa 00≤时，无解．＋2＝＋2当＝0时，(0)＝，aaa ＝0时，－0无解．＝0，aaat 2＝－2当时，＝－2，≤0无解＋2＋aaa2.0时－＝＝－2，115.[答案] (，1)2实用文档xxfx 6，(＋)＝4－[解析] 设ff ，，显然(1)0(0)0111f ，)＋40＝()－6×又(() 2221 ．(，1)∴下一步可断定方程的根所在的区间为2) ，＋∞] (316. [答案xxxx 0，∴03或[解析] 先求定义域，∵，－3xxyuu.－是减函数，且又∵3＝log ＝1 3u的增区间．∴所求区间为(3，＋∞)．即求三．解答题ABAB)＝{4}，，∩] ∵(?()∩?＝{2}17.[解析B,A,A,B，根据元素与集合的关系，?44∈∴2∈?2 pp，12＝074＋4＝－＋? 可得，解得qq6.＝＝02－10＋?AxxxBxxx＋6＝0}＝＝{{2,3}|，经检验符合题意．＝{|－－75＋12＝0}＝{3,4}，∴AB＝{2,3,4}∴．∪3 2 ＋lg(25×4)＋(1)原式＝log32＋118.[解析] 313＝＋2＋3＝. 2211fxx＋)＝∵(( －)(2) xx111xxx－)＋4＋4＝＝(＋＋2＝(2)＋－xxxxxxfxxfx5.＋2＋1)＋∴4(＝)＝4＋，∴＋((＋1)＝Δxmx 有两个根，＝0易知(1)函数有两个零点，则对应方程－32＋，－0＋1]19.[解析4mmΔ ，可解得即；＝4＋12(1－)0 344mΔΔm.，可解得＝0，可解得；＝0 334m 时，函数有两个零点；故344mm 时，函数有一个零点；时，函数无零点．＝33mm1.0(2)因为是对应方程的根，有，可解得0－1＝＝实用文档xfxxf ，＝(2())为奇函数，且当∈(0，＋∞)20.[解析] (1)因为时，1fff3)＝－(log(－所以log(log)＝3) 3＝－3.＝－2xx∈(0，＋∞)0)，则－，(2)设任意的∈(－∞，xxxff )＝)＝2，所以2(因为当－∈(0，＋∞)时，(，xxfxff 上的奇函数，则)(－()又因为＝－(，)是定义在Rxxff ＝－2(－，所以)(＝－)xxf )＝－(2即当；∈(－∞，0)时，fff 0，所以，又因为(0)(0)＝－＝(0) x0，2x?0＝0，xf.(＝综上可知，)x02，－fxxxx∈R}，关于原点对称，{| ≠21.[解析] (1)0(，)的定义域为11axxfxa－)，＋(－＝)＝(－xx－afxfx)为奇函数，((－当)＝0时，＝－afafafffx)即不是奇函1)≠－(－1)＝(1)－1，知当，故≠0时，由((1)＝1＋，－(数也不是偶函数．xx≤2，则设1≤ (2)111xxaxxafxfxaxx－－＝－())－)[()＝(＋]，＋－( xxxxxxxxxxxx＜4＜0,2＜，≤由1＋≤2，得＜－4,1＞11xxaa ，)(＜＋－12－，又1＜＜＜3，所以2－1 xx41axxfxfx)＞0－，＞)－0，从而(( 得)(＋xxfxfxafx)在[1,2]()，故当上单调递增．∈(1,3)即(时，) (fx)是奇函数，( 解析23.[] (1)∵ffff(－2)，即＝(2)＋∴＝－(－2)0. (2)xx0，(2)当0时，－axf1.)＝∴(－－xfxffx )＝－)由(()是奇函数，有－(，xxffxaa ＝∵(－)－10)1(＝－(，∴)＋．实用文档xa 01－≥xf.)∴所求的解析式为＝(?xa 0＋－1 x10－不等式等价于(3)?a141－＋－x0－1≥，或?a14－－1 xx01－10≥－?.或即aa50－32? xx11≥?a 或当1时，有xx5log1－1log2＋?注意此时log20，log50，可得此时不等式的解集为(1－log2,1＋log5)．a1时，不等式的解集为R同理可得，当0.a1时，综上所述，当不等式的解集为(1－log2,1＋log5)；a1时，不等式的解集为R当0.。

高中数学B版必修4 教科书课后习题参考答案

新课标人教A高一数学必修1测试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分)1.已知A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于A.{x|x∈R}B.{y|y≥0}C.{(0,0),(1,1)}D.2.方程x2-px+6=0的解集为M,方程x2+6x-q=0的解集为N,且M∩N={2},那么p+q等于A.21B.8C.6D.73. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=-D.f(x)=-|x|4.函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(-∞,4〕上递减,则a的取值范围是A.〔-3,+∞〕B.(-∞,-3)C.(-∞,5〕D.〔3,+∞)5. 下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是A.y=( )2B.y=C.y=D.y=6. 函数y= +1(x≥1)的反函数是A.y=x2-2x+2(x＜1)B.y=x2-2x+2(x≥1)C.y=x2-2x(x＜1)D.y=x2-2x(x≥1)7. 已知函数f(x)= 的定义域是一切实数,则m的取值范围是A.0<m≤4B.0≤m≤1C.m≥4D.0≤m≤48.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元9. 二次函数y=ax2+bx与指数函数y=( )x的图象只可能是10. 已知函数f(n)= 其中n∈N，则f(8)等于A.2B.4C.6D.711．如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=ax , y=bx , y=cx ,y=dx 在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序（）A、a<b<c<dB、a<b<d<cC、b<a<d<cD、b<a<c<d12．.已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=ax+b的图象不经过:（）A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知f(x)=x2－1(x<0)，则f－1(3)=_______.14．函数的定义域为______________15.某工厂8年来某产品产量y与时间t年的函数关系如下图，则：①前3年总产量增长速度增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变.以上说法中正确的是_______.16. 函数y= 的最大值是_______.三、解答题17. 求函数y= 在区间〔2,6〕上的最大值和最小值.（10分）18.(本小题满分10分) 试讨论函数f(x)=loga (a＞0且a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.答案一. BACCB BDCAD BA 二。

数学北师大版必修4教学教案-1.4.2-单位圆与周期性-(1)-含答案

1.4.2 单位圆与周期性【教材分析】一、地位与作用：本节课内容是普通高中课程标准实验教科书北师大《数学（必修四）》第一章第4.2节主要讲述三角函数的周期性。

本节知识上承三角函数定义，下启诱导公式及三角函数图像与性质。

同时，三角函数是描述周期现象的数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。

二、内容分析：本节教材对内容的安排主线是：现实背景（的感知与认识）—建构数学（形成周期函数概念）—具体化研究（三角函数的周期性）—数学应用（会求简单函数的周期）；此外，通过对例题的安排，介绍了得出函数周期的三种方法。

即例1→图像法、例2→定义法、例2的推广与引申→公式法。

充分体现了由“感性认识→理性认识”的认知升华。

【三维目标】一、知识与技能：1、了解周期函数的概念。

2、会判断一些简单的、常见的函数的周期性；3、能写出一些简单三角函数的周期。

二、过程与方法：1、结合现实模型，通过对三角函数值变化规律的观察与认识建构周期函数概念；2、通过对周期函数概念的了解与认识，学会判断简单的、常见的函数周期性；3、通过对三角函数周期公式的探索与发现，能写出简单的三角函数的周期。

三、情感价值观：1、通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、形成周期函数的概念的过程，让学生体会数学知识的发生、发展再现过程，激发学生的学习兴趣和求知欲。

2、通过数学运用，让学生在尝试问题解决中，获得成功的体验，在数学学习中享受生活，享受快乐。

【重点与难点】一、教学重点周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性。

二、教学难点周期函数的概念【学生分析】1、知识基础：学生认识了周期现象，并在此基础上学习了三角函数的定义，有了一定的知识基础；2、生活基础：日出日落、四季更替……始终伴随着我们的生活，容易激发学生的兴趣与求知欲；3、基本能力：在建构主义教学理论指导下的数学学习，使学生已经具备了一定的观察、分析、思考的能力，为本节课的展开提供了可能。

【教法与学法】一、学法设计：学法设计主要有：观察、思考、小组讨论、合作探究。

数学北师大版高中必修4正切函数的性质与图像

复习回顾问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边的终边
y
y
y

的终边
的终边
复习回顾问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边的终边
y
y
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的终边
的终边
复习回顾问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
讲授新课
例1. 比较tan 13 与tan 17
4 5 的大小.
讲授新课
例2. 求下列函数的周期：
讲授新课
例3. 求函数 y tan 3x 的定义域、
3
值域，指出它的周期性、单调性.
讲授新课
例3. 求函数 y tan 3x 的定义域、
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2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：第一章三角函数 Word版含答案

1 单调不“单调”，应用很“奇异”三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容．利用其可以便利地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等．下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，期望能对同学们的学习有所挂念．一、信念体验——比较大小例1 比较cos 5π14，sin 2π7，－cos 8π7的大小．解由于sin2π7＝cos(π2－2π7)＝cos 3π14，－cos 8π7＝ cos π7，又0<π7<3π14<5π14<π2，而y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，所以cos π7>cos 3π14>cos 5π14，即－cos 8π7>sin 2π7>cos 5π14.点评比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行：(1)将不同名的三角函数化为同名三角函数；(2)用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小；(3)由单调性得出各值的大小关系．二、重拳出击——求解最值例2 已知f (x )＝2sin(2x －π4)，x ∈R .求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．解由于当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )时，函数f (x )＝2sin(2x －π4)单调递增；当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )时，函数单调递减，所以f (x )＝2sin(2x －π4)在区间[π8，3π8]上为增函数，在区间[3π8，3π4]上为减函数．又f (π8)＝0，f (3π8)＝2，f (3π4)＝－1.故函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.点评求三角函数的最值是一类重要的三角函数问题，也是高考中经常毁灭的考点，解题过程中要留意将ωx ＋φ看作一个整体．利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础学问的综合运用．三、触类旁通——解不等式例3 若0≤α<2π，sin α>33cos α，求α的取值范围．解当α＝π2时，不等式成立，当α＝3π2时，不等式不成立．当α∈[0，π2)∪(3π2，2π]时，cos α>0，则原不等式可化为tan α>33，依据正切函数的单调性得，π6<α<π2；同理可得，当α∈(π2，3π2)时，π2<α<7π6.综上，α的取值范围是(π6，7π6)．点评利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解．2 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1 在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．解析在同一坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0,2π)的图像如图：由图知，x ∈(π4，5π4)．答案 (π4，5π4)点评求解三角函数的方程、不等式时，通常利用三角函数的图像使问题变得更简洁．二、分类争辩思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |.当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34，综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类争辩．(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要争辩．三、函数与方程思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________．解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1 ＝(cos x ＋32)2－74，设cos x ＝t ，由于π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤32，又函数f (t )＝(t ＋32)2－74在[12，32]上单调递增，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最大值为54. 答案 54点评遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值．四、转化与化归思想例4 比较下列两个数的大小．tan(－13 π4)与tan(－17 π5)．解 tan(－13 π4)＝－tan π4，tan(－17 π5)＝－tan 2π5.由于0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)内单调递增，所以tan π4<tan 2π5.所以－tan π4>－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5)．点评三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小．另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想.3 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”．要能够机敏地运用性质，必需在脑海中能准时地毁灭出三角函数的图像．下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们认真体会．一、定义域例1 函数y ＝cos x －12的定义域为______________．解析由题意得cos x ≥12，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z .答案 [2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z点评解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图像或者单位圆中三角函数线求解．二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________．解析由于0<x ≤π3，所以π3<x ＋π3≤23π，f (x )＝cos x 的图像如图可知：cos 23π≤cos(x ＋π3)<cos π3，即－12≤y <12.故函数的值域是[－12，12)．答案 [－12，12)点评解本题的关键是从x 的范围入手，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图像对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值．三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求：(1)函数f (x )的单调递减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调递减区间．解由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π3)．所以原函数的递减区间即为函数y ＝sin(2x －π3)的递增区间．(1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得：k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以f (x )＝sin(π3－2x )的递减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .(2)在减区间[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z 中，令k ＝－1、0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的递减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]．点评解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看作一个整体，依据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；假如要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间．四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π3解析由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin(2x －π3)，由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，所以x ＝5π12为f (x )的一条对称轴，选C.答案 C点评解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是依据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决．同样地，求解对称中心也有两种方法．五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π))是偶函数，则φ等于( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称；由x ＋φ3＝π2＋k π可得函数的对称轴方程是x ＝3π2＋3k π－φ，k ∈Z ，令3π2＋3k π－φ＝0，解得：φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又φ∈[0,2π)，故φ＝3π2.答案 C点评解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数⇔函数图像关于y 轴对称；奇函数⇔函数图像关于原点对称．4 数形结合百般好，形象直观烦琐少 ——构建正弦、余弦函数图像解题正弦、余弦函数的图像是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能依据问题的题设特点机敏构造图像，往往能直观、精确、快速解题．一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－22，1 C.⎣⎡⎦⎤－1，22 D.⎣⎡⎦⎤－1，－22解析依据题设中的新定义，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，作出函数f (x )在一个周期内的图像，如图可知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案 C点评有关三角函数的值域的确定，经常作出函数的图像，借助于图像直观、精确求解．二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________．解析在同始终角坐标系内，画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 及y ＝sin x 的图像，由图像可观看出交点个数为2. 答案 2点评有关三角函数的交点个数的确定，经常作出函数的图像，借助于图像直观、精确求解．三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________________________________________________________________________. 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值、无最大值，画出函数大致图像，如图所示，∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值．∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )．∴ω＝8k －103(k ∈Z )． ∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内已存在最大值．故ω＝143. 答案143点评本小题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及性质的理解与应用，求解本题应留意两点：一是f (x )在π4处取得最小值；二是在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以挂念解题．四、推断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是增函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是增函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是减函数 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数解析作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像如图所示．由图像可知B 正确．答案 B点评形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图像，利用数形结合思想求解．五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析作出函数y ＝sinπx2，y ＝kx 的函数图像，如图所示．当k ≤0时，明显成立；当0<k ≤1时，由图像可知：sin πx2≥kx 在x ∈[0,1]上成立．综上所述，k ≤1. 答案 k ≤1点评数形结合时，函数图像要依据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算推断．本题争辩y ＝kx 与y＝sinπx2的图像关系时，不要遗忘k ≤0的状况．六、争辩方程的实根例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在0≤x ≤π上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值．解在同一坐标系内作出函数y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(0≤x ≤π)与y 2＝k 的图像，如图所示．当x ＝0时，y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫0＋π4＝1. 所以当k ∈[1，2)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x 1、x 2，且x 1、x 2关于x ＝π4对称，x 1＋x 2＝π2.故实数k 的取值范围是[1，2)，且x 1＋x 2＝π2.点评本题通过函数图像的交点个数推断方程实数根的个数，应重视这种方法．。

北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从力、速度、位移到向量

A（起点） A（起点）
有向线段的三个要素：起点、方向、有向线段的三个要素：起点、方向、长度

1、向量的几何表示：用有向线段表示。、向量的几何表示：用有向线段表示。向量AB的大小，也就是向量的向量的大小，也就是向量AB的长度的大小或称模），记作记作|AB|。（或称模），记作。长度为0的向量叫做零向量，记作0。长度为0的向量叫做零向量，记作0。的向量叫做零向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。长度等于个单位的向量，叫做单位向量。个单位的向量单位向量
规定：0与任一向量平行。与任一向量平行。规定：与任一向量平行 C OA = a A B l
. o
OB = b
OC = c
的向量的起点平移到直线l上的问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线上的把一组平行于直线的向量的起点平移到直线一点O 这时它们是不是平行向量？一点，这时它们是不是平行向量？各向量的终点与直线l之间有什么关系之间有什么关系？各向量的终点与直线之间有什么关系？
D C
) D. 3
C D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c ，
A B B
时成立。当b ≠ 0时成立。时成立
A
3.某人从点出发向东走了米到达点，然后改变方向某人从A点出发向东走了米到达B点某人从点出发向东走了5米到达米到达C点到达C点后点后又按东北方向走了10 2米到达点，到达点后又改变方向西走了10米到达米到达D点向向西走了米到达点（1）作出向量）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模的模
1.判断下列命题是否正确，若不正确， 1.判断下列命题是否正确，若不正确，请判断下列命题是否正确简述理由. 简述理由. v uuuv uuu 是共线向量， ①向量 AB 与 CD是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上；四点必在一直线上； (×) × ②单位向量都相等；单位向量都相等；

2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：2.3.2 平面向量基本定理 Word版含答案

3．2 平面对量基本定理明目标、知重点 1.理解平面对量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面对量基本定理解决有关平面对量的综合问题．平面对量基本定理(1)定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底．[情境导学] 在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？探究点一平面对量基本定理的提出思考1 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答通过观看，可得：AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1.思考2 依据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？答若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.思考3 上述定理称为平面对量基本定理，不共线向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a 的表示式是否相同？平面对量的基底唯一吗？答同一平面内可以作基底的向量有很多组，不同基底对应向量a 的表示式不相同．不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解 ∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4.解得x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .反思与感悟选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量．这有时要利用平面几何学问．要留意将平面几何学问中的性质、结论与向量学问有机结合，具体问题具体分析解决．跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. 解设AB →＝a ，AD →＝b ，则AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →＝12a ＋b ，①AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b ，②由①②得⎩⎨⎧12a ＋b ＝c ，a ＋12b ＝d ，解得⎩⎨⎧a ＝－23c ＋43d ，b ＝43c －23d ，即AB →＝－23c ＋43d ，AD →＝43c －23d .探究点二平面对量基本定理的证明及应用 (1)证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系．答如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a ，过点C 分别作平行于OB ，OA 的直线，交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，有OM →＝λ1OA →，ON →＝λ2OB →，∵OC →＝OM →＋ON →，∴a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．假如e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法) 答假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a ＝λ′1e 1＋λ′2e 2成立，则λ′1e 1＋λ′2e 2＝λ1e 1＋λ2e 2. ∴(λ′1－λ1)e 1＋(λ′2－λ2)e 2＝0.∵e 1、e 2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0， ∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a ＝λ1e 1＋λ2e 2成立的实数对λ1，λ2是唯一的．例2 如图，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a 、b 表示OM →，ON →，MN →.解 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵CN →＝13CD →＝16OD →.∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b )， MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .反思与感悟用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先认真观看所给图形．借助于平面几何学问和共线向量定理，结合平面对量基本定理解决．跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →. 解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .例3 如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b 为基底表示OM →. 解设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b由于A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ，由于C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n1，即4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .反思与感悟 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，留意方程思想的应用； (2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应依据条件机敏应用，娴熟把握．跟踪训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解 (1)由题意，得A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.1．假如e 1、e 2是平面α内全部向量的一组基底，那么下列命题正确的是( ) A ．若实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．对空间任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不愿定在平面α内，λ1、λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有很多对答案 A解析 A 正确，B 错，这样的a 只能与e 1、e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；C 错，在平面α内任一向量都可表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2确定在平面α内；D 错，这样的λ1、λ2是唯一的，而不是有很多对．2．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内全部向量的一组基底的序号是______．(写出全部满足条件的序号) 答案 ①②④解析对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)， ∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底．3.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →. 解连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC → ＝23AB →＋13BC → ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . [呈重点、现规律] 1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内全部向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．精确理解平面对量基本定理(1)平面对量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面对量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、基础过关1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面对量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2答案 D2．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面全部向量的基底；②一个平面内有很多多对不共线向量可作为该平面全部向量的基底；③零向量不行作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③答案 B3．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B4．在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE 相交于点N ，若AN →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 等于( ) A ．1 B.12C.14D.18 答案 C解析 AN →＝12()AD →＋AE →＝12⎝⎛⎭⎫14AB →＋14AC → ＝18AB →＋18AC →，∴x ＝y ＝18，即x ＋y ＝18＋18＝14. 5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案－74m ＋138n解析设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________(用a ，b 表示)．答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c . 7.如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →. 解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .二、力气提升8．已知M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF → C ．0 D ．6MD →答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0.9.如图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →＝________. 答案 34a ＋34b解析 AG →＝AE →－GE →＝AB →＋BE →－GE →＝a ＋12b －12FE →＝a ＋12b －12×12DB →＝a ＋12b －14(a －b )＝34a ＋34b .10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝12.11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，假如E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，假如O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →. 解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .12.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1. 证明设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →， ∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得 ⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b .又∵b 与c 不共线．∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.三、探究与拓展13.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．解设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。

北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量的坐标运算

( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 ),
x1 x2 , y1 y2 . 消去得： x1 y2 x2 y1 0,
a // b x1 y2 x2 y1 0.(b 0)
例2
已知 a (2,1), b (3, 4),
a 1e1 2e2

我们把不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
二、新课探析
1、平面向量的坐标表示 Y
4
j
-5
2
a
0
-2
i
5
X
（2） a ( x, y) 其中x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标
北第师二大章版《高平中面数向学量必》修 4
平面向量的坐标运算
X
一、教学目标： 1.知识与技能：（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.过程与方法：教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力. 3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神. 二.教学重、难点重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况。找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程

【创新设计】2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：1.7 正切函数 Word版含答案

§7 正切函数[学习目标] 1.能依据正、余弦函数的定义类比得正切函数的定义.2.了解正切函数图像的画法，能利用正切函数的图像及性质解决有关问题.3.能依据正弦、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式．[学问链接]1．正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？答 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z ， x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) 2．如何作正切函数的图像？答类似于正、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三点分别为(k π，0)，⎝⎛⎭⎫k π＋π4，1，⎝⎛⎭⎫k π－π4，－1，其中k ∈Z ，两线分别为直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )，x ＝k π－π2(k ∈Z )． 3．依据相关诱导公式，你能推断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？答由诱导公式tan(x ＋π)＝tan x ，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．依据相关诱导公式，你能推断正切函数具有奇偶性吗？答从正切函数的图像来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x )＝－tan x ．故正切函数是奇函数． [预习导引] 1．正切函数的定义在直角坐标系中(如图所示)，假如角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值b a .依据函数的定义，比值ba 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .2．函数y ＝tan x 的性质与图像见下表：⎧⎫π3.正切函数的诱导公式 tan(x ＋k π)＝tan_x (k ∈Z )； tan(2π＋x )＝tan_x ； tan(－x )＝－tan_x ； tan(2π－x )＝－tan_x ； tan(π－x )＝－tan_x ； tan(π＋x )＝tan_x .要点一正切函数的定义域例1 求函数y ＝tan x －1tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的定义域．解依据题意，得⎩⎨⎧tan x ≥1，tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≠0，x ＋π6≠π2＋k π，解得⎩⎪⎨⎪⎧π4＋k π≤x <π2＋k π，x ≠－π6＋k π，x ≠π3＋k π.所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π4＋k π，π3＋k π∪⎝⎛⎭⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．规律方法求定义域时，要留意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．跟踪演练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以函数定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．要点二正切函数的单调性及应用例2 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间； (2)比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．解 (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z .(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0.∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0，明显－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3 <tan 1.规律方法正切型函数单调性求法与正弦、余弦型函数求法一样，接受整体代入法，但要留意区间为开区间且只有单调增区间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调区间内．跟踪演练2 (1)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间； (2)比较tan 65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π的大小．解 (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，令－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，则－π8＋k π2<x <3π8＋k π2，k ∈Z ，从而函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2，k ∈Z ，故函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2，k ∈Z .(2)tan 65π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π5＝tan π5， tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π7 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫－π7＝tan π7， ∵－π2<π7<π5<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan π7<tan π5，即tan 65π>tan ⎝⎛⎭⎫－137π. 要点三正切函数图像与性质的综合应用例3 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集； (3)作出函数y ＝f (x )在一个周期内的简图．解 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )得x ≠5π3＋2k π，∴f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π＋23π，故函数f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋23π，0，k ∈Z . (2)由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )．解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．∴不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z .(3)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3.令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3. 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图像与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3.从而得函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．规律方法对于形如y ＝tan(ωx ＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图像的争辩，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．假如ω<0，一般先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再进行求解．跟踪演练3 画出函数y ＝|tan x |的图像，并依据图像推断其单调区间、奇偶性、周期性．解由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z ).其图像如图．由图像可知，函数y ＝|tan x |是偶函数，单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，周期为π.要点四正切函数的诱导公式应用例4 求证：tan (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明左边＝tan (－α)·(－sin α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－sin α)·(－sin α)sin ⎣⎡⎦⎤ －⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．规律方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的机敏应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开头，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消退其差异，简言之，即化异为同．跟踪演练4 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫－α－32π⎝⎛⎭⎫cos 32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．解方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α·cos α·tan 2α＝cos α·(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z }答案 C2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z答案 C3．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan x答案 C4．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3解得 2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B.1.正切函数的图像正切函数有很多多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.一、基础达标1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0)B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0D ．(π，0)答案 C2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4的单调减区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π3－π12，k π3＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案 C3．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的全部函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③答案 C解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图像知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的全部函数为①②③. 4．下列各式中正确的是( ) A ．tan 735°>tan 800° B ．tan 1>－tan 2 C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan9π8<tan π7答案 D5．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1D.π4答案 A解析由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.6．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图像关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称 D ．图像关于直线x ＝π6成轴对称答案 B解析令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，明显⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像也没有对称轴，故D 错误．故选B. 7．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域．解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．二、力量提升8．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .9．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图像是( )答案 D解析当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.10．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝________.答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，θ∈(－π2，π2)．(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝(x －33)2－43(x ∈[－1，3])，∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43；当x ＝－1时，f (x )max ＝233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3. ∴tan θ≥1或tan θ≤－ 3.解得θ的取值范围是[π4，π2)∪(－π2，－π3]．12．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)，已知函数y ＝f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图像关于点M (－π8，0)对称，求f (x )的解析式．解由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2. 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图像关于点M (－π8，0)对称，∴2×(－π8)＋φ＝k π或π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．∵0<φ<π2，∴φ只能取π4.故f (x )＝tan(2x ＋π4)．三、探究与创新13．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在区间[0,2π]上交点的个数是多少？解由于当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >x >sin x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin x 与y＝tan x 没有公共点，因此函数y＝sin x与y＝tan x在区间[0,2π]内的图像如图所示：观看图像可知，函数y＝tan x与y＝sin x在区间[0,2π]内有3个交点．。

北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的积化和差与和差化积

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第三课时习题课
三角函数是中学数学的一个很重要的学习内容，这二章(第三章与第四章)从介绍三角函数的定义、性质、图象开始逐步深入，学习的进程高潮迭起，特别是从和、差、倍、半角
的三角函数直到三角函数的和差化积与积化和差，既充分揭
示了三角函数的内在关系，且每组公式又都有它自身的使用
范围，另外三角函数这块内容又是学习其他数学分支的重要
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以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公式称为三角函数的积化和差公式．积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)，这种转化可以使得一些我们无法解决的问题变成可能解决的问题，它们在三角式的变换中有很重要的作用．现在请同学们先翻开课本P．227，先看看这段课文，特别是注意公式的函数，函数名、角的形式等特征，记好这四个公式(五分钟阅读，让学生记忆)．
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(当然也可以把它们视为二个三角函数的积做积化和差．) 作了如下处理后，即成为三角函数一次式的和差了，自然做和差化积．
若又注意到本题的结构，以下解法也是可以考虑的．原式=(sin20°+sin40°)2-sin20°·cos50° =[2sin30°cos10°]2-sin20°·cos50°
工具，在函数研究、立体几何、代数及解析几何中都有广泛
的应用，学好三角函数是学好其他数学分支的重要基础．由
于三角公式相当多，所以记忆和应用就显得十分重要，安排
两节习题课的目的，就是希望通过练习及比较，使学生能熟
练掌握进行三角恒等变换的一般方法．
(一)复习和差化积与积化和差公式 (二)作业评讲 1．求cos20°+cos100°+cos140°．

北师大版高中数学高一必修4学案第二章2.1向量的加法

从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法预习课本P76～78，思考并完成以下问题1．向量的加法如何定义？2．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？3．向量加法的运算律有哪两条？[新知初探]1．向量的加法三角形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，则向量AC叫作向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC平行四边形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A作AB＝a，AD＝b，再作平行于AD的BC＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形．向量AC叫作向量a与b的和，表示为：AC＝a＋b[点睛](1)两个向量的和仍是一个向量．(2)用三角形法则作两向量的和时，要注意保持两向量“首尾相接”，箭头从起点指向最后一个终点．(3)用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量有公共起点．(4)两向量共线时用三角形法则求和．2．向量的加法满足交换律和结合律 a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．[点睛] 首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)()m ＋a ＋()b ＋c ＝()a ＋b ＋()c ＋m ( ) (2)AB ＋BC ＋CA ＝0 ( ) (3)||a ＋b ＝||a ＋||b ( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．对任意四边形ABCD ，下列式子中不等于BC 的是 ( ) A ．BA ＋AC B ．BD ＋DA ＋AC C ．AB ＋BD ＋DC D ．DC ＋BA ＋AD答案：C3．边长为1的正方形ABCD 中，|AB ＋BC |＝ ( ) A ．2 B. 2 C ．1 D ．2 2答案：B4．PQ ＋OM ＋QO ＋MQ ＝________.解析：PQ ＋OM ＋QO ＋MQ ＝PQ ＋QO ＋OM ＋MQ ＝PQ ＋OM ＋MQ ＝PQ . 答案：PQ向量求和[典例] 如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ， AC ，AB 的中点，化简下列三式：(1)BC＋CE＋EA；(2)OE＋AB＋EA；(3)AB＋FE＋DC.[解](1)BC＋OE＋EA＝BE＋EA＝BA.(2)OE＋AB＋EA＝(OE＋EA)＋AB＝OA＋AB＝OB.(3)AB＋FE＋DC＝AB＋BD＋DC＝AD＋DC＝AC.解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.[活学活用]如图所示，四边形ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别是所在边的中点，点O是对角线的交点，则下列各式正确的是()①AE＋AH＝OC；②AH＋OF＝CG＋FB；③BE＋FC＝HD＋OH；④OG＋BE＝DO.A．①③B．②④C．②③D．①④解析：选A①AE＋AH＝OC，正确；②AH＋OF＝BF＋GC，故②不正确；③BE＋FC＝HD＋OH，正确；④OG＋BE＝OD，故④不正确.利用向量的加法法则作图[典例]若正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AD＝b，AC＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小；[解]根据平行四边形法则可知，a＋b＝AB＋AD＝AC.延长AC，在AC 的延长线上作CE＝AC，则a＋b＋c＝AC＋AC＝AC＋CE＝AE(如图所示)．∴|a＋b＋c|＝|AE|＝212＋12＝2 2.利用向量加法的两种法则作图的方法法则作法三角形法则①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)②由第一个向量的起点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和平行四边形法则①把两个已知向量的起点平移到同一点②以这两个已知向量为邻边作平行四边形③对角线上以两向量公共起点为起点的向量就是这两个已知向量的和[活学活用]如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，则OC＝a＋b＋c.向量加法的应用[典例]一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度(保留小数点后1位数字)．[解]如图，OA表示水流速度，OB表示船垂直于对岸方向的速度，OC表示船实际航行的速度，其中∠AOC＝30°，|OB|＝5(km/h)．因为四边形OACB为矩形，所以|OC|＝|AC|tan 30°＝|OB|×3＝53≈8.7(km)，|OC|＝|OA|cos 30°＝5332＝10(km)．所以船的实际速度大小为10 km/h，方向与河岸成30°角，水流速度大小约为8.7 km/h.应用向量解决问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题．[活学活用]如图所示，两个力F1和F2同时作用在一个点O上，且F1的大小为3 N，F2的大小为4 N，且∠AOB＝90°，试作出F1和F2的合力，并求出合力的大小．解：作出F1和F2的合力F，如图所示．在直角三角形AOC中，|F1|＝3，|AC|＝|F2|＝4，|F|2＝|F1|2＋|AC|2＝|F1|2＋|F2|2＝25，∴|F|＝5 N.层级一学业水平达标1．下列命题：①在△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；②若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点；③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：选B①正确．对于②，当A，B，C三点共线时，不能构成三角形．对于③，应该为|a＋b|≤|a|＋|b|.2．若向量a表示向东走1 km，向量b表示向南走1 km，则向量a＋b表示() A．向东南走 2 km B．向东南走2 kmC．向东北走 2 km D．向东北走2 km解析：选A由向量加法的平行四边形法则，易得a＋b表示向东南走 2 km.3. 如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0 B．BEC．AD D．CF解析：选D BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝BF＋CB＝CF，所以选D. 4．下列命题错误的是() A．两个向量的和仍是一个向量B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b| C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有AB＝DC，起点和终点都不相同．5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA＋PB＝PC，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D PA＋PB＝PC，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．6. 如图，在平行四边形ABCD中，(1)AB＋AD＝________；(2)AC＋CD＋DO＝________；(3)AB＋AD＋CD＝________；(4)AC＋BA＋DA＝________.解析：(1)由平行四边形法则可知为AC.(2)AC＋CD＋DO＝AD＋DO＝AO.(3)AB＋AD＋CD＝AC＋CD＝AD.(4)AC＋BA＋DA＝BA＋AC＋DA＝BC＋DA＝0.答案：(1)AC(2)AO(3)AD(4)07．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AC＝c，BC＝b，则|a＋b＋c|＝________.解析：|a＋b＋c|＝|AB＋BC＋AC|＝|AC＋AC|＝2|AC|＝2 2.答案：2 28. 如图，菱形ABCD的边长为1，它的一个内角∠ABC＝60°，AB＝a，AD＝b，则|a＋b|＝________.解析：因为四边形ABCD为菱形，所以|AB|＝|BC|＝1.连接AC(图略)，又∠ABC＝60°，所以△ABC 为等边三角形．因为AB ＋AD ＝AC ，所以|AB ＋AD |＝|AC |＝1，即|a ＋b |＝1. 答案：19. 如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式： ①DG ＋EA ＋CB ； ②EG ＋CG ＋DA ＋EB .解：①DG ＋EA ＋CB ＝GC ＋BE ＋CB ＝GC ＋CB ＋EB ＝GB ＋BE ＝GE . ②EG ＋CG ＋DA ＋EB ＝EG ＋GD ＋DA ＋AE ＝ED ＋DA ＋AE ＝EA ＋AE ＝0.10．在长江某渡口上，江水以2 km/h 的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 3km/h ，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v 1，水流速度为v 2，船实际航行的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，依题意作出平行四边形，如图．在Rt △ABC 中，|BC |＝|v 1|＝2 3. |AB |＝|v 2|＝2， ∴|AC |＝|v |＝|AB |2＋|BC |2＝22＋(23)2＝4.tan θ＝|BC ||AB |＝232＝ 3.∴θ＝60°.∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向为东偏北60°.层级二应试能力达标1. 如图，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是()A．FD＋DA＝FAB．FD＋DE＋EF＝0C．DE,＋DA＝ECD．DA＋DE＝FD解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，DA＋DE＝DF≠FD.2. 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝()A．OH B．OGC．FO D．EO解析：选C设a＝OP＋OQ，利用平行四边形法则作出向量OP＋OQ，再平移即发现a＝FO.3．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是() A．①③B．②③C．②④D．①②解析：选A∵在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．4．向量a，b均为非零向量，下列说法不正确的是() A．若向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同B．若向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同C．若向量a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a＋b与a的方向相同D．若向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a＋b与a的方向相同解析：选D对于D，向量a＋b与b的方向相同．5．化简：(AD＋MB)＋(BC＋CM)＝________.解析：原式＝AD＋MB＋BC＋CM＝AD＋(MB＋BC)＋CM＝AD＋MC ＋CM＝AD.答案：AD6. 如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．则①AB＋CD＝________；②AB＋AF＋BC＝________；③OC＋OD＋EF＝________.解析：①AB＋CD＝AB＋AF＝AO.②AB＋AF＋BC＝AO＋BC＝AO＋OD＝AD.③OD＋OD＋EF＝OD＋OD＋OA＝OC.答案：①AO②AD③OC7. 如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明：AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，∴AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC.∵PB与QC大小相等，方向相反，∴PB＋QC＝0，故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.8. 如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b ＋c＋d.高中数学打印版精心校对版本(2)在平面内任取一点O ，作OA ＝a ，AB ＝e ，则a ＋e ＝OA ＋AB ＝OB ，因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线，所以|OB |即|a ＋e |最大，最大值是3.。

新版高中数学北师大版必修4习题第一章三角函数1.9含解析

§9三角函数的简单应用课时过关·能力提升1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=3si n(4πt+5π6),则单摆来回摆动一次所需的时间为()A.2π sB.π sC.0.5 sD.1 s答案:C2.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2)的模型波动(x为月份).已知3月达到最高价9千元,7月价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A.f(x)=2si n(π4x-π4)+7(1≤x≤12,x∈N+)B.f(x)=9si n(π4x-π4)(1≤x≤12,x∈N+)C.f(x)=2√2sinπ4x+7(1≤x≤12,x∈N+)D.f(x)=2si n(π4x+π4)+7(1≤x≤12,x∈N+)解析:由题意,可得A=9-52=2,b=7,周期T=2πω=2×(7−3)=8,∴ω=π4.∴f(x)=2sin(π4x+φ)+7.∵当x=3时,y=9,∴2si n(3π+φ)+7=9,即si n(3π+φ)=1.∵|φ|<π2,∴φ=−π4.∴f(x)=2si n(π4x-π4)+7(1≤x≤12,x∈N+).答案:A3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置为P(x,y).若初始位置为P0(√32,12),当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为()A.y=si n(π30t+π6)B.y=si n(-π60t-π6)C.y=si n(-π30t+π6)D.y=si n(-π30t-π3)解析:由题意知,函数的周期为T=60 s,则|ω|=2π60=π30.设函数解析式为y=si n(-π30t+φ)(因为秒针是顺时针走动).∵初始位置为P0(√32,1 2 ),∴当t=0时,y=12,∴sin φ=12,∴φ可取π6,∴函数解析式为y=si n(-π30t+π6).故选C.答案:C4.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M,N的小球,做上下自由振动,已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1和s2分别由下列两式确定:s1=5si n(2t+π6),s2=10cos 2t,则当时间t=23π时,s1和s2的大小关系为() A.s1>s2B.s1<s2C.s1=s2D.不能确定解析:当t=2π3时,s1=5si n(2×2π3+π6)=5sin3π2=−5,s2=10cos(2×2π3)=10cos4π3=10×(-12)=−5.故s1=s2,选C.答案:C5.如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(√2,−√2),角速度为1,则点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为()解析:点P初始位置P0到x轴的距离为√2,经过时间t=π4,P到x轴的距离为0,随后呈周期性变化.答案:C6.某城市一年中12个月的平均气温y(℃)与月份x(月)的关系可近似地用三角函数y=a+A co s[π6(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示.已知6月的月平均气温最高,为28 ℃,12月的月平均气温最低,为18 ℃,则10月的月平均气温为()A.20 ℃B.20.5 ℃C.21 ℃D.21.5 ℃解析:由已知,得a=28+182=23,A=28-182=5,则y=23+5co s[π6(x-6)].所以当x=10时,y=23+5co s[π6×(10-6)]=23+5cos2π3=23−5cosπ3=23−5×12=20.5(℃).故选B.答案:B7.如图为一半径为r m的水轮,水轮的圆心O距离水面2 m,水轮的最高点距离水面5 m.已知水轮每分旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=A sin(ωx+φ)+2,则A= (m),ω=(rad/s).答案:32π15★8.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3si n(π6x+φ)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为.解析:由题中图像知,y min=2=-3+k,∴k=5.∴函数解析式为y=3si n(π6x+φ)+5,故y max=8.答案:89.已知某地夏天8~14 h用电量变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2),如图.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.分析利用y=A sin(ωx+φ)+b的图像和性质求解.解(1)最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.(2)观察题图,可知8~14 h的图像是y=A sin(ωx+φ)+b的半个周期的图像,∴A=12×(50−30)=10,b=12×(50+30)=40.∵12·2πω=14−8,∴ω=π6.∴y=10si n (π6x +φ)+40.将x=8,y=30代入上式并结合|φ|<π2, 解得φ=π6.∴所求函数解析式为y=10si n (π6x +π6)+40,x ∈[8,14].10.已知某海滨浴场的海浪高度y (m)是时间t (0≤t ≤24,单位:h)的函数,记作y=f (t ).下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f (t )的曲线可近似地看成是函数y=A cos ωt+b 的图像.(1)根据以上数据,求出函数y=A cos ωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1 m 时才对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论,判断一天内的8:00至16:00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?分析(1)函数y=A cos ωt+b 的最大值是A+b ,最小值是b-A ,通过解方程组得A ,b 的值;观察数据得函数的周期T =2πω=12,解得ω.(2)转化为解不等式. 解(1)由表中数据,知周期T=12,∴ω=2πT =2π12=π6. 由题意,得{A +b =1.5,b -A =0.5,解得A=0.5,b=1. ∴y =12cos π6t +1.(2)由题知,当y>1时才可对冲浪爱好者开放,∴12cos π6t +1>1.∴cos π6t >0. ∴2k π−π2<π6t <2kπ+π2(k ∈Z ), 即12k-3<t<12k+3(k ∈Z ). ∵0≤t ≤24,∴可令k 分别为0,1,2,得0≤t<3或9<t<15或21<t ≤24.∴一天内的8:00至16:00之间仅在9:00至15:00之间即有6个小时可供冲浪者进行运动.11.一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图).它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动.已知绳子的长度为l,求:(1)点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式;(2)点P的运动周期和频率;(3)若ω=π6 rad/s,l=2,φ =π4,试求t为何值时y取最值;(4)在(3)中,试求小球到达x轴的正半轴所需的时间.解(1)y=l sin(ωt+φ),t∈[0,+∞).(2)由解析式得,周期T=2πω,频率f=1T=ω2π.(3)将ω=π6rad/s,l=2,φ=π4代入解析式,得y=2si n(π6t+π4),t∈[0,+∞).最小正周期T=2πω=2ππ6=12.当t=12k+1.5,k∈N时,y max=2;当t=12k+7.5,k∈N时,y min=-2.(4)设小球经过时间t0后到达x轴正半轴,令π6t0+π4=2π,得t0=10.5,∴当t0∈[0,+∞)时,t0=12k+10.5(k∈N).∴小球到达x轴正半轴所需要的时间为(10.5+12k)s(k∈N).★12.某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:m)随着时间t(0≤t≤24,单位:h)呈周期性变化.为了了解变化规律,该队观察若干天后,得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表:(1)试画出散点图;(2)观察散点图,从y=at+b,y=A sin(ωt+φ)+b,y=A cos(ωt+φ)+b中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;(3)如果确定当浪高不低于0.8 m时才能进行训练,试安排每天8:00至20:00进行训练的具体时间段.解(1)散点图如图.(2)由散点图可知,选择函数模型y=A sin(ωt+φ)+b较为合适.由图可知,A=1.4-1.0=0.4=25,T=12,b=1,ω=2πT=π6,此时函数解析式为y=25sin(π6t+φ)+1,以点(0,1.0)为“五点法”作图的第一个关键点,则有π×0+φ=0,即φ=0,故所求函数的解析式为y=2 5sinπt6+1(0≤t≤24).(3)由y=25sinπt6+1≥0.8(0≤t≤24),得si nπt6≥−12,则−π6+2kπ≤πt6≤7π6+2kπ(k∈Z),解得-1+12k≤t≤7+12k(k∈Z).令k=0,1,2,从而得0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24,所以应在每天11时~19时进行训练.。

2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：2.7.1 点到直线的距离公式 Word版含答案

7．1 点到直线的距离公式明目标、知重点 1.理解直线方向向量和法向量的含义.2.能应用直线的法向量推导点到直线的距离公式.3.能应用直线的方向向量、法向量解决有关问题．1．直线的法向量(1)直线l ：ax ＋by ＋c ＝0 (a 2＋b 2≠0)的一个方向向量是(b ，－a )，它的一个法向量是(a ，b )． (2)直线l ：y ＝kx ＋b 的一个方向向量是(1，k )，它的一个法向量是(k ，－1)．所以，一条直线的法向量有很多多个，它们都是共线向量． 2．点到直线的距离公式设点M (x 0，y 0)为平面内任一点，则点M 到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0 (a 2＋b 2≠0)的距离d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2.3．两平行线间距离直线l 1：ax ＋by ＋c 1＝0与直线l 2：ax ＋by ＋c 2＝0 (a 2＋b 2≠0且c 1≠c 2)的距离d ＝|c 1－c 2|a 2＋b 2.4．两直线的位置关系设直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，直线l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0的法向量依次为n 1，n 2.则： (1)l 1⊥l 2⇔n 1·n 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＝0；(2)l 1与l 2重合或平行⇔n 1∥n 2⇔a 1b 2－a 2b 1＝0.探究点一直线的方向向量与两直线的夹角导引1 直线y ＝kx ＋b 的方向向量：假如向量v 与直线l 共线，则称向量v 为直线l 的方向向量．对于任意一条直线l ：y ＝kx ＋b ，在它上面任取两点A (x 0，y 0)，B (x ，y )，则向量AB →＝(x －x 0，y －y 0)与直线l共线，即AB →为直线l 的方向向量．由于(x －x 0，y －y 0)＝1x －x 0(1，y －y 0x －x 0)＝1x －x 0(1，k )，所以向量(x －x 0，y －y 0)与向量(1，k )共线，从而向量(1，k )是直线y ＝kx ＋b 的一个方向向量．导引2 直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量当B ≠0时，k ＝－AB ，所以向量(B ，－A )与(1，k )共线，所以向量(B ，－A )是直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个方向向量；当B ＝0时，A ≠0，直线x ＝－CA 的一个方向向量为(0，－A )，即(B ，－A )．综上所述，直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个方向向量为v ＝(B ，－A )．思考1 已知直线l ：2x －y ＋1＝0和下列向量：①v 1＝(1,2)；②v 2＝(2,1)；③v 3＝⎝⎛⎭⎫－12，－1；④v 4＝(－2，－4)．其中能作为直线l 方向向量的有________．答 ①③④导引3 应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，它们的方向向量依次为v 1＝(1，k 1)，v 2＝(1，k 2)．当v 1⊥v 2，即v 1·v 2＝1＋k 1k 2＝0时，l 1⊥l 2，夹角为直角；当k 1k 2≠－1时，v 1·v 2≠0，直线l 1与l 2的夹角为θ(0°<θ<90°)．不难推导利用k 1、k 2表示cos θ的夹角公式： cos θ＝|v 1·v 2||v 1||v 2|＝|1＋k 1k 2|1＋k 21·1＋k 22.思考2 直线x －2y ＋1＝0与直线2x ＋y －3＝0的夹角为________；直线2x －y －1＝0与直线3x ＋y ＋1＝0的夹角为________．答 90° 45°探究点二直线的法向量与两直线的位置关系导引 (1)直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量：假如向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量．因此若直线的方向向量为v ，则n ·v ＝0.从而对于直线Ax ＋By ＋C ＝0而言，其方向向量为v ＝(B ，－A )，则由于n ·v ＝0，于是可取n ＝(A ，B )，这时由于(B ，－A )·(A ，B )＝AB －AB ＝0.直线的法向量也有很多个．(2)直线法向量的简洁应用：利用直线的法向量推断两直线的位置关系：对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)．当n 1∥n 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合．即A 1B 2－A 2B 1＝0⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合；当n 1⊥n 2时，l 1⊥l 2.即A 1A 2＋B 1B 2＝0⇔l 1⊥l 2.思考直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线l 2：(a －1)·x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0垂直，则a 的值为________．答案 ±1解析 n 1＝(a ＋2,1－a )，n 2＝(a －1,2a ＋3)， ∵l 1⊥l 2，∴n 1·n 2＝(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3) ＝(a －1)(－a －1)＝0， ∴a ＝±1.例1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，求实数a 的值．解直线l 1的法向量n 1＝(a,2)，直线l 2的法向量n 2＝(1，a －1)， ∵l 1∥l 2，∴n 1∥n 2，∴a (a －1)－1×2＝0，解得：a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，l 1：x －2y －6＝0，l 2：x －2y ＝0， ∴l 1∥l 2.当a ＝2时，l 1：x ＋y ＋3＝0，l 2：x ＋y ＋3＝0. ∴l 1与l 2重合，则a ＝2(舍去)．综上所述，a ＝－1.反思与感悟由n 1∥n 2解出参数a 的值后要留意检验，由n 1·n 2＝0推断两直线垂直，则不需要检验．跟踪训练1 已知直线l 1：(m ＋3)x ＋(m －1)y －5＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(3m ＋9)y －1＝0相互垂直，求实数m 的值．解 l 1的法向量n 1＝(m ＋3，m －1)，l 2的法向量n 2＝(m －1,3m ＋9)，∵l 1⊥l 2，∴n 1⊥n 2. ∴n 1·n 2＝(m ＋3)(m －1)＋(m －1)(3m ＋9) ＝(m －1)(4m ＋12)＝0.∴m ＝1或m ＝－3. 探究点三直线的法向量与点到直线的距离公式思考1 如何应用直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的法向量推导点M (x 0，y 0)到直线l 的距离公式．答设P (x 1，y 1)是直线l ：ax ＋by ＋c ＝0上任一点，n 是直线l 的一个法向量，不妨取n ＝(a ，b )．则M (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d 等于向量PM →在n 方向上射影的长度，如图所示：设PM →与n 的夹角为θ， d ＝|PM →|·|cos θ| ＝|PM →·n ||n |＝|(x 0－x 1，y 0－y 1)·(a ，b )|a 2＋b 2＝|a (x 0－x 1)＋b (y 0－y 1)|a 2＋b 2＝|ax 0＋by 0－(ax 1＋by 1)|a 2＋b2. ∵点P (x 1，y 1)在直线l 上，∴ax 1＋by 1＋c ＝0，∴ax 1＋by 1＝－c ， ∴d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2.思考2 利用直线的法向量推导两条平行线之间的距离公式．答设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别为直线l 1：ax ＋by ＋c 1＝0，直线l 2：ax ＋by ＋c 2＝0上任意两点，取直线l 1，l 2的一个法向量n ＝(a ，b )，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)在向量n 上的射影的长度，就是两平行线l 1、l 2的距离．设P 1P 2→与n 的夹角为θ， d ＝|P 1P 2→||cos θ| ＝|P 1P 2→·n ||n |＝|(x 2－x 1，y 2－y 1)·(a ，b )|a 2＋b 2＝|a (x 2－x 1)＋b (y 2－y 1)|a 2＋b 2＝|(ax 2＋by 2)－(ax 1＋by 1)|a 2＋b 2＝|c 1－c 2|a 2＋b 2. 例2 求点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离．解方法一取直线l 的一个法向量为n ＝(2,1)，在直线l 上任取一点P (5,0)，∴PP 0→＝(－6,2)，∴点到直线l 的距离d 就是PP 0→在法向量n 上的射影．设PP 0→与n 的夹角为θ. ∴d ＝|PP 0→||cos θ|＝|PP 0→|·|PP 0→·n ||PP 0→|·|n |＝|PP 0→·n ||n |＝|－12＋25|＝2 5.故点P 0到直线l 的距离为2 5. 方法二由点到直线的距离公式得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|2×(－1)＋1×2＋(－10)|5＝2 5.反思与感悟求点到直线的距离公式时，既可以利用向量法，也可以直接带入点到直线的距离公式计算．利用向量法时留意公式d ＝|P 0P →·n ||n |中每个符号的含义．跟踪训练2 求两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：6x ＋8y －3＝0之间的距离．解取直线l 2的一个方向向量为(－8,6)．则直线l 2的一个法向量为n ＝(6,8)，分别在直线l 1和l 2上任取一点M (0，12)和P (12，0)．则PM →＝(－12，12)，设PM →与n 的夹角为θ.∴点M 到直线l 2的距离 d ＝|PM →|·|cos θ|＝|PM →|·|PM →·n |PM →|·|n ||＝|PM →·n ||n |＝|－3＋410|＝110.又∵两条平行线间的距离处处相等，∴点M 到直线l 2的距离即为两平行线l 1与l 2间的距离，∴两平行线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：6x ＋8y －3＝0之间的距离为110.例3 已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点． (1)求直线DE 、EF 、FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．解 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)．设点M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0. (2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则CN →⊥AB →，∴CN →·AB →＝0. 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 所在的直线方程．反思与感悟对于解析几何中有关直线平行与垂直的问题，经常可以转而考虑与直线相关的向量的共线与垂直，这样就将形的问题转化为相关数的问题，从而更简洁将问题解决．跟踪训练3 已知M (x 0，y 0)为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (AB ≠0)外一点． (1)求过点M 与直线l 垂直的直线l 1； (2)求过点M 与直线l 平行的直线l 2. 解 (1)设P (x ，y )为直线l 1上任一点．由MP →·(B ，－A )＝0，得(x －x 0，y －y 0)·(B ，－A )＝0， ∴B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0.(2)设P (x ，y )为直线l 2上任一点，由MP →·(A ，B )＝0. ∴(x －x 0，y －y 0)·(A ，B )＝0.∴A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0.1．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是__________________．答案x 2＋y 2＋x －3y ＝0解析设P (x ，y )为圆上任一点，则 AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0，化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.2．已知直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________. 答案－2或1解析 l 1的法向量n 1＝(a,2)，l 2的法向量n 2＝(1，a ＋1)． ∵l 1∥l 2，∴a (a ＋1)－2＝0.解得a ＝－2或a ＝1.经检验，都符合题意．3．已知直线l 1：3x ＋y －2＝0与直线l 2：mx －y ＋1＝0的夹角为45°，则实数m 的值为________．答案 2或－12解析设直线l 1，l 2的法向量为n 1，n 2，则n 1＝(3,1)，n 2＝(m ，－1)．由题意： cos 45°＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|3m －1|10·1＋m 2＝22. 整理得：2m 2－3m －2＝0，解得：m ＝2或m ＝－12.4．已知三点A (－1,2)，B (3,4)，C (－2,5)，求符合下列条件的直线l . (1)经过点A ，且平行BC ； (2)经过点A ，且垂直BC .解 BC →＝(－5,1)，设P (x ，y )为直线l 上任一点．(1)当l ∥BC 时，P A →＝(x ＋1，y －2)，P A →∥BC →， ∴(x ＋1)－(－5)×(y －2)＝0，化简得x ＋5y －9＝0.(2)当l ⊥BC 时，P A →＝(x ＋1，y －2)，P A →⊥BC →. ∴(x ＋1)×(－5)＋1×(y －2)＝0，化简得5x －y ＋7＝0. [呈重点、现规律]1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有很多多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有很多多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．一、基础过关1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.22D.322答案 D2．已知三点A (－2，－3)，B (19,4)，C (－1，－6)，则△ABC 是( ) A ．以A 为直角顶点的直角三角形 B ．以B 为直角顶点的直角三角形 C ．以C 为直角顶点的直角三角形 D ．锐角三角形或钝角三角形答案 A3．已知直线l 1：(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直，则实数m 的值是( )A ．－2 B.12 C ．－2或12D ．－12或2答案 C解析 (m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝(m ＋2)(4m －2)＝0， ∴m ＝－2或12.4．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为________．答案25．过点A (－2,1)且平行于向量a ＝(3,1)的直线方程为________________．答案 x －3y ＋5＝0解析设P (x ，y )是所求直线上的任一点，AP →＝(x ＋2，y －1)．∵AP →∥a .∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0. 即所求直线方程为x －3y ＋5＝0.6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是________．答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)，AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5. 7．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，求直线l 1与l 2的夹角θ. 解设l 1、l 2的方向向量为v 1、v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)， ∴|cos θ|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22. ∴l 1与l 2的夹角θ为45°. 二、力气提升8．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( ) A ．x ＋3y －5＝0 B ．x ＋3y －15＝0 C ．x －3y ＋5＝0 D ．x －3y ＋15＝0答案 B解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋3k ＝0，∴k ＝13，∴l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0.故选B.9．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是____________．答案 x ＋3y －7＝0解析设P (x ，y )是所求直线上任一点，直线3x －y ＋1＝0的方向向量为(1,3)，由(x －1，y －2)·(1,3)＝0得x ＋3y －7＝0.10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝_____________________________________________________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－105，3105解析已知A (0,1)，B (－3,4)，设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD . 设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310， ∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.11．若两平行线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，求c 的值．解 ∵3x －2y －1＝0与6x ＋ay ＋c ＝0平行， ∴36＝－2a ≠－1c ， ∴a ＝－4，且c ≠－2. 由d ＝|c ＋2|62＋a 2＝|c ＋2|62＋(－4)2＝21313，化简得：|c ＋2|＝4， ∴c ＝－6或c ＝2.12．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0，直线l 2：2x ＋my －1＝0，l 1∥l 2，两平行直线间距离为5，而过点A (m ，n )(m >0，n >0)的直线l 被l 1、l 2截得的线段长为10，求直线l 的方程．解 ∵l 1∥l 2，∴m 2－16＝0得m ＝±4. ∵m >0，∴m ＝4.故l 1：4x ＋8y ＋n ＝0，l 2：4x ＋8y －2＝0. 又l 1与l 2间距离为5，∴|n ＋2|42＋82＝5，解得n ＝18或n ＝－22(舍)．故A 点坐标为(4,18)．再设l 与l 1的夹角为θ，斜率为k ，l 1斜率为－12，∵sin θ＝22， ∴θ＝π4，tan π4＝1＝⎪⎪⎪⎪k －(－12)⎪⎪⎪⎪1＋(－12)k ，解得k ＝13或k ＝－3.∴直线l 的方程为y －18＝13(x －4)或y －18＝－3(x －4)．即x －3y ＋50＝0或3x ＋y －30＝0.三、探究与拓展13．已知向量c ＝(0,1)，i ＝(1,0)，经过原点O 以c ＋λi 为方向向量的直线与经过定点A (0,1)，以i －2λc 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ，求点P 的轨迹方程．解设P 点坐标为(x ，y )， ∵i ＝(1,0)，c ＝(0,1)，∴c ＋λi ＝(λ，1)，i －2λc ＝(1，－2λ)，直线OP 与AP 的方程分别为λy ＝x 和y －1＝－2λx ，消去参数λ，所求的轨迹方程为2x 2＋y 2－y ＝0.。

北师大版高中数学必修4-第一章三角函数-4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式-典题题库

北师⼤版⾼中数学必修4-第⼀章三⾓函数-4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式-典题题库第⼀章三⾓函数-4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式⼀、选择题(共26⼩题,每⼩题5.0分,共130分)1.已知sin＝，则sin的值为()A．B．－C．D．－【答案】C【解析】∵sin＝，∴sin）＝sin＝sin＝.2.使函数y＝sin x递减且函数y＝cos x递增的区间是()A．B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】D【解析】y＝sin x的单调递减区间是[＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，y＝cos x的递增区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z，在区间(k∈Z)上y＝sin x递减，y＝cos x为递增函数，故D符合要求.3.函数f(x)＝|sin x－cos x|＋(sin x＋cos x)的值域为()A． [－，]B． [－，2]C． [－2，]D． [－2,2]【答案】B【解析】由题意得f(x)＝＝当x∈[2kπ＋，2kπ＋]时，f(x)∈[－，2]；当x∈(2kπ－，2kπ＋)时，f(x)∈(－，2).故可求得其值域为[－，2].4.函数f(a)＝cos2θ＋a cosθ－a(a∈[1,2]，θ∈[，])的最⼩值是() A．C． 3＋(－1)aD． cos2θ＋2cosθ－2【答案】D【解析】∵θ∈[，]，∴cosθ－1＜0，∴f(a)＝cos2θ＋a cosθ－a＝(cosθ－1)a＋cos2θ在[1,2]上是减少的，∴f(a)的最⼩值为f(2)＝cos2θ＋2cosθ－2.5.函数y＝sin2x－sin x＋1(x∈R)的值域是()A． [，3]B． [1,2]C． [1,3]D． [，3]【答案】A【解析】令sin x＝t，则y＝t2－t＋1＝(t－)2＋，t∈[－1,1]，由⼆次函数性质，得当t＝时，y取得最⼩值.当t＝－1时，y取得最⼤值3，∴y∈[，3].6.函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为()A． [－1,1]B．C．D．【答案】C【解析】y＝sin2x＋sin x－1＝(sin x＋)2－，当sin x＝－时，y min＝－；当sin x＝1时，y max＝1.7.若f(x)＝a sin x＋b(a，b为常数)的最⼤值是3，最⼩值是－5，则的值为()A．－4B． 4C． ±4D． 2【答案】C【解析】∵f(x)＝a sin x＋b(a，b为常数)的最⼤值是3，最⼩值是－5，∴b＋|a|＝3，且b－|a|＝－5，解得b＝－1，|a|＝4，即b＝－1，a＝±4，∴＝±4.8.已知函数y＝sin x的定义域为，值域为，则b－的值不可能是()B．C．D．【答案】D【解析】∵y＝sin x的定义域为，值域为，⽽sin＝sin＝，sin＝－1，∴≤b≤，∴≤b－≤，∴b－∈[，].∵，，均在区间[，]内，⽽?[，].9.如果≥，那么sin x的取值范围为() A． [－，)B． (，1]C． [－，)∪(，1]D． [－，)【答案】C【解析】若≥，则0＜≤，解得－≤x≤，且x≠，则－≤sin x≤1，且sin x≠，故sin x的取值范围为[－，)∪(，1].10.函数f(x)＝，x∈(0,2π)的定义域是() A． [，]B． [，]C． [，]D． [，]【答案】B【解析】由题意得sin x≥，⼜x∈(0，2π)∴x∈. 11.函数y＝的定义域是()A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】B【解析】∵2sin x－1≥0，∴sin x≥，∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z). 12.下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为() A．y＝B．y＝C．y＝x e xD．y＝【解析】∵函数y＝的定义域为{x∈R|x≠0}，∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}(k∈Z)，故A不满⾜；对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满⾜；对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满⾜；对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满⾜.13.函数y＝lg(sin x)的定义域为()A．(k∈Z)B． (2kπ，2kπ＋π) (k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】B【解析】由题意得sin x＞0，函数的定义域为(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z.14.函数f(x)的定义域为，则f(sin x)的定义域为()A．B．C．(k∈Z)D．∪(k∈Z)【答案】D【解析】∵函数f(x)的定义域为，∴－≤sin x≤，解得2kπ－≤x≤2kπ＋或2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴所求函数的定义域是∪(k∈Z).15.函数y＝的定义域是()A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】D【解析】由题意得cos x≥－，所以函数的定义域为(k∈Z).16.若⾓α∈(，π)，则点P(sinα，cosα)位于()A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵⾓α∈，∴sinα＞0，cosα＜0.∴点P(sinα，cosα)位于第四象限.17.当α为第⼆象限⾓时，－的值是()A． 1B． 0C． 2D．－2【答案】C【解析】∵α为第⼆象限⾓，∴sinα>0，cosα＜0.∴－18.若三⾓形的两内⾓α，β满⾜：sinα·cosβ＜0，则此三⾓形的形状为()A．锐⾓三⾓形B．钝⾓三⾓形C．直⾓三⾓形D．不能确定【答案】B【解析】因为三⾓形的两内⾓α，β满⾜：sinα·cosβ＜0，⼜sinα＞0，所以cosβ＜0，所以90°＜β＜180°，故β为钝⾓.19.已知sinθcosθ＜0，那么⾓θ是()A．第⼀或第⼆象限⾓B．第⼆或第三象限⾓C．第⼆或第四象限⾓D．第⼀或第四象限⾓【答案】C【解析】由题意知，sinθcosθ＜0，则或，所以⾓θ在第⼆或第四象限.20.函数y＝＋的值域是()A． {2}B． {2，－2}C． {2,0，－2}D． {2,0}【答案】C【解析】当x是第⼀象限⾓时，sin x＞0，cos x＞0，则y＝＋＝1＋1＝2；当x是第⼆象限⾓时，sin x＞0，cos x＜0，当x是第三象限⾓时，sin x＜0，cos x＜0，则y＝＋＝－1－1＝－2；当x是第四象限⾓时，sin x＜0，cos x＞0，则y＝＋＝－1＋1＝0.综上可得函数y＝＋的值域是{2，－2, 0}．21.已知α是第⼆象限⾓，P(x，)为其终边上⼀点，且cosα＝x，则x等于()A．B． ±C．－D．－【答案】D【解析】∵cosα＝＝＝x，∴x＝0(∵α是第⼆象限⾓，舍去)或x＝(舍去)或x＝－.22.已知⾓α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋cosα的值为()A． ±B． ±C．－D．【答案】C【解析】由题意可得x＝3，y＝－4，r＝5，∴sinα＝＝－，cosα＝＝，∴sinα＋cosα＝－.23.已知⾓α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，则b的值等于()A． 3B．－3C． ±3D． 5【答案】A【解析】∵⾓α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，∴cosα＝＝－，则b＞0，平⽅得＝，即b2＝9，解得b＝3或b＝－3(舍).24.已知⾓α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cosα＝－，则m的值为() A．－B．C．－D．【答案】B＝－，解得m＝.25.已知⾓α的终边过点P(－4m,3m)(m＜0)，则2sinα＋cosα的值是() A． 1B．C．－D．－1【答案】C【解析】∵⾓α的终边过点P(－4m,3m)(m＜0)，∴r＝|OP|＝＝＝－5m，则2sinα＋cosα＝2×＋＝－＋＝－.26.已知⾓α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，则sinαcosα等于()A．－B．C．D．－【答案】A【解析】∵在⾓α的终边所在的射线y＝－3x(x≥0)上任意取⼀点M(1，－3)，则x＝1，y＝－3，r＝|OM|＝，cosα＝＝，sinα＝＝，则sinαcosα＝·＝.⼆、填空题(共40⼩题,每⼩题5.0分,共200分)27.若函数f(x)满⾜f(＋x)＝sin x(x∈R)，则f(x)等于_____.【答案】－cos x【解析】令＋x＝t，，则x＝t－，∴f(＋x)＝f(t)＝sin x＝sin(t－)，即f(t)＝sin(t－)＝－cos t，∴f(x)＝－cos x.28.已知＝，则cos(3π－θ)＝____.【答案】【解析】由已知得：＝?cosθ＝－，所以cos(3π－θ)＝－cosθ＝.【答案】－【解析】cos(α＋)＝sin(－α－)＝－sin(α＋)＝－.30.已知cos(α＋)＝－，则sin(α－)＝____.【答案】【解析】∵cos(α＋)＝－，∴sin＝sin[(α＋)－]＝－sin[－(α＋)]＝－cos(α＋)＝.31.已知f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________.。

北师大版高中数学必修4同步学案：第2章平面向量基本定理

3.2 平面向量基本定理学习目标核心素养1.了解平面向量基本定理及其意义．(重点)2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)1.通过学习平面向量基本定理提升数学抽象素养．2.通过平面向量基本定理解决实际问题,培养直观想象素养.平面向量基本定理如果e 1,e 2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a ＝λ1e 1＋λ2e 2(如图②所示),其中不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．思考：若存在λ1,λ2∈R,μ1,μ2∈R,且a ＝λ1e 1＋λ2e 2,a ＝μ1e 1＋μ2e 2,那么λ1,μ1,λ2,μ2有何关系？[提示] 由已知得λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2,即(λ1－μ1)e 1＝(μ2－λ2)e 2. ∵e 1与e 2不共线,∴λ1－μ1＝0,μ2－λ2＝0, ∴λ1＝μ1,λ2＝μ2.1．设e 1,e 2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1,e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1,e 1＋e 2[答案] B2．设O 为平行四边形ABCD 的对称中心,AB →＝4e 1,BC →＝6e 2,则2e 1－3e 2等于( ) A.OA → B.OB → C.OC →D.OD →B [如图,OB →＝12DB →＝12(AB →－BC →)＝2e 1－3e 2.]3．已知向量a 与b 是一组基底,实数x,y 满足(3x －4y)a ＋(2x －3y)b ＝6a ＋3b,则x －y ＝________.3 [由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.]4．已知向量a 与b 不共线,且AB →＝a ＋4b,BC →＝－a ＋9b,CD →＝3a －b,则共线的三点为________． A,B,D [BD →＝BC →＋CD →＝－a ＋9b ＋3a －b ＝2a ＋8b,因为AB →＝a ＋4b,所以AB →＝12BD →,所以A,B,D 三点共线．]对向量基底的理解【例1】设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点,给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →,其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④B [①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →,则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →,则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知,只有不共线的两个向量才能构成一组基底,故①③满足题意．]考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否非零且不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.1．设e 1,e 2是平面内一组基向量,且a ＝e 1＋2e 2,b ＝－e 1＋e 2,则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a,b 的线性组合,即e 1＋e 2＝________a ＋________b.23 －13 [由题意,设e 1＋e 2＝ma ＋nb. 因为a ＝e 1＋2e 2,b ＝－e 1＋e 2,所以e 1＋e 2＝m(e 1＋2e 2)＋n(－e 1＋e 2)＝(m －n)e 1＋(2m ＋n)e 2. 由平面向量基本定理,得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.]用基底表示向量【例2】设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点,它们使BM →＝13BC →,CN →＝13CA →,AP →＝13AB →,若AB →＝a,AC →＝b,试用a,b 将MN →、NP →、PM →表示出来．[解] 如图,MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a. 同理可得NP →＝13a －23b.PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b.平面内任何一个向量都可以用两个基底进行表示,转化时一定要看清转化的目标,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,同时结合实数与向量积的定义,牢记转化方向,把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解.2.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD,且AB ＝2CD,M,N 分别是DC 和AB 的中点,若AB →＝a,AD →＝b,试用a,b表示DC →,BC →,MN →.[解] 如图所示,连接CN,则四边形ANCD 是平行四边形．则DC →＝AN →＝12AB →＝12a ；BC →＝NC →－NB →＝AD →－12AB →＝b －12a ；MN →＝CN →－CM →＝－AD →－12CD →＝－AD →－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＝14a －b.平面向量基本定理应用[探究问题]1．如果e 1,e 2是两个不共线的非零向量,则与e 1,e 2在同一平面内的任一向量a,能否用e 1,e 2表示？依据是什么？[提示] 能．依据是平面向量基本定理．2．如果e 1,e 2是共线向量,那么向量a 能否用e 1,e 2表示？为什么？[提示] 不一定．当a 与e 1,e 2中的一个非零向量共线时可以表示,否则不能表示． 3．基底给定时,向量分解形式唯一吗？ [提示] 向量分解形式唯一．【例3】如图,在△ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 在AC 上,且AN ＝2NC,AM 与BN 相交于点P,求AP ∶PM 与BP ∶PN.[思路探究] 以BM →与CN →为基底利用平面向量基本定理求解,解题时注意条件A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线的应用．[解] 设BM →＝e 1,CN →＝e 2,则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1,BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. ∵A,P,M 和B,P,N 分别共线,∴存在实数λ,μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2, BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →＋PA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2,由平面向量基本定理,得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →,BP →＝35BN →,∴AP ∶PM ＝4∶1,BP ∶PN ＝3∶2.1．(变设问)在本例条件下,若CM →＝a,CN →＝b,试用a,b 表示CP →. [解] 由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2, 则NP →＝25NB →,CP →＝CN →＋NP →＝CN →＋25NB →＝b ＋25(CB →－CN →)＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a.2．(变条件)若本例中的点N 为AC 的中点,其它条件不变,求AP ∶PM 与BP ∶PN. [解] 如图,设BM →＝e 1,CN →＝e 2,则AM →＝AC →＋CM →＝－2e 2－e 1,BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2, ∵A,P,M 和B,P,N 分别共线,∴存在实数λ,μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－2λe 2,BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →＋PA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋2e 2,由平面向量基本定理,得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23.∴AP →＝23AM →,BP →＝23BN →,∴AP ∶PM ＝2,BP ∶PN ＝2.用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量作为基底.(2)将相关的向量用基底向量表示,将几何问题转化为向量问题. (3)利用向量知识进行向量运算,得出向量问题的解. (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线,故基底中的向量不是零向量． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的一组基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底．( )(2)平面向量的基底不是唯一的．( ) (3)零向量不可作为基底中的向量．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ 2．下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A ．① B ．② C ．①③D ．②③C [零向量与任意向量共线,故零向量不能作为基底中的向量,故②错,①③正确．]3．已知向量e 1,e 2不共线,实数x,y 满足(2x －3y)e 1＋(3x －4y)e 2＝6e 1＋3e 2,则x ＝________,y ＝________.－15 －12 [∵向量e 1,e 2不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.]4.如图所示,平行四边形ABCD 中,点M 在AB 的延长线上,且BM ＝12AB,点N 在BC 上,且BN ＝13BC.求证：M,N,D 三点共线．[证明] 设AB →＝e 1,AD →＝e 2,则BC →＝AD →＝e 2. ∵BN →＝13e 2,BM →＝12AB →＝12e 1.∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1.又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13e 2－12e 1＝3MN →.∴向量MN →与MD →共线,又M 是公共点,故M,N,D 三点共线．。

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第一章算法初步1．1算法与程序框图练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数r .第二步，计算以r 为半径的圆的面积2S r π=.第三步，得到圆的面积S .2、算法步骤：第一步，给定一个大于1的正整数n .第二步，令1i =.第三步，用i 除n ，等到余数r .第四步，判断“0r =”是否成立. 若是，则i 是n 的因数；否则，i 不是n 的因数. 第五步，使i 的值增加1，仍用i 表示.第六步，判断“i n >”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三步.练习（P19）算法步骤：第一步，给定精确度d ，令1i =.的到小数点后第i 位的不足近似值，赋给a 的到小数点后第i 位的过剩近似值，赋给b . 第三步，计算55b am =-.第四步，若m d <，则得到5a；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示.返回第二步. 第五步，输出5a.程序框图：习题1.1 A 组（P20）1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题.为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7 m 3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m 3的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费.设某户每月用水量为x m 3，应交纳水费y 元，那么y 与x 之间的函数关系为 1.2,071.9 4.9,7x x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩我们设计一个算法来求上述分段函数的值.算法步骤：第一步：输入用户每月用水量x .第二步：判断输入的x 是否不超过7. 若是，则计算 1.2y x =；若不是，则计算 1.9 4.9y x =-.第三步：输出用户应交纳的水费y .程序框图：2、算法步骤：第一步，令i =1，S=0.第二步：若i ≤100成立，则执行第三步；否则输出S. 第三步：计算S=S+i 2.第四步：i = i +1，返回第二步.程序框图：3、算法步骤：第一步，输入人数x ，设收取的卫生费为m 元.第二步：判断x 与3的大小. 若x >3，则费用为5(3) 1.2m x =+-⨯；若x ≤3，则费用为5m =.第三步：输出m .程序框图：B 组 1、算法步骤：第一步，输入111222,,,,,a b c a b c ..第二步：计算21121221b c b c x a b a b -=-.第三步：计算12211221a c a c y ab a b -=-.第四步：输出,x y .程序框图：2、算法步骤：第一步，令n =1第二步：输入一个成绩r ，判断r 与6.8的大小. 若r ≥6.8，则执行下一步；若r<6.8，则输出r ，并执行下一步.第三步：使n 的值增加1，仍用n 表示.第四步：判断n 与成绩个数9的大小. 若n ≤9，则返回第二步；若n >9，则结束算法.程序框图：说明：本题在循环结构的循环体中包含了一个条件结构.1．2基本算法语句练习（P24） 12、程序：3练习（P29） 14、2、本程序的运行过程为：输入整数x . 若x 是满足9<x <100的两位整数，则先取出x 的十位，记作a ，再取出x 的个位，记作b ，把a ，b 调换位置，分别作两位数的个位数与十位数，然后输出新的两位数. 如输入25，则输出52. 34练习（P32） 1 2习题1.2 A 组（P33）1、1(0)0(0)1(0)x x y x x x -+<⎧⎪==⎨⎪+>⎩23、程序：习题1.2 B 组（P33） 1、程序：23 41．3算法案例练习（P45） 1、（1）45；（2）98；（3）24；（4）17. 2、2881.75.3、2200811111011000=（），820083730=（）习题1.3 A 组（P48） 1、（1）57；（2）55. 2、21324.4、习题1.3 B 组（P48）1、算法步骤：第一步，令45n =，1i =，0a =，0b =，0c =.第二步，输入()a i .第三步，判断是否0()60a i ≤<. 若是，则1a a =+，并执行第六步. 第四步，判断是否60()80a i ≤<. 若是，则1b b =+，并执行第六步. 第五步，判断是否80()100a i ≤≤. 若是，则1c c =+，并执行第六步. 第六步，1i i =+. 判断是否45i ≤. 若是，则返回第二步.第七步，输出成绩分别在区间[0,60),[60,80),[80,100]的人数,,a b c .2、如“出入相补”——计算面积的方法，“垛积术”——高阶等差数列的求和方法，等等.1、（1）程序框图：程序：1、（2）程序框图：程序：2、见习题1.2 B组第1题解答.34、程序框图：5（1）向下的运动共经过约199.805 m （2）第10次着地后反弹约0.098 m （3）全程共经过约299.609 m B 组（P35）1 2、3、算法步骤：第一步，输入一个正整数x 和它的位数n . 第二步，判断n 是不是偶数，如果n 是偶数，令2n m =;如果n 是奇数，令12n m -=. 第三步，令1i =第四步，判断x 的第i 位与第(1)n i +-位上的数字是否相等. 若是，则使i 的值增加1，仍用i 表示；否则，x 不是回文数，结束算法.第二章统计2．1随机抽样练习（P57）1、.况之间有误差. 如抽取的部分个体不能很好地代表总体，那么我们分析出的结果就会有偏差.2、（1）抽签法：对高一年级全体学生450人进行编号，将学生的名字和对应的编号分别写在卡片上，并把450张卡片放入一个容器中，搅拌均匀后，每次不放回地从中抽取一张卡片，连续抽取50次，就得到参加这项活动的50名学生的编号.（2）随机数表法：第一步，先将450名学生编号，可以编为000,001， (449)第二步，在随机数表中任选一个数. 例如选出第7行第5列的数1（为了便于说明，下面摘取了附表的第6～10行）.16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5457 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，从选定的数1开始向右读，得到一个三位数175，由于175<450，说明号码175在总体内，将它取出；继续向右读，得到331，由于331<450，说明号码331在总体内，将它取出；继续向右读，得到572，由于572>450，将它去掉. 按照这种方法继续向右读，依次下去，直到样本的50个号码全部取出，这样我们就得到了参加这项活动的50名学生.3、用抽签法抽取样本的例子：为检查某班同学的学习情况，可用抽签法取出容量为5的样本. 用随机数表法抽取样本的例子：部分学生的心理调查等.抽签法能够保证总体中任何个体都以相同的机会被选到样本之中，因此保证了样本的代表性.4、与抽签法相比，随机数表法抽取样本的主要优点是节省人力、物力、财力和时间，缺点是所产生的样本不是真正的简单样本.练习（P59）1、系统抽样的优点是：（1）简便易行；（2）当对总体结构有一定了解时，充分利用已有信息对总体中的个体进行排队后再抽样，可提高抽样调查；（3）当总体中的个体存在一种自然编号（如生产线上产品的质量控制）时，便于施行系统抽样法.系统抽样的缺点是：在不了解样本总体的情况下，所抽出的样本可能有一定的偏差.2、（1）对这118名教师进行编号；（2）计算间隔1187.37516k==，由于k不是一个整数，我们从总体中随机剔除6个样本，再来进行系统抽样. 例如我们随机剔除了3,46,59,57,112,93这6名教师，然后再对剩余k=；的112位教师进行编号，计算间隔7（3）在1～7之间随机选取一个数字，例如选5，将5加上间隔7得到第2个个体编号12，再加7得到第3个个体编号19，依次进行下去，直到获取整个样本.3、由于身份证（18位）的倒数第二位表示性别，后三位是632的观众全部都是男性，所以这样获得的调查结果不能代表女性观众的意见，因此缺乏代表性.练习（P62）1、略2、这种说法有道理，因为一个好的抽样方法应该能够保证随着样本容量的增加，抽样调查结果会接近于普查的结果. 因此只要根据误差的要求取相应容量的样本进行调查，就可以节省人力、物力和财力.3、可以用分层抽样的方法进行抽样. 将麦田按照气候、土质、田间管理水平的不同而分成不同的层，然后按照各层麦田的面积比例及样本容量确定各层抽取的面积，再在各层中抽取个体（这里的个体是单位面积的一块地）.习题2.1 A组（P63）1、产生随机样本的困难：（1）很难确定总体中所有个体的数目，例如调查对象是生产线上生产的产品.（2）成本高，要产生真正的简单随机样本，需要利用类似于抽签法中的抽签试验来产生非负整值随机数.（3）耗时多，产生非负整数值随机数和从总体中挑选出随机数所对的个体都需要时间.2、调查的总体是所有可能看电视的人群.学生A的设计方案考虑的人数是：上网而且登录某网址的人群，那些不能上网的人群，或者不登录某网址的人群就被排除在外了. 因此A方案抽取的样本的代表性差.学生B的设计方案考虑的人群是小区内的居民，有一定的片面性. 因此B方案抽取的样本的代表性差.学生C的设计方案考虑的人群是那些有电话的人群，也有一定的片面性. 因此C方案抽取的样本的代表性.所以，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率.3、（1）因为各个年级学习任务和学生年龄等因素的不同，影响各年级学生对学生活动的看法，所以按年级分层进行抽样调查，可以得到更有代表性的样本.（2）在抽样的过程中可能遇到的问题如敏感性问题：有些学生担心提出意见对自己不利；又如不响应问题：由于种种原因，有些学生不能发表意见；等等.（3）前面列举的两个问题都可能导致样本的统计推断结果的误差.（4）为解决敏感性问题，可以采用阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”中的方法设计调查问卷；为解决不响应问题，可以事先向全体学生宣传调查的意义，并安排专人负责发放和催收调查问卷，最大程度地回收有效调查问卷.4、将每一天看作一个个体，则总体由365天组成. 假设要抽取50个样本，将一年中的各天按先后次序编号为0～364天用简单随机抽样设计方案：制作365个号签，依次标上0～364. 将号签放到容器内充分搅拌均匀，从容器中任意不放回取出50个号签. 以签上的号码所对应的那些天构成样本，检测样本中所有个体的空气质量.用系统抽样设计抽样方案：先通过简单随机抽样方法从365天中随机抽出15天，再把剩下的350天重新按先后次序编号为0～349. 制作7个分别标有0～7的号签，放在容器中充分搅拌均匀. 从容器中任意取出一个号签，设取出的号签的编号为a，则编号为+≤<所对应的那些天构成样本，检测样本中所有个体的空气质量.7(050)a k k显然，系统抽样方案抽出的样本中个体在一年中排列的次序更规律，因此更好实施，更受方案的实施者欢迎.5、田径队运动员的总人数是564298+=（人），要得到28人的样本，占总体的比例为27.于是，应该在男运动员中随机抽取256167⨯=（人），在女运动员中随机抽取281612-=（人）.这样我们就可以得到一个容量为28的样本.6、以10为分段间隔，首先在1～10的编号中，随机地选取一个编号，如6，那么这个获奖者奖品的编号是：6,16,26,36,46.7、说明：可以按年级分层抽样的方法设计方案. 习题2.1 B 组（P64）1、说明：可以按年级分层抽样的方法设计方案，调查问卷由学生所关心的问题组成. 例如：（1）你最喜欢哪一门课程？（2）你每月的零花钱平均是多少？（3）你最喜欢看《新闻联播》吗？（4）你每天早上几点起床？（5）你每天晚上几点睡觉？要根据统计的结果和具体的情况解释结论,主要从引起结论的可能原因及结论本身含义来解释.2、说明：这是一个开放性的题目，没有一个标准的答案. 2．2用样本估计总体练习（P71） 1、说明：由于样本的极差为364.41362.51 1.90-=，取组距为0.19，将样本分为10组. 可以按照书上的方法制作频率分布表、频率分布直观图和频率折线图. 2、说明：此题目属于应用题，没有标准的答案.3、茎叶图为：由该图可以看出30名工人的日加工零件个数稳定在120件左右. 练习（P74）这里应该采用平均数来表示每一个国家项目的平均金额，因为它能反应所有项目的信息. 但平均数会受到极端数据2000万元的影响，所以大多数项目投资金额都和平均数相差比较大.练习（P79）1、甲乙两种水稻6年平均产量的平均数都是900，但甲的标准差约等于23.8，乙的标准差约等于41.6，所以甲的产量比较稳定.2、（1）平均重量496.86x ≈，标准差 6.55s ≈.（2）重量位于(,)x s x s -+之间有14袋白糖，所占的百分比约为66.67％.3、（1）略. （2）平均分19.25x ≈，中位数为15.2，标准差12.50s ≈.这些数据表明这些国家男性患该病的平均死亡率约为19.25，有一半国家的死亡率不超过15.2，15.2x >说明存在大的异常数据，值得关注. 这些异常数据使标准差增大.习题2.2 A 组（P81） 1、（1）茎叶图为：（2）汞含量分布偏向于大于1.00 ppm 的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于1.00 ppm 的区域.（3）不一定. 因为我们不知道各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同. 即使各批鱼的汞含量分布相同，上面的数据只能为这个分布作出估计，不能保证平均汞含量大于1.00 ppm. （4）样本平均数 1.08x ≈，样本标准差0.45s ≈.（5）有28条鱼的汞含量在平均数与2倍标准差的和（差）的范围内.2比较短，所以在这批棉花中混进了一些次品.3、说明：应该查阅一下这所大学的其他招生信息，例如平均数信息、最低录取分数线信息等. 尽管该校友的分数位于中位数之下，而中位数本身并不能提供更多录取分数分布的信息.在已知最低录取分数线的情况下，很容易做出判断；在已知平均数小于中位数很多，则说明最低录取分数线较低，可以推荐该校友报考这所大学，否则还要获取其他的信息（如标准差的信息）来做出判断. 4、说明：（1）对，从平均数的角度考虑；（2）对，从标准差的角度考虑；（3）对，从标准差的角度考虑；（4）对，从平均数和标准差的角度考虑； 5、（1）不能. 因为平均收入和最高收入相差太多，说明高收入的职工只占极少数. 现在已知知道至少有一个人的收入为50100x =万元，那么其他员工的收入之和为4913.55010075ii x==⨯-=∑（万元）每人平均只有1.53. 如果再有几个收入特别高者，那么初进公司的员工的收入将会很低. （2）不能，要看中位数是多少.（3）能，可以确定有75％的员工工资在1万元以上，其中25％的员工工资在3万元以上.（4）收入的中位数大约是2万. 因为有年收入100万这个极端值的影响，使得年平均收入比中位数高许多.6、甲机床的平均数=1.5x 甲，标准差=1.2845s 甲；乙机床的平均数 1.2z y =，标准差0.8718z s =. 比较发现乙机床的平均数小而且标准差也比较小，说明乙机床生产出的次品比甲机床少，而且更为稳定，所以乙机床的性能较好. 7、（1）总体平均数为199.75，总体标准差为95.26. （2）可以使用抓阄法进行抽样. 样本平均数和标准差的计算结果和抽取到的样本有关. （3）（4）略习题2.2 B 组（P82）1、（1）由于测试1T 的标准差小，所以测试1T 结果更稳定，所以该测试做得更好一些. （2）由于2T 测出的值偏高，有利于增强队员的信心，所以应该选择测试2T .G E .2、说明：此题需要在本节开始的时候就布置，先让学生分头收集数据，汇总所收集的数据才能完成题目.2．3变量间的相关关系练习（P85）1、从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康. 但除了吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果. 我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题. 但吸烟引起健康问题的可能性大，因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的.2、从现在我们掌握的知识来看，没有发现根据说明“天鹅能够带来孩子”，完全可能存在既能吸引天鹅和又使婴儿出生率高的第3个因素（例如独特的环境因素），即天鹅与婴儿出生率之间没有直接的关系，因此“天鹅能够带来孩子”的结论不可靠.而要证实此结论是否可靠，可以通过试验来进行. 相同的环境下将居民随机地分为两组，一组居民和天鹅一起生活（比如家中都饲养天鹅），而另一组居民的附近不让天鹅活动，对比两组居民的出生率是否相同. 练习（P92）1、当0x =时，147.767y =，这个值与实际卖出的热饮杯数150不符，原因是：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差；即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x ，预报值y 能够等于实际值y . 事实上：y bx a e =++. （这里e 是随机变量，是引起预报值y 与真实值y 之间的误差的原因之一，其大小取决于e 的方差.）（1）散点图如下： 2、数据的散点图为：从这个散点图中可以看出，鸟的种类数与海拔高度应该为正相关（事实上相关系数为0.793）. 但是从散点图的分布特点来看，它们之间的线性相关性不强. 习题2.3 A 组（P94）1、教师的水平与学生的学习成绩呈正相关关系. 又如，“水涨船高”“登高望远”等. 2、（3）基本成正相关关系，即食品所含热量越高，口味越好.（4）因为当回归直线上方的食品与下方的食品所含热量相同时，其口味更好. 3、（1）散点图如下：（2）回归方程为：0.66954.933y x =+.（3）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系.（2）回归直线如下图所示：4、（1）散点图为：（2）回归方程为：0.546876.425y x =+.（3）由回归方程知，城镇居民的消费水平和工资收入之间呈正线性相关关系，即工资收入水平越高，城镇居民的消费水平越高. 习题2.3 B 组（P95） 1、（1）散点图如下：（2）回归方程为： 1.44715.843y x =-.（3）如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额为42.037y ≈（万元）. 2、说明：本题是一个讨论题，按照教科书中的方法逐步展开即可.第二章复习参考题A 组（P100）1、A .2、（1）该组的数据个数，该组的频数除以全体数据总数；（2）nmN. 3、（1）这个结果只能说明A 城市中光顾这家服务连锁店的人比其他人较少倾向于选择咖啡色，因为光顾连锁店的人使一种方便样本，不能代表A 城市其他人群的想法. （2）这两种调查的差异是由样本的代表性所引起的. 因为A 城市的调查结果来自于该市光顾这家服装连锁店的人群，这个样本不能很好地代表全国民众的观点.4、说明：这是一个敏感性问题，可以模仿阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”来设计提问方法.5、表略. 可以估计出句子中所含单词的分布，以及与该分布有关的数字特征，如平均数、标准差等.6、（1）可以用样本标准差来度量每一组成员的相似性，样本标准差越小，相似程度越高. （2）A 组的样本标准差为 3.730A S ≈，B 组的样本标准差为11.789B S ≈. 由于专业裁判给分更符合专业规则，相似程度应该高，因此A 组更像是由专业人士组成的.7、（1）中位数为182.5，平均数为217.1875.（2）这两种数字特征不同的主要原因是，430比其他的数据大得多，应该查找430是否由某种错误而产生的. 如果这个大数据的采集正确，用平均数更合适，因为它利用了所有数据的信息；如果这个大数据的采集不正确，用中位数更合适，因为它不受极端值的影响，稳定性好. 8、（1）略.（2）系数0.42是回归直线的斜率，意味着：对于农村考生，每年的入学率平均增长0.42％.（3）城市的大学入学率年增长最快. 说明：（4）可以模仿（1）（2）（3）的方法分析数据.第二章复习参考题B 组（P101）1、频率分布如下表：从表中看出当把指标定为17.46千元时，月65％的推销员经过努力才能完成销售指标.2、（1）数据的散点图如下：（2）用y 表示身高，x 表示年龄，则数据的回归方程为 6.31771.984y x =+. （3）在该例中，斜率6.317表示孩子在一年中增加的高度.（4）每年身高的增长数略. 3～16岁的身高年均增长约为6.323 cm. （5）斜率与每年平均增长的身高之间之间近似相等.第三章概率3．1随机事件的概率练习（P113） 1、（1）试验可能出现的结果有3个，两个均为正面、一个正面一个反面、两个均为反面. （2）通过与其他同学的结果汇总，可以发现出现一个正面一个反面的次数最多，大约在50次左右，两个均为正面的次数和两个均为反面的次数在25次左右. 由此可以估计出现一个正面一个反面的概率为0.50，出现两个均为正面的概率和两个均为反面的概率均为0.25. 2、略 3、（1）例如：北京四月飞雪；某人花两元钱买福利彩票，中了特等奖；同时抛10枚硬币，10枚都正面朝上.（2）例如：在王府井大街问路时，碰到会说中文的人；去烤鸭店吃饭的顾客点烤鸭；在1～1000的自然数任选一个数，选到的数大于1. 练习（P118）1、说明：例如，计算机键盘上各键盘的安排，公交线路及其各站点的安排，抽奖活动中各奖项的安排等，其中都用到了概率. 学生可能举出各种各样的例子，关键是引导他们正确分析例子中蕴涵的概率思想.2、通过掷硬币或抽签的方法，决定谁先发球，这两种方法都是公平的. 而猜拳的方法不太公平，因为出拳有时间差，个人反应也不一样.3、这种说法是错误的. 因为掷骰子一次得到2是一个随机事件，在一次试验中它可能发生也可能不发生. 掷6次骰子就是做6次试验，每次试验的结果都是随机的，可能出现2也可能不出现2，所以6次试验中有可能一次2都不出现，也可能出现1次，2次，…，6次. 练习（P121）1、0.72、0.6153、0.44、D5、B 习题3.1 A 组（P123） 1、D . 2、（1）0；（2）0.2；（3）1.3、（1）430.067645≈；（2）900.140645≈；（3）7010.891645-≈. 4、略 5、0.13 6、说明：本题是想通过试验的方法，得到这种摸球游戏对先摸者和后摸者是公平的结论. 最好把全班同学的结果汇总，根据两个事件出现的频率比较近，猜测在第一种情况下摸到红球的概率为110，在第二种下也为110. 第4次摸到红球的频率与第1次摸到红球的频率应该相差不远，因为不论哪种情况，第4次和第1次摸到红球的概率都是1 10.习题3.1 B组（P124）1、D.2、略. 说明：本题是为了学生根据实际数据作出一些推断. 一般我们假定每个人的生日在12个月中哪一个月是等可能的，这个假定是否成立，引导学生通过收集的数据作出初步的推断.3．2古典概率练习（P130）1、110. 2、17. 3、16.练习（P133）1、38，38.2、（1）113；（2）1213；（3）14；（4）313；（5）0；（6）213；（7）12；（8）1.说明：模拟的方法有两种.（1）把1～52个自然数分别与每张牌对应，再用计算机做模拟试验.（2）让计算机分两次产生两个随机数，第一次产生1～4的随机数，代表4个花色；第二次产生1～13的随机数，代表牌号.3、（1）不可能事件，概率为0；（2）随机事件，概率为49；（3）必然事件，概率为1；（4）让计算机产生1～9的随机数，1～4代表白球，5～9代表黑球.4、（1）16；（2）略；（3）应该相差不大，但会有差异. 存在差异的主要原因是随机事件在每次试验中是否发生是随机的，但在200次试验中，该事件发生的次数又是有规律的，所以一般情况下所得的频率与概率相差不大.习题3.2 A组（P133）1、游戏1：取红球与取白球的概率都为12，因此规则是公平的.游戏2：取两球同色的概率为13，异色的概率为23，因此规则是不公平的.游戏3：取两球同色的概率为12，异色的概率为12，因此规则是公平的.2、第一位可以是1～9这9个数字中的一个，第二位可以是0～9这10个数字中的一个，所以（1）190；（2）18919090-=；（3）9919010-=3、（1）0.52；（2）0.18.4、（1）12；（2）16；（3）56；（4）16.5、（1）25；（2）825.6、（1）920；（2）920；（3）12.习题3.2 B组（P134）1、（1）13；（2）14.2、（1）35；（2）310；（3）910.说明：（3）先计算该事件的对立事件发生的概率会比较简单.3、具体步骤如下：①建立概率模型. 首先要模拟每个人的出生月份，可用1,2,…,11,12表示月份，用产生取整数值的随机数的办法，随机产生1～12之间的随机数. 由于模拟的对象是一个有10个人的集体，故把连续产生的10个随机数作为一组模拟结果，可模拟产生100组这样的结果.②进行模拟试验. 可用计算器或计算机进行模拟试验.如使用Excel软件，可参看教科书125页的步骤，下图是模拟的结果：其中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J的每一行表示对一个10人集体的模拟结果. 这样的试验一共做了100次，所以共有100行，表示随机抽取了100个集体.③统计试验的结果. K,L,M,N列表示统计结果. 例如，第一行前十列中至少有两个数相同，表示这个集体中至少有两个人的生日在同一月. 本题的难点是统计每一行前十列中至少有两个数相同的个数. 由于需要判断的条件态度，所以用K,L,M三列分三次完成统计.其中K列的公式为“=IF(OR(A1=B1，A1=C1，A1=D1，A1=E1，A1=F1，A1=G1，A1=H1，A1=I1，A1=J1，B1=C1，B1=D1，B1=E1，B1=F1，B1=G1，B1=H1，B1=I1，B1=J1，C1=D1，C1=E1，C1=F1，C1=G1，C1=H1，C1=I1，C1=J1，D1=E1，D1=F1，D1=G1，D1=H1，D1=I1，D1=J1)，1，0)”，L列的公式为“=IF(OR(E1=F1，E1=G1，E1=H1，E1=I1，E1=J1，F1=G1，F1=H1，F1=I1，F1=J1，G1=H1，G1=I1，G1=J1，H1=I1，H1=J1，I1=J1)，1，0)”，M列的公式为“=IF(OR(K1=1，L1=1)，1，0)”，M列的值为1表示该行所代表的10人集体中至少有两个人的生日在同一个月. N1表示100个10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的个数，其公式为“=SUM(M$1：M$100)”. N1除以100所得的结果0.98，就是用模拟方法计算10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的概率的估计值. 可以看出，这个估计值很接近1.3．3几何概率。