模型试验基础

４. １
相似现象及概念
4.1.1 物理现象的数学描述
每一类物理现象均可根据自然规律(例如物理定律)，并依靠数学工具，把 表征现象的各个参量的依赖关系用一个或一组方程式(简称现象的关系方程式) 表示出来，这即是用数学形式对物理现象的一种描述。
例如，对黏性不可压缩流体的稳定等温运动现象，可由下述式(４-１) ~ 式(４-４)等四个方程式所组成的方程式组来描述。 根据质量守恒定律可导出连续性方程式
4.1.2
相似的概念
(１)空间(几何)相似:它表现为两个几何体的所有对应线段的比值相等，所有对应 角相等。 (２)时间相似(谐时性):在所研究问题的过程中，各个时间间隔之比值或周期之比 值均保持为一固定常数，如图４-１ 所示。
４. １
相似现象及概念
(３)运动相似:指速度场(及加速度场)的几何相似。 其表现为:在对应瞬时各对应 点速度(及加速度场)的方向一致，且大小的比值相等，如图４-２ 所示。
以前述黏性不可压缩流体的稳定等温运动现象为例，非定性准则只有一个 Ｅu，因为压力ｐ为被决定量。 定性准则有Ｒｅ 和Ｆｒ，因为Ｒｅ 和Ｆｒ 中 所包含的物理量皆为定性量。 则准则关系 式可表述为: 我们可以通过模型实验来求得式(４-１３)的具体形式。
４. ２ 相似理论基础 上述三个定理是相似理论的主要内容，它是模型实验研究方法的 理论基础。 相似第一定理阐明了模型实验时应测量哪些量:诸相似准 则所包含的一切量。 相似第二定理阐明了模型实验应遵守的条件:必 须保证模型和原型的单值条件相似，且诸定性准则对应相等。 相似第 三定理阐明了如何整理实验结果。 必须把实验结果整理成相似准则之 间的关系式。 这样，我们就可用模型的实验研究来揭示原型的内在规 律性。
若表征第二个运动现象的诸多参量用上标“″”表示，因为相似，则
描述第二个运动现象的关系方程式相应地应为:
４. ２ 相似理论基础
将式(４-６)的关系式代入(４-７)，可得:
比较式(４-５)和式(４-８)可知，各参量的相似倍数受下式约束:
这种约束关系式还可以写作:
而Ｃ 称为“相似指标”。 式(４-９)就是相似第一定理针对质点运动过程的数学 表达式。 若将式(４-６)代入式(４-９)，可得:
相似第二定理的内容为:凡同一类现象(即被同一个关系方程式或完整的关 系方程式组所描述的现象)，当单值条件相似，而且由单值条件所包含的物理量 所组成的相似准则相等，则这些现象就必定相似。 因为单值条件是确定具体的特定现象的，所以通常称单值条件所包含的物 理量为定性量，并把全由单值条件所包含的物理量所组成的相似准则称为定性 准则。 用前述黏性不可压缩流体的稳定等温运动现象为例，当满足下列条件时， 现象就彼此相似。 (１)单值条件相似，其中包括: ①几何条件相似。 如流体是在管内流动，则管径ｄ 和管长 的相似倍数应相等， 即:
４. ２ 相似理论基础
4.2.3
相似第三定理
相似第三定理的内容为:描述现象的关系方程式可以转变成相似准则之间的 关系式(简称准则关系式)。 准则关系式可表述为:
式中:
———正整数。 ”定理。
相似第三定理通常简称为“
如式(４-５)所示的关系方程式，相似第三定理所述的转变是很显然的。只 要在等式两边同除以 ，再应用积分类比法则，就可导出如下准则关系式:
４. １ ４. ２ ４. ３ ４. ４
相似现象及概念 相似理论基础 相似准则的求解 模型实验的数据处理
引言
为设计空气阻力小的车身，有人曾利 用如图４-５ 所示的积木式模型进行风洞试 验。 图中的字母表示各种形状的积木模型。 如将模型的头部和尾部采用不同的组合后进 行风洞试验，就可测得各种形状的车身在相 应的行驶速度下的空气阻力系数，如表４２ 所示。
对于复杂的现象，包含有几个相似指标，则对应有几个相似准则。 如前述 黏性不可压缩流体的稳定等温运动现象共有三个相似准则: (称为雷诺准则) (称为傅汝德准则) (称为欧拉准则) 在相似现象中的对应点或对应截面上，上述三个相似准则数值将对应相等。
４. ２ 相似理论基础
4.2.2 相似第二定理(相似充要条件)
式中:
———在直角坐标系的
轴上的速度分量。
４. １
相似现象及概念
根据牛顿第二定律可导出运动方程式:
４. １
相似现象及概念
单值条件的作用是从同一关系方程式所描述的无数现象(又称现象群)中把 某一具体的特定现象单一地区分出来。 它包括下列各项内容:
(１)空间(几何)条件:所有具体现象都发生在一定的几何空间内。 (２)物理条件:所有的具体现象都是在具有一定的物理性质的介质参与下进行的。 (３)边界条件:所有具体现象都必然受到与其直接相邻的周围情况的影响。 (４)初始条件:现象的演变往往与初始状态有关。
４. ２ 相似理论基础
式(４-１０)表明:对于所述的相似现象，存在一个数值相同的无因次的综合
量 。 这种综合量统称为“相似准则”，通常用符号 表示。
如此，相似第一定理也可表述为:彼此相似的现象必定具有数值相同的相似
准则。
一些有典型意义的相似准则通常用首先提出者的名字命名。 例如，上述相 似准则称为牛顿准则，并用Ｎe 表示，即 。
②物理条件相似，即
４. ２ 相似理论ห้องสมุดไป่ตู้础
③边界条件相似，即在入口及出口处的
由于壁面处的速度皆为零，故壁面处速度相似自然得到保证。 ④初始条件相似。 由于是稳定流动，故可不计此条件。 (２)由单值条件所包含的物理量所组成的相似准则相等，即
相似第二定理还可以简明地表述为:当两个同类现象的诸对应的定性准则 的数值相等时，则这两个现象就相似。
４. １
相似现象及概念
(４)力相似:指力场的几何相似。 其表现为:各对应点上的作用力的方向一致且大 小的比值相等，如图４-３ 所示。
４. ２ 相似理论基础
4.2.1 相似第一定律
相似第一定理的内容为:彼此相似的现象，其相似指标等于１。
下面以两个质点系统作动力相似运动的情况为例来阐明这一定理。 根据力 学知识，质点系统的运动规律可用牛顿第二定律来描述。 表征第一个运动现象 的参量为:
４. ２ 相似理论基础
在相似准则 中的定性准则如用 表示；其余的是包含有非单值条件的物理量(称为被决定量)的相似准则，通常 称为非定性准则，用 ， ， ，……，表示。既然定性 准则是由单值条件所包含的物理量所组成，根据前述单值条件的性质，所以定 性准则是决定现象的准则，它们一经确定，现象即被确定，非定性准则也随之 被确定。根据上述因果关系，就可把相似准则关系式表示成任一非定准则与定 性准则之间的单值函数关系，即