山东省2014高考数学压轴卷 文(含解析)

2014山东省高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）2. 复数21z ()i=-，则复数1z +在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件n n 13k+2k5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)8．在约束条件121y xy xx y≤⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩下，目标函数12z x y=+的最大值为( )(A) 14(B)34(C)56(D)539. 直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出100名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是[40，50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90) ,[90,100]．则成绩在[80 ,100]上的人数为__________. 12.设函数f （x ）=，若函数y=f （x ）﹣k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是 ________________.．13. 设数列是公差为1的等差数列，且a 1=2，则数列{lga n }的前9项和为_______________．14. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式f （x+a ）≥f（3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是________________． 15.若正数x ，y 满足3x+y=5xy ，则4x+3y 的最小值是__________________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.在△ABC 中，已知A=4π，cos B =． (I)求cosC 的值；(Ⅱ)若D 为AB 的中点，求CD 的长．17.如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2． （1）求证：B 1B∥平面D 1AC ；（2）求证：平面D 1AC⊥平面B 1BDD 1．18.某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为整数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题： （Ⅰ）求a b 、的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线312y x =-上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T .20. 给定椭圆C ：，称圆心在坐标原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是．（1）若椭圆C 上一动点M 1满足||+||=4，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P （0，t ）（t ＜0）作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为2，求P 点的坐标. 21. 已知函数f （x ）=alnx+1（a ＞0）（Ⅰ）若a=2，求函数f （x ）在（e ，f （e ））处的切线方程； （Ⅱ）当x ＞0时，求证：f （x ）﹣1≥a.2014山东省高考压轴卷 文科数学参考答案 1. 【答案】C.【解析】由A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}={0，2，4}， 所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 所以A∩B 中元素的个数为2． 故选C ．2. 【答案】D.【解析】因为22211()1(1)22i i z i i i i -====----，所以1112z i +=-，所以复数1z +在复平面上对应的点位于第四象限.3. 【答案】A.【解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。

若l m ⊥，则推不出//αβ，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，选A. 4. 【答案】 A【解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。

若l m ⊥，则推不出//αβ，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，选A.5. 【答案】B.【解析】 解：由三视图可知，几何体一三棱锥，底面三角形一边长为6，对应的高为2，几何体高为4底面积S=×6×2=6，所以V=Sh=×6×4=8故选B6. 【答案】A.【解析】解：模拟程序框图执行过程，如下；开始，输入x：2014，a=x=2014，i=1，b===﹣，b≠x？是，i=1+1=2，a=b=﹣，b==；b≠x？是，i=2+1=3，a=b=，b==2014；b≠x？否，输出i：3；故选：A．，即T==6；x++∴sin（++，，函数为x+）≤x+≤2k +【解析】由12z x y =+得22y x z =-+。

作出可行域如图阴影部分，平移直线22y x z =-+，由平移可知，当直线经过点C 时，直线22y x z =-+的截距最大，此时z 最大。

由121y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入12z x y =+得21153236z =+⨯=，选C. 9. 【答案】D.【解析】 解：设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l 0，C 是AB 的中点， 分别过点A ，B 作直线l 0的垂线，垂足分别为M ，N ， 由抛物线定义，得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN| ==x A +x B +p=2x C +p=8．故选：D ．10. 【答案】A.【解析】解：根据复合函数的单调性可知，f （x ）=ln （e x﹣1）（x ＞0）为增函数， ∵函数的定义域为（0，+∞）． ∴a＞0，b ＞0，设g （x ）=f （x ）+2x ， ∵f（x ）是增函数，∴当x ＞0时，g （x ）=f （x ）+2x 为递增函数， ∵f（a ）+2a=f （b ）+3b ，∴f（a ）+2a=f （b ）+3b ＞f （b ）+2b ， 即g （a ）＞g （b ），∵g（x ）=f （x ）+2x 为递增函数， ∴a＞b ， 故选：A ．11. 【答案】 30.+⨯=，所以落在[80 ,100]上的人数【解析】落在[80 ,100]上的频率为(0.0050.025)100.3⨯=.为0.31003012. 【答案】（0，1].【解析】解：∵函数y=f（x）﹣k存在两个零点，∴函数y=f（x）与y=k的图象有两个公共点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图象可知：实数k的取值范围是（0，1]，故答案为：（0，1].13. 【答案】1.【解析】解：∵是公差为1的等差数列，∴，∴，∴∴数列{lga n}的前9项和为：S9=（lg2﹣lg1）+（lg3﹣lg2）+…+（lg10﹣lg9）=lg10=1．故答案为：1．14. 【答案】（﹣∞，﹣5].【解析】解：∵当x≥0时，f（x）=x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则x+a≥3x+1恒成立，即a≥2x+1恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，即a≥2a+5，解得a≤﹣5，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]；故答案为：（﹣∞，﹣5].15. 【答案】5.【解析】解：由3x+y=5xy得，∴4x+3y=（4x+3y）（）=，当且仅当，即y=2x ，即5x=5x 2，∴x=1，y=2时取等号． 故4x+3y 的最小值是5， 故答案为：5. 16.解：（Ⅰ）552cos =B 且(0,180)B ∈，∴55cos 1sin 2=-=B B …………2分)43cos()cos(cos B B A C -=--=ππ ……………………………………………4分1010552255222sin 43sin cos 43cos -=⋅+⋅-=+=B B ππ …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得10103)1010(1cos 1sin 22=--=-=C C ……………………8分由正弦定理得sin sin =BCABA C，即101032252AB =，解得6=AB ． (10)分在∆BCD 中，55252323)52(222⨯⨯⨯-+=CD 5=，所以5=CD . 17.证明：（1）设AC∩BD=E，连接D 1E ， ∵平面ABCD∥平面A 1B 1C 1D 1． ∴B 1D 1∥BE，∵B 1D 1=BE=， ∴四边形B 1D 1EB 是平行四边形， 所以B 1B∥D 1E ．又因为B 1B ⊄平面D 1AC ，D 1E ⊂平面D 1AC ， 所以B 1B∥平面D 1AC（2）侧棱DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC⊥DD 1．∵下底ABCD 是正方形，AC⊥BD．∵DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线， ∴AC⊥平面B 1BDD 1∵AC ⊂平面D 1AC ，∴平面D 1AC⊥平面B 1BDD 1．18.解：（I ） 35,0.30a b ==……………………………………………………………12分 （Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：630360⨯=人， 第4组：620260⨯=人， 第5组：610160⨯=人， 所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人. …………6分设第3组的3位同学为1A 、2A 、3A ，第4组的2位同学为1B 、2B ，第5组的1位同学为1C ，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：()12,,A A ()13,,A A ()11,,A B ()12,,A B ()11,,A C ()23,,A A ()21,,A B ()22,,A B ()21,,A C ()31,,A B ()32,,A B ()31,,A C ()12,,B B ()11,,B C ()21,,B C …………10分所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为53159=…………12分 19. 解：（Ⅰ）由题设知，312n n S a =-…………………………1分 得*1131(,2)2n n S a n n --=-∈≥N ）………………………………2分 两式相减得：13()2n n n a a a -=-即*13(,2)n n a a n n -=∈≥N ，…………………………4分 又11312S a =- 得12a = 所以数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列， 所以123n n a -=⋅. …………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知123n n a +=⋅，123n n a -=⋅因为1(1)n n n a a n d +=++ 所以1431n n d n -⨯=+所以11143n n n d -+=⨯.……………………8分 令123111n T d d d =+++…1n d +，则012234434343n T =+++⨯⨯⨯ (1)143n n -++⨯ ①1212334343n T =++⨯⨯ (114343)n n n n -+++⨯⨯ ② ①—②得01222113434343n T =+++⨯⨯⨯…1114343n n n -++-⨯⨯…………………10分 111(1)111525331244388313n n n n n --++=+⨯-=-⨯⨯-……………………………………11分- 11 - 1152516163n n n T -+∴=-⨯ ……………………………………12分 20. 解：（1）由题意，，∴=，所以椭圆C 的方程为． 其“伴随圆”的方程为x 2+y 2=6；（2）设直线l 的方程为y=kx+t ，代入椭圆方程为（2k 2+1）x 2+4tkx+2t 2﹣4=0∴由△=（4tk ）2﹣8（2k 2+1）（t 2﹣2）=0得t 2=4k 2+2①，由直线l 截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为，可得，即t 2=3（k 2+1）② 由①②可得t 2=6．∵t＜0，∴t=﹣，∴P（0，﹣）.21. （Ⅰ）解：当a=2时，f （x ）=2lnx+1，，f （e ）=3，．∴函数f （x ）在（e ，f （e ））处的切线方程为y ﹣3=， 即2x ﹣ey+e=0； （Ⅱ）证明：令=， 则，由g′（x ）=0，得x=1．当0＜x ＜1时，g′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）上单调递减，当x ＞1时，g′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）上单调递增．∴g（x ）在x=1处取得极小值，也是最小值，因此g （x ）≥g（1）=0，即．。