第十二届全国大学生数学竞赛非数类试题

证明
f
(n)
=
∑n
∫
m
cos
2
n [x + 1] dx
m=1 0
m
等于 n 的所有因子 (包括 1 和 n 本身) 之和，其中 [x + 1] 表示不超过 x + 1 的最大整数，并 计算 f (2021).
参考解答 第 6 页 (共 7 页)
得分 评卷人 复核人 七、解答题 ( 本题满分 14 分)
14
100
得分
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 所有答题都须写在试卷密封线右边, 写在其他纸上一律无效． 2. 密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记． 3. 如答题空白不够, 可写在当页背面, 并标明题号．
得分 评卷人 复核人 一、填空题 ( 本题满分 30 分，每题 6 分)
1. 极限 lim (x − sin x) e−x2 =
.
x→0 1 − x3 − 1
2. 设函数 f (x) = (x + 1)ne−x2，则 f (n)(−1) =
.
3. 设 y = f (x) 是由方程 arctan x = ln x2 + y2 − 1 ln 2 + 确定的隐函数，且满足 f (1) = 1，
参考解答 第 3 页 (共 7 页)
得分 评卷人 复核人 四、解答题 (本题满分 12 分)
已知 z = xf y + 2y' x ，其中 f; ' 均为二次可微函数，则求
x
y
(1)
求
@z ;
@2z
;
@x @x@y
(2)
当Biblioteka Baidu
f
= '，且
@2z @x@y
|x=a= −by2，求
f (y).
参考解答 第 4 页 (共 7 页)
得分 评卷人 复核人 五、解答题 ( 本题满分 12 分)
计算
I = 3y − x dx − 5zdz
Γ
x2 +y2 +z2 = 8
曲线 Γ :
，从 z 轴正向从坐标原点看去取逆时针方向.
x2 + y2 = 2z
题
准考证号：
答
要
不
姓名：
内
线
订
学校：
装
省市：
参考解答 第 5 页 (共 7 页)
得分 评卷人 复核人 六、解答题 ( 本题满分 14 分)
题
准考证号：
答
要
绝密 F 启用前
微信公众号：八一考研数学竞赛
第十二届全国大学生数学竞赛试题 (非数学类)
2020 年 11 月 28 号 9:00 - 11:30 (模板制作者：八一与酸奶)
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
满分
24
8
14
12
14
14
设 ∫ 1 dt
un = 0 (1 + t 4)n (n > 1)
(1)
证明数列
{un}
收敛，并求极限
lim
n→∞
un;
∑ ∞ (2) 证明级数 (−1)n un 条件收敛；
n=1
(3)
证明当
p
>
1
时，级数
∑ ∞
n=1
un np
收敛，并求级数
∑ ∞ un n=1 n
的和.
参考解答 第 7 页 (共 7 页)
y
2
4
则曲线 y = f (x) 在点 (1; 1) 处的切线方程为
.
不
姓名：
内
线
订
学校：
装
省市：
参考解答 第 1 页 (共 7 页)
4. 已知 ∫ +∞ sin x dx = ，则 ∫ +∞ ∫ +∞ sin x sin (x + y) dxdy =
0
x
2
0
0
x (x + y)
5. 设 f (x); g(x) 在 x = 0 的某一邻域 U 内有定义, 对任意 x ∈ U; f (x) g(x)，且 lim f (x) =
x→0
lim g(x) = a > 0; 则
x→0
lim [f (x)]g(x) − [g(x)]g(x) =
:
x→0
f (x) − g(x)
得分 评卷人 复核人 二、解答题 ( 本题满分 10 分)
设数列
{an}
满足：a1
=
1，且
an+1
=
an (n + 1) (an
;n + 1)
>
1:
求极限
lim
n→∞
n!an
参考解答 第 2 页 (共 7 页)
得分 评卷人 复核人 三、解答题 ( 本题满分 8 分) 设 f (x) 在 [0; 1] 连续，f (x) 在 (0; 1) 内可导，且 f (0) = 0; f (1) = 1，证明：
(1) 存在 x0 ∈ (0; 1)，使得 f (x0) = 2 − 3x0; (2) 存在 ; Á ∈ (0; 1)，且 Á，使得 [1 + f ′( )][1 + f ′(Á)] = 4.