平稳随机过程分析

称 X X ()为 x(t ) 的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅谱 相位 谱
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3.1.1
实随机过程的功率谱密度
2 帕塞瓦等式
1 jt [ x ( t )] dt x ( t ) X ( ) e ddt 2 X
2
1 jt X ( ) x ( t ) e dtd X 2 1 * X ( ) X ( )d X X 2
1 2



X X ( ) d
2
即
1 [ x ( t )] dt 2
2



X X ( ) d
2
能量谱密 度
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二 随机过程的功率谱密度
应用截取函数
x(t ) xT (t ) 0 t T t T
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xT (t ) 的傅里叶变换存在 当x(t)为有限值时，
T 2
除以2T 取集合平均
1 E 2T
1 E T x (t )dt 4T
T 2



X X (T , ) d
2
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令T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E[ X ( t )]dt lim d T T 2T T 2 2T
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Q A E[ X 2 (t )]
lim
T
1 2T
a2 a2 T ( 2 sin 20t )dt
T
a2 2
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3.1.2 实平稳功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t ) X ( j) 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
功率谱密度。
对于平稳随机过程，有：
1 E[ X ( t )] 2
2
S X ( )d
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0t ) ，其中a和0 例：设随机过程 X (t ) a cos( （ 0 ， 皆是实常数， 是服从 2 ） 上均匀分布的随
机变量，求随机过程 X (t ) 的平均功率。
解： E[ X 2 (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
功率Q
S X ( )
1 T 1 2 Q lim E[ X ( t )]dt S X ( )d T T 2T 2
注意： （1）Q为确定性值，不是随机变量 （2）S X ( )为确定性实函数。
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两个结论：
1 . 1 Q A E[ X ( t )] A . lim T 2T 表示时间平均 若平稳
S X ( ) 2 RX ( ) cosd

RX ( )

1


S X ( ) cos d
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3．单边功率谱 由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX ( ) 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。
2S X ( ) 0 GX ( ) 0 0
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例：平稳随机过程的自相关函数为RX ( ) Ae A>0， 0 ，求过程的功率谱密度。 解：应将积分按＋ 和－ 分成两部分进行
1 维纳—辛钦定理 若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对 可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付 氏变换，即：
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S X ( ) RX ( )e


j
d
1 RX ( ) 2



S X ( )e
j
d
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推论：对于一般的随机过程X(t)，有：
S X ( ) A RX (t , t ) e j d
a2 E{ [1 cos(20 t 2)]} 2 2 2 a a 2 2 cos(20t 2 )d 2 2 0
a2 a2 sin(20 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
X (t )不是宽平稳的


有限个极值 有限个断点

x(t ) dt
• x(t )信号的总能量有限，即



x(t ) dt
2
断点为有限 值
2
则 x(t ) 的傅里叶变换为：
X X ( ) x(t )e jt dt

其反变换为：
1 x(t ) 2



X X ( )e jt d
X X (T , ) xT (t )e jt dt

x(t )e jt dt
T
T
应用帕塞瓦等式
1 2 T x (t )dt 2 X X (T , ) d 1 T 2 1 2 x (t )dt X X (T , ) d T 2T 4T
2
Q A E[ X 2 ( t )] E[ X 2 ( t )]＝RX (0)
1 2 Q 2



S X ( )d
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S X ( ) 描述了随机过程X(t)的 功率谱密度：Байду номын сангаас功率在各个不同频率上的分布—— S X ( )称为 随机过程X(t)的功率谱密度。
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。
本章要解决的问题
随机信号是否也可以应用频域分析方法? 傅里叶变换能否应用于随机信号？ 相关函数与功率谱的关系 功率谱的应用 白噪声的定义
1
3.1 随机过程的谱分析
一 预备知识
1 付氏变换 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足 • x(t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 • x(t )绝对可积，即

平均功率为：
lim
1 A RX (t , t ) 2



S X ( )e j d
1 T 1 2 E [ X ( t )] dt S X ( )d T T 2T 2
利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函 数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：