解决01背包问题算法比较PPT幻灯片课件

pn y>=wn f（n，y）=
0 0<=y<wn
和
max{f（i+1,y）,f(i+1,y-wi)+pi} y>=wi
f（i，y）=
f(i+1,y)
0<=y<wi
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动态规划求解0-1背包问题
利用最优序列由最优子序列构成的结论， 可得到f的递归式。f（1，c）是初始时背 包问题的最优解。可使用一式通过递归或 迭代来求解f（1，c）。从f（n，*）开始 迭式，f（n，*）由一式得出，然后由二 式递归计算f（1，*）（i=n-1,n-2,…,2）, 最后由二式得出f（1，c）。
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贪婪算法解决0/1背包问题
这种修改后的贪婪启发法称为k阶优化方法 （k-optimal）。也就是，若从答案中取出k件 物品，并放入另外k件，获得结果在最佳值的 50%以内；当k=2时，则在33.33%以内等等， 这种启发式方法的执行时间随k的增大而增加， 需要测试的子集数目为O（ ）n，k 每一个子集 所需时间为O（n），因此当k>0时总的时间开 销为O( )。nk1
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贪婪算法解决0/1背包问题
从剩余的物品中，选出可以装入背包的价 值最大的物品，利用这种规则，价值最大 的物品首先被装入（假设有足够容量）， 然后是下一个价值最大的物品，如此继续 下去。这种策略不能保证得到最优解。
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贪婪算法解决0/1背包问题
另一种方案是重量贪婪策略：从剩下的物 品中选择可以装入背包的重量最小的物品。 在一般情况下不一定能得到最优解。
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回溯法解决0/1背包问题
三个对象的背包问题的解空间
1
A
0
B
10
D
10
E
10
C
10
F
10
G
10
H
I
J
K
L
M
N
Q
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回溯法解决0/1背包问题
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤： a. 针对所给问题，定义问题的解空间； b. 确定易于搜索的解空间结构； c. 以深度优先的方式搜索解空间，并
且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
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回溯法解决0/1背包问题
考察如下背包问题：n=3，w=[20，15， 15]，p=[40，25，25]且c=30.
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回溯法解决0/1背包问题
#include<iostream> using namespace std;
class Knap { friend int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n ); public: void print() {
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动态规划求解0-1背包问题
在第一次决策之后，剩下的问题便是考虑 背包容量为r时的决策。不管x1是0或者1， [x2，…，xn]必须第一次决策之后的一个 最优方案，如果不是，则会有一个更好的 方案[y2，…，yn]，因而[x1，y2，…yn]是 一个更好的方案。
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动态规划求解0-1背包问题
最优决策序列由最优决策子序列组成。假设f（i， y）表示剩余容量y，剩余物品为i，i+1，…，n时 的最优解的值，即：
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贪婪算法解决0/1背包问题
还可以利用另一方案，价值密度pi/wi贪婪 算法，这种选择准则为：从剩余物品种选 择可以装入包的价值密度最大的物品，这 种策略也不能保证得到最优解。
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贪婪算法解决0/1背包问题
可以建立贪婪启发式方法来提供解，使解 的结果与最优解的值之wk.baidu.com在最优解的x% （x<100）之内。首先将最多k件物品放 入背包，如果这k件物品重量大于c，则放 弃它。否则剩余的容量用来考虑将剩余物 品按价值密度pi/wi递减的顺序装入。通过 考虑由启发法产生的解法种最多为k件物 品的所有可能的子集来得到最优解。
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贪婪算法解决0/1背包问题
600种随机测试的统计结果
偏差百分比 k 0 1% 5% 10% 25% 0 239 390 528 583 600 1 360 527 598 600 2 483 581 600
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回溯法解决0/1背包问题
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。 它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的 策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间 树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问 题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子 树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该 子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来 求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树 都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解 时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度 优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它 适用于解一些组合数较大的问题。
The compare of the algorithms for solving 0/1 knapsack problems
解决0/1背包问题算法比较
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0/1背包问题概述
在0/1背包问题中，需对容量为c的背包进行装 载。从n个物品中选取装入背包的物品，每件物品
i的重量为wi, 价值为pi。对于可行的背包装载，背包
中的物品的总重量不能超过背包的容量，最佳装载
是指所装入的物品价值最高，即
n

pixi
取得最大值。
i 1
约束条件为
c和 。 n
wixi
xi 0,11 i n
i 1
在这个表达式中，需求出xi的值。xi=1表示物
品i装入背包中，xi=0表示物品i不装入背包。
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动态规划求解0-1背包问题
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动态规划求解0-1背包问题
在0/1背包问题中需要决定x1……xn的值。 假设按i=1，2，…,n的次序来确定xi的值。如果
置x1=0，则问题转变为相对于其余物品，背包 容量仍为c的背包问题。若置x1=1，问题就变 为关于最大背包容量为
c-w1的问题。现设r {c，c-w1}为剩余的背包容
量。
动态规划原理：动态规划是一种将问题实例分 解为更小的、相似的子问题，并存储子问题的 解而避免计算重复的子问题，以解决最优化问 题的算法策略。
动态规划法所针对的问题有一个显著的特征， 即它所对应的子问题树中的子问题呈现大量的 重复。动态规划法的关键就在于，对于重复出 现的子问题，只在第一次遇到时加以求解，并 把答案保存起来，让以后再遇到时直接引用， 不必重新求解。