第七章玻耳兹曼统计

• 2) 不变，S对求导；
S /k N U l N ( ) l e 1 l , V , V , V
熵的统一表达式
• 三种情况下的表达式：
l S / k N U ln( 1 e ) l l

求 and 分析方法：定ωi, i为常数。 1) 不变，S对求导； 2) 不变，S对 求导。
and 的物理意义
l S / k N U ln( 1 e ) l l
•Ω= Ω1·Ω2· · · · · ·Ωn
• lnΩ=lnΩ1+lnΩ2· · · · · · +ln Ωn
•lnΩ is a extensive quantity
孤立系统平衡态的性质
• 热力学：
• 统计物理学：
极大时的熵S对应着热力学系统的平衡态。 极为自然的问题: lnΩ和S 之间是否存在联系？

费米分布
ln [ ln ( a ) ln( a ) a ln a ] F. D. l l l l l l l l
l源自文库

l a /[exp( ) 1 ], ( a ) a e l l l l l l
( a ) ln( a ) a ln a ln( a ) a ( ) l l l l l l l l l l l
Skln k ( N E a ) FD l ln l l ln( l l)
l
l e 1 k ( N U ) ) l ln( l e l
l k ( N U ln( 1 e ) ) l l
玻耳兹曼的结论
• The Boltzmann Principle：
S k ln , k 1 . 38 10 J / K
在统计物理中，有时使用更为方便的表达方式：
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S ln
熵的物理意义
• Boltzmann: the increase in entropy in an equalization process is the result of the system passing from a less probable states to the most probable state. • 平衡化过程熵的增加是系统从较少几率态到 较多几率态变化的结果。
不可逆过程的理解
• 对于一个不可逆的过程，热力学认为，从 热力学的定义上确定了其方向。 • 统计物理学认为： 从较大微观状态数到较 小微观状态数的变化方向是不可能的。
• 热力学第二定律的本质在此。
分布函数
, E U N e 1 e 1
l l l l ll l
l
N ln N a a a l ln l l ln l
S k ln k ( N ln N N U ) MB
S / k ln / N ! ( 1 ) N U MB


玻色分布
ln [( a ) ln a ( ) a ln a ln ] B.E. l l l l l l l l
讨论
同一个物理系统，当它从完全混乱状态有序状态时，例 如无序排列的液体的水在温度不变的条件下分子结晶成冰， 熵如何变化？ 例：一个红色墨滴滴入白色清水中，红色分子逐渐扩散至 均匀状态，其过程为熵增加。可以认为分子从有序变为无 序。熵增加，反之，则为熵减小。
因此，熵的统计意义就是分子的“混乱程度”.
第七章 玻耳兹曼统计
•§7.1热力学量的统计表达式
• 热力学量的统计表达式 • 已经完成了统计物理学的第一步（导出了 热力学的分布函数）
• 下面是用分布函数导出热力学系统的物理 意义。
熵的物理意义
• 用统计物理的方法讨论。
• 玻耳兹曼的工作:The Boltzmann Principle
• the meaning of two parameters and . 先分析微 观状态数Ω，再求(S、 and )
[a ( )]N E
l l l
1 l ln( al l ) l lnl l ln( 1 ) exp( l ) 1 l l
l S k ln k ( N U ln( 1 e ) ) BE l l

• 1) 不变，S对求导；
S /k N U l l U ( ) l e l 1 , V , V , V N U , V , V
上符号表示玻色分布，下符号表示费米分布。 熵与N和U有关。 讨论：消除al，[…]由f 的函数构成。
S/k l[...]
l
玻耳兹曼分布
ln ln N ! ln ln a ! M.B. l
a l l l l
e
l a , ln ln a l l l l
l


al l /[exp( l ) 1 ], (al l ) alel ln( al l ) lnal ( l ) (al l )ln( al l ) al lnal [al ( l )]l ln( al l )