理论力学-第十四章虚位移原理PPT

y
A
r
l
B
O
x
(xBxA )2(yByA )2l2
定常约束
x2y2l0vt2
12
非定常约束
§14–1 约束和约束方程
3、双面约束和单面约束
双面约束：约f束j(在x i,两y 个i,z 方i,向x & i都,y & 能i,起z & i,限t) 制 运0 动的作用。（用等式表示）
单面约束：约松束弛fj( 只或x i在消,y 一失i,个 。z i方,x & 向i,起y & i,作z & i用,t，) 另0 一方向能 （不等式表示）
y FG
D Aθ
E
CB
θ
F1 x
3
引言
问题的提出
静力学问题是否可以借助动力学的分析方法来求解呢？
杠杆
平衡条件：
F1aF2b0 （a）
——— 微小角度
s1 atg
s2 btg
杠杆的平衡条件可用作用力在由平于衡在附新近的的位微置小系位统移仍中然所平衡
作 平条的衡件功条（来 件a建呢）立？和。答条案对件是于（肯一b）定般是的的等。非价自的由质点F 系1S 是1否F 能2S 写2出类0似（的b）4
1
第十四章 虚位移原理
§14–1 约束和约束方程 §14–2 自由度和广义坐标 §14–3 虚位移 §14–4 理想约束 §14–5 虚位移原理 §14–6 以广义坐标表示的质点系的平衡条件 §14–7 质点系在势力场中平衡的稳定性
2
引言
已知如图所示结构，
AC=CE=BC=CD=DG=GE =l，各杆自重不计。求系 统 平 衡 时 力 F 和 力 F1 之 间 的关系。
x2 y2 l2
13
x2 y2 l2 图
§14–1 约束和约束方程
双面约束
图
单面约束 图
本章我们主要研究完整的、定常的、双面约束。
约束方程一般形式为：
f( x 1 ,y 1 ,z 1 ,L ,x n ,y n ,z n ) 0 14
§14–2 广义坐标和自由度
一、自由度
一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z ) 需用3个坐标表示 一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 需 用 3n个坐标表示，这3n个坐标是独立的。
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§14–2 广义坐标和自由度
二、广义坐标
一般，用直角坐标系表示非自由质点系的位置不太方便， 可选择任意变量来表示质点系的位置。
用来确定质点或质点系位置的独立变量或参数， 称为广义坐标。
（x,广y, 义z, 坐s 等标）的也选可择以不取是角唯位一移的（。如广xyA义A ,坐rr,标csoin,可s以等取）线。位移
1、完整约束和非完整约束
几何约束：约只束限fj方 制(x程质i,中点y不的i,包几zi含何,t坐位)标置对，(时而)间不0的限导制数速，度约。束
运动约束：约了fj 束限(x 方 制i,程质y 中点i,包的z i含几,x & 坐何i,标位y & i对移,z & 时还i,间限t) 的制 导质( 数点 ) ，的0 约速束度除。
又例如：曲柄连杆机构中，空间A、B两个点3n六
个坐标，但xA,yA,zA和xB,yB,zB需满5个 足方程式，
x
2 A
即 y A2 有 5个 r 2 ,约束方 (x yB 程 xA )2(yByA )2l2
yB 0
A
r
l
B
zA 0
O
x
zB 0
6-5=1，只有一个独立坐标，故此系统只有一个自
由度
y
A
r
l
B
O
x
平面单摆
x2 y2 l2
曲柄连杆机构
yB 0 (xx AB 2 x yA A) 22 r(2yB图yA )2l6 2
§14–1 约束和约束方程
纯滚动轮
yA r
vA r0
图
(x& Ar&0) 7
§14–1 约束和约束方程
导弹A追击目标B，要求导弹速度方向 总指向目标。
x&A y&A 0 , xB xA yB yA
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§14–1 约束和约束方程
一、约束
1、约束：事先对质点或质点系的位置或速度所加的限制条件。
图
5
§14–1 约束和约束方程
2、约束方程：将约束的限制条件通过质点或质点
系中各质点的坐标或速度以数学方程来表示。
fj(rri,rr& i,t)()0或 fj(x i,y i,z i,x & i,y & i,z & i,t) ( )0
运动约束
几何约束 可积几分何的约运束动约束
完整约束
不可积分的运动约束 -非完整约束
运动约束
x2 y2 l2
x&Ar&0 xA r 0 11
§14–1 约束和约束方程
2、定常约束和非定常约束
定常约束(稳定约束）：约fj束(x 方i,程y i 中,z 不i,显x & 含i,时y & i间,z & ti。) ( )0 非定常约束(非稳定约fj 束(x ）i,：y 约i,束z i方,x & 程i,中y & 显i,z 含& i,时t) 间 t。( )0
x&A z&A 0 xB xA zB zA
图
8
§14–1 约束和约束方程
初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子
x2y2l0vt2
图 约束方程中显含时间t 9
§14–1 约束和约束方程
x2 y2 l2
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§14–1 约束和约束方程
二、约束的分类 fj(x i,y i,z i,x & i,y & i,z & i,t) ( )0
xB r cos l2 r 2 sin2
yB 0
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§14–2 广义坐标和自由度
例1：曲柄连杆机构中, 可取曲柄OA的转角为广义坐标，
则可惟一确定质点系的位置。 广义坐标选定后，质点 系中每一质点的直角坐标都 可表示为广义坐标的函数。
对一个非自由质点系，受s个完整约束，3n个坐标需满 足s个约束方程。只有（3n-s )个独立坐标。通常，n 与 s 很 大而3n-s 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的3n-s 个相互独立的参数，要比用3n个直角坐标和s个约束方程方 便得多。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的 数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。
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§14–2 广义坐标和自由度
对一个非自由质点系，受s个完整约束，其自由
度为 k=3n-s 。
例如：此球摆需满足一个
约束方程
x2 y2 l2
此平面小球是受约束的，如 是自由质点则需2个坐标表示， 有1个作用方程，2-1=1有一 个独立的坐标，所以，此球 摆具有一个自由度
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§14–2 广义坐标和自由度