初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲

（孟老师归

纳）

:比例的性质及平行线分线段成比例定理

（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条

线段长度的比

在同一长度单位下两条线段a，b的长度分别为m n，那么就说

这两条线段

的比是，或写成a：b=m n；其中a叫做比的前项,

项

2：比例尺=图上距离/实际距离

b叫做比的后

3:成比例线段：在四条线段a, b, c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例

线段，记作：b =—（或a：b=c：d）

a c

①线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，

..I.； I ,

②线段a叫首项，d叫a，b，c的第四比例项。

③ 比例中项：若a = b即&卩c,则b是a,c的比例中项.

b c

（二）比例式的性质

2.

1.比例的基本性质：a=c二ad=bc

b d

合比：若-，则U =□或―a J

b d b d b±a d±c

3•等比：若m k (右b d f .................... n = 0)

n

则ace……

m =3 =巴*

b d f .......................... n b n

4、黄金分割：

把线段AB分成两条线段AC BC（ AC>BC,并且使AC是AB和BC

的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割

点，其中AC^^AB 0.618AB,

2

（三）平行线分线段成比例定理

1. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线

段成比例.

2. 推论:平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得

的对应线段成比例.

如图：当AD// BE// CF时，都可得到

AB _

BC~

语言描述如下:

上一上上一上

__ ------------------------------ -----------

、-,二二,

DE AB = DE BC = EF睿~七三「三一

［一二，

7 7 〔十宀

（4）上述结论也适合下列情况的图形:

13

11

12

1

2

3

D E

由DE// BC可得：竺=竺或竺=1£或俎=处.

DB EC AD EA AB AC

3. 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）

所得的对应线段成比例•那么这条直线平行于三角形的第三边.

如上图：若「二兰.也二工,—二；’，则AD//BE//CF

BC EF AC EF AC DF

此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线.

4. 定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三

角形的三边与原三角形三边对应成比例.

二：相似三角形：

—\ b r hJ

（一）:定义：

1:对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。用符号

S 表示，I ,■...

'■- ■ ■■■' I I

2:相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

（二）:.相似三角形的判定定理：

1:平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，

所截成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下：

T DE// BCADE^A ABC

三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:

类型斜三角形直角三角

形

全等三角形的

判定

SAS

SSS

AAS

(ASA

HL

相似三角形 的判定

两边对

应成比 例且夹 角相

等

三边对 应成比 例

两角对 应相等

一条直角

边与斜边 对应成比

例

2:两角对应相等的两个三角形相似（此定理用的最多）;

用数学语言表述如下：

vZ A =Z D,/ B =Z ABD^A DEF

3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

用数学语言表述如下: AB = AC

DE DF

4:三边对应成比例的两个三角形相似

..AB AC

BC . ---- = ---- = -----

DE DF

EF

5:直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似

.

用数学语言表述如下：

vZ C =Z F = 90° AB = AC

ABD^A DEF

DE DF

6:直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直

角三角形相似

2、 相似三角形的基本图

用数学语言表述如下:

（即：射影定理）

I.平行线型：即A型和X型

I .相交线型

下图1 :若厶ABB A DCB,则AB2= AD.AC此类型比例式最常用）

A

B-—A

B --------------------- C

(

三）：

相似三角形的性质

1:相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于

相似比

3:相似

三角形

周长的

比等于相似比

4:相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相似多边形

（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比

（或相似系数）

（2）相似多边形的性质

①相似多边形的对应角相等，对应边成比例

②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比

③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比

④相似多边形面积的比等于相似比的平方

四、位似图形

1定义1:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直