数学物理方程题库
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
()(
)22
221211*********cos 3sin 0
cos 3sin 40.2cos 2cos 2sin x x y a a a x x x
x y x −−+−=∆=−=−++=>⎧⎪==−⎪⎨
⎪=
=−−⎪⎩=−xx xy yy y ，指出下列方程的类型并化为标准形式。1） u u u u 解：方程的判别式所以方程为双曲型。
dy dx
该方程的一组特征微分方程为dy dx 积分得到特征曲线为11122222111222
22111222sin 2sin 2sin 2sin 2sin 0
82x c c y x x
y x x c c y x x
y x x
y x x U U U
B a a a x x x y y x y y a a x x y ξηξηξηξηξηξηξη
ξξ+=−+⎧⎧⇒⎨⎨
=−−+=++⎩⎩−+⎧⎨
=++⎩∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=−⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠
∂∂=+∂∂∂1211121=于是令此时原方程可以转化为2A A 其中，A A ()()2221222211122212222sin 2sin 0
0a b y x
y y B a a a b y x
x x y y y
U U U
u u u ξξ
ηηηη
ξηξη
ξη
ξηξηξηξη∂∂++=−−∂∂∂∂∂∂=+++=−−∂∂∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞
∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠
1所以16y+sinx y+sinx +由于y+sinx=，所以上式可以变为关于，得标准方程
2
+32
()22
2
22121122121122
2
1112220
0.
,().02xy y a a a xy x y a y a x
y
y cx c x x u u u
B a a x x y ξηηξη
ηηη++=∆=−=−=====∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂⎛⎞=++⎜⎟∂∂∂⎝⎠2xx xy yy 22
1122） x u u u 解：方程的判别式所以方程为抛物型。
dy 该方程的一组特征微分方程为
解这个微分方程得到：dx 其中为常数，因此令=，选此时原方程可以转化为2A A 其中，A 2
2
2222211122222
22211122222
22
2222002000
a y y a a a x x y y B a a a x x y y
u u
y y ηξξξ
ηηη
ηη
⎛⎞∂=⎜⎟∂⎝⎠
∂∂∂=++=∂∂∂∂∂∂∂=++=∂∂∂∂∂∂=≠=∂∂11A 最后得到，当时，
(
)2
212112211
11111111
222221030
53*3160.3
1
3
3311
333a a a y x c c y x y x c c y x y x ξ++=∆=−=−=>⎧⎪==⎪⎨
⎪==
⎪⎩=+=−⎧⎧⎪⎪
⇒⎨⎨=+=−⎪⎪⎩⎩
−xx xy yy 3） 3u u u 解：方程的判别式所以方程为双曲型。
dy dx
该方程的一组特征微分方程为dy dx
积分得到特征曲线为=于是令2111222
22211
1222122
22211
1222122
1
3032
32020y x U U U
B a a a x x x y y x y y a a a b x x y y y B a a a b x x y y y
ηξηξη
ξηξηξηξηξξξξ
ηηηη
⎧⎪
⎨=−⎪⎩∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=−⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠
∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂∂12111211此时原方程可以转化为2A A 其中，A A 所以 20
U
ξη
∂=∂∂
()()
()()()()
()()()()()()()()()()0
002
112''1
12121
121
11
22,0cos ,0cos ,0cos 1222cos 122xx t t x
x x
x x
x a u x u x x u x e f x at f x at f x f x x u x af x af x e f x f x e d c
x c f x e d a a x f x e d a ξξξ−−−−−⎧=−∞<<∞⎪⎨==⎪⎩=++−=+==−=−=+⎡⎤⎣⎦=++=−∫∫tt 确定初值问题
u ，解：根据题意，令u x,t 由初始条件得
u x,0，对上式积分得，a 于是得到，()()()()()()()()
()()00
111
21212cos 1222cos 122211cos cos 22cos cos x at x x x at x at x at
c a x at c
f x at e d a a x at c f x at e d a a f x at f x at x at x at e d a t x at e
ξξξ+−−−+−−⎧⎪⎪
⎨⎪−⎪⎩
⎧++=++⎪⎪
⇒⎨−⎪−=+−⎪⎩
⇒=++−=++−+⎡⎤⎣⎦=+
∫∫∫∫u x,t