数学思想与方法模拟考试卷1
《数学思想方法》练习卷(含答案)
7．如右图，正方体的8个顶点处标注的数字为a，b，c，d，e，
求（a+b+c+d）-（e+f+g+h）的值。
8．将n2个互不相等的数排成下表：
a11a12a13…a1n
a21a22a23…a2n
an1an2an3…ann
先取每行的最大数，得到n个数，其中最小数为x；再取每列的最小数，也得到n个数，其中最大数为y。试比较x和y的大小。
12．有8个重量各不相同的物品，每个物品的重量都是整克数且都不超过15克。小平想以最少的次数用天平称出其中最重的物品。他用了如下的测定法：
（1）把8个物品分成2组，每组4个，比较这2组的轻重；
（2）把以上2组中较重的4个再分成2组，即每组2个，再比较它们的轻重；
（3）把以上2组中较重的分成各1个，取出较重的1个。
9．将10到40之间的质数填入下图的圆圈中，使得3组由“→”所连的4个数的和相等，如果把和数相等的填法看做同一类填法，请说明一共有多少类填法？并画图表示你的填法。
10．有四个互不相等的数，取其中两个数相加，可以得到六个和：24，28，30，32，34，38。求此四数。
11．互不相等的12个自然数，它们均小于36。有人说，在这些自然数两两相减（大减小）所得到的差中，至少有3个相等。你认为这种说法对吗？为什么？
2．分析：从条件的反面来考虑，可理解为“若按每排4人编队，则最后多1人”。按3人、2人排队都可理解为多1人。即总人数被12除余1。这样一来，原题就化为：一个5的倍数大于1000，且它被12除余1。问：这个数最小是多少？解：是5的倍数且除以12余1的最小自然数是25。因人数超过1000，[3，4，5]=60，最少有25+60×17=1045（人）。
XXX《数学思想与方法》期末复习题参考答案(可下载编辑)
XXX《数学思想与方法》期末复习题参考答案(可下载编辑)XXX《数学思想与方法》期末复题参考答案模拟试卷A卷一、填空题（每题3分，共30分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）2．数学的研究对象大致可以分成两大类：（数量关系，空间形式）3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。
4．推动数学发展的原因主要有两个：（实践的需要，理论的需要），数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。
6．匀速直线运动的数学模型是（一次函数）。
7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
8．不完全归纳法是根据（对某类事物中的部分对象的分析），作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。
9．学生理解或把握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）10．在施行数学思想方法教学时，应该注意三条原则：（化隐为显原则、按部就班原则、学生介入原则）二、判断题（每题4分，共20分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。
（是）2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
（否）3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
（否）4．贯穿在全部数学发展历史过程中有两个思想，一是正义化思想，一是机械化思想。
（是）5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的闭幕。
（否）三、简答题（每题10分，共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？参考答案：1）由于在《几何本来》中，除了推导时所需要的逻辑划定规矩外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、正义或前面已经证明过的定理，并且引入的观点（除原始观点）也基本上是符合逻辑上对观点下界说的要求，原则上不再依靠其它东西。
数学思想与方法试题
数学思想与方法试题一、填空题(每题3分，共30分)1. 概括通常包括两种:经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识—的认识。
2.算法大致可以分为3.反驳反例是用两大类。
否定的一种思维形式。
类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是5. 归纳猜想是运用归纳法得道的猜想，它的思维步骤是6. 传统数学教学只注重_ 的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。
7. 所谓统一性，就是协调一致。
8. 中国《九章算术》的算法体系和古希腊《几何原本》的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。
9. 所谓数学模型方法是10. 所谓特殊化是指在研究问题时，的思想方法。
二、判断题(每题4分，共20分。
在括号里填上是或否)1.数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。
( )2数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。
( )3新颁发的《数学课程标准》中的特点之一“再创造”体现了我国数学课程改革与发展的新的理念。
( )法国的布尔巴基学派利用数学结构实现了数学的统一。
由类比法推得的结论必然正确。
( )三、简答题(每题10分，共30分)1.常量数学应用的局限性是什么?\2.简述计算的意义。
3，简述培养数学猜想能力的途径。
四、证明题(20分)在四面体ABCD中，如图，已知AB土CD,A D土BC;求证:AC土BDo数学思想与方法试题答案及评分标准一、填空题(每题3分.共30分}1. 由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性2. 多项式算法和指数型算法3. 特殊一般4. 联想类比猜测5. 特例归纳猜测6. 形式化7. 就是部分与部分部分与整体之间的8. 以算为主逻辑演绎9. 利用数学模型解决问题的一般数学方法10. 从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合二、判断题(每题4分，共20分。
高中数学思想方法与模拟试题
高中数学思想方法与模拟试题思想一 函数与方程思想和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化．对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.【热点分类突破】类型一 函数与方程思想在数列中的应用例1已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11,2n na b n n a T +⎛⎫= ⎪⎝⎭为数列{}n b 前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的最大值.例2已知数列{}n a 中，11a =，且点()()*1n n P a a n N +∈，在直线10x y -+=上．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若函数()123123nnf n n a n a n a n a =++++++++…（n N ∈，且2n ≥），求函数()f n 的最小值；⑶设1n nb a =，n S 表示数列{}n b 的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得()()12311n n S S S S S g n -++++=-⋅…对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．类型二 函数与方程思想在方程中的应用例3已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若方程()2123f x x x +=+-的零点分别为12,,...,n x x x ，则12n x x x +++=L （ ）A．nB．n- C.2n-D．3n-【举一反三】设定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的解，则m =（ ）A．6 B．4或6C．6或2 D．2类型三 函数与方程思想在不等式中的应用例 4 已知 f (x ) =2x ln x ，g (x ) =x 3 +ax 2−x +2．（1）如果函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()g x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,(1))P g --处的切线方程；（3）已知不等式()'()f x g x ≤2+恒成立，若方程0aae m -=恰有两个不等实根，求m 的取值范围．【举一反三】已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）当e a =-时，证明：()20f x +≤；（Ⅲ）当e a =-时，试判断方程ln 3()2x f x x =+是否有实数解，并说明理由．类型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例5已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为，y 轴上一点Q 的坐标为（0,3）.（1）求该椭圆的方程； （2）若对于直线:l y x m =+，椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且332QA QB <u u u v u u u vg ，求实数m 的取值范围.【举一反三】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2 1M ，.（1）求椭圆C 的方程； （2）设()0 1A -，，直线l 与椭圆C 交于 P Q ，两点，且AP AQ =，当OPQ △（O 为坐标原点）的面积S 最大时，求直线l 的方程.思想一 函数与方程思想 强化训练1一．选择题1.对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：x123456789y745813526数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则1232016x x x x ++++…的值为（ ）A．9400 B．9408 C．9410 D．94142.已知二次曲线2214x y m+=，则当[]2,1m ∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A． B． C． D．3.已知函数()f x 满足()(2)f x f x =，当[1,2)x ∈，()ln f x x =，若在区间[1,4)内，函数()()g x f x ax =-恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A．ln 2[1,)2B．ln 2[1,)4C．ln 2ln 2[,42D．ln 2ln 2(,)424.设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q =”是“623S S =”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5.已知12F F 、是双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）．A．B．2C．1D．26.设函数()3236222x xf x e x x x ae x ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，若不等式()0f x ≤在[)2,-+∞上有解，则实数a 的最小值为（ ） A．312e -- B．322e -- C．3142e --D．11e--7.已知函数2,0,()2,0,x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则函数()y f x x =-的零点个数为（ ）A．1B．2C．3 D．48.已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，设()(())h x f f x c =-，其中(2,2)c ∈-，函数()y h x =的零点个数（ ）A．8 B．9C．10 D．119.已知函数()21(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的㡳数) 与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A． 21,2e ⎡⎤-⎣⎦ B．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C.2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D．)22,e ⎡-+∞⎣10.若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是（ ）A． B．(8, C. D．二、填空题11.已知α为锐角，且tan 1α=，函数2()tan 2sin(24f x x x παα=+⋅+，数列{}n a 的首项112a =，1()n n a f a +=，则1n a +与n a 的大小关系为．12.若221:20C x y x +-=与()2:210C y y ax a -++=有四个不同的交点，则a 的取值范围 ．13.已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使0OA OB ⋅=u u u r u u u r，则双曲线离心率的取值范围是．14.已知函数()()21xf x e x ax a =--+，其中a <1，若存在唯一的整数0x ，使得()0f x <0，则a 的取值范围是．(e 为自然对数的底数)三、解答题15.在ABC ∆中，点D 在BC 边上，AD 平分BAC ∠，6,4AB AD AC ===.(Ⅰ)利用正弦定理证明：AB BDAC DC=；(Ⅱ)求BC 的长.16.已知函数)1,0(12)(2<=/++-=b a b ax ax x g 在区间]3,2[上有最大值4，最小值1，对称轴为x=1．设函数⋅=xx g x f )()((1)求a、b 的值及函数)(x f 的解析式；(2)若不等式02)2(≥⋅-xx k f 在]1,1[-∈x 时恒成立，求实数k 的取值范围．17.已知函数()ln ()f x x a x a R =+∈.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处与直线32y x =-相切，求a 的值；（2）若函数2()()g x f x kx =-有两个零点12,x x ，试判断12'()2x x g +的符号，并证明.思想一 函数与方程思想 强化训练2一．选择题1.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是（ 2.已知函数2()ln f x x ax ax =-+恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A．(,0)-∞B．(0,)+∞C．(0,1)(1,)+∞U D．{}(,0)1-∞U 3.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且32 43AM AB AN AD ==u u u u r u u u r u u u r u u u r，，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=u u u r u u u r，则λ的值为（）CA．35B．37C.613D．6174.已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有21(())213x f f x +=+，则2(log 3)f =（）A．1B．45C.12D．05.设函数|1|1lg(2),2,()10,2,x x x f x x -+->⎧=⎨≤⎩若()0f x b -=有三个不等实数根，则b 的取值范围是（ ）A．(0,10] B．1(,10]10C．1(,10)10D．(1,10]6.已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A．23λ>B．32λ>C．32λ<D．23λ<7.已知函数()()2ln 1,23f x x g x x x =-=-++，用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为( )A．1 B．2 C. 3 D．48.定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（ ）A．1 B．2 C.3 D．49.设函数ln ()xf x x=，关于x 的方程()()210f x mf x +-=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A．1,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B．1,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C． ()0,e D．()1,e 二、填空题10.对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”.设2122n n tn nb t --=-，若数列()*567,,,,5,n b b b b n n N ≥∈L 是“减差数列”，则实数t 的取值范围是 ．11.已知12,x x 是函数()2sin 2cos 2f x x x m =+-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，则()12sin x x += ． 12.在正方体ABCD 中，M 是BD 的中点，且(),AM mAB nAD m n R =+Îu u u u r u u u r u u u r ，函数()1xf x e ax =-+，的图象为曲线G ，若曲线G 存在与直线()y m n x =+垂直的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是____________.13.函数()f x ，()g x 的定义域都是D ，直线0x x =（0x D ∈），与()y f x =，()y g x =的图象分别交于A ，B 两点，若||AB 的值是不等于0的常数，则称曲线()y f x =，()y g x =为“平行曲线”，设()ln x f x e a x c =-+（0a >，0c ≠），且()y f x =，()y g x =为区间(0,)+∞的“平行曲线”，(1)g e =，()g x 在区间(2,3)上的零点唯一，则a 的取值范围是 ．三、解答题14.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且cos sin 0a C C b c +--=．（1）求A ； （2）若AD 为BC边上的中线，1cos ,7B AD ==，求ABC ∆的面积．15.已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =，且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围.16.已知函数()ln f x x x =，2()3g x x ax =-+-.（1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值； （2）对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）探讨函数12()ln xF x x e ex=-+是否存在零点？若存在，求出函数()F x 的零点；若不存在，请说明理由.思想二 分类讨论思想分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 分类讨论的原则 (1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用例1.已知{}(){}222|40,|2110A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈，如果A B B =I ，求实数a 的取值范围.例2.已知命题:p 指数函数2()lg(4)f x ax x a =-+的定义域为R ；命题:q 不等式222x x ax +>+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立. （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.举一反三1.设集合{}|(21)(2)0A x x m x m =-+-+<，{}|114B x x =≤+≤．（1）若1m =，求A B I ；（2）若A B A =I ，求实数m 的取值集合．2.已知命题:p 函数()()2lg 6f x ax x a =-+的定义域为R ，命题:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于3，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．类型二：分类讨论思想在导数中的运用例3.已知函数3211()(1)323a f x x a x x =-++-（a R ∈）．（1）若0a <，求函数()f x 的极值；（2）当1a ≤时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数．【举一反三】已知函数()2ln f x a x x x =+-，其中a R ∈.（Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.类型三：分类讨论思想在解析几何中的运用例4.设椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，求OA OB ⋅u u u r u u u r的取值范围．【举一反三】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2 1M ，.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于 P Q ，两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ △为等边三角形，求直线1l 的方程.思想二 分类讨论思想 强化训练一．选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和()0nn S Aq B q =+≠，则“A B =-“是“数列{}n a 是等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 2.已知集合{}{}22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B I 中元素的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．53.若函数()f x 为定义在R 上的连续奇函数且3()'()0f x xf x +>对0x >恒成立，则方程3()1x f x =-的实根个数为（ ）A．0B．1C．2D．34.在公差3d =的等差数列{}n a 中，242a a +=-，则数列{}n a 的前10项和为 （ ）A．127B．125C.89D．705.已知数列1234,,,a a a a 满足()1411111,1,2,322n n n na a a a n a a ++=-=-=，则1a 所有可能的值构成的集合为（ ）A．1,12⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭B．{}1,2±± C．1,22⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭D．1,1,22⎧⎫±±±⎨⎬⎩⎭6.已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A.[32ln 2,2)-B. [32ln 2,2]-C. [1,2]e -D. [1,2)e -7.设函数ln ()xf x x=，关于x 的方程()()210f x mf x +-=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A．1,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B．1,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C． ()0,e D．()1,e 8.已知函数()()3sin 2f x ax x a R =-∈，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-，则实数a 的值为( )A．12B．1 C.32D．2二、填空题9.已知{|322}A x x =≤≤，{|2135}B x a x a =+≤≤-，B A ⊆，则a 的取值范围为________.10.若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12n n n S a a +=，14a =，则数列{}n a 的通项公式为n a =．11.若数列{}n a23n n ++=+L ，则12231n a a a n +++=+L __________. 12.已知函数()()21xf x e x ax a =--+，其中a <1，若存在唯一的整数0x ，使得()0f x <0，则a 的取值范围是．(e 为自然对数的底数)三、解答题13.已知m R ∈，设[]: 1 1p x ∀∈-，，2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，，()212log 11x mx -+<-成立，如果“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求m 的取值范围.14.已知数列{}n a 的前n 项和为2,n n S S n n =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）若()1223,,k k k a a a k N *++∈恰好依次为等比数列{}n b 的第一、第二、第三项，求数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .15.已知a R ∈，函数()()|1|f x x a x =--．若3a =，求()f x 的单调递增区间；思想三 数形结合思想数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．数形结合的重点是研究“以形助数”，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法． 1．数形结合思想解决的问题常有以下几种：（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；（5）构建立体几何模型研究代数问题；（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；（7）构建方程模型，求根的个数；（8）研究图形的形状、位置关系、性质等．2．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Venn 图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．3．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．类型一 利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点例1.设定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =（ ）A．6 B．4或6 C．6或2 D．2【举一反三】已知函数()()2ln 1,23f x x g x x x =-=-++，用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为( )A．1 B．2 C.3D．4类型二 利用数形结合思想解不等式或求参数范围例2.已知函数|ln |)(x x f =，关于x 的不等式)1()1()(-≥-x c f x f 的解集为),0(+∞，则实数c 的取值范围是 .【举一反三】已知函数()()21xf x ex ax a =--+，其中a <1，若存在唯一的整数0x ，使得()0f x <0，则a 的取值范围是 ．(e 为自然对数的底数)类型三 利用数形结合思想求最值“形”可以使某些抽象问题具体化，而‘数”可以使思维精确化，应用数形结合在某些求最值问题中，可以收到意想不到的效果．例3．已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b +的最小值为（ ）A. 9B.32C.34 D.52【规律总结】在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：①要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义又分析其代数意义；②要恰当设立参数，合理建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；③要正确确定参数的取值范围．利用数形结合求最值的方法步骤：第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义；第二步：转化为几何问题．把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义构图形， 第三步：解决几何问题； 第四步：回归代数问题；第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：（1）比值——可考虑直线的斜率；（2）二元一次式——可考虑直线的截距；（3）根式分式——可考虑点到直线的距离；（4）根式——可考虑两点间的距离．【举一反三】对于任意实数x ,f (x ) 取4 −x ，x +2 ，3x 三个值中最小的值，则f (x )的最大值为类型四 运用数形结合思想解决解析几何中的问题例 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的半径为5 ，且圆M 与圆N ：x 2 +y 2 −Ey =0 外切，切点为A (2 ， 4).（1）求E 及圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于点B ，点C ，且BC =OA ，求直线l 的方程；（3）设点() 0T t ，满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=u u r u u r u u u r，求实数t 的取值范围.【举一反三】已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左焦点，,A B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线 BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则 Γ的离心率为（ ）A．3 B．2 C.32 D．431．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时更方便，可以提高解题速度．5．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等．6．是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题思想三 数形结合思想 强化训练1一、选择题1.设a ，b ，c 均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21(log 2c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A．c a b<<B．c b a <<C．a b c <<D．b a c<<2.若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是（ ）A．B．(8,C.D．3.如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A.243π+ B.243π+ C.43π+ D.43π+4.若实数 x y ，满足2301x y y x -+≥⎧⎨≥≥⎩，则z =的最小值为（ ）A．35.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且32 43AM AB AN AD ==u u u u r u u u r u u u r u u u r，，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=u u u r u u u r，则λ的值为（）A BCA．35B．37C.613D．6176.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则201616n n f π=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（ ）A．-1 B．0 C．12D．17.某几何体三视图如图，则该几何体体积是（ ）A．4B．43C.83D．28.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A．4B．49C．49-D．09.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，0)3()(=++-x f x f ；当)3,0(∈x 时，xxe xf ln )(=，其中e 是自然对数的底数，且72.2≈e ，则方程0)(6=-x x f 在]9,9[-上的解的个数为（ ）A．4B．5C．6D．710.三棱锥B ACD -的每个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，且AB ⊥平面BCD ，△BCD 为等边三角形，2AB BC =，则三棱锥B ACD -的体积为（ ）A．3 C．32二、填空题11.在边长为1的正方形中，，的中点为，，则__________．12.已知()sin 2y k kx πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭与26y kx k =-+的部分图像如右图所示ϕ=．13.如图，ABC ∆是边长为的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP BP u u u r u u u rg 的取值范围是_________.【14.如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于 ．三、解答题15.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋ ( x >0 )．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，G 为ABC ∆的重心，113BE BC =.（1）求证：//GE 平面11ABB A ； （2）若侧面11ABB A ⊥底面ABC ，160A AB BAC ∠=∠=o ，12AA AB AC ===，求直线1A B 与平面1B GE 所成角θ的正弦值.17.已知椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，过点Q ⎫⎪⎪⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为,S T .直线ST 恰好经过Ω的右顶点和上顶点.（1）求椭圆Ω的方程；（2）如图，过椭圆Ω的右焦点F 作两条互相垂直的弦,AB CD .①设,AB CD 的中点分别为,M N ，证明: 直线MN 必过定点，并求此定点坐标；②若直线,AB CD 的斜率均存在时，求由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围.思想三 数形结合思想 强化训练2一、选择题1.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ）A．81B．85 C.21D．872.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A．294cm ++B．2102cm +C.2112cm++D．2112cm+3.已知实数x y ，满足不等式组21,0,10,x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是（）A．(B．C.[D．[4.如图，某地一天从6:14时的温度变化曲线近似满足函数：sin()y A x b ωϕ=++，则中午12点时最接近的温度为（ ）A．26C︒B．27C ︒C．28C ︒D．29C︒5.在直角梯形中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆弧中点为(如图所示).若，其中，则的值是（ ）A.B. C. D.6.已知函数|ln |,02,()(4),24,x x f x f x x <≤⎧=⎨-<<⎩若当方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，4x （1234x x x x <<<）时，不等式22341211kx x x x k ++≥+恒成立，则实数k 的最小值为（ ）A．98B．2-C．251612-7.已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-，当[]3,3x ππ∈-时，方程()()f x g x =根的个数是（）A．8 B．6C．4D．28.已知正方体1111ABCD A B C D -，则下列说法不正确的是（ ）A.若点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变B.若点P 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则P 点的轨迹是过1D 点的直线C.若点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变D.若点P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变二、填空题9.已知圆C :228150x y x +++=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为．10.函数()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<在R 上的部分图象如图所示，则(2014)f 的值为11.表面积为的球面上有四点，且是边长为的等边三角形，若平面平面，则三棱锥体积的最大值是__________．12.已知在中，，，如图，动点是在以点为圆心，为半径的扇形内运动（含边界）且；设，则的取值范围__________．三、解答题13.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos sin 0a C C b c +--=．（1）求A ； （2）若AD 为BC 边上的中线，1cos ,7B AD ==，求ABC ∆的面积．14.如图，已知四边形ABCD 和BCGE 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG 且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCGE ，222BC CD CE AD BG =====．（1）求证：//AG 平面BDE ； （2）求平面BDE 和平面ADE 所成锐二面角的余弦值．15.已知椭圆：，圆：的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程．思想三 数形结合思想 强化训练3一、选择题1.在区间[]0 1，上随机选取两个数x 和y ，则2y x >的概率为（ ）A.14B．12C.34D．132.三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，12AB BC AA ===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A．48πB．32πC.12πD．8π3.若变量 x y ，满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A．3-B．2- C.1-D．14.定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（ ）A．1 B．2 C.3 D．45.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（ ）A．13C．2324 D．24256.已知函数2||,0,0(sin )(πϕωϕω<>>+=A x A x f ）（，其导函数)('x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为（ ）A．62cos()(π-=x x f B．)62sin()(π+=x x f C．)62cos(21)(π+=x x f D．1()sin(2)26f x x π=-7.函数ln ||||x x y x =的图象大致为（ ）8.函数的零点个数为（ ）A. 1 B.2 C.3 D.49.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =u u u ru u ur ，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若DA m DM =，DC n DN =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ）A．56 B．512 C．524 D．548 二、填空题10.将一块边长为6cm 的正方形纸片，先按如图（1）所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 2cm ．11.函数()()2sin 0 22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，的部分图象如图3所示，则()f x 的图象可由函数()2sin g x x ω=的图象至少向右平移个单位得到．12.已知偶函数()f x 满足()()11f x f x -=，且当[]1 0x ∈-，时，()2f x x =，若在区间[]1 3-，内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题13.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若（（（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .14.如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求面PAD 与面PBC 所成角的大小．15.如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，//AP OM ，//BP ON .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）判断OMN ∆的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.思想三 数形结合思想 强化训练4一、选择题1.在矩形中 ABCD 中， AB =2AD ，在CD 上任取一点P ，∆ABP 的最大边是 AB 的概率是（1-1-2.已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（）A．B．D．23.已知,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A．12或-1B．12或2 C.1或2D．-1或24.在直三棱柱中，，记的中点为，平面与的交线为，则直线与所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D.5.已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A.[32ln 2,2)- B.[32ln 2,2]- C.[1,2]e - D.[1,2)e -6.执行如图所示的程序框图，若[][] 0 4x a b y ∈∈，，，，则b a -的最小值为（ ）A．2B．3 C.4D．57.设()f x 是定义在R 上奇函数，当0x >时，()1f x x =-, 则不等式()0f x <的解集为（ ）A．()(),10,1-∞-⋃ B．()(),11,-∞-⋃+∞ C.()1,1- D．()()1,01,-⋃+∞8.已知函数满足：①定义域为；②，都有；③当时，，则方程在区间内解的个数是（ ）A. 5 B. 6 C.7 D.89.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是（ ）A.B.C. D.10.在中，边上的高为在上，点位于线段上，若，则向量在向量上的投影为（ ）A. 或 B.1 C.1或 D.二、填空题11.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 为正方形，2PA AB ==，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 ．12.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，o 60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为o 30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC。
《数学与思想方法》2020年 模拟试卷A答案
《数学与思想方法》模拟试卷答案一、填空题（每题3分，共30分）1．算法的有效性是指（）正确答案是：如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解2．数学的研究对象大致可以分成两大类：（）正确答案是：数量关系，空间形式3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（）的一种思想方法。
正确答案是：由数思形、见形思数、数形结合考虑问题4．推动数学发展的原因主要有两个：（），数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
正确答案是：实践的需要，理论的需要5.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（）为典范。
正确答案是：《九章算术》6．匀速直线运动的数学模型是（）。
正确答案是：一次函数7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（）的趋势。
正确答案是：数学的各个分支相互渗透和相互结合8．不完全归纳法是根据（），作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。
正确答案是：对某类事物中的部分对象的分析9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（）正确答案是：潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段题目1010．在实施数学思想方法教学时，应该注意三条原则：（）正确答案是：化隐为显原则、循序渐进原则、学生参与原则二、判断题（每题4分，共20分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。
正确的答案是：对2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
正确的答案是：错3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
正确的答案是“错”。
4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。
正确的答案是“对”。
5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
正确的答案是“错”。
三、简答题（每题10分，共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。
教师公开招聘考试小学数学(数学思想方法)模拟试卷1(题后含答案及解析)
教师公开招聘考试小学数学（数学思想方法）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题9. 综合题选择题1．用换元法解方程=3时，下列换元方法中最适宜的是( )A．x2+1=yB．C．D．正确答案：D解析：设y=，则原方程化为：y2一3y一2=0即可求解．故选D．2．若实数x、y满足y≤x，x+2y≤4，y≥一2，则S=x2+y2+2x一2y+2的最小值为( )A．B．2C．3D．√2正确答案：B解析：S=(x+1)2+(y一1)2表示点(x，y)与(一1，1)距离的平方，故问题可化归为求以(一1，1) 为圆心，√S为半径的动圆与可行域的距离．由点(一1，1)到y=x的距离为d=√2知Smin=2．故选B．综合题3．用配方法解一元二次方程：2x2+1=3x．正确答案：移项得：2x2一3x=一1，二次项系数化为l得：x2一,配方得：x2一∴x=—，解得x1=1，x2=.4．用配方法证明：无论x为何实数，代数式一2x2+4x一5的值恒小于零．正确答案：一2x2+4x一5=一2(x2一2x)－5=一2(x2一2x+1)－5+2=－2(x －1)2一3，∵(x－1)2≥0，∴一2(x一1)2≤0，∴一2(x一1)2一3＜0，∴无论x为何实数，代数式一2x2+4x－5的值恒小于零．用配方法求解下列问题：5．2x2一7x+2的最小值；正确答案：∵2x2一7x+2=2(x2一x)+2=，∴最小值为一.6．－3x2+5x+1的最大值．正确答案：－3x2+5x+1=一3，∴最大值为.把整式x2－x－2按下列要求变形：7．配方；正确答案：x2一x一2=x2一x+．8．因式分解(写出因式分解过程中所采用的方法)正确答案：由(I)知=0．，∴x1=2，x2=一1．则x2一x一2=(x+1)(x一2)．9．分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．正确答案：设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．10．宁海中学高一组织了围棋比赛，共有10名选手进入了决赛，决赛阶段实行单循环赛(即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负)，若一号选手胜a1局，输b1局；二号选手胜a2局，输b2局;…，十号选手胜a10局，输b10局，试比较a12+a22+…+a102与b12+b22+…+b102的大小，并叙述理由．正确答案：依题意可知，a1+b1=9，a2+b2=9，a3+b3=9，…，且a1+a2+…+a10=b1+b2+…+b10=45，∴(a12+a22+…+a102)一(b12+b22+…+b102)=(a12一b12)+(a22一b22)…+(a102一b102)=(a1+b1)(a1—b1)+(a2+b2)(a2—b2)+…+(a10+b10)(a10－b10)=9[(a1+a2+…+a10)一(b1+b2+…+b10)]=0．∴a12+a22+…+a102=b12+b22+…+b102．11．用换元法解方程(x一)2+x+=2，可设y=x+，则原方程经换元并变形后可以化为一元二次方程的一般形式_________．正确答案：y2+y一6=0．解析：∵(x一)2=(x+)2一4．∴原方程变形为(x+)2一4+x+=2．整理得(x+)2+(x+)一6=0．设y=x+．则原方程经换元并变形后可以化为一元二次方程的一般形式y2+y一6=0．12．关于x的一元二次方程x2一=0有实根，其中a是实数，求a99+x99的值．正确答案：因为方程有实根，所以△=≥0，即一a2一2a一1≥0．因为一(a+1)2≥0，所以a+1=0，a=一1．当a=一1时，原方程为x2一2x+1=0，故有x=1，所以a99+x99=(一1)99+199=0．13．若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根，求a，b的值．正确答案：因为方程有实根，所以它的判别式△=4(1+a)2一4(3a2+4ab+4b2+2)≥0，化简后得2a2+4ab+4b2一2a+1≤0，所以(a+2b)2+(a一1)2≤0，从而解得a=1，b=一.14．△ABC的一边长为5，另两边长恰是方程2x2一12x+m=0的两个根，求m的取值范围．正确答案：设△ABC的三边分别为a，b，c，且a=5，由△=122－4·2·m=144—8m≥0，得m≤18，此时由韦达定理，b+c==6＞a，bc=＞0，即m＞0，并且不等式25=a2＞(b一c)2=(b+c)2一4bc=36—2m，即m＞.综上可知，＜m≤18．15．求方程5x2+5y2+8xy+2y－2x+2=0的实数解．正确答案：先把y看作是常数，把原方程看成是关于x的一元二次方程，即5x2+(8y一2)x+(5y2+2y+2)=0．因为x是实数，所以判别式△=(8y一2)2一4·5·(5y2+2y+2)≥0，化简后整理得y2+2y+1≤0，即(y+1)2≤0，从而y=一1．将y=一1代入原方程，得5x2一10x+5=0，故x=1．所以，原方程的实数解为x=1，y=一1．16．直线l经过直线3x+2y+6=0和2x+5y一7=0的交点，且在两坐标轴的截距相等，则直线l的方程是_________．正确答案：联立直线方程所以交点坐标为(一4，3)．则当直线l过(一4，3)且过原点时，因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以设y=kx，把(一4，3) 代入求得k=一，所以直线l的方程3x+4y=0；当直线l不过原点时，因为直线l在两坐标轴上的截距相等，可设=1，把(一4，3)代入求得A=一1，所以直线l的方程为x+y+1=0．故答案为3x+4y=0或x+y+1=0．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x—y一5=0．AC边上的高BH所在直线为x一2y一5=0．求：17．顶点C的坐标；正确答案：直线AC的方程为：y一1=一2(x一5)，即2x+y一11=0，解方程组则C点坐标为(4，3)．18．直线BC的方程．正确答案：设B(m，n)，则M，又因为点M在CM上，点B在BH上，故有．则B点坐标为(一1，一3)，直线BC的方程为：y一3=(x一4)，即6x一5y一9=0．19．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6，试建立适当的坐标系，求曲线C的方程．正确答案：如图所示．以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N的坐标分别为．由|AM|=和|AN|=3和△AMN是锐角三角形，得解得p=4，x1=1．又由抛物线的定义，得x2=|BN|一=6—2=4．故曲线C的方程为y2=8x(1≤x≤4，y＞0)．20．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且b+c=10，b2+c2=一2a2+32a一78．求证：△ABC是等腰三角形．正确答案：由b+c=10，b2+c2=一2a2+32a一78，得bc=a2一16a+89．构造一元二次方程x2一10x+a2一16a+89=0，则可知b，c是该方程的两个实根，于是有△=(一10)2一4·(a2一16a+89)=一4(a一8)2≥0，即(a一8)2≤0．又(a一8)2≥0，所以△=0，即b=c，所以△ABC是等腰三角形．21．如图(1)所示，已知三棱锥P—ABC，PA=BC=，PB=AC=10，PC=AB=，求三棱锥P—ABC的体积．正确答案：如图(2)所示，构造一个长方体AEBG—FPDC，易知三棱锥P—ABC的各边分别是长方体的面对角线．不妨令PE=x，EB=y，EA=z，则由已知有解得x=6，y=8，z=10．从而有VP-ABC=V AEBG—FPDC一VP一AEB—VC —ABG—VB—PDC—V A—FPC=V AEBc—FPDC一4VP一AEB=6×8×10—4××6×8×10=160．故所求三棱锥P—ABC的体积为160．22．在同一平面内，a、b、c互不重合，若a∥b，b∥c，则a∥c．正确答案：假设a∥c不成立，则a、b一定相交，假设交点为P，则过点P，与已知直线b平行的直线有两条a、c；这与经过一点有且仅有一条直线与已知直线平行相矛盾，因而假设错误，故a∥c．。
电大数学思想方法考试题库(全)
《数学思想与方法》——————————填空题————————1古代数学大致可以分为两种不同的类型，一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。
2、在数学中，建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得（《几何原本》）3、《几何原本》所开创的（公理化）方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。
4、推动数学发展的原因主要有两个：（1）（实践的需要，（2）理论的需要）数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5、变量数学产生的数学基础是（解析几何），标志是（微积分）6、（数学基础知识和数学思想方法）是数学教学的两条主线。
7、随机现象的特点是（在一定条件下，看你发生某种结果，也困难不发生某种结果。
8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征（两边相等）加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。
9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段，（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）10、数学的统一性是客观世界统一性额反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
11、强抽象就是指通过（把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征（一组邻边相等）加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。
13、演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
14、所谓类比是指（由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法）常称这种方法为类比法，也称类比推理、15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的（矛盾律）16、猜想具有两个显著特点：（具有一定的科学性、具有一定的推测性）17、三段论是演绎推理的主要形式，三段论由（大前提、小前提、结论）三部份组成。
18、化归方法是指（把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题的答的一种方法）19、在化归过程中，应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）20、在计算机时代，（计算方法）已经成为与理论方法，实验方法并列的第三种科学方法。
数学思想与方法模拟考精彩试题及问题详解
模拟题一一、填空题（每题5分，共25分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）。
3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。
5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典。
7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。
二、判断题（每题5分，共25分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。
（ 是 ） 2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
（ 否 ） 3．一个数学理论体系的每一个命题都必须给出证明。
（ 否）4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。
（ 是） 5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
（否） 三、简答题（每题10分，共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？答：①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。
因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。
③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。
《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。
国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案(Word最新版)
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形考作业第一关试题及答案巴比伦人是最早将数学应用于( )的。
在现有的泥板中有复利问题及指数方程。
[答案]商业《九章算术》成书于( )，它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学学问。
[答案]西汉末年金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是运用了( )的方法。
[答案]天文测量在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用( )表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用( )表示。
[答案]文字，文字古埃及数学最辉煌的成就可以说是( )的发觉。
[答案]四棱锥台体积公式《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的( )。
[答案]柏拉图学派古印度人对时间和空间的看法与现代天文学特殊相像，他们认为一劫(劫指时间长度)的长度就是( )，这个数字和现代人们计算的宇宙年龄特殊接近。
[答案]100亿年依据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应当是一种演绎体系的结构，学问都是从( )中演绎出的结论。
[答案]初始原理欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时全部理论的( )，成为近代西方数学的主要源泉。
[答案]数论及几何学数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在( )已经形成了一些几何与数目概念。
[答案]六七千年前形考作业其次关试题及答案欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作，它的著名的平行公设是( )。
[答案]同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧确定相交《九章算术》是我国古代的一本数学名著。
国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案
国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案说明：试卷号1863，适用于国开中央电大小学教育本科学员国开平台网上形考；同时资料也是期末机考的重要资料。
形考作业第一关试题及答案巴比伦人是最早将数学应用于( )的。
在现有的泥板中有复利问题及指数方程。
[答案]商业《九章算术》成书于( )，它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
[答案]西汉末年金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了( )的方法。
[答案]天文测量在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用( )表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用( )表示。
[答案]文字，文字古埃及数学最辉煌的成就可以说是( )的发现。
[答案]四棱锥台体积公式《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的( )。
[答案]柏拉图学派古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫(劫指时间长度)的长度就是( )，这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。
[答案]100亿年根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从( )中演绎出的结论。
[答案]初始原理欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的( )，成为近代西方数学的主要源泉。
[答案]数论及几何学数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在( )已经形成了一些几何与数目概念。
[答案]六七千年前形考作业第二关试题及答案欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作，它的著名的平行公设是( )。
[答案]同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交《九章算术》是我国古代的一本数学名著。
算是指( )，术是指( )。
[答案]算筹；解题方法《几何原本》就是用( )的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
数学思想与方法模拟考试卷
一、填空题（每题5分，共25 分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。
5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。
7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。
1．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的（《几何原本》）。
2．随机现象的特点是（在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果）。
3．演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
4．在化归过程中应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）。
5．（数学思想方法）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。
6．三段论是演绎推理的主要形式，它由（大前提、小前提、结论）三部分组成。
7．传统数学教学只注重（形式化数学知识，）的传授，而忽略对知识发生过程中（数学思想方法）的挖掘。
8．特殊化方法是指在研究问题中，（从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。
9．分类方法的原则是（不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分）。
10．数学模型可以分为三类：（概念型、方法型、结构型）。
二、判断题（每题5分，共25 分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。
（是2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
（否3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
数学思想与方法考试题及答案
模拟题一一、填空题（每题5分.共25分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发.能够得到这一问题的正确解）。
3．所谓数形结合方法.就是在研究数学问题时.（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。
5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理.以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用.以（《九章算术》）为典范。
7．数学的统一性是客观世界统一性的反映.是数学中各个分支固有的内在联系的体现.它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。
二、判断题（每题5分.共25分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物.又是数学的创造者。
（是）2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
（否）3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
（否）4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想.一是公理化思想.一是机械化思想。
（是）5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
（否）三、简答题（每题10分.共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系答：①因为在《几何原本》中.除了推导时所需要的逻辑规则外.每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理.并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求.原则上不再依赖其它东西。
因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
②另外.《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题.因此对于社会生活的各个领域来说.它也是封闭的。
③所以.《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。
《九章算术》将246个题目归结为九类.即九种不同的数学模型.分列为九章。
②它在每一章中所设置的问题.都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型.然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。
数学思想与方法模拟考试题及答案
模拟题一一、填空题（每题5分，共25分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）。
3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。
5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。
7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。
二、判断题（每题5分，共25分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。
（是）2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
（否）3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
（否）4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。
（是）5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
（否）三、简答题（每题10分，共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？答：①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。
因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。
③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。
《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。
②它在每一章中所设置的问题，都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。
数学思想与方法形考一(模拟卷A)
数学思想与方法形考一（模拟卷A）一、填空题（每题3分，共30分）1．算法的有效性是指（）答案：如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解2．数学的研究对象大致可以分成两大类：（）答案：①研究数量关系，②研究空间形式。
3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（）的一种思想方法。
答案：由数思形、见形思数、数形结合考虑问题4．推动数学发展的原因主要有两个：（），数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
答案：①实践的需要，②理论的需要5.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（）为典范。
答案：长于计算和实际应用6．匀速直线运动的数学模型是（）。
答案：一次函数7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（）的趋势。
答案：数学的各个分支相互渗透相互结合8．不完全归纳法是根据（），作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。
答案：从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（）答案：①潜意识阶段，②明朗化阶段，③深刻理解阶段。
10．在实施数学思想方法教学时，应该注意三条原则：（）化隐为显原则、循序渐 进原则、学生参与原则答案：二、判断题（每题4分，共20分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。
选择一项：对错2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
选择一项：对错3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
选择一项：对错4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。
选择一项：对错5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
选择一项：对错三、简答题（每题10分，共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？①《几何原本》以少数原始概念和公设、公理为基础，运用逻辑规则将当时所知的几何学中的主要命题(定理)全都推出来，从而形成一个井然有序的整体．在这个体系中，除了逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或dS面已证明的定理，并且引入的概念(除原始概念)也基本上符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西．②另外．《几何原本)回避任何与社会生产现实生括有关的应用问题，对社会生活的各个领域来说也是封闭的．因此，(几何原本)是一个相对封闭的演绎体系．2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。
数学思想与方法模拟试卷
《数学思想与方法》模拟试卷一，填空题(每题3分，本题共30分)1. 《九章算术》思想方法的特点是2. 抽象的含义：抽象是对同类事物3. 在反例反驳中，构造一个反例必须满足条件4. 化归方法的三个要素是5. 算法可分为两大类.6. 任何分类都必须遵循下列原则:7. 数学的研究对象大致可以分成如下两类8. 所谓特殊化是指在研究问题时，的思想方法。
9. 小学数学思想方法教学的主要阶段是：.10．三段论是演绎推理的主要形式，三段论由组成。
二、判断题(每题4分，本题共20分)1．中国古代数学中使用的数学方法是演绎的方法。
2．《几何原本》是人类历史上最早的演绎的公理化体系。
3．微积分的建立标志着变量数学的诞生。
4．完全归纳法的一般推理形式是：设S={ A1, A2,---, An,---}由于A1具有属性p，A2具有属性p，…An具有属性p，因此推断集合S中的每一个对象都具有属性p。
5．如果某一问题存在算法，并且进一步构造出这个算法，就一定能够求出该问题的解。
三、简答题(每题10分，本题共30分)1．简述确定性现象、随机现象的特点以及确定数学的局限2．简述数学建模的基本步骤。
3．什么是类比猜想?并举一个例子。
四、解答题(本题20分)运用方程模型解应用题时，其中最重要的是“设想问题已经解出”、“用两种不同方式表示同一个量”、“方程个数和未知量个数相等”这三个要点。
这是为什么?请阐述你的理解。
《数学思想与方法》模拟试卷参考答案(仅供参考)一、填空题（本题共30分）1. 开放的归纳体系算法化的内容模型化的方法2. 抽取其共同的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程3. （1）反例满足构成猜想的所有条件（2）反例与构成猜想的结论矛盾4. 化归对象，化归目标，化归途径5. 多项式算法，指数型算法6. 不重复，无遗漏，标准同一，按层次逐步划分7. 确定性现象和随机性现象8. 从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法9. 形象抽象思维，即由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段10. 大前提，小前提，结论二、判断题（本题10分）1. 错误，中国古代数学中使用的数学方法是开放的归纳体系2. 正确《几何原本》是人类历史上最早形成的演绎体系，是公理体系在具体学科中应用成功的标志，并以此为开端的。
数学思想与方法模拟考试题及答案
数学思想与方法模拟考试题及答案模拟题一一、填空题（每题5分，共25分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）。
3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。
5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。
7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。
二、判断题（每题5分，共25分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。
（是）2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
（否）3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
（否）4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。
（是）5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
（否）三、简答题（每题10分，共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？答：①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。
因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。
③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。
《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。
数学思想方法练习题答案
数学思想方法练习题答案一、选择题1. 已知函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，且\( f(a) = f(b) \)，根据介值定理，下列哪个选项是正确的？A. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上必有零点B. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上至少有一个实数根C. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上至少有一个极值点D. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上单调递增或递减2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)3. 函数\( g(x) = x^3 - 3x \)的导数\( g'(x) \)是：A. \( 3x^2 - 3 \)B. \( x^2 - 3 \)C. \( 3x^2 - 6x \)D. \( x^2 - 3x \)4. 以下哪个选项不是数学归纳法的应用？A. 证明等差数列的求和公式B. 证明自然数的平方和公式C. 证明\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots \)的和是发散的D. 证明\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)5. 以下哪个命题是假命题？A. 存在唯一的实数\( x \)，使得\( x^2 = 4 \)B. 任何实数\( x \)，都有\( x^2 \geq 0 \)C. 对于任意实数\( x \)，\( \sqrt{x^2} = |x| \)D. 所有实数\( x \)，\( x^2 + 1 \) 都是正数二、填空题6. 如果\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + px + q = 0 \)的根，那么\( p \)和\( q \)可以表示为\( a \)和\( b \)的函数：\( p =________ \)，\( q = ________ \)。
数学思想方法综合测试卷(一)
数学思想方法综合测试卷(一)(满分150分，时间120分钟)一、单项选择题(本大题共20小题，1～12每小题2分，13～20每小题3分，共48分) 1．如图数轴表示的区域是下列哪个不等式的解集( )第1题图A ．x 2－x －2≤0 B.x －22x ＋2≤0C.x －12x ＋4≤0 D ．|x －12|≤32C 【解析】 数轴上区域为{x |－2<x ≤1}，故选C. 2．在等比数列{a n }中，若a 3·a 5＝10，则a 1·a 7＝( )A ．5B ．10C ．15D ．25B 【解析】 ∵a 3·a 5＝10，∴a 3·a 5＝a 1q 2·a 1q 4＝a 21q 6＝10，又a 1·a 7＝a 1·a 1q 6＝a 21q 6，即a 1·a 7＝a 3·a 5＝10.3．若函数f (x )＝x 2＋2(a ＋1)x ＋2在(－∞，2)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．（3，+∞） C.（1，+∞） D.(－∞，1]A 【解析】 f (x )为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－2()a ＋12，要在(－∞，2)上是减函数，－2a ＋22≥2，a ≤－3.4．“x ＜4”是“|x |＜4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件 B 【解析】 ∵||x ＜4⇔－4＜x ＜4⇒x ＜4但x ＜4无法得到－4＜x ＜4.5．与圆C ：x 2＋(y ＋5)2＝3相切，且纵截距和横截距相等的直线共有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．6条C 【解析】 纵横截距相等，直线斜率k ＝±1或直线过原点，则直线过原点时与圆相切的直线有2条，而当k ＝±1时，共有2条，故满足条件的共有4条，选C.6．若tan100°＝a ，则sin80°＝( )A.a1＋a2B ．－a1＋a2C.1＋a2aD ．－1＋a2aB 【解析】 ∵tan100°＝tan(180°－80°)＝－tan80°＝a ，显然a ＜0∴tan80°＝－a ，由⎩⎪⎨⎪⎧sin 280°＋cos 280°＝1sin80°cos80°＝－a 得sin 280°＋(sin80°－a )2＝1⇒sin 280°＝11＋1a2＝a 21＋a 2，∴sin80°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1＋a 2＝－a 1＋a2. 7．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (－1)＝f (5)，则f (1)，f (2)，f (4)的大小关系是( ) A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (1)＜f (4)＜f (2) C ．f (2)＜f (1)＜f (4) D ．f (2)＜f (4)＜f (1)C 【解析】 f (－1)＝f (5)，1－b ＋c ＝25＋5b ＋c ，解得b ＝－4，对称轴x ＝－b2a ＝2，∴|x －2|越大f (x )越大，故选C.8．对于二次函数y ＝x 2－2x －3，下述结论中不正确的是( ) A ．开口向上 B ．对称轴为x ＝1C ．与x 轴有两交点D ．在区间(－∞，1)上单调递增D 【解析】 因为函数y ＝x 2－2x －3可化为顶点式y ＝(x －1)2－4，所以它的单调递减区间为(－∞，1]，故D 错．9．平面四边形ABCD 中，根据向量关系AB →＝2DC →，可推出平面四边形ABCD 为( ) A ．正方形 B ．梯形 C ．菱形 D ．平行四边形B 【解析】 由AB →＝2DC →知，AB ∥DC 但||AB ≠||DC ，所以平面四边形ABCD 是梯形． 10．若x ，y ∈R *，且x ＋y ＝3，则xy 的最大值是( )A.32B.94C.62D ．9B 【解析】 x ＋y ≥2xy ，xy ≤()x ＋y 24，∴当且仅当x ＝y 时取“＝”，即最大值是94.11．方程－x 2＋1＝|x |的解共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 B 【解析】 如图，y ＝－x 2＋1与y ＝|x |显然交于两点．第11题图12．若(x ＋y )n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，那么展开式的项数是( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 B 【解析】 在(x ＋y )n展开式中，第5项T 4＋1＝C 4n x n －4y 4，第7项T 6＋1＝C 6n x n －6y 6，∴C 4n ＝C 6n ，n ＝10，项数是11项．13．设log a 23<1，则a 的取值范围是( )A ．(23，1)B ．(23，＋∞)C ．(0，23)∪(1，＋∞)D ．(0，23)∪(23，＋∞)C 【解析】 log a 23<1⇔lg 23lg a ＜1，当a ＞1时，lg a ＞0，而lg 23＜0不等式成立；当0＜a ＜1时，lg a ＜0，原不等式可化为lg 23＞lg a ，∴23＞a ＞0，综合得0<a <23或a >1.14．函数y ＝sin x ||sin x ＋cos x ||cos x ＋tan x||tan x 的值域是( )A ．{1，3}B ．{－1，3}C ．{－1，0，1，3}D ．{－3，－1，0，1}B 【解析】 分类讨论，当sin x ＞0，cos x ＞0时，y ＝3，当sin x 与cos x 异号时，y ＝－1，当sin x <0，cos x <0时，y ＝－1，所以值域是{－1，3}．15．函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值和最小值是( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1D 【解析】 f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，∵x ∈，－π6≤x ＋π3≤5π6，即f (x )的最大值为2，最小值为－1.16．已知点P (－2，3)，Q (3，2)，直线l 经过点A (－1，0)，且与线段PQ 有公共点，则直线l 的斜率k 满足( )A ．－3≤k ≤12B ．k ≤－3或k ≥12C ．－13≤k ≤2D ．k ≤－13或k ≥12B 【解析】 当过点A ，Q 时，k ＝12，当过点A ，P 时k ＝－3，所以k 的取值范围(－∞，－3)∪(12，＋∞)．17．世界互联网大会乌镇峰会招募志愿者，现从某旅游职业学校6名优秀学生，2名老师中选3人作为志愿者，其中至少有一位老师的选法有______种( )A ．15B ．30C ．56D ．36 D 【解析】 N ＝C 12×C 26＋C 22×C 16＝30＋6＝36.18．用0，1，2，3，4，5可组成没有重复数字的六位奇数的个数是( ) A ．288 B ．360 C ．300 D ．240 A 【解析】 N ＝C 13C 14A 44＝3×4×24＝288.19．抛物线y 2＝4x 上一点P 的横坐标为3，则该点到焦点的距离为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6B 【解析】 准线为x ＝－1，所以P 到准线的距离为4，所以到焦点距离为4. 20．空间三个平面不可能把空间分成( )A ．四个部分B ．五部分C ．六部分D ．七部分 B 【解析】 通过模型三个平面可把空间分成四、六、七部分，不能分成五部分． 二、 填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)21．已知A ＝{x ||x |<1}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∪B ＝____________．{x |x ＞－1} 【解析】 A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x ≥1}，∴A ∪B ＝{x |x ＞－1}． 22．函数y ＝x ＋1x的值域为____________．(－∞，－2]∪(z －x )2－4(x －y )(y －z )＝z 2＋x 2＋2xz ＋4y 2－4xy －4yz ，∵2y ＝x ＋z ，∴(z －x )2－4(x －y )(y －z )＝(x ＋z )2－(x ＋z )2＝0.23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ≤1|x ＋2|，x >1，则f (f (－3))＝__________．6 【分析】 f (－3)＝|－3－1|＝4，∴f (f (－3))＝f (4)＝4＋2＝6. 24．将半径为4m 的半圆围成圆锥的侧面，则圆锥的体积为__________．83π3m 3 【分析】 ∵2πr ＝πl ，∴r ＝12l ＝2，高h ＝l 2－r 2＝16－4＝2 3.∴V ＝13πr 2h ＝13π×22×23＝83π3.25．已知sin θcos θ＝－18，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin θ－cos θ＝____________________．－52 【分析】 (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝54，而θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，故sin θ<0，cos θ>0，sin θ－cos θ<0∴sin θ－cos θ＝－52. 26．若y ＝1－cos 2x －m sin x 的最小值为－4，则m 的值为____________． ±5 【解析】 y ＝sin 2x －m sin x ，最小值为－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝－4m 2<－1或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－4m 2>1或⎩⎪⎨⎪⎧－m 24＝－4－1≤m 2≤1，解得m ＝±5.27．已知抛物线y 2＝6x ，定点A (2，3)，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为____________．72 【解析】 过A 作准线的垂线交抛物线于P ，|PF |＋|PA |＝2＋32＝72. 三、解答题(本大题共9小题，共74分)28．(6分)计算C 89＋sin π2－cos π＋log 927－432.【解】 原式＝9＋1－(－1)＋log 3233－(22)32＝11＋32－8＝92.29．(7分)已知不等式ax 2＋5x ＋b ＞0的解集为{x |13<x <12}，求a ，b 的值．【解】 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13＋12＝－5a 13×12＝b a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝－1.30．(8分)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知A ＝60°，C ＝45°，a ＝2， (1)求sin B 的值； (2)求边长c 的值．【解】 (1)在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6＋24(2)根据正弦定理a sin A ＝C sin C 得C ＝a sin C sin A ＝263.31．(8分)某班有50名学生报名参加两项比赛，其中参加A 项的有30人，参加B 项的有33人，且都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A 项，没有参加B 项的学生有多少人？【解】 设A 、B 都参加的有x 人，都不参加的有y 人．如图所示．第31题图则⎩⎪⎨⎪⎧30－x ＋x ＋33－x ＋y ＝50y ＝13x ＋1，解得x ＝21.∴只参加A 项，没有参加B 项的学生有30－21＝9(人)．32．(9分)某旅游景区，在试营运后一个月内，游客数量直线上升，为了保证景区正常安全运营，后来不得不限制进入景区的游客数量，限流制度实施后，景区内游客数量呈指数下降．游客数量y (万人)与时间x (月)之间满足函数关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx （0≤x ≤1）（14）x －2（x ≥1），如图所示，即开放营运一个月景区内达到最多4万人，之后逐渐减少．第32题图(1)求k 的值；(2)限流制度实施后多久，景区内的人数降到营运后半个月时的数量？【解】 (1)k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4－01－0＝4. (2)运营半月时，游客数量：4×12＝2(万)，由(14)x －2＝2⇔(2－2)x －2＝2⇔2－2x ＋4＝2，∴－2x ＋4＝1，x ＝32，32－1＝12.即限流半个月后，景区人数降到运营后半个月的数量．33.(9分)已知函数f (x )和g (x )的图像关于x ＝1对称，且f (x )＝x 2＋2x . (1)求函数g (x )的解析式； (2)解不等式g (x )＋x 2－1≥f (x )．【解】 (1)∵f (x )图像与x 轴交于(－2，0)，(0，0)，而f (x )与g (x )关于x ＝1对称，∴g (x )与x 轴交点为(2，0)，(4，0)，而且两图像形状相同，∴g (x )＝(x －2)(x －4)＝x 2－6x ＋8.第33题图(2)原不等式⇔x 2－6x ＋8＋x 2－1≥x 2＋2x ⇔x 2－8x ＋7≥0⇔x ≥7或x ≤1. 34．(9分)已知f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1. (1)求函数f (x )的最大值； (2)求函数f (x )的最小正周期．【解】 (1)f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)∴f (x )max ＝2；(2)最小正周期T ＝2π2＝π.35．(9分)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0，则称x0是f(x)的一个不动点，已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．(1)求当a＝1，b＝－2时函数的一个不动点；(2)对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．【解】(1)x2－x－3＝x得x＝－1或x＝3；(2)由题意，ax2＋(b＋1)x＋(b－1)＝x恒有两个相异实数根，得对一切实数b，Δ＝b2－4ab＋4a＞0恒成立，∴16a2－4×4a＜0即a∈(0，1)．36．(9分)某宾馆有客房300间，每间日租金200元，假如全部租出，日收入为60000元．总经理准备提高房价，增加收入，但副总经理说提高价格会减少顾客，减少客房出租数，又造成收入减少．据调查，价格每提高1元，客房出租会减少1间．二位经理各有道理，举棋不定．如果你是总经理，你认为到底要不要提高价格？提高到多少时收入最大？【解】设每间房提高x元，则客房出租数为(300－x)间，则收入为：y＝(200＋x)(300－x)＝－(x －50)2＋62500，当x＝50时，y max＝62500，即每间房提高50元，提高到250元时，收入最高为62500元．。
数学思想与方法模拟测试题D形考
数学思想与方法模拟测试题D形考数学思想与方法模拟测试题D形考一、填空题（每空格3分，共30分）1.算法的有效性是指能够从初始数据出发，使用该算法得到问题的正确解。
2.数形结合方法是在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
3.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以《九章算术》为典范。
4.数学的统一性表现为数学的各个分支相互渗透相互结合的趋势。
5.学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段。
6.在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》。
7.随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。
8.演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
二、判断题（每题4分，共20分）1.对，XXX用一笔画方法解决了哥尼斯堡七桥问题。
2.对，分类方法包括母项与子项。
3.错，算法具有确定性、有限性与有效性。
4.对，理论方法、实验方法和计算方法并列为三种科学方法。
5.错，最早使用数学模型方法的是古希腊人。
三、简答题（每题10分，共50分）1.模型化的方法、开放性的归纳体系及算法化的内容之间的关系答案：模型化的方法、开放性的归纳体系及算法化的内容之间是互相适应并且互相促进的。
各个数学模型之间也有一定的联系，但它们更具有相对独立性。
一个数学模型的建立与其它数学模型之间并不存在逻辑依赖关系。
因此，可以根据需要随时从社会实践中提炼出新的数学模型。
另一方面，由于运用模型化的方法研究数学，新的数学模型从何产生？只有寻找现实原型、立足于现实问题的研究，这就不可能产生封闭式的演绎体系。
为了能够求得实际可用的结果，于是算法化的内容也就应运而生。
解决实际问题还提出了这样的要求：对由模型化方法求得的结果必须能够检验其正确性和合理性。
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一、填空题（每题5分，共25分）
1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解
3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。
5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。
7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合 ）的趋势。
9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。
1．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的（《几何原本》）。
2．随机现象的特点是（在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果 ）。
3．演绎法与（归纳法 ）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
4．在化归过程中应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）。
5．（数学思想方法）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。
6．三段论是演绎推理的主要形式，它由（大前提、小前提、结论）三部分组成。
7．传统数学教学只注重（形式化数学知识，）的传授， 而忽略对知识发生过程中（数学思想方法）的挖掘。
8．特殊化方法是指在研究问题中，（从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。
9．分类方法的原则是（不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分）。
10．数学模型可以分为三类：（概念型、方法型、结构型）。
二、判断题（每题5分，共25分。
在括号里填上是或否）
1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。
（是
2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
（否
3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
（否
4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。
（是）
5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
（否
1．数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。
（否
2．在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。
（是 ）
3．如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。
（ 否）
4．分类可使知识条理化、系统化。
（ 是 ）
5．在建立数学模型的过程中，不必经过数学抽象这一环节。
（否）
三、简答题（每题10分，共50分）
1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？
①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。
因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。
③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？
①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。
《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。
②它在每一章中所设置的问题，都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。
其中有些章就是专门探讨某种数学模型的应用，③例如“勾股”、“方程”等章。
这在世界数学史上是最早的。
因此，我们说最早使用数学模型方法的是中国人。
3．什么是类比猜想？并举一个例子说明。
①人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。
②例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。
因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。
4．简述表层类比，并用举例说明。
①表层类比是根据两个被比较对象的表面形式或结构上的相似所进行的类比。
这种类比可靠性较差，结论具有很大的或然性。
②例如，从ac ab c b a +=+)(类比出βαβαsin sin )sin(+=+是错误的，而类比出
n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→+=+lim lim )(lim 在数列极限存在的条件下是正确的。
③又如，由三角形内角平分线性质，类比得到三角形外角平分线性质，就是一种结构上的类比。
5．数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？试举例说明。
①数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之间的本质联系。
②学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的沿着螺旋式方向上升的。
③例如，学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育；在学习数轴时，要求学生会借助
数轴来表示相反数、绝对值、比较有理数的大小等。
1．我国数学教育存在哪些问题？
①数学教学重结果，轻过程；重解题训练，轻智力、情感开发；不重视创新能力培养，虽然学生考试分数高，但是学习能力低下；②重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏判断力和独立思考能力；③学生学业负担过重。
原因是课堂教学效益不高，教学围绕升学考试指挥棒转，不断重复训练各种题型和模拟考试，不少教师心存以量求质的想法，造成学生学业负担过重。
2．《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求？
《几何原本》贯彻了两条逻辑要求。
①第一，公理必须是明显的，因而是无需加以证明的，其是否真实应受推出的结果的检验，但它仍是不加证明而采用的命题；初始概念必须是直接可以理解的，因而无需加以定义。
②第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律与逻辑规则；同样，通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下定义的逻辑规则。
3．简述数学抽象的特征。
数学抽象有以下特征：①数学抽象具有无物质性；②数学抽象具有层次性；③数学抽象过程要凭借分析或直觉；④数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象
4．什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点的例子。
①算法得有限性是指一个算法必须在有限步之内终止。
②例如，对初始数据20和3，计算过程为
无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断。
如果在某一处中断过程，我们只能得到一个近似的、不准确的结果。
而且如果在某一步中断计算过程已经不是执行原来的算法。
可见，十进小数除法对于20和3这组数不符合算法的“有限性”特点。
5．简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。
①由于数学思想方法往往隐含在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。
②因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。
1．(1)什么是类比推理？(2)写出类比推理的表示形式。
(3)怎样才能增加由类比得出的结论的可靠性？
①类比推理是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。
②类比推理的表示形式为： A 具有性质；及，，，d a a a n Λ21 B 具有性质；，，，n a a a '''Λ21
因此，B 也可能具有性质d '。
③尽量满足下列条件可增加类比结论的可靠性：
A 与
B 共同(或相似)的属性尽可能多些；
这些共同(或相似)的属性应是类比对象A 与B 的主要属性；
这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的不同方面，并且尽可能是多方面的； 可迁移的属性d 应是和n a a a ，，，Λ21属于同一类型。