初中数学常用结论.
初中数学常用二级结论知识点总结
初中数学常用二级结论知识点总结姓名：____________指导：____________日期：____________在做压轴题时，虽不能直接引用，但可预知结果，简化计算和提高思维起点,也是很有用的！一、公式及其变式1、(%+o 乂％ + 6)=不？+(a + Z>)x + c 仍2、6 + / = (a + 6)2 ——2ab = (a - 尸 + 2ab —»,(a + b)2 +(a-b尸(a + b)2 -(a2 +b2) (a-b)1 -(a1八H) ab - -------------------- = -------------23、和的立方公式：(o + 6)3="+3°26+3而？ +/差的立方公式：+4、立方和公式:^+b3=(a+b)(a2-ab + b2)变式:d +b3 =(tz + Z))[(a4-i)2 -3aH5、立方差公式:d-b3 =(a-b)(a2 +ab + b2)变式：ci -b3 =(a-b/K a-b)2 +3aR注意区别：(a+6 + c)2 = cr +A? +c~ + 2cib + 2bc + 2cic(a+6 y +(6 + c), +(a + c)2 =2/ +2b" 4-2c? +2a3 + 26c + 2ac 6、a3 +b3 +e c -3 而c = (a+b+cXo +b? +c2-ab-be-ac)=(a+6+c) • (o —"'(a-)二、数学计算中的常用结论■3+……A±12 22、2+4 + 6+...+2 " =+ 1)3、1十3十5十7十，“十(2”・1)二刃24、12S+3142.../二巡屿生 65、I3 +23+3J + 43+…+n3 = (I + 2+3 + -4-n)2 = "n 人〜6、1 乂2 + 2 乂？+3 乂4+4 乂5+ ・•・ + 〃(》+ 1)=丄◎?•(乃_嗨r kl1IX ................. 三--------我(力+々)刀fk<2 + 6 1 1 8、------------ab a b三、常见几何基本图形及结论:K 厶iDC 二乙A+4 十ZC2. AD,CD 分另ij 平分43C,乙4c3，贝iJN6DC = 90。
初中数学二级结论
初中数学二级结论⼀.公式及其变式1.2.3.和的立方公式：差的立方公式：4.=立方和公式：变式：5.立方差公式：变式：6.⼆.数学计算中的常用结论1.2.3.4.5.6.7.8.三.常见几何基本图像及结论1.∠ADC = ∠A + ∠B +∠C三角形外角=不相邻两内角之和∠ADC = ∠A + ∠ABD∠CDE = ∠C + ∠CBD∴∠ADC = ∠ADE + ∠CDE = ∠A + ∠ABD + ∠CDB+∠C = ∠A + ∠B + ∠C 2.BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，则设∠ABC = 2α，∠ACB = 2β则∠A + 2α + 2β = 180°∴又∵∠BDC + α + β = 180°∴3.BD、CD平分∠CBE和∠BCF，则设∠CBE = 2α，∠BCF = 2β2α = ∠A + ∠ACB，2β = ∠A + ∠ABC∴2α + 2β = ∠A + ∠ABC + ∠A + ∠ACB = 180° + ∠A 又∵α + β + ∠BDC = 180°∴4.BD，CD分别平分∠ABC，∠ACE，则注：2，3，4分别是内心和旁心的性质之一5.BE，CE分别平分∠ABD和∠ACD，则6.在Rt△ABC中，AB = AC，D为斜边BC的中点，∠EDF = 90°。
则①BE = AF，AE = CD②DE = DF③7.（半角模型）正方形ABCD中，∠EAF = 45°，则BE + DF = EF8.在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，∠DAE = 45°，则9.在Rt△ABC中，∠A = 90°，D为斜边BC的中点，且∠EDF = 90°，则10.四边形ABCD中，AC⊥BD，则（特别的，当四边形ABCD为圆内接四边形时有）11.矩形ABCD及任意一点P，都有·12.△ABC中，∠B = 2∠C，AD平分∠BAC，则AB + BD = AC（截长、补短）13.△ABC中，∠B = 2∠C，AD⊥BC，则：AB + BD = CD14.婆罗摩笈多模型婆罗摩笈多模型△DAB，△EAC都是等腰直角三角形，①MN⊥BC，则M为DE的中点②M为DE的中点，则MN⊥BC15.手拉手模型△ABC，△CDE为正三角形，则①AD = BE；②CM平分∠BMD16.正△ABC中，PC = 3，PA = 4，PB = 5，则∠APC = 150°构造等边三角形，通过90°+60°来证明17.Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，若PC，PA，PB分别为1，2，3，则∠APC=135°18.射影定理在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AD为斜边上的高，则①②③19.三角形交平分线定理AD平分∠BAC，则有20.△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，则△ADE∽△ACBAB，AC于E，F，则：△AEF∽△ACB22.等腰直角三角形中的一种几何构造方式在Rt△ABC中，AB=AC，CE⊥BE构造：连AE，过A作AE的垂线交BE于F△EDC∽△ADB∴∠ABD = ∠ACE∠EAC = ∠FAB（都与∠FAD互余）AB = AC∴△ABF≌△ACE（ASA）∴AE = AF四.直线及坐标系知识补充1.两点间的距离公式，则2.中点公式及推论，线段AB中点，则，推论1：，推论2：平行四边形顶点坐标计算：A = B+D-C，D = A+C-B3.一次函数知识补充一次函数（斜截式方程）①k的几何意义：②斜率公式：，则③直线的点斜式方程经过且斜率为k的直线的方程式为：④直线位置与k的关系：则：⑤点到直线的距离公式点到直线（直线的一般式方程）的距离⑥倒角公式：⑦弦长公式：直线与曲线C交于A，B两点，则，（配合韦达定理使用）五.三角函数公式补充1.，2.3.4.5.辅助角公式：六、余弦定理及推论推论：七、正弦定理⼋.三角形的面积及推论推论：九.圆中的重要定理及结论1.相交弦定理2.割线定理3.切割线定理4.弦切角定理∠PAC = ∠ABC5.托勒密定理托勒密定理圆内接四边形ABCD，6.三角形内切圆的切线长公式推论：直角三角形内切圆的半径公式7.四点共圆的两种判定方式①对角互补∠A = ∠DCE或者 ∠A + ∠BCD = 180°，则A，B，C，D四点共圆。
初中数学二次函数二级结论、性质汇总
初中数学二次函数二级结论、性质汇总本文精心整理了初中数学二次函数中的一些优美的二级结论，并给出了详细证明。
许多二次函数压轴题以这些二级结论为背景，熟知这些结论对我们的解题会有很大的帮助。
性质1：如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于B A 、两点， 结论：aAB ∆=. 证明：设()()0,0,21x B x A 、，则21212)(x x x x AB -=-=a c ab x x x x 44)(221212-⎪⎭⎫⎝⎛-=-+=aa acb ∆=-=224.性质2：如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于B A 、两点，与y 轴交于点C ，且O ACB 90=∠， 结论：1-=ac .证明：设()()0,0,21x B x A 、，),0(c C .由射影定理：OB OA OC ⋅=2，得：a cx x c -=⋅-=212，故1-=ac .推论:如图，C B A 、、为二次函数c bx ax y ++=2的图像上三点，x AB //轴，且O ACB 90=∠，AB CD ⊥于D ，记h CD =，结论：ah 1=. 证明：作平移变换，使D 位于新坐标系的原点'O ，由结论2立得.性质3：如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于B A 、两点，顶点为C ，α=∠BAC ， 结论：α2tan 4=∆.证明：如图，由ADCD=αtan 得： ααtan 21tan AB AD CD ==，即： αtan 21442aa b ac ∆⋅=-，即： αtan 214a a ∆⋅=∆，即：αtan 2=∆，即：α2tan 4=∆.推论：(1)当ABC ∆为等腰直角三角形时，4=∆；(2)当ABC ∆为等边三角形时，12=∆；(3)当ABC ∆为顶角O C 120=的等腰三角形时，34=∆.性质4：如图，直线AB 交二次函数2ax y =图像于B A 、两点，且OB OA ⊥，结论：直线AB 过定点)1,0(aM .证明：设()()22,,an n B am m A 、，则 由OB OA ⊥得：1-=⋅OB OA k k ， 即12-=mn a ，)(22n m a nm an am k AB+=--=，2))((:am m x n m a y l AB +-+=，令0=x ，得aamn y 1=-=， 即直线AB 过定点)1,0(aM .性质5：二次函数c bx ax y ++=2的图像上两条弦CD AB //，结论：D C B A x x x x +=+（或AB 中点的横坐标与CD 中点的横坐标相同）.证明：设m kx y l AB +=:，n kx y l CD +=:， 由⎩⎨⎧++=+=c bx ax y m kx y 2得：0)(2=-+-+m c x k b ax ，故abk x x B A -=+， 同理：a bk x x D C -=+，即：D C B A x x x x +=+.性质6：如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像上两定点B A 、，在AB 下方抛物线上找一点C ，使ABC ∆面积最大. 结论：2BA c x x x +=. 证明：要使ABC ∆面积最大，点C 应位于与AB 平行且与抛物线相切的直线上，C 为切点.设m kx y l AB +=:，n kx y l C +=:，由⎩⎨⎧++=+=cbx ax y mkx y 2得：0)(2=-+-+m c x k b ax ，故abk x x B A -=+， 由⎩⎨⎧++=+=cbx ax y n kx y 2得：0)(2=-+-+n c x k b ax ， 0)(4)2=---=∆n c a k b （，此时a b k x c 2-=，即：2BAc x x x +=.性质7：如图，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像与x 轴交于B A 、两点，C 为AB 下方抛物线上一点，过C 作x CE ⊥轴于E ， 结论：BE AE a CE ⋅⋅=.证明：设()()0,0,21x B x A 、，),(33y x C ， 则抛物线方程为：))((21x x x x a y --=， 令3x x =，得：))((23133x x x x a y --=， 于是))((32133x x x x a y CE --==BE AE a ⋅⋅=.性质8：二次函数c bx ax y ++=2的图像上三点),(),(),(332211y x C y x B y x A 、、， 结论：))()((21133221x x x x x x a S ABC ---=∆.证明：如图：过点C 作x CD ⊥轴交AB 于D ，过点A 作CD AE ⊥于E ，过点B 作CD BF ⊥于F .b x x a x xc bx ax c bx ax x x y y k AB++=-++-++=--=)()()(21121212221212 1121)]()([:y x x b x x a y l AB +-++=于是11321)]()([y x x b x x a y D +-++= 于是3y y CD D -=311321)]()([y y x x b x x a -+-++=)()()]()([3231211321c bx ax c bx ax x x b x x a ++-+++-++=)]()([)]()([31311321x x b x x a x x b x x a -+++-++=))(())((1332133121x x x x a x x b ax ax b ax ax --=----++=. 于是BCD ACD ABC S S S ∆∆∆+=)(2121213213x x x x CD BF CD AE CD -+-⋅=⋅+⋅= 1221x x CD -⋅= 121332))((21x x x x x x a -⋅--= ))()((21133221x x x x x x a ---=. 利用上面的方法，我们可以得到抛物线上类似于圆内相交弦定理的一条性质. 性质9：如图，P 为抛物线c bx ax y ++=2内部一点，过P 的两条直线111:m x k y l +=，222:m x k y l +=分别交抛物线于B A 、和D C 、两点， 结论：PD PC k PB PA k ⋅+=⋅+22211111. 证明：过点P 作x PE ⊥轴交抛物线于E ，过点A 作PE AG ⊥于G ，过点B 作PE BF ⊥于F ，设),(),(),(332211y x E y x B y x A 、、.由性质8的证明可得：3y y PE P -=))((1332x x x x a --= BF AG a ⋅⋅=PB k AP k a 21211111+⋅+⋅=PB PA k a ⋅+⋅=2111， 同理可得：PD PC k a PE ⋅+⋅=2211， 于是：PD PC k PB PA k ⋅+=⋅+22211111.性质10：二次函数)0(2>=a ax y 的图像上一点A ，)41,0(a F ，直线ay l 41:-=，过点A 作l AB ⊥于B .（抛物线的定义，)41,0(a F 为焦点，a y l 41:-=为准线），结论：AB AF =.证明：设),(2am m A ，aam AB 412+= 222)41(aam m AF -+= 2242216121am m a m +-+= 222242)41(16121aam a m m a +=++=AB aam =+=412. 性质11：二次函数)0(2>=a ax y 的图像与直线l 相切于点A ，l 与x 轴、y 轴分别交于点B P 、， 结论：PB AP =.证明：设),(2am m A ，过A 的切线方程为：2)(am m x k y +-=，⎩⎨⎧+-==22)(am m x k y ax y 有唯一一组解，得： 022=-+-am km kx ax ，)(422am km a k --=∆2)2(am k -=，由0=∆得am k 2=，所以切线方程为：2)(2am m x am y +-=， 即22am amx y -=， 于是),0()0,2(2am B mP -、， 所以PB AP =.性质12：二次函数)0(2>=a ax y 的图像上一点A ，过点A 作OA BA ⊥交y 轴于点B ，过点B 作//BC x 轴交抛物线于点C ， 结论：BC BA =.证明：设),(2am m A ， 则am k OA =，于是amk AB 1-= 2)(1:am m x amy l AB +--= 令0=x ，得：21am a y B +=在2ax y =中，令21am a y +=得：221m ax C +±= 于是221m a BC +=，2222221)1()0(am am a am m AB +=--+-=， 即：BC BA =.性质13：如图，A 为y 轴正半轴上一点，B 为A 关于x 轴的对称点，过点A 的直线交抛物线)0(2>=a ax y 的图像于D C 、两点. 结论：DBA CBA ∠=∠.证明：设()()22,,an n D am m C 、，)(22n m a nm an am k CD+=--=，2))((:am m x n m a y l CD +-+=，令0=x ，得amn y A -=， 于是)0),0(amn B amn A ，（、-，an am m amn am k BC-=-=2，am an namn an k BD -=-=2，即：BD BC k k -=，故DBA CBA ∠=∠.性质14：过点)41,0(aF 的直线交二次函数)0(2>=a ax y 的图像于B A 、两点（焦点弦）， 结论：a BFAF 411=+. 证明：设()()22,,an n B am m A 、，则)(22n m a nm an am k AB+=--=，2))((:am m x n m a y l AB +-+=，令0=x ，得aamn y F 41=-=， 于是：241a mn -=， a am AF 412+=，aan BF 412+=， 于是：)41)(41(21112222aan a am aan am BF AF BFAF BF AF ++++=⋅+=+ 2222222216141)(21a a n m a n m a a an am +⋅++++= 222422216141)(16121a n m a a a an am +⋅++⋅++=22222281)(41)21(an m a n m a ++++=a an m a n m a 4)21(41)21(222222=++++=a 4=.。
二次函数二级结论初中
二次函数二级结论初中二次函数是初中数学中一个非常重要的部分，也是一个比较难以理解的概念。
在二次函数的学习中，我们需要掌握的二级结论是非常重要的。
在这篇文章中，我们将全面、生动地介绍二次函数的二级结论，帮助大家更好地理解和掌握二次函数的知识。
一、二次函数的二级结论是什么？二次函数的二级结论是指，在二次函数图像中，平移、旋转、翻转等变换操作的规律。
二、如何理解二次函数的二级结论？我们可以从以下几个角度来理解二次函数的二级结论：1.平移变换规律：当二次函数的顶点坐标从（a，b）变成（a+p，b+q）时，函数图像向左移动p个单位，向上移动q个单位。
2.旋转变换规律：当二次函数的顶点坐标从（a，b）逆时针旋转θ角度后，函数图像也逆时针旋转θ角度。
3.翻转变换规律：当二次函数的顶点坐标变成（-a，b）时，函数图像相对于y轴翻转；当二次函数的顶点坐标变成（a，-b）时，函数图像相对于x轴翻转。
以上是二次函数二级结论的几个核心规律，通过深入理解这些规律，我们可以更好地掌握二次函数的知识。
三、如何应用二次函数的二级结论？应用二次函数的二级结论主要有以下几个方面：1.通过平移、旋转、翻转等变换操作来分析和解决实际问题，如模拟抛物线运动等。
2.在二次函数的图像变换中，可以根据其二级结论对函数图像进行精确画图和变换。
3.通过二级结论来区分和掌握不同二次函数的性质，如顶点坐标、对称轴、开口方向等。
通过实际应用和理解二次函数的二级结论，我们可以更好地掌握二次函数的知识，提高数学问题解决能力和数学素养。
总之，二次函数二级结论是初中数学中一个非常重要的知识点，理解和应用二级结论可以帮助我们深入了解二次函数的各种性质和变换规律，具有非常重要的指导意义。
希望大家在学习二次函数的过程中，能够充分理解和应用二级结论，提高自己的数学水平。
初中数学竞赛重要定理及结论(完整版)
C
C
C
C
A
B
M
D B
D
M
A
D
D
A
B
M
A
M
B
【重心】定义：重心是三角形三边中线的交点，
重心的性质：
（1）设 G 为△ ABC 的重心，连结 AG 并延长交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点，则 AG: GD 2 :1；
2
2
2
（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，
若 A 平分线交△ ABC 外接圆于点 K，I 为线段 AK 上的点且满足 KI=KB，则 I 为△ ABC 的
内心；
（4）设 I 为△ ABC 的内心，BC a, AC b, AB c, A 平分线交 BC 于 D，交△ ABC 外接
a H ( cos A
xA
b cosB
xB
c cosC
xC
,
a cos A
yA
b cosB
yB
c cosC
yC
)
abc
abc
cos A cosB cosC
cos A cosB cosC
垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍； （2）垂心 H 关于△ ABC 的三边的对称点，均在△ ABC 的外接圆上； （3）△ ABC 的垂心为 H，则△ ABC，△ ABH，△ BCH，△ ACH 的外接圆是等圆； （ 4 ） 设 O ， H 分 别 为 △ ABC 的 外 心 和 垂 心 ， 则 BAO HAC,CBO ABH,BCO HCA． 【内 心 】三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；
八年级上册数学三角形的角知识点结论
八年级上册数学三角形的角知识点结论在学习八年级上册数学课程中，我们经常会接触到三角形的相关知识。
三角形是初中数学中一个重要的基础概念，而其中的角知识点更是我们需要深入掌握的内容之一。
接下来，我将从简单到复杂，由浅入深地探讨八年级上册数学三角形的角知识点结论。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段所围成的一个平面图形，它是几何中的基本图形之一。
三角形中有三个角，我们需要了解它们各自的特点和性质。
2. 角的概念在三角形中，角是由两条线段所围成的图形部分。
角的大小通常用度来表示，一个完整的圆周角为360度。
在三角形中，我们通常会接触到三种角：内角、外角和对顶角。
3. 内角的性质在三角形ABC中，若角A、角B、角C分别为α、β、γ，则有以下结论：（1）三角形内角和等于180度：α+β+γ=180度；（2）三角形内角和小于等于180度：α+β+γ≤180度；（3）三角形内角和大于180度：α+β+γ≥180度。
4. 外角的性质在三角形ABC中，若角A、角B、角C分别为α、β、γ，则有以下结论：（1）三角形外角和等于360度：180度；（2）三角形外角和小于等于360度：α+β+γ≤360度；（3）三角形外角和大于360度：α+β+γ≥360度。
5. 对顶角的性质在三角形ABC中，若角A、角B、角C分别为α、β、γ，则有以下结论：（1）角A、角B的对顶角相等：α=β；（2）角B、角C的对顶角相等：β=γ；（3）角C、角A的对顶角相等：γ=α。
总结回顾：通过对三角形的角知识点进行全面的评估和分析，我们可以清晰地了解三角形内角、外角和对顶角的性质和关系。
对于三角形的内角和定理、外角和定理以及对顶角定理，我们需要掌握其基本概念和相关的推导过程。
通过反复练习和操练，我们可以更加深入、全面地理解和掌握这些知识点。
个人观点和理解：在学习三角形的角知识点时，我们不仅要注重理论的学习，更需要注重实际问题的应用和解决能力的培养。
初中好用的数学结论
初中好用的数学结论
1.相反数的乘积等于其绝对值的平方。
2.任何一个正整数都能表示为四个整数的平方和。
3. 在直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方之和。
4. 两个相交直线之间的夹角等于它们所对应的两条弧所对应的圆心角的一半。
5. 两个平行直线被截下的对应线段成比例。
6.两个垂直直线之间的距离等于它们所对应的两个点的坐标差的绝对值。
7.反比例函数的图像经过（1，a），且与y轴平行。
8.两个倾斜直线的斜率乘积等于它们的夹角的正切值的相反数。
9.加速度等于速度变化量与时间的比值，即a=Δv/Δt。
10.在三角形中，两边之和大于第三边，任意两角之和小于第三角的度数。
初中数学 8大类基本图形全梳理 附结论
初中8大类基本图形全梳理附结论一、平行线1、若∠1=∠2，∠3=∠4（即同旁内角的角平分线），则两条角平分线互相垂直注：如果是同位角或内错角，则两条角平分线互相平行2、若平行线间有折线，那么左侧锐角之和等于右侧锐角之和即：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6∑∠右∑∠左=二、三角形1、等腰三角形“三线合一”∠B=∠C ，AB=AC○1AD ⊥BC○2∠1=∠2○31==2BD CD BC 2、等边三角形“三心合一”∠A=∠B=∠C ，AB=AC=BC○13条“三线合一”○2内心、外心、重心都是点G3、直角三角形（斜边中线）∠ACB=90°，AD=BD=0.5ABAC ²+BC ²=AB ²（勾股定理）○1AD=CD=BD ，∠1=∠2，∠3=∠4○2当∠B=30°时，△ACD 为等边三角形∠1=∠2=30°4、母子直角三角形∠ACB=∠ADC=90°○1△ADC∽△CDB∽△ACBBC²=AB·BDAC²=AB·ADCD²=BD·ADAC·BC=AB·CD（S△ABC）5、等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=BC∠1=∠2=∠3=∠4=45°○1“三线合一”○2母子直角三角形○3当∠DCE=45°时AD²+BE²=DE²（沿CE、CD翻着）三、特殊线1、中垂线（垂直平分线）AM=BM=0.5AB，CD⊥AB○1中垂线任意一点到线段两端点的距离相等（AC=BC，AD=BD）○2到一条线段两端点距离相等的点在这条线短的中垂线上（至少需要两点确定中垂线）中垂线是所有到线段两端点距离相等的点的集合。
2、角平分线OD为∠AOB的平分线○1EF⊥OD交OD于C时◇1OE=OF，OD⊥EF（“三线合一”）◇2射线OD为EF中垂线○2DG⊥OA，DH⊥OB◇1DG=DH（Rt△全等）◇2到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上（至少需要一个点与角的顶点，确定角度平分线）角平分线是角内到角两边的距离相等的所有点的集合。
初中数学公式大全常用结论
初中数学公式大全常用结论一、数的性质和排列组合1.绝对值性质：a，=a(a≥0a，=-a(a<02.奇数与偶数的性质：若a是偶数，则2a也是偶数。
若a是奇数，则2a也是奇数。
若a和b都是偶数，则ab也是偶数。
若a和b中至少有一个是奇数，则ab是偶数。
3.同底数幂相乘：a^m*a^n=a^(m+n)4.同底数幂相除：a^m÷a^n=a^(m-n)5.同底数幂相乘的幂：(a^m)^n=a^(m*n)6.同底数的幂的整数次幂：(ab)^n = a^n * b^n7.排列组合公式：全排列的总数：An=n!从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数：Amn = n! / (n-m)!从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合数：Cmn = n! /(m!(n-m)!)二、代数运算与因式分解1.同底数幂的乘法：a^m*a^n=a^(m+n)2.同底数幂的除法：a^m÷a^n=a^(m-n)3.同底数乘方的乘方：(a^m)^n=a^(m*n)4.一元二次方程的解：一元二次方程ax^2 + bx + c = 0 (a≠0)的解为x = (-b ±√(b^2-4ac)) / (2a)5.因式分解：a^2+b^2=(a+b)(a-b)(两平方和的因式分解)a^2-b^2=(a+b)(a-b)(两平方差的因式分解)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)6.平方差公式：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2三、平面几何的公式和定理1.直角三角形的勾股定理：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方的和。
定理1：设直角三角形的两直角边长为a和b，斜边为c，则有c^2=a^2+b^22.等腰三角形的特点：等腰三角形的两底角相等，两腰相等。
初中数学几何模型及常见结论的总结归纳,解题一定用得上
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小阳在快乐中成长
百家号02-1221:20
三角形的概念
三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）；②三角形内角和为180°
（外角和为360°）；③三角形的外角等于不相邻的两内角和。
三角形的三线：(1)中线（三角形的顶点和对边中点的连线）;三角形三边中线交于一点（重心）
如图，已知AB，AC的长，求AF的取值范围时。
我们可以通过倍长中线。
利用三角形边的关系在三角形ABD中构建不等关系。
（
）.
(2)角平分线（三角形三内角的角平分线）；三角形的三条内角平分线交于一点（内心）。
【帮帮群】初中数学常用公式结论
初中数学常用公式结论姓名:指导：日期：1 元素与集合的关系:xeAox^C f A t xeCiAox^A.0&A<^A^02集合(《,的,…,〃”｝的子集个数共有2"个；真子集有2“-1个；非空子集有2"-1个；非空的真子集有2”一2个.3二次函数的解析式的三种形式：(1)—般式/(x) = ar2 + +e(a # 0);(2)顶点式f(x)^a(x-h)2+k(a^0);(当已知抛物线的顶点坐标。
以)时，设为此式)(3)零点式/(x) = a(xf )(L FS#0)$ (当己知抛物线与x轴的交点坐标为(x p0),(x2,0)时，设为此式)(4)切线式：/(x) = 〃(x-.q)' + (h + d),(】M0)。
(当己知抛物线与直线y = 々 + d相切且切点的横坐标为橋时，设为此式)4真值表：同真且真，同假或假5常见结论的否定形式；原结论反设词原结论反设词是不是至少宥一不一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(»-1)个小于不小于至多有〃个至少有(〃 +丨)个对所有X,成立存在某X,不成立p或q W且F对任何X,不成立存在某X,成立p且q p或F充要条件：(1)、pnq,姻P足q的充分条件，反之，q是p的必要条件：(2)、pnq,Hq #> p. IMP姑q的充分不必要条件：(3)、p =〉p・llgnp.則P是q的必要不充分条件：4、p => p , ILq H> p,姻PJiq的既不充分乂不必要条件. 7函数単调性：増函数：(1)、文字描述姑：y随x的増大而増大。
(2)、数学符号表述是：设f (x)在KD 上有定义,若对任意的”旳€八，乩5<互.都有J(x {)<f(x 2 )成就.则就叫f (X )在x 《D I ：是増函数.D 则就Jif (x>的递增区间• 減函数：(1)、文字描述是：y 随x 的増大血减小。
初中数学专题： 探究与三角形角平分线有关的几个常见的结论
∴∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB) ＝180°－(90°＋12∠A) ＝90°－12∠A.
3．如图，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD ，且相交于点P.试探究∠P与∠A，∠D之间的数量关系．
解：∵CP 平分∠ACD，BP 平分∠ABD， ∴∠DCP＝∠PCA，∠ABP＝∠PBD. ∵∠D＋∠DCP＝∠P＋∠DBP，∠A＋∠ABP＝∠P＋∠PCA， ∴∠D＋∠A＝2∠P. ∴∠P＝12(∠A＋∠D)．
探究与三角形角平分线有关的 几个常见的结论
教材母题：(教材 P29 复习题 T11)如图，△ ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线 BE，CF 相交于点 G.求证：
(1)∠BGC＝180°－12(∠ABC＋∠ACB)； (2)∠BGC＝90°＋12∠A.
证明：(1)∵BE，CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠GBC＋∠GCB＝12(∠ABC＋∠ACB)． ∴∠BGC＝180°－(∠GBC＋∠GCB) ＝180°－12(∠ABC＋∠ACB)． (2)由(1)知∠BGC＝180°－ 12(∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋ ∠ACB＝180°－∠A， ∴∠BGC＝180°－12(180°－∠A) ＝90°＋12∠A.
2．如图，点P是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线的交 点，试探究∠P与∠A之间的数量关系．
解：∵∠EBC＝∠ACB＋∠A， ∠FCB＝∠ABC＋∠A， ∴∠EBC＋∠FCB＝∠ACB ＋∠A＋∠ABC＋∠A＝ 180°＋ ∠A. ∵BP，CP 分别是∠EBC，∠FCB 的平分线， ∴∠PBC＝12∠EBC，∠PCB＝12∠FCB. ∴∠PBC＋∠PCB＝12(∠EBC＋∠FCB)＝12(180°＋∠A)＝90° ＋12∠A.
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初中数学常用结论1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc, 那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交d＜r ②直线L和⊙O相切d=r ③直线L和⊙O相离d＞r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r ③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a／4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4144弧长计算公式：L=n兀R／180145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2146内公切线长= d公式分类公式表达式乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h 正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2 圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l -(R-r) 外公切线长= d-(R+r)。