数的整除特征47662
小学整除知识点总结
小学整除知识点总结一、整除的概念整除就是某个数，除尽了另一个数，即余数为0。
例如8 ÷ 4 = 2，9 ÷ 3 = 3，都是整除的情况。
其中8被4整除，9被3整除。
二、整除的特点1. 被除数是整除数的整倍数；2. 如果一个数能被2整除，那么它一定是偶数；3. 如果一个数能被3整除，那它的各位数字之和也是3的倍数；4. 如果一个数能被5整除，那么它的末尾数字必须是0或5；5. 如果一个数能被6整除，那么它既能被2整除，也能被3整除；6. 如果一个数能被9整除，那么它的各位数字之和也是9的倍数。
三、整除的判断方法整除的判断方法有多种，根据题目要求选择不同的方法来进行计算。
下面列举一些常见的整除判断方法：1. 除数能否整除的判断方法：可以直接将被除数÷除数得到商，如果商为整数，则被除数能被除数整除；2. 末尾数字的规律判断：对于末尾为0、2、4、6、8的数，能被2整除；对于末尾为0、5的数，能被5整除；3. 各位数字之和判断：对于各位数字之和能被3、6、9整除的数，能被3、6、9整除。
四、整除的应用整除运用非常广泛，不仅在数学中应用广泛，也涉及到日常生活中的计算。
下面列举一些整除在日常生活中的应用：1. 购物找零：购物时，有时需要进行找零，这就需要进行整除的运算。
2. 时间计算：小时和分钟的计算也需要进行整除运算，如几点钟开始上课，几点钟下课等。
3. 数学题中的应用：解决数学题中的知识点，有时需要用到整除的运算方式。
总结：小学整除作为数学学习的重要知识点之一，在日常生活中也有着广泛的应用。
掌握整除的相关知识和技巧，除了能够帮助孩子们更好地学习数学知识外，也能够帮助他们在日常生活中更好地解决实际问题。
因此，家长和老师应该引导孩子们认真学习整除知识，并能够帮助他们将整除知识与日常生活相结合，更好地掌握和应用整除的相关知识。
数的整除特征
数的整除特征知识概要数的整除特征具有较强的实际意义，常用的数的整除特征如下：1、能被2整除数的特征：个位数字是０、2、4、6、8的数能被2整除。
2、能被5整除的数的特征：个位数字是0和5的数能被5整除。
3、能被3（或9）整除的数的特征：各位数字和能被3（或9）整除。
这个数能被3（或9）整除。
4、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
5、能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
6、能被7（或11或13）整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（或11或13）整除。
、7、能被11整除的数的特征：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）能被11整除。
例题解评例1、如果六位数12x40y 能被72整除，试求此六位数。
思路点拨：因为六位数12x40y 是72的倍数，且72=9×8 ，所以12x40y既是8的倍数又是9的倍数。
据能被8整除的数的特征，知40y是8的倍数。
（1）当y=0时，根据1＋2＋x＋4是9的倍数，且0≤x≤9可得x=2（2）当y=8时，根据1＋2＋x＋4＋8是9的倍数，且0≤x≤9可得x=3所以所求的六位数是122400或123408。
例2 、一个四位数，减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数603A ，试求出A。
思路点拨：设这个四位数为abcd , 则abcd=1000×a＋100×b＋10×c＋d,它的各位数字之和为a＋b＋c＋d。
于是有：abcd-（a＋b＋c＋d）=1000×a＋100×b＋10×c×d－（a＋b＋c＋d）=999×a＋99×b＋9×c=9×（111×a＋11×b＋c）.这表明“一个自然数减去它的各位数字之和后，所得之差一定是9的倍数，”由已知这个差等于603A ，由此就可求出A来。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。
数的整除特征
一、1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.二、能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
三、能被3整除的数的特征1，若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
2，由相同的数字组成的三位数、六位数、九位数……这些数字能被3整除。
如111令3整除。
四、能被4整除的数的特征X z若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
五、能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
六、能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
七、能被7整除的数的特征1.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
同能被17整除的数的特征。
2.末三位以前的数与末三位以后的差（或反过来）。
同能被11,13整除的数的特征。
八、能被8整除的数的特征若一个整数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
九、能被9整除的数的特征若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
十、能被10整除的数的特征若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
十一、能被11整除的数的特征若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！十二、能被12整除的数的特征若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
其他辨别方法十三、能被13整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止。
三年级春季班总结(第三讲数的整除特征)
第三讲：数的整除特征一、什么是整除如果a、b、c是整数，b≠0，且a÷b=c，则称a能被b整除。
同时，我们可知，a是b 的倍数。
注意：1、不为0的整数能被自己整除；2、0能被所有不为0的整数整除。
二、数的整除特征（一）看尾巴（分苹果思路）1、看末一位10=2×5，整十的数都能被2、5整除，所以能被2、5整除的数的特征只看个位。
能被2整除的数：个位是0、2、4、6、8能被5整除的数：个位是0、5例 由0、3、5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？解析：能被5整除的数个位上是0或5，当是0的时候，可以组成350、530，当是5的时候，可以组成305。
2、看末两位100=4×25，整百的数都能被4、25整除，所以能被4、25整除的数的特征只看末两位。
能被4整除的数：末两位能被4整除能被25整除的数：末两位能被25整除（00、25、50、75）3、看末三位1000=8×125，整千的数都能被8、125整除，所以能被8、125整除的数的特征只看末三位。
能被8整除的数：末三位能被8整除能被125整除的数：末三位能被125整除（000、125、250、375、500、625、750、875）（二）看各位之和1、能被3整除的数：各个数位上的数字之和是3的倍数2、能被9整除的数：各个数位上的数字之和是9的倍数注意：能被6整除的数的特征不符合这条规律！窍门：口算时可先去掉3/9的倍数例 判断 33162793 能否被3整除解析：3+3+1+6+2+7+9+3=34，34不是3的倍数，所以这个数不能被3整除快速口算法：先去掉3及3的倍数，33162793 ，2+7=9，也是3的倍数，也可划掉，最后只剩1，不是3的倍数，故这个数不能被3整除。
例 判断99999991827能否被9整除解析：快速口算法：先去掉9，只用算1+8+2+7，显然1+8是9的倍数，2+7也是9的倍数，故这个数能被9整除。
必备小升初数学知识点之数的整除
必备2019小升初数学知识点之数的整除数学在人的生活中处处可见，息息相关。
若能良好的使用数学，则能使我们的生活变得更加快捷。
下面为大家分享小升初数学知识点之数的整除，欢迎阅读参考学习!数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1.如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
四、经典例题：例、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少?考点：数的整除特征.分析：设补上的三个数字组成三位数是abc，由这个七位数能被2，5整除，说明c=0;由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b能被3整除;再由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除;最后由所组成的七位数应该最小，因而取a+b=3，a-b=1，从而a=2，b=1.进而解答即可;解答：解：设补上的三个数字组成三位数是abc，由这个七位数能被2，5整除，说明c=0;由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b能被3整除;由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除;由所组成的七位数应该最小，因而取a+b=3，a-b=1，从而a=2，b=1.所以这个最小七位数是1992210.[注]学生通常的解法是：根据这个七位数分别能被2，3，5，11整除的条件，这个七位数必定是2，3，5，11的公倍数，而2，3，5，11的最小公倍数是2×3×5×11=330.这样，1992019÷330=6036…120，因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数，即1992019+(330-120)=1992210.以上是为大家分享的小升初数学知识点之数的整除，希望大家能够认真学习，同时希望大家能够在考试中取得优异的成绩！。
第一节 整除意义、特征和性质
第一讲数的整除第一节整除的意义与特征、性质一、整除的意义当两个整数a和b（b≠0），a除以b商为整数余数为零时，则称a能被b整除或b 能整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的因数，记作b|a，如果a 除以b所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b|a.二、整除特征（1）1与0的特性：1是任何整数的因数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的个位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的个位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（7）若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
（9）如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）能被7（11、13）整除，这个数就能被7（11、13）整除。
例题讲解例1：（1）判断47382能否被3或9整除？（2）判断1548764能否被7整除？（3）判断42559，7295872能否被11整除？例2：从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有多少个？例3：四位数7a2b能被2，3，5整除，这样的四位数有几个？分别是多少？例4：求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。
例5:用0，1，3，5，7这五个数字中的四个数字，可以组成许多没有重复数字的四位数，其中能被11整除的最小四位数是多少?例6：一个六位数，它能被9和11整除。
去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是1997，那么这个六位数是。
练习1、能被4整除的最大四位数是________，能被8整除的最小四位数是_______。
数的整除特征(基础篇)
数的整除特性(上)之阳早格格创做什么是整除？若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为整.咱们便道a能被b整除(或者道b能整除a)，记做b|a，读做b整除a或者a能被b整除.罕睹数的整除特性：终位系：2，5：瞅终一位4，25：瞅终二位8，125：瞅终三位数字战系：3，9：瞅数字战数字好系：11：瞅奇位战取奇位战的好7，11，13系列：⑴瞅多位数的终三位战前里部分之好是可被7，11，13整除；⑵把数从终三位启初，三位为一段断启，只需瞅奇数段的战取奇数段的战的好是可为7，11，13的倍数.罕睹整除本量：⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除.⑵如果二个数皆能被一个自然数整除，那么那二个数的战取好皆能被那个自然数整除.⑶如果一个数能分别被几个二二互量的自然数整除，那么那个数能被那几个二二互量的自然数的乘积整除.(★★★)二个四位数275A 战275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，供A 战B .(★★)正在□里挖上适合的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25战8整除.例1例2例3(★★★)四位奇数64能被11整除，供出所有谦脚央供的四位数.例4(★★★)正在所有五位数中，诸位数字之战等于43且不妨被11整除的数有哪些？例5【先睹为快】将三位数3ab 连绝沉复天写下去，同写2005个3ab ，所得的数20053333abab ab ab 个正佳是91的倍数，试供ab ＝___________. (★★★)能没有克没有及将从1到10的各数排成一止，使得任性相邻的二个数之战皆能被3整除？(★★★★)请用1，2，5，7，8，9那六个数字(每个数字至多用一次)去组成一个五位数，使得它能被75整除，并供出那样的五位数有几个？例6。
士兵提干：数学运算秒杀之整除特性
数学运算秒杀之整除特性首先我们了解一下整除特性是什么？我们把两个整数相除，得到的商也是整数的过程称为整除。
2的整除特性：末位数能被2整除，那么这个数就能被2整除；4的整除特性：末两位数能被4整除，那么这个数就能被4整除；8的整除特性：末三位数能被8整除，那么这个数就能被8整除；3的整除特性：一个数的各个位数字之和能被3整除，则这个数字就能被3整除；9的整除特性：一个数的各个位数字之和能被9整除，则这个数字就能被9整除；7，11，13的整除特性：能被7，11或13整除的数的特征是这个数的末三位数字与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除。
利用整除特性解题，能大大缩短做题速度提高做题精度。
下面我们就通过几个例子来具体介绍一下整除特性的应用。
【题目1】师徒二人负责生产一批零件，师傅完成全部工作数量的一半还多30个，徒弟完成了师傅生产数量的一半，此时还有100个没有完成，师徒二人已经生产多少个?（）A.320B.160C.480D.580【答案】C【准维解析】本题如果通过列方程来解决稍费时间，但如果利用整除特性会更快。
由于徒弟完成的数量是师傅的一半，则师徒二人已经生产的零件个数是3的倍数，因此答案选C。
【题目2】某单位组织员工去旅游，要求每辆汽车坐的人数相同。
如果每辆车坐20人，还剩下2名员工;如果减少一辆汽车，员工正好可以平均分到每辆汽车。
问该单位共有多少名员工?()A.244B.242C.220D.224【答案】B【准维解析】这道题是道余数问题，如果运用常规方法也就是列方程法，会增加考生的做题时间，不利于考生的发挥。
根据题意，这道题可以采用整除特性思想，也就是总人数减去2后是应该是20的倍数。
四个选项只有第二个选项即242满足条件，所以选择B。
【题目3】甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书?()A.75B.87C.174D.67【答案】B【准维解析】利用整除特性求解，结合代入排除法。
特殊数的整除特征
特殊数的整除特征几个重要的整除特征：（1）能被2整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被2整除，这个数就能被2整除。
（2）能被3整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
（3）能被4整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被4整除，这个数就能被4整除。
（4）能被5整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被5整除，这个数就能被5整除。
（5）能被7整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被7整除，这个数就能被7整除。
（6）能被8整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被8整除，这个数就能被8整除。
（7）能被9整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被9整除，这个数就能被9整除。
（8）能被11整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被11整除，这个数就能被11整除；或者一个数的奇数位上数字的和与偶数位上的数字和的差能被11整除，这个数就能被11整除。
（9）能被13整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被13整除，这个数就能被13整除。
（10）能被25整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被25整除，这个数就能被25整除。
（11）能被125整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被125整除，这个数就能被125整除。
例1、在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被4整除，也能被3整除。
练习：1、在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。
这个六位数最小是多少？2、有一个四位数3AA1，它能被9整除。
A代表的数字是几？3、在□内填上合适的数，使六位数8□12□能被125整除，也能被9整除。
例2、有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。
它们的前四位都是9876，而末位数字不同。
求这两个五位数的和。
数的整除特征基础篇
数的整除特征(上)什么是整除？若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。
我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a，读作b整除a或a能被b整除。
常见数的整除特征：末位系：2，5：看末一位4，25：看末两位8，125：看末三位数字和系：3，9：看数字和数字差系：11：看奇位和与偶位和的差7，11，13系列：⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除；⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。
常见整除性质：⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
例(★★★)四位偶数64WW能被11整除，求出所有满足要求的四位数。
(★★★)两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。
(★★)在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
例例例(★★★)在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？例(★★★★)请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？例(★★★)能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？【先睹为快】。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。
（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。
奥数专题——数的整除特性PPT课件
能被整除的数的特征
2或5 4或25 8或125
末位数能被2或5整除 末两位数能被4或25整除 末三位数能被8或125整除
7、11、13 一个整数的末三位与末三位以前 的数字组成的数的差能被7，11或 13整除
.
14
.
15
数的整除特征
奥数专题
下列数字哪些能被2整除，哪些能被5 整除？
① 125，②756， ③1011， ④2450， ⑤7855 ,⑥8104，⑦9152，⑧70975
能被2整除：②、④、⑥、⑦ 能被5整除：①、④、⑤、⑧
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2
（一）数的整除特性：
如果具有某个条件的数，都能被 整数b整除，反过来，能被b整除的 数，都具有这个条件，那么这个条 件就叫做被b整除的数的特征.
.
3
（二）数的整除特征 1.能被2或5整除的数的特征是： 这个数的末 一位能被2或5整除. 2.能被4或25整除的数的特征是： 这个数的末两位能被4或25整除. 3. 能被8或125整除的数的特征是： 这个数的末三位能被8列整数 ①53728， ②375， ③1011， ④328925，⑤8421862，⑥8150， ⑦73600，⑧309108.
（3）能被8整除的最小四位数是
，
最大三位数
..
.
7
练习1
（2）当m＝ 7 时，能被25整除.
（3）能被4整除的最大四位数___9996__.
（4）能被8整除的最小四位数是 1000 ，
最大三位数 992
..
.
8
（二）数的整除特征
1.能被2或5整除的数的特征是：
这个数的末 一位能被2或5整除.
2.能被4或25整除的数的特征是：
2022年教师招聘数学知识点：整除的特征
2022年教师招聘数学知识点：整除的特征
整除的特征：
被2整除的数的特征：个位数为0，2，4，6，8，也就是说这个数要为偶数；
被3(或9)整除的数的特征：各位数字和能被3(或9)整除；被4(或25)整除的数的特征：数字的后两位能被4(或25)整除；被5整除的数的特征：数字的个位为0或5；
能被8(或125)整除的数的特征：数字的后三位能被8(或125)整除。
这些是整除特征中，比较常见的除数，是教招考试中大家必须掌握的知识点。
当然还有，比如说被7整除的数的特征：截去整数的个位数字，余下的数字，减去各位数字的2倍，若差能被7整除，则这个数字就能够被7整除；被11整除的数的特征：将奇位数字与偶位数字分别加起来，求它们的差，若差能被11整除，则这个数字就能够被11整除。
对于这些，大家可以一起记忆。
这些知识点是大家在小学的时候就接触过的，说起来并不陌生，有种很熟悉的感觉。
但是当问到为什么的时候，大家却一脸茫然，比如：为什么被3整除的数字特征是各个数字的和能被3整除。
也就是说，有些时候，考生只是停留在知识点的表面，其实作为即将成为数学老师的你们，可以多问问自己为什么。
比如说上面这个问题，
是不是可以亲身去证明一下。
假如说一个3位数abc，那么abc=aX100+bX10+c=99a+9b+(a+b+c)，因为99a+9b 能被3整除，如果a+b+c能被3整除，那么abc就能够被3整除，这个问题就得到了解决。
数字的整除与最小公倍数
数字的整除与最小公倍数数字的整除和最小公倍数是数学中常见的概念，在数学运算中起到重要的作用。
本文将介绍数字整除和最小公倍数的定义、性质，并通过实际例子来说明其应用。
一、数字的整除数字的整除是指一个数字是否可以被另一个数字整除，如果可以整除，则称被除数能够被除数整除，或者说除数是被除数的约数。
例如，数字10可以被数字2整除，可以用符号表示为10÷2=5，即10除以2等于5，因为整除结果是整数。
而数字3不能被数字2整除，因为3÷2的结果不是整数，所以3不能被2整除。
数字的整除有以下性质：（1）任何数字都可以被1整除，且1是任何数字的约数。
（2）任何数字都可以被自身整除，即任何数字都是自身的约数。
（3）除数如果是被除数的约数，则被除数一定能够被除数整除。
（4）如果一个数字能够被两个不同的数整除，那么它一定能够被这两个数的最大公约数整除。
二、最小公倍数最小公倍数是指两个或多个数字共有的倍数中最小的一个数。
求两个数字的最小公倍数可以通过求其最大公约数来实现。
例如，数字6和数字8的最小公倍数是24，因为24是能够同时被6和8整除的最小正整数。
求最小公倍数的方法一般有两种：（1）分解质因数法：将两个数字分别分解成质因数的乘积，然后取每个质因数的最大次数来组成最小公倍数。
例如，求12和20的最小公倍数，先分解质因数得到12=2²×3和20=2²×5，其中2的最大次数为2，3的最大次数为1，5的最大次数为1，所以最小公倍数为2²×3×5=60。
（2）最大公约数法：先求出两个数字的最大公约数，然后用两个数字的乘积除以最大公约数，即可得到最小公倍数。
例如，求18和30的最小公倍数，先求最大公约数，18=2×3²，30=2×3×5，最大公约数为6，然后用两个数字的乘积除以最大公约数，即(18×30)/6=90，所以最小公倍数为90。
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数的整除特征
1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。
2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。
4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9
或3整除。
5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。
【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一
能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？
【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位
数。
问：这样的三位数有几个？
【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了6
问：每本词典多少钱？
【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。
【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？
【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？
数的整除专项练习：
1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位数共有几个？
2、在
内填上合适的数使七位数
能被72整除。
3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。
4能被11整除，求这个六位数。
5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？
6、一个六位数37A46B 一一一一一一一一
是99的倍数，求这个数除以33的商。
7、在15整除？填上什么数字就能被45整除？填上什么数字就能被21整除？
8、四年级有72名学生，共交5内的数字模糊不清）。
平均每人交多少钱？
9、四位数能被2和3中应填（）。
10、在下列各数中，能被3整除，又能被11整除的是（）。
1001 2375 1155 3772 1515 8415
11、在里填上适当的数字，使这个数能同时被2、5、9整除。
12、一个数能被11整除，首位数字是7，其余各位数字各不相同的最小六位数是什么？
13能被33整除，那么这个六位数是多少？
14、能同时被9、25、8整除的7 ，这个七位数是多少？
15、五位数2A89B 一一一一一一一
能同时被4和9整除，求这样的五位数。
16、自然数1—100中，共有多少个不能被3或11整除的数？
17、判断306741， 3287690 能否被7整除，能否被13整除？
18、五（1）班数学测验平均分90分，总分A86B 一一一一一一。
问这个班多少名同学？
19、七位数72AAABB 是6的倍数，问，这样的七位数有几个？
20、在1—100这100个自然数中，不能被2整除，或者不能被3整除，不能被5整除
的数有几个？
质数与合数，分解质因数
1、质数:只能被1或它本身整除的自然数。
合数：除了能被1和它本身整除外还能被其他一些自然数整除的数。
2、质数除了2以外，其余的全都是奇数。
3、100以内质数顺口溜：二、三、五、七、一十一，
一三、一九、一十七，
二三、二九、三十七，
三一、四一、四十七，
四三、五三、五十九，
六一、七一，六十七，
七三、八三，八十九，
还有七九，九十七。
【例1】A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，求A。
【例2】有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是143，如果它的长、宽、高都是质数。
那么这个长方体的体积是多少？
【例3】有4名同学参加数学夏令营，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，而他们年龄的乘积是17160.他们分别是多少岁？
【例4】写出从小到大的五个质数，要求后面的质数都比它前面一个质数大12。
【例5】（1）如果两个质数的和是1999，那么这两个质数的积是多少？
（2）如果三个质数和是130，那么这三个质数的积最大是多少？
【例6】小瑜同学参加高年级数学竞赛，她的成绩、名次及年龄的乘积是3492。
问：小瑜的年龄、名次、成绩各是多少？
分解质因数专项练习：
1、写出50以内5个连续自然数，要求每个数都是合数。
2、把一个一位数的质数A，写在另一个两位数质数B的后面，得到一个新的三位数，这个三位数是A的119倍，求A和B。
3、一个整数a 与720相乘是一个完全平方数，求a的最小值。
4、有五位同学的年龄恰好一个比一个大一岁，五个人的年龄乘积是95040。
问：这五个同学的年龄各是多少？
5、一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100，求这两个质数的积是多少？
6、岸上有867名学生，准备乘船到对岸，来了一批小船，每船载人数相等，3次往返把学生全部运到对岸。
有多少只船？每船每次载多少人？
7、用2,3,4,5中的3个数码能组成的三位质数是（）。
8、已知M×N+5=ᵡ，其中M,N,为质数，而且都小于1000，ᵡ为奇数，问ᵡ最大是多少？
9、3个质数的和是能被2、3整除的最小三位数，这3个质数的积最小是多少？最大是多少？
10、长方体的体积是2100立方厘米，它的高是10厘米，长和宽都大于高。
求长方体的长和宽各是多少？
11、一个长方体，它的正面和上面面积之和是299平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
奇偶数分析：
1、能被2整除的自然数叫偶数，不能被2整除的自然数叫奇数。
依据因数、被除数、除数的奇偶性可判断积、商的奇偶性；依据加数、被减数、减数的
奇偶性可判断和、差的奇偶性。
2、奇、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数;奇数±偶数=奇数；奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数；奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数；任意个偶数和是偶数；奇数的连乘积是奇数；因数中有一个偶数，积是偶数。
【例1】1+2+3+…+1997的和是奇数还是偶数
【例2】有一本180页的故事书，从中任意撕下40张纸，这40张纸的所有页码之和能否等于2009？请说明理由。
【例3】某次数学竞赛，试卷共有30道题，评分方法是：答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分。
问：某班参加数学竞赛同学的总分是奇数还是偶数？
【例4】有11只杯口向上的杯子放在桌上，每次将其中8只杯同时翻转，使其杯口向下，能否经过若干次翻动后，11只杯口全部向下？
【例5】幼儿园有25名小朋友，坐成5行5列。
每个座位的前后左右的位置叫做这个位置的邻座。
如果想让每一个小朋友都换到邻座上去，能成功吗？为什么？
【例6】某展览馆共有36个陈列室，相邻两室之间都有门通行，有人希望每个展览馆只去一次，你能帮他设计参观路线吗？
奇偶数分析专项练习：
1、25人参加羽毛球比赛，能不能让每个队员都恰好与另5个球员各赛一场，为什么？
2、电影院小放映厅有50个观众，坐成10行5列。
每个座位的前后左右的位置叫做这个位置的邻座。
如果想让每一个观众都换到邻座上去，能成功吗？为什么？
3、从1—1995中，共有多少个奇数？多少个偶数？
4、（1+2+3+4+5+...+99+100）×（1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+...+11）的积是奇数还是偶数？
5、49个学生做游戏，每一次都有8个学生向后转。
能不能经过若干次的向后转，使每个学生全部都转过身去？
6、五年级二班参加数学竞赛，试题共有50道。
评分标准是：答对一题得3分，不答得1分，答错倒扣1分。
问：请你说明这个班参加数学竞赛同学的总分一定是偶数。
7、能不能用8张1×3的长方形纸片完全盖住下面的图。
8、正方形的展厅如下图，共分16个展室，每个展室之间互通，你能不能设计一条路线，使参观的人不重复地走完全部展室？。