线性代数3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
初等行变换求逆矩阵的原理
初等行变换求逆矩阵的原理一、引言矩阵是线性代数中非常重要的概念，而矩阵的逆也是一个重要的概念。
在实际问题中，我们经常需要求解矩阵方程，而求解矩阵方程往往需要使用到矩阵的逆。
初等行变换求逆矩阵就是一种有效的方法，本文将详细介绍初等行变换的原理以及如何利用初等行变换求逆矩阵。
二、初等行变换的定义初等行变换是指对矩阵进行一系列的行变换操作，可以将一个矩阵变换为其它特定形式的矩阵。
初等行变换主要包括以下三种操作：1.交换两行：将矩阵中的两行进行交换；2.乘以非零常数：将矩阵中的某一行的元素全部乘以一个非零常数；3.两行相加（或相减）：将矩阵中的某一行的元素与另一行的元素进行加法（或减法）运算。
三、初等行变换对矩阵的影响初等行变换对矩阵的影响主要体现在矩阵的行空间和列空间上。
1.交换两行对矩阵的行空间和列空间不产生影响，只是改变了矩阵的行的顺序；2.乘以非零常数会使矩阵的行空间和列空间缩放；3.两行相加（或相减）会使矩阵的行空间发生线性组合改变，但不会改变列空间。
四、初等行变换求逆矩阵的原理逆矩阵是指对于一个方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
矩阵A存在逆矩阵的充分必要条件是A是可逆矩阵，也就是行列式不为零。
对于可逆矩阵A，我们可以通过初等行变换的方式来求解其逆矩阵。
求解可逆矩阵的逆矩阵可以遵循以下步骤：1.将原矩阵A和单位矩阵I进行横向合并，得到增广矩阵[A|I]；2.通过一系列的初等行变换将矩阵[A|I]变换为[I|B]，其中B为A的逆矩阵；3.得到矩阵B，即为矩阵A的逆矩阵。
五、初等行变换求逆矩阵的算法步骤利用初等行变换求解逆矩阵的算法步骤如下：1.初始化矩阵[A|I]，其中A为原矩阵，I为单位矩阵；2.对矩阵[A|I]进行初等行变换，直到得到[I|B]为止；3.得到矩阵B，即为矩阵A的逆矩阵。
具体的初等行变换操作可以根据具体的矩阵来决定，常用的初等行变换操作包括：1.交换两行；2.乘以非零常数；3.两行相加（或相减）。
求逆矩阵的四种方法
求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。
但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。
下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。
而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。
伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。
3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。
当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。
假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。
4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。
当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。
综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。
初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。
《线性代数》3.2矩阵的初等变换与初等矩阵
r1 r3 1 0 r2 r3 0 1 再r3 2 0 0 2 A 4 1 3
0 0 1
1 2 1
2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2
x1 BE3 1, 2 y1 x2 y2
x2 y2
0 1 0 x3 1 0 0 y3 0 0 1
x1 x3 y1 y3
1 3 0 a1 a2 E3 1, 2 3 A 0 1 0 b1 b2 0 0 1 c c 1 2 a1 3b1 a2 3b2 b1 b2 c c 1 2
ri krj ci kc j
初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
2.等价 定义3.2.2
若矩阵A 经过有限次的初等行变换变成 B，
r 则称矩阵A与矩阵B 行等价，记为 A B
若矩阵 A 经过有限次的初等列变换变成B，
则称矩阵A与矩阵B 列等价，记为 A
c
B
若矩阵 A经过有限次的初等变换变成B， 则称矩阵A与矩阵B 等价，记为 A B
ET i, j E i, j ；ET i k E i k ； E i j k E j i k .
T
定理3.2.1 对于一个m×n 矩阵 A进行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对A施行 一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶
初等矩阵. 验证 设初等矩阵为三阶的.
0 1 0 E3 1, 2 1 0 0 0 0 1 x1 B y1
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
【全版】线性代数初等变换与逆矩阵的初等变换求法副本推荐PPT
例: 下面是几个4阶初等矩阵：
换法矩阵
1000
1000
E=
0100
r2r4
———
000
1 =E(2, 4)
0010
0010
0001
0100
1000
1000
E= 0
1
0
0
c2c4
———
0
0
0
1 =E(2, 4)
0010
0010
第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
r3-3r1
———
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
《线性代数》
返回
下页
结束
6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k消法变换
0010
0040
0001
0001
1000
1000
E=
0100
4 c3
———
010
0 =E(3(4))
0010
0040
0001
0001
《线性代数》
返回
下页
结束
6.2 初等矩阵
对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
求矩阵的逆矩阵的方法
求矩阵的逆矩阵的方法矩阵的逆矩阵是线性代数中的重要概念，它在解线性方程组、计算行列式和求解线性变换等问题中具有重要的应用价值。
在实际问题中，我们经常需要求解矩阵的逆矩阵，因此掌握求解逆矩阵的方法对于深入理解线性代数具有重要意义。
本文将介绍几种常用的求解矩阵逆的方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
方法一，代数余子式法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式|A|不等于0，则矩阵A是可逆的，即存在逆矩阵A^(-1)。
我们可以通过代数余子式的方法来求解矩阵的逆矩阵。
首先，我们需要计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)，然后利用公式A^(-1) = adj(A)/|A|来求解逆矩阵。
这种方法在理论上是可行的，但在实际计算中可能会比较复杂，尤其是对于高阶矩阵来说，计算量会非常大。
方法二，初等变换法。
初等变换法是一种比较直观和简单的方法，它通过一系列的初等行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵通过相同的初等行变换变换为逆矩阵。
这种方法在实际计算中比较方便，并且适用于各种情况，但是需要进行大量的计算，对于高阶矩阵来说，计算量也会比较大。
方法三，矩阵分块法。
矩阵分块法是一种比较灵活和高效的方法，它将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后通过一定的变换将原矩阵变换为单位矩阵，再将单位矩阵变换为逆矩阵。
这种方法在理论上和实际计算中都比较方便，尤其适用于特殊结构的矩阵，如对称矩阵、三对角矩阵等。
但是对于一般的矩阵来说，可能会比较繁琐。
方法四，Gauss-Jordan消元法。
Gauss-Jordan消元法是一种经典的求解逆矩阵的方法，它通过一系列的行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵变换为逆矩阵。
这种方法在实际计算中比较高效和方便，尤其适用于计算机程序实现。
但是对于特殊结构的矩阵，可能会存在一些特殊情况需要处理。
综上所述，求解矩阵的逆矩阵有多种方法，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来求解逆矩阵，以达到高效、准确地计算的目的。
3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
1 2
r2
12 r3
1 0
1 1
1 0
0 0 1
1
0
0
r2 r1
1r3 +r1
0
1
0
0 0 1
所以
1 2 A 1 1 2 0
1 0 0
1
0
1
2
2
0
1
1
2 2
1 2
1 2
0
1 2
0
1 2
0
1 2
1 2
1 0
2
0
1 2
1 1
2
2
同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的
即： 初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵 仍是同类的初等矩阵。
二、初等变换法求矩阵的逆矩阵
1．矩阵可逆的两个充分必要条件
在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的
行列式 A 0 。现再给出两个充分必要条件。 引理 初等变换不改变矩阵的可逆性。
证明 不妨设 n 阶矩阵 A 经过一次初等行变换化成矩阵 B
推论1 m n 阶矩阵 A 与 B等价的充分必要条件是存
n 在m 阶可逆矩阵 P 及 阶可逆矩阵 Q ，使
PAQ B
2．求矩阵逆矩阵的初等变换法
因为 A 可逆，据定理2，有初等矩阵 P1, P2 , , Pt
使 Pt Pt1 P1A E ，即 Pt Pt1 P1E EA1 。于是
Pt Pt1 Pt Pt1
证明：（必要性）因为 A 可逆，则 A 可只通过行（列）
初等变换化为单位矩阵 E。
所以，A E11E21 Et 1。 若记 Ei1 Pi ，则 A P1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
四川大学线性代数课件第三章第二节 初等矩阵和逆矩阵的求法
Ps P2P1 A E, 等号两边右乘 A1,
(Ps P2P1 )E A1
即， A, E 初等行变换 E，A1
又AA1 E , A Ps P2P1 E,
E Ps P2P1 A1,
2019/7/21
即，
A E
综上就有
(P3k...P32P31)(P2l...P22P21)(P1m...P12P11)A=I
其中A左边的矩阵都是初等矩阵, 定理得证.
2019/7/21
19
推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
推论2：
如果对可逆矩阵 等行变换，那么当
A 和同阶单位矩阵 A 变成单位矩阵 E
E 作同样的初 时，E 就变成 A1。
0
1
0
0 0 1
212源自 0 0 1
1
2
2
0 1 0
1
12
c2 ( 110)
0
2
1
0
0 1 0 0.1 0.2 0.1
0
1
19 c1 c2 12 0
1
c3 c2 19
2019/7/21
8
初等矩阵
矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.
定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
2019/7/21
A Ps P2P1 1 P11P21 Ps1
线性代数§3.2初等矩阵
定理2: 方阵A为可逆的充分必要条件是存在有限 个初等矩阵P1, P2,· · · , Pl , 使A=P1P2 · · · Pl . 证: 充分性. 由于A = P1P2· · · Pl , 且初等矩阵P1, P2, · · · , Pl 为可逆的, 有限个可逆矩阵的乘积仍是可逆的, 故方阵A可逆. 必要性.设矩阵A为可逆的, 且A的标准形为F, 则存 在有限个初等矩阵P1, P2, · · · , Pl 使 P1P2· · · Ps F Ps+1· · · Pl =A. 由于A可逆, 且P1, P2, · · · , Pl 也可逆, 故A的标准形F 也必 可逆, 设 Er O F O O nn 假若 r < n, 则| F | = 0, 这与F 可逆矛盾. 故有F =E. 证毕 A = P1P2· · · Pl , 从而,
由以上的证明可得: 可逆矩阵的标准形就是E, 实 际上, 可逆矩阵的行最简形也是E. 推论1: 方阵A可逆的充分必要条件是AE. 推论2: mn矩阵A B的充分必要条件是存在m阶 可逆方阵P及n阶可逆方阵Q, 使 PAQ = B. 利用初等变换求逆阵的方法: 当| A | 0时, 则由 A=P1P2· · · Pl , 得 1 P 1 A E , 及 P 1 P 1 P 1 E A1 . Pl1 Pl l l 1 1 1 1 对n2n矩阵(A E)分块为(A|E), 则 1 1 Pl1 Pl P 1 1 A | E 1 1 1 1 1 1 E | A Pl1 Pl P A | P P P E 1 1 l l 1 1 即, 对n2n矩阵(A|E)施行初等行变换, 当把A变成E的 同时, 原来的E就变成了A-1.
例2: 求矩阵X, 使AX=B, 其中 1 2 3 2 5 A 2 2 1 , B 3 1 . 3 4 3 4 3 解: 若A可逆, 则 X=A-1B. 5 1 2 3 2 5 r –2r 1 2 3 2 ( A | B) 2 2 1 3 1 2 1 0 2 5 1 9 3 4 3 4 3 r3–3r1 0 2 6 2 12 1 0 2 1 4 r –2r 1 0 0 3 2 r1+r2 0 2 5 1 9 1 3 0 2 0 4 6 r3–r2 r2–5r3 0 0 1 1 3 0 0 1 1 3 3 2 3 2 r2(–2) 1 0 0 0 1 0 2 3 . 2 3 . 所以 X r3(–1) 1 3 0 0 1 1 3
求逆矩阵的方法
求逆矩阵的方法逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念，它在线性代数、微积分、概率统计等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对矩阵进行逆运算，以便求解方程组、进行线性变换等。
那么，如何求逆矩阵呢？下面我们将介绍几种常用的方法。
1. 初等变换法。
初等变换法是求逆矩阵的一种常用方法。
首先，我们将待求逆的矩阵写成增广矩阵的形式，即将单位矩阵拼接在原矩阵的右侧，然后通过一系列的初等行变换，将原矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的右侧就是所求的逆矩阵。
这种方法简单直观，适用于小规模矩阵的求逆运算。
2. 初等矩阵法。
初等矩阵法是另一种常用的求逆矩阵的方法。
我们知道，对一个矩阵进行一系列的初等行变换，实质上可以看作是左乘一个初等矩阵，因此，如果我们能够找到一系列的初等矩阵，使得它们的乘积等于单位矩阵，那么这些初等矩阵的逆矩阵的乘积就是原矩阵的逆矩阵。
这种方法适用于大规模矩阵的求逆运算，因为可以通过计算初等矩阵的逆矩阵，避免直接进行行变换。
3. 克拉默法则。
克拉默法则是另一种求逆矩阵的方法，它适用于方阵且可逆的情况。
根据克拉默法则，一个矩阵的逆矩阵可以通过它的伴随矩阵来求解，具体的求解过程可以通过矩阵的代数余子式和行列式来完成。
这种方法在理论上很有意义，但在实际计算中往往效率较低，因此一般不适用于大规模矩阵的求逆运算。
4. 特征值和特征向量法。
特征值和特征向量法是一种更加高级的求逆矩阵的方法。
通过求解矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的对角化形式，从而进一步求得矩阵的逆矩阵。
这种方法在理论上非常有深度和广泛的适用性，但在实际计算中往往较为复杂，因此一般适用于特定的矩阵结构和特定的求逆问题。
综上所述，求逆矩阵的方法有很多种，我们可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。
在实际应用中，我们往往会结合多种方法，以求得更加高效和精确的结果。
希望本文介绍的方法能够对您有所帮助，谢谢阅读！。
线性代数3.2初等矩阵和求逆矩阵的初等变换法-文档资料
初等变换化为单位矩阵 E 。
所以，AE11E21 Et1。 若记 Ei1 Pi ，则 AP1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
（充分性）若存在初等矩阵P1, P2, , Pt，使 AP1 P2 Pt
因为P1, P2, , Pt 可逆，从而 P1 P2 Pt 可逆，所以 A
a in
a m n
第 i行 第 j行
其结果相当于对矩阵 A 施第一种初等行变换：
A 的第 i 行与第 j 行对调（ ri r j ）。类似地，
n 阶初等矩阵
E
i j 右乘 A
aij
，其结果相当于对
mn
矩阵 A 施第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第
j 列对调（ ci c j ）。
，则存在初等矩阵 P 使
BPA
若 A 可逆，则 PAB可逆；又若 B 可逆，则
P1B A 可逆。
由定理1，可得：
定理2 A 为 n 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
A 只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。
n 定理3 设 A 为 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
存在有限个初等矩阵 P1, P2, , Pt 使 AP1P2 Pt 。
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。E i ( k ) 表示单位
矩阵 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
（3）以数 k 乘某行（或列）加到另一行（或列）上。
E ij ( k ) 表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等
i j 矩阵或表示单位矩阵第 列乘常数k加到第 列后得到的
逆矩阵的初等变换法
逆矩阵的初等变换法矩阵是线性代数中的重要概念之一，而逆矩阵则是矩阵领域中的一个重要概念。
逆矩阵在解线性方程组、求解矩阵的行列式和矩阵的秩等问题中都有广泛的应用。
本文将介绍逆矩阵的初等变换法，帮助读者更加深入地理解逆矩阵的求解方法。
一、初等变换法的基本概念初等变换法是一种通过对矩阵进行一系列的基本行变换或列变换来求解逆矩阵的方法。
这些基本行变换或列变换包括：1. 交换矩阵的两行或两列；2. 用非零常数乘以矩阵的某一行或某一列；3. 将矩阵的某一行或某一列的倍数加到另一行或另一列。
通过对矩阵进行这些基本变换，我们可以得到一个等价的矩阵，而等价矩阵的逆矩阵也与原矩阵的逆矩阵等价。
二、逆矩阵的求解步骤下面我们将通过一个具体的例子来介绍逆矩阵的求解步骤，以便更好地理解初等变换法的应用。
假设我们有一个3x3的矩阵A，我们的目标是求解矩阵A的逆矩阵。
步骤1：将矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，得到一个增广矩阵[A|I]。
步骤2：对增广矩阵[A|I]进行初等变换，通过一系列的行变换将矩阵A转化为单位矩阵，即[A|I] -> [I|B]。
步骤3：此时，增广矩阵的右侧部分B就是矩阵A的逆矩阵。
三、具体例子假设我们有一个3x3的矩阵A：A = [1, 2, 3;0, 1, 4;5, 6, 0]我们的目标是求解矩阵A的逆矩阵。
步骤1：将矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，得到增广矩阵[A|I]：[A|I] = [1, 2, 3, 1, 0, 0;0, 1, 4, 0, 1, 0;5, 6, 0, 0, 0, 1]步骤2：对增广矩阵[A|I]进行初等变换，通过一系列的行变换将矩阵A转化为单位矩阵，即[A|I] -> [I|B]。
将第一行乘以-5，然后加到第三行上，得到：[-5, -8, -15, -5, 0, 0;0, 1, 4, 0, 1, 0;0, -4, 15, -5, 0, 1]然后，将第二行加到第三行上，得到：[-5, -8, -15, -5, 0, 0;0, 1, 4, 0, 1, 0;0, 0, 19, -5, 1, 1]接下来，将第三行除以19，得到：[-5, -8, -15, -5, 0, 0;0, 1, 4, 0, 1, 0;0, 0, 1, -5/19, 1/19, 1/19]然后，将第三行乘以15，加到第一行上，将第三行乘以4，加到第二行上，得到：[-5, -8, 0, -5/19, 15/19, 15/19;0, 1, 0, -4/19, 4/19, 4/19;0, 0, 1, -5/19, 1/19, 1/19]将第一行乘以-8，加到第二行上，得到：[-5, 0, 0, 3/19, -2/19, -2/19;0, 1, 0, -4/19, 4/19, 4/19;0, 0, 1, -5/19, 1/19, 1/19]步骤3：此时，增广矩阵的右侧部分就是矩阵A的逆矩阵，即B：B = [3/19, -2/19, -2/19;-4/19, 4/19, 4/19;-5/19, 1/19, 1/19]四、总结通过逆矩阵的初等变换法，我们可以求解矩阵的逆矩阵。
求逆矩阵的三种方法
求逆矩阵的三种方法求逆矩阵是线性代数中的一个重要问题，对于给定的一个方阵A，求解出一个方阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵，即A乘以B等于单位矩阵。
本文将介绍三种常见的求逆矩阵的方法：伴随矩阵法、初等变换法和高斯-约当消元法。
一、伴随矩阵法：伴随矩阵法是求解逆矩阵最常用的方法之一、给定一个n阶方阵A，首先计算出其伴随矩阵Adj(A)，然后用其行列式D，A，除以A的行列式，A，得到矩阵的逆矩阵A^(-1)。
具体步骤如下：步骤1：计算A的行列式，A。
步骤2：对A的每个元素a(ij)，计算其代数余子式A(ij)。
A(ij)是将A的第i行和第j列删除后得到的矩阵的行列式。
步骤3：根据代数余子式A(ij)计算伴随矩阵Adj(A)。
Adj(A)的第i行第j列的元素等于A(ij)乘以(-1)^(i+j)。
步骤4：计算逆矩阵A^(-1) = Adj(A)/，A。
伴随矩阵法求逆矩阵的优点是简单易懂，但是对于大型矩阵来说，计算量较大。
二、初等变换法：初等变换法是通过一系列矩阵的变换，将原矩阵变换为单位矩阵的同时，将单位矩阵进行相同变换，最终得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
具体步骤如下：步骤1：将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个n阶矩阵[A,I]。
步骤2：通过一系列的初等行变换，将矩阵[A,I]变换为一个左边是单位矩阵的矩阵[E,B]。
此时，原矩阵A的逆矩阵就是右边的矩阵B。
步骤3：将右边的矩阵B拆分出来，即得到A的逆矩阵A^(-1)=B。
初等变换法求逆矩阵的优点是可以直观地通过初等行变换的方式来求解，但是对于一些特殊矩阵而言，可能需要执行大量的行变换操作。
三、高斯-约当消元法：高斯-约当消元法是通过消元的方式，将原矩阵A变换为一个上三角矩阵的同时，将单位矩阵进行相同变换，最终得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
具体步骤如下：步骤1：将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个n阶矩阵[A,I]。
步骤2：通过高斯-约当消元的方式，将矩阵[A,I]转化为一个上三角矩阵[U,C]。
3_2初等矩阵和逆矩阵的求法
4 2 B1 2 9
2 r2 31 1 1 r 1 r3 21 0 2 2r 1 B1 3 2 0 5 1 r4 1 3r 3 0 3 9 6
r2 4 r3 r3 0 2r1 B2 r4 6 3r1 3
（1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
Page 4
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
1 0 0 c5 4c1 3c2 3c3 0
c3 c4 c4 c1 c2
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
Page 12
特点：F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全
为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Er O F O O mn 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 ( ri krj ).
Page 21
类似地，以 En ( ij ( k )) 右乘矩阵 A，其结果相当于 把 A 的第i列乘 k 加到第 j列上 (c j kci ).
AEn ( ij ( k )) a11 a1i a1 j ka1i a1n a21 a2 i a2 j ka2 i a2 n a ami amj kami amn m1
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． （2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法．（3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质．教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程§1 矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。
一、矩阵的初等变换在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ↔ j i c c ↔ ② 数乘)0(≠k i r k i c k③ 倍加 j i r k r + j i c k c +矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换.n m A ⨯经过初等变换得到n m B ⨯, 记作n m n m B A ⨯⨯→．定义2 等价矩阵：若n m n m B A ⨯⨯→有限次, 称n m A ⨯与n m B ⨯等价, 记作n m n m B A ⨯⨯≅． 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ≅ (2) 对称性：n m n m B A ⨯⨯≅n m n m A B ⨯⨯≅⇒(3) 传递性：n m n m B A ⨯⨯≅, n m n m C B ⨯⨯≅n m n m C A ⨯⨯≅⇒定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.例1 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41311221222832A ，利用初等行变换化为行最简形矩阵. 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→413144606690行A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000044604131行行最简形：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→0000322104131行A B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→00003232102301行标准形：⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→O O O E H A 000000100001行与列§2 初等矩阵定义4 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵．三种初等变换对应着三种初等矩阵. 1. 2.),()()(0110Δj i E j i E E E E j i r r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→↔ )]([Δk i E E kE E i r k =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→ )0(≠k 3.)](,[)()(11Δk j i E j i E E k EE j i r k r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→+设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n nm a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m j i αααα 1[]nj i nm A ββββ,,,,,,1 =⨯性质1 =A j i E m ),(⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m i j αααα 1, =A k i E m )]([⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m j i k αααα 1, =A k j i E m )](,[⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+m j j i k ααααα 1由此可得：对A 进行一次初等行变换, 相当于给A 左乘一个同类型的初等矩阵.性质2 =),(j i E A n []nijββββ,,,,,,1=)]([k i E A n []njik ββββ,,,,,,1=)](,[k j i E A n []3Δ1,,,,,,B k n i j i =+βββββ 注意：3B A ij c k c +→因此可得：对A 进行一次初等列变换, 相当于给A 右乘一个同类型的初等矩阵． 性质3 1),(det -=j i E , ),()],([1j i E j i E =- 0)]([det ≠=k k i E , )]1([)])(([1ki E k i E =-1)](,[det =k j i E , )](,[)])(,([1k j i E k j i E -=- 定理1 n n A ⨯可逆A ⇔可以表示为有限个初等矩阵的乘积．证 必要性 已知0det ≠A , 则A 满秩n E A ≅⇒, 故存在初等矩阵 PsP ,,1⋅⋅⋅及Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得 n E Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 111111----⋅⋅⋅⋅=Q Q P P A t s 而1-i P 与1-j Q 都是初等矩阵．充分性 设l P P P A ⋅⋅⋅=21，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故A 可逆.定理2 设n m A ⨯,n m B ⨯, 则⇔≅⨯⨯n m n m B A 存在可逆矩阵m m P ⨯和n n Q ⨯, 使得B PAQ =． 证 必要性 已知n m n m B A ⨯⨯≅, 则存在m 阶初等矩阵PsP ,,1⋅⋅⋅和n 阶Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 令 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,则有B PAQ =． 充分性 已知B PAQ =, 则由定理1知, P 和Q 都可以表示为有限个初等矩阵的乘积, 即 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, , 故B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 也就是n m n m B A ⨯⨯≅． 由此可得矩阵求逆方法之二（初等行变换法）0det ≠⨯n n A s P P P A 21=⇒ （i P 都是初等矩阵） ⎭⎬⎫==-------11112111121A E P P P E A P P P s s ⇒ [][]111121----=A E E A P P P s由此可得：对n n 2⨯矩阵[]E A 施行“初等行变换”，当前n 列（A 的位置）成为E 时，则后n 列（E 的位置）为1-A ．例2 设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=431212321A . 用初等变换法求1-A解[]E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100431010212001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101110012430001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→012430101110001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100101110203101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-3154161121A ． 例3 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010010001232a a a a a a A ，试用初等变换法求1-A解 []E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001010001001000100010001232aaa a a a 依次作初等行变换 34ar r -, 23ar r -, 12ar r -可得 []E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→10010000100100001001000010001aa a 故 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11111a a a A ．例4 判断方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2114415212211111A 是否可逆.若可逆，求1-A 解()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=---100401020011000123302330233011111000010000100001211441521221111113121424 r r r r r r E A因为2330233023311111-------，所以0||=A ，故A 不可逆，即1-A 不存在.[注] 此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断.例5 解矩阵方程B AX =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=141254121B . 解()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010001523012101 E A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→2112711521125100010001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∴-21127115211251A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==-14125412121127115211251B A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=640892521 思考与作业： 习题三 P79:1(1)(4)4, 5讲授内容§3.3 矩阵的秩教学目的和要求：通过对矩阵的秩的定义及求法的了解，使学生明白矩阵的秩在矩阵理论中重要性．理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩. 教学重点：矩阵的秩.教学难点：理解矩阵的秩的概念和基本性质，矩阵的秩的定义及计算.教学方法与手段：矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数来定义的，因此，若R （A ）=r ，则意谓着，A 中必有一个r 阶非零子式，同时A 中所有的r+1阶子式（若存在的话）必为零.搞清楚了矩阵的秩的概念，便可进一步理解矩阵的秩的基本性质及其它性质．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用. 一、矩阵的秩的基本概念定义4. 子式：在n m A ⨯中, 选取k 行与k 列, 位于交叉处的2k 个数按照原来的相对位置构成k 阶行列式, 称为A 的一个k 阶子式, 记作k D ．对于给定的k , 不同的k 阶子式总共有k nk m C C 个． 定义5. 矩阵的秩：在n m A ⨯中，若 (1) 有某个r 阶子式0≠r D ；(2) 所有的1+r 阶子式01=+r D （如果有1+r 阶子式的话）． 称A 的秩为r , 记作r A =rank , 或者 r A r =)(．规定：0rank =O 例6 求下列矩阵的秩⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=331211010011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=3620130131120101B解()0110012≠==A D ，而A 的所有三阶子式（4个）0312101011=-，0312101011=-，0332111001=，0331110001=-所以 ()2=A R3620130131120101-----=B 362014013312000113-----=-C C 362140331-----=03690140331132≠-=----=-r r ()4=∴B R3620130131120101-----=B 362014013312000113-----=-C C 362140331-----=0369140331132≠-=----=-r r ()4=∴B R二、矩阵的秩的性质及结论 性质：1. ()00=⇔=A A R ；2. 对于n m A ⨯，有()),min(0n m A R ≤≤；3. 若()r A R =，则A 中至少有一个0)(≠A D r ，而所有的0)(1=+A D r .4. 0≠k 时, ))A R(kA R(=5.))A R(A R(T= 6. A 中的一个0≠r D r A R(≥⇒) 7. A 中所有的01=+r D r A R(≤⇒)8. {}())()(,)(),(B R A R B A R B R A R max+≤≤ 9. {}R(B)R(A),minAB)R ≤( 10.若0B A l n n m =⨯⨯, 则n B R A R ≤+)()([注] n m A ⨯, 若m A =rank , 称A 为行满秩矩阵； 若n A =rank , 称A 为列满秩矩阵．n n A ⨯, 若n A =rank , 称A 为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若n A <rank , 称A 为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）．A 为满秩方阵 ⇔0||≠A (A 可逆 ⇔ A 为满秩方阵).定理1 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇒．证 只需证明n m n m B A ⨯⨯→次1B A rank rank =⇒． 设r A =rank , 仅证行变换之(3)的情形：B k A j j ir k r j i j i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+ααααα(1) 若},{min n m r <, 则有)(1B r D +不含i r ：0)(1)(1==++A r B r D D)(1B r D +含i r , 不含j r ：0)(1)(1)(1=±=+++A r A r B r D k D D )(1B r D+含i r , 且含j r ：0)(1)(1==++A r B r D D 倍加故B 中所有的1+r 阶子式0)(1=+B r D A r B rank rank =≤⇒A B ji r k r -→B Ar a n k r a n k ≤⇒, 于是可得B A rank rank =． (2) 若m r =或者n r =, 构造矩阵 )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O A A , )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O B B 由(1)可得11B A ji r k r +→11rank rank B A =⇒⎭⎬⎫==B B A A rank rank rank rank 11B A rank rank =⇒其余情形类似．定理2 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000***0022111121r rr ri i i i i i b b b b b b A 行B =：行阶梯形][][][21r i i i⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000*1*01*00100 行A H =：行最简形定理3 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡→O O O E A r, 称为A 的等价标准形． 推论1 若n n A ⨯满秩, 则n E A ≅．推论2 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank=⇔． 三、利用初等变换求矩阵的秩利用定理4可以简化求秩)(A R 的计算，其常用的方法有：1. 只用初等行变换，可把A 变成阶梯形矩阵. 例7 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=14011313021512012211A解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→+--22200000001512012211222001512015120122112313142r r r r r r A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→↔0000022200151201221143r r （阶梯形），有此可看出 .3)(=A R2．进一步，再进行列初等变换，A 可化为标准型I .在例7中，IA =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→0000000100000100000100000222001512012211I 的特点：左上角为一个)(A R 阶单位矩阵，其它元素为0.在具体的解题过程中，如果A 经过几次初等变换后即可看出)(A R 的秩时，就不必再继续将A 化为阶梯形. 例8 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=07521321111321021101A解.26420131013210211011314B 2A r r r r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→--至此，易知2)(=B R (B 不是阶梯矩阵)所以 2)(=A R .例9 试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答. 已知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5321A ， 求1-A错误解答⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11310010113110010110113010110530121 即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-113011A 错误原因: 没有注意到利用 )()(1-→A E E A 来求1-A 时,要使用初等行变换才可以.而在解法中第1、3步却使用了列变换. 正确答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-1325111*1A A A思考与作业：习题三 P79:6,7,10讲授内容§3.4 线性方程组的解教学目的和要求：理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．利用矩阵的秩，使学生清楚“线性方程组的解Ax=b 有解的充要条件是),()(b A R A R =和“n 元齐次线性方程组的解Ax=0有非零解的充要条件是n A R <)(”这两个线性方程组理论中的最基本的定理。
求逆矩阵的方法
求逆矩阵的方法逆矩阵是线性代数中非常重要的概念，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要求解矩阵的逆，因此了解求逆矩阵的方法是非常重要的。
本文将介绍几种常见的求逆矩阵的方法，希望能对大家有所帮助。
方法一，伴随矩阵法。
伴随矩阵法是求解逆矩阵的一种常用方法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它的逆矩阵存在。
我们可以通过计算伴随矩阵来求解逆矩阵。
具体步骤如下：1. 计算矩阵A的行列式，如果行列式为0，则矩阵A不存在逆矩阵；2. 计算矩阵A的伴随矩阵，即将矩阵A的每个元素的代数余子式组成的矩阵进行转置；3. 将伴随矩阵除以矩阵A的行列式，得到矩阵A的逆矩阵。
方法二，初等变换法。
初等变换法是另一种求解逆矩阵的常用方法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它的逆矩阵存在。
我们可以通过初等变换将矩阵A转化为单位矩阵，然后将单位矩阵通过相同的初等变换得到A的逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵A和单位矩阵拼接成一个2n阶的矩阵；2. 通过初等行变换将矩阵A转化为单位矩阵，此时单位矩阵部分就是A的逆矩阵。
方法三，高斯-约当消元法。
高斯-约当消元法也是一种常用的求解逆矩阵的方法。
通过将矩阵A和单位矩阵拼接在一起，然后通过初等行变换将矩阵A转化为单位矩阵，此时单位矩阵部分就是A的逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵A和单位矩阵拼接成一个2n阶的矩阵；2. 通过高斯-约当消元法将矩阵A转化为单位矩阵，此时单位矩阵部分就是A的逆矩阵。
方法四，矩阵分块法。
矩阵分块法是一种比较直观的求解逆矩阵的方法。
对于一个2n 阶矩阵A，我们可以将其分块成四个n阶子矩阵，然后通过矩阵分块的运算规则来求解逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵A分块成四个n阶子矩阵，记为A = [A11, A12;A21, A22]；2. 如果A22存在逆矩阵，那么A的逆矩阵可以通过以下公式求解，A的逆矩阵 = [A11 A12 A22^(-1) A21]^(-1), -A11A12^(-1); -A22^(-1) A21, A22^(-1)]。
线性代数§3.2
a11 L a1i + ka1 j L a21 L a2 i + ka2 j L AE n ( ji ( k )) = L L a L a + ka L mi mj m1 第i 列
a1 j L a1n a2 j L a2 n L L amj L amn 第j 列
1 O 1 E ( i ( k )) = k 第i 行 1 O 1
以Em(i (k))左乘矩阵 左乘矩阵A=(aij)m×n, 得 × a11 a12 L a1n M M M Em ( i ( k )) A = kai 1 kai 2 L kain 第i 行 M M M a am 2 L amn m1 相当于以数k乘 的第 的第i 相当于以数 乘A的第 行(ri×k). 类似地, 类似地 以En(i (k))右乘矩阵 右乘矩阵A=(aij)m×n, 其结果相 × 当于以数k乘 的第 的第i 当于以数 乘A的第 列(ci×k).
相当于对矩阵A施行第一种初等行变换 相当于对矩阵 施行第一种初等行变换: 把A的 施行第一种初等行变换 的 行与第j 行对调(r 第i 行与第 行对调 i↔rj).
阶初等矩阵E 右 用n阶初等矩阵 n(i, j)右乘A=(aij)m×n, 得 阶初等矩阵 ×
a11 L a1 j L a1i L a21 L a2 j L a2 i L AE n ( i , j ) = L L L a L a L a L mj mi m1 第j 列 第i 列
0 0 0 = 1 0 0
0 1 1 k 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 −c 11 0
( PP2 P3 ) −1 = P3−1P2−1P −1 1 1
求逆矩阵的初等变换法
求逆矩阵的初等变换法
求逆矩阵是线性代数中的一个重要问题，可以应用于许多领域，如图像处理、计算机视觉、机器学习等。
初等变换法是一种常用的求解逆矩阵的方法，其基本思想是通过一系列初等变换将原矩阵转换为单位矩阵，然后将同样的初等变换应用于单位矩阵，最终得到逆矩阵。
初等变换包括三种：交换矩阵的两行（列）、某一行（列）乘以
一个非零数、把某一行（列）加上另一行（列）的若干倍。
这些变换可以通过左乘一个对应的初等矩阵来实现，例如对于一个3阶矩阵，交换第1行和第2行可以通过左乘如下的初等矩阵实现：
[0 1 0]
[1 0 0]
[0 0 1]
通过这些初等变换的组合，可以将任意一个矩阵转化为一个行阶梯矩阵或者一个简化的行阶梯矩阵，即一个上三角矩阵。
然后通过将同样的初等变换应用于单位矩阵，就可以得到逆矩阵。
需要注意的是，如果原矩阵不可逆，即行向量或列向量之间线性相关，那么不能求出逆矩阵。
此外，初等变换法的时间复杂度为O(n^3)，对于大规模矩阵可能不适用，需要使用其他方法。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 L P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
E 就化成了 A1 ( A 1
初等矩阵。
1
O
Eij
0
0L M 1L
1 M 0
O
0 第i行 第j行
1
1
M
O
Ei
(k
)
0
M
0
1
M
O
0
Eij
(k
)
M
0 L M
0
k O
1 MO kL M 0L
0
0 第i行
1
1 MO 0
0 第i行 第j行
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1
(
1)
EE131
E12 (2)E32 (1)E21 (2)E23 (3)E31 (2)E32 (1)E2 (1)E13
【注】矩阵 A 可逆的一个重要意义是 A 可以分解为初等
矩阵的乘积。这时 AB（或 AB ）相当于对 B 施行若干
次初等行（列）变换。
3.2 初等矩阵与求逆 矩阵的初等变换法
一 初等矩阵的概念
二 初等变换法求矩阵的逆矩阵
三 逆矩阵在解矩阵方程中的应用
一、初等矩阵的概念
1．初等矩阵 定义1 由单位矩阵 经过一次初等变换后得到的矩阵称为
初等矩阵。
2．初等矩阵的类型
三种初等变换对应有三种初等矩阵。 （1）交换两行（或列）。Eij 表示单位矩阵交换i、j行（列）
。
An En
初等列变换
En A1
（5）用分块矩阵求逆矩阵。
三、逆矩阵在解矩阵方程中的应用
设有 n 阶可逆矩阵A及 n s 矩阵 B ，满足矩阵
方程 AX B 的 X 如何快捷得到？
直接有 X A1B
因为 A 可逆，据定理2，有初等矩阵 P1, P2,L , Pt ，使
Pt Pt1L P1A E ，即 Pt Pt1 L P1 A1。于是
1 0 0
1 1 1
0
1
0
r r2
r1 +r3
0
2
2
0 0 1
0 2 0
1 0 0
1
1
0
1 0 1
1 1 1
r2 r3
0
2
0
0 2 2
1 0 0
1 1 1
1 1
0 1
1 r2 r3 0
0
0
2 0
0 2
1 0 0
1
0
1
0 1 1
1 2
r2
12 r3
1 0
n 阶初等矩阵 Eij右乘 A
aij
，其结果相当于对
mn
矩阵 A 施第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第
j 列对调（ ci c j ）。
可以验证，Ei (k ) 左乘矩阵 Amn ，其结果相当
i 于以数 k乘 Amn 的第 行 kri ；Ei (k ) 右乘矩阵Amn
，其结果相当于以数 k 乘 Amn 的第 i 列（ kci ）。
可逆。
例1 设
0 2 1
A
3
0
2
2 3 0
把 A 表示成初等矩阵的乘积。
解 见§3.1例3
0 2 1
1 2 0
1 2 0
Q
A
3
0
2
c1c3
2
0
3
2r1r2
0
4
3
2 3 0
0 3 2
0 3 2
1 2 0 2r2r1 1 0 2
1 0 0
1 0 0
方法有如下几种：
（1）定义法。若 AB BA E ，则 A 是可逆矩阵，且
A1 B 。
（2）利用推论1。若 AB E 或 BA E ，则 A 和
B 都可逆，并且 A1 B, B1 A
（3）公式法。若 A 0 ，则矩阵A可逆，且
A 1 1 A A
（4）初等变换法。
A , E 初等行变换 E, A 1 ，或
同样，还也验证，以 Eij (k ) 左乘矩阵 Amn 其结果相当于对 Amn 作初等行变换 kri rj ；以
Eij (k) 右乘矩阵 Amn ，其结果相当于对 Amn 作初
等列变换 kc j ci 。 综上所述，可得下述定理：
定理1 设 A 是一个 m n 阶矩阵，对 A作一
次 初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 作一次初等列变换，相当
推论1 m n 阶矩阵 A 与 B等价的充分必要条件是存
n 在m 阶可逆矩阵 P 及 阶可逆矩阵 Q ，使
PAQ B
2．求矩阵逆矩阵的初等变换法
因为 A 可逆，据定理2，有初等矩阵 P1, P2 ,L , Pt
使 Pt Pt1L P1A E ，即 Pt Pt1 L P1E EA1 。于是 Pt Pt1L P1A E Pt Pt1 L P1E A1
A2 E2
4 1
3
1
1
1
2c1
2
0
1 2
3
1
1
-3c1
c2
2
0
1 2
0
5
3 2
0 1
0 1
0 1
1
-15c2
2
1
2
0
0
1
1
-2c2c1
0
3
10
1 5
1 10
2 5
0
1
3 10
1 5
E A1
故
A1
1 10
2 5
3 10
1 5
n 【注】 设 A 和 B 都是 阶方阵，则求它们逆矩阵的
即： 初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵 仍是同类的初等矩阵。
二、初等变换法求矩阵的逆矩阵
1．矩阵可逆的两个充分必要条件
在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的
行列式 A 0 。现再给出两个充分必要条件。 引理 初等变换不改变矩阵的可逆性。
证明 不妨设 n 阶矩阵 A 经过一次初等行变换化成矩阵 B
3．初等矩阵的作用：左乘变行，右乘变列
m 用
阶初等矩阵 Eij 左乘 A
aij
，得
mn
a11 L
M
Eij
A
a j1 M
L
ai1
L
M
am1 L
a1n
M
a jn M
ain
M
amn
第i行 第j行
其结果相当于对矩阵 A施第一种初等行变换：
A 的第 i行与第 j 行对调（ ri rj ）。类似地，
1 1
1 0
0 0 1
1
0
0
r2 r1
1r3 +r1
0
1
0
0 0 1
所以
1 2 A 1 1 2 0
1 0 0
1
0
1
2
2
0
1
1
2 2
1 2
1 2
0
1 2
0
1 2
0
1 2
1 2
1 0
2
0
1 2
1 1
2
2
同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的
逆矩阵。这时，对
2n n
于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵。
n 【注】 这里乘以相应 阶初等矩阵的意思是：
对 A 作一次什么样的初等变换，就相当于 A
乘以对 E 作同样初等变换得到的初等矩阵。
4．初等矩阵的可逆性
因为 Eij Eij E ，Ei (k )Ei (k 1) E ，Eij (k )Eij (k ) E 所以 Eij1 Eij ，Ei (k )1 Ei (k 1) ，Eij (k)1 Eij (k) 。
证明：（必要性）因为 A 可逆，则 A 可只通过行（列）
初等变换化为单位矩阵 E。
所以，A E11E21 L Et 1。 若记 Ei1 Pi ，则 A P1P2 L Pt 是初等矩阵的乘积。
（充分性）若存在初等矩阵P1, P2,L , Pt，使 A P1 P2 L Pt
A 因为P1, P2 ,L , Pt 可逆，从而 P1 P2 L Pt 可逆，所以
阶矩阵
An
En
进行初等列变换，
当上半子块化为 En 时，A可逆，且下半子块就是 A1。即
An En
列初等变换
En A1
若上半子块能够化为 En 时，说明 A 可逆，否则，A 不
可逆。
【注】 在这种方法中，只能用列变换，不能用行变换。