第8章 特征值问题的计算方法

其中 k 表示 R n中所有k维子空间的全体。
n
Th8.1.6（Weyl定理） 设 A, B Rnn为对称矩阵，其特征值分别为
则有
1 2 n ; 1 2 n
i i A B 2 ; i 1, 2,, n
注意：实际问题中矩阵一般都是由计算或实验得到， 本身必然存在误差，不妨假设 B A A
A u0
k
1
wk.baidu.comk
X1 y1 X 2 (
1 1 i
J2
1
) y2 X p (
k
Jp
1
1
)k y p
( J ) i / 1 1 ( J ) 0
1 k 1 i
lim
k
A u0
k

k 1
X1 y1 ( 0)
X1 y1 记 x1 X1 y1
y3 (0.3659 0.8537 1)
T
T
3 4.92
3 T Step4 y4 Au3 (1.5854 3.9268 4.8537) 4 4.8537
u4 y4 u3
4
(0.3266 0.8090 1)
T
特征值及相应的特征向量精确值为:
4.7321
u (0.2679 0.7320 1)
T
幂法的收敛性： n n Th8.2.1 设 A C 有 p个互不相同的特征值满足： 1 2 p 且模最大特征值 1 是半单的，如果初始向量 u0在 1
的特征子空间上的投影不为零，则由幂法算法产生的 序列 k 收敛到 向量序列 uk 收敛到 1 的一个特征向量 x1，且数值
n n
mi n rank(i I A) 为i 的几何重数。
mi ni
Def 2 设 A C ，对于矩阵 A 的特征值 i ，如果 mi ni ，则称该特征值 i 为 A 的一个半单特征值。
若 A 的所有特征值都是半单的，则称 A是非亏损的。
A是非亏损的等价条件是 A有n个线性无关的特征向量
其中 1 , , n 是 A 的n个特征值。
（极大极小定理） Th8.1.5 设 A R n n为对称矩阵，且 A 的特征值为 1 2 n
T uT Au u Au 则有i max min T min max T n n in 0 u u u u u i 1 0 u
特征多项式
( A)
pA ( ) det( I A) 的根的集合：谱集
det( I A) ( 1 ) ( 2 ) ( p ) 其中 n1 n2 np n; i j (i j )
n1 n2
np
称 ni 为i 的代数重数（简称重数）；
k 1 n
j 1
j 1
k j
说明：当k充分大时,
1 的一个近似特征向量为
uk
A u0
k

k 1
特征向量可以相差一个倍数
因为向量 uk

A u0
k

但我们关心的仅是 uk 的方向，故作如下处理： 令 uk
k 1
中含有未知量 1，实际不能计算
j k (1 x1 j ( ) ) x j ) k 1 A u0 j2 n k j k k 1 (1 x1 j ( ) ) x j ) 1 j2 x1 (k ) x1
Axn n xn
zk

1
if
k zk zk 1
反幂法每次迭代都需要 求解方程组
Ayk zk 1
输出 zk 和 k
收敛速度取决于
n : n1的大小
带位移的反幂法：
Th8.1.2（Schur分解） n n n n 设 A C ，则存在酉矩阵 U C ，使得：
U AU T
H
其中 T 是上三角矩阵，且适当选择 U ，可使 T 的元素 按任意指定的顺序排列。
（圆盘定理）/*Disc Theorem*/ Th8.1.3 设 A (aij ) C nn ，令
lim uk x1
k
Auk 1 k uk k 1 (k )
几点说明：
定理8.2.1条件不满足时，幂法产生的向量序列 uk
可能有若干个收敛于不同向量的子序列；
幂法的收敛速度取决于 2 : 1 的大小；
A u0
k
1k
X1 y1 X 2 (
J2
1
k k k
Ax 1 x
k 1
k uk uk 1
uk

1
幂法可以计算矩阵的模最大 的特征值和对应的特征向量
例1：利用幂法求下列矩阵 A 的模
2 1 0 最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1 T (取初始向量为 u0 (1 1 1) ) 0 1 4
) y2 X p (
k
Jp
1
)k y p
加速方法：适当选取 ，对 A I 应用幂法
Ax 1 x Ax x 1 x x
称之为原点平移法
( A I ) x (1 ) x
原点平移法不改变 矩阵 A 的特征向量
幂法可以计算第二个模最大特征值 2
ji
Gi ( A) { z C : z aii aij }; i 1, , n
则 ( A) G1 ( A) G2 ( A) Gn ( A)
Th8.1.4（谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ nn 设 A R n n 为对称矩阵，则存在正交矩阵Q R T 使得 Q AQ diag(1 ,, n )
1
将 y 和 X 如下分块：
1
y ( y , y ,, y ) n1 n2 n p
T 1 T 2
T T p
X ( X1 , X 2 , X p ) n1 n2 n p
1 Ak u0 Xdiag(J1k ,, J k ) X u0 p
X J y X 2 J y2 X P J y p
1

x
1
n n1 1
i
对A 应用幂法就可以求得矩阵 A的 模最小的特征值和相应的特征向量。
反幂法算法：
z0 , z0 1
若 For k=1,2,3,…
zk 和 k 均收敛，由幂法知
k
lim zk xn lim k n
k
Ayk zk 1 k yk yk zk
其中J (i ) diag( J1 (i ),,, J k (i )) C ni ni ;1 i r i
i J j ( i )
1
i
J ( ) 且除了 的排列 j i 次序外， J 是唯一的。 1 i J 称作 A 的Jordan标准型
k 1 1 1 k 2 k p
A u0 X J y X2 J y2 X P J y p
k k 1 1 1 k 2 k p
k k 1k X1 y1 X 2 J2 y2 X p J p yp Jp k J2 k k 1 ( X1 y1 X 2 ( ) y2 X p ( ) y p )
常用的方法：降阶方法（收缩技巧） 设已经计算出模最大特征值 1 及其特征向量 x1 对向量 x1 ，采用复的Household变换计算酉矩阵 P
Ax1 1 x1
Px1 1e1 1 1 H PAP e1 PAx1 P1 x1 1e1
H
PAP
0
1 1
B
y1 Au0 (3 5 5) y1 T 3 u1 ( 1 1) 1 5 1 5 T 23 11 5) Step2 y2 Au1 ( 5 5 y2 T 23 11 2 5 u2 ( 1) 2 25 25
解：Step1
T
Step3
y3 Au2 (1.8 4.2 4.92)
第八章 特征值问题的计算方法
/*Computational Method of Eigenvalue Problem*/ 本章主要介绍矩阵的特征值和特征向量的计算方法。
§1 基本概念与性质
特征值和特征向量的基本概念与性质 n n n Def 1 设 A C ，若存在向量 x C 和复数 满足 Ax x ，则称 是矩阵 A 的特征值，x 是特征值 相应的特征向量。 det( I A) 0
A u0 j A x j j x j
k k
n
n
j k (1 x1 j ( ) ) x j ) 1 j2 n j k Ak u0 (1 x1 j ( ) ) x j ) 1 x1 ( k ) k 1 1 j2
1 。
特征子空间：V
x Ax x 0
证明：设 A 有如下Jordan分解：
A Xdiag(J1 ,, J p ) X n n J i C 是属于i 的Jordan块构成的块上三角矩阵 1 1是半单的特征值 J1 1In 令 y X u0
i i
i i A 2 ; i 1, 2,, n
说明：对称矩阵的特征值总是良态的。
§2 幂法与反幂法/*Power Method and Reversed Power Method*/
幂法是计算一个矩阵的模最大的特征值和对应的特征 向量的一种迭代方法（又称为乘幂法）。
一、幂法的基本思想与算法
假设 A C
n n
是可对角化的，即 A 存在如下分解：
1
A X X 其中 diag(1 ,, n ) ; X [ x1 ,, xn ] C nn
不妨假设
1 2 n
对于 u0 C n
u0 1 x1 2 x2 n xn ;i C
k 1 n

A u0
k
k
k 其中 k 为 A u0 的模最大分量
幂法迭代算法：
u0 , u0

1
设
yk Auk 1 k yk yk uk
if 输出 uk 和 k
For k=1,2,3,…
uk 和 k均收敛，由算法知 Auk 1 k uk
lim Auk 1 lim k lim uk
Th8.1.1（Jordan分解） n n 设 A C ，有 r个互不相同的特征值i (i 1,, r )
，
其重数分别为 ni (i 1,, r ) ，则一定存在非奇异矩阵
P C nn 使得 P 1 AP diag(J (1 ), J (2 ),, J (r )) J
x1 是属于1 的一个特征向量
AX XJ AX1 X1J1 1 X1
AX1 y1 1 X1 y1 Ax1 1 x1 k k k A u0 1 A u0 Auk 1 k k uk 1 A u0 k k 1 1 k

X1 y1 uk (k ) X1 y1
1
其中 B是n-1阶方阵
2为 B 的模最大特征值
二、反幂法的基本思想与算法
反幂法是求一个矩阵的模最小的特征值和对应的特征 向量的一种迭代方法（又称为反迭代法）。 设 Ax x ，则 A x
1
1
不妨假设 A的特征值为 则 A 的特征值为
1
n n1 1
i
Def 3 设 A, B C
nn
， 若存在矩阵 P ，使得 B P AP
1
则称 A 和 B 是相似的。 相似矩阵有相同的特征值 设 Ax
x Ax x PAP Px Px
1
BPx Px
本章QR算法的基本思想： 寻求已知矩阵A 的相似矩阵 B ，要求： 矩阵 B 的特征值和特征向量容易计算