量子力学 薛定谔方程的建立和定态问题

第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
2.3.2、 薛定谔方程的建立 1、自由粒子满足的微分方程: 由自由粒子波函数
i ( p⋅r − Et ) ψ p ( r , t ) = Ae
（1）
将上式两边对时间 t 求一次偏导，得：
∂ψ p
i ( p⋅r − Et ) i i = − EAe = − Eψ p ∂t
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
经典力学和量子力学关于描述粒子运动状态的差别。 经典力学 质点的状态用 r , p 描述。 量子力学
微观粒子状态用波函数 Ψ (r , t ) 描述。
每个时刻， r , p 均有确定值， 波函数 Ψ 描述的微观粒子不可能同
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
2.3、 薛定谔方程
在 2.1 节中， 我们讨论了微观粒子在某一时刻 t 的状态， 以及描写这个状态的波函数 Ψ 的性质， 但未涉及当时间改 变时粒子的状态将怎样随着变化的问题。本节中我们来讨 论粒子状态随时间变化所遵从的规律。
。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明
2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明 （1）薛定谔方程是建立的，而不是推导出来的，建立的 方式有多种。 （2）薛定谔方程是量子力学最基本的方程，也是量子力 学的一个基本假定。薛定谔方程正确与否靠实验检验。 （3）薛定谔方程描述了粒子运动状态随时间的变化，揭 示了微观世界中物质的运动规律。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
令： 则有,
= J
i [Ψ∇Ψ ∗ − Ψ ∗∇Ψ ] 2µ
(7)
∂ω + ∇ ⋅ J =0 ∂t
这方程具有连续性方程的形式，是概率（粒子数）守恒定 律的微分形式。
为了说明（7）式和矢量 J 的意义，下面考察（7）式
t 时刻， r 附近单位体积内粒子出现的概率，
ω (r , t ) = Ψ ∗ (r , t )Ψ (r , t ) = | Ψ (r , t ) |2
概率密度随时间的变化为，
∂ω ∂Ψ ∂Ψ * = Ψ* + Ψ ∂t ∂t ∂t


第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
(8)
面积分是对包围体积 V 的封闭面 S 进行的。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
∂ω − ∫v ∂t dτ = ∫ s J ⋅ ds
(8)
左边：表示单位时间内体积V 中几率的增加；
所以， J ：几率流密度矢量。

（10）
上式两边乘以波函数ψ ( r , t ) 得：
p2 = ψ + U ( r )ψ Eψ 2µ ∂ψ 2 2 将（8） 、 （9）式代入得： i = − ∇ ψ + U ( r )ψ 2µ ∂t

第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
3、多粒子体系的薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
或,
i
∂ψ p ∂t
= Eψ p
（2）
故不是我们所要求的方程。 由于上式还包含状态参量( E )， 将（1）式两边对 x 求二次偏导，得到：
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
(2) (6)
（7）
显然（7）式满足前面所述条件。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
由（2）式，可看出 E 与 i
E → i
2
∂ 对波函数的作用相当： ∂t
∂ （能量算符） ∂t
(8)
p2 − 2 ψ p ，式改写成： ∂t
+ ∇ ⋅ Jµ =0 。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.4.3、 波函数的标准条件
电荷密度： ωe ≡ eω ， 电流密度： J e ≡ eJ ， 电荷守恒定律:
∂ωe + ∇ ⋅ Je =0 。 ∂t

第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.4.3、 波函数的标准条件
(1)
用分离变量法，考虑一特解
Ψ (r , t ) = ψ (r ) f (t )
将（2）代入（1）式中：
(2)
第二章 波函数和薛定谔方程 2.5、 定态薛定谔方程 2.5.1、 U=U(r)时薛定谔方程的解
对空间任意的一个体积V 的积分：
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
∂ω ∂ ∫v ∂t dτ = ∂t ∫v ωdτ = − ∫v ∇ ⋅ Jdτ
由高斯定理：
可得到：
∂ω − − ∫v ∂t dτ = ∫ s J ⋅ ds = ∫ J n ds
由薛定谔方程和其复共轭方程，
U (r ) i 2 ∂ Ψ = ∇ Ψ+ Ψ 2µ i ∂t ∂Ψ ∗ i 2 ∗ 1 =− ∇ Ψ − U ( r ) Ψ∗ 2µ ∂t i
可得，
∂ω i = Ψ * ∇ 2 Ψ − Ψ∇ 2 Ψ *) ( ∂t 2 µ i = ∇ ⋅ ( Ψ * ∇Ψ − Ψ∇Ψ *) 2µ
px 2 ∂ 2ψ P i = px ψ p = − 2 ψ p ∂x 2
2
同理：
py2 ∂ 2ψ P = − 2 ψ p, 2 ∂y
∂ 2ψ P pz 2 = − 2 ψ p, 2 ∂z
∂2 p2 ∂2 ∂2 − 2 ψ p （3） 上三式相加得： 2 + 2 + 2 ψ p = ∂x ∂y ∂z
若ψ
∞
= 0 ，[如ψ (r , t ) r→∞ → 0 ]，则，
（9）
d d d = ω τ = ψ *ψ dτ 0 dt ∫∞ dt ∫∞
即：在整个空间内找到粒子的概率与时间无关。 若波函数ψ 是归一的，即，
∫ ψ *ψ dτ = 1，
∞
也有：
∂ω = 0， ∂t
即：ψ 将保持归一的性质，而不随时间改变。
( p ⋅ p )ψ =( −i∇ ) ⋅ ( −i∇ )ψ
由此知：

p → −i∇ （动量算符）
(9)
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2、力场中粒子波函数所满足的微分方程 粒子在力场中的势能为U ( r ) ，则：
p2 = +U (r ) E 2µ
右边：是矢量 J 在体积 V 的边界 S 上法向分量的面积分，
J n ：表示单位时间内流过 S 面上单位体积的几率。

（8）式也说明单位时间内体积 V 中增加的几率，等于 从体积V 的边界 S 上而流进V 内的几率。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
τ0
。 是包围 r0 在内的任何体积）
（3）连续性：保证概率密度和概率流密度的连续性。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.5、 定态薛定谔方程 2.5.1、 U=U(r)时薛定谔方程的解
2.5、 定态薛定谔方程 2.5.1、 U=U(r)时薛定谔方程的解
∂ 2 2 i Ψ ( r , t ) = [ − ∇ + U (r )]Ψ (r , t ) 2µ ∂t
且随时间 t 连续变化， L, Ek , E p 等都可以表示成 r , p 的函数。 时具有确定的 r 和 p 值， 但能给出粒 子出现在 r 或具有 p 的概率。波函 数 Ψ 决定微观粒子的一切力学量和 行为规律变化。




第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
2.4.3、 波函数的标准条件
* （1）单值性：粒子出现的概率 ω = Ψ Ψ 应该是( r , t )的单 值函数，这样才能使粒子的概率在( r , t )点是唯一确定的值。
（2）有限性：保证概率密度不能无限大（不能保证空间
2 τ0 只要保证 ∫ |Ψ | dr =有限值， 某些孤立奇点处 | Ψ |→ ∞ ，
（5）
将（5）代入（4）得：
2 2 − ∇ψp = Eψ p 2µ
（6）
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
∂ψ p i = Eψ p ∂t 比较（2） 、 （6）两式， 2 − ∇ 2ψ = Eψ p p 2µ
得：
2 2 i = − ∇ψp 2µ ∂t ∂ψ p
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.2、 粒子数,质量,电荷守恒定律
2.4.2、 粒子数,质量,电荷守恒定律 （7）式即为粒子数守恒定律。
∂ω + ∇ ⋅ J =0 。 ∂t
2 质量密度： ωµ ≡ µω =µ | Ψ (r , t ) | ，

i 质量流密度： J µ ≡ µ= J (Ψ∇Ψ * − Ψ *∇Ψ ) ， 2
经典力学
质点运动规律遵从牛顿第二 定律。
量子力学
Ψ 的变化规律遵从薛定谔方程。