第2章线性规划的对偶理论

（3）若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有无界解。
注意上述结论（2）及（3）的条件，一个问题有可行解时，另一个问题可能有可行解（此时具有 无界解）也可能无可行解。
【性质 2.3】最优性 设 X*与 Y*分别是（LP）与（DP）的可行解，则当 X*、Y*是（LP）与（DP） 的最优解当且仅当 CX*= Y*b.
设 y1，y2，y3 及 y4 分别表示四种资源的单位增值价格（售价＝成本＋增值），总增值最低可 用
min w=500y1+450y2+300y3+550y4 表示。企业生产一件产品 A 用了四种资源的数量分别是 9，5，8 和 7 个单位，利润是 100，企业 出售这些数量的资源所得的利润不能少于 100，即
【性质 2.4】对偶性若（LP）有最优解，则（DP）也有最优解（反之亦然），且（LP）与（DP） 的最优值相等。
性质 2.4 还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。
【性质 2.5】互补松弛性 设 X*、Y*分别为（LP）与（DP）的可行解，XS 和 YS 是它的松弛变量 的可行解，则 X*和 Y*是最优解当且仅当
表 2－3
XB
XN
XB
E
B－1N
λ
0
CN－CBB－1N
XS B－1 －CBB－1
b B－1b －CBB－1b
(1) 极大值规范形式的数学模型时，初始表有一个单位阵，对于任意可行基 B，通过求基可行解 后初始表中单位阵对应的位置就等于逆矩阵 B－1；
(2) 下面将要介绍，松弛变量 XS 的检验数（－CBB－1）乘以（－1）后就是对偶问题决策变量 Y 的一个基本解，原问题决策变量 X 对应的检验数乘以（－1）后就是对偶问题松弛变量 YS 的一个 基本解，如果 B 是最优基，则 Y＝CBB－1 就是对偶问题的最优解。
y1 + 2 y1
2y3 = 1 + 6y2 +
8y3
≥
5
⎨8y1 − y3 ≤ −4
⎪⎪⎩−y1y≤1
− 5y2 0, y2
≤9 ≥ 0,
y3无约束
写出线性规划的对偶问题时的要点： （1）规范形式的线性规划的对偶仍然是规范形式； （2）一个问题的约束数和变量数是另一问题的变量数和约束数； （3）一个问题的价值系数和资源限量与另一问题的资源限量和价值系数相对应，约束系数矩阵 有互为转置的关系； （4）一个问题等式约束与另一个问题变量无约束相对应； （5）一个问题约束（变量）的不等式符号与它的规范形式符号相反时，则另一个问题变量（约 束）的不等式符号与它的规范形式符号相反。
(2)当 xj 无约束时，第 j 个对偶约束为“=”号约束。
(3)当 xj≤0 时，第 j 个对偶约束应为“≤”号约束。
将上述原问题与对偶问题的对应关系列于表 2－4 中，读者可直接按表 2－4 中的对应关系写 出非规范形式的对偶问题。
原问题（或对偶问题） 目标函数 max
表 2－4
对偶问题（或原问题） 目标函数 min
【例 2.2】写出下列线性规划的对偶问题
min Z = 5x1 − 2x2 + 3x3
⎪⎨⎧4x1x1−+7
x2 x2
− +
x3 ≥ 4 5x3 ≥ 1
⎪⎩x1, x2 , x3 ≥ 0
【解】这是一个规范形式的线性规划，设 Y=（y1，y2），则有
max
w
=
Yb
=
(
y1 ,
y2
⎡4⎤ )⎢⎣1⎥⎦
=
+ +
4x2 3x2
+ +
7x3 2x3
≤ ≤
450 300
⎪⎪7x1 + 6x2 + 4x3 ≤ 550
⎪⎩x1, x2, x3 ≥ 0
现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。假如企业自己不生产产品，而将现有的资源转让 或出租给其它企业，那么资源的转让价格是多少才合理？合理的价格应是对方用最少的资金购买 本企业的全部资源，而本企业所获得的利润不应低于自己用于生产时所获得的利润。这一决策问 题可用下列线性规划数学模型来表示。
2.1.2 对偶模型
规范形式（Canonical Form）或称对称形式的定义是：目标函数求极大值时，所有约束条件 为≤号，变量非负；目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负，即下列两种形式
max Z = CX
⎧AX ≤ b
⎨ ⎩
X
≥
0
(2.1）
min Z = CX
⎧AX ≥ b
(2.2)
⎨ ⎩
4 y1
+
y2
从而对偶问题为
YA
=
(
y1
,
y2
⎡4 )⎢⎣1
1 －7
－1⎤
5
⎥ ⎦
= (4 y1 + y2 , y1 − 7 y2，− y1 + 5y2 ) ≤ (5,−2,3)
max Z = 4 y1 + y2
⎧4 y1 + y2 ≤ 5
⎪⎪⎪⎨−y1y−1
7 +
y2 ≤ 5y2
−2 ≤3
⎪⎩ y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
表 2－1
A
B
9
8
5
4
8
3
7
6
100 80
C 资源限量
6 50 x1，x2，x3 分别为产品 A，B，C 的产量，则线性规划数学模型为：
max Z = 100x1 + 80x2 + 70x3
⎧9x1 + 8x2 + 6x3 ≤ 500
⎪⎪⎪⎨85xx11
min w = 6 y1 + 8y2 + 10 y3
⎪⎨⎧5−yy11++75yy22
+ +
y3 ≥ 3y3
4 ≥
3
⎪⎩ yi ≥ 0,i = 1,2,3
若给出的线性规划不是规范形式，可以先化成规范形式再写对偶问题。非规范形式可能出现 下列三种情形（设原问题是求最大值）：
(1)当第 i 个约束是“≥”约束时，第 i 个对偶变量是“≤0”，且系数仍是原问题对应的系数。
因为非规范形式都可以转换为规范形式，为了讨论方便，设原问题与对偶问题都是规范形式
分别记为（LP）和（DP）：
max Z = CX
min w = Yb
（LP）： ⎧AX ≤ b
⎨ ⎩
X
≥
0
（DP）： ⎧YA ≤ C
⎨ ⎩Y
≥
0
这里 A 是 m×n 矩阵 X 是 n×1 列向量，Y 是 1×m 行向量。假设 Xs 与 Ys 分别是（LP）与（DP） 的松驰变量。
⎧YA ≥ C
⎨ ⎩Y
≥
0
在 Y = CB B −1 两边右乘 b，则有 Yb = CB B −1b＝Z ，又因 Y≥0 无上界，从而 Yb 只存在最小
值，得到另一个线性规划问题
min w = Yb
⎧YA ≥ C
⎨ ⎩Y
≥
0
（2.3）
即是原线性规划问题式（2.1）的对偶线性规划问题，反之，式（2.3）的对偶问题是式（2.1）。 原问题和对偶问题是互为对偶的两个线性规划问题，规范形式的线性规划的对偶仍然是规范形 式，参数矩阵的对应关系参看表 2－4。
⎪⎩x1无约束, x2 ≤ 0, x3 , x4 ≥ 0
【解】目标函数求最小值，应将表 2－4 的右边看作原问题，左边是对偶问题，原问题有 3 个约 束 4 个变量，则对偶问题有 3 个变量 4 个约束，对照表 2－4 的对应关系，对偶问题为：
max w = 18y1 + 10 y2 −14 y3
⎧7 ⎪− ⎪
从例 2.1 可以看出，原问题的参数矩阵 C、A 及 b 分别转置后就是对偶问题资源限量、工艺 系数及价值系数。
上面两个线性规划有着重要的经济含义。原始线性规划问题考虑的是充分利用现有资源，以 产品的数量和单位产品的利润来决定企业的总利润，没有考虑到资源的价格，但实际在构成产品 的利润中，不同的资源对利润的贡献也不同，它是企业生产过程中一种隐含的潜在价值，经济学 中称为影子价格，即对偶问题中的决策变量 yi 的值。
X
≥
0
规范形式由目标函数决定，区别仅仅是约束的符号相反，是线性规划模型的一种形式，与线性规 划标准型是两种不同的形式，但都可以人为转换成我们所需要的形式。
下面以式(2.1)为例，推导几个计算公式。加入松弛变量 XS，假设可行基 B 是矩阵 A 中前 m 列， 将变量和参数矩阵按基变量和非基变量对应分块，m 阶单位矩阵用 E 表示，则有
目标函数系数（资源限量）
资源限量（目标函数系数）
约束条件系数矩阵 A ( AT )
变 n 个变量
约束条件系数矩阵 AT （A）
约
n 个约束
第 j 个变量≥0
第 j 个约束为≥
第 j 个变量≤0
第 j 个约束为≤
量 第 j 个变量无约束 约 m 个约束
束
第 j 个约束为=
变
m 个变量
第 i 个约束≤
第 i 个变量≥0
9 y1 + 5 y2 + 8 y3 + 7 y4 ≥ 100
同理，对产品 B 和 C 有
8 y1 + 4 y2 + 3y3 + 6 y4 ≥ 80 6 y1 + 7 y2 + 2 y3 + 4 y4 ≥ 70
增值价格不可能小于零，即有 yi≥0,i=1,2,3,4 从而企业的资源价格模型为
min w = 500 y1 + 450 y2 + 300 y3 + 550 y4