数学奥林匹克高中训练题_30

数学奥林匹克高中训练题_30学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设{}1,2A =，则从A 到A 的映射中，满足()()f f x f x ⎡⎤=⎣⎦的个数是（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在顶点为()1997,0，()0,1997，()1997,0-，()0,1997-的正方形R （包括边界）中，整点的个数为（ ）个． A ．7980011 B ．7980013C ．7980015D ．79800173．设(){},1,0M x y xy x ==，(){},|arctg arcctg πN x y x y =+=．那么，（ ）．A ．(){},|1M N x y xy ⋃==B ．M N M ⋃=C ．M N N ⋃=D ．(){,|1M N x y xy ⋃==且x ，y 不同时为负数}4．在四面体ABCD 中，面ABC 及BCD 都是边长为2a 的等边三角形，且AD =，M 、N 分别为棱AB 、CD 的中点．则M 与N 在四面体上的最短距离为（ ）．A ．2aB ．32a C ．a D ．52a5．已知三个三角形、1、2的周长分别为p 、1p 、2p ．若∽1∽2，且较小的两个三角形1和2可以互不重叠地放入大三角形的内部．则12p p +的最大值是（ ）．A ．pBCD ．2p6．以正n 边形顶点为顶点的不相同的三角形的个数等于（ ）．A ．210n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．211n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．212n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．非上述答案二、填空题7．设p 、q N ∈，且1p q n ≤<≤，其中，n 是不小于3的自然数.则形如pq的全体分数之和S 为_________.8．在ABC ∆中，已知三内角A ∠、B 、C ∠成等差数列，其对边分别为a 、b 、c ，且c a -等于边AC 上的高h .则sin2C A-=_________. 9．若()()211f x xf x -+=，则()f x =______．10．在ABC △中，D 在BC 上，:3:2BD DC =，E 在AD 上，:5:6AE ED =，延长BE 交AC 于F ．则:BE EF =______．11．数列{}n a 满足1a p =，212n n n a a a +=+．则通项n a =______．12．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}6,7,8,9B =，从A 中选3个元素，B 中选2个元素，能够组成______个有5个元素的新集合．三、解答题13．已知M 是抛物线22y px =的动弦AB 上的点，O 为坐标原点，OA OB ⊥，OM AB ⊥．求点M 的轨迹方程．14．黑板上写着11和13这两个数，现在从事如下操作： （i ）将某个数重写一遍； （ii ）将两数相加，写上和数． 试证明：①119这个数永远不会出现在黑板上；②任何大于119的自然数均可经过有限次操作在黑板上出现．15．已知0m ≥，()21f x x m =++．求证：对一切1x ，2x ，…，n x +∈R ，均有)()()()12n n ff x f x f x ≤，等号当且仅当12n x x x ===时成立．16．已知ABCD 为任意凸四边形．分别以AD 、BC 为边在四边形外作正ADH 和正BCF ，以AB 、CD 为底边在四边形外作顶角为120︒的等腰三角形ABE 和CDE ．求证：FH EG ⊥，且FH =．17．若干个同学参加数学竞赛，其中任何()3m m ≥个同学都有唯一的公共朋友（当甲是乙的朋友时，乙也是甲的朋友）．问有多少同学参加数学竞赛？18．α是个循环小数，()x f m 表示α的小数点后第k 位开始，连续m 位上的数字之积．证明存在自然数p 、q ，对任意的s 、t ，均有()()11st pq fs f t ⎡⎤⎡⎤≤⎣⎦⎣⎦．参考答案1．C 【解析】 【详解】这三个映射分别是f 、g 、h ，使得()11f =，()22f =；()()121g g ==；()()122h h ==．故答案为：C 2．B 【解析】 【详解】一般地，考虑顶点为(),0N 、()0,N 、(),0N -、()0,N -的正方形．当1N =时，整点为()1,0，()0,1，()1,0-，()0,1-和()0,0，共5个，即15a =． 当N 增加到1N +时，在第一象限及x 轴正半轴上将增加()1,N ，()2,1N -，()3,2N -，…，(),1N ，()1,0N +共1N +个整点．由对称性，共增加了()41N +个整点．于是，()141N N a a N +=++，15a =． 则()21423221N a a N N N =++++=++．故整点的个数为22(1997)2199717980013⋅+⋅+=. 故答案为：B 3．B 【解析】 【详解】在M 中，1xy =相当于1xy =和1xy =-．但0x >，故代表反比例函数图象在Ⅰ、Ⅳ象限内的两支．在N 中，由arctg arcctg πx y +=，()1tg arctg arctg 01x yx y x y++==-．故1xy =-．但由已知条件及0arcctg πy <<，ππarcctg 22x -<<，得π0arctg 2x <<，π0πarctg 2y <-<． 故πarcctg π2y <<．于是，有0x >，0y <．故B 成立． 故答案为：B 4．A 【解析】 【详解】在四面体的表面上，由点M 到N 可能情形如下：①经过棱AC ；②经过棱AD ；③经过棱BC ；④经过棱BD ．当上述四种情形由M 到N 的距离不全相等时，取其中最小值．为此，不妨先按①的情形展开如图所示，则min MN MN =．连接MC ，由222MC BC BM =-得223MC a =．又2AC CD a ==，AD =，知AC CD ⊥．所以(22222cos 4MN MC CN MC CN MCN a =++⋅⋅∠=+，MN =． 同理，按②、③的情形可得2MN a =． 情形④与情形①相同． 所以，MN 最小值为2a ． 故答案为：A 5．B 【解析】 【详解】设的周长为p ，面积为S ；1的周长为1p ，面积为1S ；2的周长为2p ，面积为2S ．由条件得12S S S ≥． ∵∽1∽2，∴()1222212S S S k p p p ===． 于是，22212p p p ≥+．而p 、1p 、20p >，所以，22212122p p p p p ≥+≥．上面两式相加得()222212121222p p p p p p p ≥++=+12p p ≥+．故答案为：B 6．D 【解析】 【详解】设正n 边形顶点的连线共有N 个不同的三角形，其中有1N 个正三角形，有2N 个非正三角形的等腰三角形以及3N 个不等边三角形．以某定点A 为顶点的正三角形有1个，等腰三角形有3个，不等边三角形有6个，又以A 为顶点的三角形共有()()1122n n --个，于是有()()123112362n n N N N --=++． 显然，不同的正三角形个数为0或1，不同的等腰三角形个数为12n -或12n-． 不妨设11N p =-，()12122N N n q +=--，其中p 和q 取0或1． 因此，()()()123123121121223664N N N N N N N N N N =++=+++++()()()()212324134n n n q p n q p =-+-+-++-=+-．因为346q p -<，所以，N 是离212n 最近的整数．故答案为：D 7．()114n n - 【解析】 【详解】把形如p q 的全体分数进行如下分群：12⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，121,,,n n nn -⎛⎫⎪⎝⎭，其中第k 群含有k 个分数．不难求出第k 个群()11k n ≤≤-中k 个元素的和等于()11212k k k +++=+． 所以，形如p q 的全体分数和为()12311122224n S n n -=++++=-． 故答案为：()114n n - 8．12【解析】 【详解】因为120C A +=︒， sin sin sin sin sin sin h h h c a A C C A A C=-=-⇒=-, 1120[cos()cos120]2sin cos 222C A C A -︒∴--︒=， 231sin sin 0sin 22422C A C A C A ---∴+-=∴=9．234x x x --+【解析】 【详解】设存在满足已知方程()()211f x xf x -+=的函数()f x ． ① 以1x -代换得()()()2111f x x f x +=--． ②由①得()()1112f x xf x ⎡⎤-=-⎣⎦． ③ 将③式代入②，得()()()121112f x x xf x ⎡⎤+=-⋅-⎣⎦． 由此得()234x f x x x -=-+． 经检验，所得函数满足方程①． 故答案为：234x x x --+10．9:2 【解析】 【详解】作DH ∥AC 交BF 于点H ，∴BH ：HF ＝BD ：DC ＝3：2=3m:2m, ∴△DHE ∽△AFE ．∴EF ：EH ＝AE ：ED ＝5：6=5n:6n,所以5n+6n=2m,所以n=211m ,所以HE=1211m ,EF=1011m ， ∴BE ：EF ＝(BH+HE):EF=12345119:2101011m mm +==. 故答案为: 9:2 11．()1211n p -+-【解析】 【详解】∵2112n n n a a a --=+，∴()()()()211222212111111n n n n n a a a a p ----+=+=+==+=+．即()1211n n a p -=+-．故答案为：()1211n p -+-12．90 【解析】 【详解】集中任选3个元素，有36C 种，B 集中不选6则有23C 种，共有3263C C ⋅种；A 集中不选6有35C 种，B 集中选6，则有13C 种，共有3153C C ⋅种．所以，符合条件的集合数为3231635390C C C C ⋅+⋅=（个）． 故答案为：9013．()()2220x p y p x -+=≠【解析】 【详解】设AB 与x 轴交于()0,0C x 点，A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ．则2112y px =，2222y px =．∵OA OB ⊥，∴12121y y x x =-，即2124y y p =-． 又直线AB 的方程为121121y y y y x x x x --=--，将点C 代入得1210121y y yx x x x --=--． 化简得02x p =．从而，M 的轨迹方程为()()2220x p y p x -+=≠． 14．①见解析②见解析 【解析】 【详解】①用反证法．假设存在非负整数m 、n ，使1113119m n +=，即()11113130m n ++=． 从而，()131m +，113m +≥，12m ≥．又()11131132m n ++=，从而，()111n +，111n +≥，10n ≥． 这样，111311121310162m n +≥⨯+⨯=．矛盾． ②119k >．设不定方程1113m n k += ① 的通解为001311m m tn n t=+⎧⎨=-⎩．其中()00,m n 是其一组特解，即001113m n k +=．只需选择一个整数t ，使得00131111m t n t +>-⎧⎨->-⎩即可，也就量00111311m n t ++-<<． 由于()()000000131111111113242411113143143143n m n m m n k ++++++++⎛⎫--===> ⎪⎝⎭，所以，这样的整数t 存在，即不定方程（1）有非负整数解，k 可经有限次操作在黑板上出现． 15．见解析 【解析】 【详解】∵()2410m ∆=-+<，∴恒有()0f x >．先用归纳法证明对于2k n =，命题成立．事实上， i ）当1k =时，即2n =时，()())2221212110x m x x m ++-++≥，则()()()222121122111x x m x m x m ++≤+++++，即f≤12x x =时成立．ii ）假设2n n =时命题成立，则当12k n +=时，()()222122212221kk k k k k f f x x x x x x +++=⋅)()222212221kk k k k x fx x x +++≤)()()()222121k k k k f x f x f x ++≤()2k=对于任意自然数n ，必存在k ，使得122k k n +≤<． 记G =则()()()()()1122122k k n f G f f x f x f x f G ++⎛⎫ ⎪⎡⎤=≤⎣⎦⎝即()()()()12nn f G f x f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，)()()()12n n ff x f x f x ≤．等号当且仅当12n x x x ===时成立．16．见解析 【解析】 【详解】采用复数解法．将图形置于复平面上考虑，点的字母兼用以表示这点对应的复数．设1E B z A B -=-，2D C z G C -=-，3D H z A H -=-，4B Fz C F-=-． 从而，()111E z A z B =+-，414111z F B C z z =+--，22211z G C D z z -=+，333111z H A D z z =+--． 线段EG 和FH 的夹角和比值可由复数式H FG E--来描述，该复数的辐角正是EG 和FH 的夹角，其模的大小则代表它们的比值．()31344321422111111111z z A B C Dz z z z H F z G E z A z B C D z z +++-----=---+-++． （1）由题设可得1126z i =+，232z =+，312z =，412z =． 代入计算即知，（1）分子和分母中A 、B 、C 、D 的系数对应成比例：()()()()()342213414231111111z z z z z z z z z z z ====------．从而，)cos90sin90H Fi G E-==︒+︒-．这说明FH 与EG 的夹角为90︒，且FH =． 17．1m + 【解析】 【详解】根据已知条件，每个同学都有朋友．如果有()k m ≤个同学彼此是朋友，那么根据已知条件他们有一个公共的朋友，我们得到1k +个同学彼此是朋友．依此类推，异出有1m +个同学1A ，2A ，…，1m A +彼此是朋友．如果B 是这1m +个同学以外的人，并且B 至少与1A ，2A ，…，1m A +中两个是朋友，设B 与1A ，2A 是朋友，则B ，3A ，4A ，…，1m A +这m 个同学有两个公共的朋友1A ，2A ，与已知矛盾．因此，1A ，2A ，…，1m A +之外的同学B 至多与1A ，2A ，…，1m A +中一个人是朋友． 设B 与2A ，3A ，…，1m A +都不是朋友，则B ，1A ，2A ，…，1m A -的公共朋友C 不是m A 、1m A +，当然也不是1A ，2A ，…，1m A -，由于3m ≥，C 与1A ，2A ，…，1m A -中12m -≥个是朋友，但上面已证C 至多与1A ，…，1m A +中一个同学是朋友，矛盾．于是，参加数学竞赛的同学只有1A ，2A ，…，1m A +这1m +个人（每个人的朋友为m 个）． 18．见解析【解析】【详解】不妨设α为纯循环小数，0a =．12n a a a ，a 的循环节为n ．即i n i a a +=，1i =，2，…．如果某个0k a =，可取p q k ==，所以还假设0i a ≠，1i n ≤≤，G =作代换i i a x G =，1i n ≤≤，则121n x x x =．以下证明，一定存在自然数p ，对任意的s ，均有121p p p r x x x +++≤． 鉴于121n x x x =，证明只需要对s n ≤来进行．如果1x ，12x x ，…，12n x x x 这n 个乘积均不大于1，那么，可取p n =．如果它们之中至少有一个大于1，不妨设12p x x x 是其中最大者，那么， 11p x +≤，121p p x x ++≤，…，121p p n x x x ++≤．这是因为，如果其中有一个大于1，那么把它乘到12p x x x 上去，就得到比12p x x x 更大的数，这与指标p 的选取矛盾．另外，111p n x x x +≤，1121p n x x x x +≤，…，111p n p x x x x +≤．这是因为，按p 的取法可知，上述各式左边除去最初n p -个因子，其余各因子之值均不小于12p x x x ．这样，我们证明了一定存在自然数p ，对任意的s ，均有121p p p s x x x +++≤，即12n p p p s a a a G +++≤G ≤．同理可证一定存在自然数q ，对任意的t G ≥，即()()11t s p q f s f t ⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎣⎦．。