数学奥林匹克高中训练题_30

数学奥林匹克高中训练题_30

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设{}1,2A =，则从A 到A 的映射中，满足()()f f x f x ⎡⎤=⎣⎦的个数是（ ）． A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．在顶点为()1997,0，()0,1997，()1997,0-，()0,1997-的正方形R （包括边界）中，整点的个数为（ ）个． A ．7980011 B ．7980013

C ．7980015

D ．7980017

3．设()

{}

,1,0M x y xy x =

=，(){},|arctg arcctg πN x y x y =+=．那么，（ ）．

A ．(){},|1M N x y xy ⋃=

=

B ．M N M ⋃=

C ．M N N ⋃=

D ．(){,|1M N x y xy ⋃=

=且x ，y 不

同时为负数}

4．在四面体ABCD 中，面ABC 及BCD 都是边长为2a 的等边三角形，且AD =，

M 、N 分别为棱AB 、CD 的中点．则M 与N 在四面体上的最短距离为（ ）．

A ．2a

B ．32

a C ．a D ．5

2a

5．已知三个三角形、1、2的周长分别为p 、1p 、2p ．若∽1∽2，且较小的两个三角形1和2可以互不重叠地放入大三角形的内部．则12p p +的最大值是（ ）．

A ．p

B

C

D ．2p

6．以正n 边形顶点为顶点的不相同的三角形的个数等于（ ）．

A ．210n ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

B ．211n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

C ．212n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ．非上述答案

二、填空题

7．设p 、q N ∈，且1p q n ≤<≤，其中，n 是不小于3的自然数.则形如p

q

的全体分数之和S 为_________.

8．在ABC ∆中，已知三内角A ∠、B 、C ∠成等差数列，其对边分别为a 、b 、c ，

且c a -等于边AC 上的高h .则sin

2

C A

-=_________. 9．若()()211f x xf x -+=，则()f x =______．

10．在ABC △中，D 在BC 上，:3:2BD DC =，E 在AD 上，:5:6AE ED =，延长BE 交AC 于F ．则:BE EF =______．

11．数列{}n a 满足1a p =，2

12n n n a a a +=+．则通项n a =______．

12．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}6,7,8,9B =，从A 中选3个元素，B 中选2个元素，能够组成______个有5个元素的新集合．

三、解答题

13．已知M 是抛物线22y px =的动弦AB 上的点，O 为坐标原点，OA OB ⊥，

OM AB ⊥．求点M 的轨迹方程．

14．黑板上写着11和13这两个数，现在从事如下操作： （i ）将某个数重写一遍； （ii ）将两数相加，写上和数． 试证明：

①119这个数永远不会出现在黑板上；

②任何大于119的自然数均可经过有限次操作在黑板上出现．

15．已知0m ≥，()2

1f x x m =++．求证：对一切1x ，2x ，…，n x +

∈R ，均

有)

()()

()12n n f

f x f x f x ≤，等号当且仅当12n x x x ==

=时成立．

16．已知ABCD 为任意凸四边形．分别以AD 、BC 为边在四边形外作正ADH 和正

BCF ，以AB 、CD 为底边在四边形外作顶角为120︒的等腰三角形ABE 和

CDE ．求证：FH EG ⊥，且FH =．

17．若干个同学参加数学竞赛，其中任何()3m m ≥个同学都有唯一的公共朋友（当甲是乙的朋友时，乙也是甲的朋友）．问有多少同学参加数学竞赛？

18．α是个循环小数，()x f m 表示α的小数点后第k 位开始，连续m 位上的数字之积．证明存在自然数p 、q ，对任意的s 、t ，均有()()1

1

s

t p

q f

s f t ⎡⎤⎡⎤≤⎣

⎦

⎣⎦

．

参考答案

1．C 【解析】 【详解】

这三个映射分别是f 、g 、h ，使得()11f =，()22f =；()()121g g ==；

()()122h h ==．

故答案为：C 2．B 【解析】 【详解】

一般地，考虑顶点为(),0N 、()0,N 、(),0N -、()0,N -的正方形．

当1N =时，整点为()1,0，()0,1，()1,0-，()0,1-和()0,0，共5个，即15a =． 当N 增加到1N +时，在第一象限及x 轴正半轴上将增加()1,N ，()2,1N -，

()3,2N -，…，(),1N ，()1,0N +共1N +个整点．

由对称性，共增加了()41N +个整点．于是，()141N N a a N +=++，15a =． 则()21423221N a a N N N =+++

+=++．

故整点的个数为2

2(1997)2199717980013⋅+⋅+=. 故答案为：B 3．B 【解析】 【详解】

在M 中，1xy =相当于1xy =和1xy =-．但0x >，故代表反比例函数图象在Ⅰ、Ⅳ象限内的两支．

在N 中，由arctg arcctg πx y +=，()1tg arctg arctg 01x y

x y x y

+

+=

=-．故1xy =-．