2015年中考专题复习——方程与不等式(最全面的考点)

合集下载

2015年初三数学复习专题二、方程与不等式

专题二、方程与不等式1几个概念2一元一次方程考点1、方程与方程组 3一元二次方程4方程组5分式方程6应用（一）概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解(1)等式的概念等式：用“=”号来表示相等关系的式子，叫做等式。

等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。

1、若()()=+----=-4933c b c b c a b a ，则。

(2)方程的概念含有未知数的等式叫方程。

方程一定是等式，是含有未知数的等式；等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数，简单的说，方程是特殊的等式。

使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。

只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根1、在公式2012S v t at =+中，已知80,4,5S t a ===求0v 。

(3)求方程的解的过程，叫做解方程 1. 当x 取什么值的时候，代数式54x -与134x +的值相等。

2. 如果最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式，则a = 。

3. 如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n=（二）一元一次方程：只含有一个未知数，并且所含未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程，其标准形式为0=+b ax （其中，x 是未知数，a 、b 是已知数，并且0≠a ）解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零）习题1、.解方程：（1） 3131=+-x x （2）x x x -=--+221322、关于x 的方程mx ＋4＝3x ＋5的解是x ＝1，则m ＝ ______________．二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。

1、以1,5x y =-=为解的二元一次方程（）（A ）有且只有一个（B ）有且只有两个（C ）有且只有三个（D ）有无数个2、二元一次方程325x y += （）（A ）有一个解且只有一个解（B ）有两个解并且只有两个解（C ）无解（D ）有无数个解（三）一元二次方程只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程。

初中数学方程与不等式知识点总结

初中数学方程与不等式知识点总结方程和不等式是初中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和数学运算中都有着广泛的应用。

接下来，让我们一起系统地梳理一下这部分的知识点。

一、方程（一）一元一次方程1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。

一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（＄a ＼neq 0$，＄a$，＄b$为常数）。

2、解法：（1）移项：把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。

（2）合并同类项：将同类项进行合并，化简方程。

（3）系数化为 1：方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。

例如：解方程$3x ＋ 5 ＝ 14$移项得：＄3x ＝ 14 5$合并同类项得：＄3x ＝ 9$系数化为 1 得：＄x ＝ 3$（二）二元一次方程组1、定义：由两个含有两个未知数，且未知数的次数都是 1 的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

2、解法：（1）代入消元法：将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。

例如：解方程组$＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼ x y ＝ 1\end{cases}＄由第一个方程得：＄x ＝ 5 y$，将其代入第二个方程得：＄5 y y ＝ 1$＄5 2y ＝ 1$＄－2y ＝－4$＄y ＝ 2$将$y ＝ 2$代入$x ＝ 5 y$得：＄x ＝ 3$所以方程组的解为$＼begin{cases}x ＝ 3 ＼＼ y ＝ 2\end{cases}＄（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。

【聚焦中考】2015中考数学(陕西省)总复习课件：第9讲不等式与不等式组

解集，还要确定其中的特殊解．
2－x≥－3， 2．(1)(2013· 滨州)若把不等式组的解集在数 x－1≥－2
轴上表示出来，则其对应的图形为( B ) A．长方形 C．射线 B．线段 D．直线
2x＋y＝3k－1， (2)若关于 x， y 的二元一次方程组的解满 x＋2y＝－2
足 x＋y＞1，则 k 的取值范围是
改变．
2x－1 9x＋2 1．(2013· 巴中)解不等式： 3 － 6 ≤1，并把解集表示在数轴上．
解：去分母，得 2(2x－1)－(9x＋2)≤6，去括号，得 4x－2－9x－2≤6，－5x≤10，系数化为 1，得 x≥－2，
在数轴上表示为
一元一次不等式组的解法
x＋2 ＜1， 3 【例 2】 (2014· 东营)解不等式组：把解集在 2（1－x）≤数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．
一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“同大
取其大、同小取其小、大小小大中间夹、大大小小无处找(无解)”．
“解与解集”的联系与区别
不等式的解是指使不等式成立的每一个数，而不等
式的解集是指由全体不等式的解组成的一个集合．因
此，不等式的解可以是一个或多个值，而不等式的解
集应包含满足不等式的所有解．
不等式的解与不等式的解集的区别：解集是能使不
等式成立的未知数的取值范围，是所有解的集合，而
不等式的解则是使不等式成立的未知数的值，二者的
关系是：解集包括解，所有的解组成了解集．
两个失误与防范 “≥”“≤”分别表示“大于或等于”“小于或等于 ”的意思，它们都包括后面连接的数．“非负整数”即“不是负数的整数”，包含了0和正整数，此时0易被忽略，从而造成漏解．利用列不等式解决实际问题，其关键是根据题中的 “超过”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映数量关系的词语(特别要注意理解好生活和生产实际中“不超过”“至少”的含义，这两者转化为相应的不等号应分别是“≤”和“≥”)，列出不等式(组)，迎刃而解．

中考数学专题复习：方程与不等式

中考数学专题复习：方程与不等式一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元一次方程1、一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）2、一元一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）3、解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

4、一元一次方程有唯一的一个解。

三、一元二次方程1、一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0）2、一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法3、一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；当Δ≥0时⇔方程有两个实数根 5、一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a b x x -=+21，ac x x =⋅21 6、以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 三、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

3、检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

中考数学专题复习资料——方程与不等式

初三数学总复习辅导资料2方程与不等式一、方程与方程组二、不等式与不等式组知识结构及内容： 1.几个概念2.一元一次方程（一）方程与方程组3.一元二次方程4.方程组5.分式方程6.应用1.概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解2.一元一次方程：解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零）例题：.解方程：（1） 3131=+-x x （2）x x x -=--+22132 解：（3）关于x 的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。

解：3.一元二次方程：（1）一般形式：()002≠=++a c bx ax（2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式()002≠=++a c bx ax ()042422≥--±-=ac b aac b b x 例题：①、解下列方程：（1）x 2－2x ＝0；（2）45－x 2＝0；（3）(1－3x )2＝1；（4）(2x ＋3)2－25＝0.（5）（t －2）（t +1）=0；（6）x 2＋8x －2＝0(7 )2x 2－6x －3＝0；（8）3（x －5）2＝2（5－x ）解：② 填空：（1）x 2＋6x ＋（）＝（x ＋）2；（2）x 2－8x ＋（）＝（x －）2；（3）x 2＋23x ＋（）＝（x ＋）2 （3）判别式△＝b ²－4ac 的三种情况与根的关系当0>∆时，当0=∆时当0<∆时没有实数根。

当△≥0时有两个实数根例题．①．（无锡市）若关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 满足( )A.k ＞1B.k ≥1C.k ＝1D.k ＜1 ②（常州市）关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 根的情况是（）（A ）有两个不相等实数根（B ）有两个相等实数根（C ）没有实数根（D ）根的情况无法判定③．（浙江富阳市）已知方程022=++q px x 有两个不相等的实数根，则p 、q 满足的关系式是（）A 、042>-q pB 、02>-q pC 、042≥-q pD 、02≥-q p （4）根与系数的关系：x 1＋x 2=ab-，x 1x 2=a c例题：（浙江富阳市）已知方程011232=-+x x 的两根分别为1x 、2x ，则2111x x + 的值是（）A 、112 B 、211 C 、112- D 、211-4.方程组：−−−−→−−−−→代入消元代入消元加减消元加减消元三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元例题：解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y x解解方程组20328x y x y -=⎧⎨+=⎩解解方程组：11233210x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 解解方程组：128x y x y -=⎧⎨+=⎩解解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝93（x ＋y ）＋2x ＝33解5.分式方程：分式方程的解法步骤：（1）一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验（2）换元法例题：①、解方程：211442-=+-x x 的解为 065422=++-x x x 根为 ②、当使用换元法解方程03)1(2)1(2=-+-+x x x x 时，若设1+=x x y ，则原方程可变形为（）A ．y 2＋2y ＋3＝0B ．y 2－2y ＋3＝0C ．y 2＋2y －3＝0D ．y 2－2y －3＝0（3）、用换元法解方程433322=-+-xx x x 时，设x x y 32-=，则原方程可化为（）（A ）043=-+y y （B ）043=+-y y （C ）0431=-+y y （D ）0431=++yy 6.应用：（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）（2）一元二次方程（增长率、面积问题）（3）方程组实际中的运用例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度）解：②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度解③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）解④已知等式 (2A-7B) x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立，求A、B的值解⑤某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表：2 3表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组A、272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B、2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C、273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D、2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩解⑥已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数. 解⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.解：1几个概念（二）不等式与不等式组2不等式3不等式（组）1.几个概念：不等式（组）、不等式（组）的解集、解不等式（组）2.不等式：（1）怎样列不等式：1．掌握表示不等关系的记号2．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．(1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算．(2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．例题：用不等式表示：①a为非负数，a为正数，a不是正数解：②(2)8与y的2倍的和是正数；(3)x与5的和不小于0；(5)x的4倍大于x的3倍与7的差；解：（2）不等式的三个基本性质不等式的性质1：如果a>b ，那么a ＋c>b ＋c ，a －c>b －c推论：如果a ＋c>b ，那么a>b －c 。

(完整版)方程与不等式的知识点梳理

方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。

那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。

也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

中考数学必背知识手册方程与不等式

考点02 方程与不等式一、等式方程整式方程一元一次方程概念只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。

其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).解法解法依据是等式的基本性质.性质①：若a=b，则a±m=b±m；性质①：若a=b，则am=bm；若a=b，则dbda=(d≠0).解法的一般步骤：①去分母；①去括号；①移项；①合并同类项；①未知数的系数化为1.一元二次方程概念（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.解法（降次）① 直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是nmx±-=配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成222442aacbabx-=⎪⎭⎫⎝⎛+的形式，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求解公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为知识归纳1. 解二元一次方程组的步骤（1）代入消元法① 变：将其一个方程化为y =ax +b 或者为x =ay+b 的形式 ② 代：将y =ax +b 或者为x =ay+b 代入另一个方程 ③ 解：解消元后的一元一次方程④ 求：将求得的未知数值代入y =ax +b 或x =ay+b ，求另一个未知数的值 ⑤ 答:写出答案（2）加减消元法① 化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式, ② 加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数 ③ 解：解消元后的一元一次方程④ 求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值 2. 解二元一次方程组的方法选择（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法 3. 分式方程验根的两种方法（1）把求得的未知数的值代入原程进行检验，这种方法可以检验解方程时计算有无错误；（2）把求得的未知数的值代入分式的最公分母，看最简公分式的值是否等于零，这种方法不能检查解力程过程中出现的计算错误,式组的解集⎩⎨⎧≤≤b x ax x ≤a小小取小⎩⎨⎧≤≥b x ax a ≤x ≤b大小小大中间找⎩⎨⎧≥≤bx ax 无解大大小小解不了答题指导4. 分式方程无解两种情形（1）分式方程化为整式方程后所得整式方程无解，则原程无解；（2）整式方程有解，但所求得的解经检验是增根，此时分式无解。

方程(组)与不等式(组)知识点

中考复习三方程（组）与不等式（组）【一次方程及方程】一、等式与方程的有关概念1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca. 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 3. 解一元一次方程的步骤：①去；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 二、二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有未知数（元）并且未知数的次数是的整式方程.2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的组成的方程组叫二元一次方程组.3．二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有个解.4．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的，叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤：二元一次方程组方程.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有消元和消元法两种. 6．易错知识辨析：（1）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.（2）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；（3）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值；（4）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.1.（2009年，3分）如图9加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55 cm ，此时木桶中水的深度是 cm ．2.（2010年，2分）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x 张，根据题意，下面所列方程正确的是 A ．48)12(5=-+x x B ．48)12(5=-+x x C ．48)5(12=-+x x D ．48)12(5=-+x x 【一元二次方程及其应用】1.一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,240)x b ac =-≥.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.4．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .5．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、答六步。

中考数学基础知识复习方程不等式

中考数学基础知识复习-----方程与不等式一、一次方程1.方程的分类2.方程的有关概念（1）方程：含有的等式叫方程。

（2）有理方程：_________________________________________统称为有理方程。

（3）无理方程：__________ 叫做无理方程。

（4）整式方程：___________________________________________叫做整式方程。

（5）分式方程：___________________________________________叫做分式方程。

（6）方程的解：叫做方程的解。

（7）解方程： _叫做解方程。

（8）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。

（9）二元一次方程：___________________________________叫做二元一次方程 3．①解方程的理论根据是：_________________________②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________. ③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验； 4．解一元一次方程的一般步骤及注意事项：5. 二元一次方程组的解法．（1）代人消元法：（2）减消元法： 6．整体思想解方程组．（1）整体代入．（2）整体加减，二、一元二次方程1. 一元二次方程：只含有一个，且未知数的指数为的整式方程叫一元二次方程。

它的一般形式是（其中、）它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有实数；当△=0时，方程有实数根；当△＜0时，方程有实数根；一元二次方程根的求根公式是、（其中） 2．一元二次方程的解法：⑴ 配方法：配方法是一种以为手段，以为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为，即方程两边同除以；② ，即使方程的左边为和，右边为；③ ，即方程两边都加上的绝对值一半的平方；④化原方程为2(x+m)=n 的形式；⑤如果n 0≥就可以用开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程．⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。

【中考复习】中考数学知识考点：方程与不等式的应用

【中考复习】中考数学知识考点：方程与不等式的应用中考数学知识测试场：方程式和不等式的应用1、方程与方程组一元线性方程：① 在一个等式中，只有一个未知数，该未知数的指数为1。

这种方程称为一元线性方程。

② 在方程两边同时加或减、乘或除（不是0）一个代数公式，结果仍然是一个方程。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元基本方程：一个包含两个未知数且未知数项数为1的方程称为二元基本方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适用于二元一次方程的一组未知数的值称为二元一次方程的解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

二元线性方程组的求解方法：代换消元法/加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程一）一元二次方程的二次函数关系大家已经学过二次函数(即抛物线)了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y的0的时候就构成了一元二次方程了。

那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与x轴的交点。

也就是该方程的解了2）一元二次方程的求解大家知道，二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a)，这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解（1）匹配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解（2）因子分解法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解（3）公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根x1={-b+[b2-4ac)]}/2a，x2={-b-[b2-4ac)]}/2a3）求解一个变量的二次方程的步骤：(1)配方法的步骤：首先将常数项移到方程右侧，然后将二次项的系数变为1，然后同时将二次项系数的平方加上一半，最后形成完整的平方公式(2)分解因式法的步骤：将等式的右侧变为0，然后查看是否可以使用提取公因子、公式方法（此处指分解因子中的公式方法）或交叉乘法。

中考数学背诵手册专题02方程与不等式

中考数学考点聚焦专题02 方程与不等式聚焦1一元一次方程和二元一次方程组锁定目标：1.了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．3．会列方程(组)解决实际问题.锁定考点：考点一等式及方程的有关概念1．等式及其性质(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式叫做方程．(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．考点二一元一次方程1．只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为ax ＋b ＝0(a ≠0)，其解为x ＝b a-. 2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.考点三二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程(1)概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程． (2)一般形式：ax ＋by ＝c (a ≠0，b ≠0)．(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． (4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解． 2．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．考点四二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；(2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；(4)把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值．2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．考点五列方程(组)解应用题步骤：(1)设未知数；(2)列出方程(组)；(3)解方程(组)；(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义；(5)写出答案(包括单位名称)．聚焦2 一元二次方程锁定目标：锁定考点：考点一一元二次方程的概念 1．定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 2．一般形式一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．考点二一元二次方程的解法 1．配方法如果x 2＋px ＋q ＝0且p 2－4q ≥0，则⎝⎛⎭⎫x ＋p 22＝－q ＋⎝⎛⎭⎫p 22. x 1＝－p2＋－q ＋⎝⎛⎭⎫p 22，x 2＝－p 2－－q ＋⎝⎛⎭⎫p 22.二次项系数不为1的，先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1. 2．公式法方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)且b 2－4ac ≥0，则x ＝－b ±b 2－4ac2a.3．因式分解法一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0； (2)将方程左边分解为两个一次因式乘积的形式； (3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．考点三一元二次方程根的情况1．b 2－4ac ＞0一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根． 2．b 2－4ac ＝0一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根． 3．b 2－4ac ＜0一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．考点四一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)弄清题意，确定适当的未知数； (2)寻找等量关系；(3)列出方程，注意方程两边的代数式的单位要相同； (4)解方程，检验并写出答案．聚焦3 分式方程锁定目标：锁定考点：考点一分式方程1．分母里含有未知数的有理方程叫分式方程．2．使分式方程分母为零的未知数的值即为增根；分式方程的增根有两个特征： (1)增根使最简公分母为零；(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．考点二分式方程的基本解法解分式方程的一般步骤：(1)去分母，把分式方程转化为整式方程； (2)解这个整式方程，求得方程的根；(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．考点三分式方程的实际应用分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： (1)检验所求的解是否是所列分式方程的解； (2)检验所求的解是否符合实际．聚焦4 不等式与不等式组锁定目标：考点一不等式的有关概念及其性质 1．不等式的有关概念(1)不等式：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式．(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集． (3)解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2．不等式的基本性质(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变，即若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c (或a －c ＜b －c )．(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即若a ＜b ，且c ＞0，则ac ＜bc ⎝⎛⎭⎫或a c <b c . (3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即若a ＜b ，且c ＜0，则ac ＞bc ⎝⎛⎭⎫或a c >b c . 考点二一元一次不等式(组)的解法1．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式． 2．解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.3．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．4．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集．5．一元一次不等式组解集的确定方法若a ＜b ，则有：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x <b 的解集是x ＜a ，即“同小取小”． (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x >a ，x >b的解集是x ＞b ，即“同大取大”． (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x >a ，x <b 的解集是a ＜x ＜b ，即“大小小大中间夹”． (4)⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x >b 的解集是空集，即“大大小小无解答”．考点三不等式(组)的应用1．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．2．列不等式(组)解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系；(4)列出不等式(组)；(5)求出不等式(组)的解；(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值；(7)写出答案(包括单位名称)．。

方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y k x b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b >⎧⎨<⎩ba无解（空集）（大大、小小找不到）A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>-> ∴A>C>B【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x （1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

中考方程(组)与不等式(组)知识点汇总

1、方程含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。

. 已知方程（m ＋1）x ︱m ︱＋3＝0是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（）A 、1B 、1C 、－1D 、0或1.已知关于x 的方程432x m -=的解是x m =，则m 的值是________ .41x 5+－612-x =1－123x - 二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法.若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为A ．43-B ．43C ． 34D ．34- ．若方程6=+ny mx 的两个解为 11x y =⎧⎨=⎩ 21x y =⎧⎨=-⎩，则m =__________. ．在一本书上写着方程组21x py x y +=⎧⎨+=⎩ 的解是 0.5x y =⎧⎨=⎩口,其中y 的值被墨渍盖住了,不过,我们可解得出p =___________.．32522(32)28x y xx y x+=+⎧⎨+=+⎩．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+244263nmnm不等式的概念1、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

方程与不等式知识点总结

第一章一元一次方程1、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。

2、一元一次方程的标准形式： ax+b=0(x 是未知数，a 。

b 是已知数，且a ≠0)。

3、一元一次方程解法的一般步骤：整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… (检验方程的解)。

4、列一元一次方程解应用题：(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。

(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础。

11、列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度·时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效·工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体·比率全体部分比率= 比率部分全体=； (4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题：售价=定价·折·101 ，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率； (6)周长。

面积。

体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abc ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h 。

初中数学方程与不等式知识点梳理

初中数学方程与不等式知识点梳理初中数学方程与不等式是数学学科中重要的内容之一。

它们不仅在数学中具有广泛的应用，而且在生活中也有丰富的应用。

本文将对初中数学方程与不等式的相关知识点进行梳理，以帮助大家更好地理解和掌握这些概念。

一、方程的基本概念与解法方程是指具有等号的数学式子，其中包含有未知数。

方程的解即使使得该方程成立的数值。

初中数学中常见的方程有一元一次方程、一元二次方程等。

1. 一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，其一般形式为ax + b = 0，其中a和b的值已知且a不等于0。

一元一次方程的解即为使该方程成立的未知数的值。

解一元一次方程的一般步骤如下：- 将方程中的未知数和常数项分别移到一边，使方程变为ax = -b的形式；- 此时，解方程的结果可以通过将-b除以a来求得。

2. 一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c的值已知且a不等于0。

一元二次方程的解一般为两个实数解或两个复数解。

解一元二次方程的一般步骤如下：- 利用配方法，将方程变形为(a*x + b)² = d的形式，其中d为已知数；- 对方程两边开平方，解得a*x + b = ±√d；- 将方程继续变形为x = (-b ± √d) / a，得到解。

3. 方程的解的判定对于一元一次方程，我们可以通过代入法来判断一个数是否是其解，即将该数代入方程中，检验等号是否成立。

对于一元二次方程，解的情况较为复杂。

通过求解二次方程的根，我们可以判断解的类型：- 当计算得到的判别式D大于0时，方程有两个不相等的实数根；- 当D等于0时，方程有两个相等的实数根；- 当D小于0时，方程有两个共轭的复数根。

4. 方程的应用方程在生活中有广泛的应用，例如：- 使用方程可以解决一些实际问题，如物体运动问题、几何问题等；- 方程在财务管理方面也有应用，如利息计算、投资问题等。