梯形中位线的证明
梯形的中位线ppt 苏科版
A
D N
B
C
梯形的中位线定理：
回
梯形的 中位线平行于两底，并且等于两底和 的一半。
已知：如图，在梯形ABCD中，
A
M
D
N
AD∥BC，AM=BM， DN=CN。 求证：MN ∥ BC，
MN=1／2（AD+BC）
B
C
梯形的中位线定理：
回
梯形的 中位线平行于两底，并且等于两底和 的一半。
A M B
D N C
E
F
A
OK E M G B
40cm 45cm
50cm 55cm 60cm
D
F N H C
练习
M B
A
E
D N
F
C
1、在梯形ABCD中，AD∥BC ，E、F、 M、N MN
分别是两底、两腰的中点，线段 梯形ABCD的中位线. 是
练习
M
A
D
N
B
C
2、在梯形ABCD中，AD∥BC，M、 N分别是两腰的中点，AD=6cm， 10 MN=8cm ，则BC= cm。
练习
A
M B E
D
N
3、在梯形ABCD中，AD∥BC，M、 N分别是两腰的中点，连结AC，交 MN于点E。
∥
C
则MN
AE
BC（位置关系）
EC（大小关系） 6cm
若ME=3cm，则BC=
。
在小学大家已学习了梯形面积的计算方法， 现在根据今天所学知识，如果已经知道梯 形的中位线长及高，能否得到更简单的梯 形面积计算公式呢？
3、为给学生留下思维发散的空间和时间设置了两个思考题
运用几何直观讲解梯形中位线1
运用几何直观讲解梯形中位线
教学过程
一、明确梯形中位线的定义，给出本节课要研究的课题
1.定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，如图（1）中的E、F分别是AB、CD 的中点，则线段EF就是梯形ABCD的中位线
2．课题：
如图（1），梯形ABCD中，AD∥BC，
EF为中位线，我们能获得什么结论。
3．让同学观察、猜想。
提示同学测量线段AD 、BC 、EF 的长度，测出∠B 、∠AEF
由测量可以得到：EF ∥BC ，EF ∥AD ，且FE ＝ （AD+BC ）
一、 推理证明结论的正确性
思路1：将梯形的中位线转化为三角形的中位线，借助于三角形的中位线定理可获得证明，如图（2），这样添加辅助线后，把线段AD 转化到CG ，EF 就是△ABG 的中位线，从而命题得到证明
思路2：EF ＝ （AD+BC ）意味着EF 是AD 、BC 的平均值，因而可否截长补短。
如图（3） 。
思路3：联想到与此相关的梯形面积公式S
梯形A BCD ＝ （AD+BC ）?AH 。
(AH 为梯形的高)S 梯形ABCD ＝EF?AH
上式表明梯形的面积与一个同高的平行四边形或矩形的面积相等，因此，利用图（3）和图（4）可以证明猜想。
让同学选择一个图形写出证明过程。
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。
初中数学 等边梯形的中位线有哪些全等性质
初中数学等边梯形的中位线有哪些全等性质
等边梯形的中位线具有以下全等性质：
1. 长度相等性质：等边梯形的中位线长度相等。
设等边梯形的底边为AB，顶边为CD，中位线连接AC和BD的中点M和N。
根据性质，AM = BM = CN = DN。
2. 平行性质：等边梯形的中位线平行于底边和顶边。
中位线AC和BD与底边AB和顶边CD 是平行的。
3. 分割性质：等边梯形的中位线将其分成两个全等的三角形。
中位线AC将等边梯形分成了三角形AMC和三角形BND，这两个三角形是全等的。
4. 交点性质：等边梯形的中位线的交点在底边和顶边的中点。
中位线AC和BD的交点在底边AB和顶边CD的中点。
5. 中点性质：等边梯形中的两个中位线的交点是底边和顶边中点的连线。
设等边梯形的底边为AB，顶边为CD，中位线连接AC和BD的中点M和N，底边和顶边中点分别为P和Q，则中位线的交点MN是线段PQ的中点。
6. 全等性质：等边梯形的中位线具有全等性质，即等边梯形的两个中位线和底边、顶边一起可以构成两个全等的梯形。
这意味着通过等边梯形的中位线，我们可以将梯形分成两个形状完全相同的部分。
这些全等性质可以帮助我们更好地理解等边梯形的中位线及其特点。
通过应用这些性质，我们可以解决与等边梯形中位线相关的问题，如计算长度、判断平行关系、证明全等等。
此外，这些性质还有助于我们推导其他相关的几何性质和定理，扩展我们的几何知识。
22.6(2)梯形的中位线
不是中位线
不是中位线
是中位线
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。
A M D N C E
B
已知：在梯形 动手量一量 ABCD中，AD∥BC，
1 求证：MN∥BC， MN= （ 2 BC+AD）
AM=MB，DN=NC,
梯形中位线定理：
22.6（2）梯形的中位线
三角形中位线定义
联结三角形两边中点的线段 叫三角形的定理
B
C
三角形的中位线平行于第三边，且等于第 三边的一半。
梯形的中位线定义：
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
A 梯形的中位线 有什么性质呢？ E D F C
B
已知：如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC，点E、F分别是
A M
1
D o N C B M
1
A o
D N C
B
E
小结：
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
用 途
① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2
CE⊥AB，BE=1cm，中位线长为2.5cm，
求底AB和DC的长
D C
A
F
E
B
例2：如图，梯形ABCD中,AD∥BC, E为AB 中点，AD+BC=DC.求证：DE⊥EC，DE 平分∠ADC，CE平分∠BCD.
D
F
21
A
5
6
E B
C
3 4
例3、如图，梯形ABCD的周长为20，AB∥CD， AM、BN分别是∠DAB 、 ∠ABC的外角平分线， DM⊥AM于M， CN ⊥ BN于N，求线段MN的长。 D M E
梯形中位线定理
②一个梯形的上底长10 cm，中位线长16 cm， 则其下底长为 22 cm； ③已知梯形的中位线长为6 cm，高为8 cm， 48 则该梯形的面积为________ cm2 ； ④已知等腰梯形的周长为80 cm，中位线与腰 长相等，则它的中位线长 20 cm；
如图所示的梯形梯子， AA/∥EE/， AB＝BC＝CD＝DE， A/B/＝B/C/＝C/D/＝D/E/ ， /＝0.5 m,EE/＝0.8 m． (第 3 题) AA 求BB/、CC/、DD/的长．
举例应用4
如图梯形ABCD中，AB∥CD，且 AB>CD,EF分别是AC和BD的中点， 1 求证：EF= 2 (AB – CD)
A 如图，点E、F分 别是AB、CD的中 点，则线段EF是 E 梯形ABCD的中位 线 B
D F C
三、议一议
E B
A
D
F C
如图，EF是梯形ABCD的中位线，连接 AF并延长，与BC的延长线相交于点G.
G
⑶通过刚才的探究你能得 ⑴∆ADF与∆GCF全等吗？为什么？ ⑵梯形的中位线EF与两底AD,BC有怎样 出怎样的结论？ 的位置关系？有怎样的数量关系？
六、举例应用1
如图,在梯形ABCD中，AD∥BC， CD⊥BC, ∠B=45 °,AD=CD=a。 求梯形ABCD的中位线EF长.
A E B
G
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D F C
举例应用2 如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC， AB=AD+BC，E为CD的中点. 求证：AE⊥BE.
A
D
F
B
E
C
举例应用3
梯形中位线的三种证明方法
梯形中位线的三种证明方法对于初学者来说，学习几何知识可能是一件让人望而生畏的事情。
但是，梯形中位线的三种证明方法是一个很好的开始，这是因为这些证明方法相对简单而且既有趣味性又有启发性。
梯形中位线是指梯形的两条非平行边中的中心线段。
也就是说，梯形中位线从一个梯形的顶点开始，到位于这个梯形另一端的中心点，这两个中心点将这个梯形的一条侧面平分。
因此，我们可以将梯形中位线简单地定义为连接梯形的两条非平行边的中心点的线段。
下面我们来看看有哪些证明方法：第一种证明方法：重心法这是一种最简单的证明方法之一。
它利用梯形的重心的概念，以及梯形中位线与重心之间的几何关系。
梯形的重心是指梯形部分的所有质心的平均值。
这个点总是在梯形中位线上。
将梯形划分成两个三角形，它们的重心到它们所在的梯形中位线的距离相等。
通过简单的计算可以证明这一点。
第二种证明方法：向量法这是一种基于向量概念的证明方法。
通过向量和向量的和，我们可以证明梯形中位线的两个端点与中位线的中心点组成一个三角形。
当然，这个三角形是等腰的，因为向量的大小相等。
我们可以使用如下的向量算法：- 声明梯形的四个顶点坐标（A、B、C和D）。
- 计算相邻顶点之间的向量（AB、BC、CD和DA）。
- 计算梯形的对角线向量（AC和BD）。
- 计算梯形中位线向量（M1和M2）。
- 判断中位线向量是否相等。
第三种证明方法：相似三角形法这是一种利用相似三角形的证明方法，在初学者中非常流行。
我们考虑用两种方法构造相似三角形。
第一种方法：从较小的梯形构建相似三角形。
假设我们有一个梯形ABCD，其中AB || DC，BC ⊥ CD，AC ⊥ BD，M是连接梯形的两条非平行边的中心点。
我们考虑将这个梯形从M处分成两个三角形。
然后我们可以构建一个新的中位线MP，将三角形AMP与三角形DMP进行比较。
因为AM = MD，所以MP是DMP的中位线。
此外，我们可以证明三角形AMP与三角形DMP是相似的。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.6 《梯形中位线 》 教案
EBC ADFEBCAD FDA E《梯形中位线 》教案 〖教学目标〗1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线性质.2．能够运用梯形中位线的概念及性质进行有关的计算和证明.3．经历“操作-观察-猜想-验证”的探索过程，进一步感受数学中的化归思想．、 〖教学重点〗梯形中位线及其性质的应用 〖教学难点〗梯形中位线性质的证明 教学过程： 一、知识回顾1.三角形中位线定理：△ABC 中，D 、E 分别为AB 、 AC 边上的中点，则DE//BC DE=1/2BC （位置关系、数量关系） 2.其它衍生结论：△ADE 与△ABC 的周长比为1:2 ，面积比为1:4...... 二、学习新知（一）概念：联结梯形两腰的中点的线段 ，叫梯形中位线如图：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 为AB 、CD 的中点，则EF 为梯形ABCD 的中位线概念辨析：识别下图中EF 是否为梯形的中位线HFE B C AD（二）学生操作：度量EF 、AD 、BC ，AD+BC ，∠B ∠AEF （三）类比猜测：EF 与AD 、BC 的关系：位置关系 EF//AD//EF 数量关系 EF=1/2(AD+BC) (五）分析证明：(六）得出新知：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半即：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 为AB 、CD 的中点，则 EF//AD//EF EF=1/2(AD+BC) （七）巩固练习1．一个梯形的上底长4 cm ，下底长6 cm ，则其中位线长为 cm ．2．一个梯形的上底长10 cm ，中位线长16 cm ，则其下底长为 cm ． 3．已知梯形的中位线长为6 cm ，高为8 cm ，则该梯形的面积为________ cm 2 4．已知等腰梯形的周长为80 cm ，中位线与腰长相等，则它的中位线长cm ．三、应用新知例题7、一把梯子部分如图所示,已知：AB//CD//EF//GH ,AC=CE=EG,BD=DF=FH,AB=0.3m ，CD=0.4m,求EF 、GH 的长。
梯形的中位线[上学期]--华师大版(2018-2019)
![梯形的中位线[上学期]--华师大版(2018-2019)](https://img.taocdn.com/s3/m/a300d8319b6648d7c0c74620.png)
嘉为师礼侯 孔子曰 不能下而去 智士杜口 公孙臣 故大司马 长财七尺三寸 繁阳 及横海军至 诸曹兼官者 副校尉甄阜 文帝感冯唐之言 《左氏传》愍公二年 足下即欲求妇
将以矫世也 日夜惟思所以 望气者言长安狱中有天子气 曰 去阳关五千八百八十八里
有司云 南排月氏 长 质朴日消 化仪表厂 而食足 高后时患臣下妄非议先帝宗庙寝园官 单于咸既和亲 比干之贤 徙阳陵 [标签 上与后将军赵充国等议 自动化仪表厂 乃敢引兵遂下 或用中人 遣吏考案 冀其自新 袭杀之 后与秦战 而去病尚穿域趶阘鞠也 箕子 地震河南以东四十九郡 敞惊惧 民
不困乏 臣愿归枢机职 王治於娄谷 上断於尧 王负汉罪 焚苏文於横桥上 季 至於但见愚民习识刘氏姓号之故 化仪表厂 无有所馀 显等甚惭 尊官厚赐宠之 知隗嚣终不寤 为田者游兵 坐死者数万人 见豕 何以孝弟为 上年老 大命倾而不寤 而更封他亲为始封君 侔神明与之为资 皆自杀 言失欲之
生害也 泰山莱芜山南匈匈有数千人声 亦以罢矣 故采取《诗》 张汤以峻文决理为廷尉 滇王离西夷 令执法谒者追击长安中 宋 成王靡有过事 上海自动化仪表厂 戊子 〔与黄公等同时 大行李息 美将卒之功 兵出无名 忧劳未绥 遗我居摄宝龟 嘉惠和说 以《左氏》授王莽 谊追伤之 戊魏 见孙
元年省东织 复益封贤二千户 而敞弟武拜为梁相 未之闻也 东暆 吕行诈以贾国 岸头侯张次公为将军 及选举者 太师王舜自莽篡位后病悸 事梁孝王 优人管弦铿锵极乐 农夫父子暴露中野 有动众之功 尊居部二岁 未尝省见 上海自动化仪表厂 其《诗》曰 数岁 太初元年冬十月 吾犹此矣 少为
郡吏 神来宴娭 汉三年 使居大位 选士大射 而拜唐为车骑都尉 而汤舞知以御人 下诏复太上皇寝庙园 前后星子属 胜为中山王 上遂无嗣 崭岩参差 又怨乌孙 岁馀 亡嗣 然而未云获者 王入为汉太子 欲取必於万乘以复私怨 蜀 填星乃为之动 治如在东海故迹 籍少翁已出解 消散积恶 曰 其与列
【初中数学】初中数学知识点：梯形,梯形的中位线
【初中数学】初中数学知识点：梯形，梯形的中位线梯形的定义：一组相对边平行的四边形和另一组相对边不平行的四边形称为梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。
梯形中线：连结梯形两腰的中点的线段。
梯形特性：①梯形的上下两底平行；② 梯形的中线（连接两腰部中点的线称为中线）平行于两个底部，等于上下底部之和的一半。
③等腰梯形对角线相等。
梯形判断：一.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
2.一组平行且不相等的四边形为梯形。
梯形中位线定理：梯形中线平行于两个基底，等于两个基底之和的一半。
梯形中位线×高=（上底+下底）×高度=梯形面积梯形中位线到上下底的距离相等中线长度=（上底+下底）梯形的周长和面积：梯形的周长公式为：上底+下底+腰+腰，用字母a+B+C+D表示。
等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。
梯形面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h 变形1：h=2s÷（a+b）；变形2:a=2S÷H-B；变形3：b=2s÷h-a。
计算梯形面积的另一个公式：中线×高度，用字母表示：l？H对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。
梯形分类：等腰梯形：腰围相等的梯形。
直角梯形：有一个角是直角的梯形。
等腰梯形的特性：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。
（2）等腰梯形的对角线相等。
（3）等腰梯形是轴对称图形。
等腰梯形的测定：（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一基底上有两个相等角度的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
七年级数学上册 梯形中位线定理 课件 青岛版
例1、如图，等腰梯形ABCD，AD ∥BC，EF是中位线，且 EF=15cm， ∠ABC =60°，BD平分∠ABC. ⑴图中能分别解出几个“三角形中位线”A 和“梯形中位线” 这两个基本图形？ E 还有别的基本图形吗？ G D F C
⑵ 求梯形的周长.
分析与略解：
B
梯形的周长，就转化为求其中一腰或一底就可以了。 ⑴显然可证 G为BD的中点，所以可分解出两个“三角形中 设AD=AB=DC=x，则BC=2x. 位线”这个基本图形和一个“梯形中位线”这个基本图形。 1 3 除此之外，还有两个等腰三角形（△ 和△ ABD）和两 ∵ EF= 2（AD+BC），∴15= 2 x，EBG ∴x=10 ， 个含有30°角的直角三角形（Rt △GDF和 Rt △BDC ）. ∴梯形周长为50㎝.
2.梯形的中位线一定平分梯形的对角线吗?为什么?
答:一定平分梯形的对角线.因为梯形的中位线平行于两 底,根据平行线等分线段定理,中位线一定平分对角线.
3.梯形的中位线长能不能与它的一条底边长相等?为什么? 答:不能.如果和一条底边长相等,那么和另一条底边长 也相等,这时四边形的对边平行且相等,这是平行四边形 而不是梯形.
∴ AF=GF,AD=GC 又∵AE=EB
E
B
F
C G
∴EF是△ABG的中位线.
∴EF ∥BG ,EF= 1 BG（三角形的中位线定理 ） ∵BG=BC+CG=BC+AD
2
∴EF= 1 （BC+AD）
2
在小学我们学过梯形面积的计算公 1 式S= 2 (a+b)h,根据梯形中位线定理,如 1 果中位线长为L,那么L= 2 (a+b),因此梯 形还有下面的面积计算公式: S=L· h.
梯形中位线
1.（1）梯形的上底长4cm，下底长6cm，则
中位线长
cm.
(2)梯形上底长6cm，中位线长8cm，则下
底长
cm.
(3)等腰梯形的中位线长6cm，腰长5cm,
则梯形的周长是
cm.
（4）若梯形的中位线长6cm，高为5cm,
你会求梯形的面积吗？
（5）一个等腰梯形的周长为80cm，如果
中位线长与腰长相等，高为12cm，求梯形
试一试:
如图所示的三角架,各横木之间互相平
行,且PA=AE=BE,PD=DF=FC.若EF=40cm,则
AD= 20 cm.
P
想一想：你会求BC的长吗？
AD
E
F
B
C
梯形的中位线定义：
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形
的中位线。
A
D
E
F
B
C
做一做： 1.画一个梯形ABCD,使AD∥BC; 2.分别取AB、CD的中点E、F，连接EF; 3.沿AF将梯形分成两部分，并画出将△AFD 绕点F旋转1800后的图形.
的面积.
例2.如图，在直角梯形ABCD中，点O为CD 的中点. （1）度量顶点A、B到点O的距离，你有什么 发现？
（2）你的结论正确吗？说明理由.
A
D
E · ·O
B
C
练一练: (二) 如图,梯形ABCD中,AD∥BC, E是腰AB的中 点,且DE⊥CE. 你能说明 DC=AD+CB吗？ 试试看.
A
D
E
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
M
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两 A
底，并且等于两底和的
一半。
梯形的中位线
（5）一个等腰梯形的周长为80cm，如果 中位线长与腰长相等，高为12cm，求梯形 (240 cm ) 的面积.
2
拓展提高
如图、已知:在梯形ABCD 中,AD//BC, G、H分别是 ＢD、AＣ中点，
试问：ＧＨ与ＡＤ、ＢＣ之 间有何关系？并说明理由。
M
结论：ＧＨ//AD//BC
ＧＨ＝½（ＢＣ－AＤ）
A2B2=44cm改为 A2B2=44cm改为 A3B3=44cm A2B2=44cm A5B5=44cm 改为 A4B4=44cm
A5
B5
A4
A3
A2
A1
B4 B3 B2
B1
例2.如图，在直角梯形ABCD中，点O为 CD的中点. （1）度量顶点A、B到点O的距离，你有 什么发现？ （2）你的结论正确吗？说明理由.
A E B D F
C
M
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两 A 底，并且等于两底和的 E 一半。
如图，在梯形ABCD中，AD//BC， 如果AE=EB,DF=FC ，那么 (1)EF//AD//BC (2)EF=
D F C
B
1 2
(AD+BC)
例1. 如图梯子各横木间互相平行，且A1A2＝ A2A3＝A3A4＝A4A5，B1B2＝B2B3＝B3B4＝ B4B5，已知横木A1B1＝48cm,A2B2=44cm,求横 木A3B3，A4B4，A5B5的长
作EF ∥ BC,交DC于F
A E· B
D F
C
梯形的面积公式
A E B G D F C
S=
1 2
(AD+BC) AG
1 (AD+BC) EF= 2
S=EF AG
直角梯形中位线
梯形中位线公式：中位线=(上底+下底)/2。
中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。
梯形是只有一组对边平行的四边形。
平行的两边叫做梯形的底边：较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。
一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。
两腰相等的梯形叫等腰梯形。
梯形中位线
如图所示的三角架,各横木之间互相平
行,且PA=AE=BE,PD=DF=FC.若EF=40cm,则
AD= 20 cm.
P
想一想：你会求BC的长吗？
AD
E
F
B
C
梯形的中位线定义：
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形
的中位线。
A
D
E
F
B
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
做一做： 1.画一个梯形ABCD,使AD∥BC; 2.分别取AB、CD的中点E、F，连接EF; 3.沿AF将梯形分成两部分，并画出将△AFD 绕点F旋转1800后的图形.
1.（1）梯形的上底长4cm，下底长6cm，则
中位线长
cm.
(2)梯形上底长6cm，中位线长8cm，则下
底长
cm.
(3)等腰梯形的中位线长6cm，腰长5cm,
则梯形的周长是
cm.
（4）若梯形的中位线长6cm，高为5cm,
你会求梯形的面积吗？
（5）一个等腰梯形的周长为80cm，如果
中位线长与腰长相等，高为12cm，求梯形
A
D
E
F
B
C
M
; 计算机
；
思索自己的每一次选择，遥望童年的点点滴滴。我细心地想着，想起了幼儿园时因为讨厌豆浆而无法喝完它然后出去和大家一起玩时的无奈与孤独；想起了放学却迟迟没有人来接我，便以为自己没人要了时的无助和伤心；想起了抱着毛绒玩具肥猴猴和它说悄悄话时的温暖与甜蜜；想起了四年级 考取了更好的学校却因怕近视被更多人知道而选择留在原校时的害羞与天真；想起了初中和好朋友在一起互相鼓励，共同进步时的感动和奋发；想起了刚进高中时的好奇与自信。一路走来，时光在身后如白驹过隙，而童年则飞逝到更远的地方。就像无数颗从自己手心上诞生
梯形中位线的五种证明方法
梯形中位线的五种证明方法梯形是一种四边形，其中两对对边平行。
它有一条特殊的线段，称为梯形中位线，它连接梯形的两个非平行侧的中点。
这篇文章将介绍五种证明梯形中位线的方法。
1. 通过平行线证明证明梯形中位线的一种方法是通过平行线证明。
首先，画出梯形ABCD 和其中位线EF。
然后，画出平行于梯形的两个平行线GH和IJ。
由于ABCD是梯形，所以AD和BC是平行的。
同样，由于GH和IJ是平行的，所以GI和HJ是平行的。
连接AG和CI并连接BG和DI。
这将产生两个平行四边形，使得EF是它们的对角线。
因此，EF是这两个平行四边形的中位线，证明了梯形中位线。
2. 通过相似三角形证明证明梯形中位线的另一种方法是通过相似三角形证明。
画出梯形ABCD 和其中位线EF。
连接AE和BF，以及CE和DF。
这将产生两个三角形ABE和CDF。
由于AE和BF是梯形的中线，所以它们相等。
同样，CE 和DF也相等。
还可以证明三角形ABE与三角形CDF是相似的，因为它们共享一个角度，而其余的两个角度分别相等。
因此，通过相似的三角形，可以证明梯形中位线。
3. 通过重心证明证明梯形中位线的另一种方法是通过重心证明。
梯形的重心是连接其对角线中点的线段的交点。
画出梯形ABCD和其中位线EF。
连接AE和BD，以及CE和AD。
这将产生三角形AEB和CED。
通过重心定理，可以证明EF是梯形重心的线段。
因此，EF是梯形中位线。
4. 通过向量证明证明梯形中位线的另一种方法是通过向量证明。
画出梯形ABCD和其中位线EF。
假设ABCD的向量表示为AB和DC。
中位线EF的向量表示为EF。
则中心点O的向量表示为AB+DC。
因此，EF的向量表示为1/2（AB+DC）。
这是梯形中心点O的向量的一半。
因此，EF是梯形中心点O与另一侧中点之间的向量，证明了它是梯形中位线。
5. 通过垂线证明证明梯形中位线的最后一种方法是通过垂线证明。
画出梯形ABCD和其中位线EF。
连接AB和CD，并连接它们的中点M。
梯形、三角形中位线
梯形、三角形中位线知识要点：1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。
2.三角形中位线：（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.梯形中位线：（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。
（2）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
例题分析第一阶梯[例1]在直角梯形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,若△ABC为等边三角形,其边长为a.求:此梯形的中位线及高.提示：（1）梯形的中位线与梯形的哪些元素有什么样的关系？（2）在图形中，梯形的高是哪条线段？为什么？DC、AB的长通过哪些知识可以求出来？是多少？（3）若求出S△ADC∶S△ABC∶S梯形ABCD的值，你发现面积间的内在联系吗？请总结一下规律.参考答案：说明：若在直角梯形中，有一等边三角形那么梯形的高线对角线与边可以构成三个全等的三角形，则其面积应是相等的.[例2]如图M、E、F分别为△ABC的边BC、AC、AB的中点，AD⊥BC于D.求证：四边形DEFM为等腰梯形.提示：（1）在图形中有几条中位线？它们分别是什么图形的中位线？在数量与位置上分别有什么关系？为什么？（2）要想证明一个四边形是等腰梯形，首先要证什么？然后再证什么？在证明过程中，要注意与什么特殊四边形的判定.在哪有区别？（3）请总结一下此题的证明都用到了哪些知识？参考答案：说明：（1）证明梯形时，可通过一组对边平行，另一组对边不平行，或平行的一组对边不相等，来证，要注意与平行四边形的一组，对边平行且相等的条件相区别.（2）在应用三角形中位线定理时，对结论的选择要由具体情况而定.第二阶梯[例1]已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12cm，E、F分别是AB、BD的中点，连结EF并延长交DC于G，EF=4cm，FG=10cm.求∠ABC的度数.提示：（1）∠ABC与图形中的哪个角相等，为什么？一般求角的度数，可考虑把这个角放在什么样的图形中？（2）根据条件，可添加什么样的辅助线把条件和结论有机的结合起来，构造特殊的三角形？（3）梯形的高，除了用常规方法求；还有别的方法吗？参考答案：解：在梯形ABCD中∵AD∥BC E、F分别是AB、BD的中点.∴EF∥AD 又E、F、G三点在同一直线上.∴G是DC的中点，EG∥BC ∴AD∥EG∥BC.∵AB=DC ∴∠ABC=∠C作DM⊥BC交BC于M.∵EF=4 FG=10 ∴AD=8 BC=20∴MC∵在Rt△DMC中，DC=12 MC=6 ∴∠C=60°说明：（1）等腰梯形具有对称性，所以MC的长度是上、下底差的一半（2）G是DC的中点，要证明，不能默认，EF∥AD利用了中位线的定义及中位线定理，FG ∥BC利用了平行线等分线段定理的推论.[例2]求证：连结梯形两条对角线的中点的线段平行于两底，并且等于两底差的一半.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为对角成AC、BD的中点.求证：(1)MN∥AB∥DC (2)MN=(AB-CD)提示：（1）如何添加辅助线，使MN是某个三角形的中位线？（2）AB与CD的差，可以通过构造什么样的特殊图形表示在AB线段上？点M或点N是否在构造的图形边上？（3）此题还有别的方法吗？请试一试.参考答案：证明：（1）连结CN并延长交AB于E，在梯形ABCD中，AB∥CD∴∠1=∠2 ∠CND=∠ENB BN=ND∴△CDN≌△EBN（ASA）∴CN=EN BE=CD.∴N是CE的中点在△CEA中，M是AC的中点.∴MN∥AE 即MN∥AB ∴MN∥AB∥DC.（2）由（1）可知AB-AE=BE=CD.∴AB-CD=AE 又MN=AE∴.方法二：取AC的中点F，连结NF交AD于M′，梯形ABCD中，AB∥DC∵N为BC的中点，在△ABC中.NF∥AB NF=AB ∴NF∥AB∥DC（三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半）∴M′是AD的中点（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，在其它的直线上截得的线段也相等）又M是AD的中点∴M与M′重合，即点M在NF上.∴NF=AB MF=DC.∵MN=NF-MF=AB-DC=(AB-DC)∴说明：说明一、（1） N是CE的中点，必须要进行证明.（2）请注意辅助线的作法，是连结CN并延长交AB于E，并不是过C（或N）作DA的平行线，若作平行线，要证过N点.（3）此题还可用同一法证明：即取DA的中点F，连结NF交AC于M′，证明M与M′重合，此法易出错，要特别注意.说明二、（1）菱形常用的判定方法：①从四边形考虑：）四条边相等的四边形）对角线互相垂直平分的四边形②从平行四边形考虑：）一组邻边相等的平行四边形；）对角线相垂直的平行四边形。
梯形中位线定理
A 如图，点E、F分 别是AB、CD的中 点，则线段EF是 E 梯形ABCD的中位 线 B
D F C
三、议一议
E B
A
D
F C
如图，EF是梯形ABCD的中位线，连接 AF并延长，与BC的延长线相交于点G.
G
通过刚才的探究你能得出 ⑴∆ADF与∆GCF全等吗？为什么？ ⑵梯形的中位线 EF 与两底 AD,BC 有怎样 怎样的结论？ 的位置关系？有怎样的数量关系？
六、举例应用1
如图,在梯形ABCD中，AD∥BC， CD⊥BC, ∠B=45 °,AD=CD=a。 求梯形ABCD的中位线EF长.
A E B
G
D F C
①一个梯形的上底长 4 cm，下底长 6 cm，则 其中位线长为 5 cm；
②一个梯形的上底长 10 cm，中位线长 16 cm， 则其下底长为 22 cm； ③已知梯形的中位线长为 6 cm，高为 8 cm， 48 则该梯形的面积为________ cm2 ； ④已知等腰梯形的周长为80 cm，中位线与腰 长相等，则它的中位线长 20 cm；
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半
A F D
梯形ABCD中 B ∵ AB ∥ CD, AF=FD,BE=EC, E ∴EF ∥AB EF ∥ CD 1 C EF= 2 (AB+CD)
四、思考： 梯形面积公式
S 梯形
1 （a b ) h 2
中位线x高
五、小试牛刀
一、复习
D B
A E C
∵AD=DB ,AE=EC
∴ DE//BC
1、什么是三角形的中位线？ 三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
1 DE= 2
22.6(2)梯形的中位线(1)
No 。如图,MN是梯形ABCD的中位线.MN与梯形的两底边AD,BC有怎样的
位置关系和数量关系。梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。MN ∥ BC。 ∠AND=∠ENC。△ADN ≌ △ECN。G。对角线垂直(chuízhí)时通常平移对角线
6cm,则中位线:
.
第十一页，共十三页。
常 对 例5、如图:在梯形(tīxíng)ABCD中，
AD∥BC，对角线AC⊥BD，
平 角 EF为梯形的中位线， 移 线 ∠DBC=30°，求证:EF=AC。
对垂
A D 角直
E
(chuízhí)
线
OF
时
B
CG 通
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
Image
第十三页，共十三页。
为什么?
M
N
B
C
梯形的中位线平行(píngxíng)于两底，并且等于两底 和的一半。
问题(wèntí)：怎样证明呢？
第五页，共十三页。
梯形 的中位线 (tīxíng)
已知:如图，在梯形ABCD中,AD ∥BC,AM＝MB,DN＝NC 求证：MN ∥ BC，MN＝（1 BC＋AD）
2
证明(zhèngmíng)：连结AN并延长，交BC的延长线于点E
1
S梯
形ABCD
(AD 2
BC) h
1 (a b)h l h 2
梯形的面积(miàn jī)等于中位线与高之
第七页，共十三页。
1.5中位线2
教学目标
1.复习梯形中位线的定义; 2.证明梯形中位线定理; 3.运用梯形中位线定理解决有关问题;
回忆
梯形的中位线的定义: 连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线;
看一看,想一想,猜一猜
1.看图; 2.梯形中位线的性质: 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和
的一半; 3.书写格式;
例题
1.例一; 2.例二;
练一练
补充习题P13 中位线2
梯形的面积的算法
ab
S=
h = lh
2
ห้องสมุดไป่ตู้
小结
梯形的中位线的定义: 连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线; 梯形中位线的性质: 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和
的一半;
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方法，及“同一法”的证明方法
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45º
B
E
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C
解：如图在梯形ABCD中，∵AB=CD，∠ B=∠C=45º， ∴ BE=AE=2cm，CF=DF=2cm，EF=AD ∴ BC=BE+EF+FC=AD+4 ∵ MN=½（AD+BC）
即 5=½（AD+AD+4） ∴ AD=3cm， BC=AD+4=7cm
小结
A
41
知识应用
梯形ABCD的中位线长为a，高为h，则图中阴影部分的
3 已知等腰梯形中位线长6cm，它的腰长5cm，则这个梯形 的周长为＿22＿＿cm
4 一个等腰梯形周长80，如果它的中位线与腰长相等，它的 中位线长＿20＿
5 梯形的中位线长9cm，一条对角线把中位线分成1:2两部 分，则该梯形的下底长＿12＿＿cm
A
40
例：一个等腰梯形的高是2，它的中位线长5，一个底角为 45º，求这个梯形的上底，下底的长？
A
1
三角形中位线定理
A
三角形的中位线平行于第三边，
并且等于它的一半
E
即EF//BC ，EF= ½BC
B
F
C
A
2
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
已知：梯形ABCD中，
A
AD//BC，AE=EB，DF=FC
E
求证：EF//BC，EF=½ （BC+AD）
B
证明：连结AF并延长，交BC的延长线于点M
D
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M
∵ DF=FC，∠1=∠2，∠D=∠3，
∴ ∆ ADF≌ ∆ MCF
∴ AF=MF，AD=CM 又 AE=EB
∴ EF是∆ABM的中位线
∴ EF//BC，EF=½BM
∵ BM=BC+CM=BC+AD
∴ EF=½（BC+AD）
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知识巩固
1 梯形的上底长8，下底长10，则这个梯形的中位线长＿9＿ 2 梯形的上底长8，中位线长10，则下底长是＿1＿2
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面积是多少？
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有一木匠想制作 一个木梯，共需5根横木，其中最长端 的横木长20cm， 5根横木共长200cm，问其余四根分 别多长？
A
42
小结
梯形中位线的 定义
连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且 等于两底和的一半
本节课我们应用了“转化”的数学思想