波的叠加和干涉

λ
结论： 结论： • 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大 在波节两侧点的振动相位相反。 或同时达到反向最小。速度方向相反。 或同时达到反向最小。速度方向相反。 • 两个波节之间的点其振动相位相同。 同时达到最 两个波节之间的点其振动相位相同。 大或同时达到最小。速度方向相同。 大或同时达到最小。速度方向相同。
驻波的特点：媒质中各质点都作稳定的振动。波形 驻波的特点：媒质中各质点都作稳定的振动。 并没有传播。 并没有传播。
11
2.驻波的表达式 驻波的表达式 设有两列相干波，分别沿X轴 设有两列相干波，分别沿X 负方向传播， 正、负方向传播，选初相位 均为零的表达式为： 均为零的表达式为： 入射波 y1 = A cos(ωt −
λ
4
k = 0,±1,±2,±3,...
14
相邻波腹间的距离为： 相邻波腹间的距离为：
x k +1 − x k = ( k + 1) − k 2 2
相邻波节间的距离为： 相邻波节间的距离为：
λ
λ
=
λ
2
波节 波腹
因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。 因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。
λ =λ x k +1 − x k = [2( k + 1) + 1] − (2k + 1)
∂ y 1 ∂ y 波动方程： 波动方程： = 2 2 2 u ∂t ∂x
2 2
它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。 它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。 若 y1 、y 2 分别是它的解，则 ( y1 + y2 ) 也是它的解, 分别是它的解， 也是它的解 即上述波动方程遵从叠加原理。 即上述波动方程遵从叠加原理。
波的叠加和干涉
1
一、波的叠加原理
1.内容 1.内容 1.几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、 .几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、 振幅、传播方向）不变，互不干扰。 振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播 过程中没有遇到其它波一样。 过程中没有遇到其它波一样。 ——波的独立性原理。 波的独立性原理。 波的独立性原理 2.在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存 .在相遇区域内， 在时在该点所引起的振动位移的矢量和。 在时在该点所引起的振动位移的矢量和。 —波的叠加原理。 波的叠加原理。 波的叠加原理
5
下面讨论干涉现象中的强度分布 点的合成振动为： 在 P 点的合成振动为：
S2
v r2
p
S1
y = y1 + y2 = A cos(ωt + ϕ )
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ 2π ∆ϕ = (ϕ2 − ϕ1 ) − (r2 − r1 )
v r1
λ
由于波的强度正比于振幅的平方， 由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动 的强度为： 的强度为： I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos ∆ϕ 对空间不同的位置， 对空间不同的位置，都有恒定的 ∆ϕ ，因而合强度 在空间形成稳定的分布，即有干涉现象 干涉现象。 在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。
源 称 满 足 相 干 条 件 的 波
4
2.相干条件 2.相干条件
为
1.两列波振动方向相同； 两列波振动方向相同； 两列波振动方向相同 2.两列波频率相同； 两列波频率相同； 两列波频率相同 3.两列波有稳定的相位差。 两列波有稳定的相位差。 两列波有稳定的相位差
相 干 波 源 。
3.干涉加强、减弱条件 3.干涉加强、 干涉加强 其振动表达式为： 其振动表达式为： 设有两个频率相同的波源 S1 和 S2 ，
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y = 2 A cos x ⋅ cos ωt λ 1 2 2 2 2 2π Ek = mV = 2∆VρA ω cos ( x ) sin 2 ωt 2 λ 1 ∆y 2 2 2 2π 2 2 2π E p = Y∆V ( ) = 2∆Vρu A ( ) sin x cos2 ωt λ 2 ∆x λ
4.驻波的能量 驻波的能量 各质点位移达到最大时,动能为零，势能不为零。 各质点位移达到最大时 动能为零，势能不为零。在 动能为零 波节处相对形变最大，势能最大； 波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最 势能最小。势能集中在波节。 小，势能最小。势能集中在波节。当各质点回到平衡位 置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。 置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。 • 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环， 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环， 能量不被传播。这可从能流密度证明： 能量不被传播。这可从能流密度证明：因为能流密度等 于平均能量密度乘波速， 于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和 为零。 为零。 驻波不传播能量， 驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运动状 稳定态。 态，稳定态。 17
∆ϕ = (ϕ2 −ϕ1) −
2π
λ
(r2 − r1)
称
δ = r1 − r2 = ± kλ ,
δ = r1 − r2 = ±(2k +1) ,
2
λ
k = 0,1,2,3,... 干涉相长
k = 0,1,2,3,... 干涉相消
δ为
波 程 差
动
相相同 两 相干波源， 两 波 加 相干波源， 时， ，当波 为 波长 时， ，干涉相长 当波 为 波长 时 ，干涉相消 条件： ∆ ϕ = 条件：
y10 = A10 cos(ωt + ϕ1 )
y20 = A20 cos(ωt + ϕ 2 )
两列波传播到 P 点引起的振动分别为： 点引起的振动分别为：
P
r1 S1 S2
r2
λ 2π y2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 − r2 ) λ
y1 = A1 cos(ωt + ϕ1 −
2π
r1 )
点引起的振动的振幅。 A1、A2是S1、S2在P点引起的振动的振幅。 点的振动为同方向同频率振动的合成。 在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
y1
t=0
x
x=0
2π
λ
x)
x)
y2
t=0
反射波 y 2 = A cos(ωt +
2π
x
x=0
λ
其合成波称为驻波其表达式： 其合成波称为驻波其表达式：
y = y1 + y2 = Acos(ωt −
2π
λ
x) + Acos( t + ω
2π
λ
x)
12
∂+β α −β 利用三角函数关系 cosα + cos β = 2 cos cos 2 2 求出驻波的表达式： 求出驻波的表达式： 2π 2π y = y1 + y2 = Acos( t − x) + Acos( t + x) ω ω
4 4
λ
2 λ
相邻的两个波节和波腹之间的距离都是 2 结论： 结论： λ 相邻波腹与波节间的距离为 3.驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是 驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波， 驻波的波形 一种特殊的振动。 一种特殊的振动。
15
4
λ 是相同的， 时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而 空间变化带来的相位是不同的。 空间变化带来的相位是不同的。
3
二、波的干涉
1.波的干涉现象 1.波的干涉现象 频率相同、振动方向相同、有恒定位相差的两 频率相同、振动方向相同、有恒定位相差的两 列波（或多列波）相遇时， 列波（或多列波）相遇时，在介质中某些位置的点 振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小， 振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它 位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变。 位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变。称这 种稳定的叠加图样为干涉现象。 种稳定的叠加图样为干涉现象。
λ
波腹的位置为： x = k 波腹的位置为：
λ
2
,
k = 0,±1,±2,±3,...
振幅为零的点称为波节， 振幅为零的点称为波节， 2π 对应于 | cos x |= 0 即 λ
2π
λ
x = ( 2k + 1)
π
波节 波腹 的各点。 的各点。
2
波节的位置为： 波节的位置为： x = (2k +1) ,
2π
位于A、 两点的两个波源 振幅相等， 两点的两个波源， 例题 ： 位于 、B两点的两个波源，振幅相等，频率都 赫兹， 是100赫兹，相差为π，其A、B 相距 米，波速为 赫兹 相差为π 、 相距30米 波速为400米/ 米 连线之间因相干涉而静止的各点的位置。 秒，求: AB连线之间因相干涉而静止的各点的位置。 连线之间因相干涉而静止的各点的位置 点为坐标原点， 、 联线为 联线为X轴 解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为 轴 如图所示， 点为坐标原点 ，取A点的振动方程 : y A = A cos( ω t + π ) 点的振动方程 轴上A点发出的行波方程 在X轴上 点发出的行波方程： 轴上 点发出的行波方程：
∆ϕ = ϕ B − ϕ A − 2π
u
20m
B
= −201π
λ
(rB − rA ) = −π − 200π
P点干涉减弱。 点干涉减弱。 点干涉减弱
9
两点处，初相相同， 例2：两相干波源分别在 PQ 两点处，初相相同， ： 它们相距 3λ / 2，由 P、Q 发出频率为ν ，波长 ， 的两列相干波， 连线上的一点。 为λ的两列相干波，R 为 PQ 连线上的一点。求： 发出的两列波在 处的相位差。 ①自P、Q 发出的两列波在 R 处的相位差。②两波 处干涉时的合振幅。 源在 R 处干涉时的合振幅。
2π 3λ 解： ∆ϕ = − = 3π (r1 − r2 ) = ⋅ λ λ 2 Q P
2π
∆ϕ 为π
R
的奇数倍， 的奇数倍，
合振幅最小， 合振幅最小，
3λ / 2
10
| A1 − A2 |
四、驻波
1.驻波的产生 驻波的产生 有两列相干波，它们不仅频率相同、 有两列相干波，它们不仅频率相同、位相差恒 振动方向相同，而且振幅也相等。 定、振动方向相同，而且振幅也相等。当它们在同 一直线上沿相反方向传播时， 一直线上沿相反方向传播时，在它们迭加的区域内 就会形成一种特殊的波。这种波称为驻波。 就会形成一种特殊的波。这种波称为驻波。 当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠 加可产生驻波。 加可产生驻波。
2
叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为 简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因； 简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因； 波的叠加原理并不是普遍成立的， 波的叠加原理并不是普遍成立的，有些是不遵 守叠加原理的。 守叠加原理的。 如果描述某种运动的微分方程是线性微分方程 这个运动就遵从叠加原理， ，这个运动就遵从叠加原理，如果不是线性微分方 它就不遵从叠加原理。 程，它就不遵从叠加原理。
3.驻波的相位 驻波的相位
y = 2 A cos
2π
x ⋅ cos ω t
考查波节两边的振幅， 如 是波节， 考查波节两边的振幅， x = λ 4是波节， 2π x ≥ 0； 在范围 − λ 4 ≤ x ≤ λ 4 内， 2 A cos λ 2π 范围内， x≤0 在 λ 4 ≤ x ≤ 3λ 4 范围内，2 A cos
± 2kπ 加
± ( 2 k + 1 )π
8
干涉加
例：两相干波源 A、B 位置如图所示，频率ν =100Hz， 、 位置如图所示， 点振动情况。 波速 u =10 m/s，ϕA−ϕB=π，求：P 点振动情况。 ， 解： rA
= 15m
2 2
P 15m A
rB
rB = 15 + 20
10 = 0.1m λ= = ν 100
干涉相长
2.干涉减弱条件 . 当 cos ∆ϕ = −1时，即 ∆ϕ = ±(2k + 1)π , (k = 0,1,2,3L)
A = Amin =| A1 − A2 |
I = I min = I 1 + I 2 − 2 I1I 2
干涉相消
7
当两相干波源为同相波源 时，有： ϕ1 = ϕ 2 此时相干条件写为： 此时相干条件写为：
来自百度文库
λ 2π = 2 A cos x ⋅ cosωt λ
λ
简谐振动 简谐振动的振幅 它表示各点都在作简谐振动， 它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率 相同，是原来波的频率。 相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不 同而不同。 同而不同。 驻波方程： 驻波方程： y = 2 A cos
2π
λ
x ⋅ cosωt
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讨论： 讨论： 1.振幅项 2 A cos 2π 振幅项
2π
y = 2 A cos
x
2π
λ
x ⋅ cosωt
有关，而与时间无关。 只与位置 有关，而与时间无关。 λ 2π x |= 1 即 2.振幅最大的点称为波腹，对应于 | cos 振幅最大的点称为波腹，
λ
x = kπ 的各点；振幅值最大为2A。 的各点；振幅值最大为 。
6
A = A + A + 2 A1 A2 cos ∆ϕ , ∆ϕ = (ϕ2 −ϕ1) −
2 1 2 2
2π
λ
(r2 − r1)
1.干涉加强条件 . 当
cos ∆ϕ = 1 时， 即∆ ϕ = ± 2 k π , ( k = 0 ,1, 2 ,3,...) A = Amax = A1 + A2
I = Imax = I1 + I2 + 2 I1I2