复变函数与积分变换试题及答案(2)

复变函数与积分变换试题与答案1.（5）复数z与点(,)x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。

2.（6）请指出指数函数z ew=、对数函数zw ln=、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。

zw tan3.（9）讨论函数22i=的可导性，并求出函数)(zzf+)(yxf在可导点的导数。

另外，函数)f在可导点解析吗？是或否请说明(z理由。

4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。

5.（6×2）计算积分：（1）⎰+-Cn z z z10)(d ,其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数；（2）⎰=+-3||2d )2()1(e z zz z z 。

6.（5×2）分别在圆环 （1）1||0<<z ，(2) 1|1|0<-<z 内将函数2)1(1)(z z z f -=展为罗朗级数。

7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。

(1) 3sin )(zzz z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11e )(-=z z zf .8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。

9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。

10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换；（2）求函数)i 5)(i 3(2)(ωωω++=F 的傅里叶逆变换。

11.（5×2）（1）求函数)2(e )(2-=t u t f t 的拉普拉斯变换； （2）求拉普拉斯逆变换L -1]54[2++s s s。

12.（6分）解微积分方程：0)0( ,1d )()('0==+⎰y y t y tττ。

答 案1.（5分）请依次写出z 的代数、几何、三角、指数表达式和z 的3次方根。

(cos sin )i z x iy re r i θθθ=+==+23k iz reθπ+=z ：,r Argz2. （6分）请指出指数函数z e w =、对数函数z w ln =、正切函数z w tan =的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。

指数函数z e w =、对数函数z w ln =、正切函数z w tan =的解析域 分别为：整个复平面,无界开区域；除去原点及负半实轴，无界开区域，；除去点2z k ππ=+，无界开区域。

3.（9分）讨论函数22i )(y x z f +=的可导性，并求出函数)(z f 在可导点的导数。

另外，函数)(z f 在可导点解析吗？是或否请说明理由。

解：2200u v u ux y x y y y∂∂∂∂====∂∂∂∂，,u v 可微 所以x y =时函数可导，且()2x y f z x ='=。

因为函数在可到点的任一邻域均不可导，所以可导点处不解析。

4. （6分）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。

解：3222323232323236,33,3()3i(3)(0)00()3i(3)u y x yu v u v xy y x x y y x v x xy cf z y x y x xy icf c f z y x y x xy =-∂∂∂∂=-==-=-∂∂∂∂∴=-+=-+-+=∴==-+-5.（6×2）计算积分：（1）⎰+-Cn z z z10)(d , 其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数；（2）⎰=+-3||2d )2()1(e z zz z z 。

解 （1）设C 的方程为θi 0e r z z +=)π20(≤≤θ,则⎰⎰+++=-π20)1i(1i 10d ee i )(d θθθn n C n r r z z z ⎰=π20i d eiθθn n r ⎰-=π20d )sin i (cos iθθθn n rn所以 i π2d )(d 010=-=-⎰⎰+C Cn z z zz z z （当0=n 时）0)(d 10=-⎰+Cn z z z（当0≠n 时）。

（2）⎰=+-3||2d )2()1(e z zz z z⎰⎰=+=-+-++-=21|2|221|1|2d )2()1(e d )2()1(e z zz z z z z z z z⎰⎰=+=-+-+-+=21|2|221|1|2d 2)1(e d )1(2e z zz zz z z z z z221)1(e i π2)'2e (i π2-==-⋅++⋅=z zz z z zi π)e e 2(92i πe 92i πe 9422--+=+=. 6.（5×2）分别在圆环 （1）1||0<<z ，(2) 1|1|0<-<z 内将函数2)1(1)(z z z f -=展为罗朗级数。

解：（1） ∑∞==-=-02)'()'11()1(1n nz z z )1|(| 0<=∑∞=z nz n n ,∴)1|(| )1(11)(112<=-⋅=∑∞=-z nz z z z f n n . (2) )1|1(| 1)()1(11110<---=-+=∑∞=z z z z n n n , ∴ ∑∞=---=-=22)1()1()1(1)1(1)(n n nz z z z z f)1|1(| )1()1(02<---=∑∞=-z z n n n .7. （12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。

(1) 3sin )(zzz z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11e )(-=z z zf . 解：（1） 0 =z 为)(z f 的可去奇点,0]0 ),(Res[ =∴z f ;（2） 0 =z 为)(z f 的三阶极点, πk z =) 2 1( ,,k ±±=为)(z f 的一阶极点,61')'sin 1(lim !21]0 ),(Res[ 230=⋅=∴→zz z z f z ,2π2)π()1(cos sin 21]π ),(Res[ k zz z z k z f kk z -=+=∴=; （3） 1 =z 为)(z f 的本性奇点, ∑∞=--+-=011)1(!1)11(en nz z n z z , 23]1 ),(Res[ 1==∴-c z f 。

8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。

分式线性函数具有保角性、保圆性、保对称性的映照特点， 指数函数具有将带形域映照为角形域的映照特点， 幂函数具有将带形域映照带形域的映照特点。

9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。

解：000(Im()0)i z z w ez z z θ-=>- 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换；（2）求函数)i 5)(i 3(2)(ωωω++=F 的傅里叶逆变换。

解 （1） F =+)]([b at f )(e ||1i aF a a b ωω, ∴ F 21)]52([ =-t f )2(e i 25ωωF -; （2）ωωωi 51i 31)( +-+=F =∴)( t f F -1-+]i 31[ωF -1]i 51[ω+ ⎩⎨⎧<≥-=--;0, 0,0 ,e e 53t t t t t t 00i i e |e ωωωω===,11.（5×2）（1）求函数)2(e )(2-=t u t f t 的拉普拉斯变换；（2）求拉普拉斯逆变换L -1]54[2++s s s 。

解 （1） 4e )(=s F L s t t u 24)2(2e e )]2([e --=-L )]([e 2t u t2e )2(2-=-s s ;（2）L -1]54[2++s s s = L -1]1)2(22[2++-+s s =t e 2-L -]12[2+-s s ={t e2-L -1-+]1[2s s 2L -1}]11[2+s =t e 2-（t t sin 2cos -）。

12.（6分）解微积分方程：0)0( ,1d )()('0==+⎰y y t y tττ。

解：s s Y s sY 1)(1(s) =+ ,11)(2+=s s Y , t t y sin )( =∴。