极坐标的概念
极坐标与参数方程讲义
极坐标与参数方程一、极坐标知识点1.极坐标系的概念（1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系•（2）极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为•有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）.一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示•如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的•2.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为4 45(, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方4 4 4 4 4 4 4 4程、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点 P(2,Q ), Q(2,-)之间的距离以及过它们的直线的极坐标方 程。
极坐标系与极坐标函数的图像特征
极坐标系与极坐标函数的图像特征引言极坐标系是一种描述平面上点的坐标系统，它以一个固定点为极点，以一条从极点出发的射线作为极轴。
极坐标系与直角坐标系相比，具有更加简洁的表示方式，能够更好地描述某些图形的特征。
而极坐标函数则是在极坐标系下表示的函数，其图像特征也有一些独特之处。
本文将探讨极坐标系与极坐标函数的图像特征，以及它们在数学和物理中的应用。
一、极坐标系的基本概念极坐标系由两个参数组成：极径（r）和极角（θ）。
极径表示点到极点的距离，而极角表示点到极轴的角度。
在极坐标系下，点的坐标可以表示为（r，θ）。
极坐标系的极点通常位于坐标原点，极轴可以是任意一条射线。
极坐标系与直角坐标系之间存在一定的转换关系。
对于给定的极坐标（r，θ），可以通过以下公式将其转换为直角坐标（x，y）：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)二、极坐标系的图像特征1. 极坐标系的图形表示极坐标系的图形表示相对于直角坐标系更加简洁明了。
例如，直角坐标系下的圆形方程为x² + y² = r²，而在极坐标系下，圆形的方程为r = a，其中a为常数。
这种表示方式更加直观，能够更好地描述圆形的特征。
2. 极坐标系下的对称性极坐标系下的图形具有一些特殊的对称性。
例如，当极角为θ时，对应的极坐标点和极角为θ + π的点具有相同的极径。
这意味着图形在极轴上具有对称性。
此外，当极角为θ时，对应的极坐标点和极角为θ + 2π的点也具有相同的极径，这意味着图形在极轴上具有周期性。
三、极坐标函数的图像特征极坐标函数是在极坐标系下表示的函数。
与直角坐标系中的函数类似，极坐标函数也具有一些特殊的图像特征。
1. 极坐标函数的周期性与极坐标系的图形特征相似，极坐标函数也具有周期性。
当一个极坐标函数的极角增加2π时，其对应的函数值不变。
这种周期性可以用来描述圆形、螺旋线等图形。
2. 极坐标函数的极值点极坐标函数的极值点是指函数在某个区间内取得最大值或最小值的点。
极坐标的概念
极坐标的概念（⼀）极坐标概念确定平⾯内的点的位置有各种⽅法，⽤⼀对实数确定平⾯内的点位置的⽅法称为直⾓坐标⽅法，因其⽅法简捷且应⽤⼴泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）⽽成为解析⼏何中最主要的内容；⽤⽅向（⾓）和距离来确定平⾯内的点的位置是极坐标的基本思想。
极坐标在⼯程中和军事上也有⼴泛应⽤。
1.1极坐标系定义在平⾯上选⼀定点O，由O出发的⼀条射线OX，规定⼀个长度单位和⾓的正⽅向（通常以反时针旋转为正⽅向）合称⼀个极坐标系。
其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极⾓两个量构成点的极坐标，⼀般记作（ρ，θ）。
1.2平⾯内的点与极坐标系的关系平⾯内有⼀点P，|OP|⽤ρ表⽰，ρ称为P点的极径；OX到OP的⾓θ叫极⾓，P（ρ，θ）为极坐标。
(1)有⼀组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯⼀的点与其对应；(2)在极坐标系中有⼀个点P，则有⽆数组极坐标与其对应。
①P点固定后，极⾓不固定。
（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表⽰同⼀点坐标；②P点固定后，ρ的值可正、可负。
ρ＞0时，极⾓的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极⾓为任意⾓，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表⽰同⼀点。
∴极坐标与极坐标平⾯内的点不⼀⼀对应。
例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（）A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于直线（ρ∈R）对称分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表⽰同⼀点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点⽽垂直于极轴的直线）对称。
故选D。
例2.在极坐标系中，如果等边三⾓形的两个顶点是，，那么C的坐标可能是（）A. B.C. D.（3，π）分析：∵,极径相同，极⾓相差π，A、B以极点对称，⼜|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极⾓为.∴或故选B 。
例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|=______________________________。
极坐标方程必背公式
极坐标方程必背公式坐标系1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O 叫做极点；自点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M 是平面上的任一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于π(,)2M a ，半径为a ：ρ＝2a sin θ.4．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过π(,)2M b 且平行于极轴：ρsin θ＝b .方法总结：进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)．练习、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty t x 32（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为0cos 2=+θρ.把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；。
极坐标跟直角坐标
极坐标与直角坐标概述在数学中，极坐标和直角坐标是两种用于描述平面上点的坐标系统。
它们在不同的数学问题中具有不同的适用性。
本文将介绍极坐标和直角坐标的概念、转换关系以及它们在不同领域的应用。
极坐标极坐标系统是一种通过点的极径（距离原点的长度）和极角（与一个固定轴的夹角）来确定点在平面上位置的坐标系统。
一个点的极坐标用(r, θ)表示，其中r代表极径，θ代表极角。
极径r通常是一个非负数，而极角θ通常以弧度表示。
在极坐标系统中，原点的极坐标为(0, 0)。
正极轴为角度为0的射线，极角逆时针增加，极角为0到2π之间的点位于同一射线上。
极径为r的点位于以原点为中心，半径为r的圆上。
直角坐标直角坐标系统，也称为笛卡尔坐标系统，是通过点在两个互相垂直的轴上的投影来确定其在平面上的位置。
一个点的直角坐标用(x, y)表示，其中x代表点在x 轴上的投影，y代表点在y轴上的投影。
在直角坐标系统中，原点的坐标为(0, 0)。
x轴是垂直于y轴的水平线，y轴是垂直于x轴的竖直线。
直角坐标系将平面分为四个象限，第一象限的点的x坐标和y坐标都是正数，第二象限的x坐标为负数而y坐标为正数，以此类推。
极坐标与直角坐标的转换极坐标和直角坐标之间存在一种转换关系。
给定一个点的极坐标(r, θ)，可以通过以下公式将其转换为直角坐标(x, y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)而给定一个点的直角坐标(x, y)，可以通过以下公式将其转换为极坐标(r, θ)：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)这些转换公式使得我们可以在极坐标和直角坐标之间自由切换，方便进行各种数学计算。
应用领域极坐标和直角坐标在不同的领域中具有广泛的应用。
在几何学中，极坐标系统常用于描述和分析曲线的形状，特别是极坐标方程可以简化特定类型的曲线方程。
在工程学和物理学中，极坐标系统常用于描述旋转和圆周运动。
例如，在机械工程领域，极坐标可以方便地描述旋转物体的位置和运动。
极坐标及参数方程知识点
极坐标及参数方程知识点
1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单
位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox
为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .
极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标)R )(,0(∈θθ.
3. 若0<ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称
4．极坐标与直角坐标的互化：
（1）极坐标转化为直角坐标:θρθρsin ,cos ==
y x （2）直角坐标转化为极坐标:x
y y x =+=θρtan ,222(θ的取值还要注意()y x ,的位置) 5. 在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线，)R (∈=ραθ 表示过极点的一条直线.
6．参数方程与普通方程的互化：先消去参数，再注明y x ,的取值范围。
极坐标和直角坐标的互化
极坐标和直角坐标的互化1．极坐标系的概念(1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的正方向． (3)图示：2．极坐标(1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).1．极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎪⎫3，π6相同的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，176πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－5π6解析：选A.因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，故选A. 2．关于极坐标系的下列叙述：①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0，0)； ③点(0，0)表示极点；④点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4与点N ⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4表示同一个点； ⑤动点M (5，θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．其中，所有正确的叙述的序号是________．解析：结合极坐标系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任意实数，②不正确；④点M ，N 关于极点对称，所以不正确．答案：①③⑤3．在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，5π12，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－7π12，则|AB |＝________． 解析：由于5π12与－7π12的终边互为反向延长线，所以|AB |＝1＋2＝3.答案：3由极坐标确定点的位置在极坐标系中，画出点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，194π. [解] 在极坐标系中先作出射线θ＝π4，再在射线θ＝π4上截取|OA |＝1，这样可得到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4. 同样可作出点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4. 由于194π＝3π4＋4π，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，194π可写成D ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，如图位置．(1)由极坐标确定点的位置的方法建立极坐标系―→作出极角的终边―→以极点为圆心，以极径为半径分别画弧―→确定点的位置．(2)由极坐标确定点的位置应注意的问题由极坐标确定点的位置，常常首先由θ的值确定射线(方向)，再由ρ的值确定位置．如果θ的值不在[0，2π)范围内，先根据θ＝θ0＋2k π(k ∈Z)确定出θ0∈[0，2π)的值再确定方向．1.在极坐标系中，下列各点中与⎝⎛⎭⎪⎫2，π6不表示同一个点的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2，－116π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，136π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，116π D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－236π 解析：选C.与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6＋2k π(k ∈Z)，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，116π不合适．2．如图，在极坐标系中， (1)作出以下各点：A (5，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－3π2.(2)求点E ，F 的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，θ∈R)．解：(1)如图，在极坐标系中，点A ，B ，C ，D 的位置是确定的．(2)由于点E 的极径为4，在θ∈[0，2π)内，极角θ＝7π6，又点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，θ∈R)，所以点E 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2k π＋7π6(k ∈Z)． 同理，点F 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2k π＋2π3(k ∈Z)． 点的极坐标与直角坐标的互化(1)分别将下列点的极坐标化为直角坐标．①⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4；②⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53π.(2)分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． ①(－1，1)；②(4，－43)；③⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2；④(－6，－2)． [解] (1)①ρ＝4，θ＝π4，所以x ＝ρcos θ＝4cos π4＝22，y ＝ρsin θ＝4sin π4＝22，所以点(4，π4)的直角坐标为(22，22)．②因为x ＝2cos 5π3＝1，y ＝2sin 5π3＝－ 3.所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3的直角坐标为(1，－3)．(2)①ρ＝(－1)2＋12＝2，tan θ＝－1，θ∈[0，2π)， 由于点(－1，1)在第二象限，所以θ＝3π4，所以点(－1，1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. ②ρ＝42＋(－43)2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，由于点(4，－43)在第四象限，所以θ＝5π3，所以点(4，－43)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，5π3.③ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝3π23π2＝1，θ∈[0，2π)，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4. ④ρ＝(－6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－2－6＝33，θ∈[0，2π)，由于点(－6，－2)在第三象限，所以θ＝7π6，所以点(－6，－6)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π6.(1)点的极坐标化为直角坐标的方法将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. (2)点的直角坐标化为极坐标的方法将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．1.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4解析：选B.点P (－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为3π4.2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标； (2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．解：(1)因为x ＝ρcos θ＝4·cos5π3＝2. y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. 所以A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)因为ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内，所以θ＝7π4，所以点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又因为x ＝0，y ＜0，所以ρ＝15，θ＝32π.所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 极坐标系中的对称问题和距离问题(1)A ，B 两点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6，则A ，B 两点的距离为|AB |＝________．(2)设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．[解] (1)如图所示，|OA |＝5，|OB |＝2，∠AOB ＝π3－(－π6)＝π2.所以|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝5＋4＝3.故填3.(2)如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π. 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－23π. 四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上．(1)极坐标系中点的对称问题点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－θ)；关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)；关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．(2)极坐标系中两点间的距离问题求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极点O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)求解，其中A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，注意当θ1＋θ2＝2k π(k ∈Z)时，|AB |＝|ρ1－ρ2|.当θ1＋θ2＝2k π＋π(k ∈Z)时，|AB |＝|ρ1＋ρ2|.1.点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析：选B.因为ρ＝－2<0，所以找点(－2，－π6)时，先找到角－π6的终边，再在其反向延长线找到离极点2个单位的点，就是(－2，－π6)，如图，故M ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项没有这样的坐标．又因为M ′⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.2．已知M ⎝⎛⎭⎪⎫5，5π6，N ⎝⎛⎭⎪⎫8，－17π6，则|MN |＝________． 解析：因为N ⎝⎛⎭⎪⎫8，－17π6也可写为N ⎝⎛⎭⎪⎫8，7π6，所以|MN |＝82＋52－2×8×5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－5π6＝64＋25－80cos π3＝7.答案：73．极坐标系中，分别求下列条件下点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3关于极轴的对称点M ′的极坐标： (1)ρ≥0，θ∈[0，2π)；(2)ρ≥0，θ∈R.解：因为M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3与M ′(ρ，θ)关于极轴对称， 所以ρ＝3，θ＝－π3＋2k π(k ∈Z)．(1)当θ∈[0，2π)时，θ＝5π3， 所以M ′(3，5π3)． (2)当θ∈R 时，M ′(3，2k π－π3)(k ∈Z)．1．对极坐标系的理解(1)在平面上建立一个极坐标系时，四个要素(极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向)缺一不可．(2)一般地，不作特别说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．其中极点的极径ρ＝0，极角θ可取任意值．(3)极坐标系下的点与它的极坐标不是一一对应关系，一个点可以有多个极坐标．可统一表示为(ρ，θ＋2k π)，其中ρ≥0，k ∈Z.2．极坐标与直角坐标的区别与联系(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件是①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴非负半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)由ρ2＝x 2＋y 2确定ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：①当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值； ②当x ＝0，y >0时，θ＝π2；③当x ＝0，y <0时，θ＝32π.1．极坐标系中，点A (2 016，2 017π)的直角坐标为( )A ．(2 016，π)B ．(2 016，0)C ．(0，2 016)D ．(－2 016，0)解析：选D.因为ρ＝2 016，θ＝2 017π，所以x ＝ρcos θ＝2 016cos π＝－2 016，y ＝ρsin θ＝2 016sin 2 017π＝2 016sin π ＝2 016×0＝0，所以A 点的直角坐标为A (－2 016，0)．2．极坐标系中，极轴的反向延长线上一点M 与极点的距离为2，则点M 的极坐标的下列表示：①(2，0)；②(2，π)；③(2，－π)；④(2，2k π)(k ∈Z)．其中，正确表示的序号为____________． 解析：因为|OM |＝2，即ρ＝2， 又M 点在极轴反向延长线上，所以θ＝π＋2k π(k ∈Z)，当k ＝0时，θ＝π，当k ＝－1时，θ＝－π. 所以M 点的极坐标为(2，π)或(2，－π)． 答案：②③3．(1)把点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 解：(1)x ＝2cos7π6＝－3， y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3. 又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3. 4．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C的极坐标．解：点A ，B 的直角坐标分别为(2，2)，(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由△ABC 为等边三角形，故|BC |＝|AC |＝|AB |，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝(x －2)2＋(y －2)2＝(2＋2)2＋(2＋2)2.即⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.点C 的直角坐标为(6，－6)或(－6，6)， 故ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－1， 故θ＝7π4或3π4.故点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.[A 基础达标]1．点M 的直角坐标是(3，－1)，在ρ≥0，0≤θ<2π的条件下，它的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6 D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，11π6解析：选A.ρ＝ x 2＋y 2＝3＋1＝2，tan θ＝y x ＝－13＝－33.又因为点(3，－1)在第四象限，且0≤θ<2π. 所以θ＝11π6，所以M 点的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6.2．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫6，－π6，则OA ，OB 的夹角为( ) A.π6 B ．0 C.π3 D ．5π6解析：选C.OA 与OB 的夹角∠AOB ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π3，故选C.3．在极坐标系中，已知点P 1⎝⎛⎭⎪⎫6，π4，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( ) A ．9 B ．10 C ．14 D ．2 解析：选B.因为∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，所以△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得 |P 1P 2|＝OP 21＋OP 22＝62＋82＝10，故选B.4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心的距离为( )A. 3 B ．2 C.1＋π29D ．4＋π29解析：选A.法一：因为(x －1)2＋y 2＝1的圆心坐标为(1，0)，化为极坐标是(1，0)， 所以点(2，π3)到圆心的距离d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)＝22＋12－2×2×1×cos π3＝4＋1－2＝ 3.法二：将点(2，π3)化为直角坐标是(1，3)又(x －1)2＋y 2＝1的圆心的坐标是(1，0)，所以点(2，π3)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(3－0)2＝ 3.5．在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π12关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的点的一个极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3，7π12解析：选C.如图所示，设点M 关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的点为N ，则|ON |＝|OM |，∠xON ＝π4＋π4－π12＝5π12，所以点N 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，5π12.6．已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，则线段AB 中点的直角坐标为____________．解析：因为A ，B 两点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝⎛⎭⎪⎫8，4π3， 所以A ，B 两点的直角坐标是(3，33)，(－4，－43)， 所以线段AB 中点的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－327．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0，2π))解析：(1)点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于极轴的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，7π6； (3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6.答案：(1)⎝⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π68．平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin7π6＝3. 答案：39．在极坐标系中，O 为极点，已知两点M ，N 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，求△MON 的面积．解：sin ∠MON ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π4＝sin 2π3cos π4－cos 2π3·sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 故S △MON ＝12×4×2×6＋24＝3＋1.10．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3. (1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标． 解：(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，所以∠POO ′＝π6. 在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，所以ρ＝2. 又因为sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，所以sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，所以∠OPO ′＝π3. 所以∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，所以∠PP ′x ＝2π3.所以∠PO ′x ′＝2π3. 所以P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3. (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.所以P 点的新坐标为(4，π2)．[B 能力提升]11．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，则点P 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫23，π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋3π4(k ∈Z)解析：选C.因为点P 对应的复数为－3＋3i ，所以点P 的直角坐标为(－3，3)，点P 到原点的距离为32，且点P 在第二象限的角平分线上，故极角等于3π4，故点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，3π4，选C. 12．已知两点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．解析：在极坐标系Ox 中作出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2和B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，如图所示，则|OA |＝|OB |＝3，∠AOx ＝π2，∠BOx ＝π6， 所以∠AOB ＝π3.所以△AOB 为正三角形，从而|AB |＝3，直线AB 的倾斜角为π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝5π6.答案：35π613．如果对点的极坐标定义如下：当已知M (ρ，θ)(ρ>0，θ∈R)时，点M 关于极点O 的对称点M ′(－ρ，θ)． 例如，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3关于极点O 的对称点M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π3，就是说⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3＋π与⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π3表示的就是同一点．已知A 点的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，5π3，分别在下列给定条件下，写出A 点的极坐标： (1)ρ>0，－π<θ≤π. (2)ρ<0，0≤θ<2π. (3)ρ<0，－2π<θ≤0.解：如图所示，|OA |＝|OA ′|＝6，∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3， 即点A 与A ′关于极点O 对称． 由极坐标的定义知(1)当ρ>0，－π<θ≤π时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3.(2)当ρ<0，0≤θ<2π时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，2π3. (3)当ρ<0，－2π<θ≤0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，－4π3.14．(选做题)某大学校园的部分平面示意图为如图所示的矩形．其中|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出点C 与点F 的极坐标并求点C 到点F 的直线距离．解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．由|OC |＝600，∠AOC ＝π6，所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫600，π6，由图形得|OF |＝|OD |＝|AC |＝600×sin π6＝300(m)． 所以点F 的极坐标为(300，π)． 在△COF 中，∠COF ＝π－π6＝56π.根据余弦定理，得 |CF |＝|OC |2＋|OF |2－2|OC |·|OF |·cos 56π＝6002＋3002－2×600×300×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝3005＋23(m)．所以点C 到点F 的直线距离为3005＋2 3 m.。
极坐标系与曲线的性质
极坐标系与曲线的性质极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，它以极轴和极角来确定点的位置。
在极坐标系下，曲线的性质可以通过极坐标方程来表示和理解。
本文将介绍极坐标系的基本概念，并探讨曲线在极坐标系下的性质。
一、极坐标系的基本概念在极坐标系中，点的位置由极径r和极角θ确定。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
极坐标系与直角坐标系可以相互转化，而直角坐标系中的点(x, y)可以通过以下关系转换为极坐标系中的点(r, θ)：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)二、极坐标系下的曲线在极坐标系下，曲线由极坐标方程描述。
常见的曲线方程包括极坐标方程以及对数螺线、阿基米德螺线等。
1. 极坐标方程的一般形式极坐标方程可以表示为r = f(θ)，其中f(θ)是一个关于θ的函数。
这个函数决定了曲线在极坐标系下的形状。
不同的函数f(θ)对应不同的曲线类型，如圆、椭圆、双曲线等。
2. 对数螺线对数螺线是一种以指数函数表示的曲线，其极坐标方程为r = a^θ，其中a为常数。
当a>1时，对数螺线向外蜷曲，当0<a<1时，对数螺线向内蜷曲。
3. 阿基米德螺线阿基米德螺线是一种以线性函数表示的曲线，其极坐标方程为r = a + bθ，其中a和b为常数。
阿基米德螺线是一种螺线，具有类似于一根拧入木头的螺钉的形状。
三、曲线的性质分析在极坐标系下，可以通过曲线的极坐标方程来推导和分析曲线的性质。
1. 曲线的对称性根据极坐标方程，可以判断曲线是否具有对称性。
例如，当极坐标方程中包含cosθ或sinθ时，曲线具有对称性。
当cosθ存在于r的表达式中时，曲线在极轴关于原点对称；当sinθ存在于r的表达式中时，曲线在极轴关于直线θ=π/2对称。
2. 曲线的极值点极坐标方程的极值点可通过求导数来确定。
通过对极坐标方程中的r关于θ求导，可以求得极值点的极角。
3. 曲线的曲率曲线的曲率可以通过曲线的极坐标方程以及柯西-罗尔定理来计算。
极坐标换算公式
极坐标换算公式极坐标是数学中一个非常有趣且实用的概念，在很多数学问题的解决中都能发挥大作用。
咱们先来说说极坐标的基本定义哈。
极坐标用一个长度和一个角度来确定平面上的点。
比如说，一个点的极坐标是（r，θ），其中 r 表示这个点到极点的距离，θ 表示从极轴正半轴旋转到这个点所形成的角度。
那极坐标换算公式到底是啥呢？这可得好好说道说道。
从直角坐标（x，y）转换到极坐标（r，θ）的公式是：r = √(x² + y²) ，θ = arctan(y / x) 。
这里面，arctan 就是反正切函数。
给您举个例子哈。
比如说有个点的直角坐标是（3，4），那它的极坐标咋算呢？先算 r ，就是r = √(3² + 4²) = 5 。
再算θ ，θ = arctan(4 / 3) ，用计算器一按，大概就是 53.13 度。
记得我之前教学生这个知识点的时候，有个小同学总是弄不明白。
我就给他打了个比方，我说这极坐标就像是你在操场上跑步，r 就是你跑的距离，θ 就是你跑的方向。
这小同学一下子就有点明白了，眼睛都亮了起来。
咱再深入讲讲极坐标换算的应用。
在物理学中，比如研究天体运动、电磁场，极坐标都能帮大忙。
还有在工程领域，设计一些圆形或者弧形的结构时，极坐标也能让计算更简单明了。
其实极坐标换算公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多数学难题的大门。
它让我们从另一个角度去看待平面上的点，给我们提供了新的解题思路和方法。
总之，极坐标换算公式虽然看起来有点复杂，但只要多琢磨琢磨，多做几道题，您就会发现它的妙处啦！希望您也能在数学的世界里，靠着这把钥匙，发现更多的精彩！。
极坐标与参数方程
极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)互化公式极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；第二步，根据角θ的正切值tan θ＝(x≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y轴上)，问题即解．[例1] 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[解] (1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由得则直线l与圆O公共点的一个极坐标为.[例2] (2017·福州五校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.(1)若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程；(2)若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为(x，y)，求x＋y的最大值．[解] (1)ρ2－2ρcos－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0，将代入得曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，圆心C(1，－1)，若直线l被曲线C截得的弦长最小，则直线l与OC垂直，即kl·kOC＝－1，kOC＝－1，因而kl＝1，故直线l的直角坐标方程为y＝x.(2)因为M是曲线C上的动点，因而利用圆的参数方程可设(φ为参数)，则x＋y＝2sin φ＋2cos φ＝2sin，当sin＝1时，x＋y取得最大值2.[全国卷5年真题集中演练]1．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.参数方程1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．例：将下列参数方程化为普通方程(θ为参数)．解：∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下：第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P(x0，y0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成(t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝.[例2] (2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若α＝，求线段AB的中点M的坐标；(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直线l的斜率．[解] (1)将曲线C的参数方程化为普通方程是＋y2＝1.当α＝时，设点M对应的参数为t0.直线l的方程为(t为参数)，代入曲线C的普通方程＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.则t0＝＝－，所以点M的坐标为.(2)将代入曲线C的普通方程＋y2＝1，得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8sin α＋4cos α)t＋12＝0，因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7，所以＝7，得tan2α＝.由于Δ＝32cos α(2sin α－cos α)>0，故tan α＝.所以直线l的斜率为.参数方程与极坐标方程的综合问题例．已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝，求直线被曲线C截得的弦长．解：(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10，①曲线C表示以(3,1)为圆心，为半径的圆．将代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ.(2)∵直线的直角坐标方程为y－x＝1，∴圆心C到直线的距离为d＝，∴弦长为2＝.[全国卷5年真题集中演练]1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.所以直线l的斜率为或－.2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，继续阅读。
极坐标方程的含义
极坐标方程的含义在数学中，极坐标是一种描述平面上点的坐标系统。
与笛卡尔坐标系不同，它使用极径和极角两个坐标来定位点的位置。
极坐标方程是用极径和极角表示的方程，它们具有独特的几何和物理含义。
极坐标系统的基本概念在极坐标系统中，点的位置由与一个参考点的距离和与一个参考方向的夹角确定。
这个参考点通常被称为极点，参考方向被称为极轴。
通常情况下，极点位于坐标原点，极轴则是x轴。
给定一个点，它的极径就是从极点到该点的距离，而极角就是从极轴到极径所在向量的角度。
极坐标可以用数学符号表示为(r, θ)，其中r代表极径，θ代表极角。
极径是一个非负实数，可以取0，表示位于极点上的点；极角则通常用弧度来度量，它的取值范围是[0, 2π)或[-π, π]，对应于从极轴正向开始逆时针旋转的角度。
极坐标方程的含义极坐标方程是通过极径和极角来描述点的数学方程。
它将笛卡尔坐标系中的直角坐标方程转换为极坐标形式，从而更直观地描述了点的位置。
极坐标方程的形式可以是：•r = f(θ)：极径r是极角θ的函数。
•θ = g(r)：极角θ是极径r的函数。
通过极坐标方程，可以根据给定的极径和极角来确定点的位置。
相比于直角坐标系，极坐标方程在某些问题中具有更加便捷和直观的求解方式。
例如，在描述圆形、螺旋线、心形线等特殊曲线时，极坐标方程更加简洁和直观。
极坐标方程的几何含义极坐标方程的几何含义是描述点在极坐标系统下的几何特征。
通过极坐标方程，可以推导出点的坐标以及与其相关的几何性质。
对于极径r = f(θ)的极坐标方程，它描述了一条曲线在极坐标系下的形状。
通过变化极角θ的取值，可以得到该曲线上不同位置点的坐标。
例如，当极径为常数时，即r = a，对应的是以极点为中心的圆形。
而其他极径方程，如r = a·cos(nθ)或r = a·sin(nθ)，则对应着螺旋线或花瓣状的曲线。
极坐标方程的几何含义使得我们能够更好地理解点的位置和运动方式。
4-4极坐标系的概念
即 r - 2a cosq =0
【例2】指出下列方程所表示的曲线的形状.
(1)ρcos(θ- )=2; (2)ρ2cos2θ=3;
3
(3)ρ= 2 .
1 sin
(1) r cos(q - p ) = 2 3
变式训练 在极坐标系中，求两点间距离：
B(8, )
2
8
A(2, )
2
6
O
x
方法一：转换成直角坐标 由互化公式得
A( 3,1), B(0,8)
| AB | ( 3 0)2 (1 8)2 52 2 13
B(8, )
2
方法二：利用三角形余弦定理 连接ＡＢ，则
8
A(2, )
2
6
O
x
AOB
(2)ρ2cos2θ=3;
(2)原方程变形为ρ2(cos2θ - sin2θ)=3, 即x2 -y2=3, 它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的等轴双曲 线.
化简得：y = - 1 x2 +1 4
这类题多采用化生为熟的方法，即 常将极坐标方程化为普通方程，再 进行判断.
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面 内确定唯一的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有无数个 极坐标与之对应。
M (ρ,θ)…
O
X
原因在于：极径有正有负；极角有无数个。
(ρ,θ)=(ρ, θ+2kπ)=（－ρ, θ+(2k+1)π） 如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了
O
X
叫做点M的极角，
人教版八年级下册数学平面极坐标系
人教版八年级下册数学平面极坐标系1. 极坐标系的定义极坐标系用于描述平面上的点，它基于两个参数：极径和极角。
- 极径（r）是点到原点的距离，可以是正数或零。
- 极角（θ）是点到正半轴的角度，可以是0到360度之间的任意角度。
2. 极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系和直角坐标系是可以相互转换的。
- 直角坐标系转换为极坐标系：- 极径（r）可以通过点到原点的欧几里德距离（√(x^2+y^2)）计算得出。
- 极角（θ）可以通过点到正半轴的角度（tan^(-1)(y/x)）计算得出。
- 极坐标系转换为直角坐标系：- x坐标可以通过极径（r）和极角（θ）的关系计算得出：x = r * cos(θ)。
- y坐标可以通过极径（r）和极角（θ）的关系计算得出：y = r * sin(θ)。
3. 极坐标系的特点与应用极坐标系具有以下特点和应用：- 特点：- 极坐标系能够简洁地描述以原点为中心的环形区域。
- 极坐标系可以更方便地描述出现对称性的图形。
- 极坐标系的方程可以表达一些特殊的曲线，如圆、椭圆、双曲线等。
- 应用：- 极坐标系常用于物理学、天文学等领域中描述环形运动、天体运动等问题。
- 极坐标系在工程中也常用于描述圆形构件、旋转机械等。
4. 总结人教版八年级下册数学平面极坐标系是一种常用于描述平面上点的坐标系统。
它由极径和极角两个参数组成。
极坐标系和直角坐标系可以相互转换，且具有各自的特点和应用。
掌握极坐标系的概念和转换方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
以上就是关于人教版八年级下册数学平面极坐标系的简要介绍。
参考文献：- 张俊峰. (2016). 数学（九年级上册）. 人民教育出版社.。
高考数学中的极坐标系及基本概念
高考数学中的极坐标系及基本概念在数学中，极坐标系是一种广泛使用的坐标系，它在描述圆、椭圆、双曲线等图形方程时具有很大的优势。
而在高考数学中，对于极坐标系的基本概念掌握程度是一个决定成败的关键因素。
因此，本文将详细讲解高考数学中的极坐标系及其基本概念。
一、极坐标系的定义极坐标系是一种二维坐标系，它通过点到极点（原点）的距离和点与x轴正半轴的夹角的度数表示平面内点的位置。
在极坐标系中，点的坐标表示为(r,θ)，其中r为极径，θ为极角。
二、极径和极角的定义极径是点到极点（原点）的距离，用正数来表示。
极角是点与x轴正半轴之间的夹角，用角度制或弧度制来表示。
在角度制中，极角的范围是0°至360°，其中0°和360°分别代表正x轴正方向；在弧度制中，极角的范围是0至2π，其中0和2π分别代表正x轴正方向。
三、极坐标系与直角坐标系的转换在极坐标系中，点的坐标是(r,θ)，可以通过下列公式与直角坐标系中的坐标(x,y)进行转换。
x = r cos(θ)y = r sin(θ)其中cos和sin分别是余弦和正弦函数，θ是极角。
四、极坐标系中的图形方程当我们想要画出在极坐标系中的图形时，我们需要知道该图形的方程。
例如，极点到双曲线的距离是两个焦点之间距离的定值，这个双曲线的方程可以表示为r²=a²+b²/2ab cos(θ-φ)，其中a是双曲线的半轴距，b是扁率，φ表示双曲线的离心角。
五、极坐标系中的曲线方程分类在极坐标系中，曲线方程可以分为若干个类型。
其中，当r是常数时，图形为以极点为圆心、极径为常数的圆；当θ=kπ (k为整数) 时，图形为以极点为端点的射线；当θ=a sin(bθ) (a和b均为常数) 时，图形为叫做心形线的曲线。
此外，还有其他的图形方程类型，具体可参考数学书籍中的相关内容。
六、极坐标系中的重要概念在极坐标系中，还有一些其它的概念，需要我们进行深入的了解和掌握。
极坐标与参数方程知识点总结
极坐标与参数方程知识点总结极坐标与参数方程是解析几何中的重要概念，它们在描述曲线、图形和方程等方面具有独特的优势和应用。
本文将对极坐标与参数方程的相关知识点进行总结，以便读者更好地理解和掌握这两个概念。
首先，我们来介绍极坐标的概念。
极坐标是一种描述平面上点位置的方法，它不同于直角坐标系，而是以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，通过极径r和极角θ来确定点P的位置。
其中，极径r表示点P到极点O的距离，而极角θ表示点P与极轴的夹角。
通过极坐标系，我们可以更方便地描述圆、椭圆、双曲线等曲线，同时也可以简化一些复杂的曲线方程。
其次，参数方程是另一种描述曲线的方法。
参数方程是指用参数方程式表示的曲线方程，其中曲线上的点的坐标由参数表示。
一般而言，参数方程由x=f(t)和y=g(t)两个函数组成，其中t是参数。
通过参数方程，我们可以描述一些直角坐标系下难以表示的曲线，比如螺线、心形线等。
参数方程的引入，使得我们能够更加灵活地描述曲线的形状和特征。
极坐标与参数方程在解析几何中有着广泛的应用。
比如，在极坐标系下，描述圆心在极点O处的圆的方程为r=a，其中a为常数；描述直线的方程为r=acos(θ-α)，其中a和α为常数。
而在参数方程中，我们可以通过调整参数的取值来描述曲线的不同部分，从而更加全面地了解曲线的性质和特点。
除了在解析几何中的应用，极坐标与参数方程还在物理学、工程学等领域有着重要的作用。
比如，在天文学中，描述天体运动的轨道往往需要使用极坐标或参数方程；在工程学中，描述某些曲线形状或运动轨迹也需要借助于极坐标或参数方程。
因此，对极坐标与参数方程的深入理解和掌握，对于相关领域的研究和实践具有重要意义。
综上所述，极坐标与参数方程是解析几何中的重要概念，它们在描述曲线、图形和方程等方面具有独特的优势和应用。
通过本文的总结，相信读者对极坐标与参数方程有了更清晰的认识，也能更好地运用它们进行相关领域的研究和实践。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
极坐标的概念第一课时课件
[3]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内 的点和极坐标就可以一一对应了.
练习1：用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆, 图书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当的极坐标
系,写出各点的极坐标。（规定： 0, 0，2 ）
(,)就叫做M的极坐标.
0, R
O
M (,)
X
例1.在极坐标系里描出下列各点.
A(3, 0) , B(5, 2 ) , C(4, 5 ) , D(5, 4 ) , E(3, 5 )
3
3
6
例2. 如图,在极坐标系中,写出点A,B,C的极坐标
B A
C
极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的 一点M；
的对称点.
注意点P的极坐标具有多值性.
直角坐标系与极坐标系的区别和联系
外在形式 相同点
直角坐标系
原点, 横 、纵坐标
极坐标系
极点,极轴
都是用有序数对表示平面内点的坐标，都可以求两 点间距离，都可以用来描述曲线。
点的坐标表示
平面内点与坐 标的对应关系
横、纵坐标(x, y) 一一对应
极径、极角(, )
3.极坐标系的建立
在平面内取一个定点O，叫做极点 引一条射线OX，叫做极轴 再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取 弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）
这样就建立了一个极坐标系
O
X
4.极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度,
用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,
叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对
极坐标中θ范围确定口诀
极坐标中θ范围确定口诀
摘要：
一、极坐标基本概念
1.极坐标定义
2.极径与极角
3.极坐标与直角坐标的关系
二、极坐标中θ范围确定口诀
1.θ的取值范围
2.口诀内容与含义
3.口诀实际应用举例
三、总结
1.极坐标中θ范围确定口诀的重要性
2.口诀在实际问题中的应用
正文：
极坐标是一种用来表示平面上点的位置的坐标系统，它的基本概念包括极径与极角。
极径表示点到原点的距离，极角表示从正半轴逆时针旋转到连接原点和该点的线段的角度。
极坐标与直角坐标之间可以相互转换。
在极坐标中，θ范围确定口诀是一个非常重要的技巧，它能够帮助我们快速准确地确定极角θ的取值范围。
这个口诀的内容是：“小于等于π，大于等于-π”。
换句话说，极角θ的取值范围在-π到π之间。
这个口诀的实际应用非常广泛，例如在解决极坐标方程问题时，我们需要
先确定极角θ的取值范围。
假设我们有一个极坐标方程：ρ= asec(θ)，其中a 是常数。
我们可以使用口诀来确定θ的取值范围，从而进一步分析和解出方程。
总结一下，极坐标中θ范围确定口诀是一个非常有用的工具，能够帮助我们快速准确地确定极角θ的取值范围。
在解决极坐标相关问题时，掌握这个口诀非常关键。
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（一）极坐标概念确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。
极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。
1.1极坐标系定义在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。
其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。
1.2平面内的点与极坐标系的关系平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。
(1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应；(2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。
①P点固定后，极角不固定。
（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标；②P点固定后，ρ的值可正、可负。
ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。
∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。
例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（）A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于直线（ρ∈R）对称分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。
故选D。
例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是，，那么C的坐标可能是（）A. B.C. D.（3，π）分析：∵,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极角为.∴或故选B 。
例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|=______________________________。
分析：用余弦定理可得此结论可作为公式。
1.3极坐标与直角坐标的互化取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标系中P(ρ，θ)，设在直角坐标系中P(x,y)则ρ2=x2+y2、、(注意角所在象限)此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。
例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。
(1) (2)(3)(4)ρ2=2cos2θ解：(1)得y=-x；(2)ρsin2θ=2cosθ+2,ρ2sin2θ=2ρcosθ+2ρ,,(y2-2x)2=4(x2+y2)得y2=4(x+1)；(3)4ρ2+5ρ2cos2θ=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36；(4)ρ4=2ρ2(cos2θ-sin2θ),(x2+y2)=2x2-2y2例2.椭圆在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中的方程为（）A. B. C.D.分析：,得故选C 。
（二）极坐标方程的确定2.1几种直线的极坐标方程（ρ(1)从极点O发出的一条射线（如图1），其极坐标方程为：θ=θ1＞0）；（ρ∈R）；(2)过极点O的一条直线（），其极坐标方程为θ=θ1(3)如图3 过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ=a；(4)如图4 过点（a,π)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ= -a；如图1如图2如图3如图4(5)如图5 平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=a；(6)如图6 平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=-a；(7)如图7 过点M（a,θ1）,且与极径OM垂直的直线的极坐标方程为：ρcos(θ-θ1)=a.如图5 如图6 如图7例1.过点且与极轴平行的直线的极坐标方程是（）A. B.ρ=1 C. D.分析：极点到直线距离d=1.根据直线极坐标方程(5)得ρsinθ=1，故选C。
例2.已知点P的坐标为（1,π），那么通过P点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）（上海 94年高考题）A.ρ=1B.ρ=cosθC.ρcosθ=-1 D.ρcosθ=1分析：根据直线极坐标方程(4)得ρcosθ=-1 故选C。
例3.已知直线ι1的参数方程为：（t为参数），直线ι2的极坐标方程为（极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合）。
则ι1与ι2的夹角是（）A. B. C. D.分析：直线化为普通方程为x-2y+3=0,其斜率；直线化为普通方程，即，其斜率k 2=1，两直线夹角若为α，则，，故选C 。
2.2几种圆的极坐标方程(1)圆心为极点，半径为r 的圆的极坐标方程为：ρ=r(θ∈R)；(2)圆心O′（r,0），半径为r 的圆的极坐标方程为：ρ=2rcosθ；(3)圆心O′（r,π），半径为r 的圆的极坐标方程为：ρ=-2rcosθ；(4)圆心O′，半径为r 的圆的极坐标方程为：；(5)圆心O′，半径为r 的圆的极坐标方程为：；(6)一般圆的极坐标方程：圆心O′（ρ0，θ0），半径为r 的极坐标方程。
设动点（ρ，θ），依据余弦定理得ρ2+ρ20 -2ρρ0 cos （θ-θ0）=r 2 即ρ2-[2ρ0cos(θ-θ0)]ρ+ρ02-r 2=0.以上方程的推导方程有两种：一是基本方法，也就是轨迹法。
轨迹法就是设曲线动点为（ρ，θ），然后找出可解三角形，在可解三角形中建立等量关系；二是直极转化法，也就是写出直角坐标方法，然后再化为极坐标方程。
例1. 极坐标方程所表示的曲线是（）A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆分析：故选D。
例2.极坐标方程ρ2-(1+2cosθ)ρ+2cosθ=0所表示的曲线是（）A.抛物线B.一直线和一个圆C.两条直线 D.两相交圆分析：是两相交的圆故选D。
例3.极坐标方程分别是ρ= -cosθ和ρ= -sinθ的两个圆的圆心距是（）A.2B.C.1D.解法一：圆ρ=-cosθ 圆心；圆ρ=-sinθ，圆心根据两个点间距离，应选D；解法二：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为根据两个点间距离，应选D；解法三：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为，根据勾股定理，；解法四：；.圆心距.返回主题2.3焦点为极点的椭圆、双曲线和抛物线标准统一的极坐标方程：(1)圆锥曲线统一定义：在同一平面内到一定点和一定直线的距离之比为常数e的动点轨迹，就叫圆锥曲线。
其中定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫准线。
(2)圆锥曲线的标准统一极坐标方程：如果以定点O为极点，以过定点所作定直线L的垂线的反向延长线为极轴正方向建立极坐标系为标准坐标系。
那么在此标准极坐标系下圆锥曲线的标准统一方程,其中p是焦点到相应准线的距离。
在椭圆和双曲线中p就是相应直角坐标系中的,.(3)将化为直角坐标方程(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,其中0＜e＜1时两方程表示椭圆（极点和原点是椭圆的左焦点）；e＞1时两方程表示双曲线（极点和原点是双曲线的右焦点）；e=1时两方程表示抛物线（极点和原点是抛物线焦点）。
例1.设椭圆(0＜e＜1).求：a、b、c及另一个焦点的极坐标，两条准线的极坐标方程。
解：令θ=0得A点极径①θ=π得A′点极径②由①+②得①-②得F1为极点左准线ρcosθ=-p，右准线.例2.求双曲线(e＞1)的a、b、c，焦点的坐标和准线的方程。
解：令θ=0 (e＞1) ①θ=π ②由①、②得焦点F2(0，θ)为极点，F1(2c,π)即右准线ρcosθ=-p 左准线例3.求圆锥曲线过焦点的弦AB之长解：当e=1时，抛物线过焦点弦长解评：圆锥曲线极坐标方程只有一个，比较容易记忆，注意圆锥曲线统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点。
也正因为此，遇到圆锥曲线有关焦点弦问题，用极坐标方程来解题，运算要简捷。
返回主题（三）极坐标方程的应用3.1由极坐标方程讨论曲线及性质例1.椭圆的焦距是（）A. B.2 C. D.1分析：极坐标方程化为标准式应选B.例2. 若圆锥曲线的一条准线方程是ρcosθ=1，则另一条准线的极坐标方程是____________________。
分析：化标准式，两条准线间距离∴另一条准线为例3.双曲线的渐近线方程是_____________.分析：化标准线设双曲线渐近线上一动点M（ρ,θ）。
为渐近线与极轴令此时ρ不存在，θ1夹角。
在△MO′F中 (如图)根据正弦定理∴双曲线的两条渐近线的方程为：和 .解评：用圆锥曲线统一标准极坐标方程讨论曲线性质。
主要记住椭圆和双曲线,及直线的极坐标方程；例3求双曲线渐近线的极坐标方程高考大纲不作要求，有同学愿用极坐标求动点轨迹研究可作参考。
返回主题3.2圆锥曲线过焦点弦问题在极坐标中应用因为圆锥曲线的统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点，且过极点弦长可直接得ρ1+ρ2之值。
因此遇到有关过焦点弦问题用极坐标方程解决，可简化做题过程。
例1.过椭圆的左焦点作一条倾角为的直线ι，则它被曲线截得的弦长是______________。
解：设直线ι与曲线交点为、它被曲线截得的弦长例2.已知椭圆长轴AA′=6，焦距，过椭圆焦点F1作直线交椭圆于M、N两点，若∠F2F1M=α,(0≤α＜π).当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长。
解：（此题MN是过焦点弦问题，用极坐标解题较好）以F1为极点，F1F2所在射线为极轴建立极坐标系。
∵a=3，，,,椭圆的极坐标方程为∴令：例3.过抛物线y2=2px的焦点F作两条互相垂直的直线ι1和ι2,分别与抛物线交于A、B点和C、D点 (1)求证：为定值；(2)求|AB|+|CD|的最小值。
解：(1)以焦点F为极点，x轴正方向为极轴正向建立极坐标系，则y2=2px的极坐标方程为设A(ρ1，θ)则B(ρ2，θ+π),,∴（为定值）(2)当sin22θ=1 时，等号成立，∴最小值为8p解评：抛物线直角坐标方程中p与极坐标方程中p相同，因此抛物线直角坐标方程（原点为抛物线顶点）与极坐标方程（极点为抛物线焦点）互换极为容易，过焦点弦问题用极坐标方程解决较好。
返回主题[同步检测]1.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为（）（98年全国高考题）A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=42.已知点P的坐标为（1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）（94年上海高考题）A.ρ=1B.ρ=cosθC.ρcosθ=-1 D.ρcosθ=13.的半径和圆心的极坐标分别为（）A. B.C. D.4.双曲线的顶点坐标是（）A.（8，0），（2，π）B.（-8，0），（2，π）C.（-8，0），（-2，π）D.（8，0），（-2，π）5.椭圆的长轴长_____________，短轴长____________，短轴上顶点的坐标_______，焦点坐标_____________，准线方程_________________。