极坐标的概念

（一）极坐标概念

确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。

1.1极坐标系定义

在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。

1.2平面内的点与极坐标系的关系

平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。

(1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应；

(2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。

①P点固定后，极角不固定。（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标；

②P点固定后，ρ的值可正、可负。ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，

2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。

∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。

例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（）

A.关于极轴所在直线对称

B.关于极点对称

C.重合

D.关于直线（ρ∈R）对称

分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。故选D。

例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是，

，那么C的坐标可能是（）

A. B.

C. D.（3，π）

分析：∵,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极角为.

∴或故选B 。

例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ

1，θ

1

)，B(ρ

2

，θ

2

)，则

|AB|=______________________________。

分析：用余弦定理可得此结论可作为公式。

1.3极坐标与直角坐标的互化

取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标系中P(ρ，θ)，设在直角坐标系中P(x,y)

则ρ2=x2+y2、、(注意角所在象限)

此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。

例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。

(1) (2)

(3)(4)ρ2=2cos2θ

解：(1)得y=-x；

(2)ρsin2θ=2cosθ+2,ρ2sin2θ=2ρcosθ+2ρ,

,(y2-2x)2=4(x2+y2)得y2=4(x+1)；

(3)4ρ2+5ρ2cos2θ=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36；

(4)ρ4=2ρ2(cos2θ-sin2θ),(x2+y2)=2x2-2y2

例2.椭圆在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中的方程为（）

A. B. C.

D.

分析：,得故选C 。

（二）极坐标方程的确定

2.1几种直线的极坐标方程

（ρ

(1)从极点O发出的一条射线（如图1），其极坐标方程为：θ=θ

1

＞0）；

（ρ∈R）；

(2)过极点O的一条直线（），其极坐标方程为θ=θ

1

(3)如图3 过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：

ρcosθ=a；

(4)如图4 过点（a,π)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：

ρcosθ= -a；

如图1如图2

如图3如图4

(5)如图5 平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：

ρsinθ=a；

(6)如图6 平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=-a；

(7)如图7 过点M（a,θ

1

）,且与极径OM垂直的直线的极坐标方程为：

ρcos(θ-θ

1

)=a.

如图5 如图6 如图7

例1.过点且与极轴平行的直线的极坐标方程是（）

A. B.ρ=1 C. D.

分析：极点到直线距离d=1.根据直线极坐标方程(5)得ρsinθ=1，故选C。

例2.已知点P的坐标为（1,π），那么通过P点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）（上海 94年高考题）

A.ρ=1

B.ρ=cosθ

C.ρcosθ=

-1 D.ρcosθ=1

分析：根据直线极坐标方程(4)得ρcosθ=-1 故选C。

例3.已知直线ι

1的参数方程为：（t为参数），直线ι

2

的极坐标方程为（极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合）。则

ι

1与ι

2

的夹角是（）

A. B. C. D.

分析：直线

化为普通方程为x-2y+3=0,其斜率；直线化为普通方程，即，其斜率k 2=1，两直

线夹角若为α，则，，故选C 。

2.2几种圆的极坐标方程

(1)圆心为极点，半径为r 的圆的极坐标方程为：ρ=r(θ∈R)；

(2)圆心O′（r,0），半径为r 的圆的极坐标方程为：ρ=2rcosθ；

(3)圆心O′（r,π），半径为r 的圆的极坐标方程为：ρ=-2rcosθ；

(4)圆心O′，半径为r 的圆的极坐标方程为：

；

(5)圆心O′，半径为r 的圆的极坐标方程为：

；

(6)一般圆的极坐标方程：圆心O′（ρ0，θ0），半径为r 的极坐标方程。

设动点（ρ，θ），依据余弦定理得ρ2+ρ2

0 -2ρρ0 cos （θ-θ0）=r 2 即ρ2-[2ρ0

cos(θ-θ0)]ρ+ρ02-r 2=0.