极坐标的概念

（一）极坐标概念
确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。

极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。

1.1极坐标系定义
在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。

其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。

1.2平面内的点与极坐标系的关系
平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。

(1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应；
(2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。

①P点固定后，极角不固定。

（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标；
②P点固定后，ρ的值可正、可负。

ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，
2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。

∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。

例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（）
A.关于极轴所在直线对称
B.关于极点对称
C.重合
D.关于直线（ρ∈R）对称
分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。

故选D。

例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是，
，那么C的坐标可能是（）
A. B.
C. D.（3，π）
分析：∵,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极角为.
∴或故选B 。

例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ
1，θ
1
)，B(ρ
2
，θ
2
)，则
|AB|=______________________________。

分析：用余弦定理可得此结论可作为公式。

1.3极坐标与直角坐标的互化
取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标系中P(ρ，θ)，设在直角坐标系中P(x,y)
则ρ2=x2+y2、、(注意角所在象限)
此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。

例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。

(1) (2)
(3)(4)ρ2=2cos2θ
解：(1)得y=-x；
(2)ρsin2θ=2cosθ+2,ρ2sin2θ=2ρcosθ+2ρ,
,(y2-2x)2=4(x2+y2)得y2=4(x+1)；
(3)4ρ2+5ρ2cos2θ=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36；
(4)ρ4=2ρ2(cos2θ-sin2θ),(x2+y2)=2x2-2y2
例2.椭圆在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中的方程为（）
A. B. C.
D.
分析：,得故选C 。

（二）极坐标方程的确定
2.1几种直线的极坐标方程
（ρ
(1)从极点O发出的一条射线（如图1），其极坐标方程为：θ=θ
1
＞0）；
（ρ∈R）；
(2)过极点O的一条直线（），其极坐标方程为θ=θ
1
(3)如图3 过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：
ρcosθ=a；
(4)如图4 过点（a,π)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：
ρcosθ= -a；
如图1如图2
如图3如图4
(5)如图5 平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：
ρsinθ=a；
(6)如图6 平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=-a；
(7)如图7 过点M（a,θ
1
）,且与极径OM垂直的直线的极坐标方程为：
ρcos(θ-θ
1
)=a.
如图5 如图6 如图7
例1.过点且与极轴平行的直线的极坐标方程是（）
A. B.ρ=1 C. D.
分析：极点到直线距离d=1.根据直线极坐标方程(5)得ρsinθ=1，故选C。

例2.已知点P的坐标为（1,π），那么通过P点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）（上海 94年高考题）
A.ρ=1
B.ρ=cosθ
C.ρcosθ=
-1 D.ρcosθ=1
分析：根据直线极坐标方程(4)得ρcosθ=-1 故选C。

例3.已知直线ι
1的参数方程为：（t为参数），直线ι
2
的极坐标方程为（极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合）。

则
ι
1与ι
2
的夹角是（）
A. B. C. D.
分析：直线
化为普通方程为x-2y+3=0,其斜率；直线化为普通方程，即，其斜率k 2=1，两直
线夹角若为α，则，，故选C 。

2.2几种圆的极坐标方程
(1)圆心为极点，半径为r 的圆的极坐标方程为：ρ=r(θ∈R)；
(2)圆心O′（r,0），半径为r 的圆的极坐标方程为：ρ=2rcosθ；
(3)圆心O′（r,π），半径为r 的圆的极坐标方程为：ρ=-2rcosθ；
(4)圆心O′，半径为r 的圆的极坐标方程为：
；
(5)圆心O′，半径为r 的圆的极坐标方程为：
；
(6)一般圆的极坐标方程：圆心O′（ρ0，θ0），半径为r 的极坐标方程。

设动点（ρ，θ），依据余弦定理得ρ2+ρ2
0 -2ρρ0 cos （θ-θ0）=r 2 即ρ2-[2ρ0
cos(θ-θ0)]ρ+ρ02-r 2=0.
以上方程的推导方程有两种：一是基本方法，也就是轨迹法。

轨迹法就是设曲线动点为（ρ，θ），然后找出可解三角形，在可解三角形中建立等量关系；二是直极转化法，也就是写出直角坐标方法，然后再化为极坐标方程。

例1. 极坐标方程所表示的曲线是（）
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
分析：
故选D。

例2.极坐标方程ρ2-(1+2cosθ)ρ+2cosθ=0所表示的曲线是（）
A.抛物线
B.一直线和一个圆
C.两条直
线 D.两相交圆
分析：
是两相交的圆故选D。

例3.极坐标方程分别是ρ= -cosθ和ρ= -sinθ的两个圆的圆心距是（）
A.2
B.
C.1
D.
解法一：圆ρ=-cosθ 圆心；圆ρ=-sinθ，圆心
根据两个点间距离
，应选D；
解法二：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为根据两个点间距离
，应选D；
解法三：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为，根据勾股定理，；
解法四：；.圆心距.
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2.3焦点为极点的椭圆、双曲线和抛物线标准统一的极坐标方程：
(1)圆锥曲线统一定义：在同一平面内到一定点和一定直线的距离之比为常数e的动点轨迹，就叫圆锥曲线。

其中定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫准线。

(2)圆锥曲线的标准统一极坐标方程：如果以定点O为极点，以过定点所作定直线L的垂线的反向延长线为极轴正方向建立极坐标系为标准坐标系。

那么
在此标准极坐标系下圆锥曲线的标准统一方程,其中p是焦点到相应准线的距离。

在椭圆和双曲线中p就是相应直角坐标系中的,.
(3)将化为直角坐标方程(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,其中0＜e＜1时两方程表示椭圆（极点和原点是椭圆的左焦点）；e＞1时两方程表示双
曲线（极点和原点是双曲线的右焦点）；e=1时两方程表示抛物线（极点和原点是抛物线焦点）。

例1.设椭圆(0＜e＜1).求：a、b、c及另一个
焦点的极坐标，两条准线的极坐标方程。

解：令θ=0得A点极径①
θ=π得A′点极径②
由①+②得①-②得
F
1
为极点
左准线ρcosθ=-p，右准线.
例2.求双曲线(e＞1)的a、b、c，焦点的坐标和准线的方程。

解：令θ=0 (e＞1) ①
θ=π ②
由①、②得
焦点F
2(0，θ)为极点，F
1
(2c,π)即
右准线ρcosθ=-p 左准线
例3.求圆锥曲线过焦点的弦AB之长
解：
当e=1时，抛物线过焦点弦长
解评：圆锥曲线极坐标方程只有一个，比较容易记忆，注意圆锥曲线统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点。

也正因为此，遇到圆锥曲线有关焦点弦问题，用极坐标方程来解题，运算要简捷。

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（三）极坐标方程的应用
3.1由极坐标方程讨论曲线及性质
例1.椭圆的焦距是（）
A. B.2 C. D.1
分析：极坐标方程化为标准式
应选B.
例2. 若圆锥曲线的一条准线方程是ρcosθ=1，则另一条准线的极坐标方程是____________________。

分析：化标准式，两条准线间距离
∴另一条准线为
例3.双曲线的渐近线方程是_____________.
分析：化标准线
设双曲线渐近线上一动点M（ρ,θ）。

为渐近线与极轴令此时ρ不存在，θ
1
夹角。

在△MO′F中 (如图)根据正弦定理
∴双曲线的两条渐近线的方程
为：和 .
解评：用圆锥曲线统一标准极坐标方程讨论曲线性质。

主要记住椭圆和双曲线,及直线的极坐标方程；例3求双曲线渐近线的极坐标方程高考大纲不作要求，有同学愿用极坐标求动点轨迹研究可作参考。

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3.2圆锥曲线过焦点弦问题在极坐标中应用
因为圆锥曲线的统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点，且过极点弦
长可直接得ρ
1+ρ
2
之值。

因此遇到有关过焦点弦问题用极坐标方程解决，可简
化做题过程。

例1.过椭圆的左焦点作一条倾角为的直线ι，则它被曲线截得的弦长是______________。

解：设直线ι与曲线交点为、它被曲线截得的弦长
例2.已知椭圆长轴AA′=6，焦距，过椭圆焦点F1
作直线交椭圆于M、N两点，若∠F2F1M=α,(0≤α＜π).当α取什么
值时，|MN|等于椭圆短轴的长。

解：（此题MN是过焦点弦问题，用极坐标解题较好）以F1为
极点，F1F2所在射线为极轴建立极坐标系。

∵a=3，，,,
椭圆的极坐标方程为
∴
令：
例3.过抛物线y2=2px的焦点F作两条互相垂直的直线ι
1和ι
2
,分别与
抛物线交于A、B点和C、D点 (1)求证：为定值；(2)求|AB|+|CD|的最小值。

解：(1)以焦点F为极点，x轴正方向为极轴正向建立极坐标系，则y2=2px
的极坐标方程为
设A(ρ
1，θ)则B(ρ
2
，θ+π),,
∴（为定值）
(2)
当sin22θ=1 时，等号成立，∴最小值为8p
解评：抛物线直角坐标方程中p与极坐标方程中p相同，因此抛物线直角坐标方程（原点为抛物线顶点）与极坐标方程（极点为抛物线焦点）互换极为容易，过焦点弦问题用极坐标方程解决较好。

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[同步检测]
1.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为（）（98年全国高考题）
A.x2+(y+2)2=4
B.x2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y2=4
D.(x+2)2+y2=4
2.已知点P的坐标为（1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）（94年上海高考题）
A.ρ=1
B.ρ=cosθ
C.ρcosθ=
-1 D.ρcosθ=1
3.的半径和圆心的极坐标分别为（）
A. B.
C. D.
4.双曲线的顶点坐标是（）
A.（8，0），（2，π）
B.（-8，0），（2，π）
C.（-8，0），（-2，π）
D.（8，0），（-2，π）
5.椭圆的长轴长_____________，短轴长____________，短轴上顶点的坐标_______，焦点坐标_____________，准线方程_________________。

返回主题[强化练习]
1.设椭圆(a＞b＞0)，A、B为椭圆上任意两点，且（其
中O为坐标轴原点），求证：为定值。

2.设有一彗星，围绕地球沿一抛物线轨迹运行，地球恰好位于这轨迹的焦点处。

当此彗星离地球为d万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的
夹角为，求这彗星运行中与地球的最短距离。

3.F是定点，ι是定直线，点F到直线ι的距离为p
（p＞0）,点M在直线ι上滑动，动点N在MF的延长
线上，且满足。

(1)求动点N的轨迹。

(2)
求|MN|的最小值。

（1989年上海高考题）
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同步检测答案：
1.B
2.C
3.C
4.B
提示：
1.ρ2=4ρcosθ x2+y2-4x=0 x2+(y-2)2=4 故选B；
2.把ρ=1，θ=π代入方程，只有C成立；
3.化为直角坐标方程得
,半径r=1，圆心化为极坐标.故选C 。

4. a=3,b=4,c=5顶点A(c-a,π) A′（-(a+c),0）
5.∴2a=10,
短轴上顶点坐标为,焦点（0，θ），（4，0），准线或
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强化练习解答：
1.解化为极坐标方程x=ρcosθ,y=ρsinθ,得
b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,即
2.解：以地球所在位置为极点，抛物线对称轴为极轴建立极坐标系，设抛物线方程为
∵在抛物线上，故；
又∵也可能在抛物线上故
∵抛物线上各点中顶点离焦点最近，∴慧星与地球最短距离为（万公里）或（万公里）。

3.解：以F为极点，过F而垂直于ι，方向向右为正建立极坐标系。

(1)设N（ρ，θ），,过F作FK⊥ι于K，设|FK|=p，,(其中|FN|=ρ)，
∵即（0＜cosθ＜p）。

①若,即0＜p＜1时，N的轨迹为双曲线右
支的一部分（如右图）。

②若,即p=1时，N的轨迹为抛物线一部分
（如右图）。

③若即p＞1时，N为椭圆的一部分。

(2)
=4
①若0＜p≤2时，则时，|MN|
min
②若p＞2时，则cosθ=1时，
极坐标·型例题分析
发布时间：2005年7月24日 14时58分
例1 点M(1，π)是否在曲线C∶ρ(3-4cosθ)=1上，为什么？
分析点M(1，π)的极坐标可以有无数种表示形式，点M是否在曲线C上，只要点M有其中一个极坐标满足方程．
解由1·(3-4cosπ)≠1 不能判断点M不在曲线C上，
∵点M(1，π)，即是M(-1，2π)
且-1·(3-4cos2π)=1
∴点M(1，π)在曲线C∶ρ(3-4cosθ)=1上．
说明解此题要注意“点和极坐标”的“一多对应”特性，适合曲线的极坐标方程的每一对有序实数(ρ，θ)所确定的点一定在此曲线上，但此曲线上点的坐标不一定全适合此方程．
例2 化下列极坐标方程为直角坐标方程．
分析要利用ρcosθ=x；ρsinθ=y；ρ2=x2+y2进行转化
ρsin2θ=-6cosθ
当ρ≠0时，两边乘以ρ∶ρ2sin2θ=-6ρcosθ
即：y2=-6x(x≠0)
当ρ=0时，原方程有解，曲线过原点．
∴所得直角坐标方程为：y2=-6x．
说明化极坐标方程为直角坐标方程时，要注意变形的等价性，特别要检查极点是否在曲线上．这是因为在变形过程中，通常要用ρ去乘
不过极点，在得到2ρ2cos2θ=ρ后，如不限制ρ＞0，则原点在曲线
直线的距离是______．
分析由极坐标的定义，ρ(ρ＞0时)或|p|(ρ＜0时)为曲线上点到极点的距离，因此可求|p|的最小值，另一种方法是化直线的极坐标方程为普通方程，再利用点到直线的距离公式求解．
∴ρsinθ+ρcosθ=1．
∴直线的直角坐标方程是x+y-1=0
说明解法一需要对极坐标的概念有较深刻的理解；解法二的关键一步是化极坐标方程为直角坐标方程，这是解决极坐标问题的常用方法．
分析如图3-3，|OA|，|OB|是从原点出发的两条线段的长度，启发我们把椭圆方程化为极坐标方程后，利用极径的意义求解．
解以原点为极点，ox为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程
说明对有心圆锥曲线，若涉及曲线上的点与中心连线的问题，则通常以中心为极点，对称轴为极轴建立极坐标系；若涉及抛物线顶点弦的问题，则通常以顶点为极点，对称轴为极轴建立极坐标系．
极坐标·例题
发布时间：2005年7月24日 14时46分
(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角坐标方程，并说明曲线的形状．
解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则
(3)在方程kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得
kx2+3y2-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程．
当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；
注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两
的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值．(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，使方程中出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化．但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
例13-2-2已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值
a2时，求P点的轨迹．
解如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以
OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ)
ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ)
于是 S PMON=S△POM+S△PON
由题设知
故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，
注与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．例13-2-3已知椭圆(x-2)2+4y2=4．P为椭圆上一动点，O为原点，以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点
轨迹方程．
解以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系．
化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为
x2+4y2-4x=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程
ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．
因点P在椭圆上，故
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得
这就是点Q的轨迹方程．
注因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．
焦距．
解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则
为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．
以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是
注对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
极坐标·例题
发布时间：2005年7月24日 14时46分
(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角坐标方程，并说明曲线的形状．
解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则
(3)在方程kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得
kx2+3y2-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程．
当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；
注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两
的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值．(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，使方程中出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化．但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
例13-2-2已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值
a2时，求P点的轨迹．
解如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以
OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ)
ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ)
于是 S PMON=S△POM+S△PON
由题设知
故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，
注与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．例13-2-3已知椭圆(x-2)2+4y2=4．P为椭圆上一动点，O为原点，以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点
轨迹方程．
解以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系．
化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为
x2+4y2-4x=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程
ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．
因点P在椭圆上，故
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得
这就是点Q的轨迹方程．
注因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．
焦距．
解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则
为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．
以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是
注对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
极坐标·例题
发布时间：2005年7月24日 14时46分
(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角坐标方程，并说明曲线的形状．
解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则
(3)在方程kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得
kx2+3y2-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程．
当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；
注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两
的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值．(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，使方程中出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化．但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
例13-2-2已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值
a2时，求P点的轨迹．
解如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以
OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ)
ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ)
于是 S PMON=S△POM+S△PON
由题设知
故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，
注与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．例13-2-3已知椭圆(x-2)2+4y2=4．P为椭圆上一动点，O为原点，以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点
轨迹方程．
解以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系．
化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为
x2+4y2-4x=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程
ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．
因点P在椭圆上，故
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得
这就是点Q的轨迹方程．
注因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．
焦距．
解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则
为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．
以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是
注对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
极坐标·例题
发布时间：2005年7月24日 14时46分
(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角坐标方程，并说明曲线的形状．
解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则
(3)在方程kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得
kx2+3y2-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程．
当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；
注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两
的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值．(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，使方程中出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化．但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
例13-2-2已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值
a2时，求P点的轨迹．
解如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以
OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ)
ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ)
于是 S PMON=S△POM+S△PON
由题设知
故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，
注与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．例13-2-3已知椭圆(x-2)2+4y2=4．P为椭圆上一动点，O为原点，以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点
轨迹方程．
解以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系．
化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为
x2+4y2-4x=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程
ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．
因点P在椭圆上，故
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得
这就是点Q的轨迹方程．
注因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．
焦距．
解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则
为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．
以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是
注对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
第十三章参数方程和极坐标专项训练
【例题精选】：
例1：曲线的参数方程为()x t y t t =+=-⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪
⎭
⎪≤≤321052
2
，则曲线是： A ．线段
B ．双曲线一支
C ．圆弧
D ．射线
答案：A 。

分析 由y t t y =-=+22
11解得，将其代入()x t x y =+=++323122得，，整理
得：x y --=350。

05025277124
2≤≤≤≤∴≤≤-≤≤t t x y ，得，
故该曲线是直线x y --=350上的一条线段，故选A 。

例2：参数方程()()x y =+=+⎧
⎨⎪⎪⎩
⎪⎪<<cos sin sin θθθθπ22
12102表示：
A ．双曲线一支，这支过点112，⎛
⎝
⎫⎭
⎪
B ．抛物线一部分，这部分过点112，⎛⎝
⎫⎭
⎪
C ．双曲线一支，这支过点-⎛⎝
⎫⎭
⎪112，
D ．抛物线一部分，这部分过点-⎛⎝
⎫⎭
⎪112， 答案：B 。

分析 因为x =+=+⎛⎝ ⎫
⎭⎪cos
sin
sin θ
θ
θπ2
2
224
()()
又，即又024
2
4
54
024102
1
2
11222241
2
02
2
22<<∴
<
+
<
∴≤+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪≤≤≤=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫
⎭⎪
∴=≤≤θππ
θ
π
πθπθθθθπsin sin sin cos sin x y y x x
因此，参数方程表示抛物线y x =
12
2的一部分，这部分过点112，⎛
⎝ ⎫⎭⎪，故选B 。

例3：等腰直角三角形ABC ，三顶点A 、B 、C 按顺时针方向排列，∠A 是直角，腰长为a ，顶点A 、B 分别在x 轴y 轴上滑动，求顶点C 的轨迹方程（要求把结果写成直角坐标系的普通方程）
分析 设点C 的坐标为()
x y 、，不易直接建立x y
、之间的关系，所以可考虑建立x y 、之间的间接关系式，即参数方程。

∠CAX 完全确定了顶点C 的位置，即顶点C 的位置是∠CAX 的函数，所以可选∠CAX 为参数。

解：如图所示，设∠=CAX θ，则 ()x OA AD a a a y DC a =+=+=+==sin cos sin cos sin θθθθθ
∴C 点的参数方程为：
()
()x a y a =+=⎧⎨
⎩
sin cos sin θθθθ为参数 消去参数θ，得普通方程为：x xy y a 2
2
2
2-+= 小结：与旋转有关的轨迹问题，常选角为参数。