数学公式(大全)

r1 = α + iβ，r2 = α − iβ 4q − p 2 p α = − ，β = 2 2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y ′′ + py ′ + qy = f ( x )，p, q为常数 f ( x) = e λx Pm ( x)型，λ为常数； f ( x) = e λx [ Pl ( x ) cosωx + Pn ( x ) sin ωx]型
Ω ∑ ∑ ∑ ∑
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
∫∫ ( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
∑ Γ
∂R
∂Q
∂P
∂R
∂Q
∂P
dydz dzdx dxdy cosα ∂ ∂ ∂ ∂ = ∫∫ 上式左端又可写成： ∫∫ ∂x ∂y ∂z ∂x ∑ ∑ P Q R P
n→ ∞
交错级数u1 − u 2 + u3 − u 4 + (或 − u1 +u 2 −u3 + , u n > 0)的审敛法 — —莱布尼兹定理： u n ≥ u n +1 如果交错级数满足 ，那么级数收敛且其和s ≤ u1 , 其余项rn的绝对值 rn ≤ u n +1。 lim u = 0 n →∞ n
∫ P( x, y )dx + Q( x, y)dy = ∫ {P[ϕ (t ),ψ (t )]ϕ ′(t ) + Q[ϕ (t ),ψ (t )]ψ ′(t )}dt
L α
β
两类曲线积分之间的关系： ∫ Pdx + Qdy = ∫ ( P cosα + Q cos β )ds，其中α和β分别为
L L
f ( x) =
a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx)，周期 = 2π 2 n=1 (n = 0,1,2) (n = 1,2,3)
π 1 an = ∫ f ( x) cos nxdx π −π 其中 π b = 1 f ( x)sin nxdx n π ∫ −π
欧拉公式：
(−1 < x < 1)
e ix = cos x + i sin x
e ix + e − ix cos x = 2 或 ix − ix sin x = e − e 2
三角级数：
a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1 n =1 其中，a0 = aA0，an = An sin ϕ n，bn = An cosϕ n，ωt = x。 f (t ) = A0 + ∑ An sin( nωt + ϕ n ) = 正交性： 1, sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 xsin nx, cos nx 任意两个不同项的乘积在[−π ,π ] 上的积分＝0。
傅立叶级数：
∞
1、正项级数的审敛法 — —根植审敛法（柯西判别法）： ρ < 1时，级数收敛 设：ρ = lim u n ，则 ρ > 1时，级数发散 n→ ∞ ρ = 1时，不确定
n
2、比值审敛法： ρ < 1时，级数收敛 U n+1 设：ρ = lim ，则 ρ > 1时，级数发散 n→ ∞ U n ρ = 1时，不确定 3、定义法： s n = u1 + u 2 + + u n ; lim s n 存在，则收敛；否则发散。
绝对收敛与条件收敛：
(1)u1 + u 2 + + u n + ，其中u n为任意实数； (2) u1 + u 2 + u3 + + u n + 如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数； 如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1 (−1) n 调和级数： ∑ n 发散，而∑ n 收敛； 1 级数： ∑ n 2 收敛； ｐ≤１时发散 1 p级数： ∑ n p p > 1时收敛
y dy = f ( x, y ) = ϕ ( x, y )，即写成 的函数，解法： x dx y dy du du dx du y 设u = ，则 = u + x ，u + 分离变量，积分后将 代替u， = ϕ (u )， ∴ = x dx dx dx x ϕ (u ) − u x 齐次方程：一阶微分方程可以写成 即得齐次方程通解。
幂级数：
∫∫∫ ( ∂x + ∂y
Ω
∂P
∂Q
+
∂R ) dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) ds ∂z ∑ ∑
高斯公式的物理意义 — —通量与散度： ∂P ∂Q ∂R 散度： divν = + + ,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 divν < 0, 则为消失 ∂x ∂y ∂z 通量： ∫∫ A ⋅ n ds = ∫∫ An ds = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ )ds， 因此，高斯公式又可写 成： ∫∫∫ divAdv = ∫∫ An ds
( x, y)
百度文库
∂Q ∂P ＝ 。注意奇点，如(0,0)，应 ∂x ∂y
cos β ∂ ∂y Q
cos γ ∂ ∂z R
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = ， = 空间曲线积分与路径无关的条件： = ， ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y i j k ∂ ∂ ∂ 旋度：rotA = ∂x ∂y ∂z P Q R 向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量： ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ A ⋅ t ds
3、根据r1 , r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解： r1，r2的形式
两个不相等实根 ( p 2 − 4q > 0) 两个相等实根 ( p 2 − 4q = 0) 一对共轭复根 ( p 2 − 4q < 0) (*)式的通解
y = c1e r1x + c 2 e r2 x y = (c1 + c 2 x)e r1x y = eαx (c1 cos βx + c 2 sin βx )
π π
正弦级数：a n = 0，bn =
n = 1,2,3 n = 0,1,2
f ( x) = ∑ bn sin nx是奇函数 f ( x) = a0 + ∑ an cos nx是偶函数 2
2 余弦级数：bn = 0，an = ∫ f ( x) cos nxdx π 0
周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数：
一些函数展开成幂级数：
f ′′(0) 2 f ( n) (0) n x + x + + 2! n!
m(m − 1) 2 m(m − 1)(m − n + 1) n x ++ x + 2! n! x3 x 5 x 2 n −1 sin x = x − + − + (−1) n−1 + (−∞ < x < +∞) 3! 5! (2n − 1)! (1 + x ) m = 1 + mx +
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y ′ = f ( x, y )
或
P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g ( y )dy = f ( x)dx的形式，解法：
∫ g ( y)dy =∫ f ( x)dx
得：G ( y ) = F ( x ) + C称为隐式通解。
f ( x) =
a0 ∞ nπx nπx + ∑ (a n cos + bn sin )，周期 = 2l 2 n =1 l l (n = 0,1, 2) (n = 1,2,3)
l 1 nπx = a f ( x) cos dx n ∫ l −l l 其中 l b = 1 f ( x) sin nπx dx n l∫ l −l
1+ x + x + x ++ x +
2 3 n
x < 1时，收敛于 x ≥ 1时，发散
1 1− x
对于级数(3)a0 + a1 x + a2 x 2 + + an x n + ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全 x < R时收敛 数轴上都收敛，则必存在R，使 x > R时发散，其中R称为收敛半径。 x = R时不定 ρ ≠ 0时，R = 求收敛半径的方法：设 lim
全微分方程：
P ( x ) dx
− P ( x ) dx dx + C )e ∫
如果P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0中左端是某函数的全微分方程，即： ∂u ∂u du ( x, y ) = P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0，其中： = P( x, y )， = Q ( x, y ) ∂x ∂y ∴ u ( x, y ) = C应该是该全微分方程的通解。
L上积分起止点处切向量的方向角。 ∂Q ∂P ∂Q ∂P 格林公式： ( ( − )dxdy = ∫ Pdx + Qdy − )dxdy = ∫ Pdx + Qdy格林公式： ∫∫ ∫∫ ∂x ∂y ∂x ∂y D L D L 1 ∂Q ∂P 当P = − y , Q = x，即： − = 2时，得到D的面积：A = ∫∫ dxdy = ∫ xdy − ydx 2L ∂x ∂y D ·平面上曲线积分与路径无关的条件： 1、G是一个单连通区域； 2、P( x, y )，Q ( x, y )在G内具有一阶连续偏导数，且 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ ·二元函数的全微分求积： 在 ∂Q ∂P ＝ 时，Pdx + Qdy才是二元函数u ( x, y )的全微分，其中： ∂x ∂y
一阶线性微分方程：
dy 1、一阶线性微分方程： + P( x ) y = Q ( x) dx
− P ( x ) dx 当Q ( x) = 0时, 为齐次方程，y = Ce ∫
当Q ( x) ≠ 0时，为非齐次方程，y = ( ∫ Q ( x)e ∫ dy 2、贝努力方程： + P( x) y = Q ( x ) y n， (n ≠ 0,1) dx
1+
π2 1 1 + + = 32 5 2 8 1 1 1 π2 + + + = 2 2 42 62 24
1 1 1 π2 （相加） + + + = 2 2 32 4 2 6 1 1 1 π2 1 − 2 + 2 − 2 + = （相减） 2 3 4 12 1+ 2 f ( x) sin nxdx π∫ 0
n →∞
a n +1 = ρ，其中a n，an +1是(3)的系数，则 ρ = 0时，R = +∞ an ρ = +∞时，R = 0
1 ρ
函数展开成幂级数：
f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 函数展开成泰勒级数：f ( x) = f ( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + + ( x − x0 ) n + 2! n! ( n +1) f (ξ ) 余项：Rn = ( x − x0 ) n+1 , f ( x )可以展开成泰勒级数的充要条件是： lim Rn = 0 n →∞ (n + 1)! x0 = 0时即为麦克劳林公式：f ( x ) = f (0) + f ′(0) x +
Γ Γ
常数项级数：
1− q n 等比数列： 1+ q + q ++ q = 1− q (n + 1)n 等差数列： 1+ 2 + 3 ++ n = 2 1 1 1 调和级数： 1 + + + + 是发散的 2 3 n
2 n −1
级数审敛法：
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： x = ϕ (t ) 设L的参数方程为 ，则： y = ψ (t )
二阶微分方程：
f ( x) ≡ 0时为齐次 d2y dy + P( x ) + Q ( x ) y = f ( x )， 2 dx dx f ( x) ≠ 0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*) y ′′ + py ′ + qy = 0，其中p, q为常数； 求解步骤： 1、写出特征方程： (∆)r 2 + pr + q = 0，其中r 2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y ′′, y ′, y的系数； 2、求出(∆ )式的两个根r1 , r2