高考立体几何题型与方法全归纳文科

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2019高考立体几何题型与方法全归纳文科

配套练习

1、四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,23PA =,2BC CD ==,

3ACB ACD π

∠=∠=.

(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ；

(Ⅱ)若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =,求三棱锥P BDF -的体积。 【答案】

(Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即BCD ∆为等腰三角形，又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥.

因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线AC PA ,都垂直， 故BD ⊥平面PAC 。 (Ⅱ)解：33

2sin 2221sin 21=⨯⨯=∠••=

∆π

BCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知232331

31=⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC P .

由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8

1

,

故：41

32813318131=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC F

4

7

412=-

=-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，90APD ︒∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2AB AD ==，,E F 分别为PC 和BD 的中点．

（Ⅰ）证明：EF 平面PAD ；

（Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．

【答案】

（Ⅰ）证明：如图，连结AC ．

∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，EF

AP

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∵EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF 平面PAD ；

（Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD 平面ABCD AD =， 所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD 又PA ⊂平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ；

（Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ∆为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥， 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD 面ABCD AD =， 所以，PO ⊥面ABCD ，

即PO 为四棱锥P ABCD -的高． 由2AD =得1PO =．又1AB =．

∴四棱锥P ABCD -的体积12

33

V PO AB AD =⋅⋅=

考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.

3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，CD PA ⊥， DB ADC ∠平分，E PC 为的中点，

45DAC ∠=，2AC =.

（Ⅰ）证明：PA ∥BDE 平面；

（Ⅱ）若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积 【答案】（Ⅰ）设F BD AC =⋂，连接EF ，

CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴⊂⊥，平面，平面

PAD PA PD P PA PD PA CD 平面，，，又⊂=⋂⊥ AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴⊂⊥∴平面，平面

∵,45︒=∠DAC ∴,DC DA =

∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点，E 为PC 中点， ∴EF 为CPA ∆的中位线.

∵EF ∥,PA EF BDE ⊂平面，PA BDE ⊄平面 ∴PA ∥BDE 平面.

(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;

ABC ADC S S S ∆∆+=222

3

22122221=⨯⨯+⨯⨯=

． 的中点，为线段点PC E

11112

2232323

E ABCD V S PD -∴=⋅=⨯⨯⨯=．

考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.

4、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，其中2PA PD AD ===，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点．

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(1) 求证：AD PQB ⊥平面；

(2) 若平面PAD ⊥平面ABCD ,且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD -的体积． 【答案】

（1）PA PD =，Q 为中点，AD PQ ∴⊥ 连DB ，在ADB ∆中，AD AB =，60BAD ︒∠=，

ABD ∴∆为等边三角形，Q 为AD 的中点，

AD BQ ∴⊥,

PQ BQ Q ⋂=,PQ ⊂平面PQB ,BQ ⊂平面PQB , ∴AD ⊥平面PQB .

（2）连接QC ,作MH QC ⊥于H .

H A

B

C

D P

M

Q

PQ AD

⊥,PQ⊂平面PAD,平面PAD⋂平面ABCD AD

=,平面PAD⊥平面ABCD，

PQ ABCD

∴⊥平面 , QC⊂ABCD

平面 ,

PQ QC

∴⊥

//

PQ MH

∴.

∴MH ABCD

⊥平面,

又1

2

PM PC

=

,

11

2

2222

MH PQ

∴==⨯=.

在菱形ABCD中，2

BD=,

1

sin60

2

ABD

S AB AD

Λ

=⨯⨯

⨯

1

=22

22

⨯⨯⨯

∴2

ABD

ABCD

S S

∆

==

菱形

M ABCD

V

-

1

3ABCD

S MH

=⨯⨯

菱形

1

32

=⨯1

=．

5、如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，24

3

AB AE AD

===，现将ABE

∆沿BE边折至PBE

∆位置，且平面PBE⊥平面BCDE.

⑴求证：平面PBE⊥平面PEF；

⑵求四棱锥P BEFC

-的体积.

P

B C

D

F

E

(1)(2)