高考立体几何题型与方法全归纳文科
文科立体几何题型与方法
文科何体题型与方法总结考点一证明空间线面平行与垂直1、如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点,(I)求证:AC⊥BC1;(II)求证:AC 1//平面CDB1;2、如图所示,四棱锥P—ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点。
(1)求证:BM∥平面PAD;(2)在侧面PAD内找一点N,使MN⊥平面PBD;3.【2012高考山东文19】 (本小题满分12分)如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形,,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =;(Ⅱ)若∠120BCD =︒,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC .4、(2012年高考(江苏))如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC =,D E ,分别是棱1BC CC ,上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥,为11B C 的中点. 求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ;(2)直线1//A F 平面ADE .考点二 求空间图形中距离与体积5、(安徽理17)如图,ABCDEFG 为多面体,平面ABED 与平面AGFD 垂直,点O 在线段AD 上,1,2,OA OD ==△OAB ,,△OAC ,△ODE ,△ODF 都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线BC ∥EF ;(II )求棱锥F —OBED 的体积。
6.(四川09) 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D 是棱CC1上的一P 是AD 的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA . (I )求证:CD=C1D :(Ⅱ)求点C 到平面B1DP 的距离.7.【2012高考湖南文19】(本小题满分12分)如图6,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是等腰梯形,AD ∥BC ,AC ⊥BD. (Ⅰ)证明:BD ⊥PC ;(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD 与平面PAC 所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积.8.【2012高考广东文18】本小题满分13分)如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是CD 上的点且12DF AB =,PH 为△PAD 中AD 边上的高. (1)证明:PH ⊥平面ABCD ;(2)若1PH =,AD =,1FC =,求三棱锥E BCF -的体积;(3)证明:EF ⊥平面PAB .9.【2012高考陕西文18】(本小题满分12分) 直三棱柱ABC- A 1B 1C 1中,AB=A A 1 ,CAB ∠=2π(Ⅰ)证明11B A C B ⊥;(Ⅱ)已知AB=2,11C A AB - 的体积10.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分)如图,直三棱柱///ABC A B C -,90BAC ∠=,AB AC ==AA ′=1,点M ,N 分别为/A B 和//B C 的中点。
高三高考数学总复习《立体几何》题型归纳与汇总
(3)当 PA// 平面 BDE 时, PA 平面 PAC ,且平面 PAC 平面 BDE DE ,可得 PA//DE .由 D 是 AC 边的中 点知, E 为 PC 边的中点.故而 ED 1 PA 1, ED∥PA ,因为 PA 平面 ABC ,所以 ED 平面 BDC .
2
由 AB BC 2 ,AB BC ,D 为 AC 边中点知,BD CD 2. 又 BD AC ,有 BD DC ,即 BDC 90.
3 【解析】(1)∵ PA PD, N 为 AD 的中点,∴ PN AD, ∵底面 ABCD为菱形, BAD 60 ,∴ BN AD, ∵ PN BN N ,∴ AD 平面 PNB . (2)∵ PN PD AD 2 , ∴ PN NB 3 , ∵平面 PAD 平面 ABCD,平面 PAD 平面 ABCD AD , PN AD, ∴ PN 平面 ABCD, ∴ PN NB ,
【易错点】 外接球球心位置不好找 【思维点拨】 应用补形法找外接球球心的位置
题型四 立体几何的计算
例 1 如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角 边边长分别为 3 和 4 ,过直角顶点的侧棱长为 4 ,且 垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ( )
【答案】 B 【解析】显然由空间直角坐标系可知,该几何体在 xoy 面内的点保持不动,在 y 轴上的点在 xoy 面内的射影为坐标原 点,所以该几何体的主视图就是其在面 xoy 面的表面图形,即主视图应为高为 4 ,底面边长为 3 的直角三角形.故选 B.
以 PA BD . (2)因为 AB BC , AB BC , D 为线段 AC 的中点,所以在等腰 Rt△ABC 中, BD AC .又 由(1)可知, PA BD,PA AC A,所以 BD 平面 PAC .由 E 为线段 PC 上一点,则 DE 平面 PAC ,
高中文科数学立体几何知识点(大题)
高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结(文科)一.平行问题 (一) 线线平行:方法一:常用初中方法(1中位线定理;2平行四边形定理;3三角形中对应边成比例;4同位角、内错角、同旁内角) 方法二:1线面平行⇒线线平行m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法三:2面面平行⇒线线平行m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法四:3线面垂直 ⇒线线平行若αα⊥⊥m l ,,则m l //。
(二) 线面平行:方法一:4线线平行⇒线面平行ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二:5面面平行⇒线面平行 αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂ (三) 面面平行:6方法一:线线平行⇒面面平行βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l 方法二:7线面平行⇒面面平行βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂A m l m l m l ,方法三:8线面垂直⇒面面平行 βαβα面面面面//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l ll二.垂直问题:(一)线线垂直方法一:常用初中的方法(1勾股定理的逆定理;2三线合一 ;3直径所对的圆周角为直角;4菱形的对角线互相垂直。
) 方法二:9线面垂直⇒线线垂直 m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα (二)线面垂直:10方法一:线线垂直⇒线面垂直αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:11面面垂直⇒线面垂直αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,(面) 面面垂直:方法一:12线面垂直⇒面面垂直 βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l 三、夹角问题:异面直线所成的角:(一) 范围:]90,0(︒︒(二)求法:方法一:定义法。
步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。
步骤2:解三角形求出角。
(计算结果可能是其补角)线面角:直线PA 与平面α所成角为θ,如下图求法:就是放到三角形中解三角形四、距离问题:点到面的距离求法1、直接求,2、等体积法(换顶点)1、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A .B .C .D .2、设 a b ,是两条不同的直线, αβ,是两个不同的平面,则( ) A .若a α∥,b α∥,则a b ∥ B .若a α∥,αβ∥,则αβ∥C.若a b ∥,a α⊥,则b α⊥ D .若a α∥,αβ⊥,则a β⊥3、如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图,则该几何体的体积为 .4、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .5B .163C .7D .1735、某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .73B .83π-C .83D .73π- 6、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图是7、某四棱锥的三视图如图所示,其俯视图为等腰直角三角形,则该四棱锥的体积为A.223B.43C.2D.48、某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(A)23(B)43(C)2(D)831、(2017新课标Ⅰ文数)(12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.2、(2017新课标Ⅱ文)(12分)如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=︒(1)证明:直线BC ∥平面PAD ;(2)若△PCD 的面积为27,求四棱锥P ABCD -的体积.3、(2017新课标Ⅲ文数)(12分)如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD =CD .(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.4、(2017北京文)(本小题14分)如图,在三棱锥P–ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(Ⅰ)求证:PA⊥BD;(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面PAC;(Ⅲ)当PA∥平面BD E时,求三棱锥E–BCD的体积.5、(2017山东文)(本小题满分12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E 平面ABCD.A O∥平面B1CD1;(Ⅰ)证明:1(Ⅱ)设M是OD的中点,证明:平面A1EM 平面B1CD1.6、(2017江苏)(本小题满分14分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD 上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.。
高考文科数学立体几何题型与方法(文科)
高考文科数学立体几何题型与方法〔文科〕一、考点回顾 1.平面〔1〕平面的基本性质:掌握三个公理与推论,会说明共点、共线、共面问题。
〔2〕证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点〔依据:由点在线上,线在面内,推出点在面内〕,这样,可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
〔3〕证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。
〔4〕证共面问题一般用落入法或重合法。
〔5〕经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线.〔1〕空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内。
〔2〕异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.〔不在任何一个平面内的两条直线〕〔3〕平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.〔4〕等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,则这两个角相等推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成锐角〔或直角〕相等.〔5〕两异面直线的距离:公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况:相交〔共面〕垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. 〔l 1或l 2在这个做出的平面内不能叫l 1与l 2平行的平面〕3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.〔1〕空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内.〔2〕直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,则这条直线和这个平面平行.〔"线线平行,线面平行"〕〔3〕直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,则这条直线和交线平行.〔"线面平行,线线平行"〕〔4〕直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.PO A a4 若PA⊥α,a⊥AO,得a⊥PO〔三垂线定理〕,得不出α⊥PO. 因为a⊥PO,但PO不垂直OA.5 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则这两条直线垂直于这个平面.〔"线线垂直,线面垂直"〕直线与平面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.推论:如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行.〔5〕a.垂线段和斜线段长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短.[注]:垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.〔×〕]b.射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,则这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
北京文科高考立体几何大题题型总结
立体几何复习一、点、直线、平面之间的关系 (一)、立体几何网络图:1.线线平行的判断:(1)、平行于同一直线的两直线平行。
(3)、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
(6)、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
(12)、垂直于同一平面的两直线平行。
【例题】(2016丰台一模17)已知在ABC ∆中,90=∠B ,D ,E 分别为边BC ,AC 的中点,将CDE ∆沿DE 翻折后,使之成为四棱锥ABDE C -'(如图) (Ⅱ)设l ABC DE C =''平面平面 ,求证:l AB //ABED C C'DEFBA(7)、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
(8)、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直。
(10)、若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。
补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。
【例题】(2016西城一模17)如图,在四棱柱1111D C B A ABCD -中,BC AD ABCD BB //,1底面⊥, BD AC BAD ⊥=∠,90(Ⅱ)求证:D B AC 1⊥;【例题】(2016延庆一模17)如图,已知四棱锥ABCD S -,底面ABCD 是边长为2的菱形,60=∠ABC ,侧面SAD 为正三角形,侧面ABCD SAD 底面⊥,M 为侧棱SB 的中点,E 为线段AD 的中点 (Ⅱ)求证:AC SE ⊥(2)、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
(5)、两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
判定定理:性质定理:★判断或证明线面平行的方法⑴ 利用定义(反证法):=αl α=∅,则l ∥α (用于判断); ⑵ 利用判定定理:线线平行线面平行 (用于证明); ⑶ 利用平面的平行:面面平行线面平行 (用于证明);⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
高考文科数学__立体几何大题-知识点、考点及解题方法
立体几何大题题型及解题方法立体几何大题一般考以下五个方面:一、平行位置关系的证明1、证明线面平行(重点)解题方法:(1)线面平行判定定理;(2)面面平行的性质定理。
2、证明面面平行解题方法:(1)面面平行的判定定理;(2)面面平行判定定理的推论;(3)垂直于同一直线的两平面平行;(4)平行平面的传递性。
3、平行位置关系的探索(1)对命题条件的探索;(2)对命题结论的探索;(3)通过翻折来探索。
二、垂直位置关系的证明1、证明线线垂直解题方法:2、证明线面垂直(重点)解题方法:3、证明面面垂直4、垂直位置关系的探索(1)对命题条件的探索;(2)对命题结论的探索;(3)通过翻折来探索。
三、求空间距离1、点到平面的距离解题方法:2、空间线段长解题方法:(1)解三角形法;(2)列方程法。
四、求几何体体积五、求空间角1、异面直线所成的角2、直线与平面所成的角考点一:如何判断空间中点、线、面的位置关系(排除法)考点二:平行位置关系的证明证明题一般的解题步骤:一、根据题目的问题,确定要证明什么;根据题目的条件,确定用什么证明方法,如果无法确定,则要通过逆向思维来分析题目;二、看题目是否需要作辅助线(创造条件),证明平行位置问题一般作的辅助线是连等分点,特别是中点;三、根据确定的证明方法,看该方法需要多少个条件,然后看题目给的条件通过什么方式给,如果是间接条件则需要推理证明得出,如果是直接条件或隐含条件则直接罗列;四、准备好条件后,再次检查条件是否都满足,是否都罗列了,最后得出结论;五、规范书写答案过程:一般过程为1、作辅助线;2、准备间接条件;3、罗列直接条件或隐含条件;4、得出结论。
1、证明线面平行(重点)解题方法:2、证明面面平行解题方法:(1)面面平行的判定定理(最常用方法):(2)面面平行判定定理的推论:(3)垂直于同一直线的两平面平行;(4)3、平行位置关系的探索考点三、垂直位置关系的证明证明垂直的解题步骤:一、根据题目的问题,确定要证明什么;根据题目的条件,确定用什么证明方法,如果无法确定,则要通过逆向思维来分析题目;二、要注意先确定谁垂直于谁,如1、证明线线垂直时常考虑其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面,究竟选择哪一条直线垂直于另一条直线所在的平面,需要通过对条件及图形结构做深入细致分析、尝试、判断。
高考数学专题复习立体几何题型与方法(文科)
POAa高考数学专题复习 立体几何题型与方法(文科)一、 考点回顾1.平面(1)平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。
(2)证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据:由点在线上,线在面内 ,推出点在面内), 这样,可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
(3)证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。
(4)证共面问题一般用落入法或重合法。
(5)经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线.(1)空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内。
(2)异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线)(3)平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(4)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角)相等.(5)两异面直线的距离:公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. (l 1或l 2在这个做出的平面内不能叫l 1与l 2平行的平面) 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.(1)空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内.(2)直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行,线面平行”)(3)直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线面平行,线线平行”)(4)直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 若PA ⊥α,a ⊥AO ,得a ⊥PO (三垂线定理), 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ,但PO 不垂直OA .三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面.(“线线垂直,线面垂直”)直线与平面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.推论:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.(5)a.垂线段和斜线段长定理:从平面外一点..向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短.[注]:垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)]b.射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
高考文科数学立体几何解题技巧
高考文科数学立体几何解题技巧1.平行、垂直位置关系的论证的策略:1由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
2利用题设条件的性质适当添加辅助线或面是解题的常用方法之一。
3三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高,在证明线线垂直时应优先考虑。
2.空间角的计算方法与技巧:主要步骤:一作、二证、三算;若用向量,那就是一证、二算。
1两条异面直线所成的角①平移法:②补形法:③向量法:2直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角,关键是作垂线,找射影转化到同一三角形中计算,或用向量计算。
②用公式计算.3二面角①平面角的作法:i定义法;ii三垂线定理及其逆定理法;iii垂面法。
②平面角的计算法:i找到平面角,然后在三角形中计算解三角形或用向量计算;ii射影面积法;iii向量夹角公式.3.空间距离的计算方法与技巧:1求点到直线的距离:经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线,然后在相关的三角形中求解,也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
2求两条异面直线间距离:一般先找出其公垂线,然后求其公垂线段的长。
在不能直接作出公垂线的情况下,可转化为线面距离求解这种情况高考不做要求。
3求点到平面的距离:一般找出或作出过此点与已知平面垂直的平面,利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线,进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时,我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离,从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。
求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。
4.熟记一些常用的小结论,诸如:正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。
弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件,这可能是快速解答某些问题的前提。
5.平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题,要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。
高中文科数学立体几何知识点总结材料
高中文科数学立体几何知识点总结材料立体几何知识点整理(文科)l 若向量 l 和向量 m 共线且 l 、m一. 直线和平面的三种地点关系:αm 不重合,则 l // m 。
1. 线面平行l2. 线面平行:α 符号表示:方法一:用线线平行实现。
lβ2. 线面订交α l // m m l //llAα符号表示:方法二:用面面平行实现。
3. 线在面内nl//ll //αlα符号表示:二. 平行关系:1. 线线平行:方法三:用平面法向量实现。
方法一:用线面平行实现。
若 n 为平面的一个法向量,n l 且 l,则ll //l // 。
ll // mmm方法二:用面面平行实现。
lβ//3. 面面平行:γl l // mαmm方法一:用线线平行实现。
方法三:用线面垂直实现。
l // l 'm // m'//若 l, m,则 l // m 。
l , m 且订交l ', m'且订交lβml' αm'高中文科数学立体几何知识点总结材料2. 面面垂直:方法一:用线面垂直实现。
C方法二:用线面平行实现。
βll //m ////l αl , m且订交mβllθAB方法二:计算所成二面角为直角。
α3. 线线垂直:方法一:用线面垂直实现。
lC AαBlllmmmα方法二:三垂线定理及其逆定理。
PPOlOAl PA三.垂直关系:A Ol1. 线面垂直:αl方法一:用线线垂直实现。
l AC 方法三:用向量方法:lAB若向量 l 和向量 m 的数目积为0 ,则 lm 。
AC lAB A AC,AB三. 夹角问题。
(一 )异面直线所成的角:方法二:用面面垂直实现。
(1) 范围: (0 ,90 ](2) 求法:Pβlnmlmlm, lα方法一:定义法。
αAθO步骤 1 :平移,使它们订交,找到夹角。
步骤 2 :解三角形求出角。
(常用到余弦定理 )余弦定理:aca 2b 2c 2θbcos2ab(计算结果可能是其补角 )方法二:向量法。
空间立体几何知识点归纳(文科)
第一章 空間幾何體知識點歸納1、空間幾何體の結構:空間幾何體分為多面體和旋轉體和簡單組合體⑴常見の多面體有:棱柱、棱錐、棱臺;常見の旋轉體有:圓柱、圓錐、圓臺、球。
簡單組合體の構成形式: 一種是由簡單幾何體拼接而成,一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成。
⑵棱柱:有兩個面互相平行,其餘各面都是四邊形,並且每相鄰兩個四邊形の公共邊都互相平行,由這些面所圍成の多面體叫做棱柱。
⑶棱臺:用一個平行於棱錐底面の平面去截棱錐,底面與截面之間の部分,這樣の多面體叫做棱臺。
1、空間幾何體の三視圖和直觀圖投影:中心投影 平行投影(1)定義:幾何體の正視圖、側視圖和俯視圖統稱為幾何體の三視圖。
(2)三視圖中反應の長、寬、高の特點:“長對正”,“高平齊”,“寬相等”2、空間幾何體の直觀圖(表示空間圖形の平面圖). 觀察者站在某一點觀察幾何體,畫出の圖形.3、斜二測畫法の基本步驟:①建立適當直角坐標系xOy (盡可能使更多の點在坐標軸上) ②建立斜坐標系'''x Oy ∠,使'''x O y ∠=450(或1350),注意它們確定の平面表示水準平面;③畫對應圖形,在已知圖形平行於X 軸の線段,在直觀圖中畫成平行於X ‘軸,且長度保持不變;在已知圖形平行於Y 軸の線段,在直觀圖中畫成平行於Y ‘軸,且長度變為原來の一半;一般地,原圖の面積是其直觀圖面積の22倍,即22S S 原图直观=4、空間幾何體の表面積與體積⑴圓柱側面積;l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圓錐側面積:l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圓臺側面積:()S r R l π=+侧面⑷體積公式:h S V ⋅=柱体;h S V ⋅=31锥体; ()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上⑸球の表面積和體積:32344R V R S ππ==球球,.一般地,面積比等於相似比の平方,體積比等於相似比の立方。
O 2O 1h lrR第二章 點、直線、平面之間の位置關係及其論證1 、公理1:如果一條直線上兩點在一個平面內,那麼這條直線在此平面內,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩公理1の作用:判斷直線是否在平面內2、公理2:過不在一條直線上の三點,有且只有一個平面。
高中文科数学立体几何部分整理
高中文科数学立体几何部分整理第一章 空间几何体(一)空间几何体的三视图与直观图1.投影:区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形; 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图; 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图; 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图; 注:(1)俯视图画在正视图的下方,“长度”与正视图相等;侧视图画在正视图的右边,“高度”与正视图相等,“宽度”与俯视图。
(简记为“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”.(2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。
3.直观图:3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。
直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
3.2斜二测法:step1:在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy ,(即取90xoy ∠=︒ );step2:画直观图时,把它画成对应的轴'',''o x o y ,取'''45(135)x o y or ∠=︒︒,它们确定的平面表示水平平面;step3:在坐标系'''x o y 中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行于x 轴(或在x 轴上)的线段保持长度不变,平行于y 轴(或在y 轴上)的线段长度减半。
结论:一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的4倍. 解决两种常见的题型时应注意:(1)由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”. (2)由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
【例题点击】将正三棱柱截去三个角(如图1所示A B C ,,分别是GHI △三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )E F DIA H GBC EF D AB C侧视 BEA .BEB . BEC .BED .解:在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A(二)立体几何 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
文科立体几何知识点、方法总结高三复习
立体几何知识点整理(文科)一.直线和平面的三种位置关系:1. 线面平行l符号表示:2. 线面相交符号表示:3. 线在面内符号表示:二.平行关系:1.线线平行:方法一:用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二:用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三:用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,,则ml//。
方法四:用向量方法:若向量和向量共线且l、m不重合,则ml//。
2.线面平行:方法一:用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二:用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三:用平面法向量实现。
若为平面α的一个法向量,⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行:方法一:用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二:用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三.垂直关系:1. 线面垂直:方法一:用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二:用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直:方法一:用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二:计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直:方法一:用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二:三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三:用向量方法:若向量和向量的数量积为0,则m l ⊥。
三.夹角问题。
(一) 异面直线所成的角: (1) 范围:]90,0(︒︒ (2)求法: 方法一:定义法。
步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。
步骤2:解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理:cos =θ(计算结果可能是其补角) 方法二:向量法。
高中数学立体几何的相关题型及解题思路
高中数学立体几何的相关题型及解题思路在高中数学中,立体几何是一个重要的考点,也是许多学生感到困惑和头疼的地方。
本文将介绍一些常见的立体几何题型,并给出相应的解题思路和技巧,希望能够帮助高中学生和他们的父母更好地应对这一考点。
一、体积计算题体积计算题是立体几何中最基础的题型之一,常见的题目有计算立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等的体积。
解决这类题目的关键在于熟练掌握各种几何体的体积公式,并能够根据题目给出的条件灵活运用。
例如,某题给出一个长方体的底面积为12平方厘米,高为5厘米,要求计算其体积。
我们可以直接应用长方体的体积公式V=底面积×高,代入已知数据计算得出答案为60立方厘米。
二、表面积计算题表面积计算题也是立体几何中常见的题型之一,常见的题目有计算立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等的表面积。
解决这类题目的关键在于熟练掌握各种几何体的表面积公式,并能够根据题目给出的条件灵活运用。
例如,某题给出一个正方体的边长为3厘米,要求计算其表面积。
我们可以直接应用正方体的表面积公式S=6a^2,其中a为边长,代入已知数据计算得出答案为54平方厘米。
三、立体图形的相似题立体图形的相似题是立体几何中较为复杂的题型之一,常见的题目有判断两个立体图形是否相似、计算相似立体图形的比例等。
解决这类题目的关键在于观察立体图形的形状和比例关系,并能够利用相似三角形的性质进行推理。
例如,某题给出一个正方体ABCDA'B'C'D',另一个正方体EFGHE'F'G'与之相似,要求计算两个正方体的体积比。
我们可以观察到两个正方体的边长比为AE/AA'=EF/EE'=FG/FF'=...=1/2,而体积与边长的关系为V=k^3,其中k为边长的比值。
因此,两个正方体的体积比为(1/2)^3=1/8。
四、立体图形的投影题立体图形的投影题是立体几何中较为抽象的题型之一,常见的题目有计算某个立体图形在某个平面上的投影面积或投影长度等。
高考文科数学 立体几何小题-知识点、考法及解题方法
高考文科数学立体几何小题考点一:由实物图选三视图或由三视图选实物图
常见几何体的直观图与三视图
二、由三视图选实物图
考点二:求几何体的表面积、体积
一、由三视图求几何体的表面积、体积
1、由三视图还原几何体或确定几何体类型;
2、根据几何体计算公式找相关量的数值;
3、代入公式计算。
二、根据几何体的结构特征,求几何体的表面积、体积(注意先画示意图)
1、一般根据题意画出几何体的示意图;
2、规则几何体则直接根据公式进行计算,复杂几何体则进行适当的处理后再计算。
(完整)高中文科数学立体几何部分整理.doc
(完整)高中文科数学立体几何部分整理.doc立体几何高中文科数学立体几何部分整理第一章空间几何体(一)空间几何体的三视图与直观图1.投影:区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;正视图——光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图;侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图;正视图——光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图;注:(1)俯视图画在正视图的下方,“长度”与正视图相等;侧视图画在正视图的右边,“高度”与正视图相等,“宽度”与俯视图。
(简记为“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽” .( 2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。
3.直观图:3.1 直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。
直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
3.2 斜二测法:step1:在已知图形中取互相垂直的轴 Ox 、 Oy ,(即取 xoy 90 );step2:画直观图时,把它画成对应的轴 o ' x ',o ' y' ,取 x ' o ' y' 45 (or 135 ) ,它们确定的平面表示水平平面;step3:在坐标系 x ' o ' y ' 中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行于 x 轴(或在 x 轴上)的线段保持长度不变,平行于y 轴(或在 y 轴上)的线段长度减半。
结论:一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的2倍 .4解决两种常见的题型时应注意:(1)由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”.(2)由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
【例题点击】将正三棱柱截去三个角(如图1 所示 A ,B , C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2 所示方向的侧视图(或称左视图)为()HA G ABBB侧视BBBCCIEDEDEEEEA .B .C .D .立体几何解:在图 2 的右边放扇墙 (心中有墙 ), 可得答案 A(二)立体几何1.棱柱1.1 棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
立体几何题型及解题方法总结
立体几何题型及解题方法总结1. 立体几何题型啊,那可是个神奇的领域!有求各种立体图形体积的题型,就像求一个装满水的古怪形状瓶子能装多少水一样。
比如说正方体,正方体的体积公式就是边长的立方。
要是有个正方体边长是3厘米,那它的体积就是3×3×3 = 27立方厘米,简单吧!这类型的题就像是数糖果,一个一个数清楚就行。
2. 还有求立体图形表面积的题型呢。
这就好比给一个形状奇怪的礼物包装纸,得算出需要多少纸才能把它包起来。
像长方体,表面积就是六个面的面积之和。
假如一个长方体长4厘米、宽3厘米、高2厘米,那表面积就是2×(4×3 + 4×2 + 3×2) = 52平方厘米。
哎呀,可别小瞧这表面积,有时候算错一点就像给礼物包了个破纸一样难看。
3. 立体几何里关于线面关系的题型也不少。
这就像在一个迷宫里找路,线和面的关系复杂得很。
比如说直线和平面平行的判定,就像在一个方方正正的房间里,一根直直的杆子和地面平行,只要杆子和地面内的一条直线平行就行。
像有个三棱柱,一条棱和底面的一条棱平行,那这条棱就和底面平行啦,是不是很有趣呢?4. 线面垂直的题型也很重要哦。
这就像是建房子时的柱子和地面的关系,必须垂直才稳当。
判断一条直线和一个平面垂直,就看这条直线是不是和平面内两条相交直线都垂直。
就像搭帐篷,中间那根杆子要和地面上交叉的两根绳子都垂直,帐篷才能稳稳地立起来。
比如一个正四棱锥,它的高就和底面垂直,因为高和底面两条相交的对角线都垂直呢。
5. 面面平行的题型有点像照镜子。
两个平面就像两面镜子,要想平行,得看一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行。
就像有两个一样的盒子,一个盒子里面两条交叉的边和另一个盒子里面对应的两条交叉边平行,那这两个盒子的面就是平行的关系。
想象一下,如果两个平行的黑板,是不是很有画面感?6. 面面垂直的题型就像是打开的书页。
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v1.0 可编辑可修改2019高考立体几何题型与方法全归纳文科配套练习1、四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,23PA =,2BC CD ==,3ACB ACD π∠=∠=.(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ;(Ⅱ)若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =,求三棱锥P BDF -的体积。
【答案】(Ⅰ)证明:因为BC=CD ,即BCD ∆为等腰三角形,又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥.因为⊥PA 底面ABCD ,所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线AC PA ,都垂直, 故BD ⊥平面PAC 。
(Ⅱ)解:332sin 2221sin 21=⨯⨯=∠••=∆πBCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知23233131=⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC P .由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 81,故:4132813318131=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC F47412=-=-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图,四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为矩形,PAD ∆为等腰三角形,90APD ︒∠=,平面PAD ⊥ 平面ABCD ,且1,2AB AD ==,,E F 分别为PC 和BD 的中点.(Ⅰ)证明:EF 平面PAD ;(Ⅱ)证明:平面PDC ⊥平面PAD ; (Ⅲ)求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】(Ⅰ)证明:如图,连结AC .∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点.∴F 也是AC 的中点. 又E 是PC 的中点,EFAPv1.0 可编辑可修改∵EF ⊄平面PAD ,PA ⊂平面PAD ,所以EF 平面PAD ;(Ⅱ)证明:∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ,CD AD ⊥,平面PAD 平面ABCD AD =, 所以平面CD ⊥ 平面PAD ,又PA ⊂平面PAD ,所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥,,PD CD 是相交直线,所以PA ⊥面PCD 又PA ⊂平面PAD ,平面PDC ⊥平面PAD ;(Ⅲ)取AD 中点为O .连结PO ,PAD ∆为等腰直角三角形,所以PO AD ⊥, 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD 面ABCD AD =, 所以,PO ⊥面ABCD ,即PO 为四棱锥P ABCD -的高. 由2AD =得1PO =.又1AB =.∴四棱锥P ABCD -的体积1233V PO AB AD =⋅⋅=考点:空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.3、如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥平面,CD PA ⊥, DB ADC ∠平分,E PC 为的中点,45DAC ∠=,2AC =.(Ⅰ)证明:PA ∥BDE 平面;(Ⅱ)若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积 【答案】(Ⅰ)设F BD AC =⋂,连接EF ,CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴⊂⊥,平面,平面PAD PA PD P PA PD PA CD 平面,,,又⊂=⋂⊥ AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴⊂⊥∴平面,平面∵,45︒=∠DAC ∴,DC DA =∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点,E 为PC 中点, ∴EF 为CPA ∆的中位线.∵EF ∥,PA EF BDE ⊂平面,PA BDE ⊄平面 ∴PA ∥BDE 平面.(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;ABC ADC S S S ∆∆+=222322122221=⨯⨯+⨯⨯=. 的中点,为线段点PC E111122232323E ABCD V S PD -∴=⋅=⨯⨯⨯=.考点:1.线面平行的证明;2.空间几何体的体积计算.4、如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,其中2PA PD AD ===,60BAD ︒∠=,Q 为AD 的中点.v1.0 可编辑可修改(1) 求证:AD PQB ⊥平面;(2) 若平面PAD ⊥平面ABCD ,且M 为PC 的中点,求四棱锥M ABCD -的体积. 【答案】(1)PA PD =,Q 为中点,AD PQ ∴⊥ 连DB ,在ADB ∆中,AD AB =,60BAD ︒∠=,ABD ∴∆为等边三角形,Q 为AD 的中点,AD BQ ∴⊥,PQ BQ Q ⋂=,PQ ⊂平面PQB ,BQ ⊂平面PQB , ∴AD ⊥平面PQB .(2)连接QC ,作MH QC ⊥于H .H ABCD PMQPQ AD⊥,PQ⊂平面PAD,平面PAD⋂平面ABCD AD=,平面PAD⊥平面ABCD,PQ ABCD∴⊥平面 , QC⊂ABCD平面 ,PQ QC∴⊥//PQ MH∴.∴MH ABCD⊥平面,又12PM PC=,1122222MH PQ∴==⨯=.在菱形ABCD中,2BD=,1sin602ABDS AB ADΛ=⨯⨯⨯1=2222⨯⨯⨯∴2ABDABCDS S∆==菱形M ABCDV-13ABCDS MH=⨯⨯菱形132=⨯1=.5、如图,E是矩形ABCD中AD边上的点,F为CD边的中点,243AB AE AD===,现将ABE∆沿BE边折至PBE∆位置,且平面PBE⊥平面BCDE.⑴求证:平面PBE⊥平面PEF;⑵求四棱锥P BEFC-的体积.PB CDFE(1)(2)【答案】(1) 证明:由题可知,4545ED DF DEF DEF ED DF EF BE AE AB ABE AEB AE AB =⎫⎫∆⇒∠=︒⎬⎪⊥⎭⎪⇒⊥⎬=⎫⎪∆ ⇒∠=︒ ⎬⎪⊥⎭⎭中中 ABE BCDEABE BCDE BE EF PBE PBE PEF EF BE EF PEF ⎫⊥⎫⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭平面平面平面平面平面平面平面平面 (2) 116444221422BEFC ABCD ABE DEF S S S S =--=⨯-⨯⨯-⨯⨯=,则111433BEFC V S h =⋅⋅=⨯⨯=6、已知四棱锥P ABCD -中,,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形,E 是PA 的中点,(1)若PD AD =,求 PC 与面AC 所成的角 (2) 求证://PC 平面EBD (3) 求证:平面PBC ⊥平面PCD 【答案】(1)PD ⊥平面ABCD ,DC ∴是直线PC 在平面ABCD 上的射影,PCD ∴∠是直线PC 和平E D CBAP面ABCD 所成的角。
又PD DA =,四边形ABCD 是正方形,,DA DC ∴=PD DC ∴=,045PCD ∴∠=;∴直线PC 和平面ABCD 所成的角为045(2)连接AC 交BD 与O,连接EO, ∵E 、O 分别为PA 、AC 的中点 ∴EO ∥PC ∵PC ⊄平面EBD,EO ⊂平面EBD ∴PC ∥平面EBD (3)∵PD平面ABCD, BC ⊂平面ABCD ,∴PDBC ,∵ABCD 为正方形 ∴ BCCD ,∵PD ∩CD=D, PD ,CD ⊂平面PCD ∴BC平面PCD又∵ BC ⊂平面PBC ∴平面PBC平面PCD7、在边长为4cm 的正方形ABCD 中,E F 、分别为BC CD 、的中点,M N 、分别为AB CF 、的中点,现沿AE AF EF 、、折叠,使B C D 、、三点重合,重合后的点记为B ,构成一个三棱锥.(1)请判断MN 与平面AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明AB ⊥平面BEF ; (3)求四棱锥E AFNM -的体积. 【答案】(1)MN 平行平面AEF证明:由题意可知点M N 、在折叠前后都分别是AB CF 、的中点(折叠后B C 、两点重合) 所以MN 平行AF因为MN AEF AF AEF MN AF ⊄⎧⎪⊂⎨⎪⎩面面平行,所以MN 平行平面AEF .(2)证明:由题意可知AB BE ⊥的关系在折叠前后都没有改变.因为在折叠前AD DF ⊥,由于折叠后AD AB 与重合,点D F 与重合,所以AB BF ⊥因为=AB BE AB BF BE BEF BF BEF BE BF B ⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⎨⎪⊂⎪⋂⎪⎩面面,所以AB ⊥平面BEF .(3)E AFNM E ABF E MBN V V V ---=- A BEF M BEN V V --=-1133BEF BEN S AB S MB ∆∆=⋅-⋅11112242123232=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ 2= .8、在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,MA ⊥平面ABCD ,PD ∥MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,且2AD PD MA ==.(1)求证:平面EFG ⊥平面PDC ;(2)求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比.【答案】(1)证明:∵MA ⊥平面ABCD ,PD ∥MA , ∴PD ⊥平面ABCD ,又BC ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥BC , ∵ABCD 为正方形,∴BC ⊥DC. ∵PD DC D =,∴BC ⊥平面PDC .在PBC ∆中,因为G F 、分别为PB 、PC 的中点, ∴GF ∥BC ,∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ,∴平面EFG ⊥平面PDC . (2)不妨设=1MA ,∵ABCD 为正方形,∴2PD AD ==, 又∵PD ⊥平面ABCD ,所以P ABCD V -=13ABCD S PD ⋅正方形=83.由于DA ⊥平面MAB ,且PD ∥MA , 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离,三棱锥P MAB V -=13×1122⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭×2=23.所以14P MAB P ABCD V V --:=:. 9、如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,.21,1,90====⊥=∠AD BC AB SA ABCD SA ABC ,面v1.0 可编辑可修改 (1)求四棱锥S-ABCD 的体积;(2)求证:;SBC SAB 面面⊥(3)求SC 与底面ABCD 所成角的正切值。
【答案】(1)解:111111()(1)11332624v Sh AD BC AB SA ==⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯⨯= (2)证明:BC SA ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,面,面 又,A AB SA BC AB =⊥ ,SAB BC 面⊥∴SAB BC 面⊂ SBC SAB 面面⊥∴(3)解:连结AC,则SCA ∠就是SC 与底面ABCD 所成的角。
在三角形SCA 中,SA=1,AC=21122=+,2221tan ===∠AC SA SCA 10、如图,DC ⊥平面ABC ,//EB DC ,22AC BC EB DC ====,120ACB ∠=,,P Q 分别为,AE AB 的中点.(I )证明://PQ 平面ACD ;(II )求AD与平面ABE 所成角的正弦值.SCA D B【答案】(Ⅰ)证明:连接CQ DP ,, 在ABE ∆中,Q P ,分别是AB AE ,的中点,所以BE PQ 21//==, 又BE DC 21//==,所以DC PQ ==//,又⊄PQ 平面ACD ,DC ⊂平面ACD , 所以//PQ 平面ACD (Ⅱ)在ABC ∆中,BQ AQ BC AC ===,2,所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ,DC EB //,所以⊥EB 平面ABC 而⊂EB 平面ABE , 所以平面ABE ⊥平面ABC , 所以⊥CQ 平面ABE 由(Ⅰ)知四边形DCQP 是平行四边形,所以CQ DP // 所以⊥DP 平面ABE , 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP , 所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠ 在APD Rt ∆中,5122222=+=+=DC AC AD ,1sin 2=∠==CAQ CQ DP 所以5551sin ===∠AD DP DAP。