罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义(第1~3章)【圣才出品】

罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义

第1章索洛增长模型

第一部分重难点解读

“一旦人们开始思考（经济增长）问题，他将很难再顾及其他问题。”

——罗伯特·卢卡斯（Robert Lucas，1988）

1.1模型假设

投入与产出

生产函数采取如下形式：

()()()()()

,Y t F K t A t L t =其中，t ：时间，A ：有效劳动．．．．——劳动增加型．．．．．的或哈罗德中性．．．．．

。生产函数

生产函数是规模报酬不变的：

()(),,F cK cAL cF K AL =，对于所有0

c ≥规模不变结合两个不同的假设：第一是经济规模足够大，以至于专业化的收益已被全部利用。第二是除资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。

把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数：

()1,1,⎛⎫= ⎪⎝⎭K F F K AL AL AL

定义/=k K AL ，/=y Y AL 以及()(),1=f k F k ，得：

()

=y f k 关于()f k 的假设：

（1）()00=f ，()0'>f k ，()0''

（2）稻田条件（Inada condition）：()0lim →'=∞k f k ，()lim 0→∞

'=k f k 柯布一道格拉斯函数：()()

1,,01ααα-=<

可得：()α=f k k ，图示如图1.1所示。

图1.1柯布-道格拉斯生产函数

生产投入的演化

给定资本、劳动与知识的初始水平，劳动与知识以不变的增长率增长：

()()

∙

=L t nL t ()()∙=A t gA t 其中，n 与g 是外生参数。

求解以上两微分方程，可得：

()()0=nt

L t L e

()()0=gt

A t A e 假设：用于投资的产出份额s 是外生且不变的，则有资本动态积累方程：

()()()δ∙

=-K t sY t K t 其中，δ为资本折旧率。

1.2模型动态学

k 的动态学

由于/=k K AL ，利用链式法则：

()()()()()

()()()()()()••••2⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎣⎦

K t K t k t A t L t L t A t A t L t A t L t ()

()()()()()()()()()()()()

∙∙∙=--K t K t L t K t A t A t L t A t L t L t A t L t A t 结合如上关于技术进步率与人口增长率的假设，可得：

()()()

()()

()()δ∙-=--sY t K t k t k t n k t g A t L t ()()()()()()

δ=---Y t s k t nk t gk t A t L t 由规模报酬不变假设有：

()()()()()δ∙

=-++k t sf k t n g k t 第一项()()sf k t 为每单位有效劳动的实际投资：每单位有效劳动的产出为()f k ，该产出的投资份额为s ；第二项()δ++n g k 为持平投资．．．．——为使k 保持在现有水平上．．．．．

所必须进行的投资量。

当每单位有效劳动的实际投资大于持平所需的投资时，k 上升；当实际投资小于持平所需的投资时，k 下降；当二者相等时，k 不变，如图1.2所示。

图1.2实际投资与持平投资

一个重要问题：试证明图1.2中实际投资曲线与持平投资曲线只相交一次。

资本k 与其增长率的图示可表示如下：

图1.3索洛模型中k 的相图

平衡增长路径

平衡增长路径下，劳动与知识分别以速率n 与g 增加。资本存量K 等于ALk ；由于k 在*k 处不变，K 在以速率g n +增长（且/K K ∙

等于g n +）。在资本与有效劳动以速率g n +增长的条件下，规模不变的假设意味着产出Y 正在以该速率增长。最后，每工人的平均资本L K 以及每工人的平均产出L Y 在以速率g 增长。在平衡增长路径上，每个工人的平均产

出增长率只由技术进步率唯一地决定。

1.3储蓄率变动的影响

假设一索洛经济体处于平衡增长路径，s永久性增加

对产出的影响

s的增加使实际投资线向上移动，因而 k上升，如图1.4所示。

图1.4用于投资的储蓄率增加的效应图1.4分析的是比较静态，转移动态如图1.5所示：

图1.5储蓄率增长的效应

通过如上分析：储蓄率的变化具有水平效应．．．．，但不具有增长效应．．．．

：它改变了经济的平衡增长路径，但这并不影响平衡路径上每个工人的平均产出增长率。

对消费的影响

设*

c 表示均衡增长路径上单位有效劳动的消费，等于单位有效劳动的产出减去单位有效劳动的投资()sf k *。在平衡增长路径上，实际投资等于持平投资()δ*++n g k ，因而：

()()δ***

=-++c f k n g k 平衡路径上的资本*

k 由s 以及模型的其他参数靠n 、g 与δ决定，即(),,,δ**=k k s n g 。对消费关于储蓄率求导：

()()()(),,,,,,δδδ**

*∂∂⎡⎤'=-++⎣⎦∂∂k s n g c f k s n g n g s s

s 的增加是否在长期内会提高或降低消费取决于资本的边际产品()*'f k 是否大于或小